FUNCIN EXPONENCIAL Y LOGARTMICA

Dedicatoria

A mis padres por su apoyo permanente y cario en mi formacinProfesional.

INDICEPg.Introduccin..Historia de las funcionesFunciones1. Definicin2. Notacin 3. Dominio y rango de una funcin 4. Clases de funciones 4.1. Funcin constante 4.2. Funcin identidad 4.3. Funcin lineal 4.4. Funcin raz cuadrada 4.5 . Funcin valor absoluto4.6 .Funcin signo 4.7 .Funcin mayor entero4.8 .Funcin cuadrtica4.9 .Funcin polinomica de grado n4.10 Funcin racional4.11 Funcin logaritmo4.12 funcin exponencialLa funcin exponencial. 1.1 Definicin.2.1 Grfica de la funcin exponencial3.1 Teorema (leyes de exponentes)4.1 Ejemplos de funciones exponencialesLas funciones hiperblicasFuncin logartmica1.1 Definicin.2.1 Propiedades3.1 Equivalencias tiles4.1 Teorema (propiedades de los logaritmos)5.1 Grfica de la funcin logartmicaLa funcin logaritmo como inversa de la funcin exponencial.Conclusiones BibliografaWeb grafas

Introduccin:

El estudio del tema de funciones es bsico para lograr comprender muchos otros temas que se irn viendo ms adelante en el curso de matemtica, adems es importante porque se le puede dar muchos usos en la vida diaria ya que generalmente se hace uso de las funciones reales, (aun cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numricas en correspondencia con otra, debido a que se est usando subconjuntos de los nmeros reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economa, de estadstica, de ingeniera, de medicina, de qumica y fsica, de astronoma, de geologa, y de cualquier rea social donde haya que relacionar variables. Pero principalmente tocaremos el tema de lo que es funciones exponenciales y logartmicas cabe decir que el mtododeinvestigacines la consulta bibliogrfica y elanlisisde la misma.

El principalobjetivode estamonografaespoderentender el uso de las funciones exponenciales y logartmicas ;y as poder utilizarlas frente a losproblemasdiarios.Algunas de estas situaciones son: el crecimiento debacteriasen un cultivo, el crecimiento de la poblacin de una ciudad, el tiempo que toma un objeto para llegar a cierta temperatura, etc.

Se trat de estructurar de la manera ms sencilla posible comenzando con las partes introductorias comenzando por todo lo que es una funcin, logaritmos . Se hizo un breve resumen para tener una idea ms clara.

Entre las dificultades que hubo en este trabajo puedo mencionar que a veces las informaciones que se investigaban no eran muy claras pero se opt por la informacin ms precisa.

Historia de las funciones

El trmino funcin fue usado por primera vez en 1637 por el matemtico francs RenDescartespara designar unapotenciaxn de la variable x.En 1694 el matemtico alemn Gottfried Wilhelm Leibniz utiliz el trmino para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso ms generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemtico alemn, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribi: "Una variable es un smbolo que representa un nmero dentro de un conjunto de ello.DosvariablesX y Y estn asociadas de tal forma que al asignar unvalora X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automticamente un valor a Y, se dice que Y es una funcin (unvoca) de X. La variable X, a la que se asignan librementevalores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.Los valorespermitidos de X constituyen eldominiode definicin de la funcin y los valores que toma Y constituye su recorrido".

Los logaritmos se inventaron alrededor de 1590 porJohn Napier(1550-1617) yJobst Brgi(1552-1632) de manera independiente. Napier, cuyo trabajo tuvo mayor influencia, era un lord escocs, de carcter muy reservado cuyos vecinos pensaban que tena un pacto con el diablo. Su enfoque de los logaritmos era muy diferente al nuestro; se basaba en la relacin entre secuencias aritmticas y geomtricas y no en la actual como funcin inversa (recproca) de las funciones exponenciales. La tablas de Napier, publicadas en 1614, contenan los llamadoslogaritmos naturalesy eran algo difciles de usar. Un profesor londinense,Henry Briggs, se interes en las tablas y visit a Napier. En sus conversaciones, ambos desarrollaron la idea de los logaritmos comunes y Briggs convirti las tablas de Napier en las tablas de logaritmos comunes que fueron publicadas en 1617. Su importancia para el clculo fue inmediatamente reconocida y alrededor de 1650 se impriman en lugares tan lejanos como China. Dichas tablas siguieron siendo una poderosa herramienta de clculo hasta el advenimiento de las calculadoras manuales de bajo precio alrededor de 1972, lo que ha disminuido su importancia como instrumento de clculo, pero no su importancia terica. Un efecto colateral de la invencin de los logaritmos fue la popularizacin de la notacin del sistema decimal para los nmeros reales.

En los enunciados de Euclides aparece un enunciado que hace referencia a los exponentes.En la edad media, en el siglo XIV, Nicolle Oresme demuestra todas las reglas necesarias para trabajar con exponentes positivos.Un siglo despus N. Choquet retoma este trabajo y agrega los exponentes negativos.Es en esta poca cuando se trabaja con mayor fuerza las funciones exponenciales.Este trabajo lo completa el matemtico alemn Michael Stifel, en el Siglo XVI exponentes racionales.

Funciones

Se sabe que el rea de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado. Asimismo, se puede asumir que el costo unitario de las computadoras personales varia con la cantidad producida de estas .Por ltimo, es posible considerar que el nmero de ejemplares vendidos de una enciclopedia depende de los montos invertidos en publicidad radial y en publicidad televisiva.

As como en los ejemplos presentados anteriormente, es usual encontrarse en la vida diaria con situaciones en las que una magnitud depende de otras u otras.Esto nos lleva a considerar el concepto de funciones.

Lo expresado en el primer prrafo debe ser entendido en el sentido que el rea de un cuadrado es una funcin de la longitud de su lado, que el costo unitario de las computadoras personales es una funcin de la cantidad producida y que el nmero de ejemplares vendidos de una enciclopedia es una funcin de lo invertido en esas dos clases de publicidad.

Esto es, los dos primeros ejemplares corresponden a funciones que dependen de una variable independiente ,que son la longitud del lado del cuadrado y el nmero de computadoras producidas ,respectivamente ,mientras que el ltimo ejemplo considera una funcin que depende de ms de una variable independiente (las inversiones en publicidad radial y en publicidad televisiva).

Cabe destacar que el termino funcin fue introducido en la segunda mitad del siglo XVII por Gottfried Leibnitz (Leipzig 1646 -1716),a quien tambin se deben las notaciones dx y dy ,el smbolo de la integral y los trminos clculo diferencial.

1. Definicin

Dado los conjuntos A y B y , se define una funcin f de A en B (f: A B) a toda relacin de A en B que asocia a cada elemento de A un nico elemento de B.

Observaciones:i. f es un subconjunto del producto cartesiano A x B.ii. A es llamado el conjunto de partida y B, el conjunto de llegada.iii. Si f, se debe entender que a es la preimagen y que b es la imagen de a por f.iv. Si , necesariamente

Sean

A partir de A x B, se puede considerar la siguiente funcin:

AB235 492536

es la imagen de 2 por

Ejemplo 1

Sean

P = yR =

Calcular el nmero de elementos del producto cartesiano , si se sabe que:

Se pide:=

De los datos se deduce que:

Entonces = = 2 x 1=2.

Ejemplo 2 Dada la funcin , encontrar la imagen de -1 por .

Se pide hallar el valor de .

De la observacin iv se desprende que:

De donde, la imagen de -1 por es .

2. Notacin

Al haber sealado en la observacin iii. Que si el par ordenado ,Entonces, es la preimagen de por y es la imagen de por .todo esto se puede denotar como , que se interpreta como depende de o es funcin de .En general: significa depende de o es funcin de . Por ello, ( y se considera que es la regla de correspondencia de la funcin.Ejemplo 4Si = , se tiene que: = = = ==

3. Dominio y rango de una funcin

Si asumimos que es tal que , entonces .se considera dominio de la funcin al conjunto de los valores de para los cuales existe y al rango, como el conjunto de los valores de para los cuales existe

De acuerdo con la definicin dada, el dominio debe coincidir con el conjunto de partida .Formalmente, este requisito solo debera ser aplicable al caso de las funciones totalmente definidas llamadas aplicaciones. Sin embargo ,y por simplicidad ,asumiremos que las funciones son aplicaciones.

Ejemplo 5Determinar el dominio y el rango de la funcin = 2

Dominio: se despeja y se analiza el segundo miembro 2 Se requiere que dom

Rango: se despeja y se analiza el segundo miembro

(1)

puede tomar cualquier valor (2)

De (1) y (2): ran 4. Clases de funciones y4.1 funcin constante

4.2 funcin identidad

45

4.3 funcin lineal y

: pendienteordenada en el origen

4.4 funcin raz cuadrada

4.5 funcin valor absoluto

4.6 funcin signo

1

Que equivale a

4.7 funcin mayor entero

De donde

4.8 funcin cuadrtica

La grafica es una parbola de eje vertical y las coordenadas de su vrtice son

Caso 1: a: la parbola es cncava hacia arriba

Si la grfica corta dos veces al eje x.

Si , la grfica corta una vez al eje x.

Si la grfica no corta al eje x.

Caso 2: a: la parbola es cncava hacia abajo

Si la grfica corta dos veces al eje x.

Si , la grfica corta una vez al eje x.

Si la grfica no corta al eje x.

4.9 funcin polinmica de grado n

La grafica de la funcin corta al eje de abscisas en n,n-2,n-4,puntos.

4.10 funcin racional

Ejemplo 11La funcin tiene por dominio a todos los valores reales de x excepto 1 y -2, porque anulan al denominador.

4.11 funcin logaritmo

Caso 1: : la grfica corresponde a una funcin creciente.

Caso 1: : la grfica corresponde a una funcin decreciente.

y

x

4.12 funcin exponencial

Caso 1: : la grfica es creciente.

1

Caso 2: : la grfica es decreciente.

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS LA FUNCIN EXPONENCIAL

1. Definicin.

Sea un nmero real positivo. La funcin que a cada real le hace corresponder la potencia se llama funcin exponencial de base a y exponente x.

Una funcin exponencial, es aquella cuya regla de correspondencia es con y dominio todo Es decir:

Base a

DOMINIODOMINIO

=ASINTOTA HORIZONTAL

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades ms importantes de la funcin exponencial.

1.1 Teorema (leyes de exponentes)

Sean reales positivos y , entonces:1.

2.

3.

4.

5.

6.

Cuando si , entonces,.Es decir, cuando la base es mayor que 1, la funcin exponencial de base es estrictamente creciente en su dominio.

Cuando ,si ,entonces ,,esto significa que la funcin exponencial de base es estrictamente decreciente en su dominio.

Si ,se tiene:

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases. Cualquiera que sea el nmero real positivo, existe un nico nmero realtal que.Esta propiedad indica que la funcin exponencial es sobreyectiva.Cuandoxeyson enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cualxeyson racionales, la demostracin utiliza la definicin y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuandoxey son reales, la demostracin utiliza elementos del anlisis real.1.2 Grfica de la Funcin Exponencial

En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las grficas de algunas funciones exponenciales de basea> 1 (fig. 1) y de basea< 1

Note que cuando la baseaes mayor que 1, la funcin exponencial (fig.1) no est acotada superiormente. Es decir,crece sin lmite al aumentar la variablex. Adems, sta funcin tiene al cero como extremo inferior. Esto es,tiende a cero(0), cuandoxtoma valores grandes pero negativos.Igualmente, cuando la base, la funcin exponencial(fig.2) no est acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. As,crece sin lmite, al tomarxvalores grandes, pero negativos ytiende a cero, cuando la variablextoma valores grandes positivos.El hecho de ser la funcin exponencialcon, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando ), significa que la funcin exponencial es inyectiva en su dominio. Este hecho y la continuidad de la funcin son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la funcin inversa (funcin logartmica), que se presentan en la prxima seccin.En relacin con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fcilmente de la definicin de funcin; y, en otro, del hecho de ser la funcin exponencial inyectiva.Observacin.Cuando , donde , es el numero irracional cuya representacin decimal con sus primeras cifras decimales, es , la funcion exponencial , se llama:funcin exponencial de baseey, frecuentemente, se denota porExp(x) =

Ejemplos de funciones exponenciales

1. La funciny= 2xes una funcinexponencialdebase2. Algunos de los valoresque toma esta funcion son:

2. La funcin es una funcin exponencial de base Algunos de los valores que toma esta funcin son:

1.4 Propiedades de la funcinexponencial

1. Parax= 0, la funcin toma el valor 1:

2. Parax= 1, la funcin toma el valora:

3. La funcin es positiva para cualquier valor dex

Esto es debido a que labasede la potencia,a, es positiva, y cualquier potencia debasepositiva da como resultadoun nmero positivo.

4. Si labasede la potencia es mayor que 1,, la funcin es creciente.

5. Si labasede la potencia es menor que 1,, la funcin es decreciente.

1.4 Representacin grfica de la funcinexponencial

Observando las propiedades antes descritas para una funcinexponencial, se han de distinguir dos casos para hacer la representacin de una funcin

A)En este caso, parax= 0,y=a0= 1Parax= 1,y=a1=aPara cualquierx, la funcin es creciente y siempre positiva.Como caso particular se representa la funciny= 2x.

B)a