スイッチング電源のためのインダクタと変圧器の基礎

群馬大学

松田順一

1

第２９３回群馬大学アナログ集積回路研究会 2016年01月08日（金） 15:00〜17:00

群馬大学共同研究イノベーションセンター（桐生キャンパス アクセスマップ １番）３F研修室

概要 • 磁気学の基礎

• 磁気量と電気量の比較 • ファラデーの法則（レンツの法則）とアンペアの法則 • 磁束密度と磁界の関係 • n巻きコアのインダクタンス

• 磁気回路 • 磁気抵抗、磁気回路のキルヒホッフの法則、エア・ギャップがあるインダクタの磁気回路

• 変圧器のモデル • 理想変圧器、磁化インダクタンスを考慮、漏れインダクタンスを考慮

• 磁気デバイスの損失 • コア損失、低周波銅損

• 巻き線の渦電流 • 表皮効果 • 近接効果（変圧器内の近接効果解析、近接効果低減策、PWM高調波起因の近接効果による損失）

• 磁気デバイスの適用

• 付録

2

R. W. Erickson and D. Maksimovic, Fundamentals of Power Electronics Second Edition, Springer Science + Business Media, 2001.

参考文献

磁気デバイスの電気量と磁気量の関係

3

ファラデーの法則 （電圧 vs. コア磁束と磁束密度）

アンペアの法則 （電流 vs.磁界と起磁力）

磁気デバイスの端子特性 （電圧と電流）

v(t)

i(t) H(t), F(t)

B(t), Φ(t)

磁気コアの特性 μ

B(t): 磁束密度

Φ(t): 磁束

H(t): 磁界

F(t): 起磁力

μ: 透磁率 v(t): 電圧

i(t): 電流

磁気量と電気量の比較

磁界 H 電界 E 長さ l 長さ l

全電流 I

電流密度 J

磁気量 電気量

全磁束 Φ

磁束密度 B

均一磁界の場合の起磁力F =Hl

起磁力（MMF: Magneto-motive Force）

均一電界の場合の電圧 V=El

表面 S

面積 Ac

S

dAB･

表面 S

面積 Ac

cBA

4

x1 x1 x2 x2

2

1

x

xdlH･F

ld

cJAI

Ad

起磁力 電圧

2

1

x

xdV lE･

ld

Ad

S

dI AJ･

磁束の方向 電流の方向

均一電流かつ 電流の方向と表面が直交

均一磁束かつ 磁束の方向と表面が直交

磁力線 電気力線

ファラデーの法則とレンツの法則

5

dt

tdtv

)()(

面積 Ac 内の

全磁束 ⇒ Φ(t)

面積 Ac

誘起電圧 v(t)

dt

tdBAtv c

)()(

ファラデーの法則

均一磁束の場合

レンツの法則

ループ内の磁束変化 ⇒ループに電圧を誘起しループに電流を流す。 ⇒この電流による誘起磁束が元の磁束変化に 対抗する。 （磁束変化を打ち消す方向に電流を誘起する。）

（Φ(t)とv(t)の極性 ⇒フレミングの右手の法則）

短絡ループ 磁束 Φ(t)

誘起磁束 Φ’(t)

誘起電流 i(t)

アンペアの法則

6

)(tid 閉磁路･ lHF

H

i(t)

磁気経路長（磁路長） lm

閉磁路の起磁力

i(t): 閉磁路を貫く（鎖交する）全電流

均一磁界の場合

)()()( tiltHt m F

閉磁路の起磁力＝閉磁路と鎖交する全電流

A/m:

A:

H

F

単位（MKS）

磁束密度と磁界の関係

7

HB

0 r

B

H

B

H

B

H

B

H

真空中のB-H特性 典型的な磁気コア材料のB-H特性

典型的な磁気コア材料のB-H特性の近似 （ヒステリシスと飽和特性無視）

典型的な磁気コア材料のB-H特性の近似 （ヒステリシス無視）

μ0

μ

μ=μrμ0 μ

μ0:真空の透磁率（4π×10-7 H/m）

μr:比透磁率（典型値:103～105）

磁束密度と磁界の関係

-Bsat

Bsat 飽和領域 ⇒真空中の 傾きに近い

単位（MKS） B: T（テスラ）（Wb/m2） H: A/m

Φ: Wb（ウェーバー）

（μ⇒電気の導電率に対応）

satsat

sat

satsat

BHB

BHH

BHB

B

for

for

for

ヒステリシスを無視した近似磁束密度

n 巻き コアでの電気特性

8

ファラデーの法則

アンペアの法則

dt

tdntv

)()(

dt

tdBnAtv c

)()(

H

i(t)

i(t)

v(t) n 巻き

n 巻き

cAttB )()( B(t): 平均磁束密度

Φ

磁路長lm

コア

（均一磁界の場合） )()( tniltH m

n

lBI msat

sat

磁束密度が飽和する時の電流

satBH

面積 Ac

dt

tdtvturn

)()(

n巻きの場合の誘起電圧

コア内のΦの時間変化→各巻き（ターン）毎に電圧を誘起

（n: 鎖交数）

n 巻き コアのインダクタンス

9

dt

tdBnAtv c

)()(

dt

tdHnAtv c

)()(

satIIHB for

dt

tdi

l

Antv

m

c )()(

2 )()( tniltH m

dt

tdiLtv

)()(

m

c

l

AnL

2 L: インダクタンス

ファラデーの法則から以下になる。

ファラデーの法則にアンペアの法則を用いると以下になる。

n 巻きコアはインダクタンスとして振舞う。

|I|>Isat 0)( dt

dBnAtv sat

c

|I|<Isat

n 巻きコアは短絡回路に近づく。

（実際のインダクタは、飽和領域で小さな残留インダクタンスを示す。）

磁気回路（磁気抵抗）

10

HlF

長さ l

起磁力 F

磁界 H

面積 Ac

磁束 Φ

透磁率 μ

起磁力

cA

l

F

cABBH ,

RF

cA

l

R ⇒磁気抵抗（リラクタンス）

R

Φ

F

⇒オームの法則に対応

磁気回路（キルヒホッフの法則）

11

Φ1 Φ3

Φ2

Φ1 Φ3

Φ2

Φ1=Φ2+Φ3

（∵ Bの発散はゼロ） ・キルヒホッフの電流則⇒磁束に成立

・キルヒホッフの電圧則⇒アンペアの法則に成立

)(tid 閉磁路･ lH

⇒閉磁路の磁気抵抗を横切る起磁力の総和

⇒起磁力の源（電圧源と見なせる）

閉磁路･ lH d

)(ti

n巻きの場合⇒ni(t)

閉磁路の磁気抵抗の全起磁力＋起磁力の源＝０

ノード

ノード

ノードに入り込む磁束の総和＝０

エア・ギャップがあるインダクタの磁気回路

12

i(t)

v(t) n 巻き

Φ

コア透磁率 μ

エア・ギャップ lg

Fc

面積 Ac

Fg Rg

Rc

Φ(t) ni(t)

全磁路長 lm

nigc FF

コア磁路長 lc

エア透磁率 μ0

磁路にアンペアの法則を適用

ギャップの磁気抵抗

Fc コアの起磁力、Fg ギャップの起磁力

コアの磁気抵抗

ccc Al R

cgg Al 0R

磁気等価回路

gcni RR

上記磁束をファラデーの法則に適用

dt

tdntv

)()(

dt

tdintv

gc

)()(

2

RR

インダクタンス gc

nL

RR

2

エア・ギャップ⇒ ・磁気回路の磁気抵抗が増大 ・インダクタンスが低下

エア・ギャップの効果

13

（１）磁気抵抗の安定化（温度と動作点の変化に対し安定） ∵Rg≫Rc （温度と動作点に依存するコアμの影響が低減）

（２）飽和電流増大（コアが飽和しない高いコイル電流でインダクタ動作が可能）

gc

csatsat

n

ABI RR

gc RR

1

cBA

csat AB

csat AB

cHni 1satnI 2satnI

cR

1

csatsat AB

nigc

RR

1

Φ-ni特性 ⇒B-H特性と同じ

コアが飽和していない場合の磁束と起磁力の関係

コアが飽和時の磁束

コアが飽和時の電流（上２式から導出）

）（エア・ギャップ有り）（エア・ギャップ無し 21 satsat nInI

変圧器モデル

14

磁路長 lm, コア断面積 Ac

i1(t)

v1(t) n1

巻き

Φ

Fc

R

n2

巻き

i2(t)

v2(t)

n1i1(t) n2i2(t)

コア

Φ

透磁率 μ

c

m

A

l

R

コアの磁気抵抗

アンペアの法則から

2211 ininc F （∵ i1とi2の電流の向きは同じ）

2211 inin R RF c磁気等価回路

理想変圧器

15

02211 inin

ファラデーの法則から

理想変圧器：R = 0 ⇒起磁力: 0 RFc

アンペアの法則から

dt

dnv

dt

dnv

2211 ,

2

2

1

1

n

v

n

v

（Φは１と２で同じ）

i1(t)

v1(t)

i2(t)

v2(t)

理想変圧器

n1 : n2

実際の変圧器（磁化インダクタンスを考慮）

16

i1(t)

v1(t)

i2(t)

v2(t)

n1 : n2

実際の変圧器： ⇒起磁力: 0 RFc0R

2211 inin Rdt

dnv

11

上２式のΦを消去

2

1

21

2

11 i

n

ni

dt

dnv

R dt

diLv M

M 1

2

1

2 in

n

2

1

21 i

n

ni

R

2

1nLM

理想変圧器

磁化（励磁） インダクタンス

Mi

磁化電流

iM の増大、B の飽和 ⇒ の増大

コア飽和状態（B>Bsat）⇒ LM ：小、 iM ：大 ⇒ 変圧器短絡

dttvL

tiM

M )(1

)( 1

dttv

AntB

c

)(1

)(or 1

1

dttv )(11

B の飽和抑制⇒n1 大、Ac 大（エア・ギャップの追加は関係ない）

)(1 tBAniL cMM

dt

tdBAntv c

)()( 11

dt

tdiLtv M

M

)()(1

)(1 tBAniL cMM

実際の変圧器（漏れインダクタンスを考慮）

17

i1(t)

v1(t)

ΦM i2(t)

v2(t) Φl2 Φl1

i1(t)

v1(t)

ΦM

i2(t)

v2(t) Φl2 Φl1

（Φl1, Φl2：漏れ磁束⇒漏れインダクタンス）

漏れインダクタンスを含む等価システム 漏れインダクタンスがある場合の変圧器

（漏れインダクタンスが変圧器に直列接続）

漏れインダクタンスを含む変圧器の等価回路

18

i1(t)

v1(t)

i2(t)

v2(t)

n1 : n2

R

2

1nLM

)(

)(

)(

)(

2

1

2212

1211

2

1

ti

ti

dt

d

LL

LL

tv

tv

変圧器の端子電圧と電流

L12: 相互インダクタンス

L11, L22： 自己インダクタンス

R

21

1

212

nnL

n

nL M

12

2

11111 L

n

nLLLL lMl

12

1

22

2

1

2222 L

n

nLL

n

nLL lMl

iM(t)

2

1

2 in

n

dt

tdiL

dt

tdiLtv M

Ml

)()()( 1

11

1lL 2lL

2

1

21 )()( i

n

ntitiM

dt

tdiL

n

n

dt

tdiLtv M

Ml

)()()(

1

2222

実効的な巻き数比

11

22

L

Lne

結合係数（1次側と2次側の磁束の結合度合）

2211

12

LL

Lk 10 k

2次側を開放した時 1次側から見たｲﾝﾀﾞｸﾀﾝｽ

1次側を開放した時 2次側から見たｲﾝﾀﾞｸﾀﾝｽ

インダクタのコア損失

19

cycle onecycle one

cycle one

)()(

)()(

HdBlAdtn

ltH

dt

tdBnA

dttitvW

mcm

c

ヒステリシス損（B-H曲線のヒステリシス）

インダクタに１周期当たり流れ込むエネルギー

ファラデーの法則 アンペアの法則

コアの体積

B-H曲線の面積

cycle one

HdBlAfP mcH

ヒステリシス損（鉄損）⇒熱

渦電流i(t)

AC磁界Φ(t)

コア損失⇒ヒステリシス損＋渦電流損 渦電流損（コア内のAC磁界）

f: 周波数

レンツの法則

コア

22 fRi

渦電流損（コア内の抵抗による損失）⇒熱

誘起電圧∝f ⇒ 渦電流∝f （抵抗が一定の場合）

⇒高周波で損失大

（ファラデーの法則）

コア損失 Pfe の経験式（正弦波の場合）

mcfefe lABKP

Kfe, β: フィティング・パラメータ (β: 2.6～2.8)

（ある周波数 f で近似）

巻き線の銅損（低周波領域）

20

)(ti

R

巻き線の等価回路

RIP rmscu

2

巻き線抵抗

銅損（巻き線抵抗の消費電力）

W

b

A

lR ρ： 巻き線の比抵抗（抵抗率）

lb: 巻き線の長さ

AW: 巻き線の断面積

ρ=1.68×10-6 Ωcm （20℃）

Irms： i(t)の自乗平均平方根

ρの温度係数： 6.8×10-9Ωcm/K

銅の場合

0.001

0.01

0.1

10 100 1000

δ (

cm)

f (kHz)

巻き線の表皮効果

21

Φ(t)

Φ(t)

AC:)(ti

巻き線

電流密度 渦電流

渦電流

表皮深さδ

高周波で抵抗増大

f

レンツの法則

周波数fの正弦波の場合の表皮深さ δ

銅の場合μ→μ0

℃　 25 at　)cm( 6.6

Tf

f(Hz)

T=25℃ T=100℃

℃　 100 　at)cm( 5.7

Tf

隣り合う導体による近接効果

22

h

導体１ 導体２

i -i i

i

-i

i 電流密度 i: 高周波正弦波電流

Φ

h≫δ

h: 導体の厚み

導体２：開放回路⇒正味の電流ゼロ

導体１の電流により磁束Φ発生 ⇒Φが導体２に侵入 ⇒ レンツの法則により導体２に電流誘起（ループ電流） （導体２の中のΦを打ち消す）

変圧器内の近接効果

23

h

導体1 導体2

i -i i

電流密度

Φ

2i -i

-2i 3i -3i

2i -2i

Φ 2Φ 3Φ 2Φ

導体1 導体2 導体3 導体3

コア

一次側巻き線 二次側巻き線

i i i -i -i -i

i: 高周波正弦波電流

dcac Rh

R

I: i(t)の自乗平均平方根

Rdc: 導体１のDC抵抗 導体１のac抵抗

導体１の銅損 acRIP 2

1

h≫δ

導体１-２-３：直列接続

導体２の銅損 111

2

12 542 PPPRIPP ac

導体３の銅損 11

22

3 1332 PPP

導体mの銅損 1

221 PmmPm

m層の全銅損

123

1 22

1

222

MM

Rh

ImmRh

IP dc

M

m

dc

123

1 2

M

hFR

RdcFPP

dcdc MRIP 2

（DC成分による銅損） （近接効果による増大分）

変圧器の巻き線の漏れ磁束

24

コア μ≫μ0 x

y

一次側 巻き線

二次側 巻き線

コアと巻き線の構造 典型的な磁束分布

漏れ磁束

相互磁束ΦM

変圧器漏れ磁束の解析

25

H(x)

F (x) lw

wlxHx )()( F囲まれた電流

囲まれた 電流

∵コア内の起磁力≪コア・ウインドウ内の起磁力

漏れ磁束

コア

F (x)

8i

4i

一次側 巻き線

二次側 巻き線

1層目 2層目 1層目 2層目

x 0

H(x)はF (x)に比例

wlxxH )()( F

巻き線のフォイル（薄層）近似

26

面積同じ

i(t)

d

h

h

h

lw

フォイル：1回巻き ⇒ 電流 nli(t)

nl 巻き

結合

h

丸型線: nl 巻き 直径 d

角型線: nl 巻き dh 4正方形一辺

コア・ウインドウ の幅 lw まで拡張

フォイル幅をコア・ウインドウの幅 lw まで拡張

η： Conductor Spacing Factor (or Winding Porosity)

補償ファクター η 導入

f

'

η: [ (a)の面積]/[(d)の面積]

(a) (b) (c) (d)

(a)と(d)でDC抵抗を同じにする必要あり（ρを調整）

w

l

l

nd

4

(d)の実効表皮深さ

[実効フォイル厚みh]/[(d)の実効表皮深さ]

⇒ [(a)のρ]/[(d)の実効ρ]=η

dh

4'

近接効果による薄層の銅損（１）

27

(1) A. M. Urling, V. A. Niemela, G.R. Skutt, and T. G. Wilson, “Characterizing High-Frequency Effects in Transformer Windings ―A Guide to Several Significant Articles,” IEEE Applied Power Electronics Conference, 1989 Record, pp. 373-385.

)()0()(4)()0()( 21

22

2

GhGh

nRP

l

dc FFFF

)2cos()2cosh(

)2sin()2sinh()(1

G

)2cos()2cosh(

)sin()cosh()cos()sinh()(2

G

nl: 薄層の中の巻き数

Rdc: 薄層のDC抵抗 薄層

Inh l )0()( FF I: 正弦波の実効値

Imnh l)(F m: MMF F (h)と nlI との比 m

m

h

1

)(

)0(

F

F

),('2 mQRIP dc )(14)(122),(' 21

2 GmmGmmmQ

),('2

mQRI

P

dc

H(0) H(h)

F (x) F (0)

F (h)

0 h

近接効果による薄層の全銅損 (1)

（近接効果による銅損の増大分）

1

10

100

0.1 1 10

0.1

1

10

100

0.1 1 10

近接効果による薄層の銅損（２）

28

dcRI

P2 1dcP

P

),('

1

mQP

P

dc

近接効果による銅損の増大分の φ 依存性 銅損Pと φ=1 の薄層で得られるDC損失 の比の φ 依存性 1dcP

m=0.5

2

1.5

1

5 4 3 10 8 6 m=15 12

m=0.5

2

1.5

1

5

4

3

10 8

6

m=15 12

銅損を最小にする φ がある

変圧器巻き線の近接効果による銅損（１）

29

一次側巻き線 二次側巻き線

npi npi npi npi npi npi

m=

1

m=

1

m=

M

m=

2

m=

M

m=

2

npi

2npi

Mnpi

0 x

F

M

mdcpri

pri

R mQMP

PF

1,

),('1

近接効果による一次巻き線銅損の全増大分 FR

M

m

R GGGmGGmM

F1

12121

2 )()(4)(2)(4)(2

2

1

1

MMm

M

m

6

121

1

2

MMMm

M

m

)(2)(1

3

2)( 21

2

1 GGMGFR

0.1

1

10

100

0.1 1 10

1

10

100

0.1 1 10

変圧器全巻き線の近接効果による銅損（２）

30

dcpri

pri

RP

PF

,

1, dcpri

pri

P

P

M=0.5

2

1.5

1

5 4

3

10 8 6 M=15 12 7 薄層の数

2

1.5

1

5 4

3

10 8

6

M=15 12

7

薄層の数

M=0.5

変圧器全巻き線の近接効果による 銅損の増大の φ 依存性

変圧器全銅損 Ppri と φ=1 の薄層で得られる DC損失 の比の φ 依存性

1, dcpriP

大きな φ ⇒ G1(φ)→1, G2(φ)→0

)(2)(1

3

2)( 21

2

1 GGMGFR 123

2 MFR

⇒

)(2)(13

2)( 21

2

1

1,

GGMGP

P

dcpri

pri

銅損を最小にする φ がある

（23ページ参照）

近接効果の低減（巻き線のインターリーブ）

31

i i -i -i -i i

i

0

3i

2i

x

F (x)

インターリーブ巻き線のMMF： 各層 m=1 で動作

MMF

一次 一次 二次 一次 二次 二次

巻き線を一次と二次で交互にインターリーブした場合の 近接効果による全銅損 ⇒ 「変圧器全巻き線の銅損（２）」の M=1 の場合になる

この場合の最小の銅損 ⇒ φ=π/2 で起こる（正弦波電流） ⇒ φ=1で得られるDC銅損に近似的に等しい

一次と二次の交互のインターリーブ

巻き線の部分的なインターリーブ

32

0.5i

0

1.5i

i

x

F (x)

MMF

-0.5i

-1.5i

-i

m=

1

m=

1

m=

0.5

m=

2

m=

1.5

m=

2

m=

1.5

4

3i

4

3i

4

3i

4

3i i ii

二次 二次 一次

巻き線を部分的にインターリーブした場合の 近接効果による銅損 ⇒「近接効果による薄層の銅損（２）」の図を使う

)0()(

)(

FF

F

h

hm

1075.0

75.0

i

im

2

75.05.1

5.1

ii

im

5.1

5.05.1

5.1

ii

im

5.0

5.05.0

5.0

ii

im

一次側全電流＝二次側全電流＝3i

① ③ ②

① ③

②

④

④

)()0( hFF

⇒m式のhと0を入れ換える

全銅損⇒各薄層の銅損の和

一次と二次が同位相の場合、インターリーブ巻き線は近接効果による銅損を著しく減じる

（一次と二次が同位相でない場合、近接効果による銅損はインターリーブ巻き線でも本質的に低減しない）

Litz Wire （近接効果低減＋表皮効果低減）

33

Litz Wire (1)

細い撚り線の束

⇒撚り線の直径は表皮深さより十分に小さい

撚り線間の高周波電流の循環遮断⇒近接効果低減

導線の表面積拡大⇒表皮効果低減

⇒各撚り線は絶縁体で被服されている

⇒各撚り線は外部で並列接続されている

(1) http://www.litzwire.com/litz_types.htm

Litz線のデメリット ⇒コスト高 ⇒コアウインドウを埋める率（Fill Factor）が低い

Litz線断面の例

絶縁体

導体（撚り線）

PWM波形の高調波

34

i(t) Ipk

DTs 0 Ts

PWMによる巻き線電流

1

0 )cos(2)(j

j tjIIti

i(t) のフーリエ級数展開

)sin(2

Djj

II

pk

j

sT 2

pkDII 0

（高調波成分→近接効果に影響する）

（DC成分→近接効果に影響しない）

1 jj

1

14

d

f

1 1

1

jjfj

1

144

j

dj

d

j

j

φ j: j 番目高調波のφ

（δ1: 基本波のδ）

（φ1: 基本波のφ）

例：PWMフォワード・コンバータの変圧器（２巻き線変圧器）での銅損

35

変圧器巻き線の近接効果による銅損（１）の変圧器を想定

仮定：M層の巻き線、DC抵抗： Rdc

dcdc RIP 2

0

DC成分に起因する銅損

j 高調波成分に起因する銅損

)(2)(1

3

2)( 1211

2

111

2 jGjGMjGjRIP dcjj 1 jj

巻き線の全銅損

)(2)(13

2)(

)(sin21211

2

11

1

2

2

1

2

jGjGMjG

jj

Dj

DD

RDI

P

jdcpk

cu)sin(

2Dj

j

II

pk

j

cuP

高調波損失ファクター

36

1

10

0.1 1 10

1

10

100

0.1 1 10

1

10

100

0.1 1 10

HF

1 11

HFHF

1

1

P

P

Fj

j

H

高調波損失ファクター

dcRHdc

j

jdccu RIFFRIPRIP 2

1

2

0

1

2

0

全銅損

2 1.5

1

5 4

3

M=10 8

6

M: 薄層の数

M=0.5

2

1.5 1

5 4

3

M=10

8 6

M=0.5

2 1.5

1

5

4

3

M=10

8

6

M=0.5

dc

RRI

PF

2

1

1P1: 基本波の近接効果（ M薄層）による銅損

:2

1 dcRI

（I1: 基本波電流のrms値、Rdc: 直列抵抗）

基本波の直列抵抗による銅損 第一項： DC成分の銅損 第二項： 基本波と高調波の近接効果による銅損

D=0.1 D=0.5 D=0.3

1for THD1 1

2≪HF

1

2

2

THDI

Ij

j

THD=0.48

FH→1.23

THD=0.76

FH→1.58

THD=1.91

FH→4.65

THD: Total Harmonic Distortion

高いTHDを含む電流の銅損を抑えるには ⇒φ1≪1を選択（インターリーブ巻き線の場合大きなφ1を使える）

磁気デバイスの適用

37

ピークAC磁束密度⇒コア損失を受容できる程度に十分に小さくする

ワイヤ断面積⇒コアウインドウに要求された巻き数に適合するように十分に小さくする ⇒巻き線のDC抵抗（銅損）を下げるためにできるだけ大きくする ⇒断面積が大きすぎると表皮効果や近接効果による許容できない銅損が起きる

コアのエア・ギャップ⇒磁気デバイスが十分なエネルギーを蓄える必要のあるとき使用 ⇒変圧器では好ましくない

磁気デバイスの設計⇒要求されたインダクタンスと巻き数比 ⇒コア材料を飽和させない ⇒全電力損失は許容内にする

フィルター・インダクタ

38

gc

c

c

cl

tnitH

RR

R

)()(

i(t)

v(t) n 巻き

Φ

エア・ギャップ 磁気抵抗 Rg

Fc

Fg Rg

Rc

Φ(t) ni(t)

コア磁路長 lc

磁気等価回路

DC

コア磁気抵抗 Rc

ccc lHt )(F

L

C R D

DTs Ts t

I ΔiL

i(t)

0

i(t)

降圧DC-DCコンバータ

S

フィルター・インダクタ電流（連続モード）

コア磁界強度

コア内起磁力

ピーク電流 I+ΔiL によるコアの飽和 を防ぐためにエア・ギャップを使用

フィルター・インダクタの小B-Hループ

39

gc

c

c

cl

nIH

RR

R

0

gc

c

c

cl

inH

RR

R

ΔHc

Hc0

ΔB

Hc

B

Bsat

フィルター・インダクタ の小 B-H ループ

大 B-H ループ

インダクタ電流リップル ⇒コア損失（小 B-H ループ）：無視できる

rms インダクタ電流リップル（DC成分I） ⇒銅損

最大の磁束密度⇒コアの飽和により限定

近接効果⇒無視できる

高周波フェライト材料使用可能

高いコア損失を持つが大きな飽和磁束密度を 持つ材料も使用可能 ⇒物理的に小さなデバイスになる

最大磁束密度を設計に考慮

ACインダクタ

40

ACインダクタ⇒共振コンバータで使用

共振タンク回路

インダクタ電流波形

ACインダクタの B-H ループ

ΔHc Hc

ΔB

B

Bsat

コア損失と近接効果による損失 ⇒大（低コア損失高周波材料（フェライト）を使用）

最大の磁束密度 ⇒コアの飽和よりむしろコア損失で限定

コア損失と銅損を設計に考慮

ΔB: 全損失を最小

にするように設定

C L

-ΔHc

-ΔB

i(t)

i(t)

Δi

Δi t

ACインダクタとして 動作の B-H ループ

コアのB-H

ループ

変圧器

41

Hc

B

Bsat

従来型変圧器 動作の B-H ループ

コアの B-H

ループ

ΔiM

LM

t

iM(t)

i1(t) i2(t)

v1(t) v2(t)

n1 : n2

iM(t)

v1(t)

t

スイッチングコンバータ用（従来型）変圧器の等価回路

m

M

l

inH

1

MM

ML

dttvL

i2

)(2

1 11

m

M

l

in 1

cAn1

1

2

コア損失と近接効果による損失 ⇒大（低コア損失高周波材料（フェライト）を使用）

最大の磁束密度 ⇒コアの飽和よりむしろコア損失で限定

面積 λ1

コア損失と銅損を設計に考慮

cAnB

1

1

2

BAniL cMM 1

dttv )(11

結合インダクタ

42

gc

c

c

cl

tintintH

RR

R

)()()( 2211

ΔHc

Hc0

ΔB

Hc

B

Bsat

結合インダクタ の小 B-H ループ

大 B-H ループ

DC

t

I1 Δi1

i1(t)

I2 Δi2

i2(t)

i1(t)

i2(t)

v1

v2

n1

n2

t

結合インダクタ ⇒マルチ巻き線の フィルター・インダクタ

結合インダクタを含む ２出力フォワード・コンバータ

結合

結合インダクタのコアの正味の磁界強度

小電流リップル⇒小コア損失と小近接効果

最大の磁束密度⇒コアの飽和により限定（エア・ギャップ使用）

最大磁束密度を設計に考慮

フライバック変圧器

43

ΔB

Hc

B

ΔB

DCMフライバック コンバータ動作の B-H ループ

コアの B-H

ループ

t

i1(t) i2(t)

v (t)

n1 : n2

iM(t)

DC

C R

D

LM

i1(t)

iM(t)

i2(t)

i1,pk

i1,pk

t

t

gc

c

c

pk

l

in

RR

R

,11

フライバック変圧器 ⇒２つの巻き線を持つ インダクタ

エア・ギャップ必要

DCMで大⇒コア損失下げるようにΔBを設定

CCMで小⇒最大磁束密度が飽和しないように動作を設定

Bsat

DCM（不連続モード）の電流波形

コア損失

近接効果 DCM, CCMで大 ⇒一次と二次巻き線でのインターリーブは効果無し

（∵一次と二次で電流の位相が異なる）

付録１：電気回路と磁気回路の物理量の比較

44

電気回路 磁気回路

物理量 記号・式 単位 物理量 記号・式 単位

電圧 V=IR V 起磁力 F =NI=ΦR A

電流 I=V/R A 磁束 Φ=NI/R Wb

抵抗 R Ω 磁気抵抗 R H-1 (A/Wb)

電界強度 E=V/l V/m 磁界強度 H=NI/l A/m

電流密度 J=I/A A/m2 磁束密度 B=Φ/A=μH T (Wb/m2)

抵抗率 ρ Ωm ― ― ―

導電率 σ S/m 透磁率 μ H/m

コンダクタンス G=1/R S パーミアンス P=1/R H

電気エネルギー Pt=Vit J 磁気エネルギー NI･Φ J

A:導体の断面積(m2)

A:磁性体の断面積(m2)

l:導体の長さ(m)

lm:磁性体の長さ（磁路長）(m)

A

l

A

lR

A

lm

R

参考文献 落合政司、「スイッチング電源の原理と設計」、付録E3、オーム社、2015.

付録２：飽和磁束密度とコア損失の関係

45

飽和磁束密度 vs. コア損失 （ トレードオフの関係）

TBsat

0 1.0 0.5 1.5 2.0 2.5

106

103

105

104

102

透磁率

μ

大

← コア損失

→

小

パーマロイ

フェライト

純鉄

珪素鋼

Fe基アモルファス

Co基アモルファス

珪素鋼

ラミネート構造コア→渦電流低減

パーマロイ（Fe-Ni合金）

金属磁性粒子コア→渦電流低減

フェライト（酸化鉄主成分のセラミック）

→低周波変圧器、フィルタ・インダクタに使用

→数kHz変圧器、高周波（100kHz）スイッチング 電源のフィルタ・インダクタに使用

高抵抗率材料→渦電流低減

Mg-Zn系→10kHz～1MHzのスイッチング電源の インダクタと変圧器に使用

Ni-Zn系→上記以上の周波数でスイッチング電源の インダクタと変圧器に使用 小 ← 鉄濃度 → 大

321 : : nnn

inV

1Q

outV

1D

L

C R3D

2D

付録3-1：フォワード・コンバータ

46

321 : : nnn

inV

1Q

outV3v

1D

'1i

L

Mi

C R

1i 2i

2v1v

3Dv3D

2D

3i

1Qv

ML

変圧器の等価回路化

出力の目安

数十W～数百W

dc負荷電圧： Vout

（連続モード）

（この出力レベルは フル・ブリッジ・コンバータや ハーフ・ブリッジ・コンバータ より低い）

inDout DVn

nvV

1

33

i

付録3-2：フォワード・コンバータの波形

47

1v inV

1Q 1D

Mi

3Dv

3D

inVn

n

2

1

M

in

L

V

inVn

n

1

3

3D2D

t

t

t

0

0

00

(slope) (slope) M

in

L

V

n

n

2

1

オン デバイス

sDT

sTsTD2 sTD3 21for 5.0 nnD

(inductor volt-second balance for LM)

LMに掛かる電圧の平均＝０

定常状態

003

2

121

D

n

nVDDVv inin

Dn

nD

1

22

132 DDD

01 23 DDD

0111

23

n

nDD

1

21

1

n

nD

１周期のデューティ比の関係

上記が満たされないと磁化イン ダクタンスが飽和する可能性あり

付録3-3：フォワード・コンバータ動作モード

48

321 : : nnn

inV outV3v

L

Mi

C R

1i 2i

2v1v

3Dv

3i

'1i

on 2D

on 1Q off 1D

ML

321 : : nnn

inV outV3v

L

Mi

C R

1i 2i

2v1v

3Dv

3i

'1i

on 3D

off 1Q

on 1D

ML

321 : : nnn

inV outV3v

L

Mi

C R

1i 2i

2v1v

3Dv

3i

'1i

off 1Q

ML

off 1D on 3D

sDT

sTD2sTD3

2

12

n

nii M

(∵ inductor volt-second balance for L)

出力電圧

Lのdc成分⇒０

inDout DVn

nvV

1

33 （連続モード）

2

11max1 n

nVv inQ

（注） Dを上げるために n2/n1 を小さくすると Q1トランジスタのストレスが大きくなる

21at 2max1

nnVv inQ