Chalmers University of Technology

Föreläsning 4 (kap 4):

Normalfördelning, Centrala gränsvärdessatsen,

normalapproximation

Marina Axelson-Fisk

27 april, 2016

Chalmers University of Technology

Idag:

• Normalfördelning

• Centrala gränsvärdessatsen

• Normalapproximation

– Binomialfördelning

– Poissonfördelning

• Poissonapproximation

– Binomialfördelning

Chalmers University of Technology

NORMALFÖRDELNING

Chalmers University of Technology

Normalfördelning

• Den absolut vanligaste fördelningen. Den

uppkommer i en mängd olika situationer.

• En kontinuerlig stokastisk variabel � är

normalfördelad med parametrar � och ��, dvs � ∼�(�, ��) om täthetsfunktionen

� = 12�� �

� ���� ��� �

• Väntevärde och varians� � = �, � � = ��

Chalmers University of Technology

Fördelningsfunktionen för N

• Fördelningsfunktionen för normalfördelningen

� � = � � �����

saknar explicit lösning, löses numeriskt.

(�)

Chalmers University of Technology

Standarnormal

• Värden på �(�) fås mha tabellen för

standardnormalfördelningen �(0,1).• Om � ∼ �(0,1) sägs � vara standardnormalfördelad.

• Fördelningsfunktionen betecknas Φ ! = "(� ≤ !)• Om � ∼ �(�, ��) så gäller att

� = � − �� ∼ �(0,1)• Om � ∼ �(0,1) så gäller att � = �� + � ∼ � �, ��

Chalmers University of Technology

Normalfördelningstabell

" � ≤ 1.96 = 0.975

Chalmers University of Technology

Normalfördelning

• Förekommer naturligt i många sammanhang

• Kan användas för att approximera andra

fördelningar (Binomial, Poisson etc)

• Summan av oberoende stok var går mot

normalfördelning (centrala

gränsvärdessatsen)

• Används i hypotestest, konfidensintervall

etc

Chalmers University of Technology

CENTRALA GRÄNSVÄRDESSATSEN

Chalmers University of Technology

Centrala gränsvärdessatsen

Antag att ��, ��, … , �, är stokastiska variabler som

är oberoende och lika fördelade med väntevärde � �- = � och varians � �- = ��, för alla ..För stora / gäller då att summan

0 =1�-,

-2�är approximativt normalfördelad, 0 ≈ �(/�, /��).

Chalmers University of Technology

Centrala gränsvärdessatsen (forts)

• På samma sätt gäller att medelvärdet av de

stokastiska variablerna

�4 = 1/1�-,

-2�blir approximativt normalfördelad

�4 ≈ � �, ��/

Chalmers University of Technology

NORMALAPPROXIMATION AV ANDRA FÖRDELNINGAR

Chalmers University of Technology

Normalapproximation av Binomialfördelningen

• Låt 0~Bin /, 9 . Då är ju 0 summan av /oberoende Bernoulli-försök 0 = ∑ �-,-2� där

�- = ;1medsannolikhet90medsannolikhet1 − 9med � 0 = /9 och � 0 = /9(1 − 9).

• Centrala gränsvärdessatsen ger att för stora / är 0 ≈ �(/9, /9 1 − 9 ).• Tumregel: /9 > 5 och / 1 − 9 > 5.

Chalmers University of Technology

Kontinuitetskorrektion

Istället för

" 0 ≤ H ≈ Φ I�,J,J(��J)

tar man

" 0 ≤ H ≈ Φ IK�/��,J,J(��J)

dvs " 0 ≤ 10 ≈ "(0 ≤ 9.5

Chalmers University of Technology

" 3 ≤ � ≤ 9 ≈ "(2.5 ≤ 0 ≤ 9.5)

Kontinuitetskorrektion

76543210 141312111098

Binomialfördelning Normalfördelning

Chalmers University of Technology

Poissonfördelning

• Låt � vara en diskret stokastisk variabel som kan

anta värden � = 0,1,2,3, …� sägs vara Poissonfördelad med parameter N, dvs � ∼ Poi N om frekvensfunktionen är

� = " � = � = ��PN��!• Väntevärde och varians� � = N, � � = N

Chalmers University of Technology

Poissionfördelning (forts)

• Poissonfördelningen är en

”räknefördelning” som typiskt används för

fördelningen av antalet impulser i ett givet

tidsintervall

– Antal kunder till en butik under en vecka

– Antal skrivfel på en sida

– Antal inkommande telefonsamtal till en växel

per dag

Chalmers University of Technology

Normalapproximation av Poissonpfördelning

• Om � ∼ Poi(N) och 0 ∼ Poi(R) är oberoende

gäller att � + 0 ∼ Poi(N + R).• Och 0 ∼ Poi(R) kan ses som en summa av R stycken Poi(1)-fördelade variabler.

• Så för stora R får vi0 ≈ �(R,R)

Chalmers University of Technology

Poissonapproximation av binomialfördelningen

• Om � ∼ Bin(/, 9) och / är stort och 9 litet

blir

� ≈ Poi(/9)• Tumregel: / ≥ 20 och 9 ≤ 0.05