fi i– 9 i ndukčnost. energie magnetického pole. střídavé proudy
DESCRIPTION
FI I– 9 I ndukčnost. Energie magnetického pole. Střídavé proudy. Hlavní body. Přenos energie . Překonávání momentu síly a elektromotorického napětí, Foucaultovy proudy. Vlastní indukčnost. Střídavé proudy. Střední hodnoty Popis obvodů RLC pomocí komplexního aparátu. Přenos energie. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
21. 5. 2003 2
Hlavní body
• Přenos energie.• Překonávání momentu síly a
elektromotorického napětí,• Foucaultovy proudy.• Vlastní indukčnost.• Střídavé proudy. Střední hodnoty• Popis obvodů RLC pomocí komplexního
aparátu.
21. 5. 2003 3
Přenos energie
• Elektromagnetická indukce je základem výroby a přenosu elektrické energie.
• Výhoda je, že elektrická energie je výráběna v elektrárnách, efektivně a na vhodném místě a potom je relativně snadno přenášena na místo spotřeby, které může být značně vzdáleno.
• Princip lze ukázat na naší vodivé tyčce.
21. 5. 2003 4
Pohyblivá vodivá tyč VIII
• Nejsou-li kolejnice propojeny, není pro pohyb tyčky třeba dodávat práci, protože po dosažení rovnovážného napětí , neteče proud.
• Kdyby ale tyčkou procházel dolů proud I, bude na ni působit síla směrem doleva v klidu i v pohybu, jak jsme již ukázali :
F = BIL.
21. 5. 2003 5
Pohyblivá vodivá tyč IX
• Když tyčkou pohybujeme a propojíme kolejnice rezistorem R, poteče proud daný Ohmovým zákonem I = /R.
• V důsledku platnosti principu superpozice, působí na tyčku výše uvedená síla a pohybujeme-li tyčkou proti této síle rychlostí v, musíme dodat výkon : P = Fv = BILv = I, který je přesně roven výkonu, jenž se na odporu R změní v teplo.
21. 5. 2003 6
Překonávání momentu síly I
• Lze očekávat, že podobně jako je nutné překonávat sílu při translačním pohybu tyčky, je nutné při její rotaci překonávat moment síly.
• Můžeme to ukázat na otáčející se vodivé tyčce. Musíme změnit translační veličiny na rotační :
P = Fv = T
21. 5. 2003 7
*Překonávání momentu síly II
• Ukažme nejprve, že prochází-li tyčkou délky L, která se může otáčet kolem jednoho svého konce v homogenním magnetickém poli o indukci B, proud I, působí na ni moment síly.
• Na každý kousek dr tyčky působí zřejmě síla. Pro určení momentu síly musíme vzít v úvahu také její vzdálenost od osy otáčení a tedy integrovat.
21. 5. 2003 8
*Překonávání momentu síly III
• Otáčíme-li tyčkou a propojíme-li její konce rezistorem R, poteče proud I = /R. V důsledku principu superpozice musíme tím pádem při rotaci překonávat moment síly. Rotujeme-li tyčkou s úhlovou rychlostí musíme dodat výkon : P = T = BIL2/2 = I, který je opět roven výkonu, jenž se na rezistoru R změní v teplo.
21. 5. 2003 9
Elektromotorické napětí I
• Z výše uvedeného vidíme, že rotační pohyb vede k obdobným závěrům jako translační. Proto se můžeme bez újmy na obecnosti vrátit k vodivé tyčce, pohybující se přímočaře po kolejnicích.
• Připojme nyní ke kolejnicím vnější zdroj. Poteče proud, daný napětím tohoto zdroje a rezistancí obvodu a na něm bude závislé síla, která bude na tyčku působit.
21. 5. 2003 10
Elektromotorické napětí II
• Poté, co se dá tyčka do pohybu, objeví se v obvodu, stejně jako když tyčkou pohyboval vnější činitel, elektromotorické napětí. Jeho velikost závisí na dosažené rychlosti a jeho polarita je opačná k polaritě napětí zdroje, podle Lentzova zákona. Nazýváme ho elektromotorické proti napětí.
• Výsledný proud je superpozicí původního proudu a proudu způsobeného elektromotorickým proti napětím.
21. 5. 2003 11
Elektromotorické napětí III
• Než se dá tyčka do pohybu, bude (rozběhový) proud největší I0 = U/R.
• Za pohybu bude proud podle Kirchhoffova zákona dán :
I = (U - )/R = (U – vBL)/R
• Proud tedy zjevně závisí na rychlosti tyčky.
21. 5. 2003 12
Elektromotorické napětí IV
• Kdyby tyčka nebyla nijak zatížena, zrychlovala by až do rovnováhy indukovaného napětí s napětím zdroje. V tomto momentě mizí proud a tedy i síla a tyčka se dále pohybuje rovnoměrně.
• Nyní také snadno rozumíme tomu, proč se přetížený motor, když se příliš zpomalí, může spálit, příliš velkým proudem.
21. 5. 2003 13
*Foucaultovy proudy I
• Zatím jsme uvažovali jednorozměrnou tyčku zcela ponořenou do homogenního magnetického pole.
• Je-li ale vodič třírozměrný a není úplně ponořen nebo pole není homogenní, objevuje se nový jev, zvaný Foulcautovy proudy.
21. 5. 2003 14
*Foucaultovy proudy II
• Novým jvem je, že indukované proudy nyní tečou uvnitř vodiče. Způsobují síly, které kladou odpor pohybu. Ten je buď tlumen nebo musí být dodáván výkon k jeho udržení.
• Foucaultovy proudy mohou být využity například k plynulému brždění některých pohybů.
21. 5. 2003 15
*Foucaultovy proudy III
• Foucaultovy proudy způsobují vyvíjení tepla, takže jsou zdrojem ztrát výkonu. Proto mosí být maximálně eliminovány speciální konstrukcí jader elektromotorů a transformátorů. Využívá se například konstrukce z navzájem izolovaných plechů.
21. 5. 2003 16
Vlastní indukčnost I
• Viděli jsme, že po připojení volné vodivé tyčky, ponořené do magnetického pole, se objevuje elektromotorické napětí, které má opačnou polaritu než napět budící.
• Dokonce i kousek vodiče bez vnějšího magnetického pole se bude chovat kvalitativně stejně.
21. 5. 2003 17
Vlastní indukčnost II
• Máme-li takový vodič, kterým již protéká jistý proud, je vlastně ponořen ponořen do magnetického pole generovaného tímto proudem.
• Chceme-li v tomo okamžiku změnit proud, musíme změnit magnetické pole a tím i magnetický tok a objevuje se elektromotorické napětí, způsobující proud jehož účinky působí proti této změně.
21. 5. 2003 18
Vlastní indukčnost III
• Lze očekávat, že elektromotorické napětí indukované v tomto případě závisí na:• geometrii vodiče a vlastnostech okolního
prostoru
• rychlosti změny proudu
• Bývá zvykem tyto jevy oddělit a první skupinu zahrnout do veličiny zvané (vlastní) indukčnost L.
21. 5. 2003 19
Vlastní indukčnost IV
• Potom můžeme zákon indukce jednoduše psát :
= - L dI/dt
• Jsme v obdobné situaci jako jsme byli v elektrostatice. Tam jsme používali kondenzátory, abychom vytvořili elektrické pole v určitém prostoru. Nyní používáme cívky, abychom vytvořili pole magnetické.
• Cívky maji obvykle tvar solenoidu nebo toroidu.
21. 5. 2003 20
Vlastní indukčnost V
• Máme-li solenoid s N závity, jimiž prochází magnetický tok , můžeme popsat indukčnost a elektromotorické napětí jako:
L = N/I
= - N d/dt = - L dI/dt
• Jednotkou indukčnosti je 1 henry
1H = Vs/A = Tm2/A (Tm2 = 1 Wb)
21. 5. 2003 21
Vlastní indukčnost VI
• Magnetický tok závity závisí na proudu a geometrii. V případě solenoidu délky l a průřezu S a materiálu s relativní permeabilitou r platí:
L = r0N2S /l• V elektronice a elektrotechnice se používají
součástky, jejichž funkcí je mít indukčnost – cívky.
21. 5. 2003 22
Transformátor I
• Transformátor je zařízení, ve kterém sdílí dvě nebo více cívek stejný magetický tok. Cívka, ke ktreré je připojeno vstupní napětí a která tedy tok vytváří, se nazývá primární. Ostatní jsou sekundární.
• Transformátory se užívají hlavně k převodu napětí a k přizpůsobení vnitřního odporu.
21. 5. 2003 23
Transformátor II
• Ilustrujme princip funkce transformátoru na jednoduchém typu se dvěma cívkami, majícími N1 a N2 závitů. Předpokládejme, že sekundární cívkou teče zanedbatelný proud.
• Každým závitem každé cívky prochází stejný tok a indukuje se na něm elektromotorické napětí 1 :
1 = - d/dt
21. 5. 2003 24
Transformátor III
• Připojíme-li k primární cívce napětí U, bude magnetizace jádra růst do doby, než se indukované elektromotorické napětí vyrovná napětí vstupnímu:
U1 = N11
• Napětí na sekundárním vinutí je také úměrné počtu závitů:
U2 = N21
21. 5. 2003 25
Transformátor IV
• Takže napětí v obou cívkách jsou úměrná počtu jejich závitů :
U1/N1 = U2/N2
• Obtížnější případ je porozumět funkci transformátoru, když je zatížen a velmi obtížné je navrhnout dobrý transformátor s velkou účinností, která se blíží 1.
21. 5. 2003 26
Transformátor V
• Předpokládejme, že máme transformátor s účinností blízkou 1.
• Lze ukázat, že proudy cívkami jsou nepřímo úměrné počtu závitů a vnitřní odpory jsou úměrné jejich čtverci.
P = U1I1 = U2N1I1/N2 = U2I2
I1N1 = I2N2
R1/N12 = R2/N2
2
21. 5. 2003 27
Energie magnetického pole I
• Indukčnost klade odpor změnám protékajícího proudu. Znamená to, že k dosažení určitého proudu, je potřeba vykonat jistou práci. Tato práce se přemění do potenciální energie magnetického pole, které nám ji vrací, když proud snižujeme.
• Protéká-li cívkou proud I, který chceme zvětšit, musíme dodat výkon, úměrný změně proudu, které chceme dosáhnout.
21. 5. 2003 28
Energie magnetického pole II
• Jinými slovy musíme konat práci určitou rychlostí, abychom byli schopni posunavat náboji proti poli indukovaného elektromotorického napětí :
P = I = ILdI/dt dW = Pdt = LIdI
• Abychom našli práci potřebnou k dosažení proudu I, musíme integrovat :
W = LI2/2
21. 5. 2003 29
Hustota energie magnetického pole I
• Podobně, jako tomu bylo u nabitého kondenzátoru, i zde je energie obsažena v poli, nyní samozřejmě magnetickém.
• Jeho hustotu lze jednoduše vyjádřit u homogenního pole dlouhého solenoidu :
• Známe vztahy pro indukčnost L a indukci B L = 0N2S/l
B = 0NI/l I = Bl/0N
21. 5. 2003 30
Hustota energie magnetického pole II
• Protože Sl je objem solenoidu, kde lze očekávat rozprostřenou většinu energie, můžeme ½ B2/0 přiřadit hustotě energie magnetického pole.
• Tento výraz platí i obecně.
SlB
N
Bl
l
SNW
2)(
22
2
21. 5. 2003 31
*RC, RL, LC and RLC Circuits
• Často je nutné najít, jak závisí hodnoty veličin při změnách na čase. Například při nabíjení a vybíjení kondenzátoru nebo cívky.
• U obvodů LC se objevuje nový jev oscilace.
21. 5. 2003 32
Obvod RC I
• Mějme kondenzátor C nabitý na napětí Uc0 a začněme ho vybíjer v čase t = 0 přes rezistor R.
• V každém okamžiku je kondenzátor zdrojem v obvodu a platí Ohmův zákon :
I(t) = Uc(t)/R • To vede na diferenciální rovnici.
21. 5. 2003 33
Obvod RC II
• Všechny veličiny Q, U a I exponenciálně klesají s časovou konstantou .
• *Připojme stejný kondenzátor a rezistor ke zdroji s napětím V0. V každém okamžiku platí podle Kirchfoffova zákona:
I(t)R + Vc(t) = V0
což vede na poněkud složitější diferenciální rovnici.
21. 5. 2003 34
Obvod RC III
• Nyní Q a U rostou exponenciálně do saturace a proud klesá exponenciálně jako v předchozím případě. Vše probíhá s časovou konstantnou .
21. 5. 2003 35
Harmonický střídavý proud
• Prakticky důležitý je střídavý proud harmonického průběhu. Jeho proud a napětí lze vyjádřit jako goniometricou nebo-li harmonickou [sin(), cos() exp(i)] funkci času :
U(t)=U0sin(t + )
I(t)=I0sin(t + )
21. 5. 2003 36
Střední hodnota I
• Střední hodnota <f> časově proměnné funkce f(t) je konstantní hodnota, která má během jistého času stejné integrální účinky jako časově proměnná funkce.
• Například střední proud je stejnosměrný proud, který by přenesl za dobu stejný náboj jako proud střídavý.
21. 5. 2003 37
Efektivní hodnoty I
• Při studiu obvodů střídavého proudu je potřeba ještě jeden druh středních hodnot: protéká-li střídavý proud rezistorem, dochází k tepelným ztrátám bez ohledu na jeho směr, protože tyto jsou úměrné čtverci proudu.
21. 5. 2003 38
Efektivní hodnoty II
• Efektivní hodnota frms časově proměnné funkce f(t) je konstantní hodnota, která má za jistou dobu stejné tepelné účinky jako časově proměnná funkce.
• Budeme například napájet žárovku jistým časově proměnným proudem I(t). Potom, když teče žárovkou stejnosměrný proud o efektivní hodnotě Irms, bude žárovka zářit se stejným jasem.
21. 5. 2003 39
Obecné střídavé obvody I
• Komplexní aparát :• Popisuje napětí U, proudy I, impedance Z a
admitance Y = 1/Z pomocí komplexních čísel.
• Pootm platí obecný komplexní tvar Ohmova zákona :
U = ZI
• Seriová kombinace : Zs = Z1 + Z2 + …
• Paralelní kombinace : Yp = Y1 + Y2 + …
21. 5. 2003 40
Obecné střídavé obvody II
• Tabulka komplexních impedancí a admitancí. j je imaginární jednotka j2 = -1:• R: ZR = R YR = 1/R
• L: ZL = jL YL = -j/L
• C: ZC = -j/C YC = jC
21. 5. 2003 41
RC seriově
• Ilustrujme použití aparátu na seriové kombinaci RC :
• Proud I, společný pro oba R a C, považujeme za reálný.
Z = ZR + ZC = R – j/C
|Z| = (ZZ*)1/2 = (R2 + 1/2 C2)1/2
tg = –1/RC < 0 … kapacitní
21. 5. 2003 42
RLC seriově I
• Mějme R, L a C zapojené do serie:• Proud I, společný všem R , L, C opět považujme
za reálný.
Z = ZR + ZC + ZL = R + j(L - 1/C)|Z| = (R2 + (L - 1/C)2)1/2
• Obvod bude mít buď charakter indukčnosti :L > 1/C … > 0
• nebo kapacity :L < 1/C … < 0
21. 5. 2003 43
RLC seriově II
• Nový jev resonance nastává když :
L = 1/C 2 = 1/LC
• Při této podmínce totiž mizí imaginární část a obvod se chová jako čistá rezistance :• Z, U mají minimum, I maximum
• Rezonanci lze naladit změnou L, C nebo f !
21. 5. 2003 44
*RLC in Parallel I
• Let’s have a R, L and C in parallel:
• Let now V, common for all R , L, C be real.
Y = YR + YC + YL = 1/R + j(C - 1/L)
|Y| = (1/R2 + (C - 1/L)2)1/2
• The circuit can be either inductance-like if:
L > 1/C … > 0
• or capacitance-like:
L < 1/C … < 0
21. 5. 2003 45
*RLC in Parallel II
• Again the effect of resonance takes place when the same condition is fulfilled:
L = 1/C 2 = 1/LC
• Then the imaginary parts cancel and the whole circuit behaves as a pure resistance:• Y, I have minimum, Z,V have maximum
• It can be reached by tuning L, C or f !
21. 5. 2003 46
Resonance
• General description of the resonance:• If we need to feed some system capable of
oscillating on its frequency 0 then we do it most effectively if our frequency matches the 0 and we are in phase.
• Good mechanical example a swing.• The principle is used in e.g. in tuning
circuits of receivers.
Rotating Conductive Rod• Torque on a piece dr which is in a distance
r from the center of rotation of a conductive rod L with a current I in magnetic field B is:
BIrdrrdFdT
^
• The total torque is:
2
2
0
BILIrdrBT
L
RC Circuit I• We use definition of the current I = dQ/dt
and relation of the charge and voltage on a capacitor Vc = Q(t)/C:
RC
tQ
dt
dQ
R
tVtI c )()()(
• The minus sign reflects the fact that the capacitor is being discharged. This homogeneous differential equation can be easily solved by separating the variables.
RC Circuit II
• We have defined a time-constant = RC. We can integrate both sides of the equation:
dt
Q
dQ
• The integration constant can be found from the boundary conditions Q0 = CVc0 :
)exp()()ln( 0 t
QtQkt
Q
RC Circuit III
• By dividing this by C and then by R we get the time dependence of the voltage on the capacitor and the current in the circuit.:
)exp()( 0 t
CVtQ c
^
R
VtI
tVtV
tc
cc
)exp()(
)exp()(
0
0
RC Circuit IV• We again substitute for the current and the
voltage and reorganize a little:
0
)(V
C
tQ
dt
dQR
• We get a similar equation for the charge on the capacitor but it doesn’t have zero on the right side. We can solve it by solving first a homogeneous equation and then adding one particular solution e.g. Qk = CV0 (final Q)
RC Circuit V• Since we have already solved the
homogeneous equation in the previous case, we can write:
00 )exp()( CVt
QtQ
The integration constant we again get from the initial condition Q(0) = 0 Q0 = -CV0.
RC Circuit VI
• By dividing this by C we get the time dependence of the voltage on the capacitor:
)]exp(1[)( 0 t
CVtQ
)]exp(1[)( 0 t
VtVc
RC Circuit VII
• To get the current we have to calculate the time derivative of the charge:
^
R
V
dt
dQtI
t )exp()( 0
The Mean Value I• <f> has the same integral as f(t) over some
time interval:
^
Often we are interested in mean of a periodic function over a long time. Then we choose as representative time the period = T.
0
)(1
dttff
The Mean Value II• <I> would transport the same charge as I(t)
over some time :
^
0
)(1
dttII
• The result of the integration is, of course, a charge since I = dQ/dt. When divided by it gives a mean current over :
The Root Mean Square I• frms has the same thermal effect as f(t) over
some time interval:
^
For a long-time rms, we again choose a representative time interval = T (or T/2) .
0
2
0
22
)(1
)(1
dttff
dttff
rms
rms
The Root Mean Square II• Irms has the same thermal effect as I(t) over
some time interval:
^
Brightness of a bulb corresponds to the temperature i.e. thermal losses.
0
2
0
22
)(1
)(1
dttII
dttRIRI
rms
rms
The Mean Value III• Let I(t) = I0sin(t) and representative = T:
Since the value of cos for the boundaries is the same.
0)][cos()sin( 00
0
0
TT
tT
Idtt
T
II
The Mean Value IV• If I(t) was rectified it would be I(t) = I0sin(t) for
0 < t < T/2 and I(t) = 0 for T/2 < t < T:
^
Since now cos(T/2) – cos(0) = -2 !
02/0
0
2/
0
0
)][cos(
)sin(
It
T
I
dttT
II
T
T
The Root Mean Square III• Let I(t) = I0sin(t) and representative = T:
22
))2cos(1(2
)(sin
0
0
20
0
20
0
220
Idt
T
I
dttT
I
dttT
II
T
T
T
rms
^