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FENÔMENOS DE TRANSPORTES
PROF.: KAIO DUTRA
AULA 7 E 8 – EQUAÇÕES DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE
Equação de Euler Uma simplificação das equações de
Navier-Stokes, considerando-seescoamento sem atrito (viscosidade 0) édenominada Equação de Euler.
Essa equação estabelece que, para umfluido invíscido, a variação na quantidadede movimento de uma partícula fluida écausada pela força de campo(considerada somente a gravidade) e pelaforça líquida de pressão.
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Equação de Bernoulli Comparada às equações de Navier-Stokes
para escoamentos viscosos, a equação daquantidade de movimento ou de Euler paraum escoamento incompressível e semviscosidade é matematicamente maissimples, mas a sua solução ainda apresentadificuldades consideráveis.
Uma aproximação conveniente para umproblema de escoamento em regimepermanente é integrar a equação de Eulerao longo de uma linha de corrente,originando a equação de Bernoulli.
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Restrições:(1) Escoamento em regime permanente.(2) Escoamento incompressível.(3) Escoamento sem atrito.(4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente.
Energias Mecânicas Associadas a um Fluido
Em uma análise simplificada, três energias estão associadas aoescoamento de um fluido: Energia Potencial (EP):
É o estado de energia devido à sua posição no campo da gravidade emrelação a um plano de referência. A vadiação desta energia é dada pelavariação de sua altura em:
𝐸𝑃 = 𝑑𝑚𝑔𝑧 = 𝜌𝑑∀𝑔𝑧
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Energias Mecânicas Associadas a um Fluido
Em uma análise simplificada, três energias estão associadas aoescoamento de um fluido: Energia Cinética (EC):
É o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. Para umelemento dm, a energia cinética pode ser calculada da seguinte forma:
𝐸𝐶 =𝑑𝑚𝑉2
2=
𝜌𝑉3𝑑𝐴
2
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Energias Mecânicas Associadas a um Fluido
Em uma análise simplificada, três energias estãoassociadas ao escoamento de um fluido: Energia Cinética (EC): Para o caso de uma tubulação sabe-se que a velocidade não é
uniforme ao com a área. Desta forma para resolver a formulada energia para um tubo, utiliza-se um fator 𝛼 para simplificara resolução da integral
𝐸𝐶 = 𝜌𝑉3𝑑𝐴
2= 𝛼
𝜌𝑉𝑚3𝐴
2 O termo 𝛼 é denominado coeficiente da energia cinética. Em
geral a variação da energia cinética é pequena comparada comoutros termos de energia em um fluido, ou seja, em umamudança de velocidade 𝛼1= 𝛼2. Em casos como escoamentosturbulentos, pode-se considerar 𝛼=1.
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Energias Mecânicas Associadas a um Fluido
Em uma análise simplificada, três energias estão associadas aoescoamento de um fluido: Energia de Pressão (EPr):
Esta energia correspondem ao trabalho potencial das forças de pressãoque atuam no escoamento do fluido.
𝐸𝑃𝑟 = 𝐹𝑑𝑠 = 𝑃𝑑𝐴𝑑𝑠 = 𝑝𝑑∀
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Energias Mecânicas Associadas a um Fluido
A energia mecânica total associada a um fluido é determinadapela soma algébrica das três energias previamente apresentadas:
ET=EP+EC+EPr
𝐸𝑇 = 𝜌𝑑∀𝑔𝑧 +𝜌𝑑∀𝑉2
2+ 𝑝𝑑∀
Para um sistema sem dissipação de energia a energia total ET permanececonstante ao longo do escoamento, de forma que podemos cancelar ovolume 𝑑∀.
𝐸𝑇 = 𝜌𝑔𝑧 +𝜌𝑉2
2+ 𝑝 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
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Exemplo 1Ar escoa em regime permanente e com baixa velocidade atravésde um bocal (por definição um equipamento para acelerar umescoamento) horizontal que o descarrega para a atmosfera. Naentrada do bocal, a área é 0,1 m² e, na saída, 0,02 m². Determinea pressão manométrica necessária na entrada do bocal paraproduzir uma velocidade de saída de 50 m/s.
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Exemplo 2
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Pressões Estáticas, de Estagnação e Dinâmica
A pressão, p, que utilizamos na dedução daequação de Bernoulli, é a pressãotermodinâmica; ela é comumente chamada depressão estática.
A pressão de estagnação é obtida quando umfluido em escoamento é desacelerado até avelocidade zero por meio de um processo sematrito.
Na equação de Bernoulli, o primeiro termorefere-se a energia associada a pressão estática eo segundo termo refere-se e energia associadaao movimento.
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Pressões Estáticas, de Estagnação e Dinâmica
Para escoamento incompressível, a equaçãode Bernoulli pode ser usada para relacionarvariações na velocidade e na pressão aolongo de uma linha de corrente nesseprocesso. Desprezando diferenças deelevação, a equação de Bernoulli teremos:Se a pressão estática é p em um ponto doescoamento no qual a velocidade é V, então apressão de estagnação, P0, no qual avelocidade de estagnação, V0, é zero.
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Pressões Estáticas, de Estagnação e Dinâmica
O segundo termo da soma que gera a pressão de estagnação échamado de pressão dinâmica (1ρV2/2).
Desta forma, constata-se, pela equação abaixo, que a pressão deestagnação (ou total) é igual a pressão estática mais a pressãodinâmica.
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Pressão dinâmica
Pressão Estática
Pressão de Estagnação
Pressões Estáticas, de Estagnação e Dinâmica
A pressão de estagnação pode ser medida utilizando uminstrumento denominado de tubo de Pitot. Neste instrumento,mede-se a pressão de estagnação e a pressão estática através deorifícios diferentes, conforme ilustrado.
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Pressões Estáticas, de Estagnação e Dinâmica
O tubo de Pitot é bastante usado na aviação para medição davelocidade do escoamento, conforme mostrado na equação abaixo.
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Exemplo 3 Um tubo Pitot é inserido em um escoamento de ar (na
condição-padrão) para medir a velocidade doescoamento. O tubo é inserido apontando para montantedentro do escoamento de modo que a pressão captadapela sonda é a pressão de estagnação. A pressão estáticaé medida no mesmo local do escoamento com umatomada de pressão na parede. Se a diferença de pressãoé de 20 mm de mercúrio, determine a velocidade doescoamento.
Dados: Densidade do ar:1,23Kg/m³; SGHG=13,6; Densidade da água: 1000Kg/m³;
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Exemplo 3
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Equação da Energia na Presença de uma Máquina
Uma máquina para efeito deste estudo, será qualquerdispositivo introduzido no escoamento, que forneçaenergia (bombas e compressores) ou que retire energia(turbinas), na forma de trabalho.
Considere o escoamento apresentado na figura, ondeH1 representa a energia no ponto 1, H2 a energia noponto 2 e M uma máquina inserida entre estes trechos.
Caso não houvesse a máquina, nem perda de energia,H1 seria igual a H2. Inserindo a energia fornecida ouretirada pela máquina (HM), teremos:
H1+HM=H2
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Potência da Máquina e RendimentoA potência de um fluido, pordefinição, é o trabalho por unidadede tempo.O termo energia mecânica/peso édenominado carga H e o termopeso/tempo refere-se a vazãomássica do fluido. De forma quepodemos escrever N como o produtoda carga H pelo peso específico ϒ e avazão Q:
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Potência da Máquina e Rendimento No caso da presença de uma máquina,
verifica-se que a energia fornecida ouretirada do fluido, por unidade depeso, é indicada por HM, denominadacarga manométrica.
No caso da transmissão de potência,sempre existem perdas, portanto, apotência recebida ou cedida pelofluido não coincide com a potência damáquina, que é definida como sendo apotência no seu eixo.
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Potência da Máquina e RendimentoEntão, para uma bomba, devido as perdas na transmissão dapotência ao líquido N<NB.
Com isso, define-se rendimento de uma bomba como a relaçãoentre a potência recebida pelo fluido e a fornecida pelo eixo.
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Potência da Máquina e RendimentoNo caso de uma turbina, o fluxo de energia é do fluido para amáquina e, portanto, NT<N.
Defini-se rendimento de uma turbina como a relação entre apotência da turbina e a potência cedida pelo fluido.
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Exemplo 4Uma bomba remove água de um reservatório com 5 metros acimade seu nível. A água é bombeada, através de um tubo (D=1”), paraoutro reservatório situado a 10 metros acima do nível da bomba,com uma vazão de 10L/s. O rendimento da bomba é de 0,86.Desprezando as perdas nas tubulações, calcule o potência dabomba.
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Exercícios
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Exercícios
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Exercícios
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Exercícios Um tubo Pitot é inserido em um escoamento de ar (na
condição-padrão) para medir a velocidade do escoamento. Otubo é inserido apontando para montante dentro doescoamento de modo que a pressão captada pela sonda é apressão de estagnação. A pressão estática é medida nomesmo local do escoamento com uma tomada de pressão naparede. Se a diferença de pressão é de 30 mm de mercúrio,determine a velocidade do escoamento.
Dados: Densidade do ar:1,23Kg/m³; SGHG=13,6; Densidade da água: 1000Kg/m³;
Resp.: V=80,8 m/s
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Exercícios10- Um tubo de Pitot instalado em umatubulação, por onde escoa água, registra umadeflexão de 30 mm, conforme mostrado nafigura abaixo. Sabendo que a densidade domercúrio é 14000Kg/m³ e a densidade água é1000Kg/m³, determine a velocidade doescoamento.
Resp.: V=2,8m/s.
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Exemplo 4
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