FORMULACION DE KIRCHOFF PARA VEHICULOS MARINOS.

R . Raygosa Cinvestav Saltillo Depto. Robótica y Manufactura Avanzada

DOCUMENTO PARA REVISION VERSION FEBRERO 2009 En vehículos marinos es usual considerar el movimiento de la tierra como despreciable y a su vez considerar un punto sobre la superficie de la tierra como inercial. Esto puede sugerir referir la posición y orientación de un cuerpo respecto a un marco inercial fijo a la tierra en tanto que la velocidad y aceleración referidas a un marco fijo al cuerpo. Consideremos la posición y orientación referidas al marco inercial agrupadas en el vector : [ ]Tzyx ϕθφη ,,,,,= o [ ]TT

21 ,ηηη = Donde =T

1η [ ]Tzyx ,, y [ ]Tϕθφη ,,2 = Fijaremos un marco no inercial al cuerpo [ ]Tzyx 0000000 ,,,,, ϕθφη =

Buscamos una ecuación que nos relaciones •

η con 0

•

η = T

zyx ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ••••••

000000 ,,,,, ϕθφ donde

0

•

η lo llamaremos v y T

zyx ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ••••••

000000 ,,,,, ϕθφ lo renombraremos como [u,v,w,p,q,r]

este vector representa las velocidades de traslado y rotación visto desde el marco de referencia fijo al cuerpo. Las componentes de v pueden subdividirse de la manera siguiente

== ],[ 21TT vvv

T

zyx ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •••

000 ,, , T

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •••

000 ,, ϕθφ .= [ ]wvu ,, , [ ]rqp ,,

Nuestra meta es buscar una relación de la forma

vJ 2 )(ηη =•

(1) Esto es una ecuación que nos relacione las velocidades medidas desde el cuerpo del vehiculo sujeto a aceleración y vista por un observador fijo en el marco inercial.

Derivada de un vector en un Marco no inercial vista desde un Marco inercial Consideremos la figura siguiente Figura Marco rotado y trasladado [1] La derivada de un vector que se encuentra en un marco no inercial vista desde un marco inercial 1 es ta dada por la siguiente relación.

VωdVdV×+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

cuerpoinercial dtdt (3)

Esta que aplica para cualquier vector en un marco no inercial . Para el caso de un vector

de posición tendremos que rrr 0 ×+=••

ω es decir la velocidad vista desde el marco inercial será igual a la vista desde el marco no inercial más un término debido a la

rotación del cuerpo. Consideremos rotación pura es decir •

r =0 para este caso la velocidad resultante será igual a r×ω donde r es el radio vector referido al marco inercial . 1 Para mayor detalle ver [1]

00 rr ×=•

ω (4) Transformación entre Marcos Un vector r en un marco de referencia (x,y,z) puede ser expresado en un marco de referencia ( 000 zyx ,, ) a través de una transformación 1

100 rRr •= .

Por otra parte consideremos el vector r definido en el marco cartesiano (x,y,z) el cual esta rotado respecto a un marco e que tiene sus ejes paralelos al marco inercial

),,( 000 zyx . Podemos expresar a r en términos del marco inercial mediante una matriz de transformación 0

bR esto es B

0B0 PRP = . (5)

Aplicando este razonamiento a 1 tenemos

vR0B=

•

η

10B1 vR=

•

η (6)

20B2 vR=

•

η

En los textos de robotica[3] se expresan esas relaciones como

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡•

•

•

•

2

1

22

21

2

1

q

qxJ0

0xJ

xx

)()(

Identificando términos

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡•

•

2

1

22

21

2

1

vv

J00J

)()(

ηη

η

η

1

•

η = 121 vJ )(η

2

•

η = 221 vJ )(η

La relación inversa entre las velocidades se puede escribir:

121

11 Jv•

−= ηη )(

221

22 Jv•

−= ηη )( En forma de matriz

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡•

•

2

1

22

21

2

1

vv

J00J

)()(

ηη

η

η

Aplicando a 5 la derivada temporal

BB0B

B00 PRPRP &&& +=

•

(7) Por facilidad consideraremos ahora solo rotación por ende el segundo termino del lado derecho es cero y la ecuación (7) queda omitiendo subíndices por facilidad

B0 PRP &=•

(8) Premultiplicando por R RT y recordando que RPb es igual a P0

0T

0 PRRP &=•

(9)

Comparando con (4) 00 rr ×=•

ω obtenemos la relación )(][ ωω RSRR T ==× & 2 10 Energía cinética la energía cinética de un cuerpo esta definida como 1/2mv2. Un cuerpo en un marco no inercial tendrá una velocidad referida a un marco inercial igual a vinercial=vcuerpo+ ω x r Aplicando el producto y eliminando índices tendremos E cinética = 22

ccc2ccccc mr2

1vmrmv21rvrvm2

1 ωωωω ×+×+=×−×− ())((

En forma vectorial

ωωω gT

cT I

21rmVVmV

21K +×+= ][ 3 (11a)

ωω cT

cT

c I21VmV

21K += (11b)

Una descripción mas compacta se obtiene al definir un wrench de velocidades como

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ωv

V (12) la energía cinética se podrá describir como MVV

21K C= (13)

donde M estará definida por la siguiente matriz

[ ]

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

×−

gc

c3

IrmrmmI

(14)

2 S(ω) ver referencia [2] 3 m ×2r lo reconocemos como la Inercia

Formulación de Kirchoff de las ecuaciones dinámicas de Movimiento. EL MOMENTO LINEAL Sea el momento angular referido a un marco rotado, podemos trasportarlo a un marco de referencia a través de una matriz de rotación esto es

vKR

dKP

∂∂

=∂∂

= (15)

Derivando respecto al tiempo tenemos

vKR

vK

dtdRP

∂∂

+∂∂

=••

vKRS

vK

dtdRP

∂∂

+∂∂

=•

)(ω

cRfvK

vK

dtdRP =⎟

⎠⎞

∂∂

×+∂∂

⎜⎝⎛=

•

ω (16)

EL Momento angular Obtener la ecuación del momento angular es un poco mas complicado que en el caso del momento lineal. El momento angular de un solidó rígido en rotación se define como L= ωIPr +× (17) Donde

• P momento lineal • I inercia referida al centro de masa • ω Frecuencia angular de giro

Derivando 11b respecto a ω tenemos que

cRIKR ωω=

∂∂

Luego L puede ser vista como

ω∂∂

+×=KRPrL (17b)

Derivando respecto al Tiempo

ωω ∂∂

+∂∂

+×+×=••• k

dtdRKRPrPrL

ωωω

∂∂

+∂∂

×+×+∂∂

×=K

dtdRKRfrRR

vKvL 1 (18)

Reacomodando terminos

ωωω

∂∂

+∂∂

×+∂∂

×+×=K

dtdRKRR

vKvfrRL 1

⎟⎟⎠

⎞

∂∂

+∂∂

×+∂∂

×+×⎜⎜⎝

⎛=

ωωω K

dtdK

vKvfrRL 1 (19)

En 19 podemos identificar al primer termino del lado derecho como el momento lineal en la ecuación 16 y finalmente obtenemos )( 11 nfrRL +×= donde

cftK

vK

dtd

=∂∂

×+∂∂ ω (20)

1nK

dtdK

vKv =

∂∂

+∂∂

×+∂∂

×ωω

ω (21)

Referencias: [1] A.Fetter Theoretical Mecahanics of Particles and Continua McGraw Hill 1980 [2] E., Olguin “Equations of 3D Motion for Rigid Bodies” Cinvestav Mexico 2008 [3] Spong M.W., Vidyasagar M. Robot dynamics and control. John Wiley, New York 1989