1

Független Komponens Analízis

Póczos Barnabás

NIPG

ELTE-IK

2

Tartalom

ICA alkalmazásokICA információ elméletNemlineáris korreláció ICAML ICAFast ICANemlineáris keresztkorreláció

minimalizáció

3

A Független Komponens Analízis (ICA)

Vak Forrás Szeparáció (BSS) más néven Független Komponens Analízis (ICA) független forrásokból kevert jelek újra szétválasztására szolgál.

Amíg PCA olyan irányokat keres, melyre |x0 - x|2 minimális, addig ICA olyan irányokat választ, melyben az adatok a lehető legfüggetlenebbek.

4

ICA alkalmazási lehetőségek

Blind source separation (Bell&Sejnowski, Te won Lee, Girolami, Hyvarinen, etc.)

Image denoising (Hyvarinen) Medical signal processing – fMRI, ECG, EEG (Mackeig) Modelling of the hippocampus and visual cortex (Lorincz,

Hyvarinen) Feature extraction (feature extraction), arcfelismerés (Marni

Bartlett) Compression, redundancy reduction clustering (Girolami, Kolenda) Time series analysis (Back, Valpola) Pénzügyi alkalmazások

5

AA “ “Koktél PartiKoktél Parti” ” pproblrobléémmaa

Források Megfigyelések

x = As

Becslések

sA

y=Wx

6

Független Komponens Analízis

2221212

2121111

)(

)(

sasatx

sasatx

Két független jel A két jel keveréke

aIJ ... Jelentése a mikrofonoktól való távolság

A becslés ICA alkalmazása után

7

Független komponens analízis természetből vett képeken

8

Főkomponens Analízis bázisok természetből vett képeken

9

ICA bázisok természetből vett képeken

10

ICA mozgó képeken

11

PCA vs ICA, Mixture of Probabilistic PCA

PCA ICA

MPPCA

12

ICA-PCA bázisok öröm arckifejezésekből

13

ICA-PCA bázisok megelpetés arckifejezésekből

14

ICA-PCA bázisok undor arckifejezésekből

23.04.21.

ICA activity for classification, novelty detection

ICA activity for classification, novelty detection

Activity distributions of within-category test

movies are much narrower

Activity distributions of within-category test

movies are much narrower

Supervised dataSupervised dataT

est

da

taT

est

da

ta

16

ICA elméleti kérdések

17

Alapfogalmak

EntrópiaEgyüttes entrópiaNegentrópiaKölcsönös InformációKullback-Leibler távolság

18

Higher order moment and cumulants [Comon 94, Hyvarinen 97]

Nonlinear PCA [Karhunen 94; Oja 97] Maximalization of information transfer [Bell & Sejnowski 95;

Amari 96; Lee 97-98] Maximum likelihood [MacKay 96; Pearlmutter & Parra 96;

Cardoso 97] Negentropy maximalization [Girolami & Fyfe 97] Nemlineáris kersztkorreláció minimalizáció [Jutten-Herault,

Cardoso]

Különböző ICA megközelítések

19

ICA alapprobléma

x1, x2, … xn,

s1, s2, … sn,

x=As

x = i aisi

ICA = generatív modell: leírja, hogyan generálódik az input

ICA feladat: s=Wx ?eredeti jelek?

20

Bizonytalanságok

Nem tudjuk megmondani – a változók szórását– a változók sorrendjét

WP is jó, ha P permutáló mátrix

21

Feltételek a legegyszerűbb esetben

Ugyanannyi mikrofon van, mint hangszóró.A keverő mátrix teljes rangú.A források minden időpontban statisztikailag függetlenek.A források idősora stacionárius.Legfeljebb egy forrás lehet normális eloszlású.

Ekkor a források permutációtól, skálázástól és előjeltől eltekintve visszaállíthatóak.

22

Statisztikai függetlenség

Def y1,y2 val. változók függetlnek, ha

p(y1,y2) = p1(y1) p2(y2)

Állítás: Ekkor bármely h függvényre:

E[h1(y1)h2(y2)] = E[h1(y1)) E(h2(y2)]

Biz:

E[h1(y1)h2(y2)] = p(y1,y2) h1(y1)h2(y2) dy1dy2 =

= h1(y1) p1(y1) dy1 p2(y2) h2(y2) dy2 =

= E[h1(y1)] E[h2(y2)]

23

Korrelálatlanság, fehér adatok

Def y1,y2 val. változók korrelálatlanok (fehérek), ha

E[y1y2] = E[y1] E [y2]

Speciálisan, ha y1,y2 függetlenek, akkor korrelálatlanok.

Ha y1,y2 korrelálatlanok, abból nem következik,hogy függetlenek.

24

korrelálatlanság függetlenség

y1 y2 prob0 1 ¼0 -1 ¼1 0 ¼-1 0 ¼

y1

y2

1/4

1/4

1/4

1/4

Ezekre E[y1y2] = E[y1] E [y2]=0De E[y1

2y22] =0 1=E[y1

2] E [y22]

25

26

Gauss eloszlás nem jó

A standard többdimenziós eloszlás minden ortogonális transzformáltja ugyanúgy néz ki

p(x,y) ~ exp(-0.5*(x2+y2))

27

ICA algoritmusok

Távolodjunk a normális eloszlástól megközelítés:– Kurtózis alapján– Negentrópia alapján

Kölcsönös információ minimalizálásMaximum likelihood becslésNemlineáris keresztkorreláció

minimalizálásFastICA algoritmus

28

Maximum Likelihood ICA becslés

29

Zajmentes Maximum Likelihood ICA

x(t) = As(t), t=1,2,...,

s(t) Rn, t=1,2..., eredeti, ismeretlen forrásokx(t) Rm, t=1,2.. a megfigyelt keverékekA Rn x m, az ismeretlen keverő mátrixFeltesszük, hogy a források fi sűrűség

függvénye ismert pl Cauchy eloszlású

30

ML derivation of squared ICA

WssIW

xsWW

xwW

Wxw

sW

Asx

AWWxsAsx

W

})({

)())((1

][

)())((

))((

]))((log[|)det(|log

max|)det(|log))((log

))}((log|)det(|{log

))((log))((log

ahol (t),(t) ),()(

1

1

1

'1

1

1 1

1

11

-1

T

T

t

TT

T

tj

ii

iiij

T

t

Tii

ijijij

T

t

M

i

Tii

T

t

T

t

T

t

g

ttgT

txtsf

tsfTW

tfw

Tww

L

Ttf

tp

tptpL

tt

David J.C. MacKay (97)

31

Távolodjunk a normális eloszlástól megközelítés

32

Távolodjunk a normális eloszlástól megközelítés

Az ML módszernél kellett a sűrűség függvények ismerete, pedig az gyakran ismeretlen.

Centrális Határeloszlás Tétel : A független források keveréke közelebb kerül a normális eloszláshoz.

ICA célja: Úgy keverjük az adatokat, hogy a normális eloszlástól minél távolabb kerüljünk.– Kell egy normális eloszlástól való távolság mérték:

• Negentrópia maximalizálás• Kurtózis abszolút értékének maximalizálása

33

Cél: Normális eloszlástól minél távolabb kerülni

Kétféle módon lehet– Gauss-nál élesebben

tart nullához• ‘sub-gaussian’

– Gauss-nál lassabban tart nullához (nagy eltérések valószínűsége viszonylag nagy)

• ‘super-gaussian’

34

Normális eloszlástól való távolság mérése

Kurtózis

w

Txw

max}){(3}{)kurt( 224

yEyEy

y

Független x,y változókra:kurt(x+y)=kurt(x)+kurt(y)kurt(x) = 4 kurt(x)

35

3)]([

][)kurtosis(

22

4

i

ii sE

sEs

.

Kükönbözõ kurtosis elõjelû, azonos varianciájú eloszlásokat szemléltetõ hisztogrammok

36

NegentrópiaEntrópia:

H(y) = - f(y) log f(y) dy

Negentrópia:

J(y) = H(yGauss) – H(y) 0 azonos varianciájú eloszlásokra

A feladat tehát: (y)J maxw

Állítás: J(y) invariáns lineáris transzformációkra nézve

J(y) = J(Ay)

37

Negentrópia közelítései

J(y) ≈ (E[y3])2 /12 + (kurt(y))2/48

Kurtózis problémája az „outlier” (kiugró kivétel)

Általánosabb közelítés:

J(y) ≈ i ki (E[Gi(y)] – E[Gi(Gauss)])2

ahol ki >0 konstans

Gi(y) függvények

Gauss standard normális

38

Speciálisan 1 db k-ra

J(y) ≈ (E[G (y)] – E[G(yGauss)])2

Állítás:

G(y)= y4 választással

J(y) ≈ E[y3]2 /12 + kurt(y)2/48

mert a várható érték számításakor integrálni kell a sűrűségfüggvényt.

39

Egyéb gyakran alkalmazott nemlinearitások

G(y) = a-1 log cosh (ay) 1 a 2

G(y) = exp(-y2)

Azért, hogy a becsléseink robosztusak legyenek fontos, hogy G ne nőjön túl gyorsan.

40

A Kölcsönös Információ minimalizálásán alapuló ICA

algoritmusok

41

Kölcsönös Információ Minimalizációja

I(y1,…,ym) = i H(yi) – H(y1,…,ym) 0

Áll I(y1,…,ym) = 0 y1,…,ym függetlenek

A feladat: minW I(y1,…,ym)

Ha y=Wx, akkor

I(y1,…,ym) = i H(yi) – H(x1,…,xm) + +log |detW|

42

Kölcsönös Információ Minimalizációja

Ha yk-k közül csak a korrelálatlan és az egységnyi varianciájúak érdekelnek, akkor

1 = E[yyT] = E[ WxxTWT] = detW E[xxT] detWT

Tehát, detW konstans

43

Kölcsönös Információ Minimalizációja

A feladat: minW I(y1,…,ym)

y=Wx

I(y1,…,ym) = i H(yi) – H(x1,…,xm) + log |detW|

detW, H(x1,…,xm) konstans

A feladat: minW i H(yi)

Az outputok egyenkénti entrópia összege legyen minél kisebb.

44

Kölcsönös Információ Minimalizációja

Tehát detW konstans.

No de rögzített variancia esetén az entrópia és negentrópia csak konstansban különböznek:

H(yi)=C’-J(yi)

I(y1,…,ym) = i H(yi) – H(y1,…,ym) =

= i H(yi) – H(x1,…,xm) + log |detW|

= C - i J(yi)

Tehát a feladat: maxW i J(yi)

45

KIM

I(y1,…,ym) = C - i J(yi) 0

KIM-en alapuló ICA eljárás ekvivalens az egyes komponensek összegzett nem-Gauss jellegének maximalizációjával úgy, hogy az egyes komponensek dekorreláltak.

46

Független Komponens AnalízisKölcsönös Információ minimalizálása

WyyIΔW

xWxWΔW

WWx

WxyAsx

))(2(

)(2

:algoritmus azután sszámolgatá Kis

...)24/)()(6/)()(1)(()(

detlog)()(),...,(

, , )(

1

4433

min1

1

T

TT

iim

n

tanh

tanh

hyhyf

HyHyyI

))...P(sP(sP(s)n

47

Fast ICA algoritmus

48

Fast ICA algoritmus

Állítás:

Az ICA feladat megoldása megkapható

bizonyos G függvényekre a

min vagy maxw E[G(wTx)]

feladat megoldásaként az

E[(wTx)2] = ||w||2 kényszer mellett

0 = E[xG’(wTx)] – w = F(w)

w F(w) = E[xxTG’’(wTx)] – I

49

Fast ICA algoritmus

Közelítés:

E[xxTG’’(wTx)] ≈ E[xxT]E[G’’(wTx)] =E[G’’(wTx)]

Oldjuk meg az előbbi feladatot Newton módszerrel:

w+ = w – (E[xG’(wTx)] – w )(E[G’’(wTx)] – )-1

Ez tovább egyszerüsíthető:w+ = E[xG’(wTx)] – E[G’’(wTx)]ww+ w+ / ||w+||