56

12 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

P A R A E M P E Z A R

Expresa el nmero 27

1

682

3

243

2

como potencia de base 2.

27

1

682

3

243

2

27

(

(

2

24

3

)

)2

3

2

(3

22)2

27 28

2

9

2324

22

1

1

2

1 2

Calcula los siguientes logaritmos.a) log3 27

b) log5 625

c) log9 3

a) log3 27 3, ya que 33 27

b) log5 625 4, ya que 54 625

c) log9 3 12

, ya que 912 9 3

Si log 5 0,699, cunto valdr log 500?

log 500 log (5 100) log 5 log 100 0,699 2 2,699

La superficie de un bosque en un parque natural se duplica cada 50 aos. Si actualmente es de3 kilmetros cuadrados, cul ser dentro de dos siglos?

3 24 3 16 48

La superficie dos siglos despus ser de 48 kilmetros cuadrados.

La funcin exponencial bx (b 1)

P A R A P R A C T I C A R

Calcula los valores que toman las funciones f y g para x 2, x 1, x 0, x 1 y x 2.

f (x) 3x g (x) 7x

Para la funcin f tenemos que:

f (2) 32 19

f (1) 31 13

f (0) 1 f(1) 3 f (2) 32 9

Para la funcin g tenemos que:

g (2) 72 419 g (1) 71

17

g (0) 1 g (1) 7 g (2) 72 49

Utiliza la calculadora para obtener los valores de la funcin f(x) 6x en x 2 y x .f 2 62 12,603; f () 6 278,376

Ejercicio resuelto

Muy importante en matemticas por sus numerosas aplicaciones es lafuncin exponencial f(x) ex, en la que la base es el nmero irracionale 2,7182 Representa esta funcin grficamente.

Formamos una tabla de valores utilizando la tecla de la calculadora.

Con ayuda de estos puntos trazamos la grfica.

12.3

12.2

12.1

4

3

2

1

1

1

y = ex

O X

Y

x 1 0 1 2

ex 0,37 1 2,72 7,39

ex

Utiliza la tecla de la calculadora para representar la funcin exponencial de base 10.

Formamos una tabla de valores utilizando la tecla de la calculadora.

Representa grficamente las funciones f(x) 4x y g(x) 9x. Cul crece ms rpido? Por qu?

Crece ms rpido g (x) 9 x, ya que su base es mayor.

Qu grfica crece ms deprisa, la de y 2 x

o la de y 3 x? Por qu?

Crece ms rpido y 3x, ya que su base es mayor.

Ejercicio resuelto

A partir de la grfica de la funcin y 2x, dibuja las grficas de las funciones:

f(x) 2x 3 g(x) 2x 2

La grfica de f se obtiene desplazando la de y 2x

tres unidades hacia arriba.

La grfica de g se obtiene trasladando la de y 2x

dos unidades hacia la izquierda.

A partir de la grfica de y 3x, representa las funciones siguientes.

f(x) 3x 2 g(x) 3x 2 h(x) 3x 2 4

La grfica de la funcin f se obtiene trasladando la grfica dela funcin y 3x dos unidades hacia arriba.

La funcin g se obtiene desplazando la grfica de y 3x dosunidades hacia la derecha.

La grfica de h se obtiene desplazando la grfica de y 3x

dos unidades hacia la izquierda y cuatro unidades hacia arriba.

12.8

12.7

12.6

12.5

10x12.4

57

2

2

Y

XO

y = 10x

1

Y

XO

f (x) = 4xg (x) = 9x

1

y = 2x

g

f

O X

Y

1

1

2

Y

XO

3

f (x) = 3x + 2

y = 3x

h (x) = 3x + 2 + 4

g (x) = 3x 2

x 1 0 0,5 1

10x 0,1 1 3,16 10

x 2 1 0 0,5 1

f(x) 116

14

1 2 4

g(x) 811

19

1 3 9

10x

P A R A A P L I C A R

Problema resuelto

Una persona ingresa en un banco 2000 euros a un inters anual del 3%. Si no retira el capital ni losintereses, qu capital tendr al final del quinto ao?

Al irse aadiendo al final de cada ao los intereses al capital inicial (inters compuesto), podemos aplicar la frmula de losaumentos exponenciales:

Cf Ci 1 in1te0r0st

2000 1 13005

2000 1,035 2318,55

Realiza una grfica que muestre el capital que se ira generando a lo largo del tiempo al colocar 5000 euros en un banco al 4% de inters compuesto.

Seguira la funcin y 5000 (1,04)x, donde x son los aos transcurridos.Su grfica es:

Es lo mismo un inters compuesto mensual del 1% que un inters compuesto anual del 12%? Aplcalos a un capital de 1000 euros.

No es lo mismo.Con un 12% anual, en un ao 1000 euros se convierten en: 1000 1,12 1120 .Con un 1% mensual, en un ao 1000 euros se convierten en: 1000 1,0112 1126,83 .

Un bosque tarda aproximadamente 20 aos en duplicar la cantidad de madera que produce. Escribe lafrmula que expresa la cantidad de madera producida al cabo de t aos.

Llamamos Ci a la cantidad inicial de madera producida y Cf a la cantidad final de madera producida, entonces la formula quedara as: Cf Ci 2 .

Un alcalde ha prometido en la campaa electoral que las inversiones del Ayuntamiento en polticas sociales aumentarn un 3% cada ao durante la nueva legislatura. Sabiendo que el ao anterior a sueleccin, el Ayuntamiento gastaba 1 000 000 de euros en dichas polticas, elabora una grfica que represente la cantidad de dinero que invertir a lo largo de los prximos cuatro aos de mandato.

La cantidad invertida es: y 1 000 000 1,03x, donde x es el nmero de aos transcurridos.Su grfica es la siguiente:

12.13

2t0

12.12

12.11

12.10

12.9

58

10

5000

Y

XO

y = 5000 1,04x

100

Y

XOy = 1000000 1,03x

106

La evolucin de la poblacin mundial tiene un comportamiento que se aproxima a una funcin exponencial, como muestra la siguiente grfica.

a) Resume los datos de la grfica en una tabla.

b) En torno a qu ao ha comenzado la poblacina crecer ms rpidamente?

c) Describe las caractersticas de la funcin.

a)

b) En torno al ao 1900.

c) Su dominio es R.Su recorrido es R.No corta el eje OX.Cortan el eje OY en el punto (0, 225).Es continua.Es creciente.Cuando los valores de x tienden a , los de y tienden a .Cuando los valores de x tienden a , los de y tienden a 0, es decir, la recta y = 0 es una asntota horizontal.

La funcin exponencial bx (0 b 1)

P A R A P R A C T I C A R

Ejercicio resuelto

Obtn, sin utilizar la calculadora, los valores que toman las funciones f y g para x 2, x 1,x 1 y x 2.

f (x) 13x

g (x) 3x

Se sustituyen los valores de x en las frmulas y se aplican las propiedades de las potencias:

f (2) 132

32 9 g(2) 3(2) 32 9

f (1) 131

3 g(1) 3(1) 3

f (1) 131

13

g(1) 31 13f (2) 13

2

19

g(2) 32 132

19

Obtn, sin utilizar la calculadora, los valores que toman las funciones f y g para x 2, x 1,x 0, x 1 y x 2.

f (x) 7x g (x) 10x

f (2) 72 49 f (1) 71 7 f (0) 70 1 f (1) 71 17

f (2) 72 419

g (2) 102 100 g (1) 101 10 g (0) 100 1 g (1) 101 110 g (2) 102

1100

12.16

12.15

12.14

59

0

2

4

6

250 500 750 1000 1250 1500 1750Ao

2000

Pobl

aci

n(m

iles

de m

illon

es)

1

3

5

Ao 0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000

Poblacin 225 250 300 375 400 425 500 900 de 6000

Halla con la calculadora los valores que toma la funcin f(x) 14x

en x 3 y x .

f 3 14 0,091; f () 14

0,0128

Representa grficamente las siguientes funciones.

a) y 4x b) y 12x

Ejercicio resuelto

A partir de la grfica de la funcin y 2x, dibuja las grficas de las funciones siguientes.

f(x) 2x 3 g(x) 2x 2

La grfica de f se obtiene trasladando la de y 2x tres unidades hacia arriba. Como g(x) 2x 2 2(x 2),la grfica de g se obtiene desplazando la grfica de y 2x

dos unidades hacia la derecha.

A partir de la grfica de y 5x, representa las funciones siguientes.

f(x) 5x 2 g(x) 5x 2 h(x) 5x 3 4

Como f(x) 5x2 5(x2), la grfica de f se obtienedesplazando la grfica de y 5x dos unidades hacia la de-recha.

Como g(x) 5x 2, la grfica de g se obtiene trasladan-do la grfica de y 5x dos unidades hacia abajo.

Como h(x) 5x 3 4 5(x 3) 4 la grfica de h seobtiene desplazando la grfica de y 5x tres unidades hacia la derecha y cuatro unidades hacia arriba.

12.20

12.19

12.18

12.17

60

x 1 0,5 0 0,5 1

f(x) 4 2 1 0,5 14

g(x) 12 3,47 1 0,28 112

1

1

y 2x

O X

Y

g

f

2

Y

XO

2

f(x) = 4x

g(x) = 12x

2

Y

X

2

O

y = 5x

f (x) = 5x +2

g (x) = 5x 2

h (x) = 5x +3 +4

3

P A R A A P L I C A R

Los ncleos de los elementos radiactivos se transforman en otros ms estables mediante la emisinde diferentes partculas subatmicas. La figura muestra la curva de desintegracin del uranio 238.

a) Se llama perodo de semidesintegracin altiempo necesario para que se desintegren lamitad de los ncleos. Cul es el perodo desemidesintegracin del uranio 238?

b) Cunto tardar una muestra de 500 gramosde uranio 238 en reducirse a 62,5 gramos?

a) El perodo de semidesintegracin es 4500 millones de aos.

b) Tenemos que 62,5 gramos corresponde al 12,5% de 500 gramos, por lo que observando en la grfica el tiempo que tardaren reducirse ser 4500 3 13 500 aos.

Un cubito de hielo de 2 centmetros cbicos se introduce en una bebida. Cada minuto que pasa, el 10% de su volumen se transforma en agua lquida. Cunto tiempo tiene que pasar para que se derrita la mitad del cubito de hielo?

El volumen del cubito sigue la funcin y 2 (0,9)x; donde x son los minutos transcurridos desde que se introdujo en la bebida. Todo se reduce a resolver la ecuacin:

2 (0,9)x 1 (0,9)x 0,5 x log 0,9 0,5 lloo

gg

00,,59

6,58 minutos

Desde el momento en que se compra un automvil, su valor se deprecia a razn de un 20% anual. Sihoy compramos un coche cuyo valor es de 30 000 euros:

a) En cunto estar valorado al cabo de un ao?

b) Y al cabo de dos aos?

c) Y al cabo de tres aos y medio?

d) Escribe la frmula de la funcin que relaciona el valor en euros del coche con el tiempo en aostranscurrido desde su compra.

e) Representa grficamente la funcin y describe sus caractersticas principales.

a) 30 000 0,80 24 000

b) 30 000 (0,80)2 19 200

c) 30 000 (0,80)3,5 13 738,40

d) y 30 000 (0,80)x, donde x son los aos transcurridos desde la compra.

e) Su dominio es R.Su recorrido es R.No corta el eje OX.Corta el eje OY en el punto (0, 30 000).Es continua.Es decreciente.

Cuando los valores de x tienden a , los de y tienden a 0, es decir, la recta y 0 es una asntota horizontal.Cuando los valores de x tienden a , los de y tienden a .

12.23

12.22

12.21

61

0

25

Tiempo (millones de aos)

Porc

enta

je

4500

Uranio 238

5

20000

Y

XO

La funcin logartmica logb x (b 1)P A R A P R A C T I C A R

Sin utilizar la calculadora, halla los valores que toma la funcin f(x) log2 x para x 1, x 32,

x 116 y x 2.

f (1) log21 0, ya que 20 1 f (32) log2 32 5, ya que 25 32

f116 = log2116 4, ya que 24 1/16 f 2 log2 2 1/2, ya que 2 2

Ejercicio resuelto

Representa la funcin logaritmo neperiano y lnx.

Formamos una tabla de valores utilizando la tecla de la calculadora.

Con estos puntos trazamos la grfica:

Representa las siguientes funciones empleando la frmula de cambio de base y la calculadora:

f(x) log5 x g(x) log3 x

f (x) log5 x lloogg

5x

g (x) = log3 x lloogg

3x

Ejercicio resuelto

A partir de la grfica de la funcin y log2 x, representa las grficas de las funciones siguientes.

f(x) log2 (x 1) g(x) log2 x 1

La grfica de la funcin f se obtiene trasladando la grfica de la funcin y log2 x una unidad a la izquierda.La grfica de la funcin g se obtiene trasladando la grfica de la funciny log2 x una unidad hacia abajo.

A partir de la grfica de la funcin y log5 x, representa las funciones siguientes.

f(x) log5 (x 3) g(x) log5 x 4

La grfica de f se obtiene desplazando la grfica de la funcin y tres unidadeshacia la izquierda.

La grfica de g se obtiene desplazando la grfica de la funcin y cuatro unidadeshacia arriba.

12.28

12.27

12.26

ln

12.25

12

12.24

62

1

1

y = ln x

O X

Y

1

1

Y

XO

g (x) = log3 x

f (x) = log5 x

1

1y = log2 x

O X

Y

f

g

1

1

Y

XOy = log5 x

g (x) = log3 x +4

f (x) = log5 (x +3)

x 0,1 0,5 1 5 10 50 100

y 2,30 0,69 0 1,61 2,30 3,91 4,61

x 1 2 3 4 5

f(x) 0 0,43 0,68 0,86 1

g(x) 0 0,63 1 1,26 1,46

A partir de la grfica de la funcin f (x) log2 x, representa grficamente la de g(x) 2log2 (x 1) 3.

Para representar esa funcin vamos representando las funciones y log2 (x 1),desplazando f una unidad a la derecha; y 2 log2 (x 1), multiplicando por dos y; fi-nalmente, desplazando y tres unidades hacia abajo tendramos la funcin g.

P A R A P R A C T I C A R

Problema resuelto

La superficie de un bosque aumenta un 3,5% al ao. Cunto tiempo tardar en duplicarse?

Como la superficie aumenta exponencialmente: Sf Si 1 10i 0t

Si se duplica la superficie: Sf 2 Si 2 Si = Si 1 130,50t

2 1,035t t log2 1,035 loglo

1g,0235

20,15 aos

Tardar, aproximadamente, 20 aos y 55 das.

La tasa de crecimiento anual de la poblacin de una ciudad es del 4%. Cuntos aos tienen que pasar para que la poblacin se triplique?

Como la poblacin aumenta exponencialmente: Pf Pi 1 10i 0t

Si se triplica la poblacin Pf 3Pi 3Pi Pi 1 1400t

3 1,04t t log3 1,04 lolgog

1,304

28,01 aos

Tardar aproximadamente 28 aos.

Se invierte una cantidad de 1 000 000 de euros al 6% de inters compuesto anual. Cunto tiempo debetranscurrir para que el capital supere 1 500 000 euros?

1 000 000 1 1600t

1 500 000 1,06t 1,5 t log1,5 1,06 lologg

11,,056

6,95 aos

Debern transcurrir casi siete aos.

Debido a las campaas publicitarias, las donaciones particulares a las ONG en una zona de Espaa estn creciendo a razn de un 10% anual. En el ao 2006, en dicha zona alcanzaron la cantidad de 1 000 000 de euros.

a) Qu funcin proporciona los aos transcurridos desde 2006 en funcin de las donaciones particulares recibidas en millones de euros?

b) Qu dominio tendr la funcin del apartado anterior para que se ajuste a la realidad?c) Representa dicha funcin.

a) La funcin que nos da las donaciones recibidas conociendo losaos transcurridos es y 1 000 000 (1,1)x.Si pretendemos que la variable x dependa de y, lo que tene-mos que hacer es despejar x de la funcin anterior.

1 000

y000 (1,1)x x = log1,1 1 000y 000

La funcin ser y log1,1 x log1,1 1 000 000

b) Su dominio ser [1 000 000, ), ya que si no obtendramosun nmero de aos negativo.

12.33

12.32

12.31

12.30

12.29

63

1

1

Y

XO

f (x) = log2 xg (x) = 2 log2 (x 1) 3

106

20

Y

XO 3106 6106

c)

Noelia introduce un termmetro en el interior de un horno apagado, y este marca una temperaturade 15 C. Las instrucciones del horno indican que su temperatura aumenta un 40% cada minuto quetranscurre desde el encendido.

a) Cunto tardar el horno en alcanzar la temperatura de 184 C?

b) Qu funcin nos permite obtener el tiempo que debe estar encendido el horno para alcanzar unatemperatura determinada?

c) Representa la funcin del apartado anterior y describe sus caractersticas.

a) Se trata de resolver la ecuacin: 15 (1,4)x 184

15 (1,4)x 184 (1,4)x 11854

(1,4)x 12,267 x log 1,4 1,4 log 1,4 12,26 x 7,45 min 7 min 27 s

b) y log 1,4 1x5 donde y es el tiempo que debe estar encendido el horno y x la temperatura alcanzada.c) El dominio, teniendo en cuenta el contexto del problema, ser [15, ).

Su recorrido es R.No corta el eje OY y corta el eje OX en el punto (15, 0).Es continua y creciente.Cuando los valores de x tienden a 0 por la derecha, los de y tienden a .Cuando los valores de x tienden a , los de y tienden a .

La funcin logartmica logb x (0 b 1)

P A R A P R A C T I C A R

Halla, sin utilizar la calculadora, los valores que toman las siguientes funciones en los puntos que seindican.

a) f (x) = log13 x en x 217, x 1 y x

39

b) g (x) = log0,5 x en x 116, x

32 y x 4

a) f217 log13217 3, f (1) log13(1) 0, f 3 9 log133 9 2/3

b) g116 log0,5116 4, g 3 2 log0,53 2 23, g (4) log0,5(4) 2

Escribe la expresin algebraica de las siguientes funciones.

La expresin algebraica de la grfica verde es f (x) log2 x,ya que f (2) 1. La grfica roja corresponde a la expresin g (x) log 0,3 x, ya que g (0,3) 1; y la azul es h (x) log 0,8 x,porque h(0,8) 1.

12.36

12.35

12.34

64

2

Y

XO 15

1

1O X

Yf

gh

Con ayuda de la calculadora cientfica, representa grficamente las siguientes

funciones.

f(x) log0,25 x g(x) log0,75 x

Cul de ellas decrece ms rpido? Por qu?

Decrece ms rpido g(x) log0,75 x, ya que la base es mayor.

A partir de la grfica de la funcin y log0,5 x, representa las grficas de las siguientes funciones.

f(x) log0,5 (x 2) h(x) log0,5 x 3

g(x) log0,5 (x 3) i(x) log0,5 x 2

f : Se traslada la grfica de y dos unidades a la izquierda.

g : Se traslada la grfica de y tres unidades a la derecha.

h : Se traslada la grfica de y tres unidades hacia arriba.

La grfica de i (x) log0,5 x2 es la misma quei (x) 2 log0,5 x, con lo que cada valor se duplica.

En cuntos puntos se cortan las grficas de dos funciones logartmicas de base b 0?

Dos funciones logartmicas y logb x, con b 0, se cortan nicamente en el punto (1, 0).

Dibuja la grfica de la funcin y log0,75 x y, apoyndote en ella, dibuja la grfica de la funcin

f(x) log0,75 (x 3)3.

La grfica de la funcin f se obtendr desplazando lagrfica de y tres unidades hacia la izquierda y, luego,cada valor se multiplica por tres.

P A R A A P L I C A R

Problema resuelto

La superficie de bosque del planeta est decreciendo a razn de un 2% anual.

Cuntos aos pasarn hasta que dicha superficie represente el 65% de la actual?

Como la superficie de bosque decrece exponencialmente:

Sf Si 1 10i 0t

La superficie final va a representar el 65% de la actual, es decir, Sf 0,65 Si.

0,65 Si Si 1 1200t

0,65 0,98t t log0,98 0,65 lloo

gg

00,,6958

21,3 aos

Pasarn 21 aos y 4 meses, aproximadamente.

12.41

12.40

12.39

12.38

12.37

65

1

Y

XO 1

g (x) = 2 log0,75 x

f (x) = log0,25 x

1

Y

X1O

f

g

y

h

i

1

5

Y

XO

y

f

En los ltimos aos, el precio de un producto ha descendido a razn de un 4% anual. Si actualmenteel precio es de 25 euros:

a) Cunto costaba hace 3 aos?

b) Halla la frmula que expresa el tiempo transcurrido en funcin del precio del producto.

c) Representa grficamente la funcin del apartado anterior.

a) Como el precio del producto decrece exponencialmente:

Pf Pi 1 10i 0t

25 Pi 1 14003

25 Pi (0,96)3 Pi 0,29563 28,25

Hace 3 aos el precio del producto era 28,25 euros.

b) La funcin que nos da el precio de un producto conociendolos aos transcurridos es 25 Pi (0,96)t.Si pretendemos que la variable t dependa de Pi, lo que tenemos que hacer es despejar t de la funcin anterior.

25 Pi (0,96)t 2P5i

(0,96)t t log0,96 2P5i

En el proceso de combustin de la madera, la cantidad de esta se reduce a razn de un 15% por minuto. Echamos un trozo de madera de 2 kilogramos al fuego. Transcurrido un tiempo, nicamentequedan 140 gramos de madera.

a) Cunto tiempo hace que arrojamos el trozo de madera al fuego?

b) Cul es la funcin que nos proporciona el tiempo transcurrido desde que se ech el trozo de madera al fuego en funcin de la madera que an no se ha quemado?

c) Qu dominio tendr esa funcin desde el punto de vista prctico?

a) Resolvemos la ecuacin:

Cf Ci 1 10i 0t

0,140 2(0,85)t 0,1240 (0,85)t x log 0,85 0,07

lloo

gg

00,,0875

16,36 min

Hace 16 minutos y 22 segundos.

b) y log 0,85 2x, donde y representa el tiempo transcurrido en minutos y x la cantidad de madera sin quemar en kilogramos.c) Su dominio ser (0, 2].

Al principio de una operacin se administran a un paciente 50 miligramos de un frmaco anestsicocuya concentracin en la sangre humana disminuye exponencialmente con arreglo a la funcin f (t) k 0,95t, donde k es la cantidad inicial en miligramos, y t, el tiempo en minutos transcurridodesde el momento de su administracin.

a) Cuntos miligramos de anestsico quedan en la sangre del paciente a la hora y media?

b) Al cabo de cunto tiempo su concentracin se reduce a la mitad?

c) Cul es la frmula de la funcin g que nos da el tiempo transcurrido, conocida la concentracin?

a) Una hora y media son 90 minutos, por lo que: f(90) 50 (0,95)90 0,50 mg de anestsico.

b) 25 50 (0,95)t; 25

50 (0,95)t; 0,5 (0,95)t; log0,95 0,5 t; t 13,51 min.

c) g (t) log0,95 c, donde c es la concentracin.

12.44

12.43

12.42

66

25

10

t

PiO

c)

Relacin entre funciones exponenciales y logartmicas

P A R A P R A C T I C A R

Dada la tabla de valores correspondiente a la funcin f, copia y completa la tabla de la funcin recproca.

La funcin f le hace corresponder a cada nmero su quinta parte. Cul es la funcin recproca?

La frmula de f es f(x) 5x

y la de la funcin recproca es f1(x) 5x.

Ejercicio resuelto

Halla la funcin recproca de y 2x 1.

En casos sencillos se puede obtener la funcin recproca siguiendo los siguientes pasos.

1. Se intercambian las variables. x 2y 1

2. Se despeja y. y x

21

Obtn las funciones recprocas de las siguientes funciones.

f (x) 3x 2 g (x) x 2 h (x) x2

5

f (x) x 3y 2 x 2 3y y x 3

2

g (x) x y 2 y x 2

h (x) x 2y

5 x 5 2y

y 2x 10

Halla la funcin recproca de cada una de las siguientes.

f (x) log5 x g (x) 3x

f1(x) 5x g1(x) log 3 x

Considera la funcin f dada por la siguiente grfica.

a) De qu tipo de funcin se trata?

b) Dibuja la grfica de la funcin recproca f 1.

a) Es una funcin exponencial.

12.50

12.49

12.48

12.47

12.46

12.45

67

1

1O X

Y

2

1

Y

XO

f -1 (x) = log10 x

x 1 2 3 4 5

f(x) 3 5 2 1 4

x 1 2 3 4 5

f1(x) 4 3 1 5 2

b) Para dibujar f1 tenemos en cuen-ta que las grficas de dos funcio-nes reciprocas son simtricas res-pecto a la bisectriz del primer cua-drante.

Cul es la funcin recproca de f (x) ex?

La funcin logaritmo neperiano: f1(x) ln x

Identifica las siguientes funciones, dibuja en tu cuaderno la grfica de sus funciones recprocas e indica tambin su frmula.

a) b)

a) La funcin corresponde a la expresin f (x) log5 x. b) La funcin corresponde a g (x) 3x

Su funcin recproca es f1(x) 5x. Su funcin recproca es g1(x) log3 x

P A R A A P L I C A R

Para llenar un depsito, se abre un grifo que arroja un caudal de 10 litros por minuto.

a) Cul es la funcin que representa los litros que hay en el depsito en funcin del tiempo transcurrido?

b) Cul es la funcin recproca de la obtenida en el apartado anterior? Qu representa?

a) y 10x, donde x representa el tiempo transcurrido.

b) x 10y y 1x0.

Representa el tiempo en minutos que hace que se abri el grifo, en funcin del volumen de agua en litros que hay en el depsito.

Una poblacin de parsitos se reproduce duplicando su nmero cada da. Considerando que todos viven y que inicialmente hay un nico parsito:

a) Escribe la funcin que representa el nmero de parsitos en funcin de los das transcurridos.

b) Obtn su recproca e indica qu representa.

a) y 2x

b) y log2 x. Representa los das transcurridos en funcin del nmero de parsitos que hay.

12.54

12.53

12.52

12.51

68

1

1O X

Y

1

1O X

Y

1

1

Y

XO

1

1

Y

XO

El volumen de madera en un bosque es de 15 000 metros cbicos. Los estudios muestran que su tasade crecimiento anual es del 5%. El Gobierno autonmico ha encargado a dos organizaciones un informe analizando este crecimiento.

La primera organizacin estudia la evolucin de la cantidad de madera del bosque a medida quetranscurre el tiempo.

La segunda organizacin estudia los perodos de tiempo que han de transcurrir para que el bosqueproduzca determinado volumen de madera.

Obtn las expresiones de las funciones empleadas en cada estudio y represntalas. Cmo son sus grficas? Por qu?

La primera organizacin utiliz la funcin y 15 000 1,05x, mientras quela segunda represent la su funcin recproca, que es:

x 15 000 1,05y 15

x000 (1,05)y y log1,0515 x000

Las grficas son simtricas respecto a la bisectriz del primer cuadran-te, por ser funciones recprocas.

M A T E M T I C A S A P L I C A D A S

P A R A A P L I C A R

A un laboratorio especializado en datar fsiles mediante la tcnica del carbono 14 han llegado variosfsiles. Despus de medir el carbono 14 que conservan, han resultado los siguientes datos.

Completa la tabla para poder catalogarlos en un museo.

80% t log 0

lo,8g0

0

,55730

1844,64 1845 aos 10% t log 0

lo,1g00

,55730

19 034,64 19 035 aos

25% t log 0

lo,2g5

0

,55730

11 460 11 460 aos 99% t log 0

lo,9g9

0

,55730

83,1 83 aos

Al mismo laboratorio ha llegado un fsil fechado en el Neoltico de cuya datacin se desconfa. Se realiza la prueba pertinente y resulta que conserva el 90% del carbono 14. Realmente pertenece alNeoltico?

Como el fsil conserva el 90% del carbono 14, se sustituye el dato en la funcin y se obtiene:

t log CCfi log 0

lo,9g0

0

,55730

871,16

El fsil tendra una antigedad de 870 aos, por lo que sera demasiado reciente para pertenecer al Neoltico. La cronologadel Neoltico, que se inicia en el Prximo Oriente y Mesopotamia, vara segn las zonas, pero se sita por lo general entre losaos 6000 a. C. y 3000 a. C.

5730

log 12

12.57

12.56

12.55

69

Porcentaje de carbono 14 80% 25% 10% 99%

Tiempo transcurrido

y = 15 000 . 1,05x

y = log1,05 =x

15 000

y = x

500

500

Y

XO

Actividades Finales

P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

Con ayuda de la calculadora, halla los siguientes logaritmos.

a) log4 15 c) log3,4 4,55 e) log23

8,73

b) log7 30,2 d) log0,77 3,39 f) log7 5

9

a) log4 15 1,953 c) log3,4 4,55 1,238 e) log23

9,73 5,344

b) log7 30,2 1,751 d) log0,77 3,39 4,671 f) log7 5

9 0,452

Indica razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) log 2 log 3 log 5

b) log2 5 log3 5

c) El dominio de las funciones logartmicas es el conjunto de los nmeros reales.

d) Las funciones f(x) 2x y g(x) 12x

son recprocas.

e) Las funciones recprocas son simtricas respecto a la recta y x.

a) Falsa, log 2 + log 3 = log (2 3) = log 6

b) Falsa, ya que 2 3c) Falsa, es el conjunto de los nmeros reales positivos.

d) Falsa, la funcin inversa de y = 2x es y = log2 x.

e) Verdadera.

Elabora una tabla de valores para representar las siguientes funciones y describe sus principales ca-ractersticas.

f(x) 32x

g(x) 3x h(x) log3 x

Caractersticas de f:

Su dominio es R. Su recorrido es R. Es continua.

Es creciente.

Cuando x y y cuando x y 0

Caractersticas de g:

Su dominio es R. Su recorrido es R. Es continua.

Es decreciente.

Cuando x y 0 y cuando x y

Caractersticas de h:

Su dominio es R. Su recorrido es R. Es continua.

Es creciente.

Cuando x y y cuando x 0+ y

12.60

12.59

12.58

70

x 0,1 0,5 1 2

h(x) log3 x 2,1 0,6 0 0,6

x 2 1 0 1 2

f (x)32x

49

23

1 32

94

x 2 1 0 1 2

g(x) 3x 9 3 1 13

19

1

Y

XO

h(x) = log3 x

g(x) = 3x

32f (x) = ( )

x

1

La funcin exponencial f (x) kbx verifica que f (0) 4 y que f (3) 108.

Calcula la constante k y la base b, y representa grficamente la funcin.

f (0) 4 k b0 4 k 4

f (3) 108 4 b3 108 b3 27 b 3

Con lo que f (x) 4 3x

A partir de la grfica de y 2x, representa las siguientes funciones.

f (x) 2x 3 g (x) 2x 3 h (x) log2 x

Para representar f desplazamos la grfica de y tres unidadeshacia abajo.Para representar g desplazamos la grfica de y tres unidadeshacia la derecha.h es la funcin reciproca de y. Su grfica es la simtrica respecto a y x.

A partir de la grfica de y 13x

, representa las siguientes funciones.

f (x) 13x

3 g (x) 13x3

h (x) log

Para representar f desplazamos la grfica de y tresunidades hacia arriba.Para representar g desplazamos la grfica de y tresunidades hacia la derecha.h es la funcin reciproca de y. Su grfica es la sim-trica respecto a y x.

A partir de la grfica de la funcin y log5 x, representa las grficas de las siguientes funciones.

f (x) log5 (x 2) g (x) log5 x 2 h (x) 5x

Para representar f desplazamos la grfica de y dos unidades hacia la izquierda.Para representar g desplazamos la grfica de y dosunidades hacia arriba.h es la funcin reciproca de y. Su grfica es la sim-trica respecto a y x.

Las grficas que se muestran pertenecen a funciones exponenciales.

Qu podemos decir del valor de sus bases?

La grfica de f es de una funcin exponencial de base b 1. Adems pasa por(0,1) y (1,4), es por tanto y 4x.

La grfica de g es de una funcin exponencial de base 0 b 1. Adems pasapor (0, 1) y (1, 5), es por tanto y 5x.

12.65

12.64

12.63

12.62

12.61

71

1

1

Y

XO

y

f

g

h

1

1

Y

XO

y = 4 3 x

1

1O X

Yf

g

1

1

Y

XO

f

h

y

g

1

1

Y

XOh

f

g

y

13x

Las grficas que se muestran a continuacin representan dos funciones logartmicas.

Qu podemos decir del valor de sus bases?

La grfica de g es creciente, por lo que su base ser b 1. Adems pasa por (4, 1), espor tanto g (x) log4 x

La grfica de f es decreciente, por lo que su base ser 0 b 1. Adems pasa por

(7, 2), por tanto ser f (x) loga 7 2 7 a2. As, a 1

7 f (x) log

1

7

En la grafica se han representado las funciones f (x) 2x, g (x) 3x y h (x) log0,3 x.

Identifcalas.

La grfica de f es la verde, la de g es la azul y la de h es la roja.

Una de las funciones representadas en la grfica es exponencial, y otra, logartmica.

a) Cul es la exponencial y cul la logartmica?b) Son funciones recprocas?

a) La logartmica es g, ya que pasa por el punto (1, 0). La exponencial es f ya que pasa por (1, 0).

b) S, porque son simtricas respecto a la recta y x.

Por qu punto pasan las grficas de todas las funciones exponenciales? A qu se debe esto?

Pasa por el punto (0, 1), ya que b0 1.

Por qu punto pasan todas las funciones logartmicas? A que se debe esto?

Pasa por el punto (1, 0) ya que logb 1 0

La poblacin de Espaa crece a un ritmo del 3% anual. En el ao 2006, en Espaa vivamos 45 millonesde personas.

a) Cuntas personas vivirn en Espaa a mediados de 2015?b) Expresa algebraicamente el nmero de habitantes de Espaa en funcin de los aos transcurridos

desde 2006.c) Expresa algebraicamente los aos transcurridos desde 2006 en funcin del nmero de habitantes de

Espaa.

a) Pf Pi 1 10i 0t

45 000 000 (1,03)9,5 59 589 007 personas.

b) y 45 000 000 (1,03)x, siendo x la diferencia, en aos, con 2006.

c) y log1,03 45 00x0 000

12.71

12.70

12.69

12.68

12.67

12.66

72

1

1O X

Y

f

g

1

1O X

Y

1

1O X

Y

g

f

El radio Ra226 tiene un perodo de semidesintegracin de 1600 aos.

a) Cunto tardarn 4 gramos de Ra226 en reducirse a la mitad?b) Escribe la funcin que da la masa resultante de la desintegracin de m gramos de Ra226 en funcin

de los aos transcurridos.c) Cuntos aos tardarn esos 4 gramos de Ra226 en transformarse en 3 gramos?

a) Tardarn 1600 aos, ya que esa es precisamente la definicin de perodo de semidesintegracin.

b) f (x) m 12c) 3 4 12 0,75 12 log0,5 0,75 16x00 x 1600 log0,5 0,75 664 aos

P A R A R E F O R Z A R

Calcula las siguientes potencias y logaritmos.

a) 33 c) log5 25 e) log2 8

b) 153

d) log3 217 f) log2 4

a) 33 31

3 217 c) log5 25 2 e) log2 8 32

b) 153

125 d) log 3 217 3 f) log2 4 4

Representa grficamente las funciones f(x) 4x y g(x) log4 x, e indica:

a) Cul es el dominio de cada una.

b) Cul es el recorrido de cada una.

c) Si son crecientes o decrecientes.

d) Si presentan sus grficas alguna simetra.

a) El dominio de f es R y el de g es R.

b) El recorrido de f es R y el de g es R.

c) Las dos son estrictamente crecientes.

d) Son simtricas respecto a la recta y x, puesto que son recprocas.

Explica las diferencias que hay entre las grficas de las funciones f(x) log2 x y g(x) log0,5 x.

Las diferencias principales son:

f es creciente y g es decreciente.

Cuando x , f tiende a y g tiende a .

Cuando x 0, f tiende a y g tiende a .

12.75

12.74

12.73

x1600

x1600

x1600

12.72

73

1

1

Y

XO

f

g

Representa la grfica de la funcin y 25x

y halla su:

a) Dominio a) Rb) Recorrido b) R

c) Funcin recproca c) y1 log35 x

Una ameba se duplica cada hora. a) Cuntas amebas habr al cabo de 4 horas?b) Halla la funcin exponencial que expresa esta situacin.

a) 24 16 amebas b) f(x) 2x

Al cabo de 11 aos, un capital colocado al 4% de inters compuesto anual se ha convertido en10 006,45 euros.a) Qu capital se ingres hace 11 aos? b) Qu funcin proporciona el tiempo transcurrido desde el ingreso en funcin del capital generado?

a) Se trata de resolver la ecuacin: 10 006,45 x (1,04)11 x 6500

b) y log1,04 65x00P A R A A M P L I A R

Calcula la siguiente suma: log2 2 log2 4 log2 8 ... log2 250

log2 2 log2 4 ... log2 250 1 2 ... 50 S50 y esto es la suma de los 50 primeros trminos de una

progresin aritmtica, por lo que S50 50 1 250 1275.Calcula la siguiente suma infinita: log2 2 log2

42 log2

82 log2

162 ...

log2 2 log2 4

2 log2 8

2 ... 12 14

18

... S y esto es la suma de los infinitos trminos de una progresin

geomtrica de razn 12

, por lo que S 1.Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 2 log x log 12 log x3

b) log (x 1) log x 1

a) 2 log x log 12 log 3x

1x2

2

3x

La solucin x 0 est fuera del dominio, con lo que no es vlida.

b) log (x 1) log x 1 x x

1 10 x 1 10x x 1

9

En 1980, la poblacin de China era de 995 millones de personas, con un crecimiento anual del 1,4%.Ese mismo ao, la poblacin de todo el continente africano era de 470 millones de personas, con uncrecimiento anual del 2,9%.Si se mantienen estos ritmos de crecimiento, cuntos aos pasarn para que China y frica tengan elmismo nmero de habitantes? Ensaya con tu calculadora.

La poblacin de China ser, en millones de habitantes: 995 (1,014)t y la de frica ser: 470 (1,029)t.Ensayando con la calculadora, vemos que estas expresiones coinciden cuando t est entre 51 y 52.

La poblacin de una ciudad en el ao 2000 era de 1 500 000 habitantes, y en 2006, de 1 750 000.Si su crecimiento es exponencial, halla la funcin que expresa el nmero de habitantes en funcin delos aos transcurridos desde el 2000.

La poblacin en funcin del tiempo viene dada por f(t) k ax.t 0 f(0) k 1 500 000t 6 f(6) 1 750 000 1 500 000 a6 1,16 a6 a 1,026

Luego la funcin es: Pf Pi 1 10i 0t

Pf 1 500 000 (1,026)t

12.83

12.82

x 0x 4

12.81

12

1

12

12.80

12.79

12.78

12.77

12.76

74

1

1

Y

XO

En un laboratorio se cultivan dos tipos de bacterias.Las del tipo A tardan un da en dividirse, y las del tipo B, dos das.Supongamos que inicialmente se tiene una bacteria del tipo A y 16 del tipo B.a) Cuntos das tienen que pasar para que la poblacin de ambos tipos sea la misma?b) Escribe la funcin que proporciona el nmero total de bacterias que hay en el laboratorio en

funcin de los das transcurridos.

a) 2x 16 2 2x

2 16 2 16

2x

4 x 8 das

b) f(x) 2x 16 2

El nmero de habitantes de una determinada poblacin en millones viene dado por la siguiente expresin, en la que t es el nmero de aos transcurridos desde 1900.

P(t) 1 70

1,6,1

30,08t

Cul era el nmero de habitantes en el ao 1900? Y en el 2000?

P(0) 711,1,6 0,015 363 millones de habitantes 15 363 habitantes.

P(100) 1,088 289 millones de habitantes 1 088 289 habitantes.

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

El deshielo

Debido al cambio climtico, la superficie de hielo en la cima de una montaa disminuye cada ao.En la grfica se sealan las lneas de nivel donde comenzaba la existencia de hielo en tres aos diferentes: 1995, 2000 y 2005.

a) Utilizando la frmula para calcular el rea lateral de un cono, calcula la superficie de hielo existenteen la cima cada uno de los tres aos.

b) Con la ayuda de los datos correspondientes a los aos 1995 y 2000, establece un modelo de decrecimiento de la superficie de hielo del tipo: AL A Ba 1995 donde a representa el ao, y A yB son valores que debes determinar.

c) Comprueba que el modelo se ajusta tambin al ao 2005.

a) Los tres conos, correspondientes a los tres aos, verifican que gr

115200

1,25 r 1,

g25.

Los datos para los tres aos son:

b) AL 59 411 0,995a1995c) Para el ao 2005: AL 59 411 0,99510 56 506 m2 que se ajusta bastante bien a la superficie real.

12.86

12.85

x2

x2

x2

x2

12.84

75

Ao g (m) r (m) AL r g (m2)

1995 153,75 123 59 411

2000 151,85 121,48 57 952

2005 150 120 56 549

59 411 A B0 A 59 411

57 952 A B5 B 5 5579 945121 0,995

La escala de Richter

Para medir la magnitud M de un terremoto se utiliza la escala de Richter, que queda determinada porla siguiente relacin emprica:

log E C 1,5 MSiendo E la energa liberada por el sesmo, medida en ergios (1 ergio 107 julios), y C, una constante.a) Calcula el valor de C sabiendo que un terremoto de magnitud 2,4 libera una energa de 1015 ergios.b) Calcula la relacin entre las energas liberadas por dos terremotos cuya diferencia de magnitudes es

de una unidad.c) Se estima que, en un determinado planeta, la energa liberada cada ao por los terremotos es de

5 1025 ergios. Si todos los terremotos son de magnitud 5, aproximadamente, cuntos ocurren enun ao?

a) log E C 1,5 M log 1015 C 1,5 2,5 C 15 3,6 11,4

b) log EE12 log E1 log E2 C 1,5 M1 C 1,5 M2 1,5 (M1 M2) 1,5 1 1,5 EE

1

2 101,5 31,6

c) La energa liberada por un terremoto de magnitud 5 es log E 11,4 7,5 18,9 E 1018,9 ergios.

En un ao: 5 1100

1

2

8

5

,9 6 294 627 terremotos

A U T O E V A L U A C I N

Decide cules de las siguientes funciones son exponenciales, y de las que lo sean, obtn su recproca.

f (x) x3 g(x) x h(x) 42x

Son exponenciales las funciones g y h, y sus recprocas son g1(x) log x y h1(x) log4 x.

En la siguiente grfica se representan dos funciones exponenciales de distinta base.

Cul de las dos tiene una base mayor?

Tiene base mayor la funcin f, ya que es mayor que 1, mientras que la de g estentre 0 y 1.

Representa las funciones f (x) log 12 x y g(x) log2 x, y contesta a estas cuestiones.

a) Tienen el mismo dominio?b) Tienen el mismo recorrido?c) Tienen algn punto en comn?d) Son recprocas?

a) Sb) Sc) S, el (1, 0)d) No, porque no son simtricas respecto a la recta y x.

12.A3

12.A2

12.A1

12.87

76

1

1O X

Yfg

1

1

Y

XO

f

g

Indica qu tipo de funciones se representan en la siguiente grfica.

La funcin f es la logartmica, ya que pasa por el punto (1, 0). La funcin g es la exponencial ya que pasa por el punto(0, 1).

Un fabricante aumenta el precio de sus productos segn el IPC, que en los ltimos aos ha aumentadoun 2% anual. Si un televisor cuesta este ao 350 euros:

a) Expresa su precio en funcin del tiempo.b) Cul es la funcin recproca de la del apartado anterior? Qu significado tiene?

a) y 350 (1,02)x con x el tiempo en aos.

b) y log1,02 35x0

Proporciona el tiempo que tiene que transcurrir para que el televisor alcance un precio determinado.

E N T R E T E N I D O

Investiga con calculadora

Aunque tu calculadora tenga la tecla , el resul-tado de 759 no cabe en la pantalla.Calcula los valores de la funcin exponencial de base7 para los primeros nmeros naturales, busca regu-laridades y haz tu conjetura.Quin de los dos tiene razn?

Hallamos con la calculadora los valores de la funcin exponencial de base 7 para los primeros nmeros naturales.

Observamos que se producen regularidades en las ltimas cifras y vemos que la terminacin del resultado de 759 depender del resto de la divisin entera 59 : 4, es decir del exponente entre 4.Como al efectuar este cociente el resto que obtenemos es 3, podemos conjeturar que la potencia buscada termina en 43. Por lo tanto, la chica tiene razn.

yx

12.A5

12.A4

77

1

O X

Y

1

g

f

71 7

72 49

73 343

74 2401

7 5 16 807

7 6 117 649

7 7 823 543

7 8 5 764 801

79 40 353 607

...

El resultado de 759 termina en 1.

No es verdad. Acaba en 43.