サッカーのバナナシュートサッカ のバナナシュ トの軌道軌道

龍谷大学理工学部数理情報学科

T090006 伊勢村 友秀

指導教員 飯田 晋司

目次

１.研究目的

2.サッカーボールにはたらく力と運動方程式

3.ボールの軌道

4.まとめ

１．研究目的

• ボ ルにどのような力が働いて曲がっているのか• ボールにどのような力が働いて曲がっているのか。

• フリーキックを蹴る際は相手の壁を除けば邪魔をされないので、最も効率のよいシュートを打つにはどのようにすればよいかのようにすればよいか。

２ サッカーボールにはたらく力と運動方程式２．サッカ ボ ルにはたらく力と運動方程式

vMF

GF ：重力

MF

DF ：抵抗力

：マグナス力

ωMF ：マグナス力

速度ω v ：速度

ω ：角速度

GFD

Fω 角速度

424g = 0.424kgm = 0.11 mR =

1抵抗力

1( )

2D DF C Avvω ρ= −

2D D

2 2m0.= 038A Rπ= 　角速度が０の場合 31.20 kg/mρ = 　

ボールの断面積 　空気の密度

(0) .

1 expD

c

bC a

v v= +

⎛ ⎞−+ ⎜ ⎟⎜ ⎟1 exp

sv

+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0 155 0 346b0.155 , 0.346,

12.19, 1.309c s

b

v

a

v

== ==

John Eric Goff, Matt J. Carré, “Trajectory analysis of a soccer ball”, Am. J. Phyys. 77 (2009), p. 1020

角速度が０でない場合

9( ) (0) 1 , ,

(0) 20D D

Sp RC C Sp

C vωω β β

⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠(0) 20DC v⎜ ⎟

⎝ ⎠

Spは ス ピ ン パ ラ メ タ ー と 呼 ば れ る 。Rは ボ ー ル の 半 径 、vは ボ ー ル の

速 さ で あ る 。

ボ ルの回転の減衰

cv⎛ ⎞

・ ボールの回転の減衰

( ) (0)expcv

t tR

ω ω⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

C=0.4127C=0.00002

マグナス力

212M L

vF C Av

v

ωρω

×= −

×2 v ω×

1 14 | | ; | | 0 28Sp Sp⎧ <⎪1.14 | | ; | | 0.28

0.32 ; | | 0.28L

Sp SpC

Sp

⎧ <⎪= ⎨ ≥⎪⎩

飛行中のサッカーボールの運動方程式

2

2( )

D M G

dm r t F F F= + +

2( )

D M Gdt

３．ボールの軌道x ベッカムの

シュート

1ϕ

036m/s,v =

0/ ,

(0)=63 rad/sω

y

( )(0) cos cos cos sin sinv v ϕ ϕθ θ θ=

M.K. Yip, “The Science of Soccer”,http://www.physics.hku.hk/~phys1055/lectures/chap05.html

( )0 11 1 11(0) cos cos , cos sin , sinv v ϕ ϕθ θ θ= −

1:θ 地面からの角度

3.00c= zキッカーから見たボールの軌道

ゴールマウス

2.0

2.50c=

01c=

1.0

1.50.1c=

0.5

y−・4 ・2 0 2 4

y赤の点：ゴールに到達したときのボールの位置

M.K. Yip, “The Science of Soccer”,http://www.physics.hku.hk/~phys1055/lectures/chap05.html

ゴールまでの到達時間

0.9秒程でゴールに到達するが、ボールが曲がるほ

ど到達時間が大きいことがわかるが、それほど差はなはない

ボールは壁を越えるか？ボ ルは壁を越えるか？

キッカーの手前9.15mの位置に壁があるとし

て、壁に到達した時点でのボールの位置を緑の点で表しました。

ベッカムフリーキックイングランドvsギリシャ 2001 10 06

1;θ ボールの初速度の水平面からの角度

2 5

3.0 z

2.0

2.51

13°θ =

1 0

1.5

0.5

1.0

・4 ・2 0 2 4y−

キ ッ カ ー の 手 前 9 . 1 5 m の 位 置 に 幅 4 m 高 さ 1 . 7 m の 壁 が あ る と し た

1θ を10°から20°まで1°ごとに変えて軌道を計算した

まとめまとめ

• サッカーボールに働く力を簡単な関数で表し、ゴールの正面から27m 離れた地点からボールを蹴る場合のボールの軌道を計算した。ボールの回転に減衰がなく 番曲がる場合は 横に3 以上曲がる ベなく，一番曲がる場合は、横に3m以上曲がる、ベッカムのバナナシュートのような軌道が得られた。

• やり残した点は 効果的なフリ キ クの蹴り方で• やり残した点は、効果的なフリーキックの蹴り方です。