物性物理学C 2014.11.18

ランジュバン方程式

北畑 裕之

Langevin方程式

2

2

d d ( )d d

m tt t

γ= − +r r ξ

0)( =tξ

( )stMst −=⋅ δ2)()( ξξ

1次元系でのLangevin方程式による挙動

x

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

x

time

x

time

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

v

timetime

v

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

time

<v(

0)v(

t)>

/<v(

0)v(

0)>

1

0

/ ∝ exp(−t/τ)

t

<(x

(t) −

x(0

))2 >

( )2 2 12( ) (0)

tmMx t x t m eγ

γ γ−

−

− = +

2次元での数値計算

x

y

軌跡を残すと

x

y

2

2

d d ( )d d

x xm F tt t

γ ξ= − + +

0)( =tξ

( )stMsξtξ −=⋅ δ)()(

1次元で一定の外力の場合

x

t

x

x(t) vs. t

vs. t

= F / γ t

1次元で一定の外力の場合 （多くの粒子を入れて、領域を区切ると・・・）

x

x

t

分 布

x

P(x)

U(x) = − ax

1次元で調和ポテンシャル中の場合

2

2

d d ( )d d

x xm ax tt t

ξγ= − − +

0)( =tξ

( )stMsξtξ −=⋅ δ)()(

2

2)( xax =Φ

x

t

（多くの粒子を入れると・・・） 1次元で調和ポテンシャル中の場合

x

x

t

分 布

x

P(x)

U(x) = ax2/2

2

2

d d d ( )d d d

x x Um tt t x

γ ξ= − − +

ポテンシャル力を受ける粒子のLangevin方程式

慣性項に比べて粘性項が十分に大きい場合には：

d d0 ( )d dx U tt x

γ ξ= − − +

d 1 d 1 ( )d dx U tt xγ γ

ξ= − +

d 1 d 1 ( )d dx U tt xγ γ

ξ= − +

に対応するフォッカープランク方程式

B1 d ( , )d

k TP U P x tt x x xγ γ

∂ ∂ ∂= + ∂ ∂ ∂

この定常解は、

−=

TkxUPP

B0

)(exp

分 布

x

P(x)

U(x) = ax2/2

−=

TkxUPP

B0

)(exp

化学反応のモデル：KramersのEscape rate

x

U(x)

A原子 B原子

x

化学反応の古典的描像

はじめ、結合していたA原子とB分子はどれくらいの割合で 分離するか?

フォッカープランク方程式を用いるとその割合が計算できる

∆E

∆−∝

TkEP

B

exp

動的光散乱（Dynamic Light Scattering）

（ベックマン・コールター社）

http://www.beckmancoulter.co.jp/product/product03/m_principle/index.html より

ブラウン運動を利用して、 粒子の大きさを測定

（数ナノメートル～数マイクロメートル 程度の粒子のサイズを測定可能）

http://www.beckmancoulter.co.jp/product/product01/DelsaNano_S.html

レーザー光

散乱光

( )rki ⋅expk

'k

( )rki ⋅'exp

光路差 ( ) Rkk ⋅− '散乱光強度 ( ) 2'exp1 Rkk ⋅−+∝

ただし、 λ

πnkk 2' ==

2sin4' θ

λπnkk =−

観察される散乱強度の概念図 散乱光

強度

時 刻

)()()()(

)(tItI

ttItItG

∆+=∆

散乱強度の自己相関関数

)( tG ∆

t∆

( )ttG Γ−∝∆ exp)(

自己相関関数は指数関数的に減少するはずである

2Dq=Γ

2sin4 θ

λπnq =

Stokesの法則 半径Rの球が流体中を速度vで運動している時、 流体から受ける抵抗は、速度が遅い時には

Rvπη6となる。ただし、ηは流体の粘性係数である

つまり、Einstein-Stokesの関係式： R

TkDπη6

B=

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