UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO

UNADMX

INGENIERIA EN LOGISTICA Y TRANSPORTE

Facilitador:

Victor Manuel Velasco Gallardo

Materia:

Física

Alumno: Marco Antonio López Arellano

Matricula: AL12502396

Trabajo:

Practica 3. Modelo de un Circuito RLC con batería.

Definitivo.

Valle de Chalco, México a 6 de septiembre del 2013

Circuitos RLC en serie en Corriente Continua

¿En qué consiste un circuito RLC?

Un circuito RLC se compone de los elementos pasivos: resistencia, bobina y condensador.

Fuente de

alimentación

R

C

L

Figura 1: Circuito RLC. Las líneas que unen los distintos

elementos se consideran ideales (sin resistividad,

inductancia ni capacidad).

La resistencia representa la oposición al paso de corriente, la bobina el retardo en el cambio

de intensidad y el condensador la acumulación de carga.

Veremos el caso más sencillo, el circuito RLC en corriente continua, es decir,

conectado a una fuente que proporciona al circuito una tensión constante en el tiempo.

Antes de analizar la corriente que circula por él, veamos algunas características de estos

elementos que nos ayudarán en la resolución.

- Resistencia: Todos los elementos del circuito que es oponen al paso de corriente y donde se

disipa energía por efecto Joule y su valor depende de su geometría y de la resistividad ρ

(ecuación 1).

s

lR

ρ·= (1)

Donde l es la longitud, s la sección.

RIV ·= (2)

V representa la caída de potencial en la resistencia debido al paso de corriente.

R

V

R

VVIVP

2

)·(· === (3)

La ecuación (3) representa la potencia disipada en la resistencia en función de la caída de

potencial en la misma. Observamos que su valor nunca podrá ser 0, ya que eso equivaldría a

una potencia infinita.

- Bobina: Todos los elementos del circuito en los que se acumula y cede energía en forma de

campo magnético. El potencial inducido en la bobina, por la Ley de Lenz, viene dado por la

expresión:

dt

dIL

dt

dNV =−= φ

(4)

Con N el número de vueltas de la bobina, Ф el flujo que la atraviesa y L la

autoinductancia. Cualquier cambio en el flujo (o sea, en la intensidad) establecerá un voltaje

que podrá retardar (que no evitar) el cambio en la intensidad.

( )2

21· LI

dt

d

dt

dILIIVP ===

(5)

La ecuación (5) representa la potencia absorbida o cedida por la bobina. Como podemos

observar, este elemento no permite un cambio instantáneo (tiempo cero) finito en la

intensidad, ya que si esto ocurriese tendríamos un potencial infinito y eso es imposible.

- Condensador: Todos los elementos del circuito donde se almacena y cede energía en forma

de campo eléctrico. Se produce una acumulación de cargas en sus placas dando lugar a una

diferencia de potencial entre ellas. Se caracteriza (como los resistores por la resistencia R y la

bobina por la autoinductancia L) por la capacidad C, la relación entre la carga acumulada y el

potencial entre sus placas:

V

QC =

(6)

De (6) se deriva: C

IdtV ∫=

(7)

Donde Q es la carga acumulada en las placas y V el potencial entre ellas. La potencia de este

elemento viene como:

( )2

21·· CV

dt

d

dt

dVCVIVP ===

(8)

Donde I se obtiene de la forma diferencial de C=dQ/dV y sabiendo que I=dQ/dt. De forma

análoga a los casos anteriores se extrae que en este elemento no puede haber cambios

instantáneos de voltaje, ya que eso llevaría como consecuencia un potencial infinito.

• ¿Cómo resolver un circuito RLC?

A estos circuitos también se les llama circuitos de segundo orden, ya que la ecuación que

resulta al aplicar las leyes de Kirchoff es una ecuación diferencial de segundo orden.

Supongamos un circuito como el de la figura 1 al que conectamos una batería que suministra

un voltaje continuo Vb. La segunda Ley de Kirchoff dice lo siguiente:

"La suma de voltajes en una malla cerrada es igual a cero."

Por lo tanto, aplicado a nuestro circuito obtenemos lo siguiente.

0=−−− CLRb VVVV

(8)

Sustituyendo ahora las ecuaciones (2), (4) y (7) en la (8) obtenemos:

∫++= Idt

Cdt

dILRIVb

1

(9)

Que es una ecuación integro-diferencial. Para resolverla derivaremos consiguiendo la

ecuación diferencial de segundo orden de la que hablábamos.

I

Cdt

dIR

dt

IdL

10

2

2

++= (10)

El término dVb/dt ha desaparecido ya que como considerábamos que se trata de una fuente

de voltaje constante, la derivada es nula. Para resolver esta ecuación diferencial homogénea

de 2º orden procedemos calculando las raíces para obtener una solución del tipo:

tsts eKeKtI 2121)( +=

(11)

Las raíces correspondientes a la ecuación (10) son:

( ) LCLR

L

Rs

LCs

L

Rs 1

220

1 22 −±−=⇒=++

Si llamamos α=R/2L (constante de amortiguación), LC

10 =ω

y sustituimos en (11) las

soluciones nos quedarán:

2

02

1 ωαα −+−=s (12.1)

2

02

2 ωαα −−−=s (12.2)

Sólo queda saber qué valen las constantes K1 y K2. En el instante t=0, I=0, y eso nos lleva a que

0= K1+K2 es decir, que K2=-K1.

)()( 211

tsts eeKtI −=

Ahora, dependiendo de las magnitudes de α y ωo la solución será de una manera u otra.

Estuve leyendo algo sobre ecuaciones diferenciales en el libro de ecuaciones diferenciales

diferenciales con aplicación de modelado de Dennis G. Zill y esta complicado el libro pero

bueno poco a poco, en la página 27 hay una breve explicación de este tipo de circuitos en

serie. Lo anterior lo saque de unos apuntes de una página web, pero lo estudie y al

trascribirlo a esta hoja de Word cerré el link y no logré recuperarlo, me pareció muy

interesante y medio fácil de entender. También estudié un libro de Electrónica Teoría de

circuitos de Boylestad 8° edición, muy interesante.

Hay simuladores de circuitos muy interesantes, orcad y proteus que ni pude abrirlos pero vi

sus prestaciones.

Con esto valores

empiezo, con un

dt=4x10-6

Se pueden apreciar

la amortiguación

de la energía,

voltaje en los

elementos RCL

El lapso del tiempo es

demasiado corto y no

se aprecian las

oscilaciones del

voltaje en los

dispositivos.

Dt=5x10-3

El osciloscopio no

alcanza a ver el

movimiento de las

oscilaciones, quizá

calibrándolo

El aumento del voltaje

solo hace de más

amplitud las

oscilaciones del

voltaje, los picos de

voltaje son mayores,

en el capacitor

Con los valores que se pueden

apreciar en el recuadro, el

tiempo de saturación del

condensador se alcanza en más

tiempo porque tiene una mayor

capacidad en colombios, el

voltaje en la resistencia también

cambia menos rápido y por lo

tanto su oscilación es diferente,

el voltaje en la bobina sucede de

igual modo, su amortiguamiento

es más lento, hice varios

cambios, solo deje este.

Si se refiere a que sucede al voltaje en cada uno de los elementos con el voltaje + ya se había

explicado que oscila y cambia la amplitud de ellos y su frecuencia dependiendo del valor de

los dispositivos y al cabo de un rato el voltaje de ellos se iguala al de la fuente, y si la

pregunta se refiera a que sucede si cuando el voltaje de la fuente es v-, entonces lo que

sucede es que no hay oscilaciones y el circuito no funciona.

En aproximadamente 2.7x10—3

segundos el voltaje de la pila es

igual en todos los elementos del

circuito RCL, el voltaje es igual al de

la fuente en este caso V=50

i) Si α > ωo: Las soluciones serán reales, distintas y de signo negativo.

Se ve claramente

que si cambiamos

los valores de la

capacitancia y la

inductancia la

frecuencia y

amplitud cambian. Y

si pareciera que los

voltajes pero

multiplicados por 2

pero desfasados

Cambié el voltaje y se ve

claramente que el voltaje en

los dispositivos sufren una

caída de tensión del doble y

no cambian su frecuencia… y

si son iguales ambos voltajes

pero desfasados

α= γ

Sabemos que la caída de potencial en el circuito era como en la ecuación (8), que en el

instante t=0 el condensador no permite un cambio brusco de voltaje (por lo que Vc=0) y la

bobina no permite un cambio brusco en la intensidad, y en la resistencia es cero (V=I·R). Por

lo tanto el único elemento en el que hay caída de potencial es en la bobina. Con estas

condiciones la ecuación (8) se simplifica en la (13).

)( 2110

ssLKdt

dILV

tb −==

=

⇒ )( 21

1 ssL

VK b

−=

(13)

Haciendo uso de la relación trigonométrica 2

xx eesenhx

−−= la solución final se dice

sobreamortiguada, y queda como:

)()( 20

2

22tsenhe

L

VtI t

o

b ωαωα

α −−

= −

Figura 2: Representación de Intensidad frente al tiempo. En este caso es sobreamortiguada.

t

I(t)

Mismo voltaje mismos valores

de los dispositivos de

inductancia y capacitancia, pero

doble el valor de la resistencia,

lo que se puede notar es que la

resistencia atenúa más rápido el

proceso de amortiguamiento

como era de esperarse según la

fórmula y si α > ωo

Referencias:

Ecuaciones diferenciales diferenciales con aplicación de modelado de Dennis G. Zill séptima

edición editorial Thomson Learning.

Física Tomo II Raymond A. Serway tercera edición.

Electrónica Teoría de circuitos de Robert L Boylestad 8° edición