FORME INDETERMINATENel calcolo di limiti , rappresentanosoluzioni non determinate. Esse sono:

PER “TOGLIERE L’INDETERMINAZIONE”uso procedimenti che dipendono dai vari casi

TUTORIAL DELLA PROF.SSA PAOLA BARBERIS - agg. 2014

+! " !!

!

0

0

0i! 1! 0

0

!0

F. RAZIONALE INTERA: Forma Ind +∞-∞

I METODO Per eliminare l’indeterminazione: RACCOLGO la X di grado max

�

limx!+"

x31#2

x+1

x2#4

x3

$

% &

'

( )

raccolgo x3 e,dentro la parentesi,divido i monomi per x3

IMPORTANTE : dentro la parentesiDEVO SEMPLIFICAREE poi “ passo a l limite “ sostituendo

�

limx!+"

x31#2x

2

x3

+x

x3#4

x3

$

% &

'

( )

�

= (+!)3 " 1#2

+!+1

+!#4

+!$

% &

'

( ) = +!" (1# 0 + 0 # 0) = +!

Il

limx!+"

x3# 2x

2+ x # 4

sostituisco

= + " # " + " # 4 = +" # " Forma Indeterminata

II METODO ( VELOCE) : considero INFINITO DI ORDINE SUPERIORE*

limx!+"

x3# 2x

2+ x # 4= lim

x!+"

x3= (+")

3= +"

* La x con esponente più alto

Es1) F. IND. +∞-∞

I METODO : RACCOLGO LA X DI GRADO MASSIMO (x5)

Ora “passo al limite” (sostituendo) e ottengo:

�

limx!"#

x5 "8 "

2x2

x5

+7

x5

$

% &

'

( ) = lim

x!"#x5 "8 "

2

x3

+7

x5

$

% &

'

( ) =

�

= (!")5# !8 ! 0 + 0( ) = !"# (!8) = +"

limx!"#

" 8x5" 2x

2+ 7

sostituisco

= + # " # + 7 = +# " #

limx!"#

" 8x5" 2x

2+ 7

II METODO ( VELOCE) : considero INFINITO DI ORDINE SUPERIORE

limx!"#

" 8x5" 2x

2+ 7 = lim

x!"#

" 8x5= "8("#)

5= "8("#) = +#

Es2) F. IND +∞-∞

�

limx!"#

2x4

+ 5x2

+ x + 3 = +# + #"# + 3 = +#"#

I METODO: RACCOLGO LA X DI GRADO MASSIMO (x4)

�

limx!"#

x42 +

5

x2

+1

x3

+3

x4

$

% &

'

( ) =

semplificodentro la parentesi.

Ora “passo al limite” esostituisco -∞ al posto della x

�

limx!"#

x42 +

5x2

x4

+x

x4

+3

x4

$

% &

'

( ) =

�

= (!")4# 2 + 0 + 0 + 0( ) = +"# 2 = +"

limx!"#

2x4+ 5x

2+ x + 3

II METODO ( VELOCE) : considero INFINITO DI ORDINE SUPERIORE

limx!"#

2x4+ 5x

2+ x + 3 = lim

x!"#

2x4= 2("#)

4= +#

∞/∞ FUNZIONE RAZIONALE FRATTA

�

limx!+"

x3

+ 3x2# 2

x2# 7x # 4

="

"

Il

�

limx!+"

x3 # 1+

3x2

x3$2

x3

%

& '

(

) *

x2 # 1$

7x

x2$4

x2

%

& '

(

) *

= limx!+"

x1 # 1+

3

x$2

x3

%

& '

(

) *

1# 1$7

x$4

x2

%

& '

(

) *

=(+")1 # 1+ 0 $ 0( )

1# 1$ 0 $ 0( )= +"

REGOLA PRATICASe gradoNUM > gradoDEN il risultato è infinito ∞Se gradoNUM = gradoDEN il risultato è finito lSe gradoNUM < gradoDEN il risultato è zero 0

limx!+"

x3+ 3x

2# 2

x2# 7x # 4

! limx!+"

x3

x2= lim

x!+"

x

1= +"

I METODO:RACCOLGO

LA X DIGRADO MAX

II METODOveloce

CONSIDEROINFINITI

ORDINE SUP

Es 1: FORMA IND ∞/∞limx!+"

9x2+ 3x + 7

5x2+ 6x #1

="

"

Il

=1 ! 9 + 0 + 0( )

1 ! 5 + 0 " 0( )=9

5

PASSANDO AL LIMITELE FRAZIONI CON DEN INFINITO

TENDONO A 0�

limx!+"

x2 # 9 +

3x

x2

+7

x2

$

% &

'

( )

x2 # 5 +

6x

x2*1

x2

$

% &

'

( )

= limx!+"

1# 9 +3

x+7

x2

$

% &

'

( )

1# 5 +6

x*1

x2

$

% &

'

( )

=

I METODO:RACCOLGO

LA X DIGRADO MAX

II METODO:CONSIDERO

INFINITIORDINE SUP

limx!+"

9x2+ 3x + 7

5x2+ 6x #1

! limx!+"

9x2

5x2= lim

x!+"

9

5=9

5

GradoNUM=gradoDEN

Es 2: FORMA IND. ∞/∞limx!"#

"x3+ 4x

2+ 2

3x5" 7x + 4

=#

#

Il

limx!"#

x3 $ "1+

4x2

x3+2

x3

%&'

()*

x5 $ 3"

7x

x5+4

x5

%&'

()*

= limx!"#

1 $ "1+4

x+2

x3

%&'

()*

x2 $ 3"

7

x4+4

x5

%&'

()*

=

GRADO DEL NUMERATOREMINORE DI QUELLO DELDENOMINATORE

=1 ! "1" 0 " 0( )

("#)2! 3" 0 " 0( )

="1

+#= 0

"

I METODO:RACCOLGO LA X

DI GRADOMAGGIORE

II METODO:CONSIDERO

INFINITI ORDINESUPERIORE

limx!"#

"x3

3x5= lim

x!"#

"1

3x2=

"1

3("#)2=

"1

+#= 0

"

∞/∞ METODO VELOCE

Il

limx!"#

2x4" 5x +1

"2 + 8x! lim

x!"#

2x4

+8x=2x

3

8=2("#)

3

8= "#

limx!+"

4 # 7x3

x3+ 2x

! limx!+"

#7x3

x3

=#7

1= #7

limx!"#

6x3+ x +1

"2x5+ x " 2

! limx!"#

6x3

"2x5=

3

"x2!

3

"("#)2=

3

"(+#)= 0

"

RAPPORTO FRA INFINITI DI ORDINE SUPERIOREcioè le x di grado maggiore. Esempi:

limx!+"

+4x3+ x

2#1

#9x4+ 7

! limx!+"

+4x3

#9x4= lim

x!+"

+4

#9x=

+4

#9(+")=+4

#"= 0

#a)

b)

c)

d)

0/0 FUNZIONE RAZIONALE FRATTA

limx!3

x3" 4x

2+ 3x

x2" 9

=0

0

SCOMPONGO NUMERATORE e DENOMINATORE o con le regole di scomposizione (se possibile) o con Ruffini (sempre possibile con K= valore a cui tende x )

Forma INDETERMINATA

Il

limx!3

x(x " 3)(x +1)

(x + 3)(x " 3)= lim

x!3

x(x +1)

(x + 3)=12

6= 2

Otterrò sempre un FATTORE che SI SEMPLIFICA, in questo caso (x-3),“MANDANDO VIA” L’INDETERMINAZIONE

Es 1 - FORMA IND: 0/0

�

limx!2

x3

+ 4x2

+ 4x

x2" 3x + 2

=0

0

SCOMPONGO NUMERATORE e DENOMINATORE

Forma INDETERMINATA

Il

�

limx!2

x(x " 2)2

(x " 2)(x "1)= lim

x!2

x(x " 2)

(x "1)=0

1= 0

IL FATTORE (x-2) SI SEMPLIFICAE “MANDA VIA” L’INDETERMINAZIONE

Es 2- FORMA IND: 0/0

�

limx!4

x3" 2x

2" 32

x2" 3x " 4

=0

0

SCOMPONGO con RUFFINI [ k=4 ]e poi semplifico (x-4)

Forma INDETERMINATA

Il

�

limx!4

(x " 4)(x2

+ 2x + 8)

(x " 4)(x +1)= lim

x!4

x2

+ 2x + 8

(x +1)=32

5

1 -2 0 -32K=4 4 8 +32 1 2 8 0

1 -3 -4

K=4 4 4

1 1 0

Es 3 - FORMA IND: 0/0

limx!"2

x4" x

2"12

x5+ x + 34

=0

0

SCOMPONGO con RUFFINI e poi semplifico

Forma INDETERMINATA

Il

limx!"2

(x + 2)(x3" 2x

2+ 3x " 6)

(x + 2)(x4" 2x

3+ 4x

2" 8x +17)

= "28

81

1 0 -1 0 -12K=-2 -2 +4 -6 +12 1 -2 +3 -6 0

1 0 0 0 1 +34

K=-2 -2 4 -8 +16 -34

1 -2 4 -8 +17 0