制御システムの モデリングと伝達関数3 - osaka...
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2010/05/17 1
制御工学I第5回
制御システムのモデリングと伝達関数3
平成22年05月17日
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授業の予定
• 制御工学概論（１回）– 制御技術は現在様々な工学分野において重要な基本技術となっている。工学における制御工学
の位置づけと歴史について説明する。さらに、制御システムの基本構成と種類を紹介する。
• ラプラス変換（１回）– 制御工学、特に古典制御ではラプラス変換が重要な役割を果たしている。ラプラス変換と逆ラプラ
ス変換の定義を紹介し、微分方程式のラプラス変換について解説する。
• 制御システムのモデリングと伝達関数（３回）– システムの相似性について概説し、システムの入出力特性を表す手法である伝達関数について詳
述する。システムの図的表現であるブロック線図とその等価変換について解説する。
• 過渡特性（３回）– システムの過渡状態を評価する方法であるインパルス応答とインディシャル応答について解説する。
システムの速応性や安定性の指標である整定時間、立ち上がり量、行き過ぎ量について述べる。
• 安定性（２回）– システムの安定性の概念を述べ、安定性を判定する代数的方法であるラウス-フルビッツの方法に
ついて説明する。
• 周波数特性（４回）– 周波数領域におけるシステムの特性を周波数特性という。周波数特性と伝達関数との関係を説明
し、ベクトル軌跡とボード線図の作成方法を説明する。
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産業用機器で用いられる制御
• 二値制御（オン・オフ制御）
• 比例制御
• 積分制御
• 比例積分制御
• 比例微分制御
• 比例積分微分制御
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二値（オン・オフ）制御
• 簡単・安価– 操作信号u(t)– 誤差信号e(t)
– 例 便所の水タンク
– 不感帯の幅で誤差幅・動作回数変わる
( ) ( )( )⎩
⎨⎧
<≥
=00
2
1
teUteU
tu
Y+
-X1
X2
U1
U2
eY
+-
X1
X2
U1
U2
e
ヒステリシス（不感帯）
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比例(P)制御
• 出力u(t)と誤差e(t)に比例関係
– 比例ゲインKp
• 伝達関数
– ラプラス変換
( ) ( )teKtu p=
( )( ) pKsEsU=
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積分(I)制御
• 出力変化率が誤差に比例– 積分ゲインKi
• 伝達関数
– ラプラス変換
( ) ( )teKdt
tdui=
( ) ( )∫=t
i dtteKtu0
( )( ) s
KsEsU i=
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比例積分(PI)制御
• 出力u(t)と誤差e(t)の関係
– 比例ゲインKp– 積分ゲインKi
• 伝達関数
– ラプラス変換
i
pi T
KK =
( ) ( ) ( )∫+=t
ip dtteKteKtu0
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
sTK
sEsU
ip
11
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比例微分(PD)制御
• 出力u(t)と誤差e(t)の関係
– 比例ゲインKp– 微分ゲインKd
• 伝達関数
– ラプラス変換
dpd TKK =
( ) ( ) ( )dt
tdeKteKtu dp +=
( )( ) ( )sTKsEsU
dp += 1
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比例積分微分(PID)制御
• 出力u(t)と誤差e(t)の関係
– 比例ゲインKp– 積分ゲインKi– 微分ゲインKd
• 伝達関数
– ラプラス変換
dpdi
pi TKK
TK
K == ,
( ) ( ) ( ) ( )dt
tdeKdtteKteKtu d
t
ip ++= ∫0
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= sT
sTK
sEsU
di
p11
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擾乱を考慮した閉ループシステム
• 制御目標入力R(s)• 擾乱D(s)• 制御目標入力R(s)に対応する応答CR(S)
G1(s) G2(s)+ +
H(s)
+-
R(s)D(s)
C(s)
( ) ( ) ( )sCsHsB R=
B(s)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]sCsHsRsGsG
sBsRsGsGsC
R
R
−=−=
21
21
F(s)
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擾乱を考慮した閉ループシステム
• 擾乱D(s)に対する応答CD(S)
( )( )
( )( ) ( ) ( )sHsGsG
sGsDsCD
21
2
1+=
( ) ( ) ( ) ( )[ ]sFsDsGsCD += 2
( ) ( ) ( ) ( )sCsHsGsF D1−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]sCsHsGsDsGsC DD 12 −=
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )sDsGsCsHsGsG D 2211 =+
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )sHsGsG
sGsGsRsCR
21
21
1+=
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )sRsGsGsCsHsGsG R 21211 =+
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擾乱を考慮した閉ループシステム
• 制御目標と擾乱の同時入力に対する応答
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]sDsRsG
sHsGsGsGsCsCsC DR +
+=+= 1
21
2
1
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sD
sHsGsGsGsCD21
2
1+=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sR
sHsGsGsGsGsCR
21
21
1+=
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擾乱を考慮した閉ループシステム
• 閉ループ系で擾乱の影響が小さくなる条件
• システムの応答G1,G2に制御出力が影響を受けなく
なる条件
( )( )
( )( ) ( ) ( ) 0
1 21
2 →+
=sHsGsG
sGsDsCD
( ) ( ) ( ) 121 >>sHsGsG( ) ( ) 11 >>sHsG
( ) ( ) ( ) 121 >>sHsGsG
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sHsHsGsG
sGsGsRsCR 1
1 21
21 →+
=
( ) ( ) 121 >>sGsG
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ブロック線図の作り方と伝達関数表現
• RC回路の例
i(t) vo(t)vi(t)
R( ) ( ) ( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=−
sCsIsV
sRIsVsV
o
i 0
1/R
1/Cs
+-
Vi(s)
I(s) Vo(s)
Vo(s)
I(s)
1/R 1/Cs+-
Vi(s) Vo(s)
Vo(s)
I(s)1/(RCs)+
-
Vi(s) Vo(s)
Vo(s)
( ) ( ) ( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=
+=
∫ dttiC
tv
tvtRitv
o
i
10
C
( )( ) sCRsVsV
i
o
+=
11
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電気回路の伝達関数表現例
• 直列接続された回路 ( ) ( )
( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
+=−
−+=
∫
∫∫
∫
22
22
22211
211
11
1
11
1
iC
te
dtiC
iRdtiiC
dtiiC
iRte
o
i
i1(t) eo(t)ei(t)
R1 R2
C1 C2i2(t)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
+=−
−+=
sIsC
sE
sIsC
sIRsIsIsC
sIsIsC
sIRsE
o
i
22
22
22211
211
11
1
11
1
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電気回路の伝達関数表現例
( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )sECCsEsCCsCCR
sCsCR
sCsEsC
sEsCCsCCRsC
R
sIsC
sIsC
RsE
oo
oo
i
1
221
2212
1
11
21
212
2121
1
21
11
1
1
11
11
−+++
=
−++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
( ) ( ) sCsEsI o 22 =第3式
第2式 ( ) ( )sIsC
RsC
sIsC 2
22
11
1
111⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++=
( ) ( ) ( )
[ ] ( )( )[ ] ( )sEsCCsCCR
sEsCsCCRsC
sCsECCsCRsI
CCsCRsI
o
o
o
212
212
12
2122
22
1122
2
1121 11
++=
++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++=
第1式に代入
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電気回路の伝達関数表現例
( )( ) ( )( )
( ) 1111
1
2122112
2211
212211
++++=
+++=
sCRCRCRsCRCR
sCRsCRsCRsEsE
i
o
つづき ( ) [ ] ( )
[ ][ ] [ ] ( )
[ ][ ]{ } ( )sEsCRsCRsCR
sECC
CCsCRsCRsCR
sECCCCsCCR
CsCRsE
o
o
oi
212211
1
2
1
2112211
1
221212
1
11
11
111
1
+++=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−++++=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+++
=
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反転増幅回路
ei eo
-+
R1
R2
e’
i1 i2
Ei (s) Eo (s)
-+
Z1 (s)
Z2 (s)
E’ (s)
I (s) I (s)
11 R
eei i ′−=
22 R
eei o−′= i3( )oee
dtdCi −′=3
321 iii +=
( )ooi ee
dtdC
Ree
Ree
−′+−′
=′−
21
ooi e
dtdC
Re
Re
−−
=21
( ) ( ) ( ) ( )sER
CsRsCsER
sER
sEoo
oi
2
2
21
1+−=−
−=
( )( ) 1
1
21
2
+−=
CsRRR
sEsE
i
o
0→′e
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おまけ
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機械系の伝達関数表現例
• ばね質量系u
k1 k2 k3x1 x2
b
( ) ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
−−−−−=+−−−−−=
121222322
212121111
xxbxxkxkxmuxxbxxkxkxm
&&&&
&&&&
m1 m2
( )( )⎩
⎨⎧
+=+++++=+++
121232222
222121111
xkxbxkkxbxmuxkxbxkkxbxm
&&&&
&&&&
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
+=+++
++=+++
sXkbssXkkbssm
sUsXkbssXkkbssm
121322
2
221212
1
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機械系の伝達関数表現例
• ばね質量系
( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( )sUkkbssm
sXkbskkbssmkkbssm
322
2
12
2322
2212
1
+++=
+−++++++
( )( ) ( )( ) ( )2232
2221
21
322
21
kbskkbssmkkbssmkkbssm
sUsX
+−+++++++++
=
( )( ) ( )( ) ( )2232
2221
21
22
kbskkbssmkkbssmkbs
sUsX
+−+++++++
=
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オペアンプ回路
• 入力インピーダンス無限大
• 出力インピーダンス0• 電圧ゲインK
( )12 eeKeo −=
e1
e2
eo
-
+
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反転増幅回路
• オームの法則
• 入力インピーダンス∞
• ゲイン大
• 入出力の関係
11 R
eei i ′−=
22 R
eei o−′=
21 Ree
Ree oi −′≅′−
21 ii ≅0→′e
K>>1なのでe’=0でないとK(0-e’)=eoが破綻
21 Re
Re oi −
=
io eRRe
1
2−=
ei eo
-+
R1
R2
e’
i1 i2
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非反転増幅回路
• -端子電圧
• 増幅
• ゲイン大
• 入出力の関係
oeRR
Re21
1
+=′
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=′−= oiio eRR
ReKeeKe21
1
eieo
-+
R1
R2
e’
ooi eRR
ReKRR
Re21
1
21
1 1+
≅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=
io eRRe ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
1
21