回路シミュレーションにおける...

2013年2月19日＠九州大学 IMI

回路シミュレーションにおける

微分代数方程式の最適モデリング

岩田覚教授（東京大学）および

Caren Tischendorf 教授（Humboldt University of Berlin）との共同研究

中央大学高松瑞代

最適化ワークショップ: 拡がっていく最適化

回路の最適モデリング 2

モデリング (数式で記述) 回路

微分代数方程式 (Differential-Algebraic Eqns)

計算精度の向上のために

① 高精度な数値解法の利用

② DAEの指数減少法の利用

③ 指数を減らすため回路に素子を追加

近年発展してきた理論

多くの動的システムを記述

指数が大きいと数値計算が困難

本研究・・・モデリングに着目

最小指数のDAEを求めるアルゴリズムの構築

③対象の変更

②式の変形 ①解法の工夫

回路の最適モデリング 3

モデリング回路

微分代数方程式 (Differential-Algebraic Eqns)

本研究・・・モデリングに着目

最小指数のDAEを求めるアルゴリズムの構築

特徴

組合せ最適化の視点

マトロイド理論の応用

大規模回路に適用可能なアルゴリズムの導出

近年発展してきた理論

多くの動的システムを記述

指数が大きいと数値計算が困難

(数式で記述)

4

数式表現は一意に定まらない

DAE (A)

DAE (B)

DAE (C)

・・・

)(2

tVvRi CR

t

tVC

t

vCCi

C

Rd

)(d

d

d)( 121

2

0d

d

d

d 22

12

t

uC

t

uCiV

0d

d1

d

d)( 2

211

21 t

uCu

Rt

uCC

)(2 tVu

A C

(u1, u2：節点電位)

回路

V(t)

C2

C1 R

)(1

d

)(d1

d

d)( 121 2

2 tVRt

tVCv

Rt

vCC C

C

B

5

最適モデリングの関連研究

・・・

V(t)

C2

C1 R

変数の個数が最小－最小基本方程式 [甘利 62]

[岸・梶谷 68], [大附・石崎・渡部 68], [伊理 68]

もっとも細かい分解－組合せ論的正準形 [室田・伊理・中村 87]

数値誤差が最小－本研究

最適性の基準

目標：回路シミュレーションの精度向上

“最適な” 数式表現を選ぶ

DAE (A)

DAE (B)

DAE (C)

回路

6

最小指数のDAEを選ぶ

数値的難しさの指標

指数1 指数2

(Differential-Algebraic Eqns) 微分代数方程式の最適モデリング本研究：

・・・

V(t)

C2

C1 R

)(2

tVvRi CR

t

tVC

t

vCCi

C

Rd

)(d

d

d)( 121

2

0d

d

d

d 22

12

t

uC

t

uCiV

0d

d1

d

d)( 2

211

21 t

uCu

Rt

uCC

)(2 tVu

A C

(u1, u2：節点電位) )(

1

d

)(d1

d

d)( 121 2

2 tVRt

tVCv

Rt

vCC C

C

指数0 B

最適

DAE (A)

DAE (B)

DAE (C)

回路

発表の流れ

１．イントロダクション

組合せ最適化

実用的な問題に応用

微分代数方程式：

数値解析

0)),(),(( ttxtxf

(Differential-Algebraic Equations)

回路シミュレーション

・最適化の視点

・マトロイド構造

混合解析におけるDAEの指数最小化

＜分野横断的な研究＞

発表の流れ


２．微分代数方程式

３．回路シミュレーションの歴史

４．本研究の成果

微分代数方程式：

数値解析

0)),(),(( ttxtxf

(Differential-Algebraic Equations)

回路シミュレーション

混合解析におけるDAEの指数最小化

＜分野横断的な研究＞

9

微分代数方程式（DAE）

指数：常微分方程式からの“遠さ”を表す

大きいほど数値計算は困難

微分演算子を含む方程式系

電気回路などの動的システムを記述

DAEの例

Differential-Algebraic Equations：

常微分方程式

),,(d

)(d

),,(d

)(d

2122

2111

txxft

tx

txxft

tx

)()()(

)()(2)(

221

121

tftxtx

tftxtx

代数方程式 … 指数0 指数1

0)d

d,,(

tt

xxf

10

DAEと指数

指数が大きくなるほど数値計算が困難になる

高階微分の出現初期値選択の難しさ

11

DAEと指数


高階微分の出現

t

xx

d

d 21

t

xx m

md

d1

t

xx

d

d 32

)(1 tf

)(tfx mm

)(1 tfm

)(2 tf

)()1()()()1(1)1(

211 tftftfxm

m

m

指数: m

：高階微分の出現

初期値選択の難しさ

12

DAEと指数


)(d

d

)(d

d

)(d

d

33

22

11

tft

x

tft

x

tft

x

)(

)(

)(

332

22

121

tfxx

tfx

tfxx

)0(

)0(

)0(

332

22

121

fxx

fx

fxx

初期値の制約式：なし

初期値の制約式

：隠れた制約式の存在

高階微分の出現初期値選択の難しさ

常微分方程式（指数 0 ）代数方程式（指数 1 ）

13

DAEと指数


高階微分の出現

初期値の制約式：なし初期値の制約式：与えられた式

)(

0d

d

0d

d

32

33

1

21

tfxx

xt

xx

t

xx

,0)0(),0()0(,0)0( 321 xfxx

0d

)0(d,0

d

)0(d,0

d

)0(d 321 t

x

t

x

t

x

t

tfxx

d

)(d2 31 隠れた制約式：

常微分方程式（指数 0 ）代数方程式（指数 1 ）

指数 2 のDAE 与えられた式と「隠れた制約式」

初期値の候補

：隠れた制約式の存在

①

②

③

初期値選択の難しさ

（③の微分－①＋②）

14

DAEのソルバー (Matlab)

指数が1以下ソルバーの選択肢が増える

指数

0

1

2

3

4

・・・

隠れた制約式が存在

難しさの壁 ode15s, ode23t, ode15i

ode45, ode23, ode113, ode23s, ode23tb

RADAU5 [Hairer and Wanner 91]

Matlabのソルバー

指数減少法を適用

常微分方程式

常微分方程式＋代数方程式

初期値選択が困難 [Gear 88] [Mattsson and Söderlind 93] [Kunkel and Mehrmann 04]

15

数値実験：指数 2 のDAEは誤差が大きい

t

V R

C2

C1(t)

[Higueras, März, Tischendorf 03]

C2の電圧の誤差

線形時変回路

目標：回路を記述する最小指数のDAEを求める

指数2

指数0

指数1 指数2：RADAU5

DAEソルバー

指数0/1：ode15s

16

発表の流れ



指数の定義



17

様々な指数

微分指数：常微分方程式への変換に必要な微分の最小回数

摂動指数：摂動したときの解の感度を計る尺度

順良指数（tractability index）：行列で記述できる！

0)d

d,,(

tt

xxf

)()(d

ttV

tU hx

dx(t)

冪零指数（Kronecker指数）

[Brenan, Campbell, Petzold 89]

[Hairer, Lubich, Roche 89]

[März 92]

ではすべて一致

必ずしも指数は一致しない

非線形時変 DAE

定数係数線形 DAE

U, V: 定数行列

18

回路に現れる非線形時変DAE

定義(順良指数; tractability index) [März 01]

指数 0 ： H0が正則

指数 1以下： ker H0への射影子Q0(x,t)が存在して H1(x,t)が正則

指数 2以下： Ker Hi への射影子 Qi(x,t) (i=0,1) が存在して

,),(

),(,),(

),(0x

xbx

x

xhx

ttB

tAtH

0),(d

),(d t

t

tA xb

xh

Q0 (x,t) を使うと

指数0 常微分方程式の常微分方程式

の代数方程式指数1以下に分解可能

),()),()(,(),( 101 tQtQItBtH xxxx が正則

),(),(),(),( 001 tQtBtHtH xxxx

指数2以下 Q0(x,t), Q1(x,t) を使って同様に分解可能

Qが射影子 QQ 2

Q0x

(I－Q0)x

19

順良指数の理解（イメージ）

指数0 常微分方程式

指数1以下

指数2以下 Q0(x,t), Q1(x,t) を使って同様に分解可能

冪零指数の一般化 )()(d

ttV

tU hx

dx(t) 定数係数線形 DAE

（U, V: 定数行列）

係数行列： sU+V 正則変換

Kronecker標準形

ラプラス変換

冪零指数（Kronecker指数）

1

1 s

s

s

s

1

1

1

1

1

1

1

1

s

sO

← 常微分方程式

← 代数方程式

← 指数2のDAE

指数3のDAE

Q0 (x,t) を使うと Q0x

の常微分方程式

の代数方程式に分解可能

(I－Q0)x

20

発表の流れ





21

歴史的背景回路解析法指定するもの

タブロー解析なし

修正節点解析なし

カットセット解析全域木 T

閉路解析全域木 T

分割 (Ey, Ez)

基準木 T

変数の個数一定

1960年代～[式のサイズを減らしたい]

自由度が大きい

変数の個数は変化混合解析

変数の個数

[甘利 62]

（1939年にKronが提案）

混合解析における最小基本方程式

1970年代～[自動的に式を立てたい]

修正節点解析が主流になる (SPICEに導入)

[岸・梶谷 68], [大附・石崎・渡部 68], [伊理 68]

マトロイド理論の応用 [伊理・冨澤 75]

最適モデリングの基準

式の自動生成

1960年代～[式のサイズを減らしたい] 変数の個数

[甘利 62] 混合解析における最小基本方程式



1980年代～ DAEの研究が盛んになる [数値誤差を減らしたい]

[岸・梶谷 68], [大附・石崎・渡部 68], [伊理 68]



式の自動生成

1960年代～[式のサイズを減らしたい] 変数の個数

[甘利 62] 混合解析における最小基本方程式



1980年代～ DAEの研究が盛んになる [数値誤差を減らしたい]

[岸・梶谷 68], [大附・石崎・渡部 68], [伊理 68]



式の自動生成

[Tischendorf 99], [Estévez, Tischendorf 00],

[Estévez 02], [Encinas, Riaza 08], …

[岩田，高松 10], [高松，岩田 10],

[岩田，高松， Tischendorf 12], [高松 12+]

1999年以降修正節点解析から導出されるDAEの解析

2010年以降混合解析から導出されるDAEの解析

本発表：修正節点解析 vs. 混合解析

24

指数1 指数2

回路シミュレーションにおける数学モデル

・・・

V(t)

C2

C1 R

)(2

tVvRi CR

t

tVC

t

vCCi

C

Rd

)(d

d

d)( 121

2

0d

d

d

d 22

12

t

uC

t

uCiV

0d

d1

d

d)( 2

211

21 t

uCu

Rt

uCC

)(2 tVu

A C

)(1

d

)(d1

d

d)( 121 2

2 tVRt

tVCv

Rt

vCC C

C

指数0 B

混合解析

－修正節点解析

DAE (A)

DAE (B)

DAE (C)

回路

修正節点解析と混合解析はどちらが優れているか

混合解析における指数最小化法の構築

25

発表の流れ




４．混合解析に関する成果

26

)(tji s

)(tuv s

非線形時変回路

i

v

i

v

i

v

i

キャパシタ C

インダクタ L

独立電圧源 V

独立電流源 J

従属電源

v~), ( tuV例）

電圧制御電流源

v~

ti

d

d

),(d

dti

tv

i

v

抵抗 G/R

),( tvgi

),( tirv

または

i

電流制御電圧源電圧制御電流源

電圧制御電圧源

素子特性の式非線形時変RLC回路

q(v, t)

27

素子特性の式

)(tji s

)(tuv s


i

v

i

v

i

v

i

キャパシタ C

インダクタ L

独立電圧源 V

独立電流源 J

従属電源

v~), ( tuV例）

電圧制御電流源

v~

),(d

dtvq

ti

),(d

dti

tv

i

v

抵抗 G/R

),( tvgi

),( tirv

または

i

電流制御電圧源電圧制御電流源

電圧制御電圧源

非線形時変RLC回路 MOSFETモデル

(Metal-Oxide-Semiconductor Field-Effect Transistor)

従属電源

28

a

従属電流源

MNA：指数３

混合解析：指数２

[Günther and Rentrop 96]

MNA：指数２

混合解析：指数１

MNA：指数２

混合解析：指数０/１

(混合解析の最小指数)＜(MNAの指数)の例

RLC回路

修正節点解析：Modified Nodal Analysis

29

a

従属電流源

MNA：指数３

混合解析：指数２

[Günther and Rentrop 96]

MNA：指数２

混合解析：指数１

MNA：指数２

混合解析：指数０/１

(混合解析の最小指数)＜(MNAの指数)の例

指数が2 C-Vループまたは

L-Jカットセットが存在 ⇔

[Estévez, Tischendorf 00] 非線形時変RLC回路にMNAを適用

指数が0 ⇔ Vが存在せず Cの全域木が存在

指数が1 ⇔ 指数が0/2以外

RLC回路

30

修正節点解析 vs. 混合解析

(混合解析の最小指数)≦(MNAの指数) が成立 [岩田，高松， Tischendorf 12]

指数が2 C-Vループまたは

L-Jカットセットが存在 ⇔

[Estévez, Tischendorf 00] 非線形時変RLC回路にMNAを適用

指数が0 ⇔ Vが存在せず Cの全域木が存在

指数が1 ⇔ 指数が0/2以外

31

修正節点解析 vs. 混合解析

指数が2 ⇔

非線形時変RLC回路にMNAを適用

指数が0 ⇔ 指数が1 ⇔

従属電源あり混合解析 [岩田，高松， Tischendorf 12]

[高松 12+]

(混合解析の最小指数)≦(MNAの指数) が成立 [岩田，高松， Tischendorf 12]

32

発表の流れ



３．歴史的背景


混合解析

定理の内容

33

混合解析

正規基準木 T

素子の分割 ),( zy EE混合方程式

正規基準木 T

独立電圧源 V, 独立電流源 J

Ey: キャパシタ C, 従属電流源 SI, 一部の抵抗 (G)

Ez: インダクタ L, 従属電圧源 SU, 残りの抵抗 (R)

素子の分割

V の枝をすべて含み, の順に枝を優先的に

含む全域木

),(d

dti

tv

),(d

dtvq

ti ),( tvgi

),( tirv

LSRGSC UI ,,,,,

),( uiji I

),( uiuv V

TEy

TEz の電流

の電圧変数

34

混合解析

正規基準木 T

素子の分割 ),( zy EE混合方程式

TEy

TEz の電流

の電圧変数

L

V(t) G

R

C

LRG iivg )(

GsR vtvir )()(

GsL vtvit

)()(d

d

混合方程式

RLG iiv ,,

}),{},,({),( RLGCEE zy

},{ GVT

変数

【例】

35

非線形時変回路：指数の構造的特徴づけ

V と C を縮約・ L と J を除去したグラフ :~G

US従属電圧源

従属電流源 IS

が閉路を含まず

がカットセットを含まない

US

IS

がコループからなり R

G zE の抵抗

の抵抗 yE

がループからなる

指数が1以下

G~

において

指数が0

G~

において

),( zy EE与えられた分割と正規基準木 T に対して

定理１

分割のみに依存分割と基準木に依存しない

指数0の分割を求めるアルゴリズム

定理２

【仮定】抵抗：強受動性・相反性

キャパシタ・インダクタ：強受動性

36

非線形時変RLC回路：指数は１以下

(混合方程式の指数)≦1

IS, US

非線形時変RLC回路：

系３

（証明）

US従属電圧源

従属電流源 IS

が閉路を含まず

がカットセットを含まない

指数が1以下

G~

において

定理１【仮定】抵抗：強受動性・相反性


37

非線形時変RLC回路：混合解析の優位性

定理２【仮定】抵抗：強受動性・相反性


US

IS

がコループからなり R

G zE の抵抗

の抵抗 yE

がループからなる

指数が0

G~

において

(混合解析の最小指数)≦(修正節点解析の指数)

非線形時変RLC回路：

系４

数値計算の観点：混合解析は修正節点解析より優位

MNAが指数0 ⇔ Vが存在せず Cの全域木が存在

[Estévez, Tischendorf 00]

（証明）

:~G

「MNAが指数0⇒混合解析も指数0」を示す

38

発表の流れ





混合解析

定理の内容

定理１の証明の概略

（組合せ的行列理論）

従属電源あり

定理１：指数１以下の必要十分条件

定理２：指数0の必要十分条件

RLC回路

系３：常に指数１以下

系４：混合解析はMNAよりよい

・・・線形代数＋グラフ理論

[岩田, 高松, Tischendorf 12]

39

OAIOOO

OOOOOO

OOOOOO

OOOOOO

OOOOOO

OOOIAO

CC

LLT

0

)(

)(

)(

)(

0

d

d

q

qt0

)(

)(

)(

)(

)(

)(

TTTTT

TTTTTT

TTTTTT

tAAAAAA

tAAAAAA

tAAAAA

AAAAtA

AAAAAtA

AAAAAtA

sCJLCLUCURCRCGICI

sIJLILUIURIRIGIIII

sGJLGLUGURGRGG

RRGGRIIRCCRsVR

VUUURUGGUIIUCCUsVU

VULRLGGLIILCCLsVL

jiiigj

jiiigjj

jiiigg

rrvvvv

uvrvvvv

urvvvv

A ),( txh ),( txb

0),(d

),(d t

t

tA xb

xh特殊な形の非線形時変DAE

キャパシタとインダクタの素子特性の式電流則の係数行列の一部

混合方程式

定義

指数 1以下： H+BQが正則となるker Hへの射影子Q(x,t)が存在

x

xbx

x

xhx

),(),(,

),(),(

ttB

tAtH

40

BQH

IRIU

GRGU

IRGR

IUGU

AA

AA

AA

AATT

TT

IG

GG

TRR

TRU

AO

AI

IA

OA

コンダクタンス

行列

TTIGGG

RRRU

AA

OI

IO

AA

電流則の係数行列の一部

N（歪対称行列） A~ T~

A

O

O

O

O

O

O

OOOOOO

OIOOOO

OOIOOO

OOOIOO

OOOOIO

OOOOOO

),( tQ x指数１以下の証明の概略

定義

x

xbx

x

xhx

),(),(,

),(),(

ttB

tAtH


が正則となる条件

41

BQH


行列 N A

~)

~( TA

証明：歪対称行列に着目

定義

x

xbx

x

xhx

),(),(,

),(),(

ttB

tAtH

（N：歪対称行列）

が正則となる条件

Schur complement

WZ

YX

YZXWO

YX1

A~

T~A

N

逆行列


OOOOOO

OIOOOO

OOIOOO

OOOIOO

OOOOIO

OOOOOO

),( tQ x

42

BQH


行列 N A

~)

~( TA

証明：歪対称行列に着目

定義

x

xbx

x

xhx

),(),(,

),(),(

ttB

tAtH

（N：歪対称行列）

O

A~

T~A

N

O

O O

逆行列

歪対称行列

A~

T~A

N ＝

行フルランク

逆行列

歪対称行列の性質を利用が正則となる条件

OOOOOO

OIOOOO

OOIOOO

OOOIOO

OOOOIO

OOOOOO

),( tQ x


仮定：正定値対称

43

指数１以下の特徴付け

対象: 非線形時変回路

分割と優先基準木 T に対して指数が1以下 ),( zy EE

V と C を縮約・ L と J を除去したグラフにおいて

US従属電圧源従属電流源

ISが閉路を含まず, がカットセットを含まない

CV

I

電流則の係数行列

JLUS IS

O

＊ I

O

＊

列フルランク

従属電流源従属電圧源

電圧則の係数行列

【仮定】キャパシタンス行列, インダクタンス行列が正定値コンダクタンス行列が正定値対称

44

発表の流れ





混合解析

定理の内容

定理１の証明の概略

指数２以下の特徴づけ

（組合せ的行列理論）

従属電源あり

定理１：指数１以下の必要十分条件

定理２：指数0の必要十分条件

RLC回路

系３：常に指数１以下

系４：混合解析はMNAよりよい

・・・線形代数＋グラフ理論

[高松 12+]



),( zy EE与えられた分割と優先基準木 T に対して

指数≦2 ⇔ グラフが VU閉路も JIカットセットも含まない

VとUからなる閉路 JIからなるカットセット

指数≦1 ⇔ グラフが CVU閉路も LJIカットセットも含まない

独立電圧源（V），従属電圧源（U），キャパシタ（C）からなる閉路ただし，少なくとも1個のUを含む

独立電流源（J），従属電流源（I），インダクタ（L）からなるカットセットただし，少なくとも1個のIを含む

[岩田, 高松, Tischendorf 12] （再掲）

[高松 12+]

一般的な回路で満たされる条件

多くの場合，指数は２以下


),( zy EE与えられた分割と優先基準木 T に対して

指数≦2 ⇔ グラフが VU閉路も JIカットセットも含まない

VとUからなる閉路 JIからなるカットセット

指数≦1 ⇔ グラフが CVU閉路も LJIカットセットも含まない

独立電圧源（V），従属電圧源（U），キャパシタ（C）からなる閉路ただし，少なくとも1個のUを含む

独立電流源（J），従属電流源（I），インダクタ（L）からなるカットセットただし，少なくとも1個のIを含む

[岩田, 高松, Tischendorf 12] （再掲）

a C V(t) L I I

L C

V

グラフへ指数2

[高松 12+]

LJIカットセット

混合方程式

キャパシタとインダクタの素子特性の式

OAIOOO

OOOOOO

OOOOOO

OOOOOO

OOOOOO

OOOIAO

CC

LLT

0

)(

)(

)(

)(

0

d

d

q

qt0

)(

)(

)(

)(

)(

)(

TTTTT

TTTTTT

TTTTTT

tAAAAAA

tAAAAAA

tAAAAA

AAAAtA

AAAAAtA

AAAAAtA

sCJLCLUCURCRCGICI

sIJLILUIURIRIGIIII

sGJLGLUGURGRGG

RRGGRIIRCCRsVR

VUUURUGGUIIUCCUsVU

VULRLGGLIILCCLsVL

jiiigj

jiiigjj

jiiigg

rrvvvv

uvrvvvv

urvvvv

A

電流則の係数行列の一部

),( txb

0),(),(d

d tt

tA xbxh特殊な形の非線形時変DAE

順良指数が２以下の定義

Ker Hi への射影子 Qi(x,t) (i=0,1) が存在して

),()),()(,(),( 101 tQtQItBtH xxxx が正則

),(),(),(),( 001 tQtBtHtH xxxx ただし，

x

xbx

x

xhx

),(),(,

),(),(0

ttB

tAtH

),( txh

A0

＋A1（抵抗のヤコビ行列）A1T

＋A1（抵抗のヤコビ行列）（キャパシタ，インダクタ，射影子）

＋（キャパシタ，インダクタ，射影子）

＋A2（従属電源のヤコビ行列）（キャパシタ，インダクタ，射影子）

48

),()),()(,(),( 101 tQtQItBtH xxxx の計算

Ai：定数行列

が正則 ⇔ グラフが VU閉路も JIカットセットも含まない

指数≦2 全体が正則 ⇔

⇒ ⇒

従属電源のヤコビ行列の成分が独立パラメータ

証明の概略

49

まとめ


混合解析における指数０/１/２の回路構造による特徴づけ

修正節点解析に対する優位性の証明

線形時不変回路 ← 付値マトロイド理論を利用

指数最小化法

修正節点解析に対する優位性の証明

【仮定】抵抗：強受動性・相反性

キャパシタ・インダクタ：強受動性 [高松 12+]


[岩田, 高松 10]

[高松, 岩田 10]

「最適化の視点」を回路や数値解析の分野の問題に拡げた

線形回路から始めて非線形回路まで拡げた

拡がっていく最適化

回路シミュレーションにおける...

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