15. 5. 2005 1

FII–9 Indukčnost. Energie magnetického pole.

Střídavé proudy.

15. 5. 2005 2

Hlavní body• Přenos energie.• Překonávání momentu síly a

elektromotorického napětí,• Foucaultovy proudy.• Vlastní indukčnost.• Střídavé proudy. Střední hodnoty• Popis obvodů RLC pomocí komplexního

aparátu.

15. 5. 2005 3

Přenos energie• Elektromagnetická indukce je základem

výroby a přenosu elektrické energie.• Výhoda je, že elektrická energie je

výráběna v elektrárnách, efektivně a na vhodném místě a potom je relativně snadno přenášena na místo spotřeby, které může být značně vzdáleno.

• Princip lze ukázat na naší vodivé tyčce.

15. 5. 2005 4

Pohyblivá vodivá tyč VIII• Nejsou-li kolejnice propojeny, není pro

pohyb tyčky třeba dodávat práci, protože po dosažení rovnovážného napětí U, neteče proud.

• Kdyby ale tyčkou procházel dolů proud I, bude na ni působit síla směrem doleva v klidu i v pohybu, jak jsme již ukázali :

F = BIl.

15. 5. 2005 5

Pohyblivá vodivá tyč IX• Když tyčkou pohybujeme a propojíme kolejnice

rezistorem R, poteče proud daný Ohmovým zákonem I =U/R.

• V důsledku platnosti principu superpozice, působí na tyčku výše uvedená síla a pohybujeme-li tyčkou proti této síle rychlostí v, musíme dodat výkon : P = Fv = BIlv =U I, který je přesně roven výkonu, jenž se na odporu R změní v teplo.

15. 5. 2005 6

Překonávání momentu síly I• Lze očekávat, že podobně jako je nutné

překonávat sílu při translačním pohybu tyčky, je nutné při její rotaci překonávat moment síly.

• Můžeme to ukázat na otáčející se vodivé tyčce. Musíme změnit translační veličiny na rotační :

P = Fv = T

15. 5. 2005 7

*Překonávání momentu síly II• Ukažme nejprve, že prochází-li tyčkou délky L,

která se může otáčet kolem jednoho svého konce v homogenním magnetickém poli o indukci B, proud I, působí na ni moment síly.

• Na každý kousek dr tyčky působí zřejmě síla. Pro určení momentu síly musíme vzít v úvahu také její vzdálenost od osy otáčení a tedy integrovat.

15. 5. 2005 8

*Překonávání momentu síly III• Otáčíme-li tyčkou a propojíme-li její konce

rezistorem R, poteče proud I = U/R. V důsledku principu superpozice musíme tím pádem při rotaci překonávat moment síly. Rotujeme-li tyčkou s úhlovou rychlostí musíme dodat výkon : P = T = BIL2/2 = I, který je opět roven výkonu, jenž se na rezistoru R změní v teplo.

15. 5. 2005 9

Princip elektromotoru I• Z výše uvedeného vidíme, že rotační i translační

pohyby vedou k obdobným závěrům. Proto se zatím bez újmy na obecnosti vrátíme k vodivé tyčce, která se může pohybovat přímočaře a bez tření po kolejnicích.

• Nechť je tyčka v klidu a ke kolejnicím připojíme vnější zdroj. Poteče rozběhový proud I0, daný napětím zdroje U a rezistancí obvodu R :

I0 = U/R.

15. 5. 2005 10

Princip elektromotoru II• Jemu odpovídá jistá rozběhová síla :

F0 = BlI0 = BlU/R• Poté, co se dá tyčka do pohybu, objeví se v obvodu,

stejně jako kdyby tyčkou pohyboval vnější činitel, elektromotorické napětí. Jeho velikost závisí na dosažené rychlosti a jeho polarita je opačná k polaritě napětí zdroje, podle Lentzova zákona. Nazýváme ho proto elektromotorické proti-napětí (counter EMF).

15. 5. 2005 11

Princip elektromotoru III• Za pohybu bude celkový proud superpozicí

původního proudu a proudu způsobeného elektromotorickým proti-napětím a zjevně závisí na rychlosti tyčky:

I(v) = [U - U(v)]/R = (U – vBl)/R• Síla působící na tyčku potom závisí na

tomto celkovém proudu : F(v) = BlI(v)

15. 5. 2005 12

Princip elektromotoru IV• Není-li tyčka mechanicky zatížena bude se zprvu

pohybovat zrychleně. S rostoucí rychlostí se ale zvětšuje indukované elektromotorické napětí, tudíž se snižuje celkový proud a tedy i síla, působící na tyčku.

• Děj vede k rovnováze, při které napětí indukované je rovno napětí zdroje. Zde mizí proud a tedy i síla a tyčka se dále pohybuje rovnoměrně rychlostí ve = U/Bl.

15. 5. 2005 13

*Princip elektromotoru IV• Konečná rychlost volné tyčky ve tedy závisí na

napětí zdroje U.• Předpokládejme dále, že tyčka je zatížena jistou

silou v intervalu od nuly po sílu rozběhovouF (0, F0)

• S rostoucí zátěží proud lineárně poroste a rychlost bude lineárně klesat :

I = F/Blv = (I0-I).R/Bl

15. 5. 2005 14

*Princip elektromotoru V• Úpravou původního vztahu pro proud

získáme zajímavou informaci o výkonech : I = I0 – Bvl/R Bvl/R = I0 – I

rozšíříme proudem I a zavedeme sílu F = BIlPm = Fv = RI0I – RI2 = UI – RI2 = P – Pz

15. 5. 2005 15

Princip elektromotoru VI• Mechanický výkon Pm = Fv nabývá maxima při síle F

= F0/2. Zde jsou také proud a rychlost rovny polovině svých maximálních hodnot.

• Ohmický ztrátový výkon Pz = RI2 roste kvadraticky s růstem zátěže i proudu.

• Výkon zdroje P, který je jejich součtem, roste lineárně.• Efektivita výkonu Pm/P lineárně klesá. • K obdobným závěrům lze dojít i u elektromotorů

otáčivých.

15. 5. 2005 16

Princip elektromotoru VII• Elektromotory bývají obvykle optimalizovány na

maximální mechanický výkon. Jejich pracovní otáčky jsou polovinou otáček volnoběžných a pracovní proud je polovinou proudu rozběhového. Na tyto parametry je navrženo chlazení, aby je motor mohl dlouhodobě vydržet.

• Chlazení obvykle souvisí s otáčkami a je-li motor přetížen a velmi se zpomalí nebo dokonce zastaví, spálí se, přestože proud je necelým dvojnásobkem proudu pracovního.

15. 5. 2005 17

*Foucaultovy proudy I • Zatím jsme uvažovali jednorozměrnou

tyčku zcela ponořenou do homogenního magnetického pole.

• Je-li ale vodič třírozměrný a není úplně ponořen nebo pole není homogenní, objevuje se nový jev, zvaný Foulcautovy proudy.

15. 5. 2005 18

*Foucaultovy proudy II • Novým jvem je, že indukované proudy nyní

tečou uvnitř vodiče. Způsobují síly, které kladou odpor pohybu. Ten je buď tlumen nebo musí být dodáván výkon k jeho udržení.

• Foucaultovy proudy mohou být využity například k plynulému brždění některých pohybů.

15. 5. 2005 19

*Foucaultovy proudy III • Foucaultovy proudy způsobují vyvíjení

tepla, takže jsou zdrojem ztrát výkonu. Proto mosí být maximálně eliminovány speciální konstrukcí jader elektromotorů a transformátorů. Využívá se například konstrukce z navzájem izolovaných plechů.

15. 5. 2005 20

Vlastní indukčnost I • Viděli jsme, že po připojení volné vodivé

tyčky, ponořené do magnetického pole, objevuje se elektromotorické napětí, které má opačnou polaritu než napět budící.

• Dokonce i jednoduchý obvod realizovaný smyčkou vodiče bez vnějšího magnetického pole se bude chovat kvalitativně stejně.

15. 5. 2005 21

Vlastní indukčnost II • Máme-li takový vodič, kterým již protéká jistý

proud. Je vlastně ponořen do magnetického pole generovaného tímto jeho vlastním proudem.

• Chceme-li v tomto okamžiku změnit proud, měníme magnetické pole a tím i magnetický tok a objevuje se elektromotorické napětí, způsobující proud jehož účinky působí proti této změně.

• Uděláme-li v obvodu N závitů, tento efekt se N krát znásobí.

15. 5. 2005 22

Vlastní indukčnost III • Lze očekávat, že elektromotorické napětí

indukované v tomto případě závisí na:• geometrii vodiče a vlastnostech okolního

prostoru• rychlosti změny proudu

• Bývá zvykem tyto jevy oddělit a první skupinu zahrnout do veličiny zvané (vlastní) indukčnost L.

15. 5. 2005 23

Vlastní indukčnost IV • Potom zákon elektromagnetické indukce píšeme :

• Jsme v obdobné situaci jako jsme byli v elektrostatice. Tam jsme používali kondenzátory, abychom vytvořili elektrické pole v určitém prostoru. Nyní používáme cívky, abychom vytvořili pole magnetické.

• Cívky mají obvykle tvar solenoidu nebo toroidu.

dtdILU

15. 5. 2005 24

Vlastní indukčnost V • Mějme dlouhý solenoid s N závity. • Protéká-li jím jistý proud I, bude procházet jeho

každým závitem stejný magnetický tok m1.• Dojde-li ke změně tohoto toku, indukuje se v

každém závitu stejné elektromotorické napětí. Protože závity jsou vlastně zapojeny do série, bude celkové naindukované napětí N násobek napětí v jednom závitu.

• Mírně přizpůsobíme Faradayův zákon a použijeme předešlou definici indukčnosti.

15. 5. 2005 25

Vlastní indukčnost VI

• Jsou-li N a L konstantní, obdržíme jednoduchou integrací indukčnost:

• Jednotkou magnetického toku je 1 weber 1 Wb = 1 Tm2

• Jednotkou indukčnosti je 1 henry 1H = Vs/A = Tm2/A = Wb/A

dtdIL

dtdNU m 1

INLLIN m

m1

1

15. 5. 2005 26

Vlastní indukčnost VII • Magnetický tok závity závisí na proudu a

geometrii. V případě solenoidu délky l a průřezu S a materiálu s relativní permeabilitou r platí:

• V elektronice a elektrotechnice se používají cívky, součástky, jejichž funkcí je mít indukčnost.

lSNL

lNINSN r

m

20

1

15. 5. 2005 27

Vzájemná indukčnost I • Dvě cívky blízko sebe, se mohou ovlivňovat

prostřednictvím magnetického pole. Toto ovlivňování popisujeme vzájemnou indukčností.

• Jedná se o celkový tok v jedné cívce jako funkce proudu v cívce druhé.

• Mějme dvě cívky Ni, Ii na společném jadře nebo blízko sebe.

• Budiž 21 tok v každém závitu cívky 2, způsobený proudem v cívce 1.

15. 5. 2005 28

Vzájemná indukčnost II • Potom definujeme vzájemnou indukčnost M21 jako

celkový tok ve všech závitech cívky 2 na jednotkový proud (1 ampér) v cívce 1:

M21 = N221/I1 I1M21 = N221

• Indukované napětí ve 2. cívce přímo z Faradayova zákona a s použitím vzájemné indukčnosti je :

U2 = - N2d21/dt = - M21 dI1/dt• Použití M21 má smysl, když se vzájemné působení cívek

nemění v čase. Obecně závisí na geometrii obou cívek a vlastnostech prostředí mezi nimi.

15. 5. 2005 29

Vzájemná indukčnost III • Lze dokázat, že vzájemná indukčnost obou

cívek je stejná M21 = M12 .• Skutečnost, že proud v jedné cívce indukuje

napětí v cívce druhé, má řadu praktických aplikací. • Používá se například k napájení

kardiostimulátorů, aniž by se vedly vodiče tkání. • Nejdůležitějším využitím jsou transformátory.

15. 5. 2005 30

Transformátor I• Transformátor je zařízení, ve kterém sdílí jedna,

dvě nebo více cívek stejný (časově proměnný) magetický tok. Cívka, ke které je připojeno vstupní napětí a která tento tok vytváří, se nazývá primární. Ostatní jsou sekundární. (Existují i autotransformátory s jednou cívkou a odbočkami)

• Transformátory se užívají hlavně k převodu napětí a proudu nebo přizpůsobení vnitřního odporu (impedančnímu přizpůsobení).

15. 5. 2005 31

Transformátor II• Ilustrujme princip funkce transformátoru na

jednoduchém typu se dvěma cívkami, které mají N1 a N2 závitů. Předpokládejme, že sekundární cívkou teče zanedbatelný proud.

• Vstupní napětí musí být časově proměnné.• Každým jedním závitem každé cívky prochází

stejný tok a indukuje se v něm elektromotorické napětí U1 :

U1 = - d/dt

15. 5. 2005 32

Transformátor III• Připojíme-li k primární cívce napětí U1,

bude magnetizace jádra růst do doby, než se indukované elektromotorické napětí vyrovná napětí vstupnímu:

U1 = N1U1

• Napětí na sekundárním vinutí je také úměrné počtu závitů:

U2 = N2U1

15. 5. 2005 33

Transformátor IV• Takže napětí v obou cívkách jsou úměrná

počtu jejich závitů :U1/N1 = U2/N2

• Obtížnější případ je porozumět funkci transformátoru, když je zatížen a velmi obtížné je navrhnout dobrý transformátor s velkou účinností, která se blíží 100%.

15. 5. 2005 34

Transformátor V• Předpokládejme, že máme transformátor s

účinností blízkou 1.• Lze ukázat, že proudy cívkami jsou nepřímo

úměrné počtu závitů a vnitřní odpory jsou úměrné jejich čtverci.

P = U1I1 = U2N1I1/N2 = U2I2 I1N1 = I2N2

R1/N12 = R2/N2

2

15. 5. 2005 35

Energie magnetického pole I• Indukčnost brání změnám protékajícího proudu.• Znamená to, že k dosažení stavu, kdy cívkou

protéká určitý proud, bylo potřeba vykonat jistou práci.

• Tato práce se přemění do potenciální energie magnetického pole. Roste při zvyšování proudu a klesá při jeho snižování.

• Protéká-li cívkou proud I, který chceme zvětšit, musíme dodat výkon, úměrný změně proudu, které chceme dosáhnout.

15. 5. 2005 36

Energie magnetického pole II• Jinými slovy musíme konat práci určitou rychlostí,

abychom byli schopni posunavat náboji proti poli indukovaného elektromotorického napětí :

P = IU = ILdI/dt

dW = Pdt = LIdI• Abychom našli práci potřebnou k dosažení proudu

I, musíme integrovat :W = LI2/2

15. 5. 2005 37

Hustota energie magnetického pole I

• Podobně, jako tomu bylo u nabitého kondenzátoru, i zde je energie obsažena v poli, nyní samozřejmě magnetickém.

• Jeho hustotu lze jednoduše vyjádřit u homogenního pole dlouhého solenoidu :

• Známe vztahy pro indukčnost L a indukci B L = 0N2S/l

B = 0NI/l I = Bl/0N

15. 5. 2005 38

Hustota energie magnetického pole II

• Protože Sl je objem solenoidu, kde lze očekávat soustředěnou většinu energie, můžeme

pokládat za hustotu energie magnetického pole.• Tento výraz platí obecně v okolí každého bodu i v

nehomogenních polích.

SlBN

Bll

SNW0

22

0

20

2)(

2

0

2

2Bwm

15. 5. 2005 39

RC, RL, LC a RLC obvody• Obvody obsahující cívky a kondenzátory

dosáhnou po určité změně, např. připojení zdroje rovnovážného stavu až za určitou dobu. Proto je u nich důležité najít chování elektrických veličin v závislosti na čase. Budeme se tedy zabývat “vybíjením nebo nabíjením” kondenzátoru nebo cívky přes odpor.

• U obvodů LC se setkáme s novým jevem oscilacemi.

15. 5. 2005 40

Obvod RC I• Mějme kondenzátor C nabitý na napětí Uc0

a začněme ho vybíjet v čase t = 0 přes rezistor R.

• V každém okamžiku je kondenzátor v obvodu zdrojem v tomto obvodu a platí 2. Kirchhoffův (nebo Ohmův) zákon :

I(t) = Uc(t)/R • To vede na diferenciální rovnici.

15. 5. 2005 41

Obvod RC II• Všechny veličiny Q, U a I exponenciálně

klesají s časovou konstantou = RC.• Nyní připojme stejný kondenzátor a rezistor

k vnějšímu zdroji s napětím U0. V každém okamžiku platí podle Kirchfoffova zákona:

I(t)R + Uc(t) = U0

což vede na poněkud složitější diferenciální rovnici.

15. 5. 2005 42

Obvod RC III• Nyní Q a U rostou exponenciálně do

saturace a proud klesá exponenciálně jako v předchozím případě.

• Časové změny všech veličin lze opět popsat pomocí časové konstanty = RC.

15. 5. 2005 43

LC obvod I• Ke kvalitativně nové situaci dojde,

připojíme-li nabitý kondenzátor C k cívce L.

• Lze očekávat, že se energie bude přelévat z formy elektrické do magnetické a naopak. Dochází k netlumenému periodickému pohybu.

15. 5. 2005 44

LC obvod II• Tento obvod se nazývá LC oscilátor a

produkuje elektromagnetické kmity. • Opět použijeme 2. Kirchhoffův zákon:

L dI/dt – Uc = 0• To vede opět na diferenciální rovnici,

ale vyššího řádu.

15. 5. 2005 45

LC obvod III• Co se děje kvalitativně:• Na začátku je kondenzátor nabit a snaží se

vybíjet přes cívku. Na ní se ale naindukuje napětí rovné napětí na kondenzátoru, čímž cívka brání rychlému nárustu proudu. Ten je zpočátku nulový. Jeho časová derivace však musí být nenulová, proud tedy zvolna roste.

15. 5. 2005 46

LC obvod IV• Kondenzátor se vybíjí, čímž klesá nárust

proudu a tím i indukované napětí na cívce.• V okamžiku, kdy je kondenzátor vybit je

napětí na něm nulové, nulový je i nárůst proudu a napětí na cívce. Proud má ale nyní maximální hodnotu a cívka brání jejímu okamžitému poklesu.

15. 5. 2005 47

LC obvod V• Na cívce nyní poroste napětí opačné

polarity, což odpovídá klesajícímu proudu. Kondenzátor se též nabíjí na polaritu, která je opačná, než byla polarita původní.

• V okamžiku, kdy je kondenzátor nabit, je proud nulový a celý děj se opakuje.

15. 5. 2005 48

*RLC obvod• Přidáme-li k obvodu RC rezistor, bude

obvod kmitat kmity tlumenými.• Při průtoku proudu se elektrická

energie bude měnit na rezistoru na energii tepelnou a počáteční energie nahromaděná původně v nabitém kondenzátoru se bude postupně ztrácet.

15. 5. 2005 49

Harmonický střídavý proud• Z praktickéch i teoretických důvodů hrají

střídavé proudy harmonického průběhu velmi důležitou roli. Jsou to veličiny, jejichž závislost na čase lze vyjádřit jako harmonickou nebo-li goniometrickou funkci [sin(), cos() exp(i)] času, např.:

U(t)=U0sin(t + )I(t)=I0sin(t + )

15. 5. 2005 50

Střední hodnota I• Střední hodnota <f> časově proměnné

funkce f(t) je konstantní hodnota, která má během jistého času stejné integrální účinky jako časově proměnná funkce.

• Například střední proud je stejnosměrný proud, který by přenesl za dobu stejný náboj jako proud střídavý.

15. 5. 2005 51

Efektivní hodnoty I• Při studiu obvodů střídavého proudu je

potřeba ještě jeden druh středních hodnot: protéká-li střídavý proud rezistorem, dochází k tepelným ztrátám bez ohledu na jeho směr, protože tyto jsou úměrné čtverci proudu.

15. 5. 2005 52

Efektivní hodnoty II• Efektivní hodnota frms časově proměnné funkce f(t)

je konstantní hodnota, která má za jistou dobu stejné tepelné účinky jako časově proměnná funkce.

• Budeme například napájet žárovku jistým časově proměnným proudem I(t). Potom, když teče žárovkou stejnosměrný proud o efektivní hodnotě Irms, bude žárovka zářit se stejným jasem.

15. 5. 2005 53

Obecné střídavé obvody I• Řešení střídavých obvodů, napájených

jedním zdrojem nebo více zdroji se stejnou frekvencí, je dvojrozměrný problém.

• Napájíme-li obvod napětím U0sint, budou napětí a proudy záviset na čase také jako t.

• Je tedy nutné a postačující popsat každou veličinu v každé větvi dvěma parametry, velikostí a fází.

15. 5. 2005 54

Obecné střídavé obvody II• Používá jeden z matematických nástrojů:

• Dvojrozměné vektory.• Komplexní čísla v Gaussově rovině. Tento

popis je výhodnější, protože pro komplexní čísla je definováno více operací (např. dělení, mocniny a odmocniny).

• Souřadná soustava nebo Gaussova rovina rotuje s t, takže zobrazujeme jen velikost a fázi veličin a hovoříme tedy o fázorech.

15. 5. 2005 55

Obecné střídavé obvody III• Popis oběma způsoby je podobný. Velikost

příslušné veličiny (napětí nebo proudu) je popsána velikostí fázoru nebo absolutní hodnotou komplexního čísla a fáze je popsána úhlem, který svírají s kladnou částí osy x nebo reálné osy.

15. 5. 2005 56

Obecné střídavé obvody IV• Aparát komplexních čísel:

• Napětí U, proudy I, impedance Z a admitance Y = 1/Z se popisují pomocí komplexních čísel.

• Platí zobecněný komlexní Ohmův zákon:U = ZI nebo I = YU

• Pro seriovou kombinaci: Zs = Z1 + Z2 + …

• Pro paralelní kombinaci: Yp = Y1 + Y2 + …

15. 5. 2005 57

Obecné střídavé obvody V• Tabulka komplexních impedancí a

admitancí. j je imaginární jednotka j2 = -1:• R: ZR = R YR = 1/R• L: ZL = jL YL = -j/L• C: ZC = -j/C YC = jC

• Dále se postupuje obdobně jako u obvodů stejnosměrných a lze používat i účinnější metody např. metodu obvodových proudů. Zpracovávané veličiny jsou ale komplexní.

15. 5. 2005 58

RC seriově• Ilustrujme použití aparátu na seriové

kombinaci RC :• Proud I, společný pro oba R a C,

považujeme za reálný.Z = ZR + ZC = R – j/C

|Z| = (ZZ*)1/2 = (R2 + 1/2 C2)1/2

tg = –1/RC < 0 … kapacitní

15. 5. 2005 59

RLC seriově I• Mějme R, L a C zapojené do serie:• Proud I, společný všem R , L, C opět považujme za

reálný.Z = ZR + ZC + ZL = R + j(L - 1/C)

|Z| = (R2 + (L - 1/C)2)1/2

• Obvod bude mít buď charakter indukčnosti :L > 1/C … > 0

• nebo kapacity :L < 1/C … < 0

15. 5. 2005 60

RLC seriově II• Nový jev resonance nastává když :

L = 1/C 2 = 1/LC• Při této podmínce totiž mizí imaginární část

a obvod se chová jako čistá rezistance :• Z, U mají minimum, I maximum• Rezonanci lze naladit změnou L, C nebo f !

15. 5. 2005 61

Rezonance• Obecná definice rezonance:• Potřebujeme-li dodat energii do systému, který je

schopen kmitat s určitou vlastní frekvencí 0, nejefektivněji to lze učinit, pokud ji dodáváme s frekvencí odpovídající 0 a kmity jsou ve fázi.

• Vhodným příkladem z mechaniky je houpačka.• Rezonance se užívá například v ladících obvodech

přijímačů.

Rotující vodivá tyčka I• Moment síly působící na na kousek dr vzdálený r

od středu otáčení vodivé tyčky délky l , kterou protéká proud I kolmo na magnetické pole B je:

BIrdrrdFdT

^

• Celkový moment síly tedy je:

2

2

0

BIlIrdrBTl

Rotující vodivá tyčka II• Záporný pól zdroje U připojíme na střed. Je-li odpor

obvodu R, budou rozběhový proud I0 a moment T0 :

RUBlT

RUI

2;

2

00

Otáčí-li se tyčka s jistou úhlovou rychlostí , indukuje se v ní elektromotorické protinapětí a celkový I proud je :

RBlI

RU

IBl

2

2

02

2

Rotující vodivá tyčka III• Volná tyčka dosáhne rovnovážné úhlové

rychlosti e , když se napětí vyrovnají :

2

2BlU

e

Při zatížení jistým momentem 0 < T < T0 budou celkový proud I a úhlová rychlost :

202

2)(2Bl

RIIBl

TI

Rotující vodivá tyčka IV• Závěry pro výkony jsou obdobné jako u

pohybu translačního :

zm PPRIUITP

IRIIR

Bl

2

0

2

)(*2

^

Zařízení může pracovat v režimu elektromotoru 0 < < e nebo v režimu generátoru pro vně tohoto intervalu:

RC obvod I• Použijeme definici proudu I = –dQ/dt a

vztahu mezi nábojem a napětím na kondenzátoru Uc = Q(t)/C:

RCtQ

dtdQ

RtUtI c )()()(

• Znaménko mínus znamená, že kladným proudem se kondenzátor vybíjí. Tuto homogenní diferenciální rovnici prvního řádu snadno vyřešíme separací proměnných.

RC obvod II

• Definujme časovou konstantu = RC. Můžeme integrovat obě strany rovnice:

dt

QdQ

• Integrační konstantu nalezneme z okrajových podmínek Q0 = CUc0 :

)exp()()ln( 0 tQtQktQ

RC obvod III

• Podělením C a následně R obdržíme časovou závislost napětí a proudu v obvodu:

)exp()( 0 tCUtQ c

^R

UtI

tUtU

tc

cc

)exp()(

)exp()(

0

0

RC obvod IV• Dosadíme za proud I = +dQ/dt a napětí a

rovnici trochu přeorganizujeme:

0)( U

CtQ

dtdQR

• Získáváme podobnou rovnici, ale nyní nehomogenní. Na pravé straně není nula. Zde se řeší napřed rovnice homogenní a poté se přičte jedno partikulární řešení, například konečný náboj Qk = CU0 .

RC obvod V• Použijeme řešení předchozí homogenní

rovnice a můžeme psát:

kQtQtQ

)exp()( 0

Integrační konstantu opět získáme uvážením okrajových podmínek

Q(0) = 0 Q0 = -Qk.

RC obvod VI

• Podělením C získáme časovou závislost napětí na kondenzátoru:

)]exp(1[)(

tQtQ k

)]exp(1[)( 0 tUtU c

)]exp(1[)( 0 tCUtQ

RC obvod VII• Časovou závislost proudu vypočteme z

časové derivace náboje:

^

RU

dtdQtI

t )exp()( 0

LC obvod I• Dosadíme opět za proud I = –dQ/dt a vztah

mezi napětím a nábojem na kondenzátoru Uc = Q(t)/C:

0)(2

2

LC

tQdt

Qd

• Opět bereme v úvahu fakt, že kladným proudem se kondenzátor vybíjí. Získáváme homogenní diferenciální rovnici druhého řádu. Zde snadno uhodneme tvar řešení:

LC obvod II

• Parametry získáme dosazením za druhou derivaci náboje:

)cos()( 0 tQtQ

To je známý Thompsonův vztah pro úhlovou frekvenci netlumených harmonických kmitů.

LCtQ

LCtQ 10)(1)(2

^

*RLC obvod I• Z druhého Kirchhoffova zákona platí:

• Opět bereme v úvahu fakt, že kladným proudem se kondenzátor vybíjí:

0 cURIIL

QIQI

*RLC obvod II• Po dosazení a úpravě konečně dostáváme :

0422 LCCR

• To je homogenní diferenciální rovnice druhého řádu, ovšem s nenulovým řádem prvním. Charakter řešení závisí na řešení takzvané charakteristické rovnice:

0 QQRCQLC

*RLC obvod III• Řešení tedy závisí na vztahu :

• < odpovídá malému tlumení> odpovídá přetlumení a = odpovídá tlumení kritickému

CLvsR 42

*RLC obvod IV• Pro malé tlumení zavedeme novou úhlovou frekvenci :

)cos()2

exp()( ,0 t

LRtQtQ

a výsledné řešení bude mít tvar :

2

2,

41

LR

LC

Obsahuje periodickou část a exponenciálně klesající amplitudu (obálku).

^

Střední hodnota I• <f> má stejný integrál jako f(t) za určitý

časový interval :

^

Často nás zajímá střední hodnota periodické funkce za velmi dlouhou dobu. Potom za reprezentativní dobu volíme periodu = T.

0

)(1 dttff

Střední hodnota II• <I> by přeneslo stejný náboj jako I(t) za

nějaký čas :

^

0

)(1 dttII

• Výsledek integrace je zřejmě náboj, protože I = dQ/dt. Po vydělení dostáváme střední proud za čas :

Efektivní hodnota I• fef má stejné tepelné účinky jako f(t) za jistý

časový interval :

^

Pro dlouhé časy volíme jako reprezentativní časový interval periodu = T (or T/2) .

0

2

0

22

)(1

)(1

dttff

dttff

ef

ef

Efektivní hodnota II• Ief má stejné tepelné účinky jako I(t) za jistý

časový interval:

^

Jas žárovky odpovídá teplotě a ta souvisí s tepelnými ztrátami na jejím vlákně.

0

2

0

22

)(1

)(1

dttII

dttRIRI

ef

ef

Střední hodnota III• Budiž I(t) = I0sin(t) a reprezentativní čas = T:

Protože hodnota cos je v obou mezích stejná – křivky obou polarit jsou symetrické.

0)][cos()sin( 00

0

0

TT

tT

IdttTII

Střední hodnota IV• Po jednocestném usměrnění I(t) bude • I(t) = I0sin(t) pro 0 < t < T/2 a I(t) = 0 pro T/2 < t < T:

^

Protože nyní cos(T/2) – cos(0) = -2 !

02/0

0

2/

0

0

)][cos(

)sin(

ItT

I

dttTII

T

T

Efektivní hodnota V• Ať I(t) = I0sin(t) a reprezentativní = T:

22

))2cos(1(2

)(sin

0

0

20

0

20

0

220

IdtT

I

dttT

I

dttTII

T

T

T

ef

^

Střední hodnota V

^

Nyní je cos(T/2) – cos(0) = -2 !

cos)][cos(cos

)sin()sin(

02/0

0

0

00

ItT

I

dtttTVIP

T

T

Obvod LCI• We use definition of the current I = -dQ/dt

and relation of the charge and voltage on a capacitor Vc = Q(t)/C:

0)(2

2

LC

tQdt

Qd

• We take into account that the capacitor is discharged by the current. This is homogeneous differential equation of the second order. We guess the solution.

Obvod LC II

• Now we get parameters by substituting into the equation:

)cos()( 0 tQtQ

• These are un-dumped oscillations.LC

tQLC

tQ 10)(1)(2

Obvod LC III• The current can be obtained from the

definition I = - dQ/dt:

• Its behavior in time is harmonic.

)sin()sin()(

0

0

tItQtI

^