2009

Forelesning nr.12 INF 1410

Komplekse frekvenser – analyse i frekvensdomenet

20.04.2009 INF 1410 1

2009

Oversikt dagens temaer

Intro

Komplekse tall

Komplekse signaler

Analyse i frekvensdomenet

20.04.2009 INF 1410 2

2009

Intro Har så langt i kurset analysert kretser med spoler,

kondensatorer og ohmske motstander i tidsplanet

Ohmske motstander er tids-uavhengige, dvs at strømmen gjennom

og spenningen over ikke avhenger av tiden

Spoler og kondensatorer er tidsavhengige, dvs at strømmen gjennom

og spenningen over dem varierer over tid

Den tidsavhengige strøm-spenningsrelasjonen for en kondensator er

Den tidsavhengige strøm-spenningsrelasjonen for en spole er

20.04.2009 INF 1410 3

dt

dvCi

dt

diLv

2009

Intro (forts)

20.04.2009 INF 1410 4

I tidsplanet kan man dele analysen av kretsoppførsel inn

i kategorier avhengig av type innsignal:

Direct Current (DC)

Impuls

Sinusformet

Alternating Current (AC)

Videre deler man totalresponsen inn i to deler

Naturlig

Påtrykket (tvungen)

2009

Analyse i frekvensdomenet

20.04.2009 INF 1410 5

Ofte er det vel så viktig å analysere oppførselen til en

krets som funksjon av frekvensen til inn-signalet

istedenfor som funksjon av tiden

Analyse i frekvensplanet kan også gjøre analysen i

tidsplanet enklere vha Laplace-transform

I frekvensanalysen benyttes som oftest et sinus-signal

som basis innsignal

Det kan vises vha av Fourier-transform at et vilkårlig ac-

signal kan representeres som en sum av sinus-signal

mmed ulik frekvens og amplitude

2009

Sinussignaler

Et sinussignal er et tidsvarierende signal og karakteriseres ved

Amplitude

Frekvens

Et sinusformet spenningssignal kan skrives på formen

der Vm er amplituden, ωt er argumentet og ω vinkelfrekvensen

(radianfrekvensen)

Et sinussignal er et periodisk signal, dvs at det gjentar seg

med en bestemt hyppighet, bestemt av frekvensen

03.03.2009 INF 1410 6

)tsin(V)t(v m

2009

Sinussignaler (forts)

Sammenhengen mellom frekvens f og periode T er gitt ved

der enheten for periode er sekunder, og for frekvens 1/s

Hvis frekvensen oppgis i radianer, får man følgende

sammenheng

20.04.2009 INF 1410 7

Tf

1

fT 22

2009

Sinussignaler med forskyving

Et sinussignal kan uttrykkes enda mer generelt ved å ta med

en fasevinkel θ

Fasevinkelen angir en tidsforskyvning i forhold til ωt, dvs enten

til ventre eller til høyre langs tidsaksen

20.04.2009 INF 1410 8

)tsin(V)t(v m

2009

Sinussignaler med forskyving

Fasevinkelen er spesielt nyttig når man sammenligner to

sinussignaler med samme frekvens

Hvis to signaler har sammen verdi for fasevinkelen er signalene i fase

Hvis de har ulik fasevinkel er de ute av fase

For å sammenligne to signaler mhp fase må de

Begge være sinussignaler eller begge cosinussignaler

Begge skrives med positiv amplitude

Ha samme frekvens

20.04.2009 INF 1410 9

2009

Sammenheng mellom sinus og cosinus

For å konvertere signaler som er en blanding av sinus og

cosinus, kan man benytte følgende ligninger:

20.04.2009 INF 1410 10

)tsin()tcos(

)tcos()tsin(

)tcos()tcos(

)tsin()tsin(

90

90

180

180

2009

Komplekse frekvenser

Ved å introdusere komplekse signaler (dvs signaler i det

komplekse planet) får man en enkel og generell måte å

representere alle typer innsignaler

I tillegg vil innsignaler representert som komplekse variable

også forenkle analysen, både i tids- og frekvensplanet

Med komplekse signaler vil ligningene som beskriver generelle

RCL-kretser være rent algebraiske og ikke integro-differensial

ligninger

Løsning av rene algebraiske ligninger er mye enklere enn

integro-differensialligninger

20.04.2009 INF 1410 11

2009

Kort om komplekse tall

Komplekse tall kan tenkes på som en utvidelse av de reelle

tallene

Et kompleks tall består av en reell og en imaginær del:

der konstanten

Et vanlig reelt tall er et kompleks tall hvor b=0

Den reelle og imaginære delen kan refereres til som hhv

20.04.2009 INF 1410 12

A= a + jb

1j

b}AIm{a}ARe{

2009

Kort om komplekse tall (forts)

Man kan tenke seg et kompleks tall i et to-dimensjonalt

koordinatsystem

Den horisontale aksen representerer rene reelle tall (b=0),

mens resten av planet representerer generelle imaginære tall

20.04.2009 INF 1410 13

2009

Kort om komplekse tall (forts)

For at to komplekse tall A=a+jb og B=c+jd skal være like, må

a=c og samtidig b=d

Addisjon av to komplekse tall:

Subtraksjon av to komplekse tall:

20.04.2009 INF 1410 14

)db(j)ca()jdc()jba(

)db(j)ca()jdc()jba(

2009

Kort om komplekse tall (forts)

Multiplikasjon av to komplekse tall:

For å definere divisjon, defineres først den konjugerte:

Hvis A=a+jb, så er den konjugerte A*=a-jb

Summen av et kompleks tall og dets konjungerte er et reelt tall

Differensen av et kompleks tall og dets konjungerte er et imaginært

tall

Produktet av et kompleks tall og dets kompleks konjungerte er et

imaginært tall

20.04.2009 INF 1410 15

)adbc(j)bdac()jdc)(jba(

2009

Kort om komplekse tall (forts)

Divisjon av to komplekse tall A=a+jb og B=c+jd:

20.04.2009 INF 1410 16

2222

22

dc

)adbc(j

dc

)bdac(

dc

)adbc(j)bdac(

jdc

jba

)B)(B(

)B)(A(

B

A

2009

Eulers identitet

Sinus og cosinus kan defineres ved rekkeutvikling

20.04.2009 INF 1410 17

!!!

cos642

1642

!!!

sin753

753

!!!!

jsinjcos5432

15432

2009

Eulers identitet (forts)

Den naturlige eksponentialfunksjonen defineres som

Dette gir følgende sammenheng mellom e, sin og cos

20.04.2009 INF 1410 18

!

z

!

z

!

zzez

4321

432

!!

j!

je j

4321

432

)sin(j)cos(e j

)ee(j)sin()ee()cos( jjjj

2

1

2

1

2009

Komplekse tall på eksponentiell form

Gitt et kompleks tall på formen A= a + jb. Det kan vises at

dette kan skrives som en eksponentialfunksjon på formen

der

20.04.2009 INF 1410 19

jCeA

221 baCoga

btan

2009

Imaginære kilder og responser

Det kan vises at en (co)sinus kilde også gir en (co)sinus

respons:

En imaginær kilde kan lages ved å multiplisere med j:

Siden dette tilsvarer å multiplisere med en konstant, blir

responsen

20.04.2009 INF 1410 20

)tsin(jVm

)tsin(jIm

2009

Komplekse kilder og responser

Ved superposisjon kan man vise at kompleks kilde gir

kompleks respons (adderer imaginær og reell kilde/respons)

En kompleks kilde på formen:

Gir derfor responsen

20.04.2009 INF 1410 21

)t(jmeV

)t(jmeI

2009

Hvorfor komplekse kilde/respons

Med komplekse signaler blir ligningene

for kretser med spoler/kondensatorer blir

rent algebraiske, og ikke integro-

differensialligninger

For å forenkle ytterligere, kan man

”fjerne” ejωt fordi dette alltid er med. Trenger da å vite amplituden Vm (Im) og θ

Det man står igjen med er:

i(t) (og v(t)) i tidsplanet tilsvarer I (og V )i

frekvensplanet. I og V kalles for phasor

20.04.2009 INF 1410 22

2009

Phasorligning for resistor

I tidsdomenet er spenning-strøm

relasjonen gitt av v(t)=Ri(t)

I frekvensdomenet er tilsvarende

likning

Denne kan forenkles til V=RI

Det er mao ingen vits å konvertere

en ren resistiv krets til signaler fra

tidsplanet til frekvensplanet.

20.04.2009 INF 1410 23

)t(jm

)t(jm eRI)t(RieV

2009

Phasorligning for spole

I tidsdomenet er spenning-

strøm relasjonen gitt av

v(t)=Ldi(t)/dt

I frekvensdomenet er

tilsvarende likning

Denne kan forenkles til V=jωLI

Betydelig forenkling

20.04.2009 INF 1410 24

)eI(dt

dLeV )t(j

m)t(j

m

2009

Phasorligning for kondensator

I tidsdomenet er spenning-

strøm relasjonen gitt av

i(t)=Cdv(t)/dt

I frekvensdomenet er

tilsvarende likning

Denne kan forenkles til I=jωCV

Betydelig forenkling

20.04.2009 INF 1410 25

)eV(dt

dCeI )t(j

m)t(j

m

2009

Oppsummering

Tidsdomenet Frekvensdomenet

20.04.2009 INF 1410 26

idtC

1v

dt

diLv

Riv

ICj

1V

LIjV

RIV

2009

Kirchhoffs lover med phasorer

I tidsdomenet er Kirchhoffs spenningslov lik

Det kan vises at i frekvensdomenet er

Med andre ord gjelder Kirchhoffs spenningslov

Tilsvarende kan vises for Kirchhoffs strømlov at denne

også gjelder i frekvensdomenet

20.04.2009 INF 1410 27

021 )t(v)t(v)t(v n

021 nVVV

2009

Eksempel

I tidsdomenet har kretsen følgende KVL:

I frekvensdomenet:

20.04.2009 INF 1410 28

)tsin(LR

LV)tcos(

LR

RV)t(i

)tcos(VRidt

diL

mm

m

222222

LjR

VI

VLIjRIVVV

s

ssLR

2009

Kompleks impedans

Impedans kan defineres i det frekvensdomenet som

forholdet mellom spenning og strøm:

Disse kan tenkes på som motstand i frekvensdomenet, og

uttrykker hvordan motstanden varierer med frekvensen ω:

Resistans R: Ingen frekvensavhengighet

Induktans L: Motstanden øker når frekvensen øker

Kapasitans C: Motstanden synker når frekvensen øker

20.04.2009 INF 1410 29

CjI

VZLIj

I

VZR

I

VZ CLR

1

2009

Kompleks impedans (forts)

Kompleks impedans består av resistans og reaktans

Resistans er reell og angis i Ω

Reaktans er imaginær og angis i jΩ

En ideel ohmsk motstand har 0 reaktans

Ideelle spoler og kondensatorer har 0 resistans

Det er mulig å lage kretser med spoler og kondensatorer som

har 0 reaktans

Kan eliminere frekvensavhengighet, slik at for en bestemt frekvens har

kretsen kun ohmsk motstand

20.04.2009 INF 1410 30

2009

Eksempel

Skal beregne den ekvivalente

motstanden for kretsen ved f=5rad/s

Beregner først de tilsvarende

komplekse impedansene

Motstanden i parallell med

kondensatoren (1) gir

20.04.2009 INF 1410 31

12

39820026550

406

406

.j.

.j

).j)((

ZZ

ZZZ||ZZ

CR

CRCR

2009

Eksempel (forts)

Kondensatoren i serie med spolen (2) gir

(1) og (2) utgjør to impedanser i serie:

Denne står i parallell med 10Ω

motstanden:

20.04.2009 INF 1410 32

12

92942554

60280265010

.j.

).j.(||Z||ZZ TR

902650

93982002650

21

j.

j.j.

ZZZ

910 jjj

ZZZ LC