Ethan Frome

s

10

m

100

v

_

=

FSICA 1

01. .Um velocista percorre uma distncia de 100 m em dez segundos. Quantos quilmetros ele percorreria em dez minutos, supondo que ele mantenha essa mesma velocidade mdia?

RESPOSTA: 6

Justificativa

=36 km/h em 10 min =

h

6

1

h

km

36

t

v

x

h

6

1

=

=

x = 6,0km

02. Um mergulhador deixa cair uma caixa hermeticamente fechada, a partir do repouso, quando esta se encontra a 1,0 m de profundidade em um lago profundo. No primeiro segundo de sua queda, a caixa afunda mais 2,0 m. Qual a acelerao da caixa, em m/s2?

RESPOSTA: 4

Justificativa

y = y0 +V0yt +

2

1

at2 ; y0 = 1,0 m, V0y = 0

y(t = 1s) = 3,0 = 1,0 +

2

1

. a . (1)2

a = 4,0 m/s2

03. Um jogador de vlei faz um saque com uma velocidade inicial de 108 km/h. Que altura, em metros, a bola atingiria se fosse lanada verticalmente para cima com essa velocidade? Despreze a resistncia do ar.

RESPOSTA: 45

Justificativa

V0 = 108 km/h =

3600

10

108

3

m/s = 30 m/s

v2 =

2

0

v

2gh = 0

h =

=

=

10

2

30

g

2

v

2

2

0

45 m

Um nadador quer atravessar um rio de 30 m de largura cuja correnteza tem uma velocidade de 4,0 m/s. Se ele deseja atingir a outra margem, num ponto exatamente em frente ao ponto de partida, quantos segundos ele levar para fazer a travessia, se for capaz de nadar com velocidade constante de 5,0 m/s em relao gua?

RESPOSTA: 10

Justificativa

A velocidade resultante ser v2 =

2

nadador

v

-

2

rio

v

= 5,02 4,02 = 9,0

v = 3,0 m/s

O tempo necessrio ser t =

0

,

3

30

= 10 s

04. Um motorista est viajando em uma estrada retilnea com velocidade constante de 20 m/s. Um cavalo entra na estrada a 50 m adiante e pra no caminho. Qual a desacelerao constante mnima, em m/s2, que far o carro parar imediatamente antes de atingir o cavalo?

RESPOSTA: 4

Justificativa

0 =

2

0

v

-2ax

a =

50

2

400

= 4,0 m/s2

Um tubaro de 100 kg est se deslocando a uma velocidade de 36 km/h, para a esquerda. Em um certo instante, ele engole um peixe de 10 kg que se deslocava em sua direo, a uma velocidade de 3,6 km/h, para a direita. Qual o mdulo da velocidade do tubaro, em m/s, imediatamente depois de engolir o peixe? Despreze a fora de atrito dos peixes com a gua.

RESPOSTA: 9

Justificativa

MV mv = (M + m)vf

vf =

110

1

10

10

100

-

= 9,0 m/s

Uma bola cai de uma altura de 1,0 m e, em cada coliso com o solo, perde 20 de sua energia mecnica. Qual a altura alcanada pela bola, em cm, aps a segunda coliso? Despreze o atrito com o ar.

RESPOSTA: 64

Justificativa

mg H2 = 0,8 x 0,8 x mg H0

\

H2 = (0,8)2 H0 = 0,64 x 1 = 0,64 m = 64 cm

Um bloco de 0,4 kg descreve uma trajetria circular de 0,5 m de raio, no tampo horizontal de uma mesa. O coeficiente de atrito cintico entre o bloco e a mesa = 0,24. Determine a energia mecnica dissipada pela fora de atrito, em J, quando o bloco d uma volta completa.

RESPOSTA: 3

Justificativa

W =

atrito

F

(2R) = mg(2R) = 0,24 x 0,4 x 10 x 2x 0,5 = 3 J

Um modelo simplificado do tomo de hidrognio consiste do eltron orbitando em torno do prton, do mesmo modo que um planeta gira em torno do Sol. Suponha que o eltron tenha uma rbita circular e que o prton permanea fixo no centro da rbita. Calcule a razo entre o mdulo da energia potencial eltrica do eltron e sua energia cintica.

RESPOSTA: 2

Justificativa

A fora coulombiana igual fora centrpeta: K

2

2

R

Q

= m

R

Q

K

mv

R

v

2

2

2

=

Portanto:

2

1

mv2 =

2

1

K

p

c

2

E

2

1

E

R

Q

=

. Temos ento

2

E

E

c

p

=

O grfico abaixo mostra o comprimento de duas barras A e B, de materiais diferentes, em funo da temperatura. Determine a razo B / A, entre os coeficientes de dilatao linear das barras.

B

A

L (cm)

T ( C)

50,8

50,6

50,4

50,2

50,0

10

30

50

70

RESPOSTA: 4

Justificativa

T = 70 30 = 40 0C; L0 = 50,0 cm.

T

D

e L0 so dados comuns s duas barras

00

,

4

0

,

50

2

,

50

0

,

50

8

,

50

)

L

(

)

L

(

T

L

L

A

B

A

B

0

=

-

-

=

D

D

=

a

a

D

D

=

a

\

A potncia mdia de um aquecedor eltrico 500 W. Quanto tempo, em segundos, o aquecedor demorar para esquentar 0,5 kg de gua, de 30 0C a 50 0C?

RESPOSTA: 84

Justificativa

20

30

50

T

=

-

=

D

0C ;

C

g

cal

0

,

1

gua

c

0

=

C

20

C

g

k

kJ

2

,

4

kg

5

,

0

T

mc

Q

0

0

=

D

=

D

= 4,2 x 104 J

Potncia =

tempo

Q

D

= 500 W

\

tempo =

W

500

J

10

2

,

4

4

= 84 segundos.

Quatro cargas eltricas pontuais esto em posies fixas e alinhadas conforme a figura. As cargas negativas so iguais e valem 4,0 C. Supondo que nula a fora eltrica resultante sobre cada uma das cargas positivas, determine o valor da carga +Q, em C?

RESPOSTA: 45

Justificativa

F+Q = 0

2

a

Q

4

-

2

)

a

2

(

Q

4

-

+

2

2

)

a

3

(

Q

= 0 (por simetria, isto vlido para as duas cargas +Q)

\

C

45

Q

5

9

Q

m

=

=

05. Determine a diferena de potencial, em volts, entre os pontos A e B no circuito abaixo.

RESPOSTA: 35

Justificativa

i =

A

15

4

20

80

=

-

\

VA VB = 80 3i = 80 45

\

VA VB = 35 V

Uma partcula, de massa 1,0 x 10-10 kg e carga 2,0 x 10-2 C, penetra em uma regio de campo magntico uniforme, de intensidade 1,0 x 10-3 T, com velocidade de 3,4 x 104 m/s perpendicular ao campo magntico. Calcule o raio da trajetria da carga, em cm.

RESPOSTA: 17

Justificativa

qvB = m

R

v

2

R =

cm

17

m

17

,

0

10

0

,

2

10

4

,

3

qB

mv

5

6

=

=

=

-

-

06. Uma onda senoidal se propaga ao longo de uma corda de 3,5 m de comprimento. Esta onda gerada por um oscilador mecnico que est ligado na extremidade esquerda da corda, de acordo com a figura. Sabendo-se que a freqncia de oscilao de 1000 Hz, qual o intervalo de tempo, em unidades de 10-3 s, que a onda leva para atingir a outra extremidade da corda?

RESPOSTA: 14

Justificativa

t =

s

10

14

25

,

0

10

5

,

3

f

L

v

L

3

3

-

=

=

l

=

07. A objetiva de uma mquina fotogrfica simples consiste de uma lente convergente de distncia focal igual a 10 cm. Para focalizar um objeto, fazendo, assim, com que sua imagem se forme nitidamente sobre o filme, podemos variar a distncia entre a lente e o filme. Qual deve ser essa distncia, em centmetros, para que se possa fotografar um objeto a 10 m de distncia da lente?

RESPOSTA: 10

Justificativa

Pede-se a distncia da imagem lente (DI).

Dados: f = 10 cm = 0,10 m

D0 = 10 m

f

D

f

D

D

D

1

D

1

f

1

0

0

I

I

0

-

=

+

=

= 0,10 m = 10 cm

FSICA 2

08. Um carro de testes de acelerao capaz de acelerar desde o repouso at 100 km/h em 3,5 s. Qual dever ser sua acelerao mdia, em m/s2, durante este intervalo de tempo?

RESPOSTA: 8

Justificativa

a =

2

3

m/s

7,9

5

,

3

3600

/

10

100

t

v

=

=

D

D

09. Um mergulhador deixa cair uma caixa hermeticamente fechada, a partir do repouso, quando esta se encontra a 1,0 m de profundidade em um lago profundo. No primeiro segundo de sua queda, a caixa afunda mais 2,0 m. Qual a profundidade do lago, em metros, se a caixa atinge o fundo do lago 4,0 s depois do incio de sua queda?

RESPOSTA: 33

Justificativa

y = y0 + V0y t +

,0

1

)

0

t

(

y

;

at

2

1

2

=

=

m ; y(t =1) = 3,0 m; V0y = 0

\

2,0 =

2

)

0

,

1

(

a

2

1

a = 4,0 m/s2.

Profundidade do lago = y(t=4s) = 1,0 +

m

33

)

0

,

4

(

0

,

4

2

1

2

=

.

010. Um corpo de massa 10 kg move-se sobre uma mesa com uma acelerao de 2,0 m/s2. Um segundo corpo de massa 2,0 kg escorrega sobre a face superior do primeiro com acelerao de 5,0 m/s2 e est submetido a uma fora horizontal F. O coeficiente de atrito cintico entre a superfcie da mesa e a superfcie do corpo mais pesado 0,2. Calcule o mdulo da fora F, em N.

RESPOSTA: 54

Justificativa

20

f

f

10

f

F

a

M

f

f

a

m

f

F

M

m

m

M

M

m

m

m

=

-

=

-

=

-

=

-

Somando membro a membro obtemos:

F fM = 30

F = 30 + c (M + m)g

F = 30 + 0,2 x 12 x 10

F = 54 N

Uma pequena esfera presa na extremidade de uma corda leve e de comprimento L = 2,0 m. A esfera gira numa circunferncia vertical de raio L, de modo que, quando ela passa pelo ponto mais alto da circunferncia (ponto A da figura), a tenso na corda nula. Com que velocidade, em m/s, a esfera passa pelo ponto mais baixo da circunferncia (ponto B)? Despreze a massa da corda e a resistncia do ar.

RESPOSTA: 10

Justificativa

m

mg

L

V

2

A

=

(pois TA = 0)

gL

V

2

A

=

Energia em B = Energia em A

2

B

mV

2

1

=

2

A

mV

2

1

+ mg (2L)

gL

4

V

V

2

A

2

B

+

=

\

2

B

V

= 5gL = 5 x 10 x 2 = 100

VB = 10 m/s

011. Um objeto de massa mA = 10 kg e velocidade vA = 0,1 m/s encontra um outro objeto de massa mB = 1,0 kg, que se desloca em sentido oposto com velocidade vB = 1,0 m/s. A coliso perfeitamente elstica e ambos os objetos continuam em movimento aps o choque. Qual o mdulo da velocidade final do objeto de massa mB , em m/s?

RESPOSTA: 1

Justificativa

Cons. de momentum: mA vA mBvB =

'

B

B

'

A

A

v

m

v

m

+

.

Cons. de energia:

2

'

B

B

2

'

A

A

2

B

B

2

A

A

)

v

(

m

2

1

)

v

(

m

2

1

v

m

2

1

v

m

2

1

+

=

+

.

Cons. momentum: 10 x 0,1 1 x 1 = 10 vA + 1 vB

vA = -0,1 vB .

Cons. Energia: 10 x (0,1)2 + 1x 12 = 10 (vA)2 + (vB)2

\

1,1 = 10(0,1 vB)2 + (vB)2

\

vB = 1,0 m/s

Um garoto de 40 kg caminha sobre uma tbua homognea e uniforme de 3,0 m de comprimento e massa de 60 kg. A tbua colocada sobre dois apoios, A e B, separados por uma distncia de 2,0 m.Qual a menor distncia x, da extremidade livre, em cm, a que o garoto pode chegar sem que a tbua tombe?

RESPOSTA: 25

Justificativa

O somatrio dos torques nulo em relao ao ponto B.

B = 0

2 FA + mg(1-x) =

2

1

mg

No limiar do tombamento:

FA = 0

-

=

2

M

m

mg

g

x

\

m

25

,

0

80

60

1

m

M

2

1

1

x

=

-

=

-

=

= 25 cm

012. A escala X de um termmetro marca 10 0X e 90 0X, para as temperaturas de fuso e de ebulio da gua, respectivamente. Determine o valor da temperatura na escala Celsius que corresponde ao mesmo valor na escala X.

RESPOSTA: 50

Justificativa

4

5

10

90

0

100

10

t

0

t

x

c

=

-

-

=

-

-

\

4tc = 5tx =

\

4 = 5 - 50

= 50 0C

013. Uma quantidade de calor igual a 84 kJ fornecida a 0,5 kg de gua, inicialmente temperatura de 28 0C. Qual a temperatura final da gua, em 0C?

RESPOSTA: 68

Justificativa

Q = mcT

\

c =

C

kg

kJ

2

,

4

C

g

cal

0

,

1

0

0

=

\

Q =

C

40

C

kg

/

kJ

2

,

4

kg

5

,

0

kJ

84

0

0

=

\

Tfinal = 28 + 40 = 68 0C

O diagrama P V abaixo representa o ciclo de uma mquina trmica, cujo rendimento de 60. Determine a quantidade de calor que ela absorve da fonte quente, em unidades de 104 J.

RESPOSTA: 20

Justificativa

rendimento =

60

,

0

Q

W

AbS

=

; W = rea do retngulo

J

10

20

60

,

0

m

40

,

0

m

/

N

10

0

,

3

Q

4

3

2

5

AbS

=

=

Trs cargas pontuais positivas esto dispostas em posies fixas sobre uma circunferncia de raio R, de acordo com a figura. Qual a razo, Q/q, entre as cargas, para que o campo eltrico no centro da circunferncia seja nulo?

RESPOSTA: 1

Justificativa

0

2

2

60

cos

R

q

K

2

R

Q

K

=

\

1

60

cos

2

q

Q

0

=

=

No circuito abaixo, o capacitor de capacitncia C1 est carregado com uma carga de 143 C, e os outros dois capacitores C2 = 2C1 e C3 = 3C1 esto completamente descarregados. Fechando-se simultaneamente as chaves S1 e S2, qual a carga no capacitor C3, em unidades de C, aps se estabelecer o equilbrio eletrosttico?

RESPOSTA: 78

Justificativa

Q1 + Q2 = Q0

\

3

3

2

2

1

1

C

Q

C

Q

C

Q

+

=

(

3

Q

2

Q

Q

2

2

1

+

=

\

Q1 = (5/6)Q2

0

2

Q

Q

6

6

6

5

=

+

\

143

11

6

Q

11

6

Q

0

2

=

=

= 78,0 C

No trecho ab do circuito eltrico mostrado abaixo, a corrente I0 vale 22 mA. Qual o valor da corrente que passa na resistncia R, em mA?

RESPOSTA: 12

Justificativa

IR + I2R + I3R = I0 = 22 mA

IRR = I2R (2R) = I3R (3R)

I2R =

2

I

R

; I3R =

3

I

R

, portanto IR +

2

I

R

+

3

I

R

= 22 mA

+

+

6

3

2

6

I

R

= 22

\

IR = 12 mA

014. Uma onda senoidal se propaga em uma corda. O tempo transcorrido para um ponto da corda passar de uma situao de deslocamento mximo para a de deslocamento zero 1,25 x 10-2 s. Qual a freqncia, em Hz, dessa onda?

RESPOSTA: 20

Justificativa

O intervalo de tempo considerado igual a do perodo. A freqncia ser: f =

.

Hz

0

,

20

10

25

,

1

4

1

T

1

2

=

=

-

A figura ilustra uma experincia para determinao do ndice de refrao de um lquido. Quando o ngulo maior ou igual a 300, ocorre reflexo interna total do feixe de luz. Qual deve ser a razo entre o ndice de refrao do bloco de vidro e o ndice de refrao do lquido?

RESPOSTA: 2

Justificativa

.

lq

n

30

sen

vidro

n

=

2

5

,

0

1

.

lq

n

vidro

n

=

=

015. A figura mostra uma lente biconvexa e um anteparo plano que dista 20 cm da lente. Qual deve ser a distncia focal da lente, em cm, para que a imagem formada sobre o anteparo tenha o mesmo tamanho do objeto?

RESPOSTA: 10

Justificativa

Como a imagem deve se formar sobre o anteparo

s = 20 cm.

Para que o objeto e a imagem tenham mesmo tamanho

s = 20 cm

10

1

20

1

20

1

f

1

=

+

=

\

f = 10 cm

016. O olho humano contm uma lente convergente, denominada cristalino, e uma regio sensvel luz, onde se formam as imagens, denominada retina. Se a retina est localizada a 2,0 cm do cristalino, qual deve ser a distncia focal do cristalino, em mm, de modo que possamos enxergar nitidamente objetos que se encontram a 20 cm de distncia do olho?

RESPOSTA: 18

Justificativa

DI = 2,0 cm

D0 = 20 cm

I

0

D

1

D

1

f

1

+

=

\

22

40

D

D

D

D

f

0

I

0

I

=

+

=

= 1,8

FSICA 3

017. Um rio corre velocidade constante de 4,0 m/s. Um barco a motor sai de um determinado ancoradouro, descendo a correnteza. O grfico abaixo mostra a velocidade do barco, em relao correnteza, em funo do tempo. Qual o deslocamento total do barco, a partir do ancoradouro, em km, no intervalo de tempo de 0 a 60 minutos?

RESPOSTA: 18

Justificativa

=

D

Total

X

Deslocamento devido velocidade da correnteza + Deslocamento devido velocidade do barco.

= 4,0 x 3,6 x 103 +

km

18

2

10

8

,

1

0

,

4

3

=

018. Um mergulhador deixa cair uma caixa hermeticamente fechada, a partir do repouso, quando esta se encontra a 1,0 m de profundidade em um lago profundo. No primeiro segundo de sua queda, a caixa afunda mais 2,0 m. Sabendo que a massa da caixa 16 kg, calcule o empuxo que a gua exerce sobre ela, em N?

RESPOSTA: 96

Justificativa

F = ma =mg E

E = m(g-a)

y = y0 + V0yt +

2

at

2

1

; V0 = 0; y0 = 1,0 m; y(t=1) = 3,0 m

\

3,0 = 1,0+

2

)

1

(

a

2

1

a = 4,0 m/s2

E = 16(10 4,0) = 96 N

Um bloco de massa M = 2,0 kg e comprimento L = 1,0 m repousa sobre uma superfcie horizontal sem atrito. Um pequeno corpo, de massa m = 1,0 kg, est localizado na extremidade direita do bloco. O coeficiente de atrito cintico entre o bloco e o pequeno corpo c = 0,1. Aplicando-se uma fora horizontal F de intensidade 4,0 N no bloco, quanto tempo, em segundos, levar para o corpo cair na extremidade esquerda do bloco?

RESPOSTA: 2

Justificativa

2

c

c

m

s

/

m

0

,

1

g

m

mg

m

f

a

=

m

=

m

=

=

2

M

s

/

m

5

,

1

0

,

2

0

,

1

0

,

4

M

f

F

a

=

-

=

-

=

2

M

M

2

m

m

t

a

2

1

)

t

(

X

t

a

2

1

L

)

t

(

X

=

+

=

2

M

2

m

'

t

a

2

1

'

t

a

2

1

L

=

+

\

seg

0

,

2

L

4

'

t

'

t

4

1

L

2

=

=

=

019. A figura mostra uma montanha russa. O carro parte do repouso no ponto A e desloca-se com atrito desprezvel no trilho. Por segurana, necessrio que haja uma fora normal exercida pelos trilhos sobre o carro em todos os pontos da trajetria. Qual o menor raio de curvatura, em metros, que o trilho deve ter no ponto B para satisfazer o requisito de segurana?

RESPOSTA: 20

Justificativa

A fora centrpeta no ponto B deve ser igual ao peso do carro

Rg

v

mg

R

v

m

2

2

=

=

.

Conservao de energia:

mg hA = mg hB +

)

h

h

(

g

2

v

mv

2

1

B

A

2

2

-

=

. Portanto: Rg = 2g (hA hB)

\

R = 2(15,0 5,0) = 20 m

020. Uma pequena esfera, de massa m = 0,20 kg, presa na extremidade de uma corda. A esfera gira numa circunferncia vertical de raio L, de modo que quando ela passa pelo ponto mais alto da circunferncia (ponto A da figura), a tenso na corda nula. Determine a tenso, em N, quando a esfera passa pelo ponto mais baixo da circunferncia (ponto B). Despreze a massa da corda e a resistncia do ar.

RESPOSTA: 12

Justificativa

Em A: m

mg

L

V

2

A

=

(TA = 0)

gL

V

2

A

=

Em B: m

mg

T

L

V

B

2

B

-

=

+

=

L

V

g

m

T

2

B

B

Da conservao de energia

gL

5

gL

4

V

V

mgL

2

mV

2

1

mV

2

1

2

A

2

B

2

A

2

B

=

+

=

+

=

\

TB = m(g+5g) = 6mg

TB = 6 x 0,20 x 10 = 12 N

021. A figura mostra a vlvula de segurana de uma caldeira a vapor. A haste de comprimento 0,30 m articulada no ponto A e gira no sentido anti-horrio, abrindo a vlvula, quando a presso na caldeira ultrapassa um valor determinado. Supondo que a haste e o tampo T tm massas desprezveis em comparao com a massa do bloco M, calcule a fora mnima sobre o tampo, em N, a partir da qual a vlvula abrir.

RESPOSTA: 53

Justificativa

O torque em relao ao ponto A deve ser nulo

F x 0,03 = 0,53 x 10 x 0,30

\

F = 53 N

022. A figura representa a molcula de NO. O tomo de nitrognio tem massa atmica 14 e o tomo de oxignio tem massa atmica igual a 16. A distncia entre os dois tomos D = 1,5 x 10-8 cm. Qual a distncia entre o centro de massa da molcula e o tomo de nitrognio, em unidades de 10-10 cm?

RESPOSTA: 80

Justificativa

Escolhendo a origem coincidente com a posio do tomo de N

0

N

0

CM

m

m

D

m

x

+

=

10

8

CM

10

80

14

16

10

5

,

1

16

x

-

-

=

+

=

cm

023. O grfico abaixo representa a variao da temperatura de 100 gramas de gua, em funo da quantidade de calor fornecida Q. Qual a quantidade de calor fornecida no processo de A ( D, em unidades de 103 cal?

RESPOSTA: 11

Justificativa

cal

10

x

11

20

100

1

80

100

20

100

5

,

0

gua

)

T

mc

(

mL

gelo

)

T

mc

(

Total

Q

3

=

+

+

=

D

+

+

D

=

O diagrama P V abaixo representa o ciclo de uma mquina trmica. O calor absorvido da fonte quente, em um ciclo, igual a 1,0 x 105 J. Qual o rendimento trmico dessa mquina, em ?

RESPOSTA: 45

Justificativa

AbS

5

AbS

Q

/

W

R

ento

dim

ren

J

10

0

,

1

Q

=

=

=

\

W = rea do tringulo =

2

5

3

m

/

N

10

0

,

3

m

30

,

0

2

1

J

10

45

,

0

W

5

=

45

,

0

10

0

,

1

10

45

,

0

R

5

5

=

=

45%

A unidade de carga eltrica chamada faraday a carga correspondente ao nmero de Avogadro de prtons. Converta em coulomb uma carga de 0,001 faraday.

RESPOSTA: 96

Justificativa

Q = qp NA = 1,6 x 10-19 x 6,0 x 1023 portanto 1 Faraday = 9,6 x 104C

0,001 Faraday = 0,001 x 9,6 x 104 = 96 C

Duas esferas condutoras A e B, de raios rA = R e rB = 2R, esto inicialmente carregadas com cargas qA = 150 C e qB = 24 C, respectivamente. As esferas encontram-se afastadas por uma grande distncia e so em seguida conectadas por um longo fio condutor de espessura desprezvel. Aps estabelecido o equilbrio eletrosttico, qual o valor da carga na esfera B, em C?

RESPOSTA:

84

Justificativa

Aps estabelecido o equilbrio eletrosttico as duas esferas estaro no mesmo potencial com cargas

A

'

q

e

B

'

q

.

2

'

q

'

q

R

2

'

q

R

'

q

q

q

'

q

'

q

B

A

B

A

B

A

B

A

=

=

+

=

+

B

A

B

q

q

2

1

1

'

q

+

=

+

\

)

126

(

3

2

)

q

q

(

3

2

'

q

B

A

B

=

+

=

\

C

84

'

q

B

m

=

Na recarga de uma bateria de 12,0 V e resistncia interna de 0,4 , liga-se em srie com a bateria um resistor de 9,0 para limitar a corrente. Determine a corrente atravs da bateria, em ampres, quando se utiliza um gerador de 220 V e resistncia interna de 1,0 , conforme indicado no circuito.

RESPOSTA: 20

Justificativa

(

)

A

20

)

4

,

0

0

,

1

0

,

9

(

)

0

,

12

220

(

i

i

R

=

+

+

-

=

=

e

Um capacitor de placas paralelas carregado e mantido ligado a uma bateria. A carga no capacitor ento 50 x 10-10 C. Duplica-se em seguida a separao entre as placas sem desligar a bateria e com isto muda-se a carga no capacitor. Qual o valor da carga final em unidades de 10-10 C?

RESPOSTA: 25

Justificativa

C =

f

i

0

C

2

C

d

A

=

e

\

2

q

q

V

C

q

;

V

C

q

i

f

f

f

i

i

=

=

=

C

10

25

2

10

50

q

10

10

f

-

-

=

=

Uma espira quadrada de lado 0,1 m formada de um fio condutor cuja resistncia eltrica total 1,0 Essa espira est submetida a um campo magntico espacialmente uniforme e varivel no tempo, de acordo com o grfico abaixo. Calcule o mdulo da corrente eltrica que circula na espira, em unidades de 10-3A.

RESPOSTA: 35

Justificativa

A

10

35

1

,

0

35

,

0

0

,

1

01

,

0

t

B

R

A

t

R

1

R

|

|

i

3

-

=

=

D

D

=

D

f

D

=

e

=

024. Uma corda est presa nas duas extremidades e tem uma ressonncia para o comprimento de onda de 18 cm, com o harmnico n, e uma outra, para o comprimento de onda de 16 cm, com o harmnico n+1. Qual o comprimento da corda, em cm?

RESPOSTA: 72

Justificativa

Para uma corda fixa nas duas extremidades

n

L

2

n

=

l

. Temos:

cm

18

n

L

2

=

e

cm

16

1

n

L

2

=

+

8

9

16

18

n

1

n

=

=

+

\

n = 8

cm

18

8

L

2

n

=

=

l

L = 72 cm

Um raio de luz, ao passar da gua (ndice de refrao igual a 1,33) para o vidro (ndice de refrao igual a 1,6), refrata-se como indicado na figura. Determine o valor do ngulo de refrao v, em graus.

RESPOSTA: 30

Justificativa

nV sen V = n sen i ;

6

,

0

)

0

,

3

(

)

0

,

4

(

0

,

3

sen

2

2

i

=

+

=

q

1,6 sen V = 1,33 x 0,6 = 0,8

sen V = 0,5

V = 300

MATEMTICA - 1

025. Em 2000 o consumo mdio mensal de energia eltrica em Pernambuco ser de 1.050 MW. O aumento mdio do consumo de energia eltrica de 5% ao ano. Usando a aproximao 1,054

@

1,22, calcule a estimativa (em MW) para o consumo mdio mensal em 2004 e indique a soma dos seus dgitos.

RESPOSTA: 12

Justificativa

O consumo mdio mensal em 2004 ser de 1050

1,054

@

1050

1,22 = 1281, que tem soma dos dgitos 12.

026. No segundo trimestre deste ano a economia norte-americana cresceu 5,2%. O consumo privado e o de servios, que juntos movimentam dois teros da economia, cresceram apenas 3% no mesmo perodo. Denote por C o quanto cresceu percentualmente o tero restante da economia (que corresponde a aumento nos investimentos das empresas e gastos do governo). Marque 10C.

RESPOSTA: 96

Justificativa

Temos: 2/3 x 3+1/3 x C = 5,2 e da C = 3

3,2 = 9,6, portanto, 10C = 96.

027. O cdigo de barras para comercializao de produtos consiste de dois blocos consecutivos, cada um com 6 dgitos ordenados. O primeiro bloco classifica o fabricante e o segundo classifica o produto. Seja N o nmero de produtos que podem ser assim classificados (segundo fabricante e produto). Indique o nmero de zeros de N (na notao decimal).

RESPOSTA: 12

Justificativa

O nmero de produtos que podem ser classificados N = 106

106 = 1012 , que tem 12 zeros na notao decimal.

028. Na conta de telefone, deveriam ser cobrados os custos das ligaes acrescidos de 25% de impostos. Contudo, uma companhia telefnica resolveu cobrar de impostos 25% do valor efetivamente pago pelo usurio. Se P a diferena entre o percentual sobre o preo de custo cobrado pela telefnica e o percentual de impostos que deveria ser pago, marque 3P.

RESPOSTA: 25

Justificativa

Se x o valor cobrado pela telefnica e y o custo das ligaes temos 0,75x = y e da x = 1/0.75y = 4/3y.

Da P = (4/3 - 1)100 - 25 e 3P = 25.

029. A loja de tecidos F promove a seguinte liquidao: pague x metros de linho e leve (2x+0,3) metros. Imediatamente, a loja concorrente J realiza a seguinte promoo: pague x metros de linho e leve (3x+0,2) metros. Considerando estes dados, analise as afirmaes seguintes:

0-0) Se o preo do metro de linho o mesmo nas duas lojas, ento paga-se mais na loja F sempre que se deseje levar mais que meio metro de linho.

1-1) Se o preo do metro de linho o mesmo nas duas lojas, ento pagando-se o mesmo preo que na loja F, sempre se leva uma pea maior comprando na loja J.

1-2) Se o preo do metro de linho na loja J for 1,5 vezes o preo da loja F, ento nunca se pagar o mesmo preo nas duas lojas pela mesma pea de linho.

1-3) Se o preo do metro de linho na loja J for 1,5 vezes o preo da loja F, ento o preo na loja F sempre ser menor que na loja J para a mesma pea de linho.

1-4) Se o preo do metro de linho na loja F for maior que 2/3 vezes o preo da loja J, ento o preo da loja F sempre ser maior que o da loja J para a mesma pea de linho.

RESPOSTA: V F V V F

Justificativa

Caso se deseje comprar y metros de linho paga-se (y - 0,3)/2, (y - 0,2)/3 metros nas lojas F e J, respectivamente.

0-0) Verdadeiro. (y - 0,3)/2 > (y - 0,2)/3 se e somente se 3y - 0,9 > 2y - 0,4 se e somente se y > 0,5.

1-1) Falso. 3x + 0,2 > 2x + 0,3 se e somente se x > 0,1.

1-2) Verdadeiro. (y - 0,3)/2 = 1,5(y - 0,2)/3 se e somente se -0,3 = -0,2.

1-3) Verdadeiro. (y - 0,3)/2 < 1,5(y - 0,2)/3 se e somente se -0,3 < -0,2.

1-4) Falso. Se p a razo entre os preos das lojas F e J temos: p(y - 0,3)/2 > (y - 0,2)/3 se e somente se y > (0,9p - 0,4)/(3p - 2). Logo, y > 0,3+0,2/(3p-2)>0,3 se p > 2/3.

030. Uma barra de chocolate tem a forma de um prisma reto de altura 175 mm tendo por base um trapzio issceles de bases 8 mm e 32 mm e altura 16 mm (veja a ilustrao abaixo). Calcule o nmero A de milmetros quadrados de papel que so necessrios para cobrir uma barra deste tipo de chocolate. Indique a soma dos dgitos de A.

RESPOSTA: 15

Justificativa

Os retngulos das faces laterais tm base (122+162)1/2 = 4 x 5 = 20 (milmetros). A rea total

(20 + 32 + 20 + 8) x 175 + (32 + 8) x 16/2 x 2 = 80 x 175+40 x 16 = (350 + 16) x 40 = 14640 (milmetros quadrados),

que tem soma dos dgitos 15.

031. Um armazm pretende encomendar os itens X e Y que custam R$ 2,00 e R$ 1,00 a unidade, respectivamente. Considerando a demanda destes itens, o nmero de unidades de X e Y a serem encomendadas no ultrapassa 300 e 500 respectivamente. Restries de espao para estoque dos itens exigem que o nmero total de itens encomendados seja no mximo 600. Alm disso, restries financeiras impem que o gasto total com a encomenda no ultrapasse R$ 800,00. Suponha que o lucro do armazm com a venda de cada item de X R$ 0,70 e de cada item de Y R$ 0,50. Denote por x o nmero de itens de X e por y o nmero de itens de Y. Considerando estes dados, analise as afirmaes:

0-0) As desigualdades que expressam as condies acima so

0

x

300, 0

y

500, x + y 600

0 e 800 2x y

0

1-1) Em um sistema cartesiano ortogonal com x no eixo das abscissas e y no eixo das ordenadas a regio contendo os possveis valores de (x,y) satisfazendo todas as condies apresentadas a regio colorida abaixo.

1-2) O lucro com a venda de X e Y dado por L(x,y) = 0,7x + 0,5y e para um nmero real c L(x,y) = c representa uma reta de inclinao 7/5.

1-3) O lucro com a venda dos itens X e Y ser mximo quando x=300 e y=200 (supondo que todos os itens encomendados sero vendidos).

1-4) O lucro mximo que o armazm pode obter com a comercializao destes itens de R$ 340,00 (supondo que todos os itens encomendados sero vendidos).

RESPOSTA: F V V F V

Justificativa

0-0) Falso. 800-2x-y

0.

1-1) Verdadeiro. A regio colorida o grfico de:

0

x

300, 0

y

500, x + y 600

0 e 800 2x y

0 (basta verficar nos pontos: (100,500), (200,400) e (300,200))

1-2) Verdadeiro. y = -7/5x + 2c, que tem inclinao 7/5.

1-3) Falso. O lucro ser mximo quando x = 200, y = 400 j que a inclinao de y = -7/5x + 2c est entre as inclinaes de y = 800 - 2x e y = 600 x .

1-4) Verdadeiro. O lucro mximo ser 0,7 x 200 + 0,5 x 400 = 340 reais.

032. As notas de 15 estudantes foram agrupadas em trs conjuntos disjuntos A, B e C. As mdias aritmticas das notas em

C

A

,

B

A

e

C

B

foram 45, 54 e 60 respectivamente. Sabendo que A possui 3 notas e B possui 5 notas, calcule a mdia aritmtica dos 15 estudantes.

RESPOSTA: 54

Justificativa

Somadas as notas de A e B, A e C, B e C obtm-se 45 x 8, 54 x 10, 60 x 12 e, portanto, a mdia de todos os estudantes (45 x 8+ 54 x 10+60 x 12)/(2 x 15) = 12+18+24 = 54.

033. Trs candidatos R, J e C concorrem a uma eleio. Numa pesquisa sobre inteno de voto, em que os consultados escolheram os candidatos em ordem crescente de preferncia, obteve-se o seguinte resultado:

47% escolheram C-J-R

32% escolheram R-C-J

21% escolheram R-J-C

Supondo que estas intenes de voto foram confirmadas nas eleies onde cada eleitor escolhe um nico candidato e vence o candidato com o maior nmero de votos, analise as afirmaes seguintes:

0-0) R ganhou as eleies com mais da metade dos votos.

1-1) Na pesquisa, mais da metade dos eleitores escolheu R como a ltima opo.

1-2) O segundo colocado nas eleies foi J com 32% dos votos.

1-3) Na pesquisa, 53% dos eleitores preferem J a R.

1-4) Na pesquisa, 79% dos eleitores preferem J a C.

RESPOSTA: F V V V V

Justificativa

0-0) Falso. R ganhou as eleies com 47% dos votos.

1-1) Verdadeiro. (32+21)% = 53% escolheram R como a ltima opo.

1-2) Verdadeiro. 32% votaram em J.

1-3) Verdadeiro. (32+21)% = 53% preferem J a R.

1-4) Verdadeiro. (47+32)% = 79% preferem J a C.

034. Inicialmente, uma abelha est no vrtice A de um tetraedro regular ABCD. A cada 5 segundos ela voa aleatoriamente para outro vrtice do tetraedro. Seja P a probabilidade de a abelha estar de volta ao vrtice A passados 15 segundos. Assinale 90P.

Observao: Ignore o tamanho da abelha e o tempo de vo de um vrtice a outro.

RESPOSTA: 20

Justificativa

Os casos provveis so 3.2 e o total de casos 3.3.3 portanto a probabilidade 3.2/3.3.3 = 2/9 e 2/9.90 = 20.

As informaes seguintes referem-se s questes 27 e 28.

Uma economia consiste de trs setores: transporte, energia e indstria. Suponha que para a produo de cada real

o setor de transportes requer o uso de 10 centavos de transporte, 20 centavos de energia e 20 centavos da indstria.

o setor de energia requer o uso de 20 centavos de transporte, 10 centavos de energia e 20 centavos da indstria.

o setor da indstria requer o uso de 20 centavos de transporte, 20 centavos de energia e 10 centavos da indstria.

Estas informaes podem ser resumidas na matriz 3

3 seguinte onde as linhas contm o que cada setor (transporte, energia e indstria, nesta ordem) precisa de transporte, energia e indstria para a produo de cada real :

1

,

0

2

,

0

2

,

0

2

,

0

1

,

0

2

,

0

2

,

0

2

,

0

1

,

0

EMBED Equation.3

035. Se a produo em certo perodo foi de 30 milhes em transporte, 40 milhes em energia e 16 milhes na indstria, calcule a quantidade (em milhes de reais) que foi consumida por transporte, energia e indstria para a obteno desta produo.

RESPOSTA: 43

Justificativa

Foram consumidos 0,1.30+0,2.40+0,2.16+0,2.30+0,1.40+0,2.16+0,2.30+0,2.40+0,1.16 = 0,5.30+0,5.40+0,5.16 = 43 milhes.

036. Suponha que a estimativa de demanda (alm do consumido por cada setor) para transporte, energia e indstria seja de 21, 23, e 33 milhes de reais, respectivamente. Indique a produo total da indstria (em milhes de reais) necessria para atender esta demanda.

RESPOSTA: 58

Justificativa

Se X a matriz 3 x 1 do que deve ser produzido (trabalho, energia e indstria), Y a matriz 3 x 1 com coordenadas 21, 23 e 33 e P a matriz dada, temos PX+Y = X ou (I-P)X = Y ou X = (I-P)-1Y. Como s estamos interessados na indstria, basta calcularmos a ltima linha da matriz (I-P)-1.

Ora, I-P tem determinante

-0,2.(0,04+0,18)+0,2(-0,18-0,04)+0,9(0,81-0,04) = -0,088+0,693 = 0,605

e sua ltima linha (0,22/0,605; 0,22/0,605; 0,77/0,605) = (4/11;4/11;14/11).

A indstria dever produzir 4/11.21+4/11.23+14/11.33 = 58 milhes.

037. A figura abaixo ilustra parte do grfico de um polinmio cbico com coeficientes reais p(x) que passa pelos pontos (-1,0), (0,8), (2,0) e (3,-4).

Considerando estes dados, analise as afirmaes seguintes:

0-0) Existe um nmero real a tal que

10

)

a

(

p

10

>

1-1) Existe um nmero real b tal

10

)

b

(

p

10

-

/pp class="2-2)_alternativa"1-2) A soma das razes de p(x) 5 /pp class="3-3)_alternativa"1-3) div class="embedded" id="_1034779174"/p)/p

p4/p

px/p

p4/p

px/p

px/p

p(/p

p2/p

p)/p

px/p

p(/p

pp/p

p2/p

p3/p

p-/p

p-/p

p+/p

p-/p

p=/p

/pp class="4-4)_alternativa"1-4) p(x) possui exatamente duas razes reais. /ppRESPOSTA: V V V F F/ppJustificativa/pp class="0-0)_alternativa"0-0) Verdadeiro. Escrevendo p(x) = c(x+1)(x-2)(x+a) temos -2ac = 8 e c.4.(3+a) = -4. Da ac = -4 e /pp class="0-0)_alternativa"3c+ac =-1 e c = 1, a = -4. Logo p(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 4) = x3 5x2 + 2x + 8. p(a) > 1010 se,

por exemplo, a > 104.

1-1) Verdadeiro. p(b) < -1010 se por exemplo, b < -104 .

1-2) Verdadeiro. As razes de p(x) so -1,2 e 4.

1-3) Falso. p(x) = x3 5x2 + 2x + 8.

1-4) Falso. p(x) possui trs razes reais.

038. Jnior tomou um emprstimo de R$ 10.000,00 para comprar um carro. Este emprstimo ser pago em prestaes mensais fixas de R$ 300,00 excetuando-se a ltima que ser de menor valor. Sobre o valor devido incidiro juros mensais de 1%, que so incorporados ao dbito no dia anterior ao pagamento da prestao. A primeira prestao ser paga um ms aps o emprstimo. Denote por Dn o valor devido, em centenas de reais, aps o pagamento de n prestaes. Consideradas as informaes acima, analise as afirmaes seguintes:

Dado: use a aproximao

7

,

39

485

,

1

log

1,01

@

.

0-0) D1 = 98

1-1) Dn = Dn-1 3 desde que Dn > 0

1-2) Dn = 1,01 Dn-1 3 desde que Dn > 0

1-3) Se Dn = 300 202 x 1,01n-1 ento

Dn+1 = 1,01(300202 x 1,01n-1)3 = 300202 x 1,01n desde que Dn+1 >0.

1-4) O pagamento total do emprstimo se far em 40 meses.

RESPOSTA: V F V V V

Justificativa

0-0) Verdadeiro. D1 = 1,01 x 100-3 = 98.

1-1) Falso. Dn = 1,01Dn-1-3.

2-2) Verdadeiro. Dn = 1,01Dn-1-3.

1-3) Verdadeiro. Basta verificar que 1,01(300 202 x 1,01n-1) 3 = 300 202 x 1,01n. Consequentemente, por induo Dn = 300 202 x 1,01n-1

1-4) Verdadeiro. Dn+1 = 0 se s se 1,01n = 300/202 = 1,485 que acontece quando n = log1,01 1,485 = 39,7. Portanto, o pagamento do emprstimo se far em 40 prestaes.

039. Sejam B = (2,0) e C = (0,-10). Dentre os pontos A = (x,y) da parbola y = x2 calcule a rea

a

do tringulo ABC de rea mnima e marque 4

a

.

RESPOSTA: 15

Justificativa

A reta passando por A = (a,a2) e C = (0,-10) tem equao y+10 = (a2+10)/a x que intercepta o eixo das abscissas em x = 10a/(a2+10). Logo a rea ser dada por 1/2(a2+10)(2-10a/(a2+10)) = a2+10-5a que tem mnimo em a = 5/2 = 2,5 e valor mnimo

a

= -(52-4.10)/4 = (-25+40)/4 = 15/4 portanto, 4

a

= 15.

040. Para um jogo de futebol so vendidos ingressos para a geral, a arquibancada e as cadeiras ao preo unitrio de R$ 5,00, R$ 10,00 e R$ 20,00 respectivamente. Foram postos venda 25.000 ingressos e foram arrecadados R$ 275.000,00 com a venda dos ingressos. Sabendo que o nmero de ingressos vendidos para a geral excedeu em 1.000 o nmero de ingressos vendidos para a arquibancada, determine o nmero mnimo N de ingressos vendidos para as cadeiras. Marque N/100.

RESPOSTA: 72

Justificativa

Sejam g,a,c o nmero de ingressos vendidos para a geral, arquibancadas e cadeiras respectivamente.

Temos g + a + c

25000, 5g + 10a + 20c = 275000, g = a + 1000. Substituindo, obtemos 2a + c

24000, 3a + 4c = 54000. Portanto, 2a + c + 5/3c = 36000 e 5/3c

12000 ou c

7200.

MATEMTICA - 2

041. Num cubo ABCDEFGH de aresta 12 o ponto X est na aresta EF e XF mede 3 e o ponto Y est na aresta CD e YD mede 4 (veja a ilustrao a seguir) . Assinale o inteiro mais prximo da medida de XY.

RESPOSTA: 18

Justificativa:

Construa perpendicular a AB passando por X e interceptando AB em Z. O tringulo XZY retngulo em Z e ZY2 = 52 + 122 = 169 e XY2 = 122 + 169 = 313 e o inteiro mais prximo de XY 18.

042. A CPMF o imposto sobre movimentao financeira. Se a alquota da CPMF aumentar de 0,30% para 0,38% o governo prev um aumento de 940 milhes de reais na sua arrecadao trimestral. Seja x a arrecadao trimestral atual obtida com a CPMF. Assinale a soma dos dgitos de x.

RESPOSTA: 15

Justificativa:

(0,38-0,30)% = 0,08% corresponde a 940 milhes de reais. A arrecadao trimestral 940.0,30/0,08 = 3.525 milhes de reais. A resposta 3+5+2+5=15.

043. Na ilustrao a seguir, CD um dimetro da circunferncia com centro em O e raio 8, AC e BD so perpendiculares a AB e AB tangente circunferncia em T. Se AB = 12, calcule OA.

RESPOSTA: 10

Justificativa:

Como AC, TO e BC so paralelas e OD = OC temos, pelo teorema de Tales, que TA = TB = 6.

Portanto AO =

10

100

8

6

2

2

=

=

+

044. Sejam

n

2

n

x

x

x

1

(x)

G

+

+

+

+

=

L

e

L

L

+

+

+

+

+

=

n

2

x

x

x

1

G(x)

para x verificando

1

x

1

p/p

p-/p

. Calcule o menor inteiro n satisfazendo /ppdiv class="embedded" id="_1037228386"/p6/p

pn/p

p10/p

p1/p

p5/p

p1/p

pG/p

p5/p

p1/p

pG/p

p/p

p/p

p/p

p/p

p/p

p/p

p/p

p-/p

p/p

p/p

p/p

p/p

p/p

p/p

/ppRESPOSTA: 8 /ppJustificativa: /ppTemos Gn(x) = (1-xn+1)/(1-x) e G(x) = 1/(1-x) e, portanto, G(x)-Gn(x) = xn+1/(1-x) e fazendo x = 1/5, obtemos 1/(4. 5n)1/106 ou 5n-624 que verdadeira se e s se div class="embedded" id="_1037689180"/p8/p

pn/p

p/p

./pp class="1.questo"045. Quantos so os paralelogramos com lados sobre os segmentos da figura seguinte, onde os segmentos que no se interceptam so paralelos./pp/p

pRESPOSTA: 90/ppJustificativa:/ppPodemos escolher dois lados horizontais, entre os 4 existentes, de 4.3/2=6 formas diferentes. Para a escolha dos lados inclinados temos 6.5/2=15 possibilidades. Logo, existem 15.6 = 90 paralelogramos na figura dada./pp class="1.questo"046. Na figura a seguir ABCDEFGH um paraleleppedo reto retngulo. Supondo que a medida de AB maior que a de BC, analise as afirmaes seguintes:/pp/p

p class="0-0)_alternativa"0-0) A medida do ngulo AHB maior que a do ngulo ACB/pp class="1-1)_alternativa"1-1) A medida do ngulo HAB menor que a do ngulo CAB/pp class="2-2)_alternativa"1-2) A diagonal AG tem medida maior que a da diagonal BH /pp class="3-3)_alternativa"1-3) A medida do ngulo ACB igual soma das medidas dos ngulos AHB e HAC/pp class="4-4)_alternativa"1-4) Os ngulos AHB e CAB so congruentes se e somente se a medida de AB a mdia geomtrica das medidas de BH e BC./ppRESPOSTA: F F V F V/ppJustificativa: /pp class="0-0)_alternativa"0-0) Falso. Construa uma cpia do tringulo ABH no plano do tringulo ABC, mantendo AB fixado; temos que o ngulo ACB externo ao tringulo AHC e a medida de ACB maior que a de AHB. /pp class="1-1)_alternativa"1-1) Falso. Na construo de 0-0), AB lado comum dos tringulos ABC e ABH e a medida de BC menor que a de BH./pp class="2-2)_alternativa"1-2) Verdadeiro. Segue imediatamente do Teorema de Pitgoras e da desigualdade entre os lados./pp class="3-3)_alternativa"1-3) Falso. Basta fixar a base ABCD e escolher H de forma que o ngulo HAC seja de medida maior que a do ngulo ACB./pp class="4-4)_alternativa"1-4) Verdadeiro. As tangentes dos ngulos AHB e CAB valem, respectivamente, AB/BH e BC/AB e sero iguais se e somente se AB2 = BC.BH./ppSeja a medida do ngulo entre as faces de um tetraedro regular. Assinale div class="embedded" id="_1037231757"/p30cos/p

./pp/p

pRESPOSTA: 10/ppJustificativa:/ppA altura do tringulo equiltero de lado 1 div class="embedded" id="_1037721272"/p2/p

p//p

p3/p

e da 1 = 3/4+3/4-2.3/4.div class="embedded" id="_1037721347"/pa/p

pcos/p

e div class="embedded" id="_1037692717"/p3/p

p//p

p1/p

pcos/p

p=/p

pa/p

./pp class="1.questo"047. Em um exame a mdia aritmtica de todos os alunos foi 4,5, enquanto a mdia dos alunos aprovados foi 5,3 e a dos reprovados foi 3,9. Indique o inteiro mais prximo do percentual dos alunos reprovados./ppRESPOSTA: 57/ppJustificativa:/ppSejam a e r o nmero de alunos aprovados e reprovados, respectivamente. Temos que a soma de todas as notas igual a 4,5(a+r) e tambm igual a 5,3a+3,9r. Da, 0,6r = 0,8a ou a = 3r/4. O percentual de reprovados foi div class="embedded" id="_1037713473"/pr/p

p4/p

p//p

pr/p

p3/p

pr/p

p100/p

pr/p

pa/p

pr/p

p100/p

p+/p

p=/p

p+/p

= 400/7 = 57,1./pp class="1.questo"048. Seja div class="embedded" id="_1037224097"/pQ/p

p+/p

o conjunto dos nmeros racionais positivos e div class="embedded" id="_1037224140"/pN/p

p*/p

o conjunto dos inteiros positivos. Defina div class="embedded" id="_1037224156"/pN/p

p*/p

pQ/p

p/p

p+/p

p:/p

pf/p

por div class="embedded" id="_1037534257"/p1)/p

p(2b/p

p2/p

pf(a/b)/p

p1/p

pa/p

p-/p

p=/p

p-/p

para uma frao irredutvel div class="embedded" id="_1037224399"/p0/p

pa/p

p,/p

pb/p

pa/p

p/p

. Analise as afirmaes seguintes acerca de f:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) div class="embedded" id="_1037059790"/pf/p

sobrejetora /pp class="1-1)_alternativa"1-1) div class="embedded" id="_1037059794"/pf/p

injetora/pp class="2-2)_alternativa"1-2) div class="embedded" id="_1037059798"/pf/p

crescente/pp class="3-3)_alternativa"1-3) Se div class="embedded" id="_1037059815"/pN/p

p*/p

pa/p

p/p

ento div class="embedded" id="_1037552947"/p2/p

p1/p

pa/p

p)/p

pa/p

p(/p

pf/p

p-/p

p=/p

/pp class="4-4)_alternativa"1-4) Se div class="embedded" id="_1037059821"/pN/p

p*/p

pb/p

p/p

ento div class="embedded" id="_1037059825"/p1/p

pb/p

p2/p

p)/p

pb/p

p1/p

p(/p

pf/p

p-/p

p=/p

/ppRESPOSTA: V V F V V /ppJustificativa:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) Verdadeiro. Todo natural multiplicao de uma potncia de 2 por um mpar./pp class="1-1)_alternativa"1-1) Verdadeiro. A fatorao mencionada em 0-0) nica a menos da ordem dos fatores./pp class="2-2)_alternativa"1-2) Falso. f(1/2) = 31 = f(1)./pp class="3-3)_alternativa"1-3) Verdadeiro. Segue imediatamente da definio da funo com b = 1/pp class="4-4)_alternativa"1-4) Verdadeiro. Segue imediatamente da definio da funo com a = 1/pp class="1.questo"049. As bases ABC e A1B1C1 do slido div class="embedded" id="_1037223962"/pABC/p

A1B1C1 ilustrado a seguir so tringulos congruentes e esto em planos paralelos. A projeo ortogonal de A1B1C1 sobre o plano contendo ABC coincide com a rotao de div class="embedded" id="_1037059519"/p30/p

po/p

do tringulo ABC no sentido A-B-C que no move o centro de ABC. Todas as faces do slido so triangulares. Analise as seguintes afirmaes referentes a este slido: /pp/p

p class="0-0)_alternativa"0-0) O slido possui 12 arestas/pp class="1-1)_alternativa"1-1) O slido possui 8 faces/pp class="2-2)_alternativa"1-2) O slido no convexo /pp class="3-3)_alternativa"1-3) Os segmentos AC1, BA1 e CB1 no contm pontos do interior do slido/pp class="4-4)_alternativa"1-4) O slido no unio de tetraedros com vrtices nos vrtices do slido./ppRESPOSTA: V V V V V/ppJustificativa:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) Verdadeiro. As arestas so AC, AB, AB1, AA1, BC, BC1, BB1, CA1, CC1, A1B1,A1C1,B1C1./pp class="1-1)_alternativa"1-1) Verdadeiro. As faces do slido so ABC, ABB1, ACA1, AA1B1, BCC1, BB1C1, CA1C1,A1B1C1./pp class="2-2)_alternativa"1-2) Verdadeiro. O slido no fica inteiramente contido em nenhum dos semi-planos de qualquer plano contendo uma face diferente das bases ABC e A1B1C1./pp class="3-3)_alternativa"1-3) Verdadeiro. imediato da construo do slido./pp class="4-4)_alternativa"1-4) Verdadeiro. Um tetraedro com vrtices nos vrtices do slido ter um dos pares A, C1 ou B, A1 ou C, B1 como vrtices e os pares so extremos de segmentos sem ponto interior comum com o slido, portanto, este tetraedro no est contido no slido./pp class="1.questo"050. Na ilustrao abaixo, o quadrado ABCD de lado 13 dividido em dois tringulos retngulos (BFA e EAF) e dois trapzios (CHGF e EGHD) de forma que AE, BF, GE e HC medem 5. A seguir, recortamos estes polgonos e juntamos BFA com CHGF fazendo coincidir B com C e F com H obtendo o polgono com vrtices entre os pontos A, F, G e H (denotado por A-F-G-H). Analogamente, juntamos EAF e EGHD fazendo coincidir E com E e A com G obtendo um polgono contendo os pontos D, F, G e H (denotado por D-F-G-H). Analise as afirmaes seguintes referentes a estes polgonos: /pp/p

p class="0-0)_alternativa"0-0) A-F-G-H um tringulo retngulo /pp class="1-1)_alternativa"1-1) A, H e G esto no mesmo lado de A-F-G-H/pp class="2-2)_alternativa"1-2) Os polgonos A-F-G-H e D-F-G-H so congruentes/pp class="3-3)_alternativa"1-3) Fazendo coincidir no plano dos polgonos os vrtices A e G de A-F-G-H com os vrtices (respectivos) H e F de D-F-G-H obtemos um retngulo cuja rea a soma das reas de A-F-G-H e D-F-G-H /pp class="4-4)_alternativa"1-4) A rea de A-F-G-H 84./ppRESPOSTA: F F V F F/ppJustificativa:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) Falso. G,H e A no so colineares: AH tem inclinao 5/13 e GH tem inclinao 3/8 (relativas horizontal)./pp class="1-1)_alternativa"1-1) Falso. Pela mesma razo de 0-0)./pp class="2-2)_alternativa"1-2) Verdadeiro. Estes polgonos possuem lados e ngulos correspondentes congruentes./pp class="3-3)_alternativa"1-3) Falso. As reas de A-F-G-H e D-F-G-H so iguais e somam 13.13 = 169 enquanto a rea do retngulo 8.21 = 168./pp class="4-4)_alternativa"1-4) Falso. A rea de A-F-G-H 84,5/pp class="1.questo"051. Imagine os grficos das parbolas com equaes div class="embedded" id="_1037228827"/p0/p

pa/p

p /p

p1,/p

p2x/p

px/p

pa/p

py/p

p2/p

p/p

p+/p

p-/p

p=/p

esboados em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas. Os vrtices destas parbolas esto sobre uma reta de equao div class="embedded" id="_1037228700"/pn/p

pmx/p

py/p

p+/p

p=/p

. Assinale div class="embedded" id="_1037228685"/pn/p

pm/p

p2/p

p2/p

p+/p

./ppRESPOSTA: 2/ppJustificativa:/ppOs vrtices das parbolas so os pontos (1/a,1-1/a) que esto sobre a reta y = 1-x./pp class="1.questo"052. Seja ABCDEF um hexgono que tem seus pares de lados opostos AB e DE, BC e EF, CD e FA paralelos. Na ilustrao abaixo tambm so paralelos os segmentos AB e GC, BC e AI e CD e EH. Consideradas estas informaes, analise as afirmaes seguintes: /pp/p

p class="0-0)_alternativa"0-0) AIEF um paralelogramo/pp class="1-1)_alternativa"1-1) A rea de EHC igual rea de EDC/pp class="2-2)_alternativa"1-2) A medida de GH igual diferena das medidas dos lados AB e ED /pp class="3-3)_alternativa"1-3) Subtraindo-se a rea de GHI do dobro da rea de ACE obtm-se a rea de ABCDEF/pp class="4-4)_alternativa"1-4) ACE e BDF tm mesma rea/ppRESPOSTA: V V V V V/ppJustificativa:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) Verdadeiro. AI, EF so paralelos a BC e IE, FA so paralelos a CD./pp class="1-1)_alternativa"1-1) Verdadeiro. EDC e CHE so tringulos congruentes./pp class="2-2)_alternativa"1-2) Verdadeiro. Os lados opostos de paralelogramos so congruentes e GH = |GC-HC| = |AB-ED|./pp class="3-3)_alternativa"1-3) Verdadeiro. As reas de ABC, CDE e EFA so respectivamente iguais s reas de CGA, HEC, e AIE e da, a soma das reas de ABC, CDE e EFA igual rea de ACE subtrada da rea de GHI./pp class="4-4)_alternativa"1-4) Verdadeiro. Repetindo o argumento de 3-3) para o tringulo BDF./pp class="1.questo"053. Calcule as inclinaes das retas que passam por (5,0) e interceptam a elipse div class="embedded" id="_1037228905"/p1/p

p4/p

py/p

p9/p

px/p

p2/p

p2/p

p=/p

p+/p

em um nico ponto. Assinale a soma dos valores absolutos das inclinaes./ppRESPOSTA: 1/ppJustificativa: /ppAs retas passando por (5,0) tm equao y=m(x-5). As intersees da reta e da elipse tm abscissas que so razes de x2/9+(mx-5m)2/4 = 1 que se simplifica como (4+9m2)x2-90m2x+225m2-36=0. Como cada reta intercepta a elipse em um nico ponto temos que o discriminante da equao zero, da 2025m4-(4+9m2)(225m2-36) = 0 ou 576m2 - 144 = 0 ou m2 = 1/4 e m = (1/2./pp class="1.questo"054. Uma galeria de arte tem planta ilustrada a seguir. O interior da galeria deve ser monitorado por um sistema de vigilncia utilizando cmeras de vdeo. Cada cmera possui um dispositivo que permite monitorar toda a regio que lhe circunda. Qual o nmero mnimo de cmeras necessrias para monitorar a galeria?/pp class="analtico_1"/p

pRESPOSTA: 4/ppJustificativa:/ppCada retngulo transversal ao retngulo horizontal precisa de uma cmera de vdeo para ser monitorado./pp class="1.questo"055. Cinco candidatos a prefeito participam de um debate. De uma urna contendo os nomes dos cinco candidatos o organizador do debate sorteia um candidato que far uma pergunta e a seguir sorteia (de uma segunda urna tambm contendo os nomes dos candidatos) um candidato para responder a pergunta. Determine a probabilidade (percentual) de um mesmo candidato ser escolhido nos dois sorteios./ppRESPOSTA: 20/ppJustificativa:/ppO nmero de retiradas possveis 5.5 e o nmero de retiradas com o mesmo candidato 5. Logo a probabilidade percentual 100.5/(5.5)% = 20%. /pp class="1.questo"056. As cidades A,B e C esto situadas numa regio plana e a distncia entre A e B 4 km, a distncia entre A e C 10 km e o ngulo BAC mede div class="embedded" id="_1037229430"/p60/p

po/p

. Pretende-se construir uma escola num ponto da regio plana situado mesma distncia d km de A, B e C. Indique 3d2./pp/p

pRESPOSTA: 76/ppJustificativa:/ppSeja O o ponto eqidistante de A,B,C (circuncentro do tringulo) e div class="embedded" id="_1037690966"/pb/p

pa/p

p,/p

os ngulos BAO e OAC. Temos div class="embedded" id="_1037691028"/pd/p

p//p

p2/p

pcos/p

p=/p

pa/p

, div class="embedded" id="_1037714614"/pd/p

p//p

p5/p

pcos/p

p=/p

pb/p

e da /ppdiv class="embedded" id="_1037691149"/pd/p

p//p

p25/p

pd/p

psen/p

p,/p

pd/p

p//p

p4/p

pd/p

psen/p

p2/p

p2/p

p-/p

p=/p

pb/p

p-/p

p=/p

pa/p

/ppDe div class="embedded" id="_1037714638"/p0/p

p60/p

p=/p

pb/p

p-/p

pa/p

temos /ppdiv class="embedded" id="_1037714659"/p2/p

p//p

p1/p

pd/p

p//p

p25/p

pd/p

p4/p

pd/p

pd/p

p//p

p10/p

p2/p

p2/p

p2/p

p2/p

p=/p

p-/p

p-/p

p+/p

/pp(usando a frmula do cosseno da diferena). Simplificando, temos /ppdiv class="embedded" id="_1037691444"/p2/p

p2/p

p2/p

pd/p

p20/p

p25/p

pd/p

p4/p

pd/p

p2/p

p-/p

p=/p

p-/p

p-/p

/ppe quadrando fica (20 - d2)2 = 4(d2 - 4)(d2 - 25) ou 3d4 - 76d2 = 0 e 3d2 = 76./pp class="1.questo"057. Calcule as solues de div class="embedded" id="_1037553181"/p3/p

p1)/p

p5x/p

p6x/p

p(/p

p2/p

p1)/p

px/p

p6x/p

p(/p

p2/p

p2/p

p+/p

p-/p

p=/p

p-/p

p+/p

e assinale o triplo da menor raiz./ppRESPOSTA: 1/ppJustificativa:/ppFatorando, obtemos 6x2+x-1 = (2x+1)(3x-1) e 6x2-5x+1 = (3x-1)(2x-1). Logo, uma das razes da equao x = 1/3. Se xdiv class="embedded" id="_1037691636"/p/p

1/3 temos 22x+1 = 32x-1 ou (9/4)x = 6 e x = log9/46 que maior que 1/3./pp class="1.questo"058. O tringulo issceles ABC da figura a seguir retngulo em A. Se AB = 12, D e F so os pontos mdios respectivos dos lados AB e AC, assinale a rea do quadriltero ADEF. /pp/p

pRESPOSTA: 24/ppJustificativa:/pp class="corpo_de_texto_2"A rea de ADEF a diferena entre as reas de ABF e DBE. Construa perpendiculares a AB, AC por E que interceptam estes lados em G,H, respectivamente. Como os tringulos EHF e EGD so congruentes (dois ngulos congruentes e mesma hipotenusa j que DEB e FEC tambm so congruentes) temos EG = EH. Usando a semelhana de EGB e FAB, temos EG/6 = (12-EG)/12 e EG = 4. A rea de ADEF vale 12.6/2-6.4/2 = 24./pp class="1.questo"059. O tetraedro ABCD abaixo tem os ngulos ADB, ADC e CDB retos. Se os tringulos ADC, CDB e BDA tm reas 7, 4, 14 respectivamente, calcule o quadrado da rea do tringulo ABC e marque a soma dos seus dgitos. /pp/p

pRESPOSTA: 9/ppJustificativa:/ppSejam a,b e c as medidas respectivas de AD,BD e CD.Temos ab = 28, bc = 8 e ac = 14/ppe segue que (abc)2 = 82.72 e abc = 8.7. Portanto a = 7, b = 4, c = 2 e AB = div class="embedded" id="_1037691937"/p65/p

, AC = div class="embedded" id="_1037691975"/p53/p

, BC = 2div class="embedded" id="_1037890343"/p5/p

. Temos 65 = 53+20-2.2. div class="embedded" id="_1037715585"/p5/p

p./p

p53/p

cosdiv class="embedded" id="_1037692058"/pq/p

e div class="embedded" id="_1037715598"/p265/p

p//p

p2/p

pcos/p

p=/p

pq/p

onde div class="embedded" id="_1037692058"/pq/p

o ngulo ACB. Temos div class="embedded" id="_1037715614"/p265/p

p//p

p261/p

psen/p

p=/p

pq/p

e a rea de ABC AC.BC.div class="embedded" id="_1037715638"/p261/p

p2/p

p//p

psen/p

p=/p

pq/p

./pp class="1.questo"060. A mquina X executa certo servio em 5h. Trabalhando em conjunto com a mquina Y o mesmo servio executado em 3h. Quantos minutos alm de 7 horas so necessrios para a mquina Y, trabalhando sozinha, executar este servio? /ppRESPOSTA: 30/ppJustificativa:/ppEm uma hora a mquina X executa 1/5 do servio e as duas juntas executam 1/3 do servio. Portanto, em uma hora, a mquina Y executa 1/3-1/5 = 2/15 do servio e todo o servio em 15/2h = 7,5h = 7h30min./pp class="1.questo"061. Um satlite encontra-se em rbita estacionria da terra a uma altura de 260 km. Este emite sinais utilizando raios laser (que navegam em linha reta). Sendo d km a distncia mxima entre duas estaes terrestres que podem receber sinais do satlite, determine a soma dos dgitos de 10d. Suponha que a superfcie terrestre perfeitamente esfrica e utilize as seguintes aproximaes: /ppDados: raio da terra div class="embedded" id="_1037553811"/p@/p

6240 km, cos (0,27) div class="embedded" id="_1037553830"/p@/p

0,96/ppRESPOSTA: 27/ppJustificativa:/pp class="corpo_de_texto_2"Suponha que o satlite ocupe a posio O e que as estaes estejam nos pontos P e Q. Como a distncia de P a Q mxima, o plano contendo O,P e Q intercepta a superfcie da Terra em uma circunferncia de raio mximo e as retas passando por O e P e por O e Q so tangentes circunferncia. Se C o centro da Terra, temos que o cosseno do ngulo PCO vale 6240/(6240+260) = 0,96 e, portanto, PCO mede 0,27 radianos. O ngulo PCQ mede 2 x 0,27 = 0,54 radianos. A distncia de P a Q na superfcie da Terra ser d = 0,54 x 6240 = 3369,6 quilmetros. /pp class="1.questo"062. Um sanduche constitudo de 50% de po, 30% de salada e 20% de atum. Se o po aumentar 20%, a salada diminuir 20% e o atum aumentar 15%, qual ser o aumento percentual do preo de custo do sanduche ?/ppRESPOSTA: 7/ppJustificativa:/ppO aumento percentual do custo do sanduche ser de (0,2.50-0,2.30+0,15.20)% = (10-6+3)% = 7%./pp class="1.questo"063. Um paraleleppedo reto retngulo tem rea total da superfcie 22 e diagonal div class="embedded" id="_1037061524"/p14/p

. Qual a soma das arestas do paraleleppedo?/ppRESPOSTA: 24/ppJustificativa:/ppSejam a,b,c as dimenses do paraleleppedo. Temos 2ab+2ac+2bc = 22 e a2+b2+c2 = 14. Segue que (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=14+22 = 36 e a+b+c = 6. A soma das arestas do paraleleppedo 4.6 = 24. /pp class="1.questo"064. Seja f: R ( R uma funo tal que f(tx) = t2 f(x) para todos os nmeros reais t e x. Analise as afirmaes abaixo:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) f uma funo par/pp class="1-1)_alternativa"1-1) div class="embedded" id="_1036340001"/p0/p

p)/p

px/p

p(/p

pf/p

p/p

para todo nmero real x./pp class="2-2)_alternativa"1-2) ou f a funo nula, ou f no limitada/pp class="3-3)_alternativa"1-3) f(0) = 0/pp class="4-4)_alternativa"1-4) se f impar, ento f a funo nula/ppRESPOSTA: V F V V V/ppJustificativa:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) Verdadeiro. Fazendo x = 1 obtemos f(t) = t2f(1) que uma funo par./pp class="1-1)_alternativa"1-1) Falso. Escolha f(1) < 0./pp class="2-2)_alternativa"1-2) Verdadeiro. Se f no a funo nula ento |f(t)| = t2|f(1)| , f(1)div class="embedded" id="_1037711124"/p/p

0 que no limitada para t real./pp class="3-3)_alternativa"1-3) Verdadeiro. f(0) = 02f(1) = 0/pp class="4-4)_alternativa"1-4) Verdadeiro. Se f(-t) = -f(t) ento t2 f(1)= - t2 f(1) e da f(1) = 0 forando f(t) = 0 para todo t real./pp class="1.questo"065. Um modelo para o crescimento da AIDS a partir da dcada de 80 nos EUA foi o seguinte: o nmero de infectados com o vrus na data x, div class="embedded" id="_1037229016"/pR(x)/p

, dado por div class="embedded" id="_1037229031"/p274/p

p1981)/p

p(x/p

p3/p

p187/p

pR(x)/p

p-/p

p-/p

p=/p

para div class="embedded" id="_1037229043"/p1983/p

px/p

p/p

/ppAnalise as afirmaes seguintes, referentes a este modelo:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) div class="embedded" id="_1037229061"/p)/p

px/p

p(/p

pR/p

uma funo crescente de x/pp class="1-1)_alternativa"1-1) O grfico de div class="embedded" id="_1037229066"/p)/p

px/p

p(/p

pR/p

em termos da data x est ilustrado na figura abaixo:/pp/p

p class="2-2)_alternativa"1-2) Se o modelo for vlido em 2001, o nmero de infectados nesta data nos EUA ser superior a div class="embedded" id="_1036859381"/p10/p

p6/p

pessoas/pp class="3-3)_alternativa"1-3) O nmero de infectados nos EUA em 1996 era inferior a 500.000 pessoas/pp class="4-4)_alternativa"1-4) Entre 1990 e 1994, mais de 100.000 pessoas foram contaminadas pelo vrus nos EUA. /ppRESPOSTA: V V V F V/ppJustificativa:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) Verdadeiro. A funo f(x) = x3 crescente seguindo que 187.f ( x-1981)-274 tambm crescente./pp class="1-1)_alternativa"1-1) Verdadeiro. Bastando comprovar a ordem de grandeza de R em alguns anos x./pp class="2-2)_alternativa"1-2) Verdadeiro. R(2001) = 187.203-274 div class="embedded" id="_1037709000"/p@/p

1,5.106./pp class="3-3)_alternativa"1-3) Falso. R(1996) = 187.153-274 div class="embedded" id="_1037709072"/p@/p

6,3.105. /pp class="4-4)_alternativa"1-4) Verdadeiro. R(1994)-R(1990) = 187(133-93)div class="embedded" id="_1037709112"/p@/p

2,7.105./pp class="1.questo"066. Qual o inteiro mais prximo do volume do slido obtido pela rotao de um tringulo equiltero de lado 5 em torno de um eixo contendo um dos lados do tringulo (veja a ilustrao a seguir). /pp/p

pRESPOSTA: 98/ppJustificativa:/ppO volume o dobro do volume de um cone de raio da base div class="embedded" id="_1037709230"/p2/p

p//p

p3/p

p5/p

e altura 5/2, portanto, vale 2.1/3. div class="embedded" id="_1037709369"/p2/p

p)/p

p2/p

p//p

p3/p

p5/p

p(/p

.5/2 = 125/4 div class="embedded" id="_1037709368"/p@/p

98,12. /ppUm fio de 20m de comprimento ser dividido em duas partes que sero usadas como permetros de um quadrado e de uma crculo. Se a soma das reas do quadrado e do crculo assim construdos deve ser a menor possvel, assinale o inteiro mais prximo da rea (em metros quadrados) do quadrado./ppRESPOSTA: 8/ppJustificativa:/ppSeja x o lado do quadrado, a circunferncia ter raio (20-4x)/(2) = (10-2x)/ e a soma das reas ser x2+(10-2x)2/= [(+4)x2-40x+100]/ e ser mnima para x = 20/(+4) div class="embedded" id="_1037709540"/p@/p

2,80. A rea do quadrado vale 2,82 = 7,84. /ppO tringulo ABC tem coordenadas nos pontos A = (1,0), B = (-1,0) e C = (6,9) de um sistema de coordenadas cartesianas no plano. Determine as coordenadas do ponto P = (x,y) do plano tal que a soma dos quadrados das distncias de P a A, B e C seja a menor possvel. Assinale x+y./ppRESPOSTA: 5/ppJustificativa:/ppA soma dos quadrados das distncias de P a A,B,C (x-1)2+y2+(x+1)2+y2+(x-6)2+(y-9)2 = 3x2-12x+3y2-18y+119 Completando quadrados, obtemos 3(x-2)2+3(y-3)2+80 que assume valor mnimo para x = 2, y = 3. /pp class="1.questo"067. Esto esboados abaixo os tringulos equilteros ABC, CDE e EFG que tm os lados AC, CE e EG na mesma reta. Os lados de ABC e CDE medem 5 e 3, respectivamente, e o ngulo BDF mede 1200. Indique o dobro do permetro de EFG. /pp/p

pRESPOSTA: 45/ppJustificativa:/ppUsando a lei dos cossenos, calcularemos BD,DF e BF em termos de x = EF. Temos BD2 =52+32-5.3 = 19, FD2 = 9+x2-3x e estendendo BC e FE at se encontrarem em G, temos que CGE equiltero e BF2 = 82+(3+x)2-8(3+x) = 49-2x+x2. No tringulo BDF temos BF2 = BD2+DF2+BD.DF e substituindo fica 49-2x+x2 = 19+9+x2-3x+BD.DF. Simplificando e quadrando, temos: (21+x)2=19(9+x2-3x) ou 2x2-11x-30 = 0 que tem razes x = (11 div class="embedded" id="_1037711728"/p/p

19)/4 e o valor positivo 7,5./pp class="1.questo"068. Na figura a seguir, a semicircunferncia tem raio 2 e centro no ponto (2,0), A = (0,1) e o segmento AB tangente semicircunferncia em B. Assinale div class="embedded" id="_1037716492"/p2/p

pAB/p

p10/p

, onde div class="embedded" id="_1037229649"/pAB/p

a medida de AB./pp class="analtico_1"/p

pRESPOSTA: 10/ppJustificativa:/ppSeja O a origem do sistema de coordenadas e C o centro da semicircunferncia. Temos que os tringulos ABC e AOC so congruentes. Segue que AB2 = AO2 =1./pp class="1.questo"069. A figura seguinte ilustra um hexgono regular ABCDEF com centro no ponto O e lado medindo 4 e um tringulo equiltero OGH tendo lado medindo 8 que intercepta o hexgono nos pontos I e J. Assinale o inteiro mais prximo da rea de OJCI./pp/p

pRESPOSTA: 7/ppJustificativa:/ppOs tringulos OIB e OJC so congruentes, pois tm OB e OC congruentes, os ngulos OBI e OCJ medem 60 graus e os ngulos BOI e COJ medem 600 - (medida de IOC). A rea de OICJ igual a de OBC que vale 42div class="embedded" id="_1037711966"/p@/p

p4/p

p//p

p3/p

6,93. /pp class="ttulo_2"MATEMTICA - 3/pp class="1.questo"070. Estima-se que no final deste ano o nmero de brasileiros usando a Internet pelo telefone seja de 700.000 e que este nmero saltar para 22.400.000, no final de 2005. Supondo constante o crescimento percentual anual do nmero de brasileiros usando a Internet pelo telefone, calcule o valor deste percentual e indique a soma de seus dgitos. /ppResposta: 1/ppJustificativa/ppSe i a taxa de crescimento anual, temos 700000(1+i/100)5 = 22400000 e da (1+i/100)5 = 32 ou i = 100. /pp class="1.questo"071. Entre 1996 e 2000, os planos de sade aumentaram suas mensalidades em 92,8%. No mesmo perodo, os custos destas empresas com consultas aumentaram 28%, com hospitais aumentaram 15%, com exames diminuram 4% e os demais custos no sofreram nenhuma variao. Suponha que 40% dos custos destas empresas so com consultas, 20% com hospitais e 10% com exames. Assinale a diferena entre o aumento percentual das mensalidades dos planos de sade e o aumento percentual dos custos destas empresas neste perodo./ppResposta: 79/ppJustificativa/ppO aumento percentual dos custos da empresa foi de 0,28x40+0,15x20-0,04x10 = 11,2+3-0,4 = 13,8 e a diferena /pp92,8-13,8 = 79./pp class="1.questo"072. A figura abaixo ilustra parte do grfico de um polinmio p(x) de grau 4, com coeficientes reais e que passa pelos pontos div class="embedded" id="_1036892606"/p)/p

p0/p

p,/p

p3/p

p(/p

, div class="embedded" id="_1036892675"/p)/p

p0/p

p,/p

p3/p

p(/p

p-/p

, (0,9), div class="embedded" id="_1036892843"/p)/p

p1/p

p,/p

p2/p

p(/p

p-/p

p-/p

e (1, 2). /pp/p

pConsideradas estas informaes, analise as afirmaes seguintes:/pp class="0-0)_alternativa"0-0) p(x) divisvel por div class="embedded" id="_1036495491"/p3/p

px/p

p2/p

p-/p

/pp class="1-1)_alternativa"1-1) p(x) possui exatamente trs razes reais/pp class="2-2)_alternativa"1-2) p(x) = (div class="embedded" id="_1036861662"/p3/p

px/p

p2/p

p-/p

)div class="embedded" id="_1036495502"/p)/p

p3/p

px/p

p3/p

px/p

p2/p

p(/p

p2/p

p-/p

p+/p

/pp class="3-3)_alternativa"1-3) p(x) < 10 para todo x real/pp class="4-4)_alternativa"1-4) Existe x < -3 tal que p(x) < 0/ppResposta: V F F F F/pp class="analtico_1"Justificativa/pp class="0-0)_alternativa"0-0) Verdadeiro. Como o polinmio tem razes div class="embedded" id="_1037621101"/p3/p

p/p

ele divisvel por (x+div class="embedded" id="_1036908039"/p3/p

)(x-div class="embedded" id="_1036908052"/p3/p

) = x2 -3. /pp class="1-1)_alternativa"1-1) Falso. Sabemos de 0-0) que p(x) = (x2-3)(ax2+bx+c) com a,b,c reais; como 9 = p(0) = -3c temos c = -3 e de /pp class="1-1)_alternativa"1 = p(-2) = 4a-2b-3 obtemos 2a-b = 1. Segue de 2 = p(1) = -2(a+b-3) que a+b=2. Somando as equaes/pp class="1-1)_alternativa"obtemos a = 1 e b = 1 e p(x) = (x2-3)(x2+x-3). Portanto, p(x) possui 4 razes reais./pp class="2-2)_alternativa"1-2) Falso. p(x)=(x2-3)(x2+x-3)./pp class="3-3)_alternativa"1-3) Falso. Se x>3 temos p(x)>54.

1-4) Falso. Se x18.

073. Enfileirando-se aleatoriamente sete crianas de idades diferentes, qual a probabilidade (P) de que cada uma das trs crianas com idades menores fique intercalada entre duas das quatro crianas de idades maiores? Marque 35P.

Resposta: 1

Justificativa

O nmero de enfileiramentos com as trs crianas menores entre as quatro maiores 3!4! e o nmero total de enfileiramentos 7!. Logo P = 3!4!/7! = 3.2/(7.6.5) = 1/35 e 35P = 1.

074. Na ilustrao abaixo, AEFC um quadrado e os retngulos ABDC, EBHG e HDFG so semelhantes (isto , AB/AC = EB/EG = HD/HG). Suponha que AC mede 1 e denote as medidas de CD e HD por x e y, respectivamente.

Supondo estas condies, analise as afirmaes seguintes:

0-0)

1

xy

=

1-1)

0

1

x

x

3

=

-

-

EMBED Equation.3

1-2)

0

1

y

y

3

=

+

-

1-3) x e y so racionais

1-4) 1 < x < 2

Resposta: V F F F V

Justificativa

0-0) Verdadeiro. Da semelhana entre ABDC e EBHG temos x/(x-1) = 1/(1-y) que o mesmo que xy = 1.

1-1) Falso. Da semelhana entre ABDC e HDFG temos x/y = 1/(1-x) ou x2 = 1/(1-x) e da x3-x2-1=0.

1-2) Falso. Substituindo xy=1 na equao satisfeita por x obtemos y3+y-1=0.

1-3) Falso.

1 so os candidatos a razes racionais das equaes e no satisfazem s equaes.

1-4) Verdadeiro. Se x

2 temos x3 x2 1=x2(x-1)-1

3.

Suponha que uma calculadora esteja defeituosa e s consiga calcular soma, diferena e inverso multiplicativo de nmeros no nulos. Ou seja, dados x, y e z pode-se calcular x y, x y e 1/z (para z

0). Analise as afirmaes seguintes, na ordem que esto apresentadas, sobre clculos que podem ser executados com esta calculadora.

0-0) Pode-se calcular a metade de um nmero dado x

0, pois

2

x

x

1

x

1

1

=

+

1-1) Para

1

x

pode-se calcular

x

2

usando que

x

1

1

x

1

1

x

1

2

2

=

+

+

-

-

1-2) Se x

EMBED Equation.3

y e x

y

EMBED Equation.3

2 ento pode-se calcular

xy

usando que

(

)

(

)

xy

2

y

x

2

y

x

2

2

=

-

-

+

1-3) Se x

y

EMBED Equation.3

2 pode-se calcular

xy

usando que

xy

2

y

x

1

2

y

x

1

1

2

y

x

1

2

y

x

1

1

=

+

-

-

-

-

-

+

+

-

-

+

4-4) No possvel calcular

x

3

para

2

x

>

dado.

Resposta: V V V V F

Justificativa

0-0) Verdadeiro. Basta verificar a identidade apresentada.

1-1) Verdadeiro. Segue de 0-0) e da verificao da identidade apresentada.

1-2) Verdadeiro. conseqncia da veracidade de 0-0), 1-1) e da verificao da identidade apresentada.

1-3) Verdadeiro. Basta verificar a identidade apresentada.

1-4) Falso. Podemos calcular x3 =x2 .x para x>2 usando 2-2) ou 3-3).

075. Estude as afirmaes a seguir, referentes s razes complexas

b

a

,

de

0

1

x

5

=

-

:

0-0)

b

a

raiz de

0

1

x

5

=

-

1-1) Se

1

a

ento

0

1

1

1

2

=

-

a

+

a

+

a

+

a

1-2)

=

a

=

a

-

4

1

EMBED Equation.3

a

onde

a

o conjugado de

a

1-3) Se

1

a

ento

2

5

1

1

+

-

=

a

+

a

ou

2

5

1

1

-

-

=

a

+

a

1-4) No plano de Argand-Gauss, as razes de

0

1

x

5

=

-

formam um pentgono regular com diagonal medindo

2

5

5

+

.

Resposta: V V V V V

Justificativa

0-0) Verdadeiro. (

a

/

b

)5 =

5

a

/

5

b

= 1

1-1) Verdadeiro. De

5

a

=1 obtemos (

a

-1)(

4

a

+

3

a

+

2

a

+

a

+1) = 0 e como

a

1 segue que

4

a

+

3

a

+

2

a

+

a

+1 = 0. Dividindo esta igualdade por

2

a

e completando os quadrados obtemos (

a

+1/

a

)2+(

a

+1/

a

)-1 = 0.

1-2) Verdadeiro. |

a

|5 = 1 e da |

a

| = 1. Portanto

a

=

1

-

a

=

4

a

.

1-3) Verdadeiro. Segue imediatamente de 1-1) resolvendo a equao quadrtica em

a

+1/

a

.

1-4) Verdadeiro. O quadrado da diagonal (

2

a

-1)(

2

-

a

-1)=2-

2

a

-

2

-

a

= 4-(

a

+1/

a

)2 = 4-(3-

5

)/2 = (5+

5

)/2.

076. Para cada inteiro n

0, seja Sn uma esfera de raio 1/2n . Estas esferas tm centros colineares e esto localizadas da seguinte forma:

S1 tangencia internamente S0

S2 tangencia externamente S1 e est no interior de S0

Sn tangencia externamente Sn-1 e no intercepta Sn-2 para todo n > 2

Consideradas estas condies, analise as afirmaes seguintes:

0-0) Sn

S0 para todo n > 0

1-1) A soma dos dimetros das esferas Sn para todo n > 0 2

1-2) A soma das reas das superfcies das esferas Sn para todo n > 0 um tero da rea da superfcie S0

1-3) A soma dos volumes das esferas Sn para todo n > 0 um stimo do volume de S0

1-4) O volume da regio contida em S0 e exterior a todas as esferas Sn para todo

n > 0

3

8

p

.

Resposta: V V V V F

Justificativa

0-0) Verdadeiro. A soma dos dimetros das esferas Sn para n>0 vale 1+1/2+...+1/2n+...=1/(1-1/2) = 2 e portanto todas elas esto contidas em S0.

1-1) Verdadeiro. Pela mesma justificativa apresentada em 0-0).

Verdadeiro. A soma das reas das superfcies 4

p

(1/4 + 1/16 + ... +1/22n + ...) = 4(1/4)/(1-1/4) = 4/3.

1-3) Verdadeiro. A soma dos volumes das esferas Sn para n > 0

4/3(1/8+1/64+...+1/23n+...) = 4/3.(1/8)/(1-1/8)=4/3.1/7.

1-4) Falso. O volume de S0 no ocupado pelas Sn 4/3-4/3.1/7=8/7.

Um mtodo para enviar mensagens codificadas e de difcil decifrao o seguinte. A cada letra do alfabeto associa-se um nmero, como na tabela abaixo.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

Para codificar uma palavra de seis letras, dividimos a palavra em dois grupos de trs letras, preservando a ordem, e substitumos as letras pelos nmeros correspondentes na tabela, obtendo uma matriz 3

1 para cada grupo. Em seguida, multiplicamos esta matriz pela matriz seguinte

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Finalmente, substitumos os inteiros da matriz obtida pelas letras correspondentes na tabela e esta a codificao do grupo de trs letras. Por exemplo, se o grupo ordenado de letras for BEM temos que a matriz correspondente

13

5

2

que, quando multiplicada pela matriz acima, resulta

7

15

20

que corresponde codificao TOG.

Suponha que a codificao de certa palavra foi ZUWTNO. Encontre a palavra original e indique a soma dos valores correspondentes a cada uma das letras da palavra original na tabela acima.

Resposta: 46

Justificativa

A matriz dada tem determinante -1+1-1 = -1 (desenvolvendo pela primeira linha) e sua inversa dada por

-

-

-

1

0

1

0

1

1

1

1

1

.

As matrizes 3x1, correspondentes a ZUWTNO, so

23

21

26

e

15

14

20

que se originam de

3

5

18

e

5

6

9

que correspondem aos dois grupos da palavra RECIFE. A resposta 18+5+3+9+6+5=46.

077. Os pontos mdios dos segmentos com extremos nas intersees de cada uma das retas de equao y = 3x+k com a elipse x2/4 + y2/9 = 1 esto sobre a reta de equao ax+by = c com a,b inteiros primos entre si. Assinale |a|+|b|.

Resposta: 7

Justificativa

As intersees da reta com a elipse tm abscissas que so as razes de 9x2+4(3x+k)2 = 36 e a soma das razes -24k/45 = -8k/15. Logo, o ponto mdio da interseo tem abscissa -4k/15 e ordenada 3(-4k/15)+k=k/5 e est na reta y = -3x/4.

078. Seja x a medida em radianos de um ngulo satisfazendo 0 < x < 2, como indicado na ilustrao abaixo:

Considerando as reas das diferentes regies da figura, analise as afirmaes seguintes:

sen x < x < tg x

1-1)

x

x

cos

1

x

sen

x

cos

1

2

2