1.7.10 מבחן

פיתרון מבחן סטטיסטיקה ב' תקשורת סמסטר ב' מועד א'1.7.2010 נק'( 23 ) 1 שאלה מס'

בחג הפסח האחרון חברת "דייג אוהב דגים" ערכה סקר במטרה לאמוד את אחוזהמשפחות האוכלות גפילטע פיש בליל הסדר.

כמה נבדקים יש לדגום אם מעוניינים שהסטייה המרבית בין פרופורציית( א. 4) 0.02האוכלים גפילטע פיש במדגם לפרופורציה באוכלוסיה לא תעלה על

?95%ברמת בטחון של

על מנת לחשב את גודל המדגם הדרוש כדי לאמוד פרופורציה כלשהיא. כאשר הסטייה בין האומד לפרמטר לא תעלה0.95באוכלוסיה, ברמת בטחון של

יש להיעזר בנוסחת רווח הסמך. לשם אמידת הפרופורציה באוכלוסיה אנו0.02על

מאחר והפרופורציות של האוכלוסיה שהיא: . נדרשים לטעות התקן של

כאומדן לטעות תקן מכסימלית. והמדגם אינן ידועות נשתמש ב-

סטייה מירבית[]

pnpq

n5.05.0

nZ

nqpZL 5.05.0

22

ˆˆ2

2

nqpZL ˆˆ

22

0.5 0.50.02 1.96

0.980.02

2,401

n

nn

.2,401גודל המדגם המינימלי הדרוש הוא

משפחות200. מפאת קשיים תקציביים החליטו עורכי הסקר לדגום ( ב7 ) מתוכן ציינו כי הן אוכלות גפילטע פיש בליל הסדר. 112ונמצא כי

בדוק את הטענה כי יותר ממחצית מהמשפחות אוכלות גפילטע פיש בליל

. )הצב השערות, כתוב הנחות )אילוצים(,הסדר, ברמת מובהקות .חשב והסק מסקנה מילולית(

כדי לבצע את בדיקת ההשערות, יש לוודא כי מתקיימים התנאים הבאים:א.( דגימה מקרית של משפחות.

ב.( בדיקת עמידות באילוצים:

התפלגות הדגימה של פרופורציית המשפחות שאוכלות גפילטפיש בלילמסקנה:הסדר מתפלגת בקירוב נורמלית.

השערות:

α = 0.06

Z> 1.555 כאשר H0 דחהאיזור דחיה:

Z ≤ 1.555 כאשר H0 לא נדחה איזור אי דחייה:

חישוב הסטטיסטי:

Z= 0.56−0.5

√ 0.5∗0.5200

=1 .697

1.697>1.555מסקנה:

כלומר, יותר ממחצית מהמשפחות. α=0.06 ברמת מובהקות של Hoלפיכך, נדחה את אוכלות גפילטע פיש בליל הסדר.

על פי תוצאות הסקר מסעיף ב', נבנה רווח סמך לפרופורציית( ג. 4) המשפחות האוכלות גפילטע פיש בליל הסדר והתקבל

. באיזו רמת בטחון נבנה הרווח?

0.06

200 0.5 10200 0.5 10

0

1

: 0.5: 0.5

H PH P

( 0.06) 1.555Z

0.4912 0.6288P

)אורך הרווח(או

.0.95כלומר, נבנה רווח ברמת סמך של

מהמשפחות אוכלות גפילטע פיש בליל הסדר,50%בהנחה ו- ( ד. 4) מה ההסתברות שבסקר הנ"ל ימצא כי אחוז המשפחות האוכלות

?52% לבין 48%גפילטע פיש בליל הסדר הינו בין

0.5657 = - Z= 0.48−0.50

√ 0.5∗0.5200

= 0.5657 052−0.50

√ 0.5∗0.5200

= Z 0.286=

(0.5657 <Z) P

0.428( =2*0.286- )1

.0.428ההסתברות הינה

ענה ללא חישוב - אילו היה נלקח מדגם גדול יותר האם הייתה( ה. 4 ) משתנה ההסתברות שחישבת, ואם כן- כיצד היתה משתנה? הסבר.

ההסתברות הייתה גדלה. ככל שהמדגם גדל, התוצאה תתקרב לתוחלת )אשר

(, ההתפלגות יותר מרוכזת ובעלת פיזור קטן יותר ולכן ההסתברות50%הינה

2

2

2

0.56 0.440.56 0.4912200

0.56 0.440.56 0.6288200

1.96

Z

Z

Z

20044.0*56.0

221376.0

Z

להיות בתחום הנ"ל גדלה. ניתן להציג זאת גם מתמטית באמצעות השימוש

בנוסחה.

- פיתרון 2 שאלה

2009-דגימה מקרית של מפעלים בתחילת שנת

-הפרשי המועסקים מתפלגים נורמלית באוכלוסייה

-מדגמים תלויים ומזווגים

7654321

4250162715100531204 מס' מועסקיםבתחילת שנה

304314071394521198 מס' מועסקים

בסוף שנה

1272226106

X= תחילת =סוףY

6 10 6 2 22 7 12 3 68 8.58 8

12.252.25182.2

542.256.252.2

56.2

5

2.365 =7t

284 40.5717

6.37dS

40.571 40.5718.5 2.365* 8.5 2.365*8 8dM

הרווח המקרי8: מתוך אינסוף דגימות חוזרות של מדגמים בגודל 0.95שמצאנו יכיל את תוחלת הפרשים מספר המועסקים ברמת ביטחון של

2009ניתן להסיק כי קיים הבדל בין מספר המועסקים בתחילת ובסוף שנת לא נכללת ברב"ס שמצאנו ולכן איננה אפשרות0כיוון ש תוחלת הפרש -

באוכלוסייה.

אפשר להציב פה גם השערה חד כיוונית שלילית – יש

לדאוג לעקביות גם בחישובהסטטיסטי.

8.5 5.326 8.5 5.326dM

3.174 13.826dM

:אזורי דחיה וקבלה

אזור דחייה

t 7>2.36

0Hאזור קבלה של

:חישוב הסטטיסטי

8.5 0 3.7746.37

8

st

3.774>2.3646

0.025 ברמת מובהקות H0קיימת סיבה מספקת לדחות את

בתחילת השנה היו יותר מועסקים.כלומר, חלה ירידה במספר המועסקים בשנה ((זו בשל המיתון

נסתמך על הסטטיסטי שחושב בסעיף הקודם.

מכאן שאלפא המינימלית תהא בין:

min α > 0.0005

3 שאלה מספר

בדיקת טענת שוויון שוניות: 1 א.

שונויות מכירות המשקאות בקרב נקודות מכירה בהן נעשתה עבודת קידום

0Hואלה שלא נעשתה שוות:

שונויות מכירות המשקאות בקרב נקודות מכירה בהן נעשתה עבודת קידום

1Hואלה שלא נעשתה שונות:

p.v= sig = 0.773 > 0.01

. כלומר, ניתן להניח = 0.0 1 ברמת מובהקות H0אין סיבה מספקת לדחות את

שוויון שוניות. )נשתמש בנתונים מהשורה הראשונה או החלק העליון של

הטבלה(.

נקודות בהן נעשתה עבודת קידוםx: : השערות . 2 א.

: Yנקודות בהן לא נעשתה עבודת קידום

0 = y -x : 0H

0 ≠ y x- : 1H

נסיק כי הוא קטן מרמת המובהקות של0.011 בפלט שהוא שווה ל- sigלפי ה-

ולכן דוחים את השערת האפס, כלומר אכן יש הבדל בין תוחלות0.05המבחן –

המכירות ,בין נקודות בהן נעשתה עבודת קידום ואלה שלא נעשתה בהן ,

באוכלוסייה.

המסקנה לא היתה משתנית כאשר היינו בודקים השערה חד צדדית שכן עדייןב.

sig/2 = 0.0055ולכן נדחה את השערת האפס ונסיק כי תוחלת0.01 קטן מ

המכירות בנקדות בהן נעשתה עבודת קידום גבוהה יותר.

ג.

: יכולים לחשב גם ישירות כי הפער וטעות התקן נתוניםגבול תחתון של הרווח

2בפלט. יקבלו ערך שונה – אך קרוב ל-

ד.

t> 1.684 כאשר 0H כלל החלטה: דחה את

מסקנה: נדחה את השערת האפס כלומר אכן תוחלת המכירות בחנויות בהן

נעשתה עבודת עיצוב מחדש וקידום אכן גדלה. כדאי להשקיע בעיצובן מחדש

7224430

615.224571.348788.8

.

48788.8

dfDifferenceErrorStd

DifferenceMeant

YXDifferenceMean

996462.124571.3*248788.8 Lower

971.2

4440.14

4045/460

H

t

4 שאלה מספר

במדגם יש השפעה של שנת הלימודים על היקף העבודה. ניתן לראות כיא. לא40%התפלגות היקף העבודה שונה בשנה א', ב' וג', ללימודים. בשנה א'

. בשנה א' עובדים מלא רק9%עובדים ואילו אחוז הלא עובדים בשנה ג' הוא רק עובדים מלא.54.5% בעוד שבשנה ג' 25%

: . הנחות ב

דגימה מקרית של סטודנטים בשנה א', ב', וג'.

: בדיקת אילוצים

.1אין באף תא שכיחות צפויה קטנה מ-

.5 מהתאים שכיחות צפויה קטנה מ- 20%אין ביותר מ-

הטבלה עומדת באילוצים.

: השערות

0Hאין תלות בין שנת הלימודים והקיף עבודה בזמן הלימודים :

1Hיש תלות בין שנת הלימודים והיקף עבודה בזמן הלימודים :

0Hאזור דחית

9.49> 4²

:חישוב הסטטיסטי

:מסקנה

9.49 > 60.64

כלומר, יש תלות בין = 0.05 ברמת מובהקות 0Hיש סיבה מספקת לדחות את

שנתהלימודים והקיף העבודה

היות ודחינו את השערת האפס, הטעות האפשרית הינה טעות מסוג ראשוןג.

.0.05וההסתברות לה היא אלפא-

5 שאלה מספר

אם חוקר ב' דחה את השערת האפס ברמת טענה לא נכונה. א. . אך אם הוא לא דחה את0.05, הרי בטוח נדחה ב0.01מובהקות של

, הרי שכשנגדיל את אזור0.01השערת האפס ברמת מובהקות של יתכן ונצליח לדחות את השערת האפס ולכן המסקנה0.05הדחייה ל-

משתנה עבור חוקר א'. יותר מפוזרתT כאשר המדגם קטן, התפלגות טענה לא נכונה.ב.

–p-value ולוקחת בחשבון את דרגות החופש ולכן גם Zמהתפלגות ההסתברות מעל סטטיסטי המדגם -יהיה שונה.

קשה יותר לדחות את השערת האפס בהשערה דו טענה לא נכונה. ג. צדדית כאשר מדובר באותה רמת מובהקות היות והאלפא מתחלקת לשניים. כך , ההסתברות באזור הרלבנטי קטנה יותר- אחוז קטן יותר של פערי ממוצעים יאפשר דחיית השערת האפס. לכן, אם דחה בחד

צדדי, לא בטוח יצליח לדחות בהשערה דו צדדית. . – ההסתברות להסיק שהקמפיין הצליח כאשר באמת טענה לא נכונהד.

(β-1הוא יעיל הינה עוצמת המבחן-) שהיא0.04בטענה נתונה ההסתברות לטעות מסוג ראשון – אלפא =

ההסתברות לדחות את השערת האפס כאשר היא נכונה. היות ועוצמת המבחן מתייחסת לטעות מסוג שני לא נכון על סמך נתוני השאלה

1 -0.04 = 0.96להסיק כי עוצמת המבחן היא -

9.7.09 מבחן מערכת כספים בארגון ממשלתי גדול סיפקה מידע על משכורות של בני זוג

בארגון. לשם כך נלקח מתוכה מדגם מקרי וחושב רווח סמך לממוצע הפרשי (1,500 , 7,400 הרוח שהתקבל הוא: ) 0.95השכר בין בני זוג. ברמת סמך

ה.

: d =8,000. על סמך תוצאות אותו מדגם אם תיבדק ההשערה :

H0 8,000 לעומת≠ d μ : H1

. = 0.1 וגם = 0.05 אזי השערת האפס תדחה ברמות מובהקות

פתרון :

1 שאלה

א.( כדי לבצע את בדיקת ההשערות, יש לוודא כי מתקיימים התנאים הבאים:

דגימה מקרית של גברים.-

.1 אין באף תא שכיחות צפויה קטנה מ-בדיקת אילוצים:

.5 מהתאים שכיחות צפויה קטנה מ-20% אין ביותר מ-

Oi טבלת

מכוניתמכונית ספורטסה"כמשפחתית

120

1

80

2/3

40

1/3

רווקים

180

1

90

1/2

90

1/2

נשואים

300170130

Ei טבלת

מכוניתמכונית ספורטסה"כמשפחתית

רווקים1206852

נשואים18010278

300170130

השערות:

Ho:אין תלות בין מצב משפחתי להעדפת המכונית

: H1 יש תלות בין מצב משפחתי להעדפת המכונית

אזורי דחיה וקבלה:

:0Hאזור דחית 3.841 < ²1

:0Hאזור קבלת 3.841 ²1

חישוב הסטטיסטי:

8.145>3.841

. כלומר, יש תלות בין מצב משפחתי5% ברמת מובהקות Hoלכן, ישנה סיבה מספקת לדחות את להעדפת המכונית.

בדיקת עמידה באילוצים:ב.(

גברים העדיפו מכונית ספורט.56.67% = 170/300

גברים העדיפו מכונית משפחתית.43.33%= 130/300

170/300*300 >10

130/300*300 >10

התפלגות הדגימה של פרופורציית מעדיפי מכוניות הספורט מתפלג בקירוב נורמלי.מסקנה:

P<0.6227>0.5105

מסקנה:

מהרווחים המקריים יכילו את הפרמטר.95%, 300בדגימות חוזרות אינסופיות של מדגמים בגודל יכילו את פרופורציית מעדיפי מכוניות הספורט מכלל0.62 לבין 0.51לכן, הרווח המקרי שבין

.0.95הגברים באוכלוסיה ברמת ביטחון של

2 שאלה

כדי לבצע בדיקת השערות יש לוודא כי מתקיימים התנאים הבאים:

דגימה מקרית של ימי שידורהתפלגות הדגימה של זמן הפרסומות מתפלג נורמאלי באוכלוסיה

השערות:א.

H 0 : μ≤ 10H 1: μ>10

x=10.3נתונים נוספים: , n=25 , σ=0.6

x N (10 , 0.62

25 )t 24=10.3−10

0.65

=2.5

.1% ל-0.5%האלפא מינימום היא בין

H מינימאלית נדחה את כאשר רמת המובהקות גדולה מ ולהיפך.0

Hנדחה את 0.05 המינימאלית, אזי ברמת מובהקות של כאמור מאחר ובסעיף א' מצאנו כי ב. כלומר זמן 0השידור לפרסומות גבוה מהמותר

>0.01אזור דחייה: <0.005אזור קבלה:

ג.

מהרווחים המקריים יכילו את98%, 25מסקנה: בדגימות חוזרות אינסופיות של מדגמים בגודל יכיל את התוחלת – זמן הפרסומות ברמת ביטחון של10.599 לבין 10הפרמטר, לכן הרווח המקרי שבין

98%. דקות יוחלט כי חלה עליה בזמן הפרסומות, כלומר10.5 קבע כי אם ממוצע המדגם יעילה על חוקר ב': ד.

Hנדחה את 0,10.5על מנת לחשב את ההסתברויות באזור הדחייה של החוקר יש לבדוק מהי ההסתברות מעל

p ( x>10.5 )=¿

Z p הערך שואף לאפס אינו קיים בטבלת ( z≥ 4.167 ) גדולה יותר ולכן סיכויים לדחות השערת האפס כאשר השערת האפס1לחוקר א' טעות מסוג

נכונה, גדולים יותר. לכן ערוץ מסחרי יעדיף את חוקר ב'. חוקר ב' עם אזור דחייה קטן יותר.ומשרד תקשורת יעדיף את חוקר א'.

0.6∗10.3−2.33ה.√25

≤ μ≤10.3+ 2.33∗0.6√25

10.02 ≤ μ , בסעיףTכאשר השונות לא הייתה ידועה הפתרון היה לפי מודל התפלגות 10.58≥H. קל יותר לדחות את Zזה השונות ידועה ולכן הפתרון נעשה לפי מודל לעומתZ במודל 0

T הינה התפלגות מרוכזת יותר סביב הממוצע לעומת התפלגות Z, שכן התפלגות Tמודל ויחסית פחותZהשטוחה יותר מפוזרת יותר. ערך של סטטיסטי יימצא קיצוני יותר בהתפלגות

(ולכן הסיכויים נמוכים יותר ליפול באזור הדחייה) לפיכך הרווח בר סמךTקיצוני בהתפלגות הצטמצם והסיכויים לפול באזור הדחייה גדל Zבהתפלגות

3 שאלה

כדי לבצע את בדיקת ההשערות יש לוודא כי מתקיימים התנאים הבאים :

דגימה מקרית של נהגי משאיות פעילים: בדיקת עמידות באילוצים

o120*0.2=24<10o120*0.8=96<10

מסקנה: התפלגות הדגימה של פרופורציות נהגי המשאיות מתפלג בקירוב נורמאלי

נתוני הפרופורציה:

(עד כה) 0.2באוכלוסיה

במדגם18

120=0.15

α=0.05א.H 0 : P≥ 0.2

n=120נתונים נוספים , p=0.2 , p=0.85 , q=0.85

Hתיאור התפלגות הדגימה תחת נכונות 0 :p N (0.2 , 0.2∗0.8120 )

אזורי דחייה וקבלה:Hאזור דחייה של 0 :Z←1.645

Hאזור קבלה של 0 : Z ≥−1.645

חישוב סטטיסטי : ZH 0= 0.15−0.2

√ 0.2∗0.8120

= −0.50.0365148

=−1.3693

1.3693<-1.645מסקנה: -Hאין סיבה מספקת לדחות את , כלומר אין עדות לכן ששיעור נהגי המשאיותα=0.05 ברמת מובהקות של 0

הנדרשים לעבור קורס נהיגה מונעת תוך שנה מיום קבלת רישיון הנהיגה הוא נמוך יותר:דרך ב'

c=0.2−1.645∗√ 0.2∗0.8120

=0.2−0.06=0.1399≅ 0.14

, ולכן לא נדחה את השערת האפס.0.15<0.14

√∗1.645=0.03ב. 0.5∗0.5n

0.01823=√ 0.5∗0.5n

0.00033259=0.5∗0.5nn=751.676≅ נהגים752גודל המדגם צריך להיות 752

n=150ג. , 30150

=0.2

z= 0.2−0.25

√ 0.25∗0.75150

= −0.050.035355

=−1.414)7.93% (0.0793סיכוי הוא ה

4 שאלה

, תה קרYקבוצה ב – , קפה קרXקבוצה א –

nx=30n y=30

x=12y=15

sx=3sy=5

)הנחות(: כדי לבצע את בדיקת ההשערות יש לוודא כי מתקיימים התנאים הבאים א.

א. דגימה מקרית של לקוחות (בשני סוגי המוצרים: קפה קר ותה קר)מדגמים בלתי תלויים ב.התפלגות נורמאלית של דרוג ציוני הטעם באוכלוסיה בשני סוגי המוצריםג.שוויון שונויות של דירוגי הטעם באוכלוסיות השונותד.

השערות:

H 0=μx−μ y=0H 1=μx−μy ≠ 0α=0.05:אזורי דחייה וקבלה

tדחייה: 60−2>2∨t←2

t≤2קבלה: 58≥−2

spחישוב סטטיסטי: 2=

29∗(3 )2+29∗(5 )2

58=261+725

58=986

58=17

sp=√17=4.1231t= (12−15 )−0

4.1231∗√ 130∗1

30

= −31.06457

=−2.818

2>-2.818-מסקנה:

. כלומר, יש הבדל בין דירוגי הטעם שלα=0.05 ברמת מובהקות של H0יש סיבה מספקת לדחות את קפה קר בהשוואה לתה קר

tרווח בר סמך: ב. 58,0.975=2.0

(12−15 )−2∗4.1231∗√ 130∗1

30≤ μx−μy ≤−3+2∗4.1231∗√ 1

30∗1

30

−3−2.129≤ μx−μy ≤−3+2.129−5.129159 ≤ μx−μy מסקנה: בדגימות חוזרות אינסופיות0.8708−≥

מהרווחים האפשריים יכילו את הפער בין תוחלת הדירוג של קפה קר לזו של95%, 30 ו 30של מדגמים בגודל מכיל אף הוא את הפער שבין תוחלת הדירוג ברמת סמך של0.8708 ל -5.129תה קר, ולכן הרווח המקורי שבין -

0.95

נופל מחוץ לגבולות הרווח בר סמך ולכן נדחה השערת האפס למבחן דו כיווני עם אלפאהפרמטר ג. , או אלפא גדולה יותר. ואכן דחינו השערת האפס בבדיקת השערה דו כיוונית בסעיף5%של הרב"ס , אלפא =

.Z = אלפא.כעט נשתמש בלוח 5%א' עם הנחות: ד.

דגימה מקרית של לקוחות - - מדגמים בלתי תלויים

- התפלגות נורמאלית של דרוג ציוני הטעם באוכלוסיה

השערות )כמו בסעיף א'(:H0=μx−μ y=0H 1=μx−μy ≠ 0

Z= (12−15 )−0

4.1231∗√ 130∗1

30

α=0.01-2.818-<2.57

Hכלומר, נדחה את .. לפיכך, יש הבדל בין דירוגי הטעם של קפה קר בהשוואה לתה קר0

Hאם דחינו את ה. (לדחות את בסעיף ד', אז הטעות האפשרית בהחלטה הינה טעות סוג ראשון בהסתברות 0H0 למרות שH דירוגי הטעם של קפה קר בהשוואה נכונה) . במונחי השאלה, בחוקרים סבורים כי יש הבדל בין 0

.=0.01, כאשר בפועל אין הבדל. ניתן לדעת מהו ערך האלפא: לתה קר

5 שאלה

א.

.)בגלל במילה בהכרח( לא נכון 5% ומעלה כדי שנגדיר שיש השפעה. לעומת זאת, באוכלוסיה יכול להיות פער נמוך מ-5%במדגם נדרש פער של

ועדים נציג שיש השפעה עבור מדגמים גדולים מאוד..לא נכוןב.

^ ובבדיקתt המצבים (ברווח בר סמך 2לא ניתן לקשר בין בדיקת השערות לרווח בר סמך וזאת, כי טעות התקן שונה ב-

.1 ל-0 אך גם גבולות רווח בר סמך לפרופורציה חייבים לנוע בין 1 ל-0). בנוסף, פרופורציה אכן נעה בין tהשערות .לא נכוןג.

תלוי בסטיית התקן של המדגם: האם היא גדולה, קטנה או שווה לסטיית התקן של האוכלוסייה..t לא בהכרח אדחה גם ב-z^ודחיתי ב-sכמו כן, אם יש ערך זהה לסיגמה ול-

.נכוןד.ככל ששונות האוכלוסייה גדולה יותר נקבל רווח בר סמך גבוה יותר.

L=2∗Z ( α2 )∗ σ

√nσ↑⇒ L↑

ה.

.נכון ) למבחן דו-כיווני ברמות מובהקותH0 נופל מחוץ לגבולות הרווח ולכן נדחה את השערת האפס (d =8,000הפרמטר

0.05 = 0.1 וגם =

5.8.10 מבחן נק' ( 18 ) 1 שאלה מס'

חברת ייעוץ מעוניינת לבדוק האם שיטת עבודה חדשה תגדיל את תפוקת העובדים.

עובדים בסניף בנק ורשמה את מספר הפעולות היומי לכל עובד שפעל10לשם כך דגמה בשיטה הקיימת. לאחר מכן עברו העובדים הכשרה בשיטת העבודה החדשה ונרשמו מספר

הפעולות היומיות לכל עובד.

להלן התוצאות:

12345678910עובד

שיטהXקיימת

170152142179177164177190152160

שיטהYחדשה

160164146178164164182195151170

הפרשd

-10124-1-13055-110

11.1-10.92.92.1-

14.1-1.1-

3.93.92.1-8.9

123.21

118.8

1

8.414.41198.811.2115.2115.214.41

79.21

( ? )נסח השערות,0.05 ) 5%( מה תהיה מסקנת החברה ברמת מובהקות של 9א.) (.ציין הנחות דרושות, חשב והסק מסקנה מילולית

כדי לבדוק את ההשערה, יש לוודא שמתקיימים התנאים הבאים:הנחות:- דגימה מקרית של עובדים.

- הפרשי העובדים לפני השיטה החדשה ואחריה מפולגים נורמלית.- מדגמים תלויים – מזווגים.

השערות:

נתונים:Xשיטה קיימת -Yשיטה חדשה –

= 1.10 =167.4-166.363.21

7.95

. לאα= 0.05 ברמת מובהקות oH לפיכך, אין סיבה מספקת לדחות את 1.833>0.4375. כלומר, השיטה העבודה החדשה לא תגדיל את תפוקת העובדים.oHנדחה את

( בה תחליט חברת הייעוץ שישנהmin α = Pvalue ( מהי רמת המובהקות המינימלית ) 5ב.) השפעה של שיטת העבודה על התפוקה. במקרה שלא ניתן לתת תשובה מדויקת ציין את

.α ( = 0.05 ) 5%תחום הערכים לתשובה. הסק מסקנה ברמת מובהקות דרגותT, 9. נחפש ערך זה בטבלת ההתפלגות t=0.4375הסטטיסטי שמצאנו בסעיף א' –

min. גם התשובה. 0.4 לבין 0.25(. אלפא מינימום תהיה בין n-1חופש ) תתקבל.0.2

. כלומר, איןHo קטנה מהאלפא המינימלית, הרי שלא ניתן לדחות את α= 0.05 היות והשפעה של שיטת העבודה על התפוקה.

שיטות העבודה, ברמת בטחון2( בנה רווח בר סמך להפרש תוחלות התפוקה בין 5ג. ) ורשום מסקנה.95%של

מהרווחים האפשריים95%, 10בדגימות חוזרות אינסופיות של מדגמים בגודל מסקנה: שיטות העבודה.2יכילו את תוחלת ההפרשים בתפוקה בין

( הסבר, אם ניתן, את הקשר בין תוצאת סעיף ב' לרווח שהתקבל בסעיף ג'. במידה4ד.)ולא ניתן לקשר, ציין מדוע.

ניתן לבדוק את ההשערות באמצעות רווח בר סמך כאשר קיימת התאמה בין רמת המובהקות של בדיקת ההשערות לבין רמת הסמך בה נבנה הרווח. אכן, ישנה התאמה -

ובסעיף ג' בנינו רווח בר סמך5%בסעיף ב' בדקנו השערה דו- צדדית ברמת מובהקות לאותה רמת מובהקות. הערך אפס מוכל בגבולות הרווח בר סמך שמצאנו בסעיף ג', ולכן

. מסקנה זו תואמת את המסקנה שקיבלנו בסעיף ב'.Hoלא נדחה את 2 שאלה מס'

א.מציאת הסתברות לטעות מסוג ראשון עבור חוקר ב:

Z=105−10015/8

= 51.857

=2.666⟹α=0.0039

לכן חוקר א לוקח סיכוי גבוהה יותר לטעות מסוג ראשון α=0.05>α=0.0039

ב. טענת העמותה:H 0 : μ≤ 100H 1: μ>100

העמותה מעוניינת להוכיח שחל גידול במשקל השיפוד ולכן נחפש את עוצמת המבחן(1−β ).

α ו β משלימות ולכן היחס הפוך ביניהם.כמו כן ככל ש β.קטנה יותר העוצמה גדולה יותר של חוקר א קטנהβ גדולה יותר ממבחן של חוקר ב ולכן α=0.05 במבחן של חוקר א

יותר ולכן העוצמה גדולה יותר. לסיכום העמותה תעדיף את חוקר א. ג. הנחות- התפלגות הדגימה של משקל שיפוד ,מתפלג נורמלית, לפי משפט הגבול

. נדגם מדגם מקרי של שיפודים שניצלו ביום העצמאות האחרון.n>30המרכזי השערות:

H 0 : μ≤ 100H 1: μ>100

Zx=104−100

158

= 51.857

=2.133

Zα=1.645

H לכן דוחים את Zx>Zαניתן לראות כי החוקר צודק, ניתן לראות שברמת מובהקות0α=0.0 חלה עלייה במשקל השיפודים.2.

H ולכן מקבלים Zx<Z⟹2.133<2.666עבור חוקר ב- מצאנו ש 0 ולכן לא נדחה ולא חלה עלייה!! במשקל שיפוד.105>104או

ד. עבור חוקר א הטעות האפשרית היא –טעות סוג ראשון. טוענים שמשקל השיפוד עלהאך בפועל המשקל לא השתנה.

עבור חוקר ב הטעות האפשרית –טעות סוג שני , טוענים שלא חל עליה במשקל השיפודאך בפועל משקל השיפוד עלה.

חוקר ב טעות סוג שני ,לא ניתן לחשבα=0.05ה. חוקר א טעות סוג ראשון הסתברות 1μמבלי לדעת את התוחלת של משקל השיפוד שגדל

H קשה יותר לדחות tו.התפלגות לא ישתנו יותר שטוחה .אך התשובותt, כיוון שהתפלגות 0 א חייבים חישוב נוסף ועבור חוקר ב' יותר קל כעת לדחותעבור שני החוקרים ,חוקר

.ומקודם דחינו ולכן בהכרח המסקנה ללא שינוי

3 שאלה מס'

א.

Z= 0.6−0.45

√ 0.45∗0.55100

=3.015

שקניין יקנה מתוצרת בית החרושת.0.0013ההסתברות

ב. הנחות- דגימה מקרית של מרצפות מסוג א.

בדיקת אילוצים 10<100∗0.45

10<100∗0. 55

מסקנה התפלגות הדגימה של פרופורציות המרצפות מסוג א מתפלג בקירוב נורמלית .

השערות-H 0 : P≤ 0.45

H 1: P>0.45

-נתונים

n=100 , p=0.6 , q=0.4 , p=0.45 ,q=0.55 , α=0.0013

pH0 N (0.45 , 0.45∗0.55100 )

Z p=0.6−0.45

√ 0.45∗0.55100

=3.015⟶ Pvalue=0.0013

Zα=0.01=2.325

,כלומר חלה עלייהα=0.01 ברמת מובהקות H0 יש סיבה מספקת לדחות 2.325<3.015בשיעור הייצור של מרצפות מסוג א.

ג. n=?

,2% טעות דגימה – סטייה מרבית α=0.05רמת סמך

0.02=Z α2∗√ p∗q

n

0.02=1.96∗√ 0.5∗0.5n

n=14∗( 1.96

0.02 )2

n=2401גודל המדגם המינימאלי הדרוש

נק' ( 10 ) 4 שאלה מס'

מגזין ספורט מוביל ערך מחקר על הקשר בין גודל הכדור ) כדורגל וכדורסל = גדול , כדור טניס וכדורגולף = קטן ( ומשכורת הספורטאי בענף.

משחקים בכדור גדול והשאר בכדור קטן. מתוך120 ספורטאים, מהם 300לשם כך דגמו באופן מקרי הרוויחו90 הרוויחו שכר גבוה ואילו בקבוצת השחקנים בכדור קטן 80קבוצת השחקנים בכדור גדול

שכר גבוה.

, האם יש קשר בין גודל הכדור ומשכורתα= 5% ( 0.05 ( א. בדוק בר"מ ) 6) הספורטאי בענף.) נסח השערות,

בדוק אילוצים, הצג חישוב ורשום מסקנה (.

א.

טבלתOi

שכרגבוה

שכרנמוך

8040120כ. גדול

9090180כ.קטן

170130300

שכרגבוה

שכרנמוך

0.670.331כ. גדול

0.500.501כ.קטן

טבלתEi

שכרגבוה

שכרנמוך

6852120כ. גדול

10278180כ.קטן

170130300

: דגימה מקרית של ספורטאים המשחקים בכדור קטן ובכדור גדול.הנחות

: בדיקת אילוצים .1אין באף תא שכיחות צפויה קטנה מ-

.5 מהתאים שכיחות צפויה קטנה מ- 20%אין ביותר מ- הטבלה עומדת באילוצים.

: השערות0Hאין תלות בין גודל הכדור ומשכורת הספורטאי בענף :

1Hיש תלות בין גודל הכדור ומשכורת הספורטאי בענף :

כלל החלטה –

0H : 3.841 <1²אזור דחית

:חישוב הסטטיסטי

χ2=H 0 (68−80 )2

68+(102−90 )2

102+(52−40)2

52+(78−90 )2

78=8 .14

:מסקנה3.841 < 8.14

. כלומר יש תלות בין גודל הכדור5% ברמת מובהקות של H0יש סיבה מספקת לדחות את ומשכורת הספורטאי בענף .

, לשיעור מרוויחי השכר הגבוה מבין95% ( ב. בנה רווח בר סמך ברמת בטחון של 4) הספורטאים.כלל

170/300= 0.567שיעור מרוויחי השכר הגבוה :

P=0.567±1. 96∗√ 0 .567∗0 .433300

0 .511<P<0 .623

נקודות ( 15 ) 5 שאלה

איגוד דיאטנים מעוניין לדעת האם יש הבדל ב % השומן בין שני סוגי רשתות מזון מהיר סניפים מרשת19המוכרות המבורגרים. להלן נתוני % השומן באוכל שהתקבלו מדגימת

(.1.00. ( ומרשת מזון ב' )00מזון א' )

Group Statistics

רשת מזון N Mean Std. Deviation Std. Error Mean

שומן % .00 19 13.1579 7.60309 1.74427

1.00 19 19.7368 8.41851 1.93134

פלט לתלמידים של קרן סטירין

Independent Samples Test

Dependent variables

Statistics

Levene's

Test for

Equality of

Variances t-test for Equality of Means

F Sig. t df

Sig. )2-

tailed(

Mean

Differenc

e

Std. Error

Differenc

e

95% Confidence Interval of

the Difference

Lower Upper

שומן % Equal

varianc

es

assume

d

.003 .956 -

2.52

8

36 .016 -6.57895 2.60241 -11.85688 -1.30101

Equal

varianc

es not

assume

d

-

2.52

8

35.63

3

.016 -6.57895 2.60241 -11.85877 -1.29912

פלט לתלמידי שאר המרצים

בדוק את אחת מהנחות המבחן הניתנת לבדיקה לפי הפלט ברמת מובהקות של. ( א4). הצב השערות, ציין 0.01

כלל החלטה ורשום מסקנה.

?0.05( ב. מה תהא מסקנתך להשערת המחקר על סמך הפלט ברמת מובהקות של 6)הצב השערות, רשום לפי

איזה חלק בפלט הגעת למסקנה והצג מסקנה מילולית במונחי השאלה.

Independent Samples Test

שומן % Equal variances assumed

Levene's Test for Equality of Variances

F .003

Sig. .956

t-test for Equality of Means

T -2.528

Df 36

Sig. )2-tailed( .016

Mean Difference -6.57895

Std. Error Difference 2.60241

95% Confidence Interval of the Difference

Lower -11.85688

Upper -1.30101

Equal variances not assumed

t-test for Equality of Means

T -2.528

Df 35.633

Sig. )2-tailed( .016

Mean Difference -6.57895

Std. Error Difference 2.60241

95% Confidence Interval of the Difference

Lower -11.85877

Upper -1.29912

את הטענהα = 0.02( ג. בהסתמך על הפלט וללא חישובים נוספים, בדוק בר"מ 5) כי % השומן ברשת מזון ב' גבוה יותר מ % השומן ברשת מזון א'. רשום הנחות, הצב

השערות, רשום כלל החלטה ומסקנה.

א.

בדיקת טענת שוויון שוניות:

H0 :σx

2

σ y2=1

H1 :σ x

2

σ y2 ≠1

p.v= sig = 0.956 > 0.01

. כלומר, ניתן להניח שוויון = 0.0 1 ברמת מובהקות H0אין סיבה מספקת לדחות את שוניות. )נשתמש בנתונים מהשורה הראשונה או החלק העליון של הטבלה(.

ב.

X , 'סניפים מרשת מזון א :Y'סניפים מרשת מזון ב :

:השערות

0 = y -x : 0H

0 ≠ y x- : 1H

p.v= sig = 0.016 < 0.05

. כלומר,0.05מכאן שקיימת סיבה מספקת לדחות את השערת האפס ברמת מובהקות של קיים הבדל בין תוחלות אחוז השומן בין שני סוגי רשתות מזון מהיר המוכרות המבורגרים.

הנחות: ג. - דגימה מקרית של סניפים מרשתות א' ו-ב' ומכאן שהתפלגות הדגימה של הפרשי

הממוצעים נורמלית.

- מדגמים בלתי תלויים.- % השומן בהמבורגר מפולג נורמלית בכל אוכלוסיה.

- שוויון שונויות )הנחה זו נבדקה(

:השערות

0≤ x y - : 0H

0 > x y - : 1H

Sig/2= 0.016/2=0.008 < 0.02

כלומר0.02מכאן שקיימת סיבה מספקת לדחות את השערת האפס ברמת מובהקות של אחוז השומן ברשת מזון ב' גבוה יותר מאחוז השומן ברשת מזון א'.

נקודות( 4 נק'- לכל סעיף 16 ) 6 שאלה מס'

לגבי הטענות הבאות ציין נכון/לא נכון והסבר )אפשר להיעזר בחישובים/שרטוטים(. תשובה ללא הסבר לא תתקבל. בשאלות רב ברירה, ציין במחברת הבחינה את התשובה הנכונה

ונמק בהסבר/חישוב.

איזה מהמשפטים הבאים נכון?. ככל שממוצע המדגם גדול יותר, כך אורך רווח הסמך ארוך יותר.1 .H 0. קבלת פרופורציה שלילית במדגם תביא תמיד לדחיית השערת 2גודלה3 על עולה תמיד ראשון מסוג טעות של ההסתברותי גודלה .

ההסתברותי של טעות מסוג שני .

ככל שגודל המדגם גדול יותר,וללא שינוי בשאר הנתונים, יותר קל לדחות. 4. HOהשערת

המינימאלית, ולכן קל יותרαהטענה נכונה. הגדלת המדגם מקטינה את ה- לדחות את השערת האפס. כמו כן, ככל שגודל המדגם גדול יותר, התפלגות

הדגימה צרה וגובהה יותר ועל כן יותר קל לדחות את השערת האפס.

א.

ככל שרמת הסמך גדולה יותר, כך הסיכוי שממוצע המדגם ייפול ברווח גבוה יותר. לא נכון. אין שום קשר לרמת הסמך. תמיד ממוצע המדגם בדיוק במרכז

רב"ס, שכן רווח בר סמך נבנה סביב ממוצע המדגם.

ב.

ימנית/חיובית לתוחלת האוכלוסייהג. כיוונית ערכנו מבחן עם השערה חד ודחינו את ההשערה

ועבור אותו מדגם0.1 אזי ברמת מובהקות 0.01הקיימת ברמת מובהקות –

HO א –נקבל

HOב –נדחה

ג - יש מקרים בהם נדחה את השערת האפס וישנם מקרים בהם נקבלאת

השערת האפס.

ד – אף תשובה אינה נכונה .

Ho. לכן, אם דחינו את oHהגדלת רמת המובהקות מגדילה את אזור דחיית

כאשר אזור הדחייהoHכאשר אזור הדחייה היה קטן, הרי שקל וחומר נדחה

(.α=0.1גדול יותר )

. עלתה10 וסטיית תקן 70 ד. הציונים בסטטיסטיקה מתפלגים נורמאלית עם תוחלת טענה שמאז שינוי מתכונת הקורס חלה ירידה בציונים. לשם בדיקת הטענה נלקח

0.025 ) 2.5% של Pvalueמינימלית = α תלמידים והתקבל 100מדגם מקרי של (. מה הממוצע שהתקבל במדגם?

-X= 70-1.96= 68.04

72א.

68.04ב.

72.56ג.

69.87ד.

כל התשובות שגויות.ה.