fujita laboratory - r: flexible beam: mixed sensitivity...instructor: prof. masayuki fujita...
TRANSCRIPT
R: Flexible Beam: Mixed Sensitivity
Reference:
Robust and Optimal Control, Spring 2015Instructor: Prof. Masayuki Fujita (S5-303B)
M. Fujita, F. Matsumura and M. Shimizu, Robust Control Design for a Magnetic Suspension System,
2nd International Symposium on Magnetic Bearing, 349-356,July 12-14, 1990, Tokyo, Japan.
2
図2 柔軟ビーム
Real Physical System
柔軟ビーム磁気浮上システム
3
図3 柔軟ビーム磁気浮上系
Ideal Physical Model
4
モデリングのための仮定
1. 磁気飽和，ヒステリシスがない．
2. うず電流は無視できる．
3. もれ磁束がない．
4. 鉄心の透磁率は無限大である．
5. 2 質量 からなる集中定数系として近似する．
6. インダクタンスは一定，速度起電力の項は無視．
,m M
5
ビームの長さ
質量
質量
定常ギャップ
ビームのたわみ
固有振動数
電磁石抵抗
電磁石インダクタンス
パラメータ 記号 値 単位
l2m
M1X2X
nf
RL
8.38.536.100.53.125.4
5716.3
mkgkgmmmmHz
H
定常電流 I 885.0 A重力加速度 g 8.9 2m/s
m = 5.8 ;M = 10.36 ;X1 = 5e-3 ;X2 = 12.3e-3 ;R = 57 ;L = 3.16;I = 0.885gg = 9.8
MATLAB program
パラメータ
6
Ideal Mathematical Model
beammag ffmgdt
xdm 21
2
,2
11
xXiIkfmag ))(2())(2( 122122 xxX
dtdxxXfbeam
beamfMgdt
xdM 222
2
柔軟ビーム
電磁石
eRidtdiL
O
)(2 22 xX
1x
AB
22 xX
122 )(2 xxX
0034.0k2064
327.0
]A/Nm[ 22
]N/m[]Ns/m[
H 制御系設計（混合感度）
k = 0.0034;alpha = 2064;beta = 0.327
MATLAB program
図4 数式モデル
7
Reduced Mathematical Model
線形化
dtdx
dtdxxx
dtxdM 21
2122
2
4242
dtdx
dtdxi
IgmMxxg
XmM
dtxdm 21
211
21
2
2)2(22
1xy p
出力
)(sP 1xi
図5 柔軟ビーム磁気浮上系
8
状態空間表現
uBxAx pppp
pp xCy
Tp ixxxxx ][: 2121 eu :
hMMfd
cmmbaAp
00000/4/2
/2/0100000100
j
Bp
0000
00001pC
,21:1
g
XmM
ma ,2:
mb ,2: g
mImMc
,2:M
d ,4:
Mf
,:LRh
Lj 1: * は修正箇所
9
Ma = ( ( ( M+2*m )/X1 )*gg – alpha ) / m ;Mb = 2*alpha / m ;Mc = -( ( M+2*m ) / ( m*I ) )*gg ;Md = 2*alpha / M ;Mf = -4*alpha / M ;Mh = -R / L ;Mj = 1 / L ;
Ap = [ 0 0 1 0 0 ;0 0 0 1 0 ;
Ma Mb -beta 2*beta Mc ;Md Mf 2*beta -4*beta 0 ;0 0 0 0 Mh ]
Bp = [ 0; 0; 0; 0; Mj ]Cp = [ 1 0 0 0 0 ]Dp = 0
MATLAB program
10
CO = ctrb(Ap,Bp);CO_rank = rank(CO)OB = obsv(Ap,Cp);OB_rank = rank(OB)
ppppppppp BABABABABCO 432
制御対象は，可制御，可観測である
5)(rank CO
5)(rank OB
432ppppppppp ACACACACCOB
可制御性，可観測性
MATLAB program
'
11
伝達関数表現
ggg BAsICsP 1)()(
P_ss = ss ( Ap, Bp, Cp, Dp ) ;[ P_num, P_den ] = ss2tf ( Ap, Bp, Cp, Dp ) ;P_tf = tf ( P_num, P_den ) ;zpk( P_tf )
P_pole = pole ( P_ss )P_zero = zero ( P_ss )
極
,4.84
,1.84
,0.188.28697.0 j
零点
2.28654.0 j
不安定極
5 次の線形時不変系（LTI システム）であり，不安定系・振動系
振動モード
MATLAB program
)8.28697.0)(0.18)(1.84)(4.84()2.28654.0(3.13)(
jssssjssP
12
80
160
120
310 310110110
310 310110110
周波数 [rad/sec]
180
90
ゲイン
[dB
]位相
[deg
]
)(sP図6 プラント
0
30
30
0 100100
図7 プラント の極・零点)(sP
omega1=logspace(-3,3,150);bode ( P_ss, omega1 ) ;Pzmap (P_ss)
MATLAB program
13
)(sK
)(sG
)(sWT
)(sK
)(sPy
u
1z)(sWS
2z
w
)(sG
)()( sSsWS
)()( sTsWT
1
混合感度問題
w
)(sWS
)(sK )(sP u
)(sWT
y
1z
2z
図9 ブロック線図図10 一般化プラント
図11 一般化プラント
14
),(ˆ)( sWsW SsS
周波数重み )(sWS
s
S
fs
kssW
21
)(ˆ
,016.0Sf ,3298.1Sk
310 310110110
40
80
0
40
ゲイン
[dB
]
)(sWS図13 周波数重み
ksS
Sf2
)(sWS
2.17s
fs = 0.016 ;ks = 1.3298 ;gamma_s = 17.2 ;Ws_num = ks ;Ws_den = [ 1/(2*pi*fs) 1 ] ;Ws _tf = tf (gamma_s *Ws_num, Ws_den ) ;bodemag(Ws_tf,omega1);
310 310110110
)(1 sWS
30
60
30
0
)(1 sWS
図12 周波数特性
dec/dB20
MATLAB program
S
[rad/sec]
[rad/sec]
15
周波数重み )(sWT
321 21
21
21)(
TTTTT f
sfs
fsksW
,002.01 Tf ,1602 Tf ,2003 Tf 410Tk
310 310110110
40
80
0
40
ゲイン
[dB
]
)(sWT図15 周波数重み
Tk
121
Tfs
)(sWT
ft1 = 0.002 ; ft2 = 160 ; ft3 = 200 ; kt = 1e-4;Wt1_num = [1 2*pi*ft1];Wt1_den = [2*pi*ft1];Wt1 = tf(Wt1_num,Wt1_den);Wt2_num = [1 2*pi*ft2];Wt2_den = [2*pi*ft2];Wt2 = tf(Wt2_num,Wt2_den);Wt3_num = [1 2*pi*ft3];Wt3_den = [2*pi*ft3];Wt3 = tf(Wt3_num,Wt3_den);Wt = Wt1*Wt2*Wt3*kt;bodemag(Wt,1,omega1);
310 310110110
80
40
40
0
ゲイン
[dB
]
)(1 sWT図14 周波数特性
)(1 sWT
T
MATLAB program [rad/sec]
[rad/sec]
16
図16 周波数重み の合併
)(sP
)(sWT
u yyg
WTy
)(sWT
一般化プラント
systemnames = 'Ws_tf PWt_ss';inputvar = '[ dist; control ]';outputvar = '[ Ws; PWt_ss(1); PWt_ss(2) + dist]';input_to_Ws_tf = '[ PWt_ss(2) + dist ]';input_to_PWt_ss = '[ control ]';sysoutname = ‘G';cleanupsysic = 'yes';sysic;
MATLAB program
)(sPWT
)(sWT
)(sK
)(sPy
u
1z)(sWS
2z
w
)(sG
図10 一般化プラント
* の構成方法は付録参照)(sPWT
17
)2.28655.0)(4001176)(4232)(10.0()9.28699.0)(4.84)(0.18)(972.1(1012.5)(
10
jsjsssjsssssK
コントローラ )(sK
10.04232
4001176 j
82.2655.0 j
極
972.10.184.84
9.28699.0 j
零点
安定
310 310110110
270
90
ゲイン
[dB
]位相
[deg
]
)(sK図17 コントローラ
180
310 31011011080
140
100
120
[rad/sec]
18
bode(K_mix_ss,omega1);
[ K_mix_ss, Cloop,gam ] = hinfsyn ( G, 1, 1, 'gmax', 1, 'gmin',1, 'tolgam', 0.001 ) ;[K_A,K_B,K_C,K_D] = ssdata(K_mix_ss);[ K_num, K_den ] = ss2tf ( K_A, K_B, K_C, K_D ) ;K_tf = tf ( K_num, K_den ) ;zpk(K_tf)minfo(K_mix)[ K_pole, K_zero ] = pzmap ( K_tf )
MATLAB program
19
SW1
TWL
開ループ伝達関数
310 310110110
ゲイン
[dB
]位相
[deg
]
図22 開ループ伝達関数
310 310110110
30
30
0
180
270
90
L_ss = P_ss*K_mix_ss;bode(L_ss,omega1)[ Gm, Pm, Wcg, Wcp ] …
= margin( L_ss )
69.1 ]dB[ゲイン余裕
位相余裕 0.27 [deg]ゲイン交差周波数 2.58 sec]/rad[位相交差周波数 6.13 sec]/rad[
MATLAB program
[rad/sec]
20
nyquist ( L_ss )
020 10
0
10
10
0
2
2
1012
図24 ベクトル軌跡図23 ベクトル軌跡
MATLAB program
21
閉ループ系の特性
,1029.4 3
,1026.1 3,1001.1 3
,1044.8 1,1080.1 1
,1089.21098.6 11 j,1082.21054.6 11 j
,1008.11010.1 11 j
極
0
40
40
0 10005000図18 閉ループ系の極・零点
0 520 10
0
40
40
T = feedback(L_ss,1);close_p = pole ( T )close_z = zero ( T )pzmap ( T )
図19 閉ループ系の極・零点（拡大図）
MATLAB program
22
nom_perf_ss = Cloop(1,1);rob_stab_ss = Cloop(2,1)bodemag(nom_perf_ss,omega1)bodemag(rob_stab_ss,omega1)
310 310110110
図21 閉ループ系の周波数特性
0
80
40
ゲイン
[dB
]
SWS
TWT
,SWS TWT
MATLAB program
sigma(Cloop,omega1)
MATLAB program
閉ループ系の周波数特性
310 310110110
)( zwT図20 閉ループ系の周波数特性
1
9.0[rad/sec] [rad/sec]
23
感度関数 S
310 310110110
図25 感度関数
60
30
0
30
S
1SW
S = feedback(1,L_ss);bodemag(S,omega2)hold onbodemag(inv(Ws_tf),omega1)
MATLAB program
相補感度関数 T
T = feedback(L_ss,1);hold onbodemag(T,omega2)bodemag(inv(Wt))
MATLAB program
310 310110110
図26 相補感度関数
80
40
0
40
T
1TW
[rad/sec] [rad/sec]
24
ステップ応答
線形モデルに対する応答
Linear_model.mdl
Time [sec]
1x
[K_A,K_B,K_C,K_D] = ssdata(K_mix_ss);
MATLAB program
25
シミュレータ応答
nonlinear_model.mdl
1. 外乱応答2. 外乱応答 m=5.8 --> 6.953. 外乱応答 M=10.36 --> 12.304. 外乱応答 R=57.0 --> 61.7
>> simu_setup
1 から 4 のいずれかを選ぶ
1x
2x
Time [sec]
Time [sec]
26
実験結果
外乱応答
21 ]N[約 に相当する電圧 100 ]N[定常吸引力 約
時間 [s]
図27 ステップ状外乱に対する時間応答
0 63 15
0.2変位
[mm
]1x
9 120.2
0.0
0 63 15
0.2
9 120.2
0.0
変位
[mm
]2x
27
図28 ステップ状外乱に対する時間応答
95.6m [kg] に変動した場合
（1） 電磁石側の質量 を から にする．m 80.5 ]kg[ 95.6 ]kg[
時間 [s]
0 63 15
0.2
変位
[mm
]1x
9 120.2
0.0
0 63 15
0.2
9 120.2
0.0
変位
[mm
]2x
28
図29 ステップ状外乱に対する時間応答
3.12M [kg] に変動した場合
（2） ビーム中央部の質量 を から にする．M 36.10 ]kg[ 30.12 ]kg[
時間 [s]
0 63 15
0.2
変位
[mm
]1x
9 120.2
0.0
0 63 15
0.2
9 120.2
0.0
変位
[mm
]2x
29
図30 ステップ状外乱に対する時間応答
7.61R [Ω] に変動した場合
（3） 電磁石部の抵抗 を から にする．R 0.57 ][ 7.61 ][
時間 [s]
0 63 15
0.2
変位
[mm
]1x
9 120.2
0.0
0 63 15
0.2
9 120.2
0.0
変位
[mm
]2x
30
［参考］過去の実験結果
外乱応答
15.7 ]N[約 に相当する電圧 100 ]N[定常吸引力 約
積分型LQG制御系
時間 [s]図 ステップ状外乱に対する時間応答
変位
[mm
]1x
0 1
0.1
0.1
0.0
変位
[mm
]2x
25.0 75.05.0
0 1
0.1
0.1
0.0
25.0 75.05.0
31
閉ループ系の周波数特性
)( zwT図31 閉ループ系の周波数特性
1
9.0
)( zwT図32 閉ループ系の周波数特性
2.17S 0.21S
310 410110110
1
9.0 310310 410110110 310[rad/sec] [rad/sec]
32
閉ループ系の周波数特性
図33 閉ループ系の周波数特性
0
80
40
ゲイン
[dB
]
,SWS TWT
2.17S
310 310110110
図34 閉ループ系の周波数特性,SWS TWT
0
80
40
ゲイン
[dB
]
0.21S
410
,SWS
TWT
310 310110110 410
,SWS
TWT
[rad/sec] [rad/sec]
33
感度関数 S
図35 感度関数
80
40
0
40
S
11 SS W
310 310110110
図36 感度関数
410
2.17S 0.21S
310 310110110 410
80
40
0
40
S
11 SS W
[rad/sec] [rad/sec]
34
感度関数 と相補感度関数S T
図37 相補感度関数
310 310110110
図38 相補感度関数
80
40
0
40
80410
2.17S 0.21S
1TW
T
80
40
0
40
80310 310110110 410
[rad/sec] [rad/sec]
35
開ループ伝達関数
ゲイン
[dB
]位相
[deg
]
図40 開ループ伝達関数
310 310110110 410
40
80
40
0
310 310110110 410
180
90
270
1TW
SWL
ゲイン
[dB
]位相
[deg
]
図39 開ループ伝達関数
310 310110110 410
40
80
40
0
310 310110110 410
180
90
270
2.17S 0.21S
[rad/sec] [rad/sec]
36
制御対象
コントローラ
閉ループ系の極
共振ピークが閉ループ系の極になっている
)8.28697.0)(0.18)(1.84)(4.84()2.28654.0)(2.28654.0(3.13)(
jssssjsjssP
)2.28655.0)(4001176)(4232)(10.0()9.28699.0)(4.84)(0.18)(972.1(1012.5)(
10
jsjsssjsssssK
,1029.4 3,1026.1 3,1001.1 3,1044.8 1,1080.1 1
,1001.1 1
,1089.21099.6 11 j,1082.21055.6 11 j
,1008.11010.1 11 j
37
付録
38
周波数重み
周波数重み の合併
)(sG
)(2 sW
u gy
2Wy
)(2 sW
)(sWS
W SW SW SW S uBxAx
W SW SW SW SW S uDxCy
周波数重み )(sWT
012
23
3)( asasasasWT
周波数重み は状態空間表現できない)(sWT
制御対象と周波数重み を合併)(sWT
周波数重み まで含んだ一般化プラント)(sWS
のフルランク条件を満たすように決定. 制御対象の相対
次数が3次であるので周波数重み の分子の次数が分母
の次数より3次高ければフルランク条件を満たす.
12D)(sWT
39
初期値を 0 として制御対象の状態方程式をラプラス変換
)()()( sUBsXAssX ggggg
ggTgTgTWT XCWYWGUWY
)()( sXCsY ggg
gg XCasasasa )( 012
23
3
gggggggg XCasXCaXsCaXsCa 012
23
3
gggggggggg UBXAAUBXAsXs 2 )0)(( ssU g
定常状態を考え, 制御入力がほとんど変化しないとする
ggggg UBAXA 2
周波数重み の合併
)(sG
)(2 sW
u gy
2Wy
)(2 sW
同様にして
gggggg UBAXAXs 233
40
ggggWT BIaAaAaCD 122
3
gWTgWTWT UDXCY
IaAaAaAaCC ggggWT 012
23
3
制御対象と重み を含んだ系
gWT
gWT
g
WT
g uD
xCC
yy
0
)(sWT
gggg uBxAx