fakultat fur fhysik, unlversität karlsruhesimonis/praktikum/musterprotoko… · - 2 - 3.) messen...

FAKULTAT FUR FHYSIK, Unlversität Karlsruhe THPraktikum Klassische Physik slT

Abgäbe am: . .":(_[. r.(,.r.,/4.......

2, Abgäbe ämr

Ergebnis = (Dl 0 lr )v \_-./ ' t

' lt,tt l .r1 . t r t ','Datum:," .4.6,.#......L4.....

'Bd#ei*ündän.

,.D\k 6hA+ rttJb' cu,,rs u"r?un. A"^A äagk^dq- [email protected] qdk*

()(.n

' *.,tfft PrrröUle,(L

Fehlerrechnun$:

Händzäichen:

K"P$ sren -I"en lli

-- >.

o( ia l-n€in-t .l t\vt

L

Zutreffendes einkreisen oder nicht Zutreffendes streichen vom Betreuer auszufüllen

Versuche P1--13,14,15: Galvanometer Raum F1-09 Obwohl es heute Geräte gibt, die bei mindestens gleicher Leistung eine viel bequemere Ablesung ermög-lichen (z.B. volltransistorisierte Digitalanzeigegeräte), ist das Galvanometer besonders im Praktikum ein sehr nützliches Messinstrument. Es ist besonders geeignet, weil es ein überschaubares und leicht verständliches Gerät ist, an dem viele grundlegende physikalische Effekte elektrischer und mechanischer Natur auftreten. So zum Beispiel Kraftwirkungen auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld, Induktionserscheinungen und Schwingungsvorgänge. Beachten Sie bitte bei allen Aufgabenteilen, dass das Galvanometer äußerst Empfindlich und daher sorgsam zu behandeln ist. Schaltungen bitte sorgfältig kontrollieren. Stets mit kleinster angelegter Spannung beginnen (Regler R2 in Schaltung 1). In keinem Fall wird das Galvanometer direkt an den Ausgang von Schaltung 1 angeschlossen! Wegen der unvermeidlichen Nullpunktsdrift des Galvanometers muss die Null-Lage häufig kontrolliert werden. (Besser notieren oder korrigieren?) Gestellte Fragen sollen schon bei der Vorbereitung beantwortet werden. Bei der Auswertung nicht die Diskussion vernachlässigen, z.B. zu unterschiedlichen Ergebnissen bei verschiedenen Messverfahren. Aufgaben: 1.) Machen Sie zunächst einige Vorexperimente, die Ihnen die hohe Galvanometerempfindlichkeit und mögliche Ursachen für Fehlmessungen vor Augen führen. 1.1 Nehmen Sie einen Zuleitungsbananenstecker in die linke, den anderen in die rechte Hand, und beobachten Sie den Lichtzeiger-Ausschlag des angeschlossenen Galvanometers. 1.2 Schließen Sie das Galvanometer (ohne Spannungsquelle!) nur an einen Drahtdrehwiderstand (z.B. 100Ω) an und beobachten Sie den Lichtzeiger, während Sie den Schleifer des Drehwiderstandes hin- und herbewegen. 1.3 Vergleichen Sie die Ruhestellung des Lichtzeigers bei offenem Galvanometer mit der bei angeschlos-senem Drehwiderstand. Versuchen Sie, die beobachteten Effekte zu erklären. 2.) Entnehmen Sie die Versorgungsspannung U für die folgenden Aufgaben einem Spannungsteiler, der in Schaltung 1 dargestellt ist. Beginnen Sie bei allen Aufgaben mit kleinsten U-Werten und steigern Sie die Spannung nur bei Beobachtung des Lichtzeigers. Stellen Sie den Nullpunkt normalerweise mittels der verschieblichen Skala ein. Falls ein Drehen am Justierknopf notwendig sein sollte, dann diesen nur um extrem kleine Winkel verdrehen! 2.1 Messen Sie in Schaltung 2 den Galvanometerausschlag α in Abhängigkeit vom Vorwiderstand R bei geeigneter Spannung U. Tragen Sie α-1 über R auf, berechnen Sie die Ausgleichsgerade durch die Messpunkte und bestimmen Sie aus deren Parametern: -(a) den Galvanometer-Innenwiderstand RG und -(b) die statische Stromempfindlichkeit CI (in m/A, nicht in °/A o.ä.) 2.2 Messen Sie in Schaltung 3 den Galvanometerausschlag α in Abhängigkeit von R : -(a) bei offener Brückendiagonale und -(b) bei kurzgeschlossener Brückendiagonale. Tragen Sie für beide Fälle α -1 über R auf, bestimmen Sie den Schnittpunkt und damit den Innenwiderstand des Galvanometers RG. 2.3 Messen Sie in Schaltung 4 bei Ra = ∞ den Ausschlag α in Abhängigkeit von der Spannung U, berechnen Sie die zugehörigen Ströme I und tragen Sie α über I auf. Berechnen Sie die Ausgleichsgerade durch die Messpunkte und damit die statische Stromempfindlichkeit CI.

- 2 -

3.) Messen Sie in Schaltung 4 in Abhängigkeit vom Außenwiderstand Ra (schaltbar; 1kΩ bis ∞ wählen) beim Rückschwingen um den Nullpunkt: -(a) das Dämpfungsverhältnis α n-1/ α n und -(b) die Schwing-ungsdauer T. Nutzen Sie dabei jeweils optimal viele Schwingungen aus. Ermitteln Sie folgende Größen: (a) Die Abklingkonstante ßRa und tragen Sie (ßRa - ß∞)-1 über Ra auf. Ein zusätzlicher Punkt in diesem

Diagramm ist (-RG, 0). Berechnen Sie die Ausgleichsgerade durch die Punkte.

(b) Die Frequenz des ungedämpften Galvanometers, ( ) 220 /2 ∞∞ += βπω T .

(c) Den Außenwiderstand Ra,gr für Grenzdämpfung, der bei ( ) 10

−∞− βω abzulesen ist. Verifizieren Sie mit

Hilfe der Schaltung 4, dass etwa bei diesem Widerstand der Grenzfall vorliegt. (d) Die Galvanometer-Kenngrößen G, Θ und D mit Hilfe der drei Gleichungen ;/2 2Gm Θ= ;/2

0 Θ= Dω DGCI /' = (m = Steigung der Geraden; G = Galvanometerkonstante; Θ = Trägheitsmoment des

schwingenden Systems; D = Rückstellkonstante der Torsionsaufhängung.) Dabei ist zu beachten, dass 'IC als Drehwinkel im Bogenmaß von Spule bzw. Drehspiegel, geteilt durch den entsprechenden Strom,

genommen werden muss, während CI bei den Aufgaben 2.1 und 2.3 auch anders angegeben wurde. 4.) Bei den Aufgaben 2.1 und 2.3 (CI-Bestimmung) floss der Messstrom mindestens solange, bis sich die neue Gleichgewichtslage eingestellt hatte. Jetzt wird die Wirkung von kürzeren Stromstößen untersucht. Der Einfachheit wegen werden die Stromstöße ∫ ⋅== UCQdtI durch Entladung eines Kondensators erzeugt

(Schaltung 5), obwohl der exponentielle Stromverlauf keine scharfe Angabe der Stromstoßdauer TQ erlaubt. Es ist aber vernünftig, z.B. die Zeit TQ = 3RC anzugeben, nach der etwa 95% der Ladung abgeflossen ist. Da die Stromstoßquelle den Innenwiderstand ∞ hat, müssen bei Messungen mit größeren Dämpfungen als ß∞ Widerstände zum Galvanometer parallel geschaltet werden. Dann ist QG < C·U zu beachten, denn die Empfindlichkeiten sind auf QG, den über das Galvanometer abfließenden Ladungsanteil, zu beziehen. 4.1 Bestimmen Sie bei sehr kurzer Stromstoßdauer TQ (R klein) die Stromstoßempfindlichkeiten des Galvanometers, mit Ra = ∞ (ballistische Empfindlichkeit bei minimaler Dämpfung), mit Ra = 1000Ω, mit Ra = 330Ω (ballistische Empfindlichkeit nahe der Grenzdämpfung) sowie mit Ra = 33Ω ('fluxmetrische Empfindlichkeit' im Kriechfall). 4.2 Vergleichen Sie die Ergebnisse mit den theoretischen Werten, die Sie unter Benutzung der in den Aufgaben 2 und 3 ermittelten Kenngrößen G, RG, Θ, ω0 sowie Ra berechnen können. 4.3 Überzeugen Sie sich durch etliche Messungen mit größeren R-Werten davon, dass nur für TQ « T die Stromstoßempfindlichkeiten nahezu unabhängig von TQ sind. Fragen: Warum kann man RG nicht mit einem der üblichen Ohmmeter messen? Wozu könnte wohl der in Schaltung 4 zum Galvanometer parallelschaltbare 330Ω -Widerstand dienen? Wie ergibt sich die statische Spannungsempfindlichkeit CU des Galvanometers? Wieso ergibt sich bei Aufgabe 2.2 RG als Schnittpunkt-R ? Welchen Sinn haben ballistische Messungen? Vergleichen Sie z.B. mit dem Mechanik-Versuch 'Schuss in einen Pendel-Sandsack'. Zubehör: Spiegelgalvanometer [T ≈ 5s; RG ≈ 30; CI ≈ 105 rad/A; Abstand Spiegel-Skala A = (250±3)mm] In mehreren Schaltkästchen die Schaltungen 1 bis 5 mit Bananenbuchsen [Liste für Messwerte der Bauelemente beachten! In Schaltung 5 ist zusätzlich zu R18 bis R20 noch R21 (500Ω, regelbar) vorhanden.] Drehspulmessinstrument (1% SKE) mit Vorwiderständen für 0,25V; 1V und 2,5V; zusätzliche Geräte für Sonderaufgaben (z.B. Induktionsspulen und Rechteckimpuls-Generator).

- 3 -

Literatur: Westphal: Physikalisches Praktikum Schlosser, Winterling: Galvanometer Walcher: Praktikum der Physik Mayer, Moerder: Spiegelgalvanometer und Lichtzeigerinstrumente Beljankin et al.: Physikalisches Praktikum Jüngst: Vorbereitungshilfe 'Galvanometerformeln' (1985)

Die als Schaltkästchen mit Bananenbuchsen vorhandenen Schaltungen 1 bis 5

- 4 -

Messwerte (±1,5%) der Widerstände und Kapazitäten in den Schaltungen zu den Galvanometer-versuchen, bei denen in den Skizzen nur Richtwerte angegeben sind:

Schaltung Bezeichnung Richtwert Wert bei P1-13

Wert bei P1-14

Wert bei P1-15

2 R3 20k 19,95k 14,9k 14,9k 2 R4 1 1,04 0,70 0,70 2 R5 10 10,1 10,1 10,0 2 R6 22 20,4 22,0 21,2 2 R7 33 29,8 33,1 33,0 2 R8 47 38,8 47,1 46,8 2 R9 56 50,3 55,8 56,0 2 R10 68 61,8 67,6 67,6 3 R11 470k 474k 477k 479k 3 R12 47 43,0 47,0 47,3 3 R13 47 43,0 47,0 46,9 3 R14 0-50 0-49,8 0-50,0 0-49,1 4 R15 470k 506k 474k 474k 4 Ra-1 47 47,8 47,0 47,0 4 Ra-2 100 99,8 99,0 100 4 Ra-3 220 221 221 219 4 Ra-4 330 329 331 329 4 Ra-5 470 477 472 470 4 Ra-6 1000 1026 1001 1000 4 Ra-7 1200 1484 1194 1200 4 Ra-8 1500 1986 1500 1500 4 Ra-9 2200 2500 2260 2240 4 Ra-10 3300 3010 3300 3300 5 C1 4,7 4,12 5,45 5,30 5 C2 4,7 4,12 5,52 5,15 5 R18 33 33,0 33,0 32,8 5 R19 330 341 332 334 5 R20 1000 999 999 998

Verwenden Sie bei Ihrer Versuchsbeschreibung möglichst die vorgegebenen Bezeichnungen der Bauteile. _______________________ Version: Juli 10

Versuchsvorbereitung Galvanometer

Tobias Leonhard Gruppe Di-10, Matrikelnummer 1604726

8. November 2011

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen des Versuchs 8

2 Aufgabe 1: Vorexperimente 10

3 Aufgabe 2 10

4 Aufgabe 3 13

5 Aufgabe 4 15

6 Literatur 16

7 Grundlagen des Versuchs 18


9 Aufgabe 2: Messungen in Schaltung 2-4 21

10 Aufgabe 3: Ermittlung charakteristischer Großen 24

11 Aufgabe 4: Wirkung von Stromstoßen 26

12 Literatur 27


14 Aufgabe 2: Messungen in Schaltung 2-4 33

15 Aufgabe 3: Ermittlung charakteristischer Großen 40

16 Aufgabe 4: Wirkung von Stromstoßen 44

17 Literatur 47

7

1 Grundlagen des Versuchs

Ein Galvanometer mit Spiegelablesung besteht aus einem permanenten Ma-gneten und einer drehbar gelagerten Spule mit Eisenkern. Fließt durch dieSpule ein Strom, bewirkt die Lorentzkraft ein Drehmoment auf die Spule.Diese ist an einem dunnen Draht,bzw. einer Feder befestigt, die fur das ruck-treibende Drehmoment zur Ruhelage aufkommt. Ein Spiegel projiziert dieAuslenkung dann auf einen Schirm; es ist darauf zu achten, dass sich dadurchder Auslenkwinkel verdoppelt (Reflexion). Ein Galvanometer eignet sich al-so hervorragend, um Schwingungen zu untersuchen, die elektrisch erzeugtwerden und dann in mechanische umgewandelt werden. Die Schwingungen,die das System ausfuhrt, lassen sich mit folgender Differentialgleichung be-schreiben:

Θϕ(t) + %ϕ+Dϕ = GIges (1)

Dabei ist Θϕ das Tragheitsdrehmoment, %ϕ das Dampfungsdrehmoment(ohne elektrische Dampfung), Dϕ das Torsionsdrehmoment, GIges das vonaußen erregende elektromagnetische Drehmoment der Lorentzkraft.Der Strom Iges ist die Summe von Messtrom Iaußen = U

RG+Raund dem

induzierten Strom in der Spule Iind = UindRG+Ra

. Dieser Induktionsstrom wirktseiner Ursache entgegen und kann so beschrieben werden:

Uind = −n ·A ·B · ϕ = −G · ϕ (2)

daraus folgt:

II =Uind

Ra +RG= − G

Ra +RG· ϕ (3)

Nimmt man in die Gleichung den Induktionsstrom der Drehspule mit auf,verandert sich das System zu:

ϕ+1

Θ(%+

G2

RG +Ra)ϕ+

D

Θϕ =

G

ΘI (4)

G ist die Galvanometerkonstante, RG der Galvanometerwiderstand, Ra derWiderstand im außeren Schließungskreis, Θ das Tragheitsmoment der Spule,% die mechanische Dampfungskonstante (ohne elektrische Dampfung) undD die Ruckstellkonstante der Torsionsaufhangung.Diese Darstellung lasst sich noch zu

ϕ+ 2βϕ+ ω02 =

G

ΘI (5)

vereinfacht umschreiben.(ω0

2 = DΘ , 2β = 1

Θ (%+ G2

RG+Ra))

Das System des Galvanometers hat also einerseits eine mechanische Damp-fung durch die Feder, bzw. den Luftwiderstand, andererseits auch einen An-teil an elektrodynamischer Dampfung durch den Induktionsstrom.

8

Ungedampfte (gedampfte) Schwingung

Gelost wird die Gleichung mit dem Ansatz ϕ = ceλt bei GΘI = 0 und hat dieLosung

λ1,2 = β ±√β2 − ω0

2 (6)

Es treten drei mogliche Losungen auf:

• Schwingfall: β < ω0, d.h. die Losung ist komplex. Das System schwingtmit schwacher Dampfung und wird beschrieben durch:

ϕ(t) = e−βt · (A1eλ1t +A2e

λ2t) (7)

oder

ϕ(t) = e−βtCcos(ωt+ ψ) (8)

• Kriechfall: β > ω0, die Losung ist reel:

ϕ(t) = e−βt(C1eωt + C2e

−ωt) (9)

Das System ist stark gedampft und hat maximal einen Durchgangdurch die Ruhelage.

• Aperiodischer Grenzfall: β = ω0, die Auslenkung kehrt am schnellstenin die Ruhelage zuruck ohne zu schwingen.

ϕ(t) = (D + Et)e−βt (10)

Erzwungene Schwingungen

Ist GΘI 6= 0 erhalt man die Losung der Gleichung durch Addition der parti-

kularen Losung zur homogenen:

ϕ(t) = ϕhom(t) + ϕpart(t) = A1e−βtcos(ωt+ ψ) +A2cos(Ωt+ Ψ) (11)

(A1, A2, C1, C2, D,E) aus Anfangsbedingungen.Durch den außeren Schließkreis kann die Dampfung β geregelt werden.

9

2 Aufgabe 1: Vorexperimente

Um sich mit der Apperatur und der hohen Empfindlichkeit des Galvanome-ters vertraut zu machen sollen hier einige Versuche durchgefuhrt und erklartwerden.

Kurzschluss durch den Korper

Schließt man das System mit dem Korper kurz, indem man beide Zulei-tungsbananenstecker mit den Handen verbindet, muss man am Galvano-meter einen Ausschlag feststellen. Dieser geht zum einen auf die statischeAufladung des Korpers zuruck, zum anderen auf Ionenverschiebungen beiStoffwechselvorgangen und Nervenimpulsen.

Anschluss an Drehwiderstand

Durch Drehen am Drehwiderstand kommt es durch Reibung zur Ladungs-trennung und damit zu Stromen, die an der Apperatur zu beobachten sind.Eshat allerdings keine Auswirkungen auf die Position des Lichtzeigers, ob derDrehwiderstand angeschlossen ist oder nicht - die Auslenkungen werdendurch Ladungsverschiebung oder -trennung hervorgerufen.

3 Aufgabe 2

Abbildung 1: Schaltung 1 mit Potentiometer

Mit dem Spannungsteiler (Potentiometer) wird die Spannung U in Schal-tung 1 von der Spannungsquelle abgegriffen und von 0V-1,25V geregelt.Schaltung 1 wird in den folgenden Versuchen den anderen Schaltungen vor-geschaltet.

10

Schaltung 2

Abbildung 2: Schaltung 2

Mit der Kirchhoffschen Knoten- und Maschenregel lassen sich die nach-folgenden Beziehungen aufstellen:

Iges =U

R= U · ( 1

R3 +R4) ≈ U

R3(12)

, da R3 R4

IG + IR4 = Iges (13)

(R+RG)IG −R4I4 = 0 (14)

Daraus erhalt man fur IG

IG =UR4

R3(R+RG +R4)(15)

Mochte man nun den Galvanometerausschlag α ermitteln, untersucht manden statischen Fall, d.h.ϕ = ϕ = 0 und ϕ = α. Die Differentialgleichung wird dann zu :

Dα = GIG ⇒ α =GIGD

= CIIG ⇒1

α=

1

CIIG(16)

mit CI = GD , statische Stromempfindlichkeit.

Dieses Ergebnis macht es nun einfach die Ausgleichsgerade von α−1 uber Rzu bestimmen. Dazu setzt man das Ergebnis aus (15) in (16):

1

α=R3(R+RG +R4)

R4UCI=

R3

R4UCIR+

R3(RG +R4)

R4UCI(17)

11

R3R4UCI

: Steigung m der Geraden R3(RG+R4)R4UCI

: Achsenabschnitt c der GeradenAus dieser Geraden sollen nun durch lineare Regression der Galvanometer-Innenwiderstand RGund die statische Stromempfindlichkeit CI ermitteltwerden. Es gilt:

RG =c

m−R4 (18)

und

CI =R3

mR4U(19)

Zum Vergleich konnen die angegeben Werte herangezogen werden RG ≈ 30Ωund CI ≈ 105rad/ARG kann nicht mit einem ublichen Ohmmeter gemessen werden, weil dazuStromstarken benotigt werden, die uber die Grenzstromstarke des Galvano-meters hinausgehen und diesen schadigen (Antwort zu Frage 1).Die statische Spannungsempfindlichkeit CU ergibt sich aus:

CU =α

U=CIRG

(20)

(Antwort auf Frage 3)

Schaltung 3


Schaltung 1 ist eine Wheatstone-Bruckenschaltung, mit der nun der Gal-vanometerausschlag α bei offener und kurzgeschlossener Bruckendiagonalengemessen werden soll. Tragt man fur beide Falle α−1 uber R auf und schnei-det die beiden Geraden, erhalt man den Innenwiderstand des GalvanometersRG. Fur die offene Brucke gilt:

1

α=R11(R+RG +R12 +R13)

R12 +R13 · UCI(21)

12

mit R12 = R13

1

α=R11(R+RG + 2R12)

2R12UCI(22)

und fur die geschlossene:

1

α=R11(RG +R12)

R12UCI(23)

Setzt man zur Bestimmung des Schnittpunktes die Geradengleichungen gleich,erhalt man das Ergebnis:

R = RG (24)

Schaltung 4


In der Schaltung kann Ra verschiedene Werte annehmen, R16 dient dazu,den Schwingvorgang schnell einzudampfen (Antwort auf Frage 2).Ziel ist es bei Ra = ∞ den Ausschlag α in Abhangigkeit von U und diezugehorigen Strome I zu messen.

IG =U

R15 +RG=

U

R15(25)

mit R15 RG, kann der Strom IG berechnet werden.Aus der Geradengleichung α = CI · IG kann direkt die statische Stromemp-findlichkeit CI abgelesen werden. (CI entspricht der Steigung)

4 Aufgabe 3

Wir verwenden weiterhin die Schaltung 4, um das Dampfungsverhaltnis αn−1

αn

und die Schwingungsdauer T (in Abhangigkeit von Ra) beim Ruckschwingendurch den Nullpunkt zu bestimmen. Es ist zu beachten, dass ausreichendviele Schwingungen untersucht werden, damit man ein aussagekraftige Er-gebnis erhalt. Man soll folgende Großen ermitteln:

13

• Die Abklingkonstante βRa wird durch

βRa = lnk

T=ln(αn−1)

αn

T(26)

und die Gleichung (s.o)

βRa =1

2Θ(%+

G2

RG +Ra) = β∞ +

G2

2Θ(RG +Ra)(27)

⇒ 1

βRa − β∞=

2Θ

G2·Ra +

2ΘRGG2

(28)

bestimmt.Damit erhalten wir eine Geradengleichung mit der SteigungmRa = 2Θ

G2 und dem Achsenabschnitt c = 2ΘRG

G2 und konnen wie in der

Aufgabe gefordert (βRa − β∞)−1 uber Ra auftragen.

• Die Frequenz des ungedampften Galvanometers:

ω0 =

√(

2π

T∞)2 + β∞2 (29)

• Der Außenwiderstand Ra,gr fur die Grenzdampfung (βRa = ω0). Dastritt ein beim aperiodischen Grenzfall und man kann den Punkt an derGeraden (βRa − β∞)−1, wo βRa = ω0 ist, ablesen. Die Abzisse diesesPunktes ist der gesuchte Wert fur Ra,grenz.

• Die Galvanometer-Kerngroßen G, Θ und DDiese Großen lassen sich unter den drei Gleichungen beschreiben:

m =2Θ

G2(30)

ω02 =

D

Θ(31)

C ′I =G

D(32)

hier ist C ′I = DrehwinkelStrom .

Mit der Geradengleichung aus (28) sind die Kerngroßen:

G =2

mRaω02CI

(33)

Θ =2

mRaω04CI2

(34)

D =2

mRaω02CI2

(35)

14

5 Aufgabe 4

In diesem Versuch wird die Auswirkung von kurzen Stromstoßen unter-sucht. Das System hat in diesem Fall keine Gelegenheit sich einzuschwin-gen. Durch das Entladen des Kondensators ist es moglich, diese erforderli-

Abbildung 5: Schaltung 5 mit Kondensator

chen Stromstoße zu erzeugen, allerdings muss die Stromstoßdauer geschicktgewahlt werden, weil der exponentielle Stromverlauf keine genaue Aussagedaruber erlaubt. Bei TQ = 3RC ist 95% der Ladung abgeflossen. Es giltnoch zu beachten, dass aufgrund des hohen Innenwiderstands der Strom-stoßquelle (von ∞), bei Messungen mit großeren Dampfungen Widerstandeparallel dazu geschalten werden mussen. Die Ladung muss man dabei aufden Galvanometeranteil beziehen, also QG < C · U .

Bestimmung der Stromstoßempfindlichkeiten bei kurzer Strom-stoßdauer

Die Stromstoßempfindlichkeit ist definiert als:

Cb =α

QG=

α

UGC=RG +Ra

Ra· α

UC(36)

Wir betrachten unterschiedliche Dampfungen:

• Ra =∞ ballistische Empfindlichkeit bei minimaler Dampfung

• Ra = 1000Ω ballistische Empfindlichkeit im Schwingfall

• Ra = 300Ω ballistische Empfindlichkeit nahe der Grenzdampfung

• Ra = 33Ω fluxmetrische Empfindlichkeit im Kriechfall

15

Vergleich der theoretischen Werten

Aufgabe ist es die experimentell erhaltenen Werte mit den theoretischen zuvergleichen. Dazu werden die Werte aus der Tabelle der Vorbereitungsmappeverwendet. Es gilt:

Cb,∞,1000 =G

ω0Θ(37)

Cb,330 =G

ω0Θe(38)

Cb,33 =Ra +RG

G(39)

Unabhangigkeit der Stromstoßempfindlichkeit von TQ

Ziel des Versuchs ist es, sich durch mehrere Messungen mit großen R-Wertendavon zu uberzeugen, dass die Stromstoßempfindlichkeit nur fur TQ T na-hezu unabhangig von TQ sind.Das Besondere an ballistischen Experimenten ist die Impuls- und Ener-gieubertragung, die in kurzer Zeit stattfindet. Betrachtet man einen Sand-sack an einer Schnur, in den z.B eine Gewehrkugel einschlagt, bleibt dieKugel im Sand stecken und lenkt den Sack aus. Durch die maximale Auslen-kung kann man die Geschwindigkeit des Geschosses bestimmen. Ubertragtman diesen Versuch auf das Galvanometer, ist der Stromstoß vergleichbarmit dem Projektil. Kennt man die Empfindlichkeit des Galvanometers undist es moglich die Auslenkung der Schwingung zu messen, kann daraus dieLadung des entladenen Kondensators errrechnet werden.(Antwort zu Frage 5).

6 Literatur

• Praktikum der Physik, von Wilhelm Walcher, 8. Auflage

• Musterprotokoll, von Steven Weitemeyer und Holger Drees

• Das Neue Physikalische Grundpraktikum, von H. J. Eichler, H.-D. Kronfeldt und J. Sahm, 2. Auflage

• Vorbereitungshilfe Galvanometer, Fakultat fur Physik, Univer-sitat Karlsruhe

16

Versuchsvorbereitung GalvanometerAndreas Vetter Gruppe Di-10, Matrikelnummer 1602491

8. November 2011

7 Grundlagen des Versuchs

Ein Galvanometer ist ein elektromechanisches Strommessgerat. In derpraktischen Anwendung sind Galvanometer-Messgerate durch digitaler Mess-technik ersetzt worden. Jedoch wird das Prinzip auch als Galvanometeran-trieb zur Ansteuerung von CD- und DVD-Laufwerken oder in Lasershow-Geraten verwendet. Das Spiegelgalvanometer selbst besteht aus einer dreh-bar gelagerten Spule mit Kern, die sich in einem außeren Permanent-Magnetfeldbefindet. Die Aufhangung an einem Draht sorgt dafur, dass die Spule einDrehmoment hin zur Ruhelage erfahrt. Außerdem kann an die Spule eineSpannung angelegt werden. 1 Bei Stromfluss durch die Spule bewirkt die

Abbildung 6: Spiegelgalvanometer

Lorentzkraft ein Drehmoment und die Spule verdreht sich gegenuber derAusgangslage, wobei die Torsion des Fadens ein ruckstellendes Drehmomentbewirkt. Fur ein genaues Messen der Vedrehung wird ein Lichtstrahl an ei-nem Spiegel, der mit der Spule starr verbunden ist, reflektiert und an einerSkala abgelesen. Zu beachten ist dabei, dass sich der Auslenkwinkel verdop-pelt.Betrachten wir nun die wirkenden Drehmomente. Es wirken ein

• ruckstellendes Drehmoment durch den Faden: MF = −D · ϕ

• dampfendes, geschwindigkeitsproportionales (Dampfungskonstante ρ)Drehmoment durch mechanische Reibung: MR = −ρ · ϕ

• außeres Drehmoment durch die Lorentzkraft: Ma = n ·A ·B ·Iges = G ·Iges mit GalvanometerkonstanteG = nAB = Gesamte Windungsflache der Spule·Magnetfeldstarke und Iges = Summe aus Messstrom und induziertemStrom

1Bildquelle: techniklexikon.net/images/f1232 galvanometer.gif

18

• Tragheitsdrehmoment: Mtr = Θ · ϕ

Die Summe der Drehmomente fuhrt zur Schwingungsdifferentialgleichungdes Galvanometers:

Θϕ+ ρϕ+Dϕ = GIges (40)

Der Gesamtstrom setzt sich wie oben erwahnt aus zwei Komponentenzusammen:

1. MessstromEine außere Spannung U lasst einen Strom Iaussen durch die Spulefließen. Mit dem Ohmschen Gesetz folgt fur den Strom

Iaussen =U

RG +Ra(41)

mit dem Widerstand RG des Galvanometers und dem Widerstand imaußeren Schließungskreis Ra.

2. induzierter StromDa sich die Spule im Magnetfeld dreht, wird eine Spannung Ui indu-ziert. Es gilt:

Ui = −n ·A ·B · ϕ = −G · ϕ (42)

Nun folgt wie oben mit dem Ohmschen Gesetz:

Ii =Ui

RG +Ra= − G

RG +Ra· ϕ (43)

Dabei ist zu beachten, dass der induzierte Strom dem Messstrom entgegen-wirkt. Die Summe aus beiden Stromen ergibt nun den Gesamtstrom unddamit das außere Drehmoment

Ma = G · Iges = G · I − G2

RG +Ra· ϕ (44)

Einsetzen in die Gleichung (40), Division durch das Tragheitsmoment Θ derSpule und Sortieren liefert:

ϕ+1

Θ

(ρ+

G2

RG +Ra

)ϕ+

D

Θϕ =

G

ΘI (45)

Man erkennt die Analogie zur Schwingungsdifferentialgleichung

ϕ(t) + 2βϕ(t) + ω02ϕ(t) = f(t) (46)

19

Die Losung der Differentialgleichung erhalt man durch den Ansatz ϕ(t) =Ae−λt. Einsetzen und umformen ergibt

λ1,2 = β ±√β2 − ω0

2 (47)

und

ω =√ω0

2 − β2. (48)

Die allgemeine Losung lautet nun

ϕ(t) = A1e−βt+λ1t +A2e

−βt+λ2t (49)

Dabei unterscheidet man nun drei Falle:

Schwingfall: β2 < ω02

Da die Wurzel in Gleichung (43) negativ wird, ergeben sich fur λ1,2 komplexeLosungen und die allgemeine Losung der Differentialgleichung lautet

ϕ(t) = e−βt(B1eiωt +B2e

−iωt) (50)

bzw.

ϕ(t) = e−βt C cos(ωt+ α) (51)

mit B1, B2 und C aus den Anfangsbedingungen.

Kriechfall: β2 > ω02

Die Wurzel in Gleichung (43) ist rell, somit sind auch die λ reelle Zahlen. DieDampfung ist so stark, dass keine Schwingung des Pohlschen Rades mehrerfolgt. Bei anfanglicher Auslenkung kriecht es in die Ruhelage zuruck. DieLosung fur die Differentialgleichung lautet:

ϕ(t) = e−βt(C1 eωt + C2 e

−ωt) (52)

aperiodischer Grenzfall: β2 = ω02

Man erhalt den schnellsten Kriechfall, d.h. das System klingt ab, ohne zuschwingen. Dafur lautet die Losung der Differentialgleichung:

ϕ(t) = D(1 + Et)e−βt (53)

20

Erzwungene Schwingungen

Um die Losung der Differentialgleichung fur f(t) 6= 0 zu erhalten, wird zuder homogenen Losung (49) noch eine spezielle inhomogene (partikulare)Losung ϕpart addiert. Fur eine periodische außere Kraft f(t) = M0

Θ cos(Ωt)ergibt sich die Losung zu

ϕges(t) = A1 e−βtcos(ωt+ α) +A2 cos(Ωt+ Ψ1) (54)

Dabei lasst sich die Dampfung β uber den Widerstand im außeren Schwing-kries regeln.


Bei dieser Aufgabe soll man sich mit dem Messaufbau vertrautmachen unddie hohe Galvanometerempfindlichkeit sowie mogliche Fehlerquellen kennen-lernen. Dazu nimmt man die Anschlussklemmen in je eine Hand und beob-achtet den Ausschlag des Galvanometers. Dabei werden sehr kleine Stromeim Korper nachgewiesen.Wird nun ein Drahtdrehwiderstand mit beispielsweise R = 100Ω (ohneSpannungsquelle) angeschlossen und ein wenig gedreht, so schlagt das Galva-nometer ebenfalls aus. Kleine Ladungsunterschiede lassen Strome auftreten,die nachgewiesen werden.Auch kleine Ladungsverschiebungen beim Anschließen der Stromleiter fuhrenzu Ausschlagen.

9 Aufgabe 2: Messungen in Schaltung 2-4

Die Spannungsversorgung wird von einer Batterie ubernommen, die 1,5 Voltliefert. Um eine regelbare Spannung zu erhalten, wird Schaltung 1 dazwi-schengeschaltet. Uber den Widerstand R2 kann die Spannung am Galvano-meter zwischen 0 und 1,25 Volt stufenlos geregelt werden.


1. Schaltung 2 Fur die Schaltung 2 gilt:

Iges =U

R=

(1

R3+

1

R4

)· U ≈ U

R3, (55)

21


daR4 gegenuberR3 vernachlassigt werden kann. Aus der Maschenregelfolgt

(R+RG) · IG −R4IR4 = 0, (56)

und aus der Knotenregel erhalt man noch

IG + IR4 = Iges. (57)

Ersetzen von Iges und umformen dieser drei Gleichungen fuhrt zu einerFormel fur den Galvanometerstrom:

IG =UR4

(R+RG +R4)R3. (58)

Nun betrachten wir den statischen, eingeschwungenen Fall, und dabeivereinfacht sich die Differetialgleichung (40) erheblich, da nun ϕ =ϕ = 0 und ϕ =: α.

ϕ =G

DI = CII =: α (59)

mit der statischen Stromempfindlichkeit CI .

Nun soll nach Aufgabenstellung α−1 uber R aufgetragen werden. Hierfurgilt:

α−1 =1

CI · IG=R3(R+RG +R4)

R4UCI=

R3

R4UCIR+

R3(RG +R4)

R4UCI,

(60)

d.h. es ergibt sich eine Gerade mit der Steigung m := R3R4UCI

und dem

Offset c := R3(RG+R4)R4UCI

. Durch lineare Regression werden die beidenParameter ermittelt und dann daraus die gesuchten Großen bestimmt:

22

• Galvanometer-Innenwiderstand RGEs stellt sich in der Frage 1, warum man den Innenwiderstand-stand nicht mit einem sonst zur Messung ublichen Ohmmeterbestimmt werden kann. Der Grund ist, dass das Ohmmeter denWiderstand uber eine Strommessung feststellt und die verwende-te Stromstarke ist fur das Galvanometer zu groß und wurde eszerstoren.

RG =c

m−R4 (61)

• Stromempfindlichkeit CI

CI =R3

mR4U(62)

In Frage 3 ist noch nach der statischen Spannungsempfindlichkeit CUgefragt. Sie ist definiert als

CU =α

U=CIRG

. (63)

Beide Werte werden nun mit den gegebenen Richtwerten RG ≈ 30 Ωund CI ≈ 105 rad

A verglichen.

2. Schaltung 3


Mit der Schaltung 3, einer Wheatstone-Bruckenschaltung, soll nunebenfalls der Innenwiderstand des Galvanometers bestimmt werden,und zwar bei offener und geschlossener Brucke. Gemessen wird wie-der der Galvanometerausschlag α. Es gilt bei offener Brucke undR12 = R13:

α−1 =(RG +R+R12 +R13)R11

(R12 +R13) · U · CI=

(RG +R+ 2R12)R11

2R12 · U · CI(64)

23

Bei geschlossener Brucke gilt Folgendes:

α−1 =(RG +R12) ·R11

R12 · U · CI(65)

Fur den Schnittpunkt beider Geraden gilt dann

(RG +R+ 2R12)R11

2R12 · U · CI=

(RG +R12) ·R11

R12 · U · CI⇒ R = RG (66)

Dies ist auch die Antwort auf die Frage 4.

3. Schaltung 4


Fur Ra kann man verschiedene Widerstande einstellen. Bei dieser Auf-gabe soll man nun fur Ra =∞ den Ausschlag α in Abhangigkeit vonder Spannung U und dem zugehorigen Strom I messen und α uber IGauftragen.Es gilt nach dem Ohmschen Gesetz und RG R15:

IG =U

R15 +RG' U

R15(67)

Bei der Gerade α = CI · IG entspricht die Stromempfindlichkeit derSteigung.

10 Aufgabe 3: Ermittlung charakteristischer Großen

Hierfur wird wieder Schaltung 4 verwendet, allerdings bei verschiedenen Au-ßenwiderstanden Ra. Dabei ermittelt man aus den Schwingungen des Gal-vanometers

• das Dampfungsverhaltnis αn−1

αnund

• die Schwingungsdauer T,

24

wobei moglichst viele Schwingungen betrachtet werden. Hier dient nun derWiderstand R16 = 330 Ω und der Taster T dazu, die Schwingung zu damp-fen, sodass der Einschwingvorgang schneller ablauft (Frage 2). Aus diesenMessungen konnen nun die folgenden charakteristischen Großen bestimmtwerden:

• Abklingkonstante βRa Es gilt:

βRa =ln(αn−1

αn

)T

(68)

Außerdem gilt nach der Differentialgleichung (6) bzw. (7):

βRa =1

2

1

Θ

(ρ+

G2

RG +Ra

)= β∞ +

G2

2Θ(RG +Ra)(69)

⇒ 1

βRa − β∞=

2Θ

G2·Ra +

2ΘRGG2

, (70)

was wieder einer Geradengleichung mit der Steigung mRa = 2 ΘG2 und

dem Offset cRa = 2ΘRG

G2 entspricht. Nun wird (βRa − β∞)−1 uber Raaufgetragen.

• Frequenz des ungedampften GalvanometersEs gilt:

ω0 =

√(

2π

T∞)2 + β∞2 (71)

• Außenwiderstand Ra,gr fur GrenzdampfungBeim aperiodischen Grenzfall gillt βRa = ω0, d.h. es wird der Punktauf der Geraden (βRa − β∞)−1 gesucht, an dem βRa = ω0 ist. An derAbzisse kann nun leicht der Wert fur Ra abgelesen werden.

• Galvanometer-Kenngroßen G,Θ und DZur Berechnung dieser drei Großen sind auf dem Aufgabenblatt dreiFormeln gegeben:

m =2Θ

G2ω0

2 =D

ΘC ′1 =

G

D(72)

Aus der Gleichung (99) ergeben sich die gesuchten Kenngroßen zu

G =2

mRaω02CI

Θ =2

mRaω40CI

2D =

2

mRaω02CI2

. (73)

25

11 Aufgabe 4: Wirkung von Stromstoßen

Bei dieser Aufgabe soll nun der Messstrom nicht solange fließen, bis sichdie Gleichgewichtslage eingestellt hat (siehe Aufgabe 2), sondern es wird dieWirkung von kurzeren Stromstoßen, ausgelost durch die Entladung einesKondensators, untersucht.


Da der exponentielle Stromverlauf keine scharfe Angabe der StromstoßdauerTQ erlaubt, gibt man die Zeit TQ = 3RC an, nach der circa 95% der Ladungabgeflossen ist.Die Stromstoßquelle hat den Innenwiderstand∞, deshalb mussen bei Damp-fungen großer als β∞ Widerstande parallel zum Galvanometer geschaltetwerden. Diese Widerstande haben die Werte R18 = 33 Ω, R19 = 330 Ω undR20 = 1000 Ω. Nun muss man beachten, dass auch Ladungen uber dieseWiderstande abfließen, und es gilt QG < C · U .

• Bestimmung der Stromstoßempfindlichkeiten bei sehr kurzerStromstoßdauerDie Stromstoßempfindlichkeit ist folgendermaßen definiert:

Cb =α

QG=

α

UGC=RG +Ra

Ra· α

UC(74)

Dabei wird nun auch berucksichtigt, dass ein Teil der Ladung nichtdurch das Galvanometer fließt.Es werden verschiedene Dampfungen betrachtet:

– Ra =∞ ballistische Empfindlichkeit bei minimaler Dampfung

– Ra = 1000 Ω ballistische Empfindlichkeit im Schwingfall

– Ra = 330 Ω ballistische Empfindlichkeit nahe der Grenzdamp-fung und

– Ra = 33 Ω fluxmetrische Empfindlichkeit im Kriechfall

• Vergleich mit theoretischen WertenDie gemessenen Werte konnen mit theoretischen Ergebnissen vergli-

26

chen Werten, die aus Resultaten der Aufgaben 2 und 3 berechnet wer-den konnen (s. Vorbereitungshilfe Seite 3). Es gilt:

Cb∞,1000 =G

ω0ΘCb 330 =

G

ω0ΘeCb 33 =

Ra +RGG

(75)

Cb∞,1000 = Cb 330 = Cb 33 = (76)

• Unabhangigkeit der Stromstoßempfindlichkeiten von TQDurch mehrere Messungen mit großen R-Werten sollen wir uns nochdavon uberzeugen, dass die Stromstoßempfindlichkeiten nur fur TQ T beinahe unabhangig von TQ sind.Bleibt noch die Beantwortung der Frage 5. Ballistische Messungenwerden durchgefuhrt, um beispielsweise die Geschossgeschwindigkei-ten von Projektilen zu bestimmen. Dabei wird ein Sandsack an ei-nem Faden aufgehangt und das Geschoss in den Sandsack geschossen.Es bleibt dort stecken und lenkt ihn aus. Aus der Pendelauslenkung(maximale Amplitude) lasst sich dann die Geschossgeschwindigkeit be-rechnen.Ahnlich kann man hier den Stromstoß als das ’Geschoss’ betrachten.Wenn die Empfindlichkeit des Galvanometers bekannt ist, kann mandie Auslenkung messen und daraus beispielsweise die Ladung des ent-ladenden Kondensators bestimmen.

12 Literatur





• Schaltskizzen vom Aufgabenblatt

• Wikipedia zum Thema ballistisches Pendel de.wikipedia.org/wiki/BallistischesP endel,Stand: 29. Oktober 2011

27

Versuchsauswertung GalvanometerTobias Leonhard, Andreas Vetter Gruppe Di-10

8. November 2011

Zu der Auswertung ist zu sagen, dass die Bauelemente, vor allem dieWiderstande, kleine Abweichungen von den in der Schaltskizze abgebilde-ten Richtwerten aufweisen. Deshalb werden im kompletten Protokoll diekorrigierten Messwerte (ganz rechte Spalte auf Seite 4 des Aufgabenblatts)verwendet.Fur die Spannungsmessung wurde ein Voltmeter verwendet, dessen Messbe-reich 1 V betragt. Dabei geht die Skala von 0 bis 50, Vollausschlag bei 50entspricht dann also 1 V. Es handelt sich um eine fein unterteilte Skala, somitist der systematische Fehler bei der einmal gemessenen Große “Spannung”±0, 5 · (Intervallbreite) ⇒ ±10 mV . Die Nulllage am Galvanomter wurdezu Beginn und nach Abschluss jeder Messung kontrolliert; dabei musste sienicht korrigiert werden.Außerdem ist festzustellen, dass unser Galvanometer durch unsachgemaßeBedienung bleibende Schaden davongetragen hat, sodass auftretende Schwin-gungen sehr stark gedampft sind. In der Auswertung wird nochmals explizitdarauf hingewiesen.Das Plotten der Graphen und die Anpassung durch lineare Regression wur-den mit dem Programm Origin durchgefuhrt. Eine ausfuhrliche Fehlerrech-nung fur die Aufgabe 2 wird auch erstellt.FehlerrechnungDazu werden die auftretenden Großen betrachtet und statistische bzw. sys-tematische Fehler unterschieden. Der Ablesefehler ∆α betragt 1 mm. DasEndergebnis wird folgendermaßen angegeben:

A = Bestwert± statistischer Fehler ± systematischer Fehler (77)


Zu Beginn werden Experimente durchgefuhrt, um die Funktionsweise unddie Empfindlichkeit des Galvanometers kennenlernen. Wenn man beide An-schlussklemmen in die Hand nimmt, schlagt das Galvanometer sehr deutlichaus. Damit werden kleinste Strome im menschlichen Korper nachgewiesen.Ebenfalls kann man ohne Spannungsversorgung ein Drehpotentiometer an-schließen und es drehen. Dabei tritt auch ein Ausschlag auf, allerdings vielgeringer als zuvor. Hier fuhren kleine Ladungstrennungen zu Potentialun-terschieden. Auch beim manuellen Dampfen der Schwingung mit Schaltung4 treten Ausschlage auf.

14 Aufgabe 2: Messungen in Schaltung 2-4

Hier soll mit verschiedenen Methoden der Galvanometer-Widerstand RGund die statische Stromempfindlichkeit CI ermittelt werden. Die Spannungs-versorgung wird von einer Batterie ubernommen, die 1,5 Volt liefert. Um ei-ne regelbare Spannung zu erhalten, wird Schaltung 1 dazwischengeschaltet.

33

Uber den Widerstand R2 kann die Spannung am Galvanometer zwischen0 und 1,25 Volt stufenlos geregelt werden. Fur die folgenden Aufgabenteileder Aufgabe 2 wurde konstant eine Spannung von U0 = 0, 8 V verwendet.

Aufgabe 2.1 Schaltung 2

Mit der Schaltung 2 wird der Galvanometer-Widerstand RG und die sta-tische Stromempfindlichkeit CI ermittelt. Dazu wird die Auslenkung α desGalvanometers in Abhangigkeit vom Widerstand R = R5 − R10 gemes-sen. Laut Aufgabenblatt gilt zudem fur die Bauelemente R3 = 14, 9 kΩ undR4 = 0, 70 Ω.

R in Ω 10 21,5 33 46,8 56 67,6

α in mm 12,5 11 9,5 8,5 7,5 7

Abbildung 12: Messung von α−1 uber dem Widerstand R, Ausgleichsgeradedurch lineare Regression

Es folgt fur die Ausgleichsgerade: m = 1, 1175 1m·Ω und c = 67, 920 1

m . Mitder Gleichung (61) kann nun der Galvanometer-Innenwiderstand berechnetwerden:

RG1 =c

m−R4 =

67, 920

1, 1175· Ω− 0, 7 Ω = 60, 08 Ω (78)

Der berechnete Wert ist ungefahr das Doppelte des gegebenen WertesRG ≈ 30 Ω. Diese große Abweichung kann eigentlich nur durch den oben be-schrieben mechanischen Defekt auftreten, da bei der statischen Messung die

34

Ablesefehler sich in Grenzen halten und die sechs Messwerte einen linearenVerlauf zeigen.

FehlerrechnungBei Berechnung des Galvanometer-Widerstands tritt nach (61) die Steigungm und der Achsenabschnitt c als statischer, der Wert des Widerstands R4

als systematischer Fehler auf. Das Programm Origin liefert durch lineareRegression den Standardfehler. Dabei ergeben sich folgende Werte:

Große Standardfehler

σc 1, 87188 1m

σm 0, 04267 1m·Ω

Daraus folgt fur σRG:

σRG=

√(∂RG∂c

)2

· σc2 +

(∂RG∂m

)2

· σm2 =

√1

m2σc2 +

c2

m4σm2

≈√

2, 8058 + 5, 3858 Ω = 2, 862 Ω

(79)

Fur den systematischen Fehler folgt:

∆RG =

∣∣∣∣∂RG∂R4·∆R4

∣∣∣∣ = | − 1 · 0, 0105| Ω = 0, 0105 Ω (80)

Damit ergibt sich fur den Galvanomter-Widerstand:

RG = (60, 08± 2, 87± 0, 02) Ω (81)

Nun zur Berechnung der Stromempfindlichkeit. Nach Gleichung (62) gilt:

CI1 =R3

mR4U=

14, 9 kΩ

1, 175 1m·Ω · 0, 70 Ω · 0, 8 V

= 2, 38 · 104m

A(82)

FehlerrechnungFur die Stromstroßempfindlichkeit CI treten zum einen der statisti-

sche Fehler fur die Steigung m auf, zum anderen systematische Fehler furR3, R4, U . Origin liefert fur σm den Wert 0, 04267 1

mΩ . Daraus folgt fur denstatistischen Fehler:

σCI=∂CI∂m

σm =R3

m2 ·R4 · U· 0, 04267

1

mΩ= 0, 089 · 104m

A(83)

35

simonis

Sticky Note

Vorsicht: korrelierte Größen wie c und m dürfen nicht mit der Gauss-Formel behandelt werden. Dagegen werden unkorrelierte Größen wie R4 nach Gauss behandelt.

Der systematische Fehler betragt:

∆CI=

∣∣∣∣∂CI∂R3·∆R3

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∂CI∂R4·∆R4

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∂CI∂U·∆U

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ 1

mR4U·∆R3

∣∣∣∣+

∣∣∣∣− R3

mR42U·∆R4

∣∣∣∣+

∣∣∣∣− R3

mR4U2·∆U

∣∣∣∣= 690, 48

m

A

(84)

Insgesamt ergibt sich dann fur die Stromempfindlichkeit:

CI = (2, 38± 0, 09± 0, 07) · 104m

A(85)


Der Widerstand des Galvanometers wird hier mit der Wheatstone-Brucken-schaltung bestimmt. Die verwendeten Widerstande haben die Werte R11 =479 kΩ, R12 = 47, 3 Ω und R13 = 46, 9 Ω. Folgende Werte wurden gemessen:

R14 in Ω α in mm bei offener Brucke α in mm bei geschlossener Brucke

0 21 16,52,46 20 -4,91 20 16,57,37 19,5 -9,82 19,5 16,512,28 19 -14,73 19 16,517,19 18,5 -19,64 18,5 16,522,1 18,5 -24,55 18 16,527,01 18 -29,46 18 16,531,92 17,5 -34,37 17,5 16,536,8 17,5 -39,28 17,5 16,541,74 17 -44,19 17 16,546,6 17 -49,1 17 16,5

Diese Messwerte werden in folgender Tabelle aufgetragen; beim Schnitt-punkt beider Geraden gilt nach Gleichung (66) R = RG2.

36

Abbildung 13: Messung von α−1 uber dem Widerstand R14 bei geoffneterund geschlossener Brucke, Ausgleichsgeraden durch lineare Regression

Es folgt:

RG = 52, 25 Ω (86)

Dabei fallt auf, dass sich die Geraden mit den gemessenen Werten imMessbereich nicht schneiden. Der Schnittpunkt der Geraden wird deshalbdurch Gleichsetzen aus den erhaltenen Geradengleichungen ermittelt. Die“Stufenform” ergibt sich aus der Ablesegenauigkeit von ungefahr 1 mm undder hohen Anzahl an Messwerten. Da erkennbar war, dass die Messwerte beigescdhlossener Brucke sich nicht andern, wurden weniger Werte gemessen.

Der ermittelte Widerstand liegt etwa im Bereich vom Messwert aus Auf-gabe 2.1, hat allerdings gegenuber dem gegebenen Richtwert von RG = 30 Ωimmer noch eine Abweichung von 74,2 %.

FehlerrechnungHier treten als statistische Fehler die Steigungen und Achsenabschnitte auf,als systematische Fehler die Wiederstande R12 und R13 Es gilt:

R =b2 − b1m1 −m2

=b2 − b1m1

, (87)

da m2 = 0. Der statistische Fehler σb2 und σm2 ist null, da konstant dergleiche Wert gemessen wurde. Origin liefert σb1 = 0, 29294 1

m und σm1 =

37

0, 01021 1mΩ . Daraus folgt:

σRG=

√(1

m1

)2

(σ2b2 + σ2

b1) +

(b1 − b2m1

2

)2

(σ2m1)

= 2, 84 Ω

(88)

Fur den systematischen Fehler folgt:

∆RG =

∣∣∣∣ RR13

∣∣∣∣∆R12 +

∣∣∣∣− R12

R213R

∣∣∣∣∆R13

= 1, 70 Ω

(89)

Daraus folgt also nun:

RG = (52, 25± 2, 84± 1, 70) Ω (90)


Ziel bei dieser Aufgabe ist es, nochmals auf eine andere Art und Weisedie statische Stromempfindlichkeit zu bestimmen. Dazu wird Schaltung 4verwendet. Dabei folgt aus Gleichung (67) der Strom aus der Spannung; beifolgendem Schaubild entspricht CI3 gerade der Steigung, da α = CI · IG.

U in V IG in µA α in mm

0 0 00,1 0,21 4,50,2 0,42 9,50,3 0,63 140,4 0,84 190,5 1,05 23,50,6 1,27 280,7 1,48 32,50,8 1,69 370,9 1,9 421,0 2,1 46,5

Die lineare Regression durch Origin ergibt:

CI3 = 2, 20 · 104m

A(91)

Dieser Wert passt gut zum im Aufgabenteil 2.1 (siehe (82)) bestimmtenWert von CI1 = 2, 38 · 104m

A , die Abweichung betragt etwa 7,6%.

38

Abbildung 14: Messung von α−1 uber dem Widerstand Ra mit Schaltung 4,Ausgleichsgerade durch lineare Regression

Fur die weitere Rechnung werden jetzt jeweils die Mittelwerte aus den beidengemessenen Werten gebildet.

CI =1

2(CI1 + CI3) = 2, 29 · 104m

ARG =

1

2(RG1 +RG2) = 56, 17 Ω

(92)

FehlerrechnungHier tritt als statistischer Fehler die Steigung m der Geraden auf sowie dieMessung der Spannung U. Laut Origin betragt der Standardfehler fur dieSteigung σm = 0, 10533mmµA = 105, 33mA .Fur die Spannung wird als Fehler die Abweichung bei Vollausschlag ange-nommen, d.h. σU = 0, 01 V . Fur α und U werden jeweils die großten Werteeingesetzt.

σCI=

√(∂CI∂U

)2

σU 2 +

(∂CI∂CI

)2

σm2

= 220, 65m

A

(93)

39

Der systematische Fehler kommt durch den Widerstand zum Tragen:

∆CI =

∣∣∣∣ ∂CI∂R15·∆R15

∣∣∣∣= 330, 62

m

A

(94)

Damit folgt:

CI = (2, 20± 0, 03± 0, 04) · 104 m

A(95)

Nun soll man noch die statische Spannungsempfindlichkeit bestimmen. NachGleichung (63) gilt:

CU =α

U=CIRG

=CIRG

= 815, 4m

V(96)

15 Aufgabe 3: Ermittlung charakteristischer Großen

Hierfur wird wieder Schaltung 4 verwendet, allerdings bei verschiedenen Au-ßenwiderstanden Ra. Dabei ermittelt man aus den Schwingungen des Gal-vanometers

• das Dampfungsverhaltnis αn−1

αnund

• die Schwingungsdauer T,

wobei moglichst viele Schwingungen betrachtet werden. Hier dient nun derWiderstand R16 = 330 Ω und der Taster T dazu, die Schwingung zu damp-fen, sodass der Einschwingvorgang schneller ablauft.

Folgende Werte wurden mit einer angelegten Spannung U von 0,8V ge-messen :

40

Ra in Ω ∞ 3300 2240 1500 1200 1000

Periodendauer in s 2,38 2,23 2,2 2,25 2,35 2,35

Periodenzahl α in mm

0 37 36 36 36 35,5 350,5 34 28 24 21 20 161 33 20 18 13 10 71,5 30 15 10 8 5 42 28 11 9 5 3 22,5 26 9 53 25 7 43,5 24 54 22 44,5 205 195,5 186 176,5 167 157,5 148 138,5 129 119,5 1010 1010,5 911 911,5 812 812,5 713 7

Aus diesen Messwerten konnen nun die Daten fur die lineare Regression vonk ausgelesen werden, dabei handelt es sich um gedampfte Schwingungen mitα = α0 ·e−β·n·T . Durch das Logarithmieren des Auschlages α und Auftragender Ergebnisse uber der Periodenzahl n entstehen die in der Abbildung untendargestellten Geraden.

Aus diesen Messungen konnen nun die folgenden charakteristischen Großenbestimmt werden:

• Abklingkonstante βRa Es gilt:

βRa =ln(αn−1

αn

)T

(97)

41

Abbildung 15: Lineare Regression zur Bestimmung von k

Außerdem gilt:

βRa =1

2

1

Θ

(ρ+

G2

RG +Ra

)= β∞ +

G2

2Θ(RG +Ra)(98)

⇒ 1

βRa − β∞=

2Θ

G2·Ra +

2ΘRGG2

, (99)

was wieder einer Geradengleichung mit der Steigung mRa = 2 ΘG2 und

dem Offset cRa = 2ΘRG

G2 entspricht. Nun wird (βRa − β∞)−1 uber Raaufgetragen.

Ra [ω] κ k = e−κ T [s] βRa = −κT [1

s ] (βRa − β∞)−1

∞ -0,1314 1,14 2,21 0,0595 -3000 -0,5523 1,74 2,23 0,2477 5,31352240 -0,7444 2,11 2,2 0,3384 3,58551500 -0,9827 2,67 2,25 0,4368 2,65041200 -1,2657 3,55 2,35 0,5386 2,08721000 -1,4221 4,15 2,35 0,6051 1,8328

42

Abbildung 16: Die Gerade von (βRa − β∞)−1 uber Ra

• Frequenz des ungedampften GalvanometersEs gilt:

ω0 =

√(

2π

T∞)2 + β∞2 =

√(

2π

2, 21)2 + (0, 0595)2 = 2, 84

rad

s(100)

• Außenwiderstand Ra,gr fur GrenzdampfungBeim aperiodischen Grenzfall gilt βRa = ω0, d.h. es wird der Punktauf der Geraden (βRa − β∞)−1 gesucht, an dem βRa = ω0 ist.Der Grenzwert Ra,gr der Ausgleichsgerade an der Stelle y = (ω0 −β∞)−1 = 0, 36 berechnet sich aufgrund von :

y = 0, 0017 ·Ra + 0, 05633

=⇒ Ra,gr =0, 36− 0, 05633

0, 0017= 178, 63 Ω

(101)

• Galvanometer-Kenngroßen G,Θ und DZur Berechnung dieser drei Großen sind auf dem Aufgabenblatt dreiFormeln gegeben:

m =2Θ

G2ω0

2 =D

ΘC ′1 =

G

D(102)

43

simonis

Notiz

Einheit [1/s]

Aus der Gleichung (99) ergeben sich die gesuchten Kenngroßen zu

G =2

mRaω02CI

Θ =2

mRaω40CI

2D =

2

mRaω02CI2

. (103)

und mit eingesetzten Werten von oben:

G =2

0, 0017 · (2, 84)2 · 2, 29 · 104

T

m2= 6, 37 · 10−3 Wb = 6, 37 · 10−3 V · s

(104)

Θ = 3, 45 · 10−8 kg ·m2 (105)

D = 2, 78 · 10−7 N

m(106)

16 Aufgabe 4: Wirkung von Stromstoßen

Bei dieser Aufgabe soll nun der Messstrom nicht solange fließen, bis sichdie Gleichgewichtslage eingestellt hat (siehe Aufgabe 2), sondern es wird dieWirkung von kurzeren Stromstoßen, ausgelost durch die Entladung einesKondensators, untersucht.

Da der exponentielle Stromverlauf keine scharfe Angabe der Stromstoß-dauer TQ erlaubt, gibt man die Zeit TQ = 3RC an, nach der circa 95% derLadung abgeflossen ist.

• Bestimmung der Stromstoßempfindlichkeiten bei sehr kurzerStromstoßdauerDie Stromstoßempfindlichkeit ist folgendermaßen definiert:

Cb =α

QG=

α

UGC=RG +Ra

Ra· α

UC(107)

Dabei wird nun auch berucksichtigt, dass ein Teil der Ladung nichtdurch das Galvanometer fließt.Es werden verschiedene Dampfungen betrachtet:

– Ra =∞ ballistische Empfindlichkeit bei minimaler Dampfung

– R20 = 998 Ω ballistische Empfindlichkeit im Schwingfall

– R19 = 334 Ω ballistische Empfindlichkeit nahe der Grenzdamp-fung und

44

simonis

Sticky Note

Einheiten lauten: [G] = T*m² = V*s [D] = N*m

– R18 = 328 Ω fluxmetrische Empfindlichkeit im Kriechfall

Dabei haben wir folgende Messwerte erhalten:

Messung αmax in mm∞ 999 Ω 341 Ω 33 Ω

1 62 43 28 42 63 44 28 43 62 44 27 54 62 45 28 45 63 44 28 5

Mittelwert 62,4 44 27,8 4,4

Cb in rads experimentell 121166 90246 63059 23175

Cb in rads theoretisch 130087 130087 47856 27934

Abweichung in % 7,4 44,1 31,8 20,5

• Vergleich mit theoretischen WertenDie gemessenen Werte konnen mit theoretischen Ergebnissen vergli-chen Werten, die aus Resultaten der Aufgaben 2 und 3 berechnet wer-den konnen (s. Vorbereitungshilfe Seite 3). Es gilt:

Cb∞,998 =G

ω0ΘCb 334 =

G

ω0ΘeCb 32,8 =

Ra +RGG

(108)

Die Abweichung nahe beim Grenzfall kann daher kommen, dass dieGrenzfrequenz durch Abweichungen beim Widerstand nicht optimalgetroffen wurde.

• Unabhangigkeit der Stromstoßempfindlichkeiten von TQDurch mehrere Messungen mit großen R-Werten sollen wir uns nochdavon uberzeugen, dass die Stromstoßempfindlichkeiten nur fur TQ T beinahe unabhangig von TQ sind.Folgende Werte wurden bestimmt:

R17 in kΩ α in mm TQ in s Cb in rads

40 47 0,618 5330580 39 1,236 44231120 33 1,854 37427160 28 2,472 31756200 24 3,09 27220240 22 3,708 24951280 20 4,326 22683320 18 4,944 20415360 16 5,562 18146400 15 6,18 17012

45

Abbildung 17: Stromstoßempfindlichkeit uber Stromstoßdauer

Dabei ist leider nicht zu erkennen, dass die Stromstoßempfindlichkeitenfur kleine TQ unabhangig davon sind. Man hatte fur den WiderstandR17 zwischen 0 und 40 Ω mehr Messwerte aufzeichnen sollen. Aller-dings ist schon zu sehen, dass die Stromstoßempfindlichkeit fur großereTQ deutlich abnimmt.

46

17 Literatur





• Schaltskizzen vom Aufgabenblatt

• Wikipedia zum Thema ballistisches Pendel de.wikipedia.org/wiki/Ballistisches Pendel,Stand: 29. Oktober 2011

47

fakultat fur fhysik, unlversität karlsruhesimonis/praktikum/musterprotoko… · - 2 - 3.) messen...

Documents