蘆 蘆Ｈ○万 337 節７噸梁及び千旗の助〃学 7.8乎極の迎助方圏式336

1.0 1.0

08 ０８

０６

(nfLlD｡.，

i軒l;i;誌｡」 秘 【鰯jo6irZ71…

0.4 らケタくい

０２ ０２

1--…」－－－１Ｌ ００ ００ ０１(、zＯ川）４０ゴ(］Ｎ）

Ｌノ「L/「

図７８図７９

上式を５２１二ついて解くと，

l:八Ｉｋｒ/Ｌ＜ＩＵ》叫命．ＷＬ)△磑念lrjrIを窃日iiuて状のよ勺IこMII伽化する二とができる。

……』[!+1,鶚勵!c,刷川］．｡…鑿['一卜烏Ⅱ洲２１

（烏||＃昨…~[何Ｗ('十烏脆'1｡……Ｊｚ＝

－２烏|+｢｡.,｡ハⅢ|》小鳥沖)］(7.73）

(7.75）

となる。ニニで式(7.7Z)に以って犬（7.73)鮭liIいると武の.[うになる，

lHq71に．ＭＡＧ）を3.06とＬ’Fを6h句斑えたＩＪＩ命のＱ２/､`o…ﾕをＩＬ/『)'二H1（て'1t-｢。

……璽鶚……{叶鎧］

…+'烏』雛iil辮朧…十緋,誤ii#二群毒押,,Ｉ

大括弧内のｐｂｚを式（7.“)で炎十と，

PartB平板

7.8平板の運動方程式

ここでlｴ・雛'二Bllする鎚勘とl1i】じirl序で，平19(に１１１Iする議鏑を進める。つまI)，ＨａｍｉＩｌｏｎ

の1冊(班をlⅡいて，古典的な乎槐の理鐘にｵｺﾞける速助方程式（cqualIiDnofmolion）および塊りIＬ条件をまず收Ｉ川こ求める。

乎恢のjil11h1lエネルギーがま~r必喫であI)pIlillI1的な取扱いで【よこれ（よ乎恢の要素の垂ifL方向の迎鋤〃>典（1101松慣性は後で,1lbずる）を以って炎-ｹ。すなわち次式である。

アールw`M《’７，`）ここに，Ｒ'よ乎椴の平面欄を.唖味する。全:11テンシャル・エネルギーィェ式(6.30)によって次式のようにいえられている。

’Uw)-:1L{ｗⅦ1-,1[|烏｢‐窯割}`Ｍ‐岬MM‘（"，）

したが診,てlIilmillonのｌｌｉ１理から汰式をiりる。

－

３ ５

凹

処ニユ⑨ 奎烏,雛'辮蒼誌１１

となり．この各項を整理してから分lIIfI二("L)o聖11Iけると次式をiりる,，

…ﾄﾄ鳥|云鵜州 (7.74）

《 蘆

ＩＩＪ、』ローＩＩｌｐｐｌ１．１１１，１－●ｉｌＩＩ１ＩＩ１Ⅱ－１「‐・ＩＩ裸Ｉトー：‐

鰯７軍蝶及び乎恢の動刀学3羽 7.9【1t純支持平版の自由振動 ３３９

となり，線ＩＨＩ分から生ずる境界条件(よ式(6.44)によって以下のようにｳﾞ･えられる｡境界に描い

て，

“則…祭…に’

@代鶚-。…”…Ⅲ川鍋）ここに，ｖは境界の外向きの越線の方Iihjである。自然境界条件は，式(α)'二おいて式(6｣5)お

よび式（6.12)を，式(b)において(615Ｍ6.16),(6.17Ｍ6.18）鈴よび(6｣2)の鍋式をjIlいること

によって，ｗの項で容坊に炎-ケ二とができる。

‘川{l川普Ⅲ;[ｗ+２１'Ｍ|急''一窯劉｝…}…]薑,’7"`）

概抑子を１１川る手法によって1Ｗ・変分をtiI卸すると，次式のようになる。

ｌザル等等-｡{…峠2m-W'[鑑識一;窯禁‐;窯剃川鮴]…-い",）

ここで，Ｖﾕ6Ｗ＝OZ6w/Dx2＋D25w/Dy2なることに１１;感して,MiIH分吋i敗り)期lj1nをIIIillIlにＩＨＩして部分積分し，さらに残I)Ｕ)項を岐後の項を除いて,笹IliIII`螺に１１Mして次々と部分H1分をｉｊ

うと次式を御ろ。．

7.9単純支持平板の自由振動

乎恢の艦勤に関するいくつかの概念を導入し、かつ近似解法の総鵬との比鮫'二後で使用する厳騰な描料を準鮒するため，寸峻がｄＪｘｂｘｌＩで，全辺がI仙純支持されている獅仮（図７．１０参

照）の自由振動（舵ｅｖｉｂ｢aIion）を考える。

この場合のｗに関する厳分方樫式は式(7.83)'二おいて９＝Ｏとすればよい。この式を，以下

のようなiiiiIiiな形で表す。

'２V4Ｗ＋幻＝０，（7.85）

l川抑窯…倍,…矛…('-州[蒜一;詩-;為い…I]…＋1ドル…jl[1'一° (7.80）

ここにロ

卜儂１運動エネルギーによる動的な項は線欄分'二何ら寄与しないから,上式の線１Ｍ(分は輔６繭に稔い

て筋的な乎仮について鵬iMlLf二期合の線闘分と同一である。しﾒﾆがってこの線IH分について詳

述する必要I工なく，6.4節の緒11Lをそのまま１１伽る゜iiiliH分の項をまとめて，」二大I欺のように

勘換えることができる。

ｌｉＴＩい…[-暴肌昨豪州腓`,}…＋jI[…M』Ｗ41=．川

こればさらに淡のようになる。

１W[ノル…,…,}…+j[…川＋jIl1に｡，了錘，

上式から連動の敵分方程式は，

ＤＶ４ｗ＋ｐｌｍｐ＝９（7.83）

(７．８６）

通常の方法'二従って変数分離を次のように試みる。

ｗ＝Ⅳ(x,y)T(1)．（7.87）

こ』,から池浦の遇羅'二よって,締IOb)1kⅡIilIllにIlU-rる常微分〃麗人と`側IIlll(撤糸(×･卯にllU~｢る幅

）,）。

ロ、■■リー■■。■｜Ｆ■且■■■■■■Ｂ■■■Ｂ■■ｃ‐－』■■■■Ｐ■Ｊ巳■』■■■■■■■■Ｐ■■ＰＢ■■■し０－０ⅡⅡⅡＵ５ｐｌ００■Ｆ■Ⅱ■Ｄ０４Ｕ｜■ｇ０Ｉ０Ｉｌ１Ⅱ０ⅡＩ０ＩＩＩＩ００□■、凸曰Ｅ００ＩＩ８Ⅱ巳『ＰＣロ■Ｐ■■■□■Ｌ■■Ⅱ■■ＰⅡｎ■■■ロワーセ

Ｔｉ

＝一一一一エ

正

｡トー－．－－－１回７．１０

’

Ｌ 。

｜Ｉ

《 《７９１１，純だ、\II2iのrlIil臓動３４１

’除Sim処Sm\（川'５１口

肌710ｔ蝋及び乎概の鋤〃学340

敵分方鯉式とを{りる。十ない｢,，

γ

テーーィｌＡＬﾉﾆｶL'て,７＋`ｕ２Ｔ＝()．’`!）HRv③１１′

ｗ－"Ａ１にﾙｲw』w-lル叩伽''7繩)二二'二．“ユ(よ分離のバラ」仇で蝿△,人(7.881`』))j)月rILij:J)岬)'二/にることかlnfjiニルか６㎡

７.＝,ICCS(,j『＋Bsin(,､【．（7.89）

式(7.88(b))について(上再び変数分離ｿﾞ)ﾉｊｕ４をとって進JP，る｡［かＩ/jM1iP』ここでI上1111MmがliiiIii

であるから，ｌγ(x,),)の解をI輔散ｘい)とｙ()１との6Ｗ)形と’て迦-6;ことができる`,‐rfEI,ｂ，

IiWYlx)y(y)を汰のようにとる。

ⅣＭ－擬似IrM＝､伽ＦＭ'W』ｌｌＩ，゜）

6.4節（iii純支持腱方形微のliMljkIⅡIげ）を参1職-ｹ11ぱ，ニリ〕lfiI上11Ｗ〕iI1純鋤iPﾄﾞl脳'二脱げ

るすべての境界条件を満足していることはlﾘIF>かである。

エーq4uに1Ｊいて，Ｉγ＝Ａｌエー０．１７９１）

）,＝qljにI｣いて．１１'＝Ｍ，＝０．（7.92）

さて，この欄を式(7.88仏》に代人-｢ると，

［|等｢杷Ｉ等|Ｗ+|響}-霜ﾙi､苧｡i耐11WL,，，"｜となる。ニニに，分離変数(⑨エＩﾆﾙﾙﾉﾆ鵬'ｉ２〃と〃Iと(ｴ．縦放し8＄$よび〃Iを排--)特hi』の欄

に伴う②ｚを表す。したが.’て紬1,0)，

とい.､'二ｔができる.、二の､lAll(｡)rllllIIi助Ｉ上'111麺の初!U1条l'ＩをiiRilll-rる適当なlhi帆と適切な位

１１１とをilr△すべてｄ〕［－Ｗ〕!Ｈ合せて及冬llら.､ＬノニＺＩＬ’て次』ｕリル1に災.「二とができる､，

､膣鮒ﾄi､苧薊､半|P｡…-1仏-…-１１（"`）ニニに．ＺDIW)添字を持つ無|製1Nの追放''何ｍ:およびＢ､噂【ｴ,既知の函故ウとしと'二よるl21F

U>茶１，１；をiAIiIIlさせることによ〃’て決定ざｵlる。

Ｍｘ,)'’0)＝中(xDy)，

２H;i｣ｉ９Ｌ‘Ｍ，？,7） 火(716)をkの条'1:に代入-ｹると次火をi1Iる。

蕊,sim等｡in梺圏--`(屡叫，.，

鰯ﾄhi苧ﾙ､半１Ｍ愚－，Ｍ(川'８１さてここで，

ｌ:．in等.､苧…;`鯛．

ｌ:鋼､苧慰噸梺`,-;`,。川をjⅡＬ･ると，汰のＩＨＩ係をiりる。

［L(mMwj-等Ｍ１(7川こllI上二のIMI題に関~｢ろ固有函数のＩＩＴ変性である。さて，式(7.,8(α))'二sin(p打X/α)Sim(9兀jlﾙ）をＵｌけてＲ金城について欄分十ｵ1ぱ，

ＩＬ[鮒鬮i､苧.､苧團緬苧鬮i､竿`JM，-1〃…苧珈竿州

い'卿[|等ＷＷｌ等Nw1｢ｌ

岾岬[(:ＮｗｌＴ

すなわち，

(７－，４）

となる.上式を導ⅡＩしてきたおりＭｊのり)段Hfをゑると，《ひ伽碗Ⅱ上壜f-･ﾄﾘ1；（''''1IjIiilM【）ＩＩｉｌ噸

がsinImW上U)Sim(DmTWb)のlfjでﾂ蝿.ｌｂｌＩﾉｰulrW〕lJillil肢jMI敬(lOIilIinf()で`『,るこ上がいかる，

したがって鋪("､)勝11の.Ｌ－．１で(上．

`･--"[側號ｌｗｎ (《U）のように災碁11る。式(7.100)でﾀ.えらluる直交性を11lいて．」2式をＢ肘1こついて面接解くこ

《 《７．１０乎阪0ﾆおけるRay1噸ｈの方峻

U…-;)L{Ｉｗｗ･211-,)[|鵠｢-豐劉}`４

343 鮴７１９ｔ染股ひ乎恢のjMI'｣学302

とができる。このようにＬて゛

Ⅱ。巧しⅢ‐｜■乱や４８■Ⅲｊ、とげ守年■＆ⅢザＰ且びり旬 "卿一念ル州團in'鈩鼠㎡!；』川.'"） 二jlFjを人(7.103)Iこ代入し⑩nｺ'二ついて解けば，以下に示すRaylcighIiiをﾄﾞﾘることができ

る“ＡＮＩ二ついてもlI0MliI二・

』獺=mMI…ｉ１ＷｊＭｉｕＭ'伽''7ｊＩ１Ｕをiりる。ﾆｵ'によ゛､てiii純出付きl'ﾉｰﾄと〃形ｌｌ４Ｕ)｢1IlIllt1MIU)1111麺IILiWか１１ノユニとに/fﾑﾆﾆ

で指摘したいこと'よ，llIill唾11ﾉｰ」&〃Iけ114や辺がrlIlIU)}とﾉﾉﾘﾄｼﾞIlZにllU［て↓k、１【てi1lr｣|(ﾉｰ.こ

うなiiiilIiな解がないとし、うことである。こ』IIL二《ﾉ》よ'１/[､141足の世､11ﾉjF,!（17.88)ｌ[lr("jIIi朧

系では分離できないとい．)ことに・部h4lAILているハ・くつかり》'１９１巡り)'１１でｌ１ＩＩＭﾉ)iWを検舟Iし

よう。それは，Ｆ１仮の｣Mi礎力蝿式I上１１１節腿標系において(よ'１)剛'１｢能であるからである，

oIL{Ⅶ)ⅦＨ１[|鶏｢-鶚鶚]}“川⑪，ユー

ハ,〃』“，ZでいえPＬＩ【f二RayleigMli肱汎關放であって，二れは梁における対'瞳する汎函数と同様に，

この,IIlMQの境界条,,卜を満足する函数砿にＵｌｌして股低汰のlPi1ij函数の場合般小であるということがi'@で,,（される。したが－，て．境界条(,:をjUi,凶しかつ雄本モード形を良く近似する函数ｗｉを人(7.104)'二代入すれば，⑩Iﾕのより良い近似値･である⑪12が求められよう。なおこの近似は厳密解Iこ上から近付くものである。ニのようにして，非常0二砿要な乎恢の腱本振動数を近似する強ﾉｊｋｊｊ法がi9られ土。ギlllIIできる平11iの解が少ないことを考掴すれば，この方法は質砿なPu$ということができる。

次に，二の方法の例示および厳密解と近似解との比較を行うf二めに，既にIiii節で解かれているiIlMi芝ｉｉｉ腿jj形恢の場合'二ついてこの手法による解法を示す。

7.10平板におけるＲＡＹＬＥＩＣＨの方法

本節では，平版の脳本源』Ｍ１故の轍騰解にＩ:から近付く近似解を近め６ﾉﾆJbi二．Ｒ＆yIcighの方法（Rayleigh,smeKhod）を拙'j:する．このﾉj法の咄鴎(11斑に7.５節で梁につし･て披衛'て

与えてある。平版が1K本.'ボートにI沖て搬釛激（iJI-E「'''''二１１(勅{ているI,ｕ１Ｍｌ“-1-‘（「

るとこの迦釛は汰のようにﾉｾﾞｰｹﾆとがでざるい

Ⅳ＝Ｗｈ(x,)')cosnDll．（7｣02）

今エネルギーの１１１逸はないから，この糸U)迦助エネ'Lギーリ)雌人lriとiliニネルＩＪ－Ｕ〕liikliliと

を等linする。すなわち，

Ｉ 例題７．３，１.法がｑｘｂｘｈのj11純支持された長方形板について再び吟味する。ここでは,図

７．10に,l§したようにｊｌＷ１杣を平１１Mの'''心Iことると肢もlliiilil二なる（図7.10の破線を参照)。

岐初のモードを近似-するために次の１１１１函数を使用する。

['一|主｢][]Ｍ２]-''一答'''一祭１ (α） ＷａＰｐ－ －

ＴＩ…＝Ｕ…．（７．103）

この脚1敗11.幾何学的境界条件ｗ＝Ｏを渋lu-rるが，同然境界条件JzW6U,エーＯ（よ満足しない。

[ＩＤＯをポヅ’６ﾉｰめI:の函数を火(7.1Ｍ)に代人Ｌ，ｒ1振りi、[を進いていくと次の麟果を測る。7雨｡1を求めるために，人(7.102)を1Ⅱし･て丁を次の山]dﾆﾉｾﾞｰ状

Ｈ岬1Mし'」ふすwll恥｡侭は明らかにSimﾕuJjf＝Ｉの１１$であるから，

峠雛令鶚+;）仲1111)｣`Ｉ..'．

(６）

I:火にルロてLl/ｂのiili分のlifiに対する⑩Iユをii1卸し峨密解（式(7.,4)）と比較することができる。ニリ)紬ＩＩＬ【よ災７．３にり.えてある`’なI｣，炎でI工振勤放パラメタ（hljH4/､)(Ｕ２＝Ａ２を１１lいてある,，（Jルーｌの場合，賑jMl放り)I上⑩I/(ID…,’よ旗のようになることが災からわかる。}〃'川llHio､＝ll1ujI2/)

となる。ＵについてI上，』（(７．７７)に１$いてＶを群と’て人(7｣()2)をIⅡいる“‐r/にｊ,｢,．

｡薑:…lL{Ｉｖｗ+211-鋤[|器｢-豐慧*]}“厩

（｡、̄

⑭色11EＯ＝1.0`、 に）

一一一一一

・JXIl323[ｑｐＵｊＩＩを13邸Ｕ…ｌエCOSｴ⑭１１－１と１Ｊいてｌｌトリ>･［.)に′E△

蘆鮒７鱗梁及び乎櫨ﾛ〕動〃学

災7J

OT/ｂ

ＡＯｚ ４４０

Ａ:…‘］１１９

364

Ⅲ

ZJ-の」ｌＤＤ－ｄＴ

２

３Kﾘ11

3.｣照

３

１１，hlI）

９．74Ⅱ

､I

次に,,11卸の鮒１画を政jIi-r△'二J)に，幾脚擴的蝿界給''１Ｗ=oと｢1然蝿界V:1,1《72Ｍ11,2Ｗ)両方をiMMIlする函数を1ドルる二とに-｢る壜、－rfE巾t,，次ｿﾞ>111函敏をJ1ｉえる．

菫勇{岬'に鼻 ,w2u-州｡M]｝が=

昨トー等`鵜苓ルー等ｈｉ:勝Ｉ(7.108） 句ｎ

ＺＺ'Ｍｊｃｉｊ ｉごＩ脾Ｉ

ここでl:人をＡｉにl則して概価化-ｒｌｌば，次の形のDIilAIの犬を(りる。

(`）

この函故が'二述の境界茶1,1:を灘ﾘﾋﾟｰｹる二とI上f出'二,jR-rﾆﾋｶ8できる“ｌ:人４．人(7｣Ｍ１二八人

して②,ユについて解くと．次式をiりる。

ⅧＭ､患い１１： 伽） ０

汗一“

月ｎ

ＺＺ`ＭｊｃＵ ４ｐｌノーＩ

この結果は．ニニで１１Iいた`iln｢鏑lqiU〕範llHIAlで(よIiliにIIE,jtL上峨滞ｉＷと・数するⅡ

［ ユユ

ＺＺ`Uﾊﾙ.＋z(l-v)(bhj-qkﾉ,２）

－７二r二戸元T--]}に二袖

ｎｎ

ＺＺ'４kAJ 1＝Ｉｊ堂Ｉ7.11平板におけるＲＡＹＬＥＩＧＨ－ＲＩＴＺの方法

本節では，Raylcigh-RiIzの方法（Raylcigh-Ri【zmcthod）をKF板に適''１－ｹる場合について

述べる。これによって雅本振動数の推定を故灘することができるし，もし,雛バリ)七一「形惣ｆ

想することができれば，簡抜のl古lfj振動数について_上から近付く近似解をiUること(’できる`］７．６節において梁に関してr『ったように,'111題の境界条件を満jliする線j削独fZ/IEI輔故騨qbiU泙組を用いて表されるＷａｐｐを与えてこの手法を進めることにする。すな肋f，，

肌"(ｘ,y)＝舟,のj(x,y)＋'1小(x,y)＋…＋,I伽巾励低,Ⅶ．（7.105）

ここに,Ａｌｌルド旭係数である。こ'lを乎批Ｕ〕賜介ｄ〕Rmyl⑫ighIHiに代入するとikJ)L1IニノE△“

･川(會帆|`制!-化へ鶏Ⅱ

i＝１，２，…，〃．

上の鰍1項の分数と館２項の分数の分子の111後の括弧1Alとのｊはソリー・インデックスとなっ

ている｡期２項の分数の班Ｉ)の部分のｉＩ上ダミー・インデックスとしてjilいられたものである

から，ilAliLを避けるf二めに上式でIｴ既にｋに儲えてある。このｋもダミー・インデックスの

役削を続けるものである。火(7.108)をjI抑さらに次のF１

子に,菫州］

Ｍ賊｡…2('-,胸・鋤"小,(菫刈凋l-qi＝１，２，…，〃，

を約Ｌて

バュー7.106）

次に，ｘ鎧よびｙをそれそＩｌｘＩおよびｘｚで樅換え，Ｉ１ｒのlid戯を導入-「△したかＬ’て次式をiりる。

ill ．鋤-伽，Ⅲ 中i‘j`l」，

ＬＬ二の八の贋現に不明なとニらがあ」U6X･'００敗’0ｕｄｕ＋４８６２をⅢいて二の起火化を駄恐る二と0二よって，それらのj'三弗什を[ﾘlらかにすることができよう。

醤謙遜認識I竿iNmr…蛙刊． ｜』

重囲『・一因『』Ｃ－ｎ郭Ｆ斤二］・ｃ－ｎｌ－宕藍時零Ｊ毒害鴻宰｝こ）憲一澪ｓ烹彗ニハーニ一心一一．一斉一一一一一一ニニニ）

再三叶錦汁が。

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雷一塁Ｌ・「鵡今瞳覗ｒ偲聰一慰一Ｉ 回『・二 量『

蘆 蘆７．１２麟万向のﾘﾘWiをIODIOf:柵性一ReissmeT-Mimdlinの平11(理,凶３４９

次に，１２の[ｳ1数をｊＩｌいてaijおよびＣｌノを‘||･算する。式(7.111)'よ，ま-ｒ巾,(すなわち，〃＝Ｉと-ｹる）を)Ⅱいて解き，次に，ウIと↓Ｚ（'『＝２)とを１１Iいて解き，というように５個全部の耐放をIⅡいる(､】＝５）まで逐次的に解くことができる｡これによ‐’て,Ｍｔ初の対称モード（ＩＤ＝

１の場「;）にＨ１応する固＃j価．次に雌切と雛２瀞｢lとの対称モード（11＝２の場合）に対するもり〕とＬ・・〕ように．それそ11のモート・に吋晦する間＃j他の上から近付く近似解をj塁汰１９ることがでざる。。ルーＩ鎧よびﾛルー２の場合のこれらの結果を炎7.4に示す。なおililll化のために．；Iゼア･心比IエＯＳを便１１Ｉしてある。

こ`）.[･〕にして,lJilｲi函数の近似が合理的かつ簾密解Iこ近L･形にとれる場凸Iｴ．Raylcigh-

鮴７１９１鞭及び乎似‘)Ｉ助ﾉﾉｻﾞ348

''１ １ Ⅱ’

ｉｌ Ｅｌ

Ｉ

'Ｈ’

' ''’ １１１

図７」２

同嫌ﾄｰ,ｙ方向についてもIUD(),)をパリ）.［勺にとるニヒが．でぎる“

RiIzIﾉ)ﾉﾉ仏にＬ,て,対応-ｹるM1Ijnfiに1名から近づいてｉｔ<｣ﾄﾞ補に良い近似解が11'られることがl〕か,’た.，‘識萄【ｪ練習のたbbに，１１t純支排｣と方形版の奇のモードIこつして，」且で行ったのと

lrfllliなOilp:をI淡駈らｌ'たい。ル』'’1-1,-UWWIW1山ｊｗＬ （ｎ

ｌｌｈ

図フ.１３の燭台について(,，次ﾘ)形のIｳ1敗鱈１１lいてjuiJ/’６ニヒができる.，

ｃ，＋〔､エェェ＋（・jJ1i4十（.ｊＫｏｂ＋〔､ｓｈＦＭ

ｌＩｌｌの定数を任恵に選び,次にJK＝４０/２にｈけるlin界鵲(,}を満ＩＩＬぎせ・ユIF,に111終的IこそU)繭

敗をｘ＝(R/１０とｘ＝３回/１０と'二IjL･て群（hiMA）とすることi二・[･'て，・IIIU1〔・を走破,るこ

とができる。したがってこの函敗をｇ３い)と起せば，

‘』(蕊ﾄ'04-匹等Z二十'，…，…。Mooxo （９） －司可５－＋－－『ＪＨ－－ｍ４

をi11る。同嫌に函数Ｍｙ）ljllFのように定ﾘ)ることがでざる,,

災７．４

⑭ルー１

４２】Jl4z 'IDB /12m JlO」、

]899細

]81.803

]818oz

〕81.802

389.802

389.635

拙駄価'二、/〃地▲)を11Iける

８０７１３

8067111ｺＭ郷

69.848Ｉ】2,604

IqZl3

lOユI］

9.747

9.747

1.741

２３４５

]２７８７

〕2コ８７

３２．１３６

ｺ1360 厳密解

回'６＝２

IwHo4-型零;i芝十凹響-竿2十匹zll1u仏） 」9２'14コjDa A2ユルェ１２３４５“一そこで似股l"の５個の111$のモー「形I上川トリ)ように近似できる． Z4378Il

Z4]ゴ475

24]S47S

Z4]３４７４

２４]S474

24]5.219

ｉｆ酸Miに、仰鮎･）と掛ける

1.227Ａ]０

１.ZZ7JIZ7ＭＯ】６，４

”〕.“7ｕｓ7.]1３

I40o6I6

I4q6IS

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DJ､444

1Ｊ〕・JSZ

205JZl ZO5o7Z3

I97.865

1,7.ZS7

巾０＝Ｈｌｌ０Ｉ，

小１=ＩＭＩ｣．

巾」＝駒'１，．

１lb』＝Ｈ１'０$・

小９=熈丸．

■■■■与尹■兎■二匁ｒ■Ⅱ’●■凸■□曰■ｑ｜■屯００■肝や■□’』■『冊１１－几ｒ●ローザⅡロＩⅡ日仏■ｉＦ■Ｉａｄ・』■ｒ■ローロロ・Ｐ

7.12横方向の勇断と回転慣性一ＲＥＩＳＳＮＥＲ－ＭＩＮＤＬＩＮの平板理輪

６」ZjW1rE6k・横方向の剪断（lrimsv⑫｢s巴shczl「）の劫llLを僻M1【して軸対称111樋についての改良

理,Miを〃l･H2lに。ここでＩｋｊﾋﾉj形１１１(をIiRlllうこととし，そり〕｢IIIIlMlMllIIIulU〕定火化U)過Fi1で，横ﾉﾉI(ﾘﾘ)iU断と回転M1性（rotaI⑥ryincrIia）との効果を琴蝋する`、この剛錨Iｴ節的な場合

0こついてＲ⑫issncrにＬ,てり.えPjlI，醤IF,にMindlinI二よって肋的な場合に肱機さ１１にも〃）

である｡

汕常の〃uiに従ってまず変位M1を提案-｢ることから１１１発する。伸びの劫IILを除外して以下の

ような、j位場をlIlL･る二とに-「る“回７」］

《 蘆７」２櫛ﾉjIn】のﾘﾘ断と10,IOfilIWl-R⑧issne｢－Mimdlinの千tMRM力

351 350 鮴７噸梁及び乎仮内勤ﾉﾉ学

↓い-''-1(:||欝辮鶚１値'川次'三rriIlIUijJ密痩函数を琴える．仏にＩＮｌＬて

Ｑイド,瓜咋岬川）

’'1＝－zレハリ,f)＝－ﾆﾚ珂．

Ｍ２＝－２⑫,い､),,')＝－ﾆﾚ,，

UI｣=0$い,Ｍ=Ⅳ.(7｣１２）

ここに，＃蕪および↓'"Iエベクト'`蝿中の成分である1人に』る,qjIi;【『、１８だ'殴，$.,１１てI上

いないが，古典的な燭合の式(6.4)のｗ８ＩｊよびlUZにI山て゜Ⅳ.iをI》１敗しIにiri換急ﾉﾆﾋﾆﾊが異なっている。ニオ'は１１ﾘﾘﾋﾞIniにklLて脳初IHlr(て.Fけ，′:線喚」§(上避l1j1IjI,lF1IrIrlをｈＬ－，（b１，

が躯を生じない）という１Ｍ雄は保１$するが．そり)よう/[線qllj｣#力唆lij鵬(’''1ﾘﾐIiIiに対’てIliIrl

であるという仮定Iｪ保持Ｌなし.ことを睡味‐「る､＄‘】,がぬか'|:l:/Eいとし’.〕l}心EIkI1lI<／にい`ﾉ）

で，これを鯵jEする方法を後で卯人-ｹるし，似起した変位場に対-r6jli期1k次Ｕ〕I)にIr〔｢,に災

すことができる。

ＤＩＡ

〔軸＝￣ごｌＫ，

〃'

‘，'＝￣雪ハハ

、，－;|等辨警Ｉ－ｌｌ::L蝿１．，－;|謡-',’’７｣'，’

以下の醗論では，レェ麓よび山，を変数と蒋える。次に，合ﾉﾉﾘ>騎幽ii故をポヨ>る“す/h:ｊ，ｔｊＭ写に関して，

雌－１::`…=}i:古い…となる。な鎧ここてIｴ，平liiili;ﾉﾉ分Ⅱiを仮定[てＨｃｏｋごゾ〕USIIllをlⅡいて`『,６］:人に．犬

(7.113)を便１１Ｉして次式をiりる。

綱←占正:馴團(一等-,鶚ﾙ’

一糸可[警打鶚]－｡[鶚Ｍ川14）

ﾋﾉ[‘ここiこ，ＡＩｴﾘiIUi係数であ･'て．jIS(7.113)よＩ)i1lらI16r巧爵がIMI/〕lりさ全休にわに．，．〔．､ｌｉｌ〔.いる（-rfEオブt,，T1霞がｚＵ)何i故でIェない）との１１心ﾋﾟから'li-rる鯉離を1膳l1i-rるため'二柳人１．〔ある!、ここにIiliに述べにﾚｶがノムのM;轡がぁI)，そj１ヵt曙lliき''ているU)である。ここ-〔OII｡()ｋｃの法Ⅱ１１と犬(7.11])とを川いると，

肘"|祭一晩｜

…Ｃｌ蓋-,,）

(7.117）

と'に''，ＩＭＩ嫌にＱ'もllrのようIﾆﾉ[み’

(7.118）

｡〕M1剛1をⅡIいるのであるから．二の平Ｉ！【の迂敬に.［・’てLagrangc函数が樋分のエネルギーを求めなげｵlばならなし.。ま-r雌例に迦勤エネルギー丁

冬て．IIKQmiIIon

災塊できるよう'二，

を｣Fえると，

『-川:,w圃鋤’

‐;Ⅲ!:』,卜(等Ｈ等｢+|等Ⅲ‘となる．ここで上式Iｴlnl紙ｉｎ性の効111をlj含んでいることにlfUkさ｣（たい。ｚに閲して繭分すると次八をiりる。

『-;lL{筈|等｢辮筈|等｢辮汕Ｗ}“'７｣1,’ⅡカエネノいＹ－Ｕは以卜のように災さ11る。

ロー川:〃…,‘"…州……＋ZTj,凄くPJlz小1．

ここで．Ｔｪ卿および『汀について平lniI団J状態（すなわt＞丁遣:I上澗plI）窓似起し,上式中の

IiiI嫌に，その他の合モームントリ)I舸故'よ次U)好)'二/EKL

－，[WI州矧Ｍ了 111）

箔･か,写ロヶヰ■￣が＝南命一一一・ｐ

こ↓一一一・［’零｜』＋’零一』＋槽一一零一一雫干一一十鵡一零十零’十三一・｛雨‐←一』十一一》‐一一』一一二一】」巳一

癖毎．『ⅡＩ室冗一昌量へ計ひご６．｝｜臼ヨニ一目ｓ『（（擢（ここ）絢戸・）一ｍ」へ‐『ＩＦ弓（‐へ悴凸

』三（陣トミⅡ。Ⅱ』豆一一一一』一一一一へ函一塞一”＋一一唯一雫一増＋一一一一率一国ＩＣ｛｜＊｜』＋｜恭一』十四一一＊一一恭一一‐（堕零＋恭一』‐秀ｓ｛｜諺ｌｓｌ』＋｜寵‐冬》｜』｜＋』一一べ一一二一（一（Ⅱ（｝。

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汚（】」一○一」仏片ｑ【『“ｓ小・’二ｍ二号『⑧」（膚一一一豆くうか一壱伜」』》ン一・“一・二小一一（三肯く）廷．一一一一行

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萱ｓ一揖岻冷害－，」〕汗Ｊ八山一ｑ》一八三岑今凸庁。

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（』ご『（一弦Ⅱ－二党へ惨翫．．‐〔・Ｐ一二戸』声｛ワビ》」』・【Ｑ一二①．ｃ佇’二〔‐へ訪呼鯵

Ｆ「小葦、）八・三京ｓ垂一潅呼一一一⑮。

三一一一鍋一一雫一一雫一十一鍋一一零一一壜窄丁一一一雫一一雫一‐・［’零’一窄三＊一一毛一土一＊一一兼一土一＊一一準一］「狼一半傘一一雫十堰一‐澪・一｛｜寵‐畳一一媚‐喜一十一率‐壜一一堰‐碁一一

一一一一一‐鵡轆ご”‐鵡露菖葺‐菖銅言十・｜轆鴬十轆鬘…罪鶯…罪鶯｜

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〈『』闘霊善一評】ｓ』量佇｜唇］魚宣濤ｌ評一瞥”「‐二言」三Ｇ毛憲患塞

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ごｓ二季）一一こ〕魔｛）ｓ夢蟹時羨佇毒砕８戸、》ミ』』一一吋膚Ｓヘ■｝（一－二へ三憲汁〔巨示ｓ汚蒔一一一⑮。

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蒔鍔作今昔只片←今・今小作再拷蒔一一一び。

Ｃｌ『・‐誹辨｜ぐぎ＋ｇ蝦Ⅱ一一‐酢『図一鼻｛】」目）一Ｆ皇至陰黒ｓ雲罷Ｓ出Ｐ呼弄塒斤←・醒寄Ｆこ（声○一二蒔装院今』一員・【一・・Ⅲｓ華謙一片腎沸ｓ片』

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｛『』凶。）

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‘ 蘆7」２横方向の軸断とICH嘘個性一ReiSsnE｢MindIinの平板理鏑３５６ 節７噸染及び平概の助）j学

になる。

｜w,-鶚'’2…１，窯臺Ⅱ，川そしてI珂万のI腰１１;をlIIII1fにｉｊ･)と．１１１．Ｖ),I,rﾘI1的/k､lAlI(‘ﾉ)ﾉﾉﾄﾞ,1火をiリ乳几

ｗ』…ﾙｶﾞﾋﾞｮⅡ7｣２，）ここで火(7.123)ﾘ〕線Iiliｳ)にijRI)．ｌ」トリ).［･〕にifjIl4･ｆＬｄＰ)てニリリ線hPiう)を．器と１Ｊ《

lfj{$M{-"|警糾洲-Ｍ[-$柵卜劉］纈刎{-筈|警緤鶚|]ル!{｡'鶚辮削

…{-"Al筈-,小ｗｌ蕊[－１`c伽|等-ルー｡'川式(7」14),(7」I5M7」17),および(7」18)を11Ⅲると，ニルIQl[次U)Ｌ１に/[ム

ｌｆｌｉ[‘“Ｍ,-'ww蕊洲藝州'’一"ルハーgdiw`1Ｊ,＋Ｑ,Jwdx]｡'＝0．

ここで再び犬（6.39)（l刺６１１，参1M!）に’/こが･･て，（鮫を－αv,`1sで，‘1,,を`'ｗ`ISiで慨換えると，次式をiりる。

357

＋畑二上,灘(｡,,JIA,＋α１，悪ｊｊＪ＋｡,,(α嚇蒸J山,－qvy6州一(｡③.x＋QPq.,)`ｗＭｉｄｌ＝ｏ

であり，二の掛項をまとぬると次式となる。

lWjlw鍵哨'w鋤ⅦｗＭⅧ十ＭＭ凝り…＋Ｍ１,((】v典エー`j､'2)]Ｍ－(仏`ﾊｴ＋Qyq,,)ｊｌ１Ｍｉｄｌ＝0．

」Ｗ1.I51Iさよび(6｣6)6二1Aし'て為ると｡いきはｕｒのよ･)にり･えられることがl，かる・

ｌＷｊＭｗﾙﾊﾙ仙胸'-,'川」:jIW)IjLl秤から．千1Ｗ)jim界に沿ってllrの二とが結識づIナド,i'６。

Ｍ,＝ｏ，まﾉｰIよ・レヮを規定，（α）

Ｍ，鰯＝０，または．１Ａを規定，（b）

９，＝０，また1.K．ｗを規定．（c)(７｣３５）

ここで(上，ｔ１ｉ典的な平版囎鐘における二つの条件に反して二;つの茶1,1:をiUだが，これに１１ＩしてＩ上11,'しの,溌鐘が｡必饗である。

ｋ｣１１:によって噛界lVillII翅すべてが完成した。式(7｣26)を01.について解き．旗に式(7｣25)に風.’て１Ａと１A,とをiりる二とができる｡191然瞳界条件はjZlj2iﾆﾊﾟH1せられﾒﾆ合力鰐lni,合モーメンI補IQi，および合トルク悔１匹を満IILする《’のでなげｵlばなら'fい゜これらIｴ式（6.15)および

(6.16)，並びに式(7」14),(７．115),(7.117)，および(7」18)をIⅡいて，境界におけるｗ,v'蕪，および1A,に閲する条1,1:として灘くことがでざる｡係数Aについて'よ,この理鏑でIｴまだ特'二定める必奨【ｴなし。等方性材料に対しては，災際｣:【よ係数が5/６であれば多くの場合良い結果を与える二とができる。

ここTIRこげ〕蝿lMlIHIHHﾘ)定金′に垪凶繼拭上るこしIkI/にＬいをｊ〕ＩＵ)，’'1純と１$腿〃形ＩＭの叫介にダルてぢえムニＩ二LlL，１１１鯨MIHxとｉＩＩＵｉとを含んだ二のＹＩｋＵ)lAlljlbi動故について吟雑-ｹることに-｢る。したが.’て．ｑｘｂｘｌｌのfIl((脚7｣(〕趣IMI)が或る［－ドでrIIII撫助の状態に.P,るこに正一｢ろ。この柵合のｗを次の形に似疋十と，

､……梺璽in竿…塵.i・’７｣]`’この}11敗1K〃および'91カ噸故の場命境押においてｗを鵯'二M1通-｢ら．‐『止小fj式(７｣〕S(r))で!'えられるｗにIIllr6鯉１%$1Ｗｂ鵡什を批岨-「ら．今'Rめ心)とＬているJ〕【エ【ＩＤ噸のＡで.｢,るから，この境界IinllIIIm余｢卜を解く必騨I上ない。しﾒﾆがって．レェ.山，およびこ｣'らの⑱i故に付随する蝿界条ｆ１を'Rぬることはしない。そこで，式(7｣〕６１を火(7｣26)に代人Ｌてｑを零と例ざ．Ｍｎｐｓｉｎ(加冗ｴﾉuJlsinl,、),/blcoS⑪㈲｡『)を約して次の帖架をlりるの

｛-'零r-lwr辮鶚}{-｡[Ｉｗｌ２+Iwll緤梺}－，１１い０，ｍ”）これを,Ｉｉ叫班勘の場合にmlIt化rるために'ｴ．ｐＡｊ/12および'/(“Ⅲ)を群とすべきであるといり二とを示すことができる,、ＩＺ式においてそのようIﾆｰｹると次式をiU6。Ｉ

lfjw風`ｗ…ＡＭｗｗｗ川ｗ'。－Qpv15w-Q,ﾛｻﾞﾂﾞ6Ｗ](ｎｉｌｌ＝０．（7.131）

レォゴよびｓをⅡ1擁と【てjⅡいると，

１Ａ＝11,酎ｌＡ－ｍ,ｼﾘ,，山，＝`J､,レリ＋`『ぬし,（7.132）

という二とができる“ここに，ＩＡＩ；よび(ＡＩｴそ１１ぞlルリ〕＄,ｵｺﾞ.ILびｗｊＩｎｌｕ，成分である。

上式を1ＡおよびＷこついてjiY<と次火をiりる.，

山,=(LxIA+`I,沖y､

１Ａ＝－`',,砂Ⅱ＋(lwJA.．（7.1Ｊ]）

ここで式(7.131)に腿ると，

lrliwM蘆ルー`ｗ川１，ｗｉＭｗＪ

▲■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■Ｂ■■■ＦｑＢＴ‐－■■ｔ■■■■■■■ＶＬｊ０１ＦｒＪ■■■■■■Ⅱ■■Ⅱ■■■ｔ■Ｌ■■０８－－６－６■■■‐ＬＢ■・‐‐１－－口０－‐‐ＩＰ‐５－ｈ‐ムーロロロロー■■■■■■■■■二■■■■■▼■００‐

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