人工呼吸器演習：F-Vループの実験

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EXCELを用いた積分計算 ここでは、EXCELによる数値計算で積分計算を行う方法を学びます。

例として、等加速度運動で、物体が動き始めてから止まるまでの間に移動した距離を求める場合を考えます。 以下のようなモデルを考えます。 ・ 加速度は、0～10秒は 1m/sec2、10～20秒では 0 m/sec2、20～30秒では－1m/sec2とします。 ・ 数値計算では、0.01秒刻みで値を求めることにします。 このモデルでは、10 秒間に速度は 0m/sec から 10m/sec まで加速し、10～20 秒の間は10m/secの等速運動を行います。20～30秒の間では減速して、30秒後には静止します。この物体の移動の様子をグラフにすると、下の図１のようになります。 計算上は、この 30秒の間に物体は 200m移動することになります。

図図図図 1111 移動する物体の速度と距離（加速度が２回変化する場合）移動する物体の速度と距離（加速度が２回変化する場合）移動する物体の速度と距離（加速度が２回変化する場合）移動する物体の速度と距離（加速度が２回変化する場合）

この問題を、データだけから解く場合にはどうしたらいいでしょうか。 距離は速度の時間積分で表すことができます。速度を v(t)、距離を r(t)とすると、

∫ +=

t

rdvtr0

0)()( ττ で表すことができます。但し、r0は時刻 0秒での距離（初期位置）とします。 ここで、積分とはどんな計算か考えてみます。 速度とは、「単位時間あたりの移動距離」のことです。１時間に 40km移動する速度が「時速 40km」=40km/h です。１秒間に 10m 移動する速度は、10m/s（秒速 10m）。つまり、

0

2

4

6

8

10

12

0

50

100

150

200

250

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

距離(m)速度(m/sec)

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秒速 10mで１秒間経過すると 10m移動します。２秒なら 10×2=20で 20mです。 これは、「縦軸に速度、横軸に時間」をとった時に、グラフの面積として表すことができます。 加速し始めの「速度」と「距離」をグラフで表してみましょう。

図図図図 2222 移動し始めの速度と距離移動し始めの速度と距離移動し始めの速度と距離移動し始めの速度と距離 図２のグラフで、縦軸（左側の目盛）は速度、青い線は距離です。0 秒から 0.01 秒の間の速度は 0m/s（静止状態）とすると、移動距離は 0です。次に 0.01秒から 0.02秒の間を見ると、加速度が 1m/sec2ですから、速度は 0.01m/sに上昇します。このほんのわずかの時間（0.01秒間）に、速度 0.01m/sを掛けると、0.01(s)×0.01(m/s)で、0.0001m（0.1mm）だけ移動することがわかります。次の 0.02秒～0.03秒を見てみると、速度は 0.02m/sから始まりますから、次の 0.01 秒間の移動距離は、0.02×0.01=0.0002m 移動していることがわかります。最初の 0.01 秒で 0.0001m 移動していますから、合計の移動距離は0.0001+0.0002=0.0003mになります。 積分計算というのは、実は掛け算と足し算の繰り返しのことだと考えて下さい。

図図図図 3333 加速度が加速度が加速度が加速度が 0000 に切り替わる周辺の速度と距離に切り替わる周辺の速度と距離に切り替わる周辺の速度と距離に切り替わる周辺の速度と距離

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

00.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

速度と距離のディジタル計算速度と距離のディジタル計算速度と距離のディジタル計算速度と距離のディジタル計算

速度(m/sec)距離(m)

48

48.5

49

49.5

50

50.5

51

51.5

9.85

9.9

9.95

10

10.05

加速度が加速度が加速度が加速度が0000に切り替わる周辺に切り替わる周辺に切り替わる周辺に切り替わる周辺

速度(m/s)距離(m)

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10 秒経過後に、加速度は 0 になります。つまり「速度が変化しない」状態になります。ここでのグラフは図 3 のようになります。速度の変化はなくなりますが、既に秒速 10m (10m/s)まで加速していますから、距離はどんどんと広がり続けます。9.9秒から 10.1秒までの 0.2秒の間に、約 2m移動しています。距離は、直前の時刻での「移動距離」に、次の0.01秒間の移動距離（つまり、長方形の面積）を加算したものになります。

この状況を EXCEL ではどのように入力したらいいでしょうか。上の図 1~図 3 のグラフは、図４のようなやり方で作成しました。 まず、時間軸では、0 秒～30 秒までの値を 0.01 秒刻みで作成します。先頭行、A3~C3のセルには全て 0を入力しておきます。（時刻 0で、初速は 0、距離も 0です。）

図図図図 4444 セルへの式の入力セルへの式の入力セルへの式の入力セルへの式の入力 ここでは、最初に A4～C4にそれぞれの数式を入力します。A4のセルには[=A3+0.01]、B4のセルには[=A4*1]、C4のセルには[C3+B4*0.01]と入力します。

EXCELでは、コピーを行った時に相対的な位置関係で式の内容を適切に書き換えてくれるので、A4のセルでは「一つ上のセル(A3)の値に 0.01秒を加える」という式が、B4のセルでは「一つ左のセル(A4)の値[s]に１(m/s2)を掛ける」という式が、C4 のセルでは「一つ上のセル(C3)の値[m]に、一つ左のセル(B4)の値[m/s]に 0.01(s)を掛ける」という内容でコピーされます。まず、A4 のセルでマウスをクリックし、C4 のセルまで移動してからマウスを離し、三つのセルを選びます。 ここで、EXCEL のリボンで「コピー」を選ぶか、または、Ctrl+C を押して「コピーモード」にします。次に、A5のセルを左クリックしてから、[Shift]キーを押しながら[Page Down]キーを連続的に押します（コピー先の範囲選択）。起点は A3のセルなので、A1003のセルまで一気に範囲を広げます。（Page Downを押しっぱなしにすると良い。行きすぎた場合は、上向きの矢印キー[↑]や下向きの矢印キー[↓]、または[Page Up]キーなどで Shiftを押し続

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けたまま範囲を調整します。

A5のセルから A1003までが選択された状態になったら、Ctrl+V を押すか、または「貼り付け」ボタンを押します。ここで、画面をスクロールして A1003行の周辺のセルの状態を確認します。 なお、連続しているセルで、カーソルを一気に移動する場合には[Ctrl]キーを押しながら上下左右のキーを押して下さい。例えば、A3 のセルから[Ctrl+下向き↓]キーを押すと、値が入っているセルを一気に辿って、値が途切れるところまで移動します。

A1003のセルの値、B1003のセルの値が 10になっていれば OKです。

次に、B1003のセルの値を数式ではなく「値」として 10に切り替えます。等速運動の部分では、時刻に関係なく速度は 10m/sです。

図図図図 6666 B1003B1003B1003B1003 のセルの値をのセルの値をのセルの値をのセルの値を 10101010 に書き換えるに書き換えるに書き換えるに書き換える こうしておいてから、A1003～C1003のセルを選択し、A1004～C2003行目までコピーします。操作方法は、A1003まで操作した時と同じです。 まず、A1003～C1003 のセルを選択し、Ctrl+Cを押すか、または「コピー」ボタンをクリックして「コピー」モードにします。次に、まず A1004のセルをクリックしてから[Shift+PageDown]ボタンを押してコピー先の範囲を入力します。A2003 行目までが「選択」されたなら、そこでCtrl+V を押すか、または「貼り付け」ボタンをクリックします。 うまく貼り付けが成功すると図 7 のような画面になります。

図図図図 7777 A2003A2003A2003A2003 行目までのコピーを確認する行目までのコピーを確認する行目までのコピーを確認する行目までのコピーを確認する

図図図図 5555 C1003C1003C1003C1003 のセルの式を確認のセルの式を確認のセルの式を確認のセルの式を確認

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引き続き、最後まで入力しましょう。最終段階では速度が 10m/s で一定だったところから、減速し-1m/s2 の加速度で減少し（つまり、１秒間に 1m/sずつ遅くなり、）最終的に速度がゼロ（つまり停止）するところまでの変化を入力します。図 7 に示した部分です。

時刻から速度を求める式は、直線の傾きが変わるために変更になります。B2003 のセルの数式を以下のように書き換えます。

=30-A2003 式の意味は、直線の傾きは-1 で、それに時刻(一つ左のセルの値)を掛け（-A2003）、y 切片である 30を加える、というもので、時刻から速度を求める直線を表す一次関数の式です。 図図図図 9999 B2003B2003B2003B2003 の式の入力の式の入力の式の入力の式の入力 ここで、B2003の式を書き替えたら、A2003～C2003の式を、A3003から C3003までコピーします。やり方は、A2003～C2003までのセルに式をコピーした時と同じです。 操作方法は書きませんので、上の説明をよく読んで、（セルを読み替えて）自分で工夫して下さい。コピーがうまくできると、30秒後に速度がほぼゼロとなり、移動距離が 200m となる以下のようなセルの値になっているはずです。

図図図図 10101010 3003300330033003 行目までのコピーの確認行目までのコピーの確認行目までのコピーの確認行目までのコピーの確認

図図図図 8888 最後の「減速部分」の設定最後の「減速部分」の設定最後の「減速部分」の設定最後の「減速部分」の設定

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図 10で見ると、B3003のセルがゼロになっていません。これは計算誤差で、表示されている値は-1.9×10-12という値の浮動小数点表示です。

この計算結果をグラフにしてみましょう。

C3003のセルをクリックします。

図図図図 11111111 範囲選択の起点の選択範囲選択の起点の選択範囲選択の起点の選択範囲選択の起点の選択

ここで、[Shift]キーと[Ctrl]キーの両方を押しながら上向き矢印（↑）キーを押すと、カーソルは一気に上にジャンプし、以下のような画面になります。

図図図図 12121212 範囲を一気に上まで選択する範囲を一気に上まで選択する範囲を一気に上まで選択する範囲を一気に上まで選択する

[Shift]キーを押しながらの移動は「範囲を選択する」という意味があり、[Ctrl]キーを押しながらの移動には「連続するセルを一気にジャンプする」という意味があるため、数式などが書き込まれたセルを一気に上に辿り、画面の一番上まで移動したのです。 ここで、[Shift]キーだけ押しながらカーソルを左に２回（←）、下に２回（↓）移動させると以下のような画面になります。

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この画面では、A3～C3003までのセルが選択されていることがわかります。この範囲のセルの値でグラフを作ります。

挿入 の 「折れ 線グ ラフ 」 を 選 び ま す。EXCEL2003を使っている人は、「グラフ」から「折れ線」を選んでください。

図図図図 14141414 グラフの種類「折れ線」を選ぶグラフの種類「折れ線」を選ぶグラフの種類「折れ線」を選ぶグラフの種類「折れ線」を選ぶ すると、以下のような表示になります。

図図図図 15151515 最初に自動で表示されたグラフ最初に自動で表示されたグラフ最初に自動で表示されたグラフ最初に自動で表示されたグラフ これで、計算そのものはうまくいっていることが確認できますが、グラフの表示がきれいではないので、少しグラフを整えましょう。

図図図図 13131313 グラフにする範囲の選択。グラフにする範囲の選択。グラフにする範囲の選択。グラフにする範囲の選択。

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まず、タイトルが表示できるように「デザイン」の「レイアウト」ボタンを押します。

図図図図 16161616 レイアウトの選択レイアウトの選択レイアウトの選択レイアウトの選択 どのレイアウトを選ぶかは、皆さんの自由とします。 例えば、レイアウト１を選び、「グラフタイトル」を「速度と移動距離」と書き替えると、画面は以下のようになります。

図図図図 17171717 タイトル・軸ラベルを表示したグラフタイトル・軸ラベルを表示したグラフタイトル・軸ラベルを表示したグラフタイトル・軸ラベルを表示したグラフ このグラフでは、時刻がうまく表示できていません。

そこで、グラフの中央を右クリックして「ポップアップ」を表示させ、「データの選択」をクリックします。

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図図図図 18181818 時刻の数値の上で右クリックし、ポップアップを表示した。次に「データの選択を時刻の数値の上で右クリックし、ポップアップを表示した。次に「データの選択を時刻の数値の上で右クリックし、ポップアップを表示した。次に「データの選択を時刻の数値の上で右クリックし、ポップアップを表示した。次に「データの選択をクリック」クリック」クリック」クリック」 すると、以下のようなポップアップが表示されます。

図図図図 19191919 「データの選択」ポップアップ「データの選択」ポップアップ「データの選択」ポップアップ「データの選択」ポップアップ ここでは、「横（項目）軸ラベル」の下にある「編集」ボタンをクリックします。すると、以下のようなポップアップが表示されます。

図図図図 20202020 時刻データの範囲を入力する画面時刻データの範囲を入力する画面時刻データの範囲を入力する画面時刻データの範囲を入力する画面

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ここで、画面上の A3 のセルをクリックし、[Shift]と[Ctrl]の両方を押しながら下向き矢印(↓)を押すか、または、下記のように[=Sheet1!$A$3:$A$3003]と入力します。シート名は、各自の使っているシート名を正しく入力して下さい。

図図図図 21212121 時刻データのセル位置を入力した画面時刻データのセル位置を入力した画面時刻データのセル位置を入力した画面時刻データのセル位置を入力した画面 これで OKを押します。軸ラベルの部分が 0, 0.01となっていたらこの作業は OKです。

図図図図 22222222 時刻データの設定が終わったところ時刻データの設定が終わったところ時刻データの設定が終わったところ時刻データの設定が終わったところ

ここで、範囲として選択した「系列１」を削除します。「系列１」は、もともと軸ラベルにするはずの値でした。系列１を選択して「削除」ボタンを押します。

図図図図 23232323 データの名称設定画面データの名称設定画面データの名称設定画面データの名称設定画面 続けて、速度や、移動距離の名称も設定しましょう。

系列２を選択して、「編集」ボタンを押します。すると、右のようなポップアップが現れます。ここで「速度(m/s)」と入力します。

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図図図図 24242424 データ名称の設定画面データ名称の設定画面データ名称の設定画面データ名称の設定画面 さ 同様にして、系列３の名称も「距離(m)」と入力します。

図図図図 25252525 データ名称の入力が終わった画面データ名称の入力が終わった画面データ名称の入力が終わった画面データ名称の入力が終わった画面 これで OK として、一旦グラフに戻ります。すると、グラフは下記のようになっているはずです。

図図図図 26262626 データ名称入力が終わった画面データ名称入力が終わった画面データ名称入力が終わった画面データ名称入力が終わった画面

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このグラフでは、速度も距離も同じ軸ラベルで表示されています。ここで軸ラベルを分けましょう。グラフの「速度」を右クリックして、ポップアップで「データ系列の書式設定」をクリックします。

図図図図 27272727 データ系列の書式を変更するデータ系列の書式を変更するデータ系列の書式を変更するデータ系列の書式を変更する すると、以下のようなポップアップが表示されます。

図図図図 28282828 軸オプションの変更軸オプションの変更軸オプションの変更軸オプションの変更 ポップアップで「第 2軸」を選択し、「閉じる」ボタンを押して下さい。 すると、グラフは以下のようになります。

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図図図図 29292929 数値軸ラベルの表示数値軸ラベルの表示数値軸ラベルの表示数値軸ラベルの表示 最後に、時間軸を整えましょう 時間軸の数値の上で右クリックし、「軸の書式設定」をクリックします。

図図図図 30303030 時刻軸見出しの設定時刻軸見出しの設定時刻軸見出しの設定時刻軸見出しの設定

ポップアップで、「軸の間隔」を 500に、また、「目盛の間隔」を 500に設定します。 また、数値をクリックして表示されるポップアップで「目盛線の追加」を選択します。

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図図図図 31313131 時間軸の設定方法時間軸の設定方法時間軸の設定方法時間軸の設定方法

さらに、レイアウトの選択で時間軸のラベルが表示されるものを選ぶなどして、グラフを整えると、最終的に下図のようなグラフを得ることができます。

図図図図 32323232 表示を整えた後のグラフ表示を整えた後のグラフ表示を整えた後のグラフ表示を整えた後のグラフ

このグラフは、「速度」を EXCEL上で時間積分計算して得られた「距離」のグラフです。

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課題

理解する上でのポイント

※ EXCELの、どの列の値が何を意味しているか。 「一つ上のセル」の値を利用して、計算式を入力している。Δｔや、ｖ×Δｔなどが どんな意味を持っているか考えよう。

※ 積分の計算が、グラフ上の「面積」の計算だというのは、どんな意味か考えよう。 「単位時間当たり」という考え方と、「単位時間当たりの量」に「時間」を掛け 合わせる、という計算の意味を考えよう。

応用課題

※ 速度と距離と類似する関係を考え、例をあげてみよう。

例：毎月の貯金額と月数、銀行の残高の関係 例：お風呂に水を入れる時の、流速と時間、溜っている水の量の関係 例：携帯電話（の充電器[二次電池]）への、電流の流入量と時間、電池残量の関係

他にどんなものがあるか、例をあげてみよう。