forelesning nr.3 inf 1410 - uio
TRANSCRIPT
2009
Forelesning nr.3 INF 1410
Node og mesh-analyse
26.01.2009 INF 1410 1
2009
Oversikt dagens temaer
Bakgrunn og motivasjon
Nodeanalyse
Meshanalyse
Supernode og supermesh
Bruksområder for node- og meshanalyse
26.01.2009 INF 1410 2
2009
Hvorfor node- og meshanalyse
Relativt enkle kretser er analysert så langt i kurset
Har benyttet Ohm, KVL og KCL for å finne ukjente
strømmer/spenninger
For større og mer kompliserte kretser behøves en mer
systematisk tilnærming
Både node- og meshanalyse håndterer store kretser, og
er basert på hhv KCL og KVL
26.01.2009 INF 1410 3
2009
Nodeanalyse
Formål : Finne spenningene mellom noder i en krets
Spenningene uttrykkes som ligningssett med like mange
ligninger som noder med ukjente spenninger
Generelt: for å finne spenningene over nodene i en krets
med N noder trengs N-1 spenninger og N-1 ligninger
Referansenode: Node med v=0 relativt til andre noder
26.01.2009 INF 1410 4
2009
Nodeanalyse (forts)
26.01.2009 INF 1410 5
Gitt kretsen i (a): Ønsker å finne spenningene i kretsen
Tegner om kretsen (b) for å markere de 3 nodene tydelig
2009
Nodeanalyse (forts)
26.01.2009 INF 1410 6
Velger node 3 som referansenode (c) og kaller de to andre
nodespenningene for v1 og v2 relativt til referansenoden
2009
Nodeanalyse (forts)
26.01.2009 INF 1410 7
Utrykker strømmene inn og ut av hver node (bortsett fra
referansenoden) vha KCL
Setter summen av strømmene inn i nodene via
stømkildene = summen av strømmene ut via motstandene
2009
Nodeanalyse (forts)
26.01.2009 INF 1410 8
KCL for node 1:
KCL for node 2:
Legg merke til hvordan spenningen over motstandene
beregnes: Spenningen i den gitte noden står alltid først i
uttrykket for spenningdifferensen (dvs node 1: v1 – v2, og
node 2: v2 – v1)
3.15
vv
2
v 211
).( 415
vv
1
v 122
2009
Nodeanalyse (forts)
26.01.2009 INF 1410 9
• Tilslutt løses ligningssystemet med to ligninger i to ukjente:
• Om ønskelig kan de individuelle strømmene gjennom
motstandene og effektforbruket beregnes
VV 25 21
2121
122211
vv
1.41.2v0.2v3.10.2v0.7v
1.4)(5
vv
1
v3.1
5
vvv
2009
Eksempel med 3 ukjente
Utfordringen når krets-
kompleksiteten øker er å
identifisere antall unike noder
Kan lønne seg å tegne om deler
eller hele kretsen
Kretsen til høyre har i alt 4
noder; tydeligere etter at den er
tegnet om
26.01.2009 INF 1410 10
2009
Eksempel med 3 ukjente (forts) Node 1:
Node 2:
Node 3:
26.01.2009 INF 1410 11
132347
43
321
312
vvv
vvv1v3-8
633317
1733
321
2321
vvv
vvvv) 2v
(
3500832035
54725
321
3132
vvv
vvvv) 3v
(
2009
Oppsummering enkel nodeanalyse
Når antall noder er identifisert, er det rett frem å sette
opp KCL for hver node, gitt referansenoden
Metoden krever at man kan løse N ligningssett med N
ukjente
Nodespenningene finnes ved å løse ligningssystemene
Ligningsystemene kan løses vha verktøy som Matlab
eller Mathematica, metoder fra lineær algebra (Cramers
regel), med rå håndkraft, etc.
26.01.2009 INF 1410 12
2009
Supernoder
Kretser som inneholder
spenningskilder kan gi
problemer ved utledning av
KCL for en eller flere noder
Fordi strømmen gjennom en
spenningskilde er uavhengig
av spenningen, kan ikke
strømmen utledes korrekt
med KCL
26.01.2009 INF 1410 13
2009
Supernoder (forts)
Løsning på problemet: Supernoden
Supernoden kombinerer noder som
har kun en spenningskilde mellom seg
Siden strømmen ut og inn av
enkeltnodene er null, må også
strømmene ut og inn av supernoden
være null
KCL kan derfor brukes på supernoden
Siste ligning er gitt av spenningskilden
26.01.2009 INF 1410 14
2009
Supernoder (forts)
Ligningen for referansenode 1
uforandret
For supernoden (node 2 og 3):
Bruker spenningen mellom node 2 og
3 som siste ligning:
26.01.2009 INF 1410 15
1680278035
1543
321
23131
vvv
vvvvv2v325
132347 321 vvv
2232 vv
2009
Supernode med motstand mellom nodene
Kaller de to nodene 1 og 2
KCL for supernoden blir
I tillegg er
Dette gir v1 = 5.375 og v2 = 0.375
26.01.2009 INF 1410 16
1362
3
1
3
1
6
1
2
149
12
122121
vv
vvvvvv
521 vvStrømmene gjennom
parallellmotstanden ut av hver
enkeltnode utligner hverandre
12
2009
Supernode med flere typer kilder
Kretsen til høyre inneholder både
avhengige og uavhengige strøm-
og spenningskilder
Har to supernoder (1-ref og 3-4)
Får følgende ligning for node 2:
For supernoden 3-4
26.01.2009 INF 1410 17
14250
3212 vv
.
vv
521250 14423
.
vvvvvv. x
2009
Supernode med flere typer kilder (forts)
Trenger deretter å utlede
kontrollspenningene (KVL) for de
avhengige kildene:
Kan nå finne strømmen fra den
avhengige strømkilden:
26.01.2009 INF 1410 18
)vv(.v.
v.vv
y
y
14
43
2020
20
)vv(.v. x 125050
2009
Supernode med flere typer kilder (forts)
Ved å sette inn for vx og vy kan
man løse ligningssettet med KCL
for å finne v1, v2, v3 og v4
Dette gir følgende:
v1=3v, v2=-4v, v3=0v og v4=-2v
26.01.2009 INF 1410 19
01.2vv0.2v
12v
01.4v0.5vv0.1v
140.5v2.5v2v
431
1
4321
321
2009
Meshanalyse
Nodeanalyse basert på KCL er generell og fungerer på alle
typer kretser
Meshanalyse fungerer bare på kretser med spesiell topologi,
er basert på KVL og er som regel ”enklere” å anvende
Meshanalyse kan bare brukes på planare nettverk, dvs
nettverk der grener ikke krysser hverandre:
26.01.2009 INF 1410 20
2009
Meshanalyse (forts)
Et mesh defineres som ”en løkke som ikke inneholder andre
løkker”
26.01.2009 INF 1410 21
a) og b) ikke løkker
c) og d) løkker men ikke
mesh
e) og f) både løkker og
mesh
2009
Meshanalyse (forts)
Sentralt i mesh-analyse er mesh-strømmen, som defineres
som strømmen som går rundt omkretsen eller periferien av
kretsen
26.01.2009 INF 1410 22
I kretsen til høyre kan KVL brukes
for å finne i1 og i2:
Dette gir at i1=6A, i2=4A og (i1-i2)=2A
01043
03642
221
211
i)ii(
)ii(i
2009
Meshanalyse (forts)
Definerer nå mesh’er og meshstrømmene for kretsen fra
forrige side:
Har to mesh’er, og definer retningen for meshstrømmene slik
vist (med klokka).
Bruker ikke direkte strømmer gjennom grener
Strømmen gjennom grener som deles av flere mesh’er må
utledes separat. (strømmen gjennom 3Ω-motstanden er i1-i2)
26.01.2009 INF 1410 23
2009
Meshanalyse (forts)
Ligningene for strømmene blir identiske de for tilfellet med
eksplisitte strømmer gjennom elementer (greiner)
26.01.2009 INF 1410 24
010432
036421
221
211
i)ii(:MESH
)ii(i:MESH
2009
26.01.2009 INF 1410 25
010954
03410
3222122
211
)ii(ii)ii(:i
)ii(:i
Meshanalyse (forts) Ønsker å finne meshstrømmene i1 og i2
Setter opp ligningene:
• Trenger en ligning til og setter opp for
for meshstrøm i3:
• Har nå tre ligninger med tre ukjente. Ved å løse disse finner
man at i1=2.220A og i2=470mA
07i1i)i10(i3:i 33233
2009
26.01.2009 INF 1410 26
Supermesh
Tilsvarende som ved nodeanalyse
vil strømkilder lage krøll fordi
spenningen over dem er uavhengig
av strømmen
Lager en supermesh ved å slå
sammen to mesh’er som har en
strømkilde felles. Grenen med
strømkilden utelates
Lager her en supermesh av i1 og i3,
og hvor strømkilden på 7A og 2Ω
motstanden er ”fjernet”
2009
26.01.2009 INF 1410 27
Supermesh (forts)
Får da følgende meshligninger:
• Sammenhengen mellom strømkilden
og meshstrømmene er
• Her er da 3 ligninger i 3 ukjente, og
dette gir i1=9A, i2=2.5A og i3=2A
744
01317
32131
3232131
iii:i
i)ii()ii(:i
036
0321
3212
322122
iii:i
)ii(i)ii(:i
Aii 731
2009
26.01.2009 INF 1410 28
Node versus Meshanalyse
Hvis kretsen som skal analyseres ikke er planar, må
nodeanalyse basert på KCL benyttes
Nodeanalyse gir maks N-1 KCL ligninger med N-1 ukjente som
i en krets med N noder
Meshanalyse gir opphav til maks M KVL ligninger for en krets
med M mesh’er
Hvis mulig velges metoden som gir færrest ligninger (enklere)
Hver supernode/supermesh reduserer antallet node/mesh-
ligninger som må utledes med 1
2009
26.01.2009 INF 1410 29
Node versus Meshanalyse (forts)
Hvis kretsen har avhengige kilder, kan én metode være å
foretrekke fremfor en annen
Ved nodeanalyse vil ikke en spenningskilde kontrollert av en
nodespenning kreve en ekstra ligning
Ved meshanalyse vil ikke en avhengig strømkilde kontrollert av
en meshstrøm kreve en ekstra ligning.
Hvis strømkilden er spenningskontrollert kan nodeanalyse
være enklere
Hvis spenningskilden er strømkontrollert kan meshanalyse
være enklere
2009
26.01.2009 INF 1410 30
Node versus Meshanalyse (forts)
Hvis strømkilden (uansett type) ligger langs periferien av en
mesh, håndteres dette enklest i meshanalyse
Hvis spenningskilden (ansett type) er koblet til referansenoden,
håndteres dette enklest ved nodeanalyse
Valg av analysemetode kan påvirkes av hva man ønsker finne;
(spenninger over noder eller strømmer gjennom elementer)
• Konklusjon: Ingen av analysemetodene har klar fordel fremfor
den andre