i. mechanika 4. soustava hmotných bodů ikmf.troja.mff.cuni.cz/nofy021/nofy021 - p4 - soustava...
TRANSCRIPT
I. MECHANIKA
4. Soustava hmotných bodů I
1
Obsah
Pojem soustavy hmotných bodů.
Vazebné podmínky. Počet stupňů volnosti.
Hmotný střed.
Vnitřní a vnější síly.
Hybnost, moment hybnosti.
První a druhá impulsová věta.
Těžišťová soustava souřadnic.
Zákony zachování hybnosti a momentu hybnosti.
Kinetická a potenciální energie soustavy hmotných bodů.
Königova věta.
Zákon zachování energie.
Izolovaná soustava hmotných bodů.
Problém dvou těles.
Soustavy s proměnnou hmotností (Měščerského rovnice, Ciolkovského rovnice).
Srážky těles.
2
Co rozumíme soustavou hmotných bodů
3
N diskrétních hmotných bodů
hmotnosti nm pro Nn ,1 (nemění se průběžně)
polohové vektory )(trn
pro Nn ,1
celková hmotnost soustavy
N
n
nmM1
Základní druhy soustav hmotných bodů
4
1) Volná soustava hmotných bodů
polohové vektory jednotlivých bodů jsou nezávislé
uspořádání má 3N stupňů volnosti
2) Tuhá soustava hmotných bodů
mezi jednotlivými hmotnými body neproměnné vzdálenosti
konst|||| mnmn rrr
polohu jednoznačně určíme zadáním 3 bodů – 9 parametrů
svázány 3 rovnicemi pro 3 pevné vzdálenosti 6 nezávislých parametrů
uspořádání má 6 stupňů volnosti
Hmotný střed soustavy hmotných bodů
5
další pohybové charakteristiky získáme ze znalosti časové závislosti polohových vektorů:
rychlost i-tého h.b. ... dt
trdtv i
i
)()(
zrychlení i-tého h.b. ... dt
tvd
dt
trdta ii
i
)()()(
2
2
hybnost i-tého h.b. ... )()( tvmtp iii
poloha hm. středu ...
N
i
i
M
m
i
N
i
i
w
iN
i
iiN
i
i
N
i
ii
s rwrM
mrm
Mm
rm
r
i
i
111
1
1 1
rychlost hm. středu ...
N
i
ii
N
i
ii
N
i
iis
s vmMdt
rdm
Mrm
Mdt
d
dt
rdv
111
111
totéž jinak ... M
P
P
pM
p
vmM
vN
i
i
N
i
i
iis
11
11
celková hybnost soustavy svMP
rovna hybnosti h.b. o hmotnosti M a rychlosti sv
v hmotném středu nemusí ležet žádný z bodů soustavy
Pohybová rovnice i-tého bodu
6
na i-tý hmotný bod působí síla 2
2
dt
rdmF i
ii
výslednice externích sil působících na i-tý bod E
iF
výslednice interních sil, jimiž na i-tý bod působí ostatní body I
iF
celková síla na i-tý bod E
i
I
ii FFF
k-tý bod působí na i-tý bod silou ikF
podle 3.NZ platí kiik FF
kvůli sčítání zavedeme 0iiF
výslednice vnitřních sil působících na i-tý bod
N
k
ik
I
i FF1
pohybová rovnice i-tého bodu E
i
N
k
iki
i FFdt
rdm
12
2
1. impulsová věta
7
pohybová rovnice i-tého bodu E
i
N
k
iki
i FFdt
rdm
12
2
součet přes všechny body
N
i
E
i
N
i
N
k
ik
N
i
ii FF
dt
rdm
11 112
2
protože kiik FF
a 0iiF
bude suma NN členů 01 1
N
i
N
k
ikF
z linearity derivace a konstantnosti hmotností im plyne
i
N
i
ii
N
i
i
N
i
ii vm
dt
d
dt
rdm
dt
d
dt
rdm
111
2
2
do výsledné rovnice zavedeme součtové veličiny
E
N
i
E
i
N
i
i
ii
F
F
P
p
vmdt
d
11
1. impulsová věta EFPdt
d
Časová změna celkové hybnosti soustavy je rovna výslednici vnějších sil působících na soustavu.
1. impulsová věta
8
1. impulsová věta EFPdt
d
integrální tvar 1. impulsové věty 2
1
12
t
t
EdtFPP
užijeme rychlost hmotného středu
N
i
iis
s vmMdt
rdv
1
1
vyjádříme celkovou hybnost PPvmvMN
i
i
N
i
iis
11
dosadíme do 1. impulsové věty E
sss FaM
dt
rdM
dt
vdMP
dt
d
2
2
věta o pohybu hmotného středu soustavy E
s FaM
Hmotný střed soustavy se pohybuje jako hmotný bod, který má hmotnost rovnu
celkové hmotnosti soustavy a na nějž působí výslednice vnějších sil EF
působících na soustavu. Důsledek: často lze s hmotným středem soustavy zacházet jako s hmotným bodem
Pohybová rovnice pro rotaci i-tého bodu
9
na i-tý hmotný bod působí moment síly a mění jeho točivost dt
bdM i
i
(pozor na značení: hmotnost soustavy M vs. moment sil M
)
vztažným bodem může být počátek v.s.s. iiiii vmrdt
dFr
výslednice externích sil působících na i-tý bod E
iF
výslednice interních sil, jimiž na i-tý bod působí ostatní body I
iF
celková síla na i-tý bod E
i
I
ii FFF
k-tý bod působí na i-tý bod silou ikF
podle 3.NZ platí kiik FF
kvůli sčítání zavedeme 0iiF
výslednice vnitřních sil působících na i-tý bod
N
k
ik
I
i FF1
pohybová rovnice i-tého bodu iii
E
i
N
k
iki vmrdt
dFFr
1
Momenty působící na hmotné body
10
pohybová rovnice i-tého bodu iii
E
i
N
k
iki vmrdt
dFFr
1
součet přes všechny body
N
i
iii
N
i
E
i
N
k
iki vmrdt
dFFr
11 1
rozdělíme levou stranu
N
i
iii
N
i
E
ii
N
i
N
k
iki vmrdt
dFrFr
111 1
moment vnitřních sil
1. člen lze přepsat
N
i
N
k
iki
N
i
N
k
iki FrFr1 11 1
Výpočet momentu vnitřních sil
11
pro další úpravu momentu vnitřních sil použijeme trik
N
i
N
k
kik
N
i
N
k
iki
N
k
N
i
kik
N
i
N
k
iki
N
i
N
k
iki FrFrFrFrFr1 11 11 11 11 1 2
1
2
1
0
||2
1
2
1
2
1
1 11 11 1
N
i
N
k
ikki
ikki
N
i
N
k
ikkiki
N
i
N
k
ik
kikiki
Frr
FrrFrFr
F
FrFr
méně matematicky: vnitřní síly ikF
a kiF
leží
v přímce a mají vzhledem k libovolnému bodu stejné rameno, proto se jejich momenty ruší
celkový moment vnitřních sil je nulový vzhledem k libovolnému bodu prostoru
ikF
kiF
ir
kr
ki rr
km
im
jen přeznačení ki změna pořadí sumace
2. impulsová věta
12
z linearity derivace plyne
Bdt
d
B
bdt
d
b
vmrdt
d
M
M
FrFrN
i
i
N
i
i
iii
E
N
iE
i
E
ii
N
i
N
k
iki
1111 1
0
2. impulsová věta EMB
dt
d
Časová změna celkového momentu hybnosti soustavy je rovna výslednici momentů vnějších sil působících na soustavu. Předpokládá se, že všechny momenty jsou vyjádřeny k témuž bodu.
integrální tvar 2
1
12
t
t
EdtMBB
2. impulsová věta – Fesselův přístroj
experiment
vyvážení hmotnosti setrvačníku
roztočení setrvačníku
vektor momentu hybnosti
setrvačníku je orientován
souhlasně s osou rotace
posun závaží doleva na
rameno působí síla , což
vyvolá moment síly
impuls momentu síly je dle 2. i.v.
roven změně momentu hybnosti
ta se projeví otočením osy rotace
setrvačníku ve směru šipky kolem
svislé osy
13
GF
EM
2B
Bd
1B
dtMBd E
GF
EM
1B
Těžišťová soustava souřadnic
14
počátek vztažné soustavy spojen s hmotným středem soustavy hmotných bodů
veličiny vyjádřené vzhledem k těžišťové soustavě označujeme indexem c
ostatní veličiny jsou vyjádřeny vzhledem k laboratorní inerciální soustavě
rychlost soustavy v t.s.s. 0csv
celková hybnost v t.s.s. 0 csc vMP
můžeme také vyjít z Galileiho principu relativity:
rychlost n-tého bodu v t.s.s. sncn vvv
hybnost n-tého bodu v t.s.s. snnncnncn vmvmvmp
celková hybnost v t.s.s.
011111
s
N
n
ns
N
n
n
nn
N
n
sn
N
n
nn
N
n
cnc vMP
M
mv
P
p
vmvmvmpP
pro polohové vektory sncn rrr
platí (viz definice sr
) 01111
N
n
ns
N
n
nn
N
n
snn
N
n
cnn mrrmrrmrm
Moment hybnosti v těžišťové soustavě
15
moment hybnosti soustavy v l.s.s. lze rozdělit na dvě části
ss
c
N
n
ncn
s
N
nnns
N
n
nns
N
n
n
nn
cn
sn
N
n
nnn vMr
B
pr
vMP
vmr
vmr
p
vm
r
rrvmrB
1
1
111
)(
ukážeme, že moment hybnosti soustavy vzhledem k hmotnému středu cB
je nezávislý na výběru
počátku s.s. (vzhledem k němuž se měří rychlosti nv
)
N
n
cncn
s
N
ncnn
N
n
sncn
N
n
cn
cn
snncn
N
n
nncn
N
n
ncnc pr
vrm
vmr
p
v
vvmrvmrprB1
0
1
1111
)(
Tedy moment hybnosti soustavy vzhledem k počátku laboratorní soustavy souřadnic B
je roven
součtu momentu hybnosti vzhledem k hmotnému středu cB
a momentu celkové hybnosti
soustavy PrvMr sss
vzhledem k počátku l.s.s. PrBvMrBB scssc
Moment sil v těžišťové soustavě
16
podobně celkový moment sil v lab.s.s. (už víme, že moment vnitřních sil je vždy nulový)
E
c
E
s
Ec
N
n
E
ncn
E
N
n
E
ns
N
n
E
ns
N
n
E
ncns
N
n
E
nn
E MFr
M
Fr
F
Fr
FrFrrFrM
1
1
111
Výsledný moment vnějších sil EM
vzhledem k počátku laboratorní soustavy je roven
součtu momentu vnějších sil E
cM
vzhledem k hmotnému středu soustavy hmotných
bodů a momentu výslednice vnějších sil E
s Fr
působících na hmotný střed vzhledem
k počátku laboratorní soustavy. E
s
E
c
E FrMM
2. impulsová věta vzhledem k těžišti
17
v inerciální laboratorní soustavě platí 1. a 2. impulsová věta
EMBdt
d E
s
E
csc FrMPrBdt
d
EFPdt
d
0
E Ec ss c s
s
s
s s
dB dr dPP r M r F
dt dt dtMv
v
Mv v
E
cc M
dt
Bd
rovnice analogická k 2. impulsové větě, ale je tu rozdíl:
2.i.v. platí pro veličiny vyjádřené vzhledem k nepohyblivému bodu (například počátku laboratorní – inerciální – soustavy)
tato rovnice platí pro veličiny vyjádřené vzhledem k hmotnému středu soustavy hmotných bodů (a tento bod nemusí být v inerciální soustavě v klidu!)
tato věta bude důležitá pro popis pohybu tuhého tělesa
Důsledky impulsových vět
18
Zákon zachování hybnosti
0EF
konstP
konstsvM
konstsv
Zákon zachování momentu hybnosti
0EM
konstB
Pozor: Pokud předpoklad platí pro jeden – vhodně vybraný – vztažný bod, pak tvrzení platí také jen pro tento vztažný bod!
Práce a kinetická enegie
19
N hmotných bodů, působením sil nF
dojde k posunům o nrd
síla působící na n-tý h.b. E
n
N
k
nkn FFF
1
celková práce mezi stavy )()( BA bude součtem
N
n
B
A
nnBA rdFW1
)(
)(
tedy EI
E
N
n
B
A
n
E
n
I
N
n
B
A
n
N
k
nk
N
n
B
A
n
E
n
N
k
nkBA WW
W
rdF
W
rdFrdFFW
1
)(
)(1
)(
)( 11
)(
)( 1
práce se rovná přírůstku kinetické energie soustavy kkkEIBA EAEBEWWW )()(
kinetickou energii soustavy ovlivňují nejen vnější, ale ve volné soustavě i vnitřní síly!
v tuhé soustavě se vzájemné vzdálenosti h.b. nemění, a proto tam vnitřní síly práci nekonají.
ve volné soustavě se může změnit kinetická energie, i když na ni nepůsobí vnější síly!
Königova věta
20
kinetická energie soustavy je součtem K.E. jednotlivých h.b.
N
n
nnk vmE1
2
2
1
uvažujme laboratorní (inerciální) soustavu souřadnic a těžišťovou s.s., jejichž pohyb
propojuje Galileiho transformace cnsn vvv
kIs
kI
N
n
cnns
c
N
n
cnn
N
n
ns
N
n
cnscnsn
N
n
cnscnsn
N
n
nnk
EvM
E
vmv
P
vm
M
mv
vvvvmvvvvmvmE
2
1
2
11
2
1
22
11
2
2
1
2
1
0
2
1
22
1
2
1
2
1
vztah kIsk EvME 2
2
1 (Königova věta) říká, že celková kinetická energie soustavy
h.b. se rovná součtu kinetické energie bodu o hmotnosti soustavy pohybujícího se rychlostí hmotného středu a tzv. vnitřní kinetické energie soustavy h.b. vnitřní kinetická energie je kinetická energie vypočtená v těžišťové soustavě
Potenciální energie
21
N hmotných bodů v polohách nr
působí na sebe vzájemně (vnitřními) silami mnF
předpokládejme pouze gravitační působení
síla v poli tvořeném n-tým h.b. působí na m-tý nm
nm
mnmn r
r
mmF
3
, kde nmnm rrr
každý z bodů vytváří takové centrální pole (konzervativní)
výsledné pole je superpozicí dílčích konzervativních polí, a tedy je též konzervativní
při přechodu mezi stavy )()( BA vykonají vnitřní síly práci podle následující formule
ukážeme, že součin nmnm rdF
zahrnující práci vykonanou silou nmF
pro interakci n-tého a m-tého
bodu je vždy zahrnut dvakrát; v předchozí definici IW byly použity diferenciály nrd
pro jednotlivé
body – proto je ve formuli faktor ½
I
N
n
B
A
N
m
mnm
N
n
N
m
B
A
mnm
N
n
N
m
B
A
mnm
N
n
N
m
B
A
mnm
N
m
N
n
B
A
mnm
N
n
N
m
B
A
mnm
N
m
B
A
N
n
mmn
N
n
B
A
N
m
mnm
N
n
B
A
N
m
nnm
N
n
B
A
N
m
mnm
N
n
B
A
N
m
nmnm
N
n
B
A
N
m
nmnm
WrdFrdFrdFrdF
rdFrdFrdFrdF
rdFrdFrrdFrdF
1
)(
)( 11 1
)(
)(1 1
)(
)(1 1
)(
)(
1 1
)(
)(1 1
)(
)(1
)(
)( 11
)(
)( 1
1
)(
)( 11
)(
)( 11
)(
)( 11
)(
)( 1
2
1
2
1
2
1
2
1)(
2
1
2
1
Práce konzervativních vnitřních sil
22
práce vnitřních sil
N
n
N
m nmnm
mn
N
n
N
m
B
A
nm
nm
mnI
ArBrmmdr
r
mmW
1 1
*
1 1
)(
)(
2
*
)(
1
)(
1
2
1
2
1
sumační znaménko označené hvězdičkou nezapočítává členy pro m = n (pro ně
jsme měli definováno 0mmF
ze stejného důvodu).
)(
)(2
1
)(
)(2
1
)(
1
)(
1
2
1
1 1
*
1 1
*
1 1
*
AE
Ar
mm
BE
Br
mm
ArBrmmW
pI
N
n
N
m nm
mn
pI
N
n
N
m nm
mnN
n
N
m nmnm
mnI
vykonaná práce (vnitřních sil) je úbytkem vnitřní potenciální energie
)()( BEAEW pIpII .
pro nenulové, ale konzervativní vnější síly analogicky )()( BEAEW pEpEE
Zákon zachování mechanické energie
23
ZZME pro soustavu hmotných bodů konst pEpIk EEE
důležité: 1) potenciální energie závisí na vzdálenostech, proto se nemění při změně
vztažné soustavy
2) kinetická energie naopak závisí na rychlostech, proto se při změně vztažné
soustavy mění (Königova věta); nemění se vnitřní kinetická energie kIE
vnitřní energie soustavy h.b. IpIkI EEE se často užívá při diskusi pohybu s.h.b.
Potenciál n-tého bodu soustavy
24
zavedení potenciálu nIU pro n-tý h.b.
N
n
nInpI
N
n
nI
N
m nm
mnpI
N
n
N
m nm
mnpI
UmE
U
r
mmE
r
mmE
1
1 1
*
1 1
*
2
1
2
1
2
1
Izolovaná soustava hmotných bodů
25
0E
nF
konstP
konstsvM
konstsv
0E
nF
0E
nM
konstB
(toto platí pro všechny vztažné body)
konstE
celkem 7 nezávislých konstantních veličin
zákony zachování zjednodušují výpočet (např. v případě pohybu
s vazbovými silami)
pohybové rovnice obsahují druhé derivace souřadnic (zrychlení), zatímco
zákony zachování obsahují nejvýše první derivace (rychlosti)
snížení řádu derivace zákony zachování = prvé integrály pohybových
rovnic
Problém dvou těles
26
gravitační interakce 2 těles, hmotnosti souměřitelné nelze uvažovat, že se pohybuje jedno těleso v poli vytvořeném druhým nehybným izolovaná soustava h.b. : 2 tělesa hmotností
1m a 2m
jediná interakce )(||
123
12
211221 rr
rr
mmFF
pro 12 rrr
odpovídá funkci pro centrální sílu ||
)()(r
rrfrF
a ta je konzervativní
těžišťová soustava:
02211 vmvm
0222111 Bvmrvmr
počátek souřadnic v hmotném středu:
02211 rmrm
rmm
mr
21
21
rmm
mr
21
12
rv
vmm
mrv
21
211
vmm
mrv
21
122
S
1r
2r
r
1m
2m
Problém dvou těles
27
konzervativní síly ZZME:
0
21
2
22
2
11||2
1
2
1E
rrvmvm
parametr
21mm jako v řešení Keplerovy úlohy (KÚ)
0
21
2
21
12
2
21
21
||2
1
2
1E
rrv
mm
mmv
mm
mm
0
21
2
21
21
21
2
2
21
2
2
1
2
21
||2
1
||2
1E
rrv
mm
mm
rrv
mm
mmmm
zákon zachování momentu hybnosti:
0
21
12
21
1
21
21
21
2 Bvmm
mmr
mm
mv
mm
mmr
mm
m
02
21
2
2
1
2
21
2
21 Bvrmm
mmvr
mm
mm
0
21
21 Bvrmm
mm
rovnice pohybu virtuální částice s redukovanou hmotností 21
21
mm
mm
se řeší pomocí KÚ
0
2
||2
1E
rv
0Bvr
KÚ )(rr )(11 rr a )(22 rr - rozměry kuželoseček v převráceném poměru hmotností částic
1
2
2
1
m
m
r
r ; hmotný střed soustavy leží v jejich společném ohnisku
Soustavy s proměnnou hmotností
28
izolovaná soustava h.b. s hmotností M a rychlostí v
během času dt se oddělí část 0dM s rychlostí 1v
(spaliny z raketového motoru)
během času dt se připojí část 0dM s rychlostí 1v
(kapka nabírá vlhkost při pádu)
zákon zachování hybnosti
1
2
1
plynyraketa P
vM
P
vdMvdvdMM
nekonečně malou veličinu druhého řádu zanedbáme
vMvdMvdMdvMdvdMvM
1
0
změna nastala za čas dt: dMvvvMd
1
dt
dM
u
vv
a
dt
vdM
r
1
rovnice popisující zrychlení rakety (systém s proměnnou hmotností)
dt
dMuaM r
0dt
dM rel. rychlost výfukových plynů vvu
1 a zrychlení rakety ra
mají opačný směr
Aplikace soustav s proměnnou hmotností
29
Působení vnější síly (gravitace): dtF
P
vM
P
vdMvdvdMM E
1
2
1
plynyraketa
výsledná rovnice tvaru Er Fdt
dMuaM
motoru síla
reaktiv ní
... Měščerského rovnice
Vícestupňová raketa
skalárně rovnice pro 0EF
: dt
dMu
dt
dvM
zajímá nás, jaké rychlosti může vícestupňová raketa dosáhnout v závislosti na zásobě paliva dMudvM
řešení diferenciální rovnice za předpokladu konstu separací proměnných
ik
i
i
i
M
M
v
vM
dMudv
0
1
iv a 0iM rychlost a hmotnost rakety před zažehnutím i-tého stupně, 1iv a ikM po jeho vyhoření
číslo hoCiolkovské
ik
iii
M
Muvv 0
1 ln ... Ciolkovského rovnice
Balistické kyvadlo
30
měření rychlosti střely balistickým kyvadlem ZZH: uMmmv )(
(proto nevadí, že při zachycení dojde k přeměně K.E. v teplo)
ZZME: ghMmuMm )()(2
1 2
ghm
Mmv 2
A kolik energie se nepřemění v teplo?
Mm
m
ghm
Mmm
ghMm
E
E
2
1
2
22
1
)(
Rázy těles
31
tělesa se dotknou v jediném bodě bod rázu bodem rázu vedena tečná rovina
normála k tečné rovině ráz středový hmotné středy na normále (v případě koulí vždy) ráz výstředný ostatní případy ráz přímý hmotné středy se před rázem pohybují po normále ráz šikmý ostatní případy (dokonale) nepružný ráz tělesa se spojí a pohybují jako jediné (dokonale) pružný ráz zachovává se celková kinetická energie nedokonale pružný odrazí se, ale celková kinetická energie po odrazu klesne interakční síly
vnitřní síly soustavy těles – nemění celkovou hybnost a moment hybnosti
nesledujeme jejich detailní průběh
Rázy těles
32
počet stupňů volnosti
rychlosti 6
momenty hybnosti 6
pozor: pokud nechápeme tělesa jako hmotné body, celkový moment hybnosti každého z nich zahrnuje 2 členy: vlastní moment hybnosti tělesa (vzhledem k jeho hmotnému středu) a moment hybnosti hmotného středu tělesa vůči vztažnému bodu (ten musí být stejný před a po rázu – např. bod rázu)
zákony zachování
hybnosti
momentu hybnosti
mechanické energie (v případě pružného rázu)
celkem 6 resp. 7 rovnic zjednodušení
pouze postupný pohyb 6 stupňů volnosti, 3 resp. 4 rovnice
jen obecné zákonitosti
nutné další informace o interakci
Nepružný ráz
33
jen 3 stupně volnosti – stačí ZZH
21
2211
22
11
,
,
mm
vmvmu
vm
vm
1m
2m
1v
2v
u
energie přeměněná teplo
2 21 21 2 1 2
1 2
1 1( ) ( )
2 2teplo
m mE v v v v
m m
2 stupně volnosti – ZZH, ZZME, skalární popis, kladný směr – zleva doprava
2
22212
11212
22212
1121
22112211
22
11
,
,
umumvmvm
umumvmvm
vm
vm řeší
21
21122112
21
21222111
)(
)(
mm
vvmvmvmu
mm
vvmvmvmu
k rázu dojde jen pro 21 vv a pak musí platit 21 uu
21
21122112
21
21222111
)(
)(
mm
vvmvmvmu
mm
vvmvmvmu
21
212112
21
221211
)(2
2)(
mm
vmmvmu
mm
vmvmmu
spec. případ
21 mm 12
21
vu
vu
1m2m
1m 2m
1v 2v
1u 2u
Pružný ráz v přímce
34
(spec.případ)2
02
1
21
v
vv
mm
vu
u
2
1 0
pozorování z různých vztažných soustav
Pružný ráz v přímce
35
Pružné srážky částic (hmotných bodů)
36
ZZH, ZZME – 4 rovnice pro 6 stupňů volnosti
2
22212
11212
22212
1121
22112211
22
11
,
,
umumvmvm
umumvmvm
vm
vm
rozbor v těžišťové soustavě souřadnic transformace rychlostí do těžišťové soustavy
sc
sc
svvv
vvv
mm
vmvmv
vm
vm
22
11
21
2211
22
11
,
,
ZZH a ZZME v těžišťové soustavě
2
22212
11212
22212
1121
22112211
22
11 0
,
,
cccc
cccc
c
c
umumvmvm
umumvmvm
vm
vm
2v
1v
Pružné srážky částic (hmotných bodů)
37
1cp
2cp
2ch
1ch
z vlastností těžišťové soustavy plyne pro hybnosti:
2
12
2
2
12
2
2
12
2
2
12
2
2
2
2
1
2
2
2
1
21
21
212
111
222
111
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cc
um
mu
vm
mv
hh
pp
hh
pp
umh
umh
vmp
vmp
ZZME:
2
12
2
2
122
12
11212
12
2
2
122
12
1121
cccc um
mmumv
m
mmvm
2
1
2
112
12
1
2
112
1 11 cc um
mmv
m
mm
|||| 11 cc uv
analogicky |||| 22 cc uv
velikosti a směry rychlostí v t.s.s. vzájemně svázány
každá z částic se pohybuje před i po srážce stejně velkou rychlostí
částice se pohybují po společných přímkách před srážkou k sobě, po srážce od sebe
Pružné srážky částic (hmotných bodů)
38
1cp
2cp
2ch
1ch
velikosti a směry rychlostí v t.s.s. vzájemně svázány
každá z částic se pohybuje před i po srážce stejně velkou rychlostí
částice se pohybují po společných přímkách před srážkou k sobě, po srážce od sebe
zbývají přesto ještě dva úhly, k jejichž určení jsou nutné další informace
jednou z nich může být zachování roviny pohybu určené výchozí hodnotou momentu hybnosti v původní s.s.
je-li určena rovina, zbývá jediný
parametr – úhel
jiná možnost
dva směrové úhly odpovídají zadání
jednotkového vektoru n
ve směru pohybu jedné z částic po srážce (použije se v dalším výpočtu)
Pružné srážky částic (hmotných bodů)
39
z vlastností těžišťové soustavy plyne pro rychlosti (viz např. problém dvou těles):
vmm
mv
vmm
mv
vvvvv
c
c
cc
21
12
21
21
2121
umm
mu
umm
mu
uuuuu
c
c
cc
21
12
21
21
2121
víme, že platí |||| 11 cc uv
, resp. |||| 22 cc uv
, a proto |||| uv
rychlosti po srážce tedy můžeme vyjádřit na základě
velikostí plynoucích z rozboru
směrového vektoru pohybu jedné z částic po srážce (druhá se pohybuje po stejné přímce v opačném směru)
nvmm
mu
nvmm
mu
c
c
||
||
21
12
21
21
Pružné srážky částic (hmotných bodů)
40
pak rychlosti v původní vztažné soustavě budou (převod zpět z t.s.s.)
s
sc
s
sc
v
mm
vmvmnv
mm
mvuu
v
mm
vmvmnv
mm
mvuu
21
2211
21
122
21
2211
21
211
||
||
pro hybnosti dostaneme
)(||)(||
)(||)(||
21
1
2211
21
2
21
212
21
2
2211
21
1
21
211
ppm
nvvmvmmm
mnv
mm
mmh
ppm
nvvmvmmm
mnv
mm
mmh