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Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 1
2. Wärmeleitung – analytische Methoden
Fourier’sches Grundgesetz erlaubt makroskopische Beschreibung der
mikroskopischen Vorgänge bei der Wärmeleitung:
Wärmestromdichte ist proportional zu dem
Temperaturgradienten in diese Richtung
nqn
~
n hat die Richtung der Flächennormalen
Wärmestromlinien senkrecht zu Isothermen
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 2
gradq Fourier‘sches Gesetz der
Wärmeleitung (allgemein)
Temperaturgradient: -Vektor, dessen Richtung identisch mit Richtung des
des größten Temperaturanstiegs in einem Körper ist
- Betrag dieses Vektors entspricht dem Wert des größten
Temperaturanstiegs
- steht senkrecht auf Niveaulinie (Isotherme)
nd
d
z
y
x
grad max
/
/
/
Wärmestromlinien senkrecht zu Isothermen
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 3
Minuszeichen stellt Richtung des Wärmestroms sicher.
Wärmeleitfähigkeit (Stoffwert wie z.B. Dichte, cp, etc.)
Km
W
xq
A
Qx
x
Für 1- dim. Fall:
ˆ
Da in Feststoffen die beste Wärmeleitung durch die freien Elektronen erzeugt
wird:
Analogie zwischen elektrischer und thermischer Leitfähigkeit.
hängt überwiegend vom Material, aber auch von der Temperatur ab.
Thermal conductivity
siehe Stoffwertesammlung
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 5
Fourier’sches Gesetz kann für alle Geometrien angewendet werden. Es gilt
auch wenn nichtlinear.dx
d
x1x x
an der Stelle x1:
1
1
x
xx
q
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 6
2.2 Herleitung der Grundgleichungen:
( Bestimmung der Temperaturfelder)
Hinweis: Taylor-Reihe
3
3
32
2
2
!3
1
!2
1dx
x
xTdx
x
xTdx
x
xTxTdxxT
da 𝒅𝒙 ≫ 𝒅𝒙 𝟐 ≫ 𝒅𝒙 𝟑 gilt näherungsweise im Folgenden:
dxx
xTxTdxxT
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 7
Gleichungen für Temperaturfelder
),,,,( *qtzyx
1. Eindimensionales, stationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen
2. Eindimensionales, instationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen
3. Dreidimensionales, instationäres Temperaturfeld mit Wärmequellen
ˆq Wärmesenke / -quelle
3m
W
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 8
2.2.1 Eindimensionales, stationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen
0;0;0:)( *
q
tzyx
dzdyqQ dxxdxx dzdyqQ xx
.constdzdydAx
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 9
2.2.1 Eindimensionales, stationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen
Wärmestrombilanz:
dxdx
d
dx
d
dx
ddxq
dx
dqq
dx
dq
dx
dq
dzdyqdzdyqQQ
xxdxx
dxxdxx
xx
dxxxdxxx
abzu
in Wärmestrombilanz:
für
0
dx
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
)(
)x(
0
dx
d2
2
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 10
2.2.2 Eindimensionales, instationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen
0;0;0:),( *
tq
zytx
dzdyqQ dxxdxx dzdyqQ xx
.constdzdydAx
dt
Ed akku
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 11
2.2.2 Eindimensionales, instationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen
Wärmestrombilanz:dt
dEdzdyqdzdyq akku
dxxx
ct
dzdydxcdVtdt
dE
dxxxx
q
xq
akku
dxx
x
dV
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 12
2.2.2 Eindimensionales, instationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen
xxt
c
ct
dzdydxdzdydxxxx
dzdyx
mit konstanten Stoffgrößen:
2
2
xtc
mit
ca
Temperaturleitfähigkeit
thermal diffusivity
)(,,
)(,,
fc
xfc
2
2
xa
t
für
s
ma
2
3m
kg
Kkg
Jcp
Km
W
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 13
2.2.3 Dreidimensionales, instationäres Temperaturfeld mit Wärmequellen /
Wärmesenken
),,,,( *qtzyx (allgemeiner Fall)
dydxqQ zz
dzdxqQ dyydyy
dzdyqQ dxxdxx
dzdxqQ yy
dydxqQ dzzdzz
dt
dEakku
dVq*
dzdyqQ xx
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 14
2.2.3 Dreidimensionales, instationäres Temperaturfeld mit Wärmequellen
Wärmestrombilanz:
dVqdt
dEdAqdAq
dt
dEdAqdVqdAq
akkuausauseinein
akkuausauseinein
*
*
entsprechend 2.2.1 und 2.2.2:
*)(
qdzdydxt
cdzdydx
zzdzdydx
yydzdydx
xxdzdydx zyx
mit konstanten Stoffgrößenc
q
zyxa
t
*2
2
2
2
2
2
+ Wärmequelle: z.B. durch exotherme Reaktion
- Wärmesenke: z.B. durch endotherme Reaktion
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 15
Zylinder-Koordinaten:
cos
sin,,
rx
ryzr
Stationär, ohne Wärmequellen „Laplace Gleichung
02
2
2
2
2
2
zyx
0*
2
2
2
2
2
2
q
zyx
Stationär, mit Wärmequellen „Poisson-Gleichung“
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 16
2.2.4 Zusammenstellung der Gleichungen für den allgemeinen Fall
eines Temperaturfeldes mit konstanten Stoffwerten
4.1 in kartesischen Koordinaten
pc
qa
t
*2
pc
q
zyxa
t
*2
2
2
2
2
2
4.2 in Zylinder - Koordinaten
pc
q
zrrrra
t
*112
2
2
2
22
2
4.3 in Kugel - Koordinaten
pc
q
rrrrrra
t
*
sin
1
sin
cos122
2
2222
2
22
2
OperatorLaplace :2
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 17
2.3 Randbedingungen
Zur Lösung der DGL benötigt:
a) für instat. Fall Anfangsbedingung (t = 0)
b) immer Randbedingungen an der Außenseite des Körpers.
3. Mögliche Randbedingungen:
• 1. Art: Temperaturen an der Außenseite sind bekannt.
• 2. Art: Wärmeströme an der Außenseite sind bekannt.
q
xBz
x
0
..
x = 0
q
00
xx
)adiabat(0q:Sonderfall
> waagerechte Tangente
Beheizung.elektr.constq
onKondensatigVerdampfunconstW ,.
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 18
• 3. Art:
0
0..
x
xdx
dBz
WanddieanUmgebungvonund
x = 0
0x
q
Konvektion Wärmeleitung
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 19
2.4 Dimensionslose Kennzahlen
dimensionsfrei
Anzahl der Variablen reduziert
physikalisches Verständnis wird vereinfacht
2
2
/
/Re
Lu
LuLu
Beispiel: Reynolds-Zahl
Wärmeleitung:
Wärmedäm-
mung
Lxq
dx
dq
Lx
L
q
x
ätheViskositkinematiscs
m
2
Viskositätdynamischems
kg
Osborne Reynolds
(1842-1912)
𝑩𝒆𝒔𝒄𝒉𝒍𝒆𝒖𝒏𝒊𝒈𝒖𝒏𝒈𝒔𝒌𝒓ä𝒇𝒕𝒆
𝑹𝒆𝒊𝒃𝒖𝒏𝒈𝒔𝒌𝒓ä𝒇𝒕𝒆
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 20
per DefinitionL
x
a
2L
ta
Fo >> 1 : d.h. lange Zeiten, hohe - Werte, kleines L
Annäherung an stat. Zustand
Fo in Größenordnung 1 : thermische Transienten von Bedeutung
Fo << 1 : Wärmeleitung hat das Innere des Körpers noch
nicht erreicht
Jean Baptiste Joseph Fourier
(1786-1830)
Fo
𝝉 =𝑾ä𝒓𝒎𝒆𝒍𝒆𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈 ü𝒃𝒆𝒓 𝑳
𝒈𝒆𝒔𝒑𝒆𝒊𝒄𝒉𝒆𝒓𝒕𝒆 𝑾ä𝒓𝒎𝒆 ü𝒃𝒆𝒓 𝑳
𝝉 = 𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒊𝒐𝒏𝒔𝒍𝒐𝒔𝒆 𝒁𝒆𝒊𝒕 (= 𝑭𝒐𝒖𝒓𝒊𝒆𝒓 − 𝒁𝒂𝒉𝒍 𝑭𝒐)
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 21
L
Lx
Lxdx
dqund mit
dt
d
ax
12
2
aus Gl. für instationäre
1d-WL:
d
d
2
2
folgt:
L
Vc
At
Vc
LLtL
L
L
L
t
cL
taFo
ppp
22
xAQ
tQQ
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 22
Bsp: instationäre Wärmeleitung
0
t
L
ngWärmeleitu
portWärmetransrkonvektiveZahlBiot
LBi
per Definition
Bi >> 1 : große Temperaturgradienten
Bi << 1 : homogene Temperaturverteilung
Jean Baptiste Biot
(1774-1862)
WärmestromgeleiteterKörperim
Wärmestromgeführterzuabkonvektiv
LA
A
LA
A
L
LLLBi
/
tandangswidersWärmeüberg
iderstandWärmeleitwBi
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 23
2.5 eindimensionale Wärmeleitung im stationären Zustand
2.5.1 Ebene Platte:
2
1
s
eQ
aQ
x
QQQ ae
dx
dAQ
2
10
ddxA
Qs
xf ,
21
As
Q
aus Vergleich mit AQ sw
folgt:
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 24
2.5.2 Zusammengesetzte ebene Wände (anhand eines Beispiels):
0,15 0,15
0,04
Km
Wi 2
10
mK
W5,0
QKm
Wa 2
30
Ca 10
mK
W05,0
i
1
2
3
4
a
x
Innen Aussen
.constdx
dq
Stationär
dx
d
dx
d
Wärmedämmung:
Backstein:
Ci 20
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 25
2111)( iiaikqA
Q
aa 4433322
aaii AAAAAkA
111111
332211
26,19
m
Wq
3
33
2
22
1
11
s;
s;
s
mit
Cq ii 04,1811 Wandtemperatur:
Km
W652,0k
2
aaq 4 C
q
a
a 3,930
6,19104
Innenseite
Aussenseite
k Wärmedurchgangskoeffizient (overall heat transfer coefficient)
„scheinbare 𝛂“ für
Wandschichten
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 26
2.5.3 Wärmeleitung in radialer Richtung (stationär)
2.5.3.1 Zylindrische Wände
z.B. Rohre, Reaktoren.
1
2
aQiQ
ir
ar
Skizze
L
QQQ ai Bilanz:
Kinetik an der Stelle r:r
rrdr
dAQ
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 27
LrAr 2rdr
dLrQ
2
2
1
2
dQ
L
r
dra
i
r
r
12
2ln
Q
L
r
r
a
i
21
ln
2
i
a
r
r
LQ
mit folgt:
AQvgl.:
i
a
r
r
LA
ln
2
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 28
2.5.3.2 Kugelschalen
24 rAmitdr
dAQ r
r
r
rdr
drQ
24
2
1
42
dQr
dra
i
r
r
2111
4
ai rr
Q
1
2
Q
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 29
21min 4 ia rQrfür
Beachte: Auch wenn , hat man immer noch einen minimalen
Wärmedurchgang. Bei der ebenen Wand und dem Zylinder ist
das nicht so . 0Qda
2.6 Formkoeffizienten F*
21* FQ
ad
• stationär
• mehrdimensional
• = const.
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 31
2.7 Kontaktwiderstände
bisherige Annahme:
• perfekter Kontakt zwischen
z.B. Zylinderschalen
Rauhigkeit, Luft,
Kontaktwiderstand
tatsächlich:
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 32
4
43,
3
32,
2
21,
1
11111
KKK RRR
k
RK hängt ab von Materialpaarung,
Oberflächenbeschaffenheit und
Anpressdruck
Bsp: Al – Al – Platten
Pa10p 5W
Km0005,0...00015,0R
2
K
K
KR
k1
Beachte:
Pa10p 7W
Km00004,0...00002,0R
2
K
– 11 2 3 4
Q
in dem folgenden Diagramm
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 34
2.8 Temperaturabhängige Wärmeleitfähigkeit
In den meisten Fällen ist
2
)()( 21 TT
Näherung
Tλλ
Im stationär, 1-dimensionalen Fall gilt dann:
dx
dbq
)1(0
besser )1(0 b
)(2
)( 2
1
2
2120 b
Lq
)(2
1)(
12120
b
Lq
L
x
b > 0b < 0
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 35
2.9 Interne Wärmequellen und -senken
Beispiel: radiale Wärmeleitung in einem Zylinder mit innerer Wärmequelle
pc
q
dz
d
d
d
rdr
d
rdr
da
dt
d
*
2
2
2
2
22
2 11
Brennstäbe in Kernreaktoren, Abbinden von Beton, elektrische
Widerstandsheizung, heizbare Heckscheibe, etc.
pca
q
dr
d
rdr
d
*
2
2 10
3m
Win
+ für Wärmequellen
- für Wärmesenken
r
R
W0
dt
d
0
d
d
dz
d
Stationär Eindimensional
r- Richtung
Poisson-Gleichung
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 36
pca
drrq
r
u
dr
du
0
drrq
drudur
rud
)(
0
q
drrrud
)(
udr
d
Substitution:
rCqr
ru :2
1
2
Integration:
dr
d
r
Cqru
1
2
Simeon-Denis Poisson
(1781-1840)
Produktregel
Rücksubstitution: (2.1)
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 37
21
2
ln4
CrCqr
00:0 1 Cdr
dr
1. RB:
2. RB: konvqqRr : (thermische RB 3. Art)
(2.2)
)(dr
dW
Rr
mit Gln. (2.1) rCqr
ru :2
1
2
q
RqRW
2
1
2
Symmetriebedingung
(2.3)
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 38
aus Gln. (2.2) mit r = R:dr
d
r
Cqru
1
2
Gln. (2.3) + (2.4):24
2
2Rq
CqR
1
2
4
2
2R
RqC
(2.4)
22* 21
2 R
r
R
Rq
1
2
44
22
R
qRqr einsetzen der
Konstanten:
parabolischer Temperaturverlauf
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 39
Egal wie gut man kühlt, die Temperaturdifferenz
ist immer gleich groß ( Gefahr von Spannungsrissen im
Material)
Wr 0
R
Rqra r
21
2:0)
2
0
2:)
RqRrb W
2
02
)
Rqc Wr
Von Wärmeleitfähigkeit bestimmt
𝜶 beeinflusst nur gesamtes Temperaturniveau
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 40
2.10 Berippte Heizflächen
min
AkA
332211
1111
AAAkA allgem. gilt:
Möglichkeiten um den Wärmeübergang zu verbessern:
nicht immer ohne weiteres möglich
A Rippen
Rippen (Oberflächenvergrößerung) auf der Seite des niedrigsten
Wärmeübergangskoeffizienten
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 43
𝑸𝑮 über unberippte Grundfläche
𝑸𝑹 über Rippenoberfläche
𝑸 = 𝑸𝑮 + 𝑸𝑹 = 𝜶 𝑨𝑮 𝝑𝟎 − 𝝑∞ + 𝜼𝑹 𝜶 𝑨𝑹 𝝑𝟎 − 𝝑∞= 𝜶 (𝑨𝑮+𝜼𝑹 𝑨𝑹) 𝝑𝟎 − 𝝑∞
∙
𝑸𝑹
𝝑
𝒙
𝝑𝟎
𝝑∞𝝑𝑹(𝒙)
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 44
𝜼𝑹 = 𝑸𝑹
𝑸𝒎𝒂𝒙
= 𝜶 𝝑𝑹 − 𝝑∞ 𝒅𝑨𝑹
𝜶 𝑨𝑹 𝝑𝟎 − 𝝑∞
Definition: Rippenwirkungsgrad
Maximaler Wärmestrom 𝑸𝒎𝒂𝒙 wird erreicht, wenn Wärmeleitwiderstand der
Rippe unendlich klein bzw. 𝝀 → ∞ bzw. 𝝑𝑹 = 𝝑𝟎
Durch Rippenoberfläche übertragender Wärmestrom 𝑸𝑹 hängt vom
Temperaturverlauf 𝝑𝑹 in der Rippe ab
Berechnung von 𝜼𝑹 nur für einfache Bauformen analytisch möglich
𝑨𝑹: Rippenoberfläche
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 45
Ansatzellerdifferenti
xf
konvQd
xQ dxxQ
dx
xein QE
konvdxxaus QdQE
)(0 stationärdt
dEakku
L
x
b
sdx
dt
dEEE akku
ausein
Einfachster Fall: Wärmeabgabe über Längsrippe
s
b
0 konvdxxx QdQQ
aus Energiebilanz folgt:
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 46
Rkonv dxUQd
Da die Wärmeleitung in der Rippe wesentlich besser als der konvektive Wärmeübergang
an der Rippenoberfläche ist, kann die Temperaturverteilung im Rippenmaterial quer zur
Rippenlängsachse vernachlässigt werden.
01: dy
dsΒigroßAnnahme R
R
R
2
2
2
!2
1dx
x
Qdx
x
QQQ xx
xdxx abbrechen
(2.7)dx
dAQ R
Rx
0
konv
x Qddxx
Q
Über den Rippenquerschnitt konstante Temperatur
(2.5)
(2.6)
kinetischer Ansatz für Wärmeleitung:
einsetzen in Energiebilanz
kinetischer Ansatz für Konvektion: Umfang 𝑼 = 𝟐 (𝒔 + 𝒃)
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 47
aus Gln. (2.5) bis (2.7) folgt:
0
dxUdx
dx
dA
dx
dR
RR
02
2
R
R
R
A
U
dx
d
Definition: R
A
Um
R
2
02
2
2
mdx
d(Dgl. 2. Ordnung)
)(2 bsU bsA mit
𝑨: Querschnittsfläche
der Rippe
allgemein: 𝑚 =𝛼 𝑈
𝜆𝑅𝐴
Rechteckrippe: 𝑈
𝐴=
2 (𝑠+𝑏)
𝑏 𝑠
Vereinfachung für 𝑠 ≪ 𝑏:
𝑈
𝐴=2 + 2
𝑠𝑏
𝑠=2
𝑠
𝑚 =2 𝛼
𝜆𝑅 𝑠
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 48
0
Lxdx
d
00)0( x1. RB:
)](sinh[)](cosh[)( 2121 xLmCxLmCeKeKxmxmx
Lösung:
aus 2. RB: 20 C
aus 1. RB:)cosh(
0
1mL
C
)(cosh
)]([cosh)()( 0
mL
xLmxx R
Temperaturverlauf in der Rippe
2. RB:
(2.8)
adiabate Stirnfläche
Rippenfuß
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 49
Berechnung Rippenwirkungsgrad für Längsrippe mit Hilfe der Definition
𝜼𝑹 = 𝑸𝑹
𝑸𝒎𝒂𝒙
= 𝜶 𝝑𝑹 − 𝝑∞ 𝒅𝑨𝑹
𝜶 𝑨𝑹 𝝑0 − 𝝑∞
𝑸𝑹 = 𝜶 𝝑𝑹 − 𝝑∞ 𝒅𝑨𝑹 =𝜶 𝑼 𝜽𝟎
𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒎𝑳)−𝒔𝒊𝒏𝒉 𝒎 𝑳 − 𝒙
𝒎𝟎
𝑳
= 𝚯𝟎 𝜶 𝑼 𝝀 𝑨 𝒕𝒂𝒏𝒉(𝒎𝑳)
Mit Gleichung (2.8) kann 𝑸𝑹 berechnet werden: 𝒅𝑨𝑹 = 𝑼 𝒅𝒙
𝜼𝑹 =𝒕𝒂𝒏𝒉 𝒎𝑳
𝒎 𝑳
Eingesetzt in die Definitionsformel für den Rippenwirkungsgrad folgt
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 50
mLA
LAnLängsrippebei
R
R
~
~:
.RippenhöhegleicherbeinLängsrippefürnKreisrippefür RR
Grund: Querschnitt der Kreisrippen nimmt zum Rohr hin ab.
1mL
1
5,0
1 2 3 4
R
mLR
mL
VorteilegeringenochnurmLfür 2
RippeQ
In der Praxis:
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 51
L
x
b
s
𝜗0, 𝐴
∙ 𝜗𝑎𝑚𝑏
𝛼
∙ 𝜗𝑎𝑚𝑏
𝛼
𝐴
Wärmestrom über unberippte
Fläche 𝑨:
𝑸𝟎 = 𝜶 𝑨 𝝑𝟎 − 𝝑𝒂𝒎𝒃 = 𝜶 𝑨 𝜣𝟎
𝑄0
Θ0 = (𝜗0 − 𝜗𝑎𝑚𝑏)
𝑄𝑅
Wärmestrom über berippte Fläche
𝑸𝑹 = 𝜶 𝝑𝑹 − 𝝑∞ 𝒅𝑨𝑹 = 𝚯𝟎 𝜶 𝑼 𝝀 𝑨 𝒕𝒂𝒏𝒉(𝒎𝑳)
Rippenleistungszahl/ Effektivität:
𝜺 = 𝑸𝑹
𝑸𝟎
=𝚯𝟎 𝜶 𝑼 𝝀 𝑨 𝒕𝒂𝒏𝒉(𝒎𝑳)
𝜶 𝑨 𝜣𝟎=
𝑼 𝝀
𝜶 𝑨𝒕𝒂𝒏𝒉(𝒎𝑳)
Für 𝒔 ≪ 𝒃: 𝜺 =𝟐 𝝀
𝜶 𝒔𝒕𝒂𝒏𝒉(𝒎𝑳)
Je niedriger 𝛼,
Je größer 𝜆,
desto mehr lohnt
sich Rippe
Rippenleistungszahl/ Effektivität
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 52
Beachte: Rippen bringt man nur dann an, wenn der Wärmeübergang an
der gegenüberliegenden Seite wesentlich besser ist.
Auswahl von Rippenrohren:
*
1111
FAAAkA GRRaii
Zusätzlich konstruktive Gesichtspunkte beachten
(Strömung, Gewicht, Kosten).
iiGRRa AAA
Beste Lösung, wenn:
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 53
2.11 Instationäre Wärmeleitung
Erwärmung / Abkühlung
Anfahrvorgänge
ohne innere Wärmequellen:tazyx
12
2
2
2
2
2
Exakte Lösung nur für einfache Fälle möglich
2.11.1 Eindimensionale Näherung für einfache Geometrien:
Annahme: Ebene Platte
Konstante Stoffwerte
Wärmestrom nur in x-Richtung
Konvektion an Umgebung
pc,,
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 54
Q Q
0
L
xL
L2tax
12
2
mit :L
xX
0
2L
taFo
Fo
2
2
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 55
10, tx
0
0
X
X
Randbedingungen:
1
1
X
X
iX
Lx
Lxdx
d
0)0,( tx
Symmetrie
LBi
Anfangsbedingung:
RB1:
RB2:
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 56
Näherungslösung durch Reihenentwicklung (siehe Incropera und DeWitt)
XFoA n
n
nn cosexp1
2
nn
nnA
2sin2
sin4
n = Eigenwerte von ( )Binn tan
Ähnliche Lösungen sind auch für Zylinder und Kugel vorhanden.
Für weitere Geometrien siehe Buch von Carslaw and Jaeger.
Annäherung einer konstanten Anfangstemperatur: sehr viele Glieder,
Fehler in den Ecken groß, Temperaturverteilung nach einiger Zeit:
weniger Glieder
(2.8)
Θ =𝜗 − 𝜗∞𝜗0 − 𝜗∞
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 57
Θ
0,0
0,5
1,0
1,5
1. Glied 2 Glieder 3 Glieder4 Glieder 5 Glieder =1
Dicke 2X
Θ0 = 1
Annäherung der
Anfangstemperatur
Θ0 schwierig: viele
Glieder notwendig,
Fehler v.a. in Ecken
groß
0,0
0,5
1,0
1,5
1. Glied 2 Glieder 3 Glieder Parabel
Dicke 2X
Θ
Annäherung der
Temperaturverteilung
nach z.B. 5 ℎ: Fehler
deutlich geringer
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 58
Grafische Lösung der transzendenten Gleichung: 𝜎𝑛 tan 𝜎𝑛 = 𝐵𝑖
→1
tan 𝜎𝑛= cot(𝜎𝑛) =
𝜎
𝐵𝑖
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
𝒚𝟏 = 𝐜𝐨𝐭 𝝈
𝒚𝟐 =𝝈
𝑩𝒊
𝝈𝐵𝑖 → ∞
𝐵𝑖 = 1𝐵𝑖 = 0,1 𝐵𝑖 = 2
𝜋/2 3𝜋/2 5𝜋/2 7𝜋/2
𝐵𝑖→0
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 59
Bi 1 2 3 4 5 6
0 0 2 3 4 5
0,1 0,31 3,17 6,3 9,43 12,57 15,71
1,0 0,86 3,42 6,43 9,53 12,64 15,77
3,0 1,19 3,81 6,70 9,72 12,8 15,9
10,0 1,43 4,3 7,23 10,2 13,21 16,26
∞𝝅
𝟐𝟑𝝅
𝟐𝟓𝝅
𝟐𝟕𝝅
𝟐𝟗𝝅
𝟐𝟏𝟏
𝝅
𝟐
Eigenwerte der Gleichung Binn tan Platte
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 60
Äquivalent zu Gleichung (2.8) können die Diagramme im
Vorlesungsumdruck S.11-12 verwendet werden
𝚯𝐰
𝚯𝟎=𝝑𝒘 − 𝝑∞𝝑𝟎 − 𝝑∞
𝑩𝒊
𝑭𝒐
𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 61
Beispiel 1:
Eine Stahlplatte mit einer Dicke von 30 mm und einer Anfangstemperatur von
600 °C wird in eine Flüssigkeit mit 20 °C eingetaucht.
Der konvektive Wärmeübergangskoeffizient zwischen Platte und Flüssigkeit
beträgt 3200 W/m2K.
Berechnen Sie die Temperatur in der Mitte der Platte nach 𝟓𝟎 𝒔.
Stoffwerte für Edelstahl:
• Dichte = 7850 kg/m3
• Spezifische Wärmekapazität cp = 445 J/kgK
• Wärmeleitfähigkeit = 16 W/mK
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 62
Für Plattenmitte 𝑿 = 𝟎: 𝒄𝒐𝒔 𝝈𝒏 𝑿 = 𝟏30 mm
?
3200
20
600
50,0
2
0
stx
Km
W
C
C
XFoA n
n
nn cosexp1
2
nn
nnA
2sin2
sin4
(2.8)
Lösung: Annahme: 1D-Wärmeleitung
1
2expn
nn FoA
mit 𝑛 = 1 𝑏𝑖𝑠 ∞
Welche Anzahl an Gliedern 𝑛 der Reihe ist sinnvoll ?
Θ =𝜗 − 𝜗∞𝜗0 − 𝜗∞
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 63
s
m
ca
p
2
6106,4
ms
L 015,02
1cos0 XX n
022,12
L
taFo 3Bi
Binn tan 19,11 21,1A1
81,32 288,0A2
7,63 115,0A3
72,94 014,0A4
8,125 035,0A5
9,156 023,0A6
Eigenwerte Koeffizienten der Fourierreihe
16
015,03200
LBi
Plattenmitte X=030 mm
?
3200
20
600
50,0
2
0
stx
Km
W
C
C
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 64
233,0exp2
1 Fo
72
2 106,3exp Fo
202
3 101,1exp Fo
422
4 101,1exp Fo
A
0x2n
2
1nn 282,0Foexp
C184s50t,0x
In der Plattenmitte sind hier bereits die ersten beiden Reihenglieder ausreichend
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 65
11
LBi
L
2.11.2 Näherungslösungen für niedrige Biot – Zahlen:
Widerstand der Wärme-
leitung in der Platte.
Widerstand der konvekt. Wärme-
übertragung auf der Außenseite.
tcM
A
pe
0
A
dt
dcM p
Temperaturgefälle im Innern vernachlässigbar klein einheitliche Temperatur 𝝑(𝒕)
FoBie
0
für ebene Platte
pp cV
tA
A
A
cL
t
L
taLFoBi
2
konvQdt
dU
Praxis: 𝑩𝒊 < 𝟎, 𝟏
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 66
Beispiel 2:
Die Schaufel eines Axialverdichters ist aus einer Titanlegierung
hergestellt. Die Dicke der Schaufel ist 10 mm und die Anfangstemperatur
𝝑𝒔,𝟎 = 𝟔𝟎 °𝑪.
Die Schaufel kommt in Kontakt mit einer Gasströmung mit 600 °C, wobei
der Wärmeübergangskoeffizient 500 W/m2K beträgt.
Berechnen Sie die mittlere Schaufeltemperatur nach 1, 5, 20 und 100 s.
Stoffwerte für Titan:
• Dichte = 4500 kg/m3
• Spezifische Wärmekapazität cp = 520 J/kgK
• Wärmeleitfähigkeit = 25 W/mK
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 67
11,025
2
01,0500
Bi
FoBi
s eaus
s
ma
26
1068,10
2
sL
tL
taFo 427,0
2
C9,163 s5t s
C0,370 s20t s
C0,592 s100t s
958,0e:s1tfür 0427,0 C6,82s
s
L
Fo=0,427
2,137
8,547
42,735
5204500
25
pc
m3
105
t↑
𝚯 =𝝑𝒔 − 𝝑∞𝝑𝒔,𝟎 − 𝝑∞
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 68
2.11.3 Näherungslösungen für sehr große Biot-Zahlen
Annahme:
1Bi
emperaturUmgebungstdergleichsofortaturWandtemperL
A
0
t
A
0
t
s
für Bi
Siehe z.B. Diagramm für Temperatur in der Achse
in Vorlesungsumdruck S.13.
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 69
Bilanz Volumenelement dV = A dx
dt
dEQQ akku
dxxx
dt
ddxAc
dt
dEp
akku
dxdx
QdQQ xdxx
abbrechen
AqQmit dt
dc
dx
qdp
txfdt
d
adx
d,
12
2
dx
dqmit
dt
dc
dx
dp
2
2
dx
A
Qx Qx+dx
(2.9)
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 70
Gln. (2.9) kann nicht exakt gelöst werden.
a) Näherungslösung für 𝒕 → 𝟎 (Kurzzeitlösung) bzw. den halbunendlichen Körper
(Umdruck S.14)
)(2
00
2
erfde
w
w
)´(ˆ)(
tionFehlerfunkscheGauß
FunctionErrorerf 𝜼 =
𝒙
𝟐 𝒂𝒕
Anfangsbedingung:
Randbedingungen:
0)0,( tx
0),( tx
wtx ),0(
Lösung:
halbunendlich
(2.10)
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 71
0
22deerf
Werte der Fehlerfunktion können
aus Tabellen entnommen werden
(Umdruck S.16)𝜼 erf(𝜼)0 0
0,2 0,22270259
0,4 0,42839236
0,6 0,60385609
0,8 0,74210096
1 0,84270079
1,2 0,91031398
1,4 0,95228512
1,6 0,97634838
1,8 0,9890905
2 0,99532227
2,2 0,99813715
2,4 0,99931149
2,6 0,99976397
2,8 0,99992499
3 0,99997791
𝜼 =𝒙
𝟐 𝒂𝒕
0,0
0,5
1,0
0,0 1,0 2,0 3,0𝜼
𝐞𝐫𝐟(𝜼)
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 72
Wärmestrom von/an Umgebung:
0
xx
AQ
aus der Lösung für den halbunendlichen Körper (2.10) folgt mit der Kettenregel:
tae
xx
ta
x
w2
12 4
0
2
allgemein
WandderanQtfürhd 0..
.ˆ ientingkoeffizWärmeeindrcb p
w
p
wt
cA
taAtQ
00
1
2
12
und damit für x=0
KmsWb 221
(2.11)
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 73
mK
W372
3m
kg8930
kgK
J385cp Kupfer:
Holz:
Styropor:
Fleisch:
mK
W185,0
3m
kg700
kgK
J2380cp
mK
W003,0
3m
kg20
kgK
J1380cp
mK
W52,0
3m
kg950
kgk
J3400cp
Beispiel: Kontakttemperatur für kurzzeitigen Kontakt von Hand (37 °C) und
Festkörper (20 °C)
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 74
1) Skizze:A
0
BB
Hand
Kontrollelement
0, da des Kontrollelements
dt
dEEE akku
ausein
ausein QQ
BA qq
2) Bilanz:
Aq
Bq
0M
A
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 75
0A
Ap
At
c1q
B0
Bp
Bt
c1q
3) Kinetik: aus Gln. (2.11) (Kurzzeitlösung)
4) Kopplung: 𝒒𝑨 = 𝒒𝑩
Bp
Ap
Bp
ApAB
0
c
c1
c
c