R: Flexible Beam: Mixed Sensitivity

Reference:

Robust and Optimal Control, Spring 2015Instructor: Prof. Masayuki Fujita (S5-303B)

M. Fujita, F. Matsumura and M. Shimizu, Robust Control Design for a Magnetic Suspension System,

2nd International Symposium on Magnetic Bearing, 349-356,July 12-14, 1990, Tokyo, Japan.

2

図2 柔軟ビーム

Real Physical System

柔軟ビーム磁気浮上システム

3

図3 柔軟ビーム磁気浮上系

Ideal Physical Model

4

モデリングのための仮定

1. 磁気飽和，ヒステリシスがない．

2. うず電流は無視できる．

3. もれ磁束がない．

4. 鉄心の透磁率は無限大である．

5. 2 質量 からなる集中定数系として近似する．

6. インダクタンスは一定，速度起電力の項は無視．

,m M

5

ビームの長さ

質量

質量

定常ギャップ

ビームのたわみ

固有振動数

電磁石抵抗

電磁石インダクタンス

パラメータ 記号 値 単位

l2m

M1X2X

nf

RL

8.38.536.100.53.125.4

5716.3

mkgkgmmmmHz

H

定常電流 I 885.0 A重力加速度 g 8.9 2m/s

m = 5.8 ;M = 10.36 ;X1 = 5e-3 ;X2 = 12.3e-3 ;R = 57 ;L = 3.16;I = 0.885gg = 9.8

MATLAB program

パラメータ

6

Ideal Mathematical Model

beammag ffmgdtxdm 2

12

,2

11

xXiIkfmag ))(2())(2( 122122 xxXdt

dxxXfbeam

beamfMgdtxdM 22

22

柔軟ビーム

電磁石

eRidtdiL

O

)(2 22 xX

1x

AB

22 xX

122 )(2 xxX

0034.0k2064

327.0

]A/Nm[ 22

]N/m[]Ns/m[

H 制御系設計（混合感度）

k = 0.0034;alpha = 2064;beta = 0.327

MATLAB program

図4 数式モデル

7

Reduced Mathematical Model

線形化

dtdx

dtdxxx

dtxdM 21212

22

4242

dtdx

dtdxi

IgmMxxg

XmM

dtxdm 2121

12

12

2)2(22

1xy p

出力

)(sP 1xi

図5 柔軟ビーム磁気浮上系

8

状態空間表現

uBxAx pppp

pp xCy

Tp ixxxxx ][: 2121 eu :

hMMfd

cmmbaAp

00000/4/2

/2/0100000100

j

Bp0000

00001pC

,21:1

g

XmM

ma ,2:

mb ,2: g

mImMc

,2:M

d ,4:M

f ,:LRh

Lj 1: * は修正箇所

9

Ma = ( ( ( M+2*m )/X1 )*gg – alpha ) / m ;Mb = 2*alpha / m ;Mc = -( ( M+2*m ) / ( m*I ) )*gg ;Md = 2*alpha / M ;Mf = -4*alpha / M ;Mh = -R / L ;Mj = 1 / L ;

Ap = [ 0 0 1 0 0 ;0 0 0 1 0 ;

Ma Mb -beta 2*beta Mc ;Md Mf 2*beta -4*beta 0 ;0 0 0 0 Mh ]

Bp = [ 0; 0; 0; 0; Mj ]Cp = [ 1 0 0 0 0 ]Dp = 0

MATLAB program

10

CO = ctrb(Ap,Bp);CO_rank = rank(CO)OB = obsv(Ap,Cp);OB_rank = rank(OB)

ppppppppp BABABABABCO 432

制御対象は，可制御，可観測である

5)(rank CO

5)(rank OB

432 ppppppppp ACACACACCOB

可制御性，可観測性

MATLAB program

'

11

伝達関数表現

ggg BAsICsP1)()(

P_ss = ss ( Ap, Bp, Cp, Dp ) ;[ P_num, P_den ] = ss2tf ( Ap, Bp, Cp, Dp ) ;P_tf = tf ( P_num, P_den ) ;zpk( P_tf )

P_pole = pole ( P_ss )P_zero = zero ( P_ss )

極

,4.84

,1.84

,0.188.28697.0 j

零点

2.28654.0 j

不安定極

5 次の線形時不変系（LTI システム）であり，不安定系・振動系

振動モード

MATLAB program

)8.28697.0)(0.18)(1.84)(4.84()2.28654.0(3.13)(

jssssjssP

12

80

160

120

310 310110110

310 310110110周波数 [rad/sec]

180

90

ゲイン

[dB

]位相

[deg

]

)(sP図6 プラント

0

30

30

0 100100

図7 プラント の極・零点)(sP

omega1=logspace(-3,3,150);bode ( P_ss, omega1 ) ;Pzmap (P_ss)

MATLAB program

13

)(sK

)(sG

)(sWT

)(sK

)(sPy

u

1z)(sWS

2z

w

)(sG

)()( sSsWS)()( sTsWT

1

混合感度問題

w

)(sWS

)(sK )(sP u

)(sWT

y

1z

2z

図9 ブロック線図図10 一般化プラント

図11 一般化プラント

14

),(ˆ)( sWsW SsS

周波数重み )(sWS

s

S

fs

kssW

21

)(ˆ

,016.0Sf ,3298.1Sk

310 310110110

40

80

0

40 ゲイン

[dB

]

)(sWS図13 周波数重み

ksS

Sf2

)(sWS

2.17s

fs = 0.016 ;ks = 1.3298 ;gamma_s = 17.2 ;Ws_num = ks ;Ws_den = [ 1/(2*pi*fs) 1 ] ;Ws _tf = tf (gamma_s *Ws_num, Ws_den ) ;bodemag(Ws_tf,omega1);

310 310110110

)(1 sWS

30

60

30

0

)(1 sWS

図12 周波数特性

dec/dB20

MATLAB program

S

[rad/sec]

[rad/sec]

15

周波数重み )(sWT

321 21

21

21)(

TTTTT f

sfs

fsksW

,002.01 Tf ,1602 Tf ,2003 Tf 410Tk

310 310110110

40

80

0

40

ゲイン

[dB

]

)(sWT図15 周波数重み

Tk

121

Tfs

)(sWT

ft1 = 0.002 ; ft2 = 160 ; ft3 = 200 ; kt = 1e-4;Wt1_num = [1 2*pi*ft1];Wt1_den = [2*pi*ft1];Wt1 = tf(Wt1_num,Wt1_den);Wt2_num = [1 2*pi*ft2];Wt2_den = [2*pi*ft2];Wt2 = tf(Wt2_num,Wt2_den);Wt3_num = [1 2*pi*ft3];Wt3_den = [2*pi*ft3];Wt3 = tf(Wt3_num,Wt3_den);Wt = Wt1*Wt2*Wt3*kt;bodemag(Wt,1,omega1);

310 310110110

80

40

40

0

ゲイン

[dB

]

)(1 sWT図14 周波数特性

)(1 sWT

T

MATLAB program [rad/sec]

[rad/sec]

16

図16 周波数重み の合併

)(sP

)(sWT

u yyg

WTy

)(sWT

一般化プラント

systemnames = 'Ws_tf PWt_ss';inputvar = '[ dist; control ]';outputvar = '[ Ws; PWt_ss(1); PWt_ss(2) + dist]';input_to_Ws_tf = '[ PWt_ss(2) + dist ]';input_to_PWt_ss = '[ control ]';sysoutname = ‘G';cleanupsysic = 'yes';sysic;

MATLAB program

)(sPWT

)(sWT

)(sK

)(sPy

u

1z)(sWS

2z

w

)(sG

図10 一般化プラント

* の構成方法は付録参照)(sPWT

17

)2.28655.0)(4001176)(4232)(10.0()9.28699.0)(4.84)(0.18)(972.1(1012.5)(

10

jsjsssjsssssK

コントローラ )(sK

10.04232

4001176 j82.2655.0 j

極

972.10.184.84

9.28699.0 j

零点

安定

310 310110110

270

90

ゲイン

[dB

]位相

[deg

]

)(sK図17 コントローラ

180

310 31011011080

140

100

120

[rad/sec]

18

bode(K_mix_ss,omega1);

[ K_mix_ss, Cloop,gam ] = hinfsyn ( G, 1, 1, 'gmax', 1, 'gmin',1, 'tolgam', 0.001 ) ;[K_A,K_B,K_C,K_D] = ssdata(K_mix_ss);[ K_num, K_den ] = ss2tf ( K_A, K_B, K_C, K_D ) ;K_tf = tf ( K_num, K_den ) ;zpk(K_tf)minfo(K_mix)[ K_pole, K_zero ] = pzmap ( K_tf )

MATLAB program

19

SW1

TWL

開ループ伝達関数

310 310110110

ゲイン

[dB

]位相

[deg

]

図22 開ループ伝達関数

310 310110110

30

30

0

180

270

90

L_ss = P_ss*K_mix_ss;bode(L_ss,omega1)[ Gm, Pm, Wcg, Wcp ] …

= margin( L_ss )

69.1 ]dB[ゲイン余裕位相余裕 0.27 [deg]ゲイン交差周波数 2.58 sec]/rad[位相交差周波数 6.13 sec]/rad[

MATLAB program

[rad/sec]

20

nyquist ( L_ss )

020 10

0

10

10

0

2

2

1012

図24 ベクトル軌跡図23 ベクトル軌跡

MATLAB program

21

閉ループ系の特性

,1029.4 3

,1026.1 3,1001.1 3

,1044.8 1,1080.1 1

,1089.21098.6 11 j,1082.21054.6 11 j

,1008.11010.1 11 j

極

0

40

40

0 10005000図18 閉ループ系の極・零点

0 520 10

0

40

40

T = feedback(L_ss,1);close_p = pole ( T )close_z = zero ( T )pzmap ( T )

図19 閉ループ系の極・零点（拡大図）

MATLAB program

22

nom_perf_ss = Cloop(1,1);rob_stab_ss = Cloop(2,1)bodemag(nom_perf_ss,omega1)bodemag(rob_stab_ss,omega1)

310 310110110

図21 閉ループ系の周波数特性

0

80

40

ゲイン

[dB

]

SWS

TWT

,SWS TWT

MATLAB program

sigma(Cloop,omega1)

MATLAB program

閉ループ系の周波数特性

310 310110110

)( zwT図20 閉ループ系の周波数特性

1

9.0[rad/sec] [rad/sec]

23

感度関数 S

310 310110110

図25 感度関数

60

30

0

30

S

1SW

S = feedback(1,L_ss);bodemag(S,omega2)hold onbodemag(inv(Ws_tf),omega1)

MATLAB program

相補感度関数 T

T = feedback(L_ss,1);hold onbodemag(T,omega2)bodemag(inv(Wt))

MATLAB program

310 310110110

図26 相補感度関数

80

40

0

40

T

1TW

[rad/sec] [rad/sec]

24

ステップ応答

線形モデルに対する応答

Linear_model.mdl

Time [sec]

1x

[K_A,K_B,K_C,K_D] = ssdata(K_mix_ss);

MATLAB program

25

シミュレータ応答

nonlinear_model.mdl

1. 外乱応答2. 外乱応答 m=5.8 --> 6.953. 外乱応答 M=10.36 --> 12.304. 外乱応答 R=57.0 --> 61.7

>> simu_setup

1 から 4 のいずれかを選ぶ

1x

2x

Time [sec]

Time [sec]

26

実験結果

外乱応答

21 ]N[約 に相当する電圧 100 ]N[定常吸引力 約

時間 [s]

図27 ステップ状外乱に対する時間応答

0 63 15

0.2変位

[mm

]1x

9 120.2

0.0

0 63 15

0.2

9 120.2

0.0

変位

[mm

]2x

27

図28 ステップ状外乱に対する時間応答95.6m [kg] に変動した場合

（1） 電磁石側の質量 を から にする．m 80.5 ]kg[ 95.6 ]kg[

時間 [s]

0 63 15

0.2

変位

[mm

]1x

9 120.2

0.0

0 63 15

0.2

9 120.2

0.0

変位

[mm

]2x

28

図29 ステップ状外乱に対する時間応答3.12M [kg] に変動した場合

（2） ビーム中央部の質量 を から にする．M 36.10 ]kg[ 30.12 ]kg[

時間 [s]

0 63 15

0.2

変位

[mm

]1x

9 120.2

0.0

0 63 15

0.2

9 120.2

0.0

変位

[mm

]2x

29

図30 ステップ状外乱に対する時間応答7.61R [Ω] に変動した場合

（3） 電磁石部の抵抗 を から にする．R 0.57 ][ 7.61 ][

時間 [s]

0 63 15

0.2

変位

[mm

]1x

9 120.2

0.0

0 63 15

0.2

9 120.2

0.0

変位

[mm

]2x

30

［参考］過去の実験結果

外乱応答

15.7 ]N[約 に相当する電圧 100 ]N[定常吸引力 約

積分型LQG制御系

時間 [s]図 ステップ状外乱に対する時間応答

変位

[mm

]1x

0 1

0.1

0.1

0.0

変位

[mm

]2x

25.0 75.05.0

0 1

0.1

0.1

0.0

25.0 75.05.0

31

閉ループ系の周波数特性

)( zwT図31 閉ループ系の周波数特性

1

9.0

)( zwT図32 閉ループ系の周波数特性

2.17S 0.21S

310 410110110

1

9.0 310310 410110110 310[rad/sec] [rad/sec]

32

閉ループ系の周波数特性

図33 閉ループ系の周波数特性

0

80

40

ゲイン

[dB

]

,SWS TWT

2.17S

310 310110110

図34 閉ループ系の周波数特性,SWS TWT

0

80

40

ゲイン

[dB

]

0.21S

410

,SWS

TWT

310 310110110 410

,SWS

TWT

[rad/sec] [rad/sec]

33

感度関数 S

図35 感度関数

80

40

0

40

S

11 SS W

310 310110110

図36 感度関数

410

2.17S 0.21S

310 310110110 410

80

40

0

40

S

11 SS W

[rad/sec] [rad/sec]

34

感度関数 と相補感度関数S T

図37 相補感度関数

310 310110110

図38 相補感度関数

80

40

0

40

80410

2.17S 0.21S

1TW

T

80

40

0

40

80310 310110110 410

[rad/sec] [rad/sec]

35

開ループ伝達関数

ゲイン

[dB

]位相

[deg

]

図40 開ループ伝達関数

310 310110110 410

40

80

40

0

310 310110110 410

180

90

270

1TWSW L

ゲイン

[dB

]位相

[deg

]

図39 開ループ伝達関数

310 310110110 410

40

80

40

0

310 310110110 410

180

90

270

2.17S 0.21S

[rad/sec] [rad/sec]

36

制御対象

コントローラ

閉ループ系の極

共振ピークが閉ループ系の極になっている

)8.28697.0)(0.18)(1.84)(4.84()2.28654.0)(2.28654.0(3.13)(

jssssjsjssP

)2.28655.0)(4001176)(4232)(10.0()9.28699.0)(4.84)(0.18)(972.1(1012.5)(

10

jsjsssjsssssK

,1029.4 3,1026.1 3,1001.1 3,1044.8 1,1080.1 1

,1001.1 1

,1089.21099.6 11 j,1082.21055.6 11 j

,1008.11010.1 11 j

37

付録

38

周波数重み

周波数重み の合併

)(sG

)(2 sW

u gy

2Wy

)(2 sW

)(sWS

W SW SW SW S uBxAx

W SW SW SW SW S uDxCy

周波数重み )(sWT

012

23

3)( asasasasWT

周波数重み は状態空間表現できない)(sWT制御対象と周波数重み を合併)(sWT周波数重み まで含んだ一般化プラント)(sWS

のフルランク条件を満たすように決定. 制御対象の相対次数が3次であるので周波数重み の分子の次数が分母の次数より3次高ければフルランク条件を満たす.

12D)(sWT

39

初期値を 0 として制御対象の状態方程式をラプラス変換

)()()( sUBsXAssX ggggg

ggTgTgTWT XCWYWGUWY

)()( sXCsY ggg

gg XCasasasa )( 012

23

3

gggggggg XCasXCaXsCaXsCa 012

23

3

gggggggggg UBXAAUBXAsXs 2 )0)(( ssU g定常状態を考え, 制御入力がほとんど変化しないとする

ggggg UBAXA 2

周波数重み の合併

)(sG

)(2 sW

u gy

2Wy

)(2 sW

同様にして

gggggg UBAXAXs233

40

ggggWT BIaAaAaCD 1223

gWTgWTWT UDXCY

IaAaAaAaCC ggggWT 012233

制御対象と重み を含んだ系

gWT

gWT

g

WT

g uD

xCC

yy

0

)(sWTgggg uBxAx