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は し が き
システム制御理論は現代制御理論 とも呼ばれ,いわゆる
古典制御理論では設計の難しかった多変数制御 システムの
設計に有効に利用できることが知 られている.
この現代制御理論は,古典制御理論に比べ抽象的でわか
りに くいといわれている.その理由は,古典制御理論では
数学的記述が少なく,設計論 とい う立場がとられているの
に対し,現代制御理論では,理論の展開に重点が置かれて
きたため,実際にどのように利用したらよいか把握しに く
かったためであろう.
しかし,微分方程式でシステムを記述する工学の多 くの
分野,さらには,社会 ・経済学などでは,システムの安定
論,構造分析,制御などを問題にしてお り,状態方程式を
もとにこれ らを統一的に論ずる現代制御理論は,それぞれ
の分野の共通基礎としても利用 され,古典制御理論よりも
普遍的な学問といえよう.
本書は,このような観点から,設計論を重視し,システ
ム制御理論を平易に解説したものであ り,とくに,次の点
を工夫した.基本定理については,その物理的意味が把握
できるように,適切な例題を設けた.また,本質を失わな
い程度でその証明をやさしくしたが,これをとばして読み
進めても,設計法 として利用できるように配慮した.
以上の諸点から本書は, 大学学部, 工専の学生, およ
び,システム制御理論を利用されようとする技術者の入門
書に適していると思われる.
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本書がシステム制御理論の発展に少しでも役立てば幸い
である.
終わ りに, 本書をま とめ るにあた り御助言を頂 き, ま
た,筆者の一人が日頃から御指導頂いている,東京工業大
学,古田勝久助教授に感謝いたします.また,グラフ作成
に助力頂いた千葉大学大学院学生須藤栄一君,いろいろお
世話頂いた実教出版富樫浩,梅沢俊介各氏に併せて謝意を
表します.
昭和54年8月
小 郷 寛
美 多 勉
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目 次
第1章 動 的 シス テ ム と状 態 方程 式1
1-1動 的 シス テ ム と静 的 シ ス テ ム1
1-2電 気 シス テ ム と状態 方 程 式4
1-3機 械 シス テ ム と状態 方 程 式5
1-4電 気-機 械 シス テ ム と状 態方 程 式6
1-5ブ ロ ック線 図 と状態 方 程 式7
1-6非 線形 シス テ ムの線 形 化 と タ ン クシ ステ ム9
1-7ラ グ ラ ンジ ェの 運動 方 程 式 と状 態 方 程 式13
第2章 行 列 論20
2-1行 列 お よ び ブ ロッ ク行 列 の和 算 , 乗 算21
2-2行 列 式24
2-3逆 行 列25
2-4転 置 行 列28
2-5ベ ク トル の線形 独立 性 と行列 の ラ ン ク29
2-5-1ベ ク トルの線形独立性 (29)
2-5-2行 列 の ラ ン ク (30)
2-5-3ベ ク トルの線形独立性と行列の ランクとの関係 (32)
2-5-4代 数方程式 の解 とその存在条件 (33)
2-6固 有 値 , 固 有 ベ ク トル と対角 化 お よび ジ ョル ダ ン形 式34
2-6-1固 有値,固有ベ ク トルと対角化 (34)
2-6-2対 称行列の対角化 (36)
2-6-3ジ ョルダン形式への変換 (38)
2-7行 列 の トレース44
2-82次 形 式 と正定 関数 , お よび正 定 行 列45
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2-8-12次 形式 と正定関数 (45)
2-8-2正 定,準正定行列 (45)
2-9行 列や ベ ク トル の微 分 , 積分48
2-10行 列 関 数 とケ ー リー ・ハ ミル トンの定理49
2-10-1行 列関数とexp(At) (49)
2-10-2ケ ー リー ・ハミル トンの定理 と最小多項式 (51)
2-11ベ ク トル空 間 と線 形変 換52
2-12静 的最 適 化 とラ グ ラ ンジ ェの未 定 定 数法55
第3章 状 態 方程 式 の解 とシ ス テ ムの 安 定性 理 論61
3-1線 形 時 不変 シス テ ムの応 答 と状 態推 移 行 列61
3-2種 々の 応答 計 算 法66
3-2-1ラ プ ラス変換に よる方法 (66)
3-2-2計 算機を利用 した応答計算 (67)
3-3線 形 時不 変 シス テ ムの漸 近 安定 性69
3-3-1漸 近安定性 とシステムの極 (69)
3-3-2ラ ウス ・フルビ ッツの安定判別法 (71)
3-3-3リ アプノフ方程式 と安定判別 (74)
3-3-4出 力の2乗 積分値の計算 (76)
3-4リ ア プ ノ フの安 定 性 理 論79
第4章 可制 御 性 , 可観 測 性 と線 形 シ ステ ム の構 造85
4-1可 制 御 性 , 可観 測 性 とそ の 双対 性86
4-2伝 達 関 数 行 列 と状 態 変 数変 換92
4-2-1伝 達関数行列 と極,零点 (92)
4-2-2状 態変数変換 とシステムの等価性 (94)
4-31入 力1出 力 シス テ ム の正 準形 式 とそ の応 用96
4-3-1対 角正準形式 とその応用 (97)
4-3-2可 制御正準形式 とその応 用 (101)
4-3-3可 観測正準形式 (105)
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第1章
動的システムと状態方程式
こ こでは ,動的システム (dynamical system) の 定 義 と,い ろい ろな動 的 シス テ ム
の数 式表 現 を求 め る方 法 につ い て述 べ る.
1-1動 的 シ ス テ ム と静 的 シ ス テ ム
入力 (input)があ り, それ とな ん らか の因 果関 係 を保 ち なが ら出力 (output)を
出 す機 構 や 自然環境 を 一般 に システム (system), または , 系 と呼 ぶ . た とえば,
図1-1の 電 流 計は 入 力 と して端 子 間 に流れ る電流 を と り,
出 力 として指 針 の位 置 を とれ ば,1つ の シス テ ム とな る.
あ る時 刻 で の出 力が そ の時 刻 の 入力 だけ に 依存 す る シス
テ ムを静的 システム (Static system) と呼ぶ . また 出力 が, そ
の 時 刻, お よび過 去 の入 力や ,現 象 が始 ま った ときの 内部
状 態 に依 存す る シス テ ムを 動的システム と呼 ぶ. したが っ
て ,動 的 シス テ ムにお い ては ,過 去 の 入力 を 記憶 した り,
内 部状 態 を表 現 した りす る中 間変 数 が必 要 とな る. この 中間 変 数 は状態変数 (state
variable)と呼ば れ る (図1-2参 照).
1つ の シス テ ムで も,扱 い 方 に よっては
静 的 シ ステ ム と も動 的 シス テ ム ともみ な さ
れ る. た とえば ,電 流 計 では 指針 の位置 が
一 定 に落 ち着 くまで の時 間を 無視 す れば ,
10Aの 電 流 が流 れ た とき指針 は10Aの 目盛 を指 す. よって電 流 計は , 入 力の 電
流値 を1倍 して 出力 の 目盛 を指 示 す る静 的 シス テ ム とい え る. また,5Aの 電 流
図1-1 電流計
図1-2 動 的 シス テ ム
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が 流 れ , 指針 が5Aの 目盛上 で静 止 して い る と き, 急 に10Aの 電 流 を流 す と,
指 針 は5Aか ら10Aの 目盛 へ移 動 す る. 指 針 が移 動 す る時 間 内 を 考 えれ ば, そ
の位 置 は刻 々変 わ り, あ る時刻 で の指 針 の位 置 は, そ の 時刻 での 入 力10Aば か
りで な く, 過 去 の入 力5Aに も依 存 す る. よ って, 動 的 シ ス テ ム と もい え る.
す なわ ち , 静 的 シス テ ムは定 常状 態 に ある シ ス テ ムを表 現 し, 動 的 シス テ ムは
過 渡 状 態 に あ る シス テ ム を表 現 し て い る.
同 じ理 由か ら, 直 流 回路 論 , 交流 回路 論 は 静的 シス テ ム, 過 渡 回路 論 は 動 的 シ
ス テ ム の立場 か ら回 路 をみ た とき の学 問 で あ る.
一 般 に , 静的 シス テ ム は代 数 方程 式 で ,動 的 シス テ ムは 微 分方 程 式 を使 って記
述 す る こ とがで き る. さ らに, 常 微 分 方 程式 で表 現 され る動 的 シ ス テ ムを集中定
数システム (lumped parameter system), 偏微 分 方 程 式 で表 現 され る動 的 シス テ ムを
分布定数 システム (distributed parameter system) とし て区 別す る. 本 書 で は, 以 下
集 中定 数 シ ステ ムだ け を 扱 う.
さて, 状 態変 数 がx1(t),x2(t),… ,xn(t)のn個 , 入 力変 数がu1(t),u2(t),
…,um(t)のm個 , 出 力 変数 がy1(t),y2(t),…,yl(t)のl個 で記 述 され る シス
テ ムを考 え て い こ う. これ らを ベ ク トル に ま とめ
(1-1)
と し て お く.x(t) ,u(t),y(t) は ,そ れ ぞ れ 状 態 変数 ベ ク トル (state variable vector),
入 力 変 数 ベ ク トル (input variable vector) , 出力 変 数 ベ ク トル (output variable vector)
と呼 ば れ る . こ の よ うな 動 的 シ ス テ ム は 単 一 のn階 , ま た は , 複 数 の 高 階 の 常 微
分 方 程 式 を 用 い て 記 述 さ れ る こ と も あ る が , 現 代 制 御 理 論 で は , 連 立n次 の1階
常 微 分 方 程 式 に よ っ て
(1-2)
(1-3)
とし て表 され る も のを考 え る. 後述 す る線 形 シ ス テ ムで は, これ らの表 現 の 間 に
は等 価 な変 換 が成 立 す る. ここで ,f,gはn次 元 とl次 元 の ベ ク トル 関 数 で
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あ る . 式 (1-2) は 状 態方 程 式 (state equation) , 式 (1-3) は 出力 方程 式 (output
equation) と 呼 ば れ , 状 態 変 数 の 個 数nを シ ス テ ム (1-2) ,(1-3) の (動 的) 次
元 (order) とい う.
と くに ,f,gがxとuの 線 形 関 数 と な り
(1-4)
(1-5)
と お け る と き , 線 形 時変 シス テ ム (linear time-varying system) と呼 ば れ る . こ こ で ,
・は 微 分 記 号 で
(1-6)
を 意味 し,A,B,C,Dは それ ぞ れn×n,n×m,l×n,l×m次 元 の行 列 関数 で
あ る.
また,A,B,C,Dが 時 間 に よ らない一 定 行 列 で
(1-7)
(1-8)
とな る と き, 線形時不変システム (linear time-invariant system) と呼 ばれ る. 以下 ,
主 に, 線 形 時不 変 シ ス テ ムにつ い て考 え てい くが, この よ うな シ ステ ムは理 論 的
に扱 い やす く, また実 際 の シ ス テ ム もこの よ うな シ ステ ムで 近似 され る こ とが多
い. 簡単 のた め, シス テ ム (1-7) ,(1-8) をx=Ax+Bu,u=Cx+Duと 略
記す る こ ともあ る. また, シス テ ムの次 元nはt>t0に お け る シス テ ムの運 動 を
唯一 に決 定す るの に必 要 な,t=t0で の独 立 な内 部状 態 (初 期 値)の数 か ら求 め ら
れ る. と くに, 内 部変 数 で あ る状 態 変 数は い ろい ろに選 べ るので ,A,B,Cは 唯
一 に は定 ま らな いが ,後 で述 べ る よ うに 伝達 関 数行 列 や シ ス テ ムの基本 的 な 性 質
が等 しい とい う意味 で は, すべ ての シ ス テムは 等 価 であ る.
以下 , い ろい ろ な シス テ ムに おい て状 態 方程 式 (1-7) を求 め る方 法 につ い て
述 べ よ う. 出力 方 程式 (1-8) は入 力 や状 態 変数 の線形 結 合 を 出力 として取 り出
す こ とを意 味 して い る のに す ぎ ず , 式 (1-7) が 求 まれ ば 直 ちに 決定 で き る の
で, 本 章 では これ 以上 取 り扱 わ な い.
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1-2 電 気 シ ス テ ム と状 態 方 程 式
電気システム (electrical system) を構 成 す る基 本 要素 は, コンデ ンサ, 抵 抗, コ
イル の3つ で あ る. 状態 方 程式 は , これ らの要 素 につ い て の作用 ・反 作用 の 法則
とキル ヒホ ッフの法則 よ り求め られ る. 作用 ・反作 用 につ い て考 えてみ よ う. い
ま, これ らの要 素を 通過 す る電 流 をi(t), 両 端 の逆 起電 力 をv(t) とす る と次 の
関 係式 が 得 られ る.
コ ン デ ン サ
(1-9a)
抵 抗 (1-9b)
コイル (1-9c)
電 圧 源 を入 力 とす る通 常 の回 路 では ,コンデ ンサ に つ いてi=Cvの 式を 使 い,
また, 状 態変 数 として コイル に 流れ る電流 と コ ンデ ンサ の両 端 の電 圧 を と る と,
積 分 項 が現 れ な いた め便 利 に状 態 方 程式 をた て る こ とがで きる. 状 態変 数 の数n
は独 立 につ な がれ た コ ンデ ンサ と コイル の数 に等 し くな る.
[例題1-1] 図1-3は , 入力電圧 をu(t)とした電気回路である.C1,C2の 両端の
電 圧 と,Lに 流れ る電 流 をそれ ぞ れ 状 態変 数
x1(t),x2(t),x3(t)とし て み よ う. す る と,
C2に 流 れ る電流C2x2とLに 流 れ る電流x3
が 等 しい こ とよ り,C2×2=x3, また ,Lの
逆 起 電 力Lx3とC2の 電 圧x2の 和 がC1の 電
圧x1に 等 しい こと よ り,Lx3+x2=x1. さ
らに ,Rに お け る電 圧降 下 とC1の 電 圧 の 和 が
uに 等 しい こ と よ り,R(C1x11+x3)+x1=u .
上述 の3式 を左辺に微 分項が くるように整理 し,行列とベ ク トルを用いて表すと
〓
の状 態 方程 式 とな る.
な お, 図 の よ うに ,x1が 出力 変数 と考 え られ る とき, 出 力方 程 式は
図-3
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〓
となる.
1-3 機 械 シ ス テ ム と 状 態 方 程 式
機械 システム (mechanical system) を構 成 す る基 本 要 素は バ ネ, ダ ンパ (粘 性 摩
擦 分), マ ス (質 点) の3つ で あ る. 実際 に は 非 線形 な クー ロン摩 擦, 静 摩擦 等
が あ るが , これ らは 無視 で き る もの とす る.
状 態 方 程 式 は これ らの要 素 に つ い て の作用 ・反 作用 の法 則 (ダラ ンベ ー ル の原
理 等) と力 のつ りあ い を考 え る こ とに よ って求 め る こ とが で きる.
い ま, これ らの要 素 の変 位 をx(t), 加 わ る力 をf(t) とす る と, 次 の 関係 式 が
得 られ る.
バ ネ (1-10a)
ダ ンパ (1-10b)
マ ス (1-10c)
な お, 回 転座 標 系 で は, トル クをT(t) , 回 転 角 を θ(t), 慣 性 モ ー メ ン トをJ
とお くと, 上式 は, そ れ ぞれ
(1-11)
とな る.
また, 電 気 シ ス テ ム に お い て 電 荷q(t) を考 え る と,i(t)=q(t) な の で, 式
(1-9) は
(1-12)
とお け, 式 (1-10) と比 較 す る ことに よ って, 電圧-力 ,電 荷-変 位, コン デ ン
サ-バ ネ, 抵抗-ダ ンバ , コイル-マ スの 電 気系-機 械 系 のアナロジー (analogy)
が 成 り立つ こ とがわ か る.
機 械 シス テ ムに お いて は, 変 位x(t) と速 度x(t) を 状 態変 数 に と る と 簡単 に
状 態 方 程式 を た て る こ とが で き る. また , 電 気 シ ス テ ムに お い てq(t) とq(t) を
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状 態 変 数 に と る こ と も で き る.
[例 題1-2]図1-4に お い て,u(t)は 入 力 とし
て の力 で あ る とす る.重 力 とのつ りあ い の 位置 鋤 か
らの マ スの 変位 をx(t) とす る と,マ スに対 し上 向 き
にKx,Dx,Mxの 力 が 加 わ り, 下 向 きにu(y) が 加
わ って い るの で, 力 の つ りあ い よ り
〓
を 得 る. 状 態 変数 と してx1=x( 位 置),x2=x( 速
度) を と る と,x1=x2と , 式 〓 よ りMx2+Dx2+
Kx1=uが 得 られ, 整 理 す る と
〓
の状態方 程式 となる.
1-4 電 気-機 械 シ ス テ ム (直 流 モ ー タ ) と状 態 方 程 式
冒頭 で 述 べ た 電流 計 な どは 電気-機 械 システム (electromechanical system) で あ
り, 流れ る電 流 で 電磁 力 を 発生 し, この 力 に よ って 指針 を振 る よ うに した もの で
あ る. ほ ぼ 同様 な 原理 に よ ってつ くられ た も のに モー タが あ る. こ こでは , と く
に 直流サーボモータ (DC servo-motor) に つ い て考 えて い こ う.
図1-5は , 粘 性 摩 擦 係 数Dと 慣 性 モ ー メ ン
トJの 負荷 に接続 され , 回 転角 θ(t)で運 転 され
て い る直 流 サ ー ボ モ ー タで あ る.La,Ra,Lf,Rf
は それ ぞ れ 電機 子回路 と界 磁 回路 の イ ン ダ ク タ
ンスお よび 抵抗 であ る. また ,va(t),vf(t)は そ
れ ぞれ の 回 路 の 入力 電 圧 で あ る (小 型 の モー タ
で は界 磁 は永 久 磁 石 で つ くられ てい る. これ は,
以 下 で述 べ るif=一 定 の条 件 に対応 す る).
この と き,次 の関 係 式 が知 られ て い る.
電 機 子 回路 の起 電 力 のつ りあ い
図1-4
バ ネ-マ ス-ダ ンパ 系
図1-5 直 流 サ ー ボ モー タ
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(1-13a)
界磁回路の起電力のつりあい
(1-13b)
発 生 トル ク と消 費 トル クの つ りあい
(1-13c)
ここで ,Mは 電機 子 巻線 と界 磁巻 線 の相 互 イ ンダ ク タ ン ス に 比 例 した 定数 で
あ る.
と くに ,if=一 定 の と きには 定励磁制御 とい われ よ く利 用 され る. こ の場合 に
は ,式 (1-13b) は意 味 を な さ ない の で,K=Mifを モ ー タ定 数 と呼 ぶ こ とに
よ り, 式 (1-13a) と (1-13c) か ら
(1-14a)
(1-14b)
の2式 を得 る. こ こで, 状 態 変 数 をx1=θ (回転 角),x2=θ (角 速度 ),x3=ia
(電機 子 電 流) と し,u=vaと す る と,x1=x2と 上 述 の2式 よ り
(1-15)
を 得 る.
実 際 のサ ーボ モ ー タでは ,Laを 小 さい と し,式 (1-14a) に おい てLaia=0
と近 似す る こ とが 多 い. この ときに は ,式 (1-14a) と式 (1-14b) か らiaを
消 去 す る と
(1-16)
とな り,x1=θ ,x2=θ ,u=vaと お い て2次 元 の近 似 シス テ ムを得 る.
1-5 ブ ロ ック 線 図 と 状 態 方 程 式
制 御 シス テム は,しば しば ラブ ラス変 換 を使 って表 示 され た ブロック線図 (block
diagram) で 与 え られ る. こ こでは , ブロ ック線 図 か ら状態 方 程式 を 求 め る方 法 に
つい て 述べ てお こ う.
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まず,図1-6(a) の よ うな シス テ ムに お い
て は
(1-17)
が 成 り立 つ ので ,E(s) を 消 去す る と
(1-18)
とな り, 同図 (b)で表 す こ とが で きる.
さて ,図1-7(a) の よ うな一次遅れ要素 (first order lag element) を もつ 単一 ブ ロ
ックが あ る もの とし よ う. この ブ ロ ックは上 で示 した手 順 の逆 を利 用 す る こ とに
よ って 同 図 (b)に変 換 で き る.1/sは 積 分作用を す る の で 積分器 (integrator)にか
え て, 時間 域 へ 変換 す る と, さ らに 同図 (c)とな る. こ の よ うな線 図 は 状態変数線
図 (state variable diagram) と呼 ば れ てい る. 積 分 器 の出力 をx(t) とす る と, そ
の入 力 側 はx(t) な の で, 信 号 の流 れ に そ って ま とめ る と
(1-19)
の状態 方程 式 を 得 る .
多 くの ブ ロ ックが あ る と きに は, 各 ブ ロ ッ クを 上述 の方 法 で 時 間域 に変 換 し て
か ら状態 方 程 式 に ま とめ れ ば よい. した が っ て,積 分 器 の数 だ け の状 態変 数が あ
る こ とに な る.
[例題1-3] 図1-8(a) のブ ロック線 図は, 上述の方法によって同図 (b)の ような状
態変数線 図とな る.た だし,左上 のブロッ クは分母 と分子 の次数が等しいので
〓
と変形 してか ら変換を行 った. 図の ように状態変数をとると, 信号 の流れに注目して
図1-6 ブロ ック線図 の等価変換
図1-7 状態変数線 図へ の変換
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〓
の状態方程式を得 る. 出力yはx1に 等 しいので出力方程式は次の ようになる.
〓
以 上 で は1次 の伝 達関 数 を もつ ブ ロッ クだ け を扱 ったが , 高次 の伝 達 関数 を も
つ ブ ロ ックに つ いて は第4章 で述 べ る可 制御 正 準形 式 を利 用 して各 ブ ロ ックを部
分的 な状態 変 数 線 図に置 き換 えれ ば よい .別 な方 法 と して, ブ ロ ック線 図 全体 を
1つ の伝 達 関 数 に ま とめ, これ か ら可制 御正 準 形式 を 利用 して状 態 方程 式 を 求め
る方 法 も考 え られ る. ただ し, こ の場合 に は状 態 変数 の物 理 的意 味 が失 わ れ る こ
とが あ る.
1-6 非 線 形 シ ス テ ム の 線 形 化 と タ ン ク シ ス テ ム
一 般 の シス テ ムは そ の多 くが 非線形 (non-linear)であ る . これ は式 (1-2) の
関数fがxやuの2次 以上 のべ き関数 を 含 む 場 合 をい う. た とえば ,x(t)=
sinx(t)+cosu(t) 等 は非線 形 シ ステ ムで あ る. この場 合 , 適 当 な状 態 変数 や 入
図1-8
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力 変 数 の基 準値 を与 え, この基 準値 の まわ りでfを テ ー ラ ー展 開 し,xやuの
1次 の項 だ け でfを 近 似す る方 法 が と られ る. これを 線形化 (linearization)ま た
は 線形近似 とい う. た だ し, 近 似 が 成 り立 つ 範 囲 は基 準値 や基 準 値 か らのず れ に
依 存 し一 様 では ない .
こ こで は, まず タンクシステム (tank system) を例 に と って 線 形 近 似 の物 理 的 意
味 に つ い て考 えて み よ う.
図1-9(a) の よ うな タ ン ク (水槽 ) が あ る もの とし よ う. こ こで ,S: タ ン ク
の 断面 積 ,M: 給 水 口の断面 積 , とす る. この タ ン ク シス テ ムにお いて は 毎秒 当
た りの 流入 水 量 と流 出水 量 が と もにQ0(m3/s) で平 衡 し, 水 位 がl0(m) の一 定 の
平 衡 値 を保 って い る もの とす る. この と き, ベ ル ヌー イの 定理 よ り
(1-20)
が 成 り立 ってい る. こ こで,gは 重 力 の加 速 度 で あ る.
次 に, 流 入 水量 が 微 小変 化 してQ0+uと な り, それ に 伴 い, 水 位 がl0+xま
で 微小 変 化 した と し よ う. こ の と き, 流 出 水量 をPと す る と,Pは
(1-21)
とな る.本 式 を 変形 し,x/l0に つ い て テ ー ラー展 開 す る と
(1-22)
と な る . こ こ で
(1-23)
を流体抵抗 と呼び,かつ,xは 微小と考え,第3項 以後を無視すると,Pは
(1-24)
図1-9タ ン ク シス テ ム
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とな り, 流 出 水量 の変化 分 はxの
線形 関 数 (1/R)xで 与 え られ る こ
とがわ か る. この関 係 を 図示 す る
と図1-10と な る. また, この と
き, 図1-9(a) の シス テム は同 図
(b)の よ うに表 す こ とが で きる.
こ こで, 微 小変 化 分 だ け に注 目
す る と, 図1-9(b) の シス テ ムは
さ らに 図1-11の 線形近似システム (linearized system) とし て表 され る. 開閉 弁 の
記 号 で 流 体抵 抗 を表 す もの とす る. 明 らか に , この近 似 はxとuが 微 小 な と き
だ け成 立 し,Rはl0に 依 存 す る
線 形 近 似 され た シス テ ム の状態 方 程 式 を 求 め てみ
よ う. 時 刻tで 微小 入 力u(t) が あ り, 微 小変 位 が
x(t)に な って い た とし,さ らに ,次 のdt間 でx(t)
がdxの 変化 をす る と考 え よ う. す る と,dt間 に
タ ンクに貯 え られ る水 量 はSdxと な り, これ と流
出水 量 (1/R)xdtの 和 が 流 入水 量udtに 等 しい こ と よ り
(1-25)
を得 る.dtで 除 して ま とめ る と
(1-26)
の状態 方 程 式 とな る.
以 上 で は, あ らか じめ 線形 近 似 シス テムを 求 め , これ か ら状 態 方 程 式 を決 定 し
た が ,初 め に も述 べ た よ うに, 最 初 か ら非 線 形 の状 態 方 程式 を求 め , これ を 線形
近 似 して も よい .
fがtの 陽 な る関 数 とは な らな い (オー トノマス (autonomous) とい う) 非 線 形
シス テ ム
(1-27)
だ け に つい て考 え てい こ う. まず ,
図1-10 流 出水量の近似
図1-11
線形近 似システ ム