física: semana 2 sesión 1

06/09/07 Autor: Lily Arrascue/Yuri Milachay/Anthony Macedo 1

Conocimientos previos

2( )dA d rp=

5

5

3dxx54

54

x

=

rdr

r

= r

h

tgh

=

h

=

2A rp=

2dA rdrp=

04

)5(

4

5 445

5

3 =

=

dxx

http://www.upc.edu.pe/home_upc.aspx?PFL=0

Física para Medicina

Centro de Masa. Esfuerzo y deformación. Propiedades elásticas de la materia.

Yuri Milachay, Lily Arrascue, Anthony Macedo



Centro de masa• Se llama centro de masa a aquel punto de

un cuerpo al que su movimiento puede ser explicado con ayuda de las leyes de conservación.

• Se ubica en el centro geométrico si el cuerpo presenta una forma regular.

• En caso de no tener forma regular, es necesario calcular la ubicación del punto.



Esfuerzo y Deformación

¿Cómo reaccionan los sólidos a las cargas?

• http://www.healthsystem.virginia.edu/UVAHealth/adult_orthopaedics_sp/fracture.cfm • http://www.footphysicians.com/espanol/facturas-de-los-dedos.htm

Las fracturas se producen cuando se ejerce sobre el hueso una fuerza mayor de la que éste puede absorber.

http://www.healthsystem.virginia.edu/UVAHealth/adult_orthopaedics_sp/fracture.cfm

http://www.footphysicians.com/espanol/facturas-de-los-dedos.htm



Esfuerzo• El esfuerzo (s) se define como la

fuerza aplicada por unidad de área.

• ¿Cómo se deforman los materiales?

• Donde el área (A) depende del tipo particular de esfuerzo que se trate (tracción, compresión, tangencial, torsión)

• La unidad de medida es N/m2 .

AF

=



Curva esfuerzo - deformación

OA. Región de linealidad. Los desplazamientos son proporcionales a la magnitud de la fuerza aplicada.

OB. Región elástica. Al cesar el esfuerzo, se recupera el tamaño.BC. Región inelástica o plástica. No recupera el tamaño al cesar el esfuerzo.

X

0

Punto de ruptura: resistencia máxima del material.

Límite elástico.



Esfuerzo de Tracción• El esfuerzo de tracción se da cuando se

somete un cuerpo a dos fuerzas iguales y en sentido contrario.

• La deformación que corresponde a un esfuerzo de tracción se mide por el parámetro deformación unitaria (), que corresponde al cociente entre la variación de longitud del objeto y su longitud antes de estar sometido a la tracción.

• En la región de linealidad, se cumple que:

El esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria

• E recibe el nombre de Módulo de Young.

0ll

=

E=

E [N//m2]Material

1,6 x 1010hueso

11 x 1010cobre

19 x 1010hierro

9,0 x 1010latón

1,0 x 106caucho

7,0 x 1010aluminio

20 x 1010acero

E

FF



Relación fuerza-deformación• El esfuerzo se expresa como:

(1)

• Además, el esfuerzo podemos escribirlo como:

(2)

• La deformación unitaria se expresa como:

(3)

• Reemplazando (3) en (2) y reordenando obtenemos:

EAF = E=

0ll

=

llEA

F

=

0

AF= AF =

Sólo para esfuerzos que seencuentran en la región lineal.



Ejercicio• El módulo de Young de la resilina, una proteína

flexible parecida al caucho que se encuentra en los artrópodos, se determinó mediante experimentos hechos con el tendón elásticos de las patas del saltamontes. El tendón tenía inicialmente 0,72 mm de longitud y 0,13 mm de diámetro, y una carga de 2,4 g lo alargaba hasta una longitud de 1,39 mm . A partir de los datos, calcule el esfuerzo, la deformación, y el módulo de Young.

• Solución:

mml 67,0=

http://neofronteras.com/?p=273

mml 72,00 =93,0

72,0

67,0==

22 35 10F , N= ﾴ22 30,13 10

2 2

DA p p

￦ﾴ￦= =￨￨

62

1,77 10N

m = ﾴ

( )32 4 10 9 81F mg , , N= = ﾴﾴ

8 21,33 10A m= ﾴ

2

8 2

2,35 10

1,33 10

N

m

ﾴ=

ﾴ



Esfuerzo de compresión• El esfuerzo de compresión se produce

cuando dos fuerzas guales y de sentidos opuestos comprimen un objeto.

• En estos casos, la expresión matemática es la misma que en el caso de la tracción, es decir:

FF

• Hay que tener en cuenta que:• Los materiales homogéneos tienen el

mismo valor del módulo de Young para la compresión y para la tracción.

• El módulo de Young para esfuerzos de compresión en materiales no homogéneos es menor que para el esfuerzo de tracción.

E=



Compresión y Tracción en tres dimensiones• En la tracción y la compresión tienen

lugar cambios en las dimensiones del material; no sólo a lo largo de la acción de las fuerzas, sino también en las direcciones perpendiculares.

• La expresión que relaciona la variación del ancho (w) y alto (h) es la siguiente:

• Donde ´es el coeficiente de Poisson, es característico para cada material y, por lo general, es positivo.

• Para materiales isotrópicos y homogéneos es constante.

0

´l

l

h

h

w

w =

=

Ensayo mecánico de la espina dorsal



Ejercicio• Una barra de sección rectangular de 1,00

m de longitud, 0,50 m de ancho y 0,60 mde alto, está confeccionado con un material que tiene un módulo de Young de 7,00 x 1010 N/m2 y está sometido a un esfuerzo longitudinal de tracción de 3,50 x 108 N/m2. ¿Cómo cambian las dimensiones de la barra causada por el esfuerzo si el coeficiente de Poisson de la barra es 0,40?

Solución• ¿Cuál es la deformación unitaria?

• ¿Cuánto se ha alargado?

• Los resultados son:

• Como:

E

=

0ll =

3210

28

100,5100,7

105,3

=

=Nm

Nm

mml 33 100,5100,50,1 ==

0

´l

l

h

h

w

w =

=

31,0 10w m = ﾴ

31,2 10h m = ﾴ



Flexión• Superficie neutra: superficie que separa la

zona de compresión de la de tracción.• ¿Cuánto se ha estirado una superficie

respecto de la superficie neutra (l)?• OO´, superficie neutra• CC´- superficie estirada.

• La deformación () es igual a:

2/xa =

a

OC

O’ C’

O’

C’

a

/2x

)2/(tgxa =

xal == 2

Rx

Rx

ll

===



Flexión• Se estudia la flexión considerando que el

material conserva sus propiedades elásticas, por lo que se aplica la ley de Hooke. En consecuencia, se puede usar la expresión para el cálculo del esfuerzo:

• Sin embargo, este esfuerzo es variable, ya que depende de la posición de la superficie con respecto a la superficie neutra.

• El torque que cuantifica la acción de las fuerzas (momento flexor) sobre la superficie que se ejerce tracción es

• Pero,

• Es el momento de inercia del cuerpo.

Rx

EE ==

dAdF

x =)(

dARx

EdM

dAxxxdFdM2

)(

=

==

= dAxI A2

AIRE

M =



Ejercicio 2.5

= dAxI A2

=2/

2/

2h

h

A adxxI

12

3ahI A =

a h

• Solución

• Caso 1

• Caso 2

h

a

• Calcular el momento de inercia de la superficie neutra de una barra de anchura a y altura h, cuando está apoyada sobre ay cuando está apoyada sobre h. Calcular los momentos de inercia cuando a = 20,0 cm y h = 40,0 cm .

=2/

2/

2a

a

A hdxxI

12

3haI A =



Momentos de inercia de figuras geométricas

Viga en l

Cilindro hueco

Paralelepípedo apoyado sobre b

Cilindro macizo

Momento de inercia con respecto a la superficie neutra

Figuras geométricas

baI A3

121

=

)12/()2/( 32 lablaI A =

)(4

44 baI A =p

4

41

rI A p=



Esfuerzos tangenciales• La deformación tangencial se define como

el cociente de la distancia de separación entre las superficies deslizadas con respecto a la altura.

• El esfuerzo tangencial es proporcional a la deformación tangencial.

• G se denomina módulo de rigidez o módulo cortante.

ht

=h´

F

FA

A´

h

F

tt G =

´)1(2 =

EG



Esfuerzo de torsión• Relación entre , y h.

• Por otro lado, la deformación depende del radio.

• Reemplazando por h

• La torsión se produce porque el momento externo (momento torsor) se propaga a todo el interior del cilindro

• Como

h

h

R

r=

hr =

rdFd t =

tt G =

Cuerpo sometido a esfuerzos de torsión



Esfuerzo de torsión• Por lo tanto,

• El cálculo del momento torsor se calcula integrando para todos los elementos de área.

• Que, como en el caso del esfuerzo de flexión, la integral representa el momento de inercia.

• De lo que se obtiene la expresión final del momento torsor con las propiedades elásticas del material.dAr

hG

d t2=

=R

t dArh

G

0

2

=R

p dArI0

2

Pt Ih

G=



Ejercicio 2.10• Calcular el momento de inercia polar de

un cilindro de radio R.• Solución

dFdA

dF

rdr

=R

P dArI0

2

2

2RIP

p=



Ejercicio 2.11• El ángulo máximo que se puede deformar

sin romperse una tibia humana es de 3,4°. Suponiendo que dos tibias de igual longitud y de radios r y r´, de tal forma que r > r´, están sometidas al mismo momento de torsión, ¿cuál de ellas se rompe antes?

• Solución• El momento de torsión se expresa como:

• El hueso de mayor radio se romperá más rápido.Pt I

h

G=

´´

PP Ih

GI

h

G =

´´ PP II =

P

P

I

I ´

´=


física: semana 2 sesión 1

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