2009

Forelesning nr.8 INF 1410

RC og RL kretser

02.03.2009 INF 1410 1

2009

Oversikt dagens temaer

Linearitet i RC- og RL-kretser

Opampkretser med kondensatorer

Naturlig respons for RL- og RC-kretser

Eksponensiell respons

02.03.2009 INF 1410 2

2009

Node og meshanalyse med RL og RC

Har vist at KVL og KCL også gjelder for kretser med

spoler og kondensatorer

Spoler i serie og parallell oppfører seg som ohmske motstander

i serie og parallell

Kondensatorer i serie oppfører seg som ohmske motstander i

parallell, og kondensatorer i parallell oppfører seg som

resistanser i serie

KVL og KCL i kretser med kun ohmske motstander kan

løses enkelt (n lineære tidsuavhengige ligninger med n

ukjente)

02.03.2009 INF 1410 3

2009

Node og meshanalyse med RL og RC

KVL og KVL i kretser med spoler og/eller kondensatorer

krever løsning av integrodifferensial-ligninger

Integrodifferensial: Inneholder både den integrerte og

deriverte av variabelen som inngår

Skal først studere eksempler med nodeligninger uten å

eksplisitt løse dem

Senere i kurset innføres en metode for å løse slike

ligninger på en enkel måte vha S-transformasjon

02.03.2009 INF 1410 4

2009

Eksempel

Ønsker å finne nodeligningene

for kretsen til høyre

Summen av alle strømmene som

går ut av node 1 er lik 0

Har også en initialstrøm gjennom

spolen

For node 1 blir ligningen

02.03.2009 INF 1410 5

0)t(iR

)vv(

dt

dvC'dt)vv(

L

10L

2112s

t

t

1

0

2009

Eksempel (forts)

Ligningen for node 2 blir

Skriver om KCL-ligningen slik at spenninger og strømmer fra

kilder og initialverdier står på høyre side, og resten på venstre:

02.03.2009 INF 1410 6

dt

)vv(dC

R

)vv(i ss

21

12

)t(i'dtvLR

v

R

v

dt

dvC'dtv

LL

t

t

s

t

t

0211

21

00

11

ss i

dt

dvC

dt

dvC

R

v

R

v 1

21

21

2009

Eksempel (forts)

Generelt er ligningene som er

utledet kompliserte å løse analytisk

Spenningskilden vs opptrer den

både som derivert og integrert,

men ikke direkte

Initialstrømmen gjennom spolen

opptrer som en konstant

Ligningssystemene kan også løses

numerisk, noe som ofte gir god nok

presisjon

02.03.2009 INF 1410 7

2009

Impedans og admittans

Forholdet mellom spenning og strøm kalles for impedans

Impedans kan tenkes som sammensatt av en tidsuavhengig

og en tidsavhengig del

Resistivitet: tidsuavhengig

Reaktans: tidsavhengig

Reaktans kan deles inn i to typer

Induktiv

Kapasitiv

Avhengig av hvilket element man refererer til, brukes ofte

Resistiv impedans

Induktiv impedans

Kapasitiv impedans

02.03.2009 INF 1410 8

2009

Impedans og admittans (forts)

Forholdet mellom strøm og spenning kalles for admittans

Admittans kan tenkes på som den inverse til impedans

Admittans kan tenkes som sammensatt av en tidsuavhengig

og en tidsavhengig del

Konduktans: tidsuavhengig

Suseptans: tidsavhengig

Disse begrepene vil bli nærmere definert når komplekse

frekvenser inntroduseres (imaginære + relle deler)

For ohmske motstander som bare er resistive kalles

admittansen for konduktans

02.03.2009 INF 1410 9

2009

Integrator med kondensator

Man kan designe relativt avanserte kretser med basert på

opamp’er og motstander, spoler og kondensatorer

Ved å erstatte motstanden i tilbakekoblingen i en inverterende

forsterker med en kondensator får man en integrator:

Siden va=vb=0, har reduseres dette til

02.03.2009 INF 1410 10

dt

dvC

R

vvi

R

vv fCf

sasa

11

0

dt

)v(dC

R

v

dt

dvC

R

v outf

sC

fs f

00

11

2009

Integrator med kondensator

For å finne vout som funksjon av vs må man

integrere på begge sider

Verdien R1C1 er en integrasjonskonstant

og kalles også for tidskonstant τ

O man ikke ønsker en skalert utverdi må

R1 og Cf velges slik at R1Cf =1

02.03.2009 INF 1410 11

)0(v'dt)'t(vCR

1v

v0vvv

f

f

C

t

0

s

f1

out

outoutaC

2009

Derivator med kondensator

02.03.2009 INF 1410 12

Ved å la motstand og kondensator bytte plass

får man en derivator istedenfor integrator:

Siden va=vb=0, har reduseres dette til

dt

dvC

R

vvi

R

vv0 1

C

1

f

outa

f

outa

dt

dvCRv

dt

dvC

dt

)v0(dC

dt

dvC

R

v

s1fout

s1

s1

C

1

f

out 1

2009

Integrator og derivator med spole

Man kan også lage integratorer/derivatorer med spoler

istedenfor kondensatorer

Teoretisk gjøres dette ved å bytte ut kondensatoren i

integratoren med en spole, og dette gir en derivator

Ved å bytte ut kondensatoren med en spole i derivatoren får

man en integrator

I praksis vil man ikke bruke spoler fordi de er vanskeligere å

lage enn kondensatorer på integrerte kretser (tar mer plass)

Spoler vil kunne fungere som antenner på integrerte kretser

og fange opp uønsket elektromagnetisk støy fra omgivelsene

02.03.2009 INF 1410 13

2009

Kretser med ulik type startbetingelser

For kretser med spoler og kondensatorer vil utsignalet være

bestemt av to forhold:

Hvilke strømmer/energi som er finnes i kretsen ved tidspunkt t0

Hva slags type signal som påtrykkes kretsen ved tidspunkt t

Kretsens oppførsel som følge av det ”historiske” innsignalet

gir et bestemt utsignal ved t0 og kalles naturlig respons

Naturlig respons kalles også source-free eller transient

respons, fordi det ikke avhenger av hvordan innsignalet så

ut, men de ”naturlige” egenskapene til kretsen

Den andre typen respons kalles for påtrykket eller tvungen,

og utsignalet vil ha en komponent som er et resultat av dette

02.03.2009 INF 1410 14

2009

Transientrespons i RL-kretser Generelt sett er det vanskelig å løse integral/differensial-

ligninger

For kretsanalyse vil løsningene være på et bestemt format, og

man kan derfor gjenbruke uten å løse på nytt hver gang

Begynner med formen til løsningen for den naturlige

(transient)responsen for en krets med en motstand og en spole

02.03.2009 INF 1410 15

Antar at strømmen gjennom

kretsen ved t0=0 er I0, dvs i(0)=I0

I0 vil med tiden vil dø ut

Vet ikke hvordan I0 har oppstått i

fortiden

2009

Transientrespons i RL-kretser (forts)

KVL for strømmen i kretsen gir at

Ønsker å finne et uttrykk for i(t) som

både tilfredsstiller det generelle tilfellet

og initialbetingenlsen i(t0)=I0

02.03.2009 INF 1410 16

00 iL

R

dt

di

dt

diLRivRi L

)0t(L

R)0ln()iln('t

L

R)iln('dt)

L

R('di

'i

1

0dtL

R

i

di0i

L

R

dt

di

t

0

i

I

t

0

)t(i

I0

0

2009

Transientrespons i RL-kretser (forts)

Ved å opphøye i e på begge sider får man

Måtte mao. sjekke at både det generelle tilfellet og

initialbetingelsen er oppfylt av løsningen

Ved tidspunkt t=0 er i(0)=I0, dvs ok.

Setter inn det gitte uttrykket for i(t) utledet over i den

opprinnelige diffligningen:

02.03.2009 INF 1410 17

tL

R

0

tL

R

0

tL

R)Iln())t(iln(

eI)t(i

eI

)t(iee 0

000iL

R

dt

di

2009

Generell form transientresponsen

Løsningen for i(t) for RL-kretsen kan generealiseres til en

mer generell form som også gjelder for RC-kretser

Antar en generell form på løsningen

Ved å sette denne inn i den opprinnelige ligningen får man

Både A=0 og s1=∞ vil være teoretisk løsninger på

ligningen,men ikke i kretsen siden det tilsvarer at responsen

er 0 til alle tider

02.03.2009 INF 1410 18

tsAe)t(i 1

00 111 11 tststs Ae)

L

Rs(e

L

RAeAs

2009

Generell form transientresponsen (forts)

For at løsningen skal være oppfylt må

Dessuten må

Ligningen kalles også for den karakteristiske

ligningen til differensialligningen

02.03.2009 INF 1410 19

L

Rs 1

tL

R

eI)t(i

0

0IA

01 L

Rs

Kretsens naturlige respons er derfor bestemt av den

(konstante) strømmen ved t=0, og forholdet mellom R og L

2009

Eksponensiell respons

Den naturlige responsen til en RL (og RC) krets er

eksponensiell på formen gitt i figuren under

To parametre bestemmer generelt kurven: I0 og R/L

R/L bestemmer hvor fort strømmen I0 faller mot 0

02.03.2009 INF 1410 20

tL

R

eI)t(i

0

2009

Eksponensiell respons (forts)

Jo større L/R (dvs jo mindre R/L), desto

lenger tid tar det for strømmen å falle

mot null

Et viktig mål på hvor fort strømmen

faller er å beregne hvor fort strømmen

vil bli null hvis den faller med samme

rate som ved t=0

Dette er det samme som den deriverte i

t=0

02.03.2009 INF 1410 21

L

Re

L

R

I

i

dt

d

0t

tL

R

0t0

2009

Eksponensiell respons (forts)

En kurve med stigningstall –R/L vil

krysse t-aksen i punktet τ=L/R

t kalles også for tidskonstanten til

kretsen

τ kan også tolkes som forholdet

mellom den initielle strømmen I0 og

den aktuelle strømmen I(t) når t= τ :

02.03.2009 INF 1410 22

367901

0

0

0

.eI

eI

I

)(i LR

2009

Eksponensiell respons (forts)

Etter t=2τ har den normaliserte

strømmen falt til 13,53% av

utgangspunktet, og etter t=3τ til

4,97 %

Etter t=10τ har den falt til ca

0,0045 %

Man regner at når strømmen er ca

1% av utgangsverdien er den

tilnærmet null, dvs etter t=5τ

02.03.2009 INF 1410 23

2009

Transientrespons i RC-kretser

Samme utfordring her som for RL-kretser

Vil se at formen på løsningen for RC-kretser blir lik den for RL-

kretser

02.03.2009 INF 1410 24

Antar at spenning lagret på kondensatoren

ved t0=0 er V0, dvs v(0)=V0

Vet ikke hvordan V0 har oppstått i fortiden, er

heller ikke relevant for hvordan responsen

blir (så lenge kilden er frakoblet)

2009

Transientrespons i RC-kretser (forts)

KCL for strømmen i kretsen gir at

Det tilsvarende uttrykket for RL-kretsen:

Kan derfor sette opp uttrykket for v(0) direkte:

02.03.2009 INF 1410 25

0RC

v

dt

dv0

R

v

dt

dvC

0iL

R

dt

di

RC

t

0

tRC

1

eVe)0(v)t(v

2009

Transientrespons i RC-kretser (forts)

Kan gjøre samme betraktninger om responsen til en RC krets

som en RL krets

02.03.2009 INF 1410 26

Ønsker også her å finne ut hvor

fort spenningen over

kondensatoren lades ut

Tidskonstanten for RC-kretsen er

gitt av τ=RC

2009

Eksempel

Skal finne spenningen over kondensatoren ved tiden

t=200µ etter at batteriet er koblet ut

02.03.2009 INF 1410 27

Må derfor først finne spenningen v for kretsen i b)

Siden det ikke går noe strøm gjennom kondensatoren vil

spenningen v være like batterispenningen, dvs v(0)=9 V

2009

Eksempel (forts)

Etter at batteriet er koblet fra reduseres kretsen i b) til

kretsen under

02.03.2009 INF 1410 28

For kretsen i c) er spenningen v(t) gitt av

Ved å sette inn kompnentverdiene får man at

RC

t

0

tRC

1

eVe)0(v)t(v

mV1.321Ve9)t(vs10*200

)F10*10)(42(

1 66