Excelを用いた熱流体シミュレーション その１

2016.7.26

熱流体シミュレーションを実施するために １．熱伝導のパラメータを知る ２．差分式の概念を知る ３．熱伝導の形態を知る ・定常か？ 非定常化か？ ・一次元か？ 二次元か？ 3次元か？ ・熱伝導のみ、対流の有無、流体の流れ有無 ふく射伝熱、融解・凝固、特殊 ４．境界値、特異点について ５．Excelの使い方 ６．事例

時間変化がある

１．熱伝導のパラメータを知る

b

TTAQ ch )(

フーリエの法則

定常一次元

低温 Ｔｃ

[Ｋ]

ニュートンの冷却法則

)( fw TTAQ

面積 Ａ [ｍ２]

高温 Ｔｗ

[Ｋ]

低温 Ｔｆ [Ｋ]

流体 熱伝達率 α [Ｗ／ｍ２・Ｋ]

対流 Ｑ

高温 Ｔｈ

[Ｋ]

面積 Ａ [ｍ２]

幅 b [ｍ]

熱伝導率 λ [Ｗ／ｍ・Ｋ]

Ｑ

低温 Ｔｃ

[Ｋ]

)( fcfh TTAkQ

幅 b [ｍ]

高温流体 Ｔｆｈ

[Ｋ]

低温流体 Ｔｆｃ

[Ｋ]

熱伝達率 λ [Ｗ／ｍ2・Ｋ]

面積 Ａ [ｍ２]

Ｔｗｈ

Ｔｗｃ

Ｑ

ｋ：総括伝熱係数 [Ｗ／ｍ２・Ｋ]

ch a

b

a

k11

1

定常一次元

111

)(44

ch

ch TTAQ

h

hT

A

c

cT

A

高温面

低温面

Ｑ

ふく射伝熱

抵抗

２．差分式の概念を知る

前進差分

後進差分

ラプラシアン 物理現象では「私は周囲の平均でいたい！」という方向に力が働く →熱伝導方程式では、「周囲温度の平均が私の温度」

xxxxx 　　　　　　　

𝑑2

𝑑𝑥2f（x）= lim∆𝑥→0

𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)

∆𝑥−

𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥−∆𝑥)

∆𝑥

∆𝑥

= lim∆𝑥→0

𝑓 𝑥+∆𝑥 −2𝑓 𝑥 +𝑓(𝑥−∆𝑥)

(∆𝑥)2

= lim∆𝑥→0

2

(∆𝑥)2

𝑓 𝑥+∆𝑥 +𝑓(𝑥−∆𝑥)

2− 𝑓(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥f(x)=lim∆𝑥→0

𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)

∆𝑥

𝑑

𝑑𝑥f(x)=lim∆𝑥→0

𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥−∆𝑥)

∆𝑥

𝑓(𝑥)

この曲線が

ゴムでできているとしたら赤い矢印のような復元力がラプラシアン

・・・

・・・

)(6

)(2

)()()(

)(6

)(2

)()()(

3

33

2

22

3

33

2

22

xfdx

dxxf

dx

dxxf

dx

dxxfxxf

xfdx

dxxf

dx

dxxf

dx

dxxfxxf

ｆ（ｘ）のテイラー展開

両辺加えて

22

2

4

2

22

)()(2)()(

)()()(2)()(

x

xxfxfxxfxf

dx

d

xOxfdx

dxxfxxfxxf

引いて

x

xxfxxfxf

dx

d

xOxfdx

dxxxfxxf

2

)()()(

)()(2)()( 3

式の導出

第１種境界（ﾃﾞｨﾘｸﾚ）条件 第２種境界（ﾉｲﾏﾝ）条件

温度 熱流束

第３種境界条件 第４種境界条件

熱伝達 接触面温度と熱流束

境界条件

Ｘ＝Ｗ

wwx TT

Ｘ＝Ｗ

wwx qx

T

Ｘ＝Ｗ

0

wx

x

T

Ｘ＝Ｗ

)( fwxwx TTx

T

Ｘ＝Ｗ

wxwx TT 21

wxwxx

T

x

T

2

21

1

Ｘ＝Ｗ

wxT 1

)(

)(

212

2

211

1

wxwxcwx

wxwxcwx

TThx

T

TThx

T

wxT 2

断熱条件

接触抵抗なし 接触抵抗あり

α：熱伝達率 Ｔｆ：流体温度

λ：熱伝導率

ｈｃ：接触熱ｺﾝﾀﾞｸﾀﾝｽ

Ｘ＝Ｗ

wwx TT

wwx qx

T

特異点

Ｘ＝Ｗ

ｙ＝ｈ

0

wx

x

T

)( fwxwx TTx

T

特異点

境界値が変化する特異点を設定する

熱に入出が ある場合

断熱

熱の伝熱が ある場合

x x

ix

11 iii TTT 　　

x０

０ x

Ｔ（ｘ） Ｑｖ λ

定常一次元（等メッシュ）

02

2

vQ

dx

Td

)(2

1

02

0)()(

2

11

2

11

11

11

xQ

TTT

Q

x

TTT

Q

x

TTTT

dx

d

x

TT

dx

dT

x

TT

dx

dT

v

iii

viii

viiii

iiii

　あるいは　　

基礎方程式

差分式

事例１ 定常一次元（等メッシュ） ファイル名： excel 301.xls

)(2

1 2

11 xQ

TTT v

iii

左側温度

40[Ｋ]

幅 0.01[ｍ]

熱伝導率 λ [Ｗ／ｍ・Ｋ]

Ｑ

右側温度

20[Ｋ] Ｑｖ

１０分割

差分式

=(E22+G22)/2+$C$12*$C$9^2

ドラッグ

計算式をドラッグしてコピーする前に、以下の設定を確認しないとエラーが出ます ①左上のOffceボタンクリック ②「Excelのオプション」クリック ③「数式」クリック ④「計算方法の設定」の中の「反復計算を行う」のチェックボックスにレ点 「最大反復回数」を100、「変化の最大値」を0.001に設定

事例１ 定常一次元（等メッシュ）

定常二次元

02

2

2

2

vQ

dy

Td

dx

Td

基礎方程式

x x

ix x０

jijiji TTT ,1,,1 　　　　

1, jiT

y

y

1, jiTy

iy

０

Ｔ（ｘ,ｙ） Ｑｖ λ

x

y

vjijijijiji

vjijijijijiji

QyxxTTyTT

yxT

Q

y

TTT

x

TTT

222

1,1,

2

,1,122,

2

1,,1,

2

,1,,1

)()()(2

1

022

差分式

事例２ 定常二次元 ファイル名： excel 302.xls

０

Ｔ（ｘ,ｙ）

Ｑｖ λ x

y

ｘ、ｙ １０分割

=((G5+I5)*$D$8^2+(H6+H4)*$D$5^2+($D$10/$D$9)*$D$5^2*$D$8^2)/(2*($D$5^2+$D$8^2))

v

jijijijiji

QyxxTTyTT

yxT 222

1,1,

2

,1,122, )()()(2

1差分式

０

Ｔ（ｘ,ｔ）

Ｑｖ

ρ ｃ λ

x

x x

ix

x０

k

i

k

i

k

i TTT 11 　　

1

1

11

1

k

i

k

i

k

i TTT 　　

ｔ

ｔ

非定常一次元

c

Q

dx

Tda

t

T v

2

2

c

tc

x

tac

ca

QcTTTcc

T

c

Q

x

TTTa

t

TT

qx

vq

k

i

k

i

k

ix

x

k

i

v

k

i

k

i

k

i

k

i

k

i

　　　　　ここで、2

1

1

1

1

1

2

1

1

11

1

1

)(21

1

2

基礎方程式

差分式

陽解法

陰解法

c

tc

x

tac

QcTcTTcT

c

Q

x

TTTa

t

TT

qx

vq

k

ix

k

i

k

ix

k

i

k

i

k

i

k

i

k

i

k

i

　　　　ここで、2

11

1

2

111

)21()(

2

x x

ix

x０

k

i

k

i

k

i TTT 11 　　

1

1

11

1

k

i

k

i

k

i TTT 　　

ｔ

ｔ

c

tc

x

tac

ca

QcTcTTTTcc

T

c

Q

x

TTT

x

TTTa

t

TT

qx

vq

k

ix

k

i

k

i

k

i

k

ix

x

k

i

v

k

i

k

i

k

i

k

i

k

i

k

i

k

i

k

i

　　　　　ここで、2

11

1

1

1

1

1

2

11

2

1

1

11

1

1

2)1(2)(12

1

22

2

x x

ix

x０

k

i

k

i

k

i TTT 11 　　

1

1

11

1

k

i

k

i

k

i TTT 　　

ｔ

ｔ

Crank-Nicolson法

非定常一次元

陽解法と陰解法 陰解法 陽解法

適用 静的、準静的な問題、動的な問題でも比較的長い周期で振動するような問題の解析に適

衝突、落下問題などの非線形性が強く、非常に短い時間で起こる現象の解析に適

時間 時間増分を大きくしても安定して解を得る

発散し易い

クーラン条件を満足するような時間増分に設定する必要

計算量 連立方程式を解く必要があるため、1時間増分当たりの計算量が多い

連立方程式を解かないため、1時間増分当たりの計算量が少ない

メモリー 陽解法に比べて大きなメモリ容量が必要

陰解法に比べて小さなメモリ容量で済む

事例３ 非定常一次元

：温度伝導率　　c

adx

Tda

t

T

2

2

基礎方程式

初期条件及び境界条件

ｔ＝０、０≦ｘ≦ｂで Ｔ＝Ｔ∞

ｔ＞０、ｘ＝０で Ｔ０＝Ｔｈ

ｔ＞０、ｘ＝ｂで Ｔｂ＝Ｔ∞

b

xX

b

atF

TT

TTo

h

　　　　2)(

)(

2

2

0 dX

da

F

Ｆ０＝０、０≦Ｘ≦１で Θ＝０

Ｆ０ ＞０、Ｘ＝０で Θ ０＝１

Ｆ０ ＞０、Ｘ＝１で Θｂ＝０

c

tc

x

tac

ca

QcTTTcc

T

c

Q

x

TTTa

t

TT

qx

vq

k

i

k

i

k

ix

x

k

i

v

k

i

k

i

k

i

k

i

k

i

　　　　　ここで、2

1

1

1

1

1

2

1

1

11

1

1

)(21

1

2

22

0

1

1

1

1

1

2

1

1

11

1

0

1

)1

()(21

2

x

ta

X

Fc

cc

c

XF

x

k

i

x

k

i

k

i

x

xk

i

k

i

k

i

k

i

k

i

k

i

　　　ここで、

Ｆ０＝０、０≦Ｘi≦１で Θi0＝０

Ｆ０ ＞０、Ｘ０＝０でΘ ０ｋ＝１

Ｆ０ ＞０、ＸM＝１でΘMｋ＝０ （Mは分割数）

フーリエ数

０

Ｔ（ｘ,ｔ） ρ ｃ λ x

ｔ＞0で T0=Th

ｔ=0で T(x,0）=Ｔ∞

ｔ＞0で Tｂ=Ｔ∞

ｂ

無次元化

事例３ 非定常一次元 ファイル名： excel 303.xls

22

0

1

1

1

1

1 )1

()(21

x

ta

X

Fc

cc

c

x

k

i

x

k

i

k

i

x

xk

i

　　　ここで、

=($C$22/(1+2*$C$22))*(F27+H27+(1/$C$22)*G26)

非定常二次元

ca

c

Q

dy

Td

dx

Tda

t

T v

　

2

2

2

2

基礎方程式

０

Ｔ（ｘ,ｙ） Ｑｖ λ

x

y

c

tc

y

tac

x

tac

QcTccTTcTTcT

qyx

vq

k

jiyx

k

ji

k

jiy

k

ji

k

jix

k

ji

　　　　ここで、22

,1,1,,1,1

1

, )221()()(

陽解法

c

tc

y

tac

x

tac

ca

QcTTTcTTccc

T

qyx

vq

k

ji

k

ji

k

jiy

k

ji

k

jix

x

k

ji

　　　　　ここで、

ｙ

22

,

1

1,

1

1,

1

,1

1

,1

1

, )()(221

1

陰解法