多リンク機構の運動学ヷ動力学...manipulation system lab., univ. of tsukuba...

Manipulation System Lab., Univ. of Tsukuba

(7)機構学・運動学入門

多リンク機構の運動学・動力学

筑波大学相山康道

自動化推進協会基礎講座第7回


[FANUC社HPより]

[ダブル技研社HPより]

多リンク機構

2

[SUS社HPより]


多リンク機構

定速回転運動から所定位置停止動作

3


多リンク機構

4

定速回転運動から所定位置停止動作


多リンク機構

5

クランク機構を用いた直動化


多リンク機構

6

小さな駆動力で大きな操作力を出す倍力機構


多リンク機構

本講では，

リンク：剛体

関節：リンクとリンクを繋ぐ，1以上の運動の自由度を有する接続部

能動関節：モータ等アクチュエータで駆動される関節

受動関節：アクチュエータがなく，自由に運動できる関節．ベアリングのようにフリーなもの，バネのような受動的な力が作用するものも．

リンク機構：リンクと関節（能動関節を１つ以上含む）を組み合わせ，望みの運動を実現する機構

7


望みの運動リンク機構

に，

望みの運動

をさせたい．

8

どう動かせばいい？モータ

モータ

リンク

リンク

リンク


望みの運動

望みの位置にツールを持っていく

その場所へ行けばいい

直線など，望みの経路をたどる

一定速度など，動き方（加速・減速等）も指定したい

などの要求に対して，

モータを何度回せばいい？関節を何度にすればいい？

望みの速度を出すために必要な回転速度（角速度）は？

加速・減速に必要なトルクをモータが出せるか？

9


運動学・動力学

運動学

(順)運動学

モータ（関節）をある角度に設定したときに，ツールの

位置（・姿勢）がどこにあるか計算する

逆運動学

ツールを望みの位置（・姿勢）にしたいときに，関節（

モータ）の角度を何度にすればよいか計算する

10



動力学

(順)動力学

モータ（関節）にあるトルクを与えたときに，ツールが

どのように動くか（加速するか）計算する

逆動力学

ツールに望みの運動(位置・速度・加速度)をさせたいと

きに，関節（モータ）の角度，角速度，トルクをどうす

ればよいか計算する

＝運動方程式 � � �� 11



軌道生成

手先ツール，関節角度の動き方を指定する

位置，速度，加速度

速度や加速度によって，必要となるモータトルクが大きく変動する

→ モータ選定に大きく関わる．また，同じモータでの動作時間（タクトタイム）にも影響する

12


マニピュレータの運動学

想定する（題材とする）マニピュレータ

「２リンクアーム（2関節アーム）」

■ 直動２関節アーム ■ 回転2関節アーム

13


２リンクアームの制御

同期による軌道制御

14

直動二軸であれば

• 直線軌道（斜め方向）

• 円弧軌道

は多軸制御ボードで可能


２リンクアームの制御

15

直動二軸であれば

• 直線軌道（斜め方向）

• 円弧軌道

は多軸制御ボードで可能

これを，回転多関節（２関節）

機構でも実現できるか？

より汎用的な軌道を描けるか？

同期による軌道制御



運動学

関節角度 → 手先位置（・姿勢）

何のために「運動学」を考える？

手先がいまどこにあるのか？

非常停止からの復旧時など，必要な場合あり

逆運動学の導出のためのベース

16


x

y

直動２関節型

17

d1

D0

d2


(x, y)


x

y

θ1

θ2

D0

回転２関節型


(x, y)

18


回転３関節型

19

x

y

θ1θ2

D0

θ3

( x, y, θ )

θ =θ1+θ2+θ3



マニピュレータの逆運動学

逆運動学

手先位置（・姿勢） → 関節角度（運動学）

関節角度 → 手先位置（・姿勢）

何のために「逆運動学」を考える？

手先を望みの位置・姿勢へ動かす

ーダイレクト教示でよいのでは？

直線軌道などの手先軌道生成

20


目標手先位置

x

y

d1

D0

d2

目標位置 (x, y) から d1, d2 を求める

手先位置 → 関節角度


21

(x, y)


目標位置 (x, y) から θ1, θ2 を求める

かなり複雑な計算

目標手先位置


x

y

θ1

θ2

D0


22

(x, y)


x

y

θ1

θ2

D0


（複号同順）

解が複数個存在する


23

(x, y)

� � � � � �� Ă�� Ă�� Ă�Ă� � � �� Ȃ �� Ă�� Ă��Ă� �� "



複数個の解の存在

24

θ1

θ2

θ1

θ2 (<0)

軸 ℓ に対して線対称

ℓ



平面内3自由度マニピュレータ

25

x

y

θ1θ2

D0

θ3

( x, y )

運動学モデル



平面内3自由度マニピュレータ

26

x

y

θ1 θ2D0θ3

( x, y)望みの手先位置 (x, y)

関節角度 θ1, θ2, θ3

一意に定まらない・・・無限の解が存在

「冗長自由度マニピュレータ」



平面内3自由度マニピュレータ（姿勢指定）

27

x

y

θ1θ2

D0

θ3

( x, y, θ )

運動学モデル



28

x

y

θ

手先姿勢 θ が与えられているので，第2リンク先端の位置が求まる

→ 2自由度マニピュレータとして計算可能

平面内3自由度マニピュレータ（姿勢指定）


３次元機構の逆運動学

3次元3自由度マニピュレータ

29

( x, y, z)

( x, y, z)




30

( x, y, z)

θ1

θ2

θ3

x

y

θ1

( x, y)水平面を考える




31

( , z)

（θ1）

θ2

θ3

原点と手先を含む鉛直面を考える

z

平面内2自由度マニピュレータとして計算可能



スカラー型３自由度マニピュレータ

32

( x, y, z)

d1

θ2 θ3高さ方向

d1 のみで決まるθ2, θ3 は無関係

z から d1 が求まる



スカラー型３自由度マニピュレータ

33

( x, y, z)

d1

θ2 θ3

x

y

θ2

( x, y )

水平面を考える

θ3

平面内2自由度マニピュレータとして計算可能


運動学と逆運動学（まとめ）

関節角度と手先位置の関係

関節角度 → 手先位置：「運動学」

関節角度が指定されたとき，手先がどこにくるか

手先位置 → 関節角度：「逆運動学」

手先位置が指定されたとき，関節角度は何度になって

いればよいか

2関節や3関節の基本的な構造の場合，23ページ，24ページの解を基本として，求められる場合が多い

34


軌道生成：直動1軸の制御

望みの距離を望みの速度で動かす≒ 望みの位置へ望みの速度で動かす

荷物の搬送，セッティング，加工作業，・・・

35

初期位置目標位置目標距離



ボールねじ駆動

36

移動量 x [mm]

回転角 θ [deg]

ボールねじのピッチ(1回転で進む距離）

p [mm]

モータ1パルスあたりの回転角度 [deg/pulse]

移動に必要なモータパルス数 #$%&' � � �Ȃ *+,- �



ボールねじ駆動

37

移動量 x [mm]

θ [deg]

ボールねじのピッチ(1回転で進む距離）

p [mm]

減速機がついている場合（ギア比 Gr）

モータ回転角

θΜ [deg]歯車（ギア比 Gr ）

モータの回転角 . �� /0 � �/0 � *+,- �

2 .



ベルト駆動移動量 x [mm]

半径 r [mm]

回転角 θ [deg]

モータ回転角

θΜ [deg]

ギア比 Gr

移動量3*+, � ��6 �

減速機がついている場合（ギア比 Gr） . � �72 ��6 �38



等速直線運動

39

１２

時間 t

速度v

加速度α

一定速度で移動：シンプルで解り易い

急加速・急減速

モータに大きな負荷



加速・減速・・・「台形速度曲線」

１２

時間 t

速度v

加速度α

台形速度曲線：一定加速度・減速度

滑らかな運動・停止

モータの負荷低減

40



41

加速・減速・・・「台形速度曲線」

時間 t

速度v

時間 t

加速度α

時間 t

位置x

一定の加速度で

加速/減速することで

連続的な速度変化

および，滑らかな

位置変化を生成



42

時間 t

v

時間 t

x

0 Ta T T+Ta

0 Ta T T+Ta

時間 t

v

時間 t

x

0 Ta T T+Ta

0 Ta T T+Ta

同じ最大速度の場合，加速時間 Ta だけ時間がかかる

8 � � 9:; ��8< � 9: =:;望みの移動距離 � [mm]設定速度 �9: [mm/秒]設定加速度 �=: [mm/秒/秒]

vm vm



43

t

速度v

t

加速度α

t

位置x

= � > =: �� ? @ ? 8<�� 8< ? @ ? 8��=: �8 ? @ ? 8 � 8<�9 � > =:@ �� ? @ ? 8<�=:8< �8< ? @ ? 8��=:@ � �8 � 8<�=:�8 ? @ ? 8 � 8<�

�� ? @ ? 8<��8< ? @ ? 8�

�8 ? @ ? 8 � 8<��

��=:@�=:8<@ � ��=:8<��=:@�� 8�8< =:@��=:�8��8<��



「台形速度曲線」・・・実際には，．．（２）

加速・等速・減速と動こうとしても，

距離が近い

加速度がゆっくり

などの場合に，等速期間が取れない場合がある

例えば， vm=200[mm/秒]，αm =200[mm/秒/秒]の場合

200mm 以下の移動量では等速期間が取れない

44



例えば， vm=200[mm/秒]，αm =200[mm/秒/秒]の場合

200mm 以下の移動量では等速期間が取れない

vmまで加速してすぐに減速すると，，，

45

時間 t

v

0 1秒

vm = 200[mm/秒]

2秒

移動距離 D

＝図の三角形の面積

＝�� A��秒D � �A秒D

＝ 200 [mm]

これより短い場合には，

台形ではなく三角形で動く� 9:=:



三角形速度曲線での移動

例えば，100mm移動させる場合（前述の条件で）

46

時間 t

v

0

vm= 200[mm/秒]

8� 8

9E � 8� =:移動距離 D 100[mm]

＝�� 9E� 8 (三角形の面積）

＝�� E� =: � 8�� F=:8�

∴ 8 � � GHI" � � �,,AJJD�,,AJJ 秒� 秒; D" � ��A秒D

αm =200[mm/秒/秒]



47

速度v

t

加速度α

位置x

= � > =: �� ? @ ? E��=: �E� ? @ ? 8�9 � > =:@ �� ? @ ? E��=:@ � =:8 �E� ? @ ? 8�

� � > ��=:@� �� ? @ ? E��=:@� � =:8@ � �F=:8� �E� ? @ ? 8�t

t


軌道生成：直動1軸の制御 (まとめ)

台形・三角形軌道生成のアルゴリズム

48

スタート

移動速度 vm 加速度 αm 設定

加減速での移動距離 d = (vm)2 / αm 計算

移動距離 D > d ?

45ページ

d台形速度曲線

α, v, xを43ページの式に

従って計算

三角形速度曲線

α, v, xを47ページの式に

従って計算

軌道生成終了

No

Yes


平面内直動2軸での直線軌道の生成

指定された位置（角度）へ移動

初期位置Ａから

目標位置Ｂまで

49

B

Ａ



指定された位置（角度）へ移動

初期位置Ａから

目標位置Ｂまで

x軸方向に Dx

y軸方向に Dy

50

B

ＡD

DxDy



（１） x軸，y軸，独立に位置制御する場合

もっともシンプルな手法

x軸方向，y軸方向独立に制御

D = Dx および D = Dy として，48ページの方式で制御

移動速度 vm 加速度 αm もそれぞれに設定

51

B

ＡD

DxDy



（１） x軸，y軸，独立に位置制御する場合

斜め45度に進んで，それから横方向or縦方向へ

途中で移動速度が変わってしまう

45度に進んでいる間： �" 9: 横方向or縦方向の間： 9:

52

B

Ａ

D

Dx

Dy



（２）移動距離の短い軸の速度を遅くして，直線移動

横軸（長軸）移動距離 Dx 縦軸 Dy

横軸（長軸）移動速度 vm 縦軸（短軸）GNGO 9:

横軸（長軸）加速度 αm 縦軸（短軸）GNGO =:

として，48ページの方式で制御

53

B

ＡD

DxDy



（２）移動距離の短い軸の速度を遅くして，直線移動

直線軌道を描くようになる

しかし，全体の移動速度は移動方向（Dx, Dyの比）によ

って変わってしまう

9 � � 9:� � �GNGO 9:��" �� GGO 9:54

B

Ａ

D

Dx

Dy



（３）全体の速度を一定にして，直線移動

移動距離横軸 Dx 縦軸 Dy

移動速度横軸GOG : 縦軸

GNG :加速度横軸

GOG : 縦軸GNG :

として，48ページの方式で制御

55

B

ＡD

DxDy



（３）全体の速度を一定にして，直線移動

直線軌道を描く

全体の移動速度は常に，

9 � � �GOG 9:��GNG 9:��" �� 9:56

B

Ａ

D

Dx

Dy


回転関節型では

それぞれの軸が最高速（設定速度）で移動する場合

手先の運動は

とても複雑なもの

になる

57

B

Ａ



直線補間？で移動する場合

（＝両軸が同時に目標角へ）

やはり

手先の運動は

とても複雑な形

になる

58

B

Ａ



これを，手先が真直ぐに動くようにしたい

逆に

関節角の動きが

一様ではなく

複雑な形になる

↓

これを求めよう

59

B

Ａ


軌道生成（ここまでのまとめ）

位置制御（望みの位置にさえ行けば良い）では，

機構の構造などを考えずに，

各軸ごとの制御で可能

直交直動軸の軌道制御では，

同時に目標位置へ届くようにすれば直線を描く

円弧を描く場合も簡単な仕組みで可能

回転関節型の軌道制御は，

直動軸と同様の方法ではおかしな軌道を描く

きちんとした逆運動学解析を行うことで可能となる

60


マニピュレータの手先軌道

目標位置・姿勢（関節角度）への移動方法

61

１２移動経路が膨らんでしまう

どこを通るかよくわからない

ぶつかるかも知れない

始点から指定された終点まで等角速度で移動

＝位置制御： PTP (Point-to-Point) 制御



PTP制御（Point – to – Point 制御）

指定された点へたどり着くことが目的

途中の軌道は気にしない

途中で障害物等にはぶつからないことが前提

62

１２ B

Ａ



CP制御（Continuous Path 制御）

設計した手先軌道(直線等)への追従

63

１２(x, y)座標で直線軌道生成

各位置で逆運動学を解く

計算した関節角度に制御



CP制御による手先直線軌道

直線軌道上の通過点の取る数によって，手先軌跡は変化する．

通過点を細かくとるほど，手先軌跡は目標直線に近づく

どこまで細かくするかは，精度などの要求によって決まる

64



回転関節型による直線軌道生成手順

65

スタート


手先位置計算の刻み幅 ∆t 設定

vm=200mm/秒∆t = 20m秒で

4㎜間隔

55ページの式で各軸速度，加速度計算

軌道生成終了

48ページのアルゴリズムに従い，手先軌道 x ( t )， y ( t ) 生成

t=0, t≦Tgoal, t +=∆t

23, 24ページの式で θ 1( t ), θ 2 ( t ) 計算


手先速度と関節角速度の関係

66

手先速度一定の場合の角速度の変化（例）



67

角速

度

時間

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

関節１角速度 [deg/s]

関節２角速度 [deg/s]

手先速度一定期間



-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 500 1000 1500 2000 2500 3000


68

角速度

時間



手先速度が一定の場合でも関節角速度は変化する

直動軸であれば，手先速度と直動軸速度は１対１対応


2リンクアームの速度・角速度特性

可動範囲

69

350mmθ1

θ2



70

P mm/秒に対する �分布

緑≒0deg/秒赤≒60deg/秒



71

P mm/秒に対する �分布

緑≒0deg/秒赤≒60deg/秒



注意点（1）

初期位置と目標位置がロボットの可動範囲内にあっても途中経路が可動範囲外に出てしまう危険性

72

１

２

可動範囲



注意点（2）

手先速度はゆっくりのつもりでも，関節角速度が大きくなってしまう危険性

73

角速

度

時間

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

関節１角速度 [deg/s]

関節２角速度 [deg/s]




注意点（3）

2種類（複数）の逆運動学解をまたがる動作は不可能

74



注意点（4）

（まだ説明をしていませんが）

角速度だけでなく，トルクも変動し，大きくなる危険性

関節駆動に必要なモータトルクは，角度，角速度，次に必要な角速度の変化（角加速度）によって変化

（直動軸の場合は，基本的に，速度と加速度で決まる）

→ 計算が多少面倒になる

75


マニピュレータの手先軌道（まとめ）

回転関節型マニピュレータの手先を真直ぐに動かすためには，

手先の滑らかな加速軌道を作る（台形，三角形，・・）

各位置（各時刻）での逆運動学問題を解き，関節角度を求める

（以上 65ページアルゴリズム）

可動範囲，角速度限界，複数の逆運動学解，トルク限界などに気を付ける必要がある

76


動力学と逆動力学 (モータトルク計算)

動力学と逆動力学

77

手先位置と関節角度位置の関係

⇒ 運動学・逆運動学

手先速度と関節角速度速度の関係

⇒ 微分関係・「ヤコビ行列」・「逆ヤコビ行列」

手先加速度と関節角加速度加速度の関係

⇒ これの意味するところは・・・？

Manipulation System Lab., Univ. of Tsukuba 78

手先加速度と関節角加速度加速度の関係

加速度は力に比例する

⇒ 関節角加速度が求まると関節トルクが求まる

「動力学」：関節トルク → 手先の運動

「逆動力学」：手先の運動（位置，速度，加速度）→ 関節トルク

＝運動方程式

動力学と逆動力学 (モータトルク計算)


モータトルクの計算

モータの選定の際には，

モータ回転速度，モータトルク

がスペック内に収まっているものを選ぶ必要

79

モータ特性図(オリエンタルモータ社

HPより）

回転速度

トルクモータ回転速度とモータトルクをプロットして，このグラフの下側(内側）に入らなければならない



直動の場合

必要な駆動トルク

の計算がメーカー

カタログやＨＰで

技術資料として

示されている

基本的に必要な

駆動トルクは，

その軸方向負荷

（加速度）で決まる

80

http://www.orientalmotor.co.jp/tech/reference/sizing_motor02/



直動の場合

必要な駆動トルク

の計算がメーカー

カタログやＨＰで

技術資料として

示されている

基本的に必要な

駆動トルクは，

その軸方向負荷

（加速度）で決まる

81

http://www.orientalmotor.co.jp/tech/reference/sizing_motor04/


モータ選定手順

82

スタート

機構選定

モータ選定終了

仕様設定（負荷・加速度・運転パターン，・・・）

モータ負荷計算（外部負荷・ボールねじ慣性，・・・）

モータ選定（回転速度-トルク特性内部か，・・・）

詳細化

目標位置・台形速度・手先負荷・頻度

直動などならば80ページ（外部）81ページ（駆動部)

79ページ


モータトルクの計算－回転型の場合

回転型の場合： 2関節アームの動力学・逆動力学

83

d0

x

y

mi : 第 i リンクの質量

Ii : 第 i リンクの重心まわりの

慣性モーメント

ℓgi : 第 i 関節から第i リンクの

重心までの距離

ℓi : 第 i リンクの長さ

：第 i 関節角度

：第 i 関節角速度


モータトルクの計算－回転型の場合

回転型の場合： 2関節アームの動力学・逆動力学

84

mi : 第 i リンクの質量Ii : 第 i リンクの重心まわりの慣性モーメントℓi : 第 i 関節から第 (i+ 1) 関節までの距離（リンク長）ℓgi : 第 i 関節から第 i リンクの重心までの距離

現在の関節角・関節角速度によって，

駆動トルクが変わる



関節駆動トルクの計算法(その1)

「ニュートン・オイラー法」

まず，根本から順に，各リンクの運動を求める．

次に，先端リンクから逆順に，その運動（加速）に

必要な力・モーメントを求める．

この際に，そのリンクの先についているリンク

を動かすために必要な力・モーメントを加えること

で，最終的に必要な力・モーメントが求まる．

関節回転方向のモーメントが必要な駆動トルク

．85




(1)目標手先軌道（ Q Q Q）を設定する

(1-2) 目標関節角軌道（ Q QQ を計算する

86

（引用）「はじめてのロボット創造設計」 2章米田・坪内・大隅講談社サイエンティフィク



87


(2) 第1リンク（根元リンク）から順に，重心の並進運動（ R/ R/）及び

回転運動（ R R�� R）リンク先端の運動（ � �）を計算する

(2-2) 各リンク重心の加速度

RQ および角加速度 RQ を計算する（引用）同書



88


(3) 先端リンクから逆順に， RQおよび RQ を発生するために必要な根元での力 R およびトルク R を計算する(この時，先についているリンクの駆動に必要な RS�，RS� も計算に加える)

(4) 各 RS� が必要な関節駆動トルクとなる（引用）同書



関節駆動トルクの計算法(その2)

「ラグランジュ法」

ラグランジュの運動方程式を用いて計算

エネルギー（運動エネルギー，位置エネルギー＝ポテンシャルエネルギーなど）の変化の様子から運動方程式を導出する手法

89




90

系内の総運動エネルギー K，総ポテンシャルエネルギー U より，ラグランジュ関数

L = K – Uとすると，ラグランジュの運動方程式は，

となる．

qi は変位や回転角を意味する一般化座標

qi はその時間変化

ui は qi 方向に働く一般化力である




91




92

mi : 第 i リンクの質量Ii : 第 i リンクの重心まわりの慣性モーメントℓi : 第 i 関節から第 (i+ 1) 関節までの距離（リンク長）ℓgi : 第 i 関節から第 i リンクの重心までの距離


ギアによるモータトルク増幅

減速器の利用モータトルクの増幅

角速度の減速

負荷モーメントの低減

(中大電機ＨＰより）

93

ガタ（バックラッシ）の問題正転／停止／逆転

低バックラッシギア

／ノーバックラッシギア

ハーモニックギア(ハーモニック・ドライブ・システムズ社ＨＰより）


モータトルク τM回転数 ωΜ(角速度)

歯車歯数 ni

歯数 no

トルクの変換

η : ギアの伝達効率

（1以下）

回転数の変換

ギアによるトルク・回転数の変換

94


ギアによるトルク・回転数の変換

ギアを介すると出力部の慣性モーメント項は非常に小さくなる

ギア比の非常に大きい（100：1 or MORE）産業用ロボットでは，モータ単体の制御で安定

慣性モーメント Jm

粘性抵抗係数 Dm

ギヤ比 n

慣性モーメント Ja

粘性抵抗数 Da

モータ軸から見た運動方程式

アーム部の慣性モーメントは減速比(ギヤ比)の２乗で小さくなる

95


ラグランジュ法による計算例

水平面内直動1関節型

x ポテンシャルエネルギー

水平面内なので U = 0

運動エネルギー

ラグランジュ関数

96




座標 x について

これより，

となるので，

x

97



鉛直面内直動1関節型

ポテンシャルエネルギー



z

98




座標 z について

これより，

となるので，

z

99


鉛直面1自由度回転系の運動方程式

θMgℓ

m

O

O点回りの慣性モーメント

加速に必要なトルク

釣合いに必要なトルク

全体では

100


ラグランジュ法による導出

ポテンシャルエネルギー（位置エネルギー）



θ

Mgℓ

m

O

鉛直面1自由度回転系

101



ラグランジュの運動方程式

θ

Mgℓ

m

O

よって

102




x

y

x1

D0

y2

ポテンシャルエネルギー水平面内なので U = 0



103


x

y



座標 x1 について

座標 y2 についてx1

D0

y2

104


ニュートン・オイラー法による導出

シリアルリンク構造に対し，隣接しあうリンク間で

運動の計算や力・トルクの計算を行う

ラグランジュ法に比較して，少ない計算量

n （自由度数＝関節数）に対して，

ラグランジュ法・・・・・・・・・ n の４乗のオーダー

ニュートン・オイラー法・・・ n のオーダー

ただし少ない n に対しては計算量大

105




1. 関節の運動

2. リンクの運動

3. リンクの運動に必要な力・トルク

4. 関節駆動トルク

x

106




z

1. 関節の運動



4. 関節駆動トルク

107


D0



x

y

x1

y2

1. 関節の運動


108




4. 関節トルク

D0x

y

x1

y2

だんだん計算量（書く量）が増えて

きた・・・

109



1自由度回転系

1. 関節の運動

2. リンクの運動θ

Mgℓ

m

O

110




4. 関節トルク θ

Mgℓ

m

O

回転も加わるとかなりの計算量

111


モータトルクの計算－まとめ

回転型アームでは，（一定手先速度でも）角速度が変化したように，必要な駆動トルクも変化する

システム全体の運動方程式を求めることで必要な駆動トルクが計算される．ニュートン・オイラー法やラグランジュ法などが計算手法として用いられる

トルク，回転速度を満たすモータを選定する

近年は，ロボットシミュレータ，３次元ＣＡＤ/ＣＡＥなどで必要な駆動トルクを数値計算してくれるものも多い

112


（まとめ）望みの運動（再掲）

望みの位置にツールを持っていく

その場所へ行けばいい

直線など，望みの経路をたどる

一定速度など，動き方（加速・減速等）も指定したい

などの要求に対して，

モータを何度回せばいい？関節を何度にすればいい？

望みの速度を出すために必要な回転速度（角速度）は？

加速・減速に必要なトルクをモータが出せるか？

113


（まとめ）運動学と逆運動学

関節角度と手先位置の関係

関節角度 → 手先位置：「運動学」

手先位置 → 関節角度：「逆運動学」

2関節や3関節の基本的な構造の場合，23ページ，24ページの解を基本として，求められる場合が多い

114


（まとめ）軌道生成

回転関節型による直線軌道生成手順

115

スタート


手先位置計算の刻み幅 ∆t 設定

55ページの式で各軸速度，加速度計算

軌道生成終了

48ページのアルゴリズムに従い，手先軌道 x ( t )， y ( t ) 生成

t=0, t≦Tgoal, t +=∆t

23, 24ページの式で θ 1( t ), θ 2 ( t ) 計算


（まとめ）軌道生成

回転関節型マニピュレータの手先を真直ぐに動かすためには，

手先の滑らかな加速軌道を作る（台形，三角形，・・）

各位置（各時刻）での逆運動学問題を解き，関節角度を求める

（以上 65ページアルゴリズム）＝ 115ページ

可動範囲，角速度限界，複数の逆運動学解，トルク限界などに気を付ける必要がある

116


（まとめ）モータ選定手順

117

スタート

機構選定

モータ選定終了

仕様設定（負荷・加速度・運転パターン，・・・）

モータ負荷計算（外部負荷・ボールねじ慣性，・・・）

モータ選定（回転速度-トルク特性内部か，・・・）

詳細化

目標位置・台形速度・手先負荷・頻度

79ページ

動力学・逆動力学（運動方程式）

減速機の影響


（まとめ）動力学・逆動力学

回転型アームでは，（一定手先速度でも）角速度が変化したように，必要な駆動トルクも変化する

システム全体の運動方程式を求めることで必要な駆動トルクが計算される．ニュートン・オイラー法やラグランジュ法などが計算手法として用いられる

減速機を入れることで，負荷トルクや角速度が変化

近年は，ロボットシミュレータ，３次元ＣＡＤ/ＣＡＥなどで必要な駆動トルクを数値計算してくれるものも多い

118

多リンク機構の運動学ヷ動力学...manipulation system lab., univ. of tsukuba...

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