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1FUNCIONES

INTRODUCCIÓN Las funciones son fundamentales en el estudio del cálculo. En este capítulorepasamos lo que son las funciones, cómo se dibujan sus gráficas, cómo se combinan y setransforman, así como las formas en las que se pueden clasificar. Además, revisamos las fun-ciones trigonométricas y analizamos las representaciones erróneas que pueden ocurrir cuandose utilizan calculadoras o computadoras para obtener la gráfica de una función. En los apén-dices se revisa el sistema de los números reales, así como las coordenadas cartesianas, laslíneas rectas, las parábolas y las circunferencias. En el capítulo 7 se tratan las funciones inver-sas, exponenciales y logarítrnicas.

1.1 Las funciones y sus gráficas

Las funciones son una herramienta para describir el mundo real en términos matemáticos.Una función puede representarse mediante una ecuación, una gráfica, una tabla numérica omediante una descripción verbal; a lo largo de este texto utilizaremos las cuatro representa-ciones. Esta sección revisa tales ideas de función.

Funciones: Dominio y rangoLa temperatura a la cual hierve el agua depende de la altitud sobre el nivel del mar (el puntode ebullición es más bajo conforme se asciende). El interés que se paga por una inversión de-pende del tiempo que ésta se conserve. El área de un círculo depende de su radio. La distanciaque recorre un objeto a una rapidez constante a lo largo de una trayectoria recta depende deltiempo transcurrido.

En cada caso, el valor de una cantidad variable, digamos y, depende del valor de otra can-tidad variable, que podríamos llamar x. Decimos que ''y es una función de x", lo que en formasimbólica escribimos como .

y = f(x) ("y es igual a f de x").

En esta notación, el símbolo f representa a la función, la letra x es la variable independienteque representa el valor de entrada de f, mientras que y es la variable dependiente o variable desalida def en x.

DEFINICIÓN Una función f de un conjunto D a un conjunto Yes una regla que asignaa cada elemento x E D un solo o único elemento f(x) E Y.

El conjunto D de todos los valores posibles de entrada se denomina dominio de la función.El conjunto de todos los valores de f(x) cuando x varía por todos los valores de D se denominarango de la función. El rango podría no incluir a todos los elementos del conjunto Y. El dominioy el rango de una función pueden ser cualquier conjunto de objetos, aunque en cálculo con fre-cuencia se trata de conjuntos de números reales, los cuales se interpretan como puntos de unarecta coordenada. (En los capítulos 13 a 16 encontraremos funciones para las que los elementosson puntos en el plano coordenada o en el espacio).

1

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1 FUNCIONES

INTRODUCCIÓN Las funciones son fundamentales en el estudio del cálculo. En este capítulo repasamos lo que son las funciones , cómo se dibujan sus gráficas, cómo se combinan y se transforman, así como las formas en las que se pueden clasificar. Además, revisamos las funciones trigonométricas y analizamos las representaciones erróneas que pueden ocurrir cuando se utilizan calculadoras o computadoras para obtener la gráfica de una función . En los apéndices se revisa el sistema de los números reales, así como las coordenadas cartesianas, las líneas rectas, las parábolas y las circunferencias. En el capítulo 7 se tratan las funciones inversas, exponenciales y logarítmicas.

Las funciones y sus gráficas

Las funciones son una herramienta para describir el mundo real en términos matemáticos. Una función puede representarse mediante una ecuación, una gráfica, una tabla numérica o mediante una descripción verbal; a lo largo de este texto utilizaremos las cuatro representaciones. Esta sección revisa tales ideas de función.

Funciones: Dominio y rango

La temperatura a la cual hierve el agua depende de la altitud sobre el nivel del mar (el punto de ebullición es más bajo conforme se asciende) . El interés que se paga por una inversión depende del tiempo que ésta se conserve. El área de un círculo depende de su radio. La distancia que recorre un objeto a una rapidez constante a lo largo de una trayectoria recta depende del tiempo transcurrido.

En cada caso, el valor de una cantidad variable, digamos y, depende del valor de otra cantidad variable, que podríamos llamar x . Decimos que ''y es una función de x", lo que en forma simbólica escribimos como .

y = f(x) ("y es igual a f de x").

En esta notación, el símbolo f representa a la función, la letra x es la variable independiente que representa el valor de entrada de f, mientras que y es la variable dependiente o variable de salida de f en x .

DEFINICIÓN Una función f de un conjunto D a un conjunto Yes una regla que asigna a cada elemento x E D un solo o único elemento f(x) E Y.

El conjunto D de todos los valores posibles de entrada se denomina dominio de la función. El conjunto de todos los valores de f(x) cuando x varía por todos los valores de D se denomina rango de la función. El rango podría no incluir a todos los elementos del conjunto Y. El dominio y el rango de una función pueden ser cualquier conjunto de objetos, aunque en cálculo con frecuencia se trata de conjuntos de números reales, los cuales se interpretan como puntos de una recta coordenada. (En los capítulos 13 a 16 encontraremos funciones para las que los elementos son puntos en el plano coordenado o en el espacio).

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2 Capítulo 1: Funciones

x •Entrada

(dominio)

f ---.~f(x)Salida(rango)

FIGURA 1.1 Diagrama que muestra una[unción como una especie de máquina.

x ~.r..;-- ~f(a)

D = conjuntodominio

y = conjunto quecontiene al rango

FIGURA 1.2 Una función del conjunto Daun conjunto Y asigna un único elemento de Ya cada elemento en D.

f(x)

Con frecuencia una función se expresa mediante una fórmula que describe cómo calcularel valor de salida a partir de la variable de entrada. Por ejemplo, la ecuación A = 7Tr2 es unaregla que permite calcular el área A de un círculo de radio r (así, r se interpreta como una lon-gitud, que en esta fórmula sólo puede ser positiva). Cuando definimos una función y = f(x)mediante una fórmula, y el dominio no se establece de forma explícita o se restringe por el con-texto, se supondrá que el dominio será el mayor conjunto de números reales x para los cualesla fórmula proporciona valores reales para y, el llamado dominio natural. Si de alguna maneraqueremos restringir el dominio, debemos establecerlo. El dominio de y = x2 es todo el conjuntode los números reales. Para restringir el dominio de la función, digamos a valores positivospara x, escribiríamos "y = x2, x> O".

Por lo regular, al cambiar el dominio para el que aplicamos una fórmula, se modifica tam-bién el rango. El rango de y = x2 es [O, (0). El rango de y = x2, X 2: 2, es el conjunto de todoslos números reales que se obtienen al elevar al cuadrado números mayores o iguales a 2. En lanotación de conjuntos (véase el apéndice 1), el rango es {x21x 2: 2} o {y Iy 2: 4} o [4, (0).

Cuando el rango de una función es un subconjunto de números reales, se dice que la fun-ción tiene valores reales (o que es real valuada). Los dominios y rangos de muchas funcio-nes con valores reales de una variable real son intervalos o combinaciones de intervalos. Losintervalos pueden ser abiertos, cerrados y semiabiertos, así como finitos o infinitos. El rangode una función no siempre es sencillo de determinar.

Una función f es como una máquina que produce el valor de salida f(x) en su rango, siem-pre que le demos el valor de entrada x de su dominio (figura 1.1). Las teclas de funciones enuna calculadora ofrecen un ejemplo de una función vista como una máquina. Por ejemplo, latecla Vx en una calculadora da el valor de salida (la raíz cuadrada) siempre que se introduceun número no negativo x y se presiona la tecla Vx.

Una función también se puede representar como un diagrama de flechas (figura 1.2).Cada flecha asocia un elemento del dominio D con un único elemento en el conjunto Y. En lafigura 1.2 las flechas indican que f( a) está asociada con a, f(x) está asociada con x y así suce-sivamente. Observe que una función puede tener el mismo valor en dos elementos de entradadiferentes en el dominio [como ocurre conf(a) en la figura 1.2], pero a cada elemento de en-trada x se le asigna un solo valor de salida f(x).

EJEMPLO 1 Verifique los dominios naturales y los rangos asociados de algunas funcionessencillas. En cada caso, los dominios son los valores de x para los que la fórmula tiene sentido.

Función Dominio (x) Rango (y)

y = x2

Y = l/xy= Vxy=~y=~

(-00, (0)(-00, O) U (O, (0)[O, (0)

(-00,4][-1, 1]

[O, (0)

(-00, O) U (O, (0)[O, (0)

[O, (0)

[O, 1]

Solución La fórmula y = x2 da un valor real y para cualquier número real x, así que el do-minio es (-00, (0). El rango de y = x2 es [O, (0), ya que el cuadrado de cualquier número reales no negativo y todo número no negativo y es el cuadrado de su raíz cuadrada, y = (vY)2para y 2: O.

La fórmula y = l/x será un valor real y para toda x, excepto para x = O. De acuerdo conlas reglas aritméticas, no podemos dividir un número entre cero. El rango de y = l/x, el con-junto de los recíprocos de todos los números reales distintos de cero, es precisamente elconjunto de todos los números reales distintos de cero, ya que y = l/(l/y). Esto es, paray =1=-0, el número x = l/y es la entrada asignada al valor de salida y.

La fórmula y = Vx da un valor real de y sólo si x 2: O. El rango de y = Vx es [O, (0),porque cada número no negativo es la raíz cuadrada de algún número (es decir, es la raíz cua-drada de su propio cuadrado).

En y = ~ la cantidad 4 - x no puede ser negativa. Es decir, 4 - x 2: ° o x ::s 4.La fórmula da valores reales de y para todas las x ::s 4. El rango de ~ es [O, (0), elconjunto de todos los números no negativos.


x • Entrada

(dominio)

f - __ ---i.~ f(x) Salida (rango)

FIGURA 1.1 Diagrama que muestra una

[unción como una especie de máquina.

x ~ .r -;-- ~f(a) f(x)

D = conjunto dominio

y = conjunto que contiene al rango

FIGURA 1.2 Una función del conjunto Da

un conjunto Y asigna un único elemento de Y

a cada elemento en D.

Con frecuencia una función se expresa mediante una fórmula que describe cómo calcular el valor de salida a partir de la variable de entrada. Por ejemplo, la ecuación A = 7Tr2 es una regla que permite calcular el área A de un círculo de radio r (así, r se interpreta como una longitud, que en esta fórmula sólo puede ser positiva). Cuando definimos una función y = f(x) mediante una fórmula, y el dominio no se establece de forma explícita o se restringe por el contexto, se supondrá que el dominio será el mayor conjunto de números reales x para los cuales la fórmula proporciona valores reales para y , el llamado dominio natural. Si de alguna manera queremos restringir el dominio, debemos establecerlo. El dominio de y = x2 es todo el conjunto de los números reales. Para restringir el dominio de la función, digamos a valores positivos para x, escribiríamos "y = x2, x > O".

Por lo regular, al cambiar el dominio para el que aplicamos una fórmula, se modifica también el rango. El rango de y = x2 es [O, (0). El rango de y = x2, X 2: 2, es el conjunto de todos los números reales que se obtienen al elevar al cuadrado números mayores o iguales a 2. En la notación de conjuntos (véase el apéndice 1), el rango es {x21 x 2: 2} o {y Iy 2: 4} o [4, (0).

Cuando el rango de una función es un subconjunto de números reales, se dice que la función tiene valores reales (o que es real valuada). Los dominios y rangos de muchas funcio nes con valores reales de una variable real son intervalos o combinaciones de intervalos. Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados y semiabiertos, así como finitos o infinitos. El rango de una función no siempre es sencillo de determinar.

Una función f es como una máquina que produce el valor de salida f(x ) en su rango, siempre que le demos el valor de entrada x de su dominio (figura 1.1). Las teclas de funciones en una calculadora ofrecen un ejemplo de una función vista como una máquina. Por ejemplo, la tecla Vx en una calculadora da el valor de salida (la raíz cuadrada) siempre que se introduce un número no negativo x y se presiona la tecla Vx .

Una función también se puede representar como un diagrama de flechas (figura 1.2). Cada flecha asocia un elemento del dominio D con un único elemento en el conjunto Y. En la figura 1.2 las flechas indican que f( a) está asociada con a, f(x) está asociada con x y así sucesivamente. Observe que una función puede tener el mismo valor en dos elementos de entrada diferentes en el dominio [como ocurre conf(a) en la figura 1.2], pero a cada elemento de entrada x se le asigna un solo valor de salida f(x).

EJEMPLO 1 Verifique los dominios naturales y los rangos asociados de algunas funciones sencillas. En cada caso, los dominios son los valores de x para los que la fórmula tiene sentido.

Función Dominio (x) Rango (y)

y = x2 (- 00, (0) [O, (0)

Y = l /x (-00, O) U (O, (0) (-00, O) U (O, (0)

y= Vx [O, (0) [O, (0)

y =~ (-00, 4] [O, (0)

y=~ [ - 1, 1] [O, 1]

Soludón La fórmula y = X2 da un valor real y para cualquier número real x, así que el dominio es (-00, (0). El rango de y = X 2 es [O, (0), ya que el cuadrado de cualquier número real es no negativo y todo número no negativo y es el cuadrado de su raíz cuadrada, y = (v'Y)2 para y 2: O.

La fórmula y = l/x será un valor real y para toda x, excepto para x = O. De acuerdo con las reglas aritméticas, no podemos dividir un número entre cero . El rango de y = l / x, el conjunto de los recíprocos de todos los números reales distintos de cero, es precisamente el conjunto de todos los números reales distintos de cero, ya que y = l / (l / y ). Esto es, para y -:F 0, el número x = l / y es la entrada asignada al valor de salida y .

La fórmula y = Vx da un valor real de y sólo si x 2: O. El rango de y = Vx es [O, (0), porque cada número no negativo es la raíz cuadrada de algún número (es decir, es la raíz cuadrada de su propio cuadrado).

En y = V4=X la cantidad 4 - x no puede ser negativa. Es decir, 4 - x 2: ° o x :::; 4. La fórmula da valores reales de y para todas las x :::; 4. El rango de ~ es [O, (0), el conjunto de todos los números no negativos.

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1.1 Las funciones y sus gráficas 3

La fórmula y = ~ da un valor real de y para toda x en el intervalo cerrado de-1 a l. Fuera de este dominio, 1- x2 es negativo y su raíz cuadrada no es un número real.Los valores de 1 - x2 y sus raíces varían de Oa 1 en el dominio dado. El rango de ~es [O, 1]. •

Gráficas de funcionesSi f es una función con dominio D, su gráfica consiste en los puntos del plano cartesianocuyas coordenadas son las parejas de entrada-salida de f. En notación de conjuntos, la grá-fica es

{(x,j(x» I x E D}.

La gráfica de la función f(x) = x + 2 es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y)para los que y = x + 2. Su gráfica es la línea recta que se bosqueja en la figura l.3.

La gráfica de una función f es una representación útil de su comportamiento. Si (x, y)es un punto en la gráfica, entonces y = f(x) es la altura de la gráfica en el punto x. La alturapuede ser positiva, negativa o cero, lo cual depende del valor de f(x) (figura 1.4).

y

--~r---~---------+x

x y = x2

-2 4-1 1

O O1 1

3 92 42 4

FIGURA 1.3 La gráfica de f(x) = x + 2 esel conjunto de puntos (x, y) para los cuales ytiene el valor x + 2.

y

FIGURA 1.4 Si (x, y) pertenece a la gráficade I,entonces el valor de y = f(x) es la altura dela gráfica arriba de x (o abajo de x si f(x) esnegativa).

EJEMPLO 2 Trace la gráfica de la función y = x2 en el intervalo [-2,2].

Solución Elabore una tabla de parejas xy que satisfagan la ecuación y = x2. Trace los pun-tos (x, y) cuyas coordenadas aparecen en la tabla y dibuje una curva suave por los puntos tra-zados (rotule la curva con su ecuación) (véase la figura 1.5). •

y ¿Cómo sabemos que la gráfica de y = x2 no será como una de estas curvas?

y

-2 -1 O 2

FIGURA 1.5 Gráfica de la función en elejemplo 2.

y



Para averiguarlo, podríamos tabular más puntos. Pero, ¿cómo los conectamos? La pregunta ori-ginal se sostiene: ¿de qué manera sabremos con certeza cuál es el aspecto de la gráfica entrelos puntos que tabulamos? El cálculo responde esta pregunta, como veremos en el capítulo 4.Mientras tanto, nos conformaremos con tabular puntos y conectarlos lo mejor que sea posible.

Representación en forma numérica de una funciónVimos cómo puede representarse una función de forma algebraica mediante una fórmula (lafunción del área de un círculo) y visualmente mediante una gráfica (ejemplo 2). Otra manerade hacerlo es en forma numérica por medio de una tabla de valores. Los ingenieros y científi-cos con frecuencia utilizan las representaciones numéricas. Con una adecuada tabla de valores,se obtiene la gráfica de una función al aplicar el método que se ilustró en el ejemplo 2, posible-mente con ayuda de una computadora. La gráfica que consiste en sólo los puntos de la tabla sedenomina diagrama de dispersión.

EJEMPLO 3 Las notas musicales son ondas de presión en el aire. Los datos en la tabla 1.1indican la variación de presión registrada contra el tiempo en segundos de una nota musicalproducida por un diapasón. La tabla es una representación de la función de presión a lo largodel tiempo. Si primero trazamos un diagrama de dispersión y luego conectamos los puntos(t,p) de la tabla, obtendremos la gráfica que se muestra en la figura 1.6.

Datos del diapasónp (presión)

TABLA 1.1

Tiempo Presión Tiempo Presión1.00.80.6

0.00091 -0.080 0.00362 0.217 0.4

0.200 0.00379 0.480 0.20.00108 t (seg)0.00125 0.480 0.00398 0.681 -0.2

-0.40.00144 0.693 0.00416 0.810 -0.60.00162 0.816 0.00435 0.827

FIGURA 1.6 La curva suave que pasa por los puntos trazados0.00180 0.844 0.00453 0.749 según la tabla 1.1 forma una gráfica que representa a la función0.00198 0.771 0.00471 0.581 de presión (ejemplo 3).0.00216 0.603 0.00489 0.3460.00234 0.368 0.00507 0.0770.00253 0.099 0.00525 -0.1640.00271 -0.141 0.00543 -0.3200.00289 -0.309 0.00562 -0.3540.00307 -0.348 0.00579 -0.2480.00325 -0.248 0.00598 -0.0350.00344 -0.041

•La prueba de Larecta verticaL para una funciónNo cualquier curva en el plano coordenado puede ser la gráfica de una función. Una función fsólo puede tener un valor f(x) para cada x en su dominio, por lo que ninguna recta vertical in-terseca más de una vez a la gráfica de una función. Si a está en el dominio de la función f, en-tonces la recta vertical x = a intersecará a la gráfica de f en un único punto (a, fea»~.

Una circunferencia no puede ser la gráfica de una función, ya que algunas rectas vertica-les intersecan a la circunferencia dos veces. Sin embargo, la circunferencia en la figura 1.7acontiene las gráficas de dos funciones de x: la semicircunferencia superior, definida median-te la función f(x) = ~ y la semicircunferencia inferior definida mediante la funcióng(x) = - ~ (figuras 1.7b y 1.7c).


y

FIGURA 1.8 La función valorabsoluto tiene dominio (-00,00)y rango [0,00).

y

y =f(x)

FIGURA 1.9 Para graficar la funcióny = f(x), que se muestra aquí, aplica-mos fórmulas diferentes a las distintaspartes del dominio (ejemplo 4).

y

"/'y=x"fi.--..O

/

"--.o"h Y=lxJ

""

3

2

FIGURA 1.10 La gráfica de la fun-ción mayor entero y = lxJ está sobreo debajo de la recta y = x, por lo queproveé un piso entero para x(ejemplo 5).


y y y

-1

-1---t---+----+-~ x-~---+---~-~x

-1

(b)y=~ (c)y=-~

FIGURA 1.7 (a) La circunferencia no es la gráfica de una función; no satisface el criterio de la recta ver-tical. (b) La semicircunferencia superior es la gráfica de la funciónf(x) = ~. (e) La semicircun-ferencia inferior es la gráfica de la función g(x) = -~.

Funciones definidas por partes

A veces una función se describe mediante el uso de fórmulas diferentes en distintas partes desu dominio. Un ejemplo es la función valor absoluto

[x] = { x,-x,

x 2:: Ox < O,

cuya gráfica se observa en la figura l.8. El lado derecho de la ecuación significa que la funciónes igual a x si x 2:: O, e igual a-x si x < O. A continuación veremos algunos otros ejemplos.

EJEMPLO 4 La función

x<OO:S;x:S;x > 1

está definida en toda la recta real, pero sus valores están dados por distintas fórmulas, locual depende de la posición de x. Los valores de f están dados por y = -x, cuando x < O,por y = x2 cuando O :s; x :s; 1, Y por Y = 1 cuando x > l. Sin embargo, la función es sim-plemente unafunción cuyo dominio es todo el conjunto de los números reales (figura l.9). •

EJEMPLO 5 La función cuyo valor en cualquier número x es el mayor entero menor o iguala x se denomina función mayor entero o función piso entero. Se denota lxJ.La figura l.10muestra la gráfica. Observe que

l2.4 J = 2,l2J = 2,

ll.9 J = 1,l0.2 J = O,

lOJ = O,l-0.3 J = -1

l-l.2 J = -2,l-2J = -2. •

EJEMPLO 6 La función cuyo valor en cualquier número x es el menor entero mayor o iguala x se conoce como función menor entero o función techo entero. Se denota [x] La fi-gura 1.11 muestra la gráfica. Para valores positivos de x, esta función podría representar, porejemplo, el costo de permanecer x horas en un estacionamiento que cobra $1 por cada horao fracción de una hora. •

-J __ ~ __ L-~ __ L--J __ ~~x

-3 -2 -1 ° 2

FIGURA 1.8 La función valor

absoluto tiene dominio ( -00, (0)

y rango [O, (0).

y

FIGURA 1.9 Para graficar la función

y = f(x) , que se muestra aquí, aplica

mos fórmulas diferentes a las distintas

partes del dominio (eJemplo 4).

y

3

2

" /

/ ,, / y = x

/ 1>--0 /

/ ...--o

/

~ Y= lxJ

--_-2L---~I-/-"~-<r-~2~-3L---~ X

/

" /

/

" ~ -2

FIGURA 1.10 La gráfica de la fun

ción mayor entero y = lxJ está sobre

o debajo de la recta y = x, por lo que

proveé un piso entero para x

(ejemplo 5).


y y y

- 1 --_-I+------::+--t---t----->- x ------'.--------:c+-------'---~ X --~--------:c+------~--~ x

(b) y=~ (c)y =-~

FIGURA 1.7 (a) La circunferencia no es la gráfica de una función; no satisface el criterio de la recta ver

tical. (b) La semicircunferencia superior es la gráfica de la funciónf(x) = Vl"-=-:l. (c) La semicircun

ferencia inferior es la gráfica de la función g(x) = - Vl"-=-:l.


A veces una función se describe mediante el uso de fórmulas diferentes en distintas partes de su dominio. Un ejemplo es la función valor absoluto

Ixl = { x, -x,

x~ O

x < O,

cuya gráfica se observa en la figura 1.8. El lado derecho de la ecuación significa que la función es igual a x si x ~ O, e igual a-x si x < O. A continuación veremos algunos otros ejemplos.

EJEMPLO 4 La función

x < O O :-S: x :-S:

x > 1

está definida en toda la recta real, pero sus valores están dados por distintas fórmulas , lo cual depende de la posición de x. Los valores de f están dados por y = -x, cuando x < O, por y = x2 cuando O :-s: x :-s: 1, y por y = 1 cuando x > l. Sin embargo, la función es simplemente una función cuyo dominio es todo el conjunto de los números reales (figura l.9). _

EJEMPLO 5 La función cuyo valor en cualquier número x es el mayor entero menor o igual a x se denomina función mayor entero o función piso entero. Se denota lxJ. La figura 1.10 muestra la gráfica. Observe que

l2.4 J = 2, l2 J = 2,

l l.9 J = 1,

l 0.2 J = O,

l O J = O, l -0.3 J = - 1

l - l.2 J = - 2,

l-2 J = -2. -EJEMPLO 6 La función cuyo valor en cualquier número x es el menor entero mayor o igual a x se conoce como función menor entero o función techo entero. Se denota rxl La figura 1.11 muestra la gráfica. Para valores positivos de x, esta función podría representar, por ejemplo, el costo de permanecer x horas en un estacionamiento que cobra $1 por cada hora o fracción de una hora. _


------------------------------------------------------------------------------------------------------- .


y

"""y=xo----;-"~"

"" Y=lxl

3

2

"-2 -1;" r" 1 2 3 xo----;- -1

""~ -2""

FIGURA1.11 La gráfica de la funciónmenor entero y = [x]está sobre o arriba dela recta y = x, por lo que proporciona untecho entero para x (ejemplo 6).

y

-----------"'':-/-='''''''---------->-x

y

---------,~~------~x

(b)

FIGURA1.12 (a) La gráfica de y = x2

(una función par) es simétrica con respectoal eje y. (b) La gráfica de y = x3 (una funciónimpar) es simétrica con respecto al origen.

Funciones crecientes y decrecientesSi la gráfica de una función asciende o sube cuando usted se mueve de izquierda a derecha,consideramos que la función es creciente. Si la gráfica desciende o baja cuando se mueve deizquierda a derecha, la función es decreciente.

DEFINICIONES Sea f una función definida en un intervalo I y sean XI y X2 cua-lesquiera dos puntos en 1.

1. Si f(X2) > f(x 1), siempre que X 1 < X2, entonces se dice que f es creciente en l.

2. Si f(X2) < f(x 1), siempre que x ¡ < X2, entonces se dice que f es decreciente en 1.

Es importante notar que las definiciones de funciones crecientes y decrecientes debensatisfacerse para toda pareja de puntos x 1 y X2 en I, con Xl < X2. Puesto que utilizamos ladesigualdad < para comparar los valores de la función, en lugar de :s, en ocasiones se diceque f es estrictamente creciente o decreciente en 1. El intervalo I puede ser finito (también sele llama acotado) o infinito (no acotado) y, por definición, el intervalo nunca puede consistirde un solo punto (apéndice 1).

EJEMPLO 7 La función que se graficó en la figura 1.9 es decreciente en (-00, O] Y escreciente en [O, 1]. La función no es creciente ni decreciente en el intervalo [1, (0), a con-secuencia de que, en las definiciones, se utilizaron desigualdades estrictas para comparar losvalores de la función. _

Funciones pares y funciones impares: SimetñaLas gráficas de funciones pares y de funciones impares tienen las propiedades característicasde la simetría.

DEFINICIONES Una función y = f(x) es una

función par dex si f( -x) = f(x),función impar de x si f( -x) = - f(x),

para toda x en el dominio de la función.

Los nombres par e impar provienen de las potencias de x. Si y es una potencia par de x,como en y = x2 o en y = x4, es una función par de x, ya que (-x)2 = x2 Y (-x)4 = x4.Si y es una potencia impar de x, como en y = x o en y = x3, es una función impar de x, por-que (-x)1 = -x Y (-x)3 = -x3.

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y. Como f( -x) = f(x),el punto (x,y) está en la gráfica si y sólo si el punto (-x, y) lo está (figura 1.12a). Una reflexióncon respecto al eje y deja a la gráfica sin cambio.

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. Como f( - x) =-f(x), el punto (x, y) está en la gráfica si y sólo si el punto (-x, -y) también lo está (figura1.12b). De fonna equivalente, una gráfica es simétríca con respecto al origen si una rotación de180°, en relación con el orígen, deja sin cambios a la gráfica. Observe que las definiciones im-plican que tanto x como -x deben estar en el dominio de f.

EJEMPLO 8

f(x) = x2

f(x) = x2 + 1

Función par: (-x)2 = x2 para toda x; simetría con respecto al eje y.

Función par: (-X)2 + 1 = X 2 + 1 para toda x; simetría con respecto aleje y (figura 1.13a).

f(x) = x

f(x) = x + 1

Función impar: (-x) = -x para toda x; simetría con respecto al origen.

No es impar: f( -x) = -x + 1, pero f(x) = -x - 1. No son iguales.No es par: (-x) + 1 'f':- x + 1, para toda x 'f':- O (figura l.13b). _


3

2

-2 - 1 " " ~-1

" "

y

" "

o---;-" C>----jI"

"

" " "y=x

" Y= lxl

C>----jI - 2 " "

FIGURA 1.11 La gráfica de la función menor entero y = rxl está sobre o arriba de la recta y = x, por lo que proporciona un techo entero para x (ejemplo 6).

y

--------~~~-------+x

(a)

y

----------;:;¡o'"7i""""'--------+x

Funciones crecientes y decrecientes

Si la gráfica de una función asciende o sube cuando usted se mueve de izquierda a derecha, consideramos que la función es creciente. Si la gráfica desciende o baja cuando se mueve de izquierda a derecha, la función es decreciente .

DEFINICIONES Sea f una función definida en un intervalo J y sean XI y X2 cua-lesquiera dos puntos en I.

1. Si f(X2) > f(x 1), siempre que x! < X2, entonces se dice que f es creciente en J.

2. Si f(X2) < f(x 1), siempre que XI < X2, entonces se dice que f es decreciente en I.

Es importante notar que las definiciones de funciones crecientes y decrecientes deben satisfacerse para toda pareja de puntos x! y X2 en J, con x! < X2. Puesto que utilizamos la desigualdad < para comparar los valores de la función, en lugar de s, en ocasiones se dice que f es estrictamente creciente o decreciente en I. El intervalo J puede ser finito (también se le llama acotado) o infinito (no acotado) y, por definición, el intervalo nunca puede consistir de un solo punto (apéndice 1).

EJEMPLO 7 La función que se graficó en la figura 1.9 es decreciente en ( -00, O] Y es creciente en [O, 1]. La función no es creciente ni decreciente en el intervalo [1, 00), a consecuencia de que, en las definiciones, se utilizaron desigualdades estrictas para comparar los valores de la función. _

Funciones pares y funciones impares: Simetña

Las gráficas de funciones pares y de funciones impares tienen las propiedades características de la simetría.

DEFINICIONES Una función y = f(x) es una

función par dex si f( -x) = f(x) ,

función impar de x si f( -x) = - f(x),

para toda x en el dominio de la función.

Los nombres par e impar provienen de las potencias de x. Si y es una potencia par de x, como en y = x2 o en y = x 4, es una función par de x, ya que (- x)2 = x2 Y (- x)4 = x 4. Si y es una potencia impar de x, como en y = x o en y = x 3, es una función impar de x, porque (-x)! = -x Y (-x)3 = -x3.

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y . Como f( -x) = f(x), el punto (x, y) está en la gráfica si y sólo si el punto (-x, y) lo está (figura 1.12a). Una reflexión con respecto al eje y deja a la gráfica sin cambio.

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. Como f( - x) =

- f(;:), el punto (x, y) está en la gráfica si y sólo si el punto (- x, - y) también lo está (figura 1.12b). De forma equivalente, una gráfica es simétríca con respecto al origen si una rotación de 180°, en relación con el orígen, deja sin cambios a la gráfica. Observe que las definiciones implican que tanto x como - x deben estar en el dominio de f.

EJEMPLO 8

(b) f(x) = x2 Función par: (-x)2 = x2 para toda x; simetría con respecto al eje y.

Función par: (-X)2 + 1 = X 2 + 1 para toda x; simetría con respecto al eje y (figura l.l3a).

FIGURA 1.12 (a) La gráfica de y = x2 f(x) = X2 + 1 (una función par) es simétrica con respecto al eje y. (b) La gráfica de y = x3 (una función

impar) es simétrica con respecto al origen. f(x) = x

f(x) = x + 1

Función impar: (-x) = -x para toda x; simetría con respecto al origen.

No es impar: f( -x) = -x + 1, pero f(x) = - x - 1. No son iguales. No es par: (-x) + 1 =F x + 1, para toda x =F O (figura 1. 13b). -



yy = X2 + 1

y

y=x+l

----~~~------~x

(a) (b)

FIGURA 1.13 (a) Cuando sumamos el término constante l a la funcióny = X2, la función resultante y = x2 + 1 sigue siendo par y su gráfica siguesiendo simétrica con respecto al eje y. (b) Cuando sumamos el término cons-tante 1 a la función y = x, la función resultante y = x + l ya no es impar.Se pierde la simetría con respecto al origen (ejemplo 8).

Funciones comunesCon frecuencia, en cálculo aparecen una variedad de tipos importantes de funciones. Vamos aidentificadas y a describirlas brevemente.

Funciones lineales Una función de la formafix) = mx + b, para constantes m y b, se de-nomina función lineal. La figura l.14a muestra un arreglo de rectasfix) = mx donde b = O,por 10 que tales rectas pasan por el origen. La funciónfix) = x donde m = 1 Y b = O, se de-nomina función identidad. Las funciones constantes se presentan cuando la pendiente m = O(figura l.14b). Una función lineal con pendiente positiva cuya gráfica pasa por el origen sedenomina relación de proporcionalidad.

ym=-3 m=2

y = 2x

m= 1 y

23y=-2

--------~~~------~~x

o 2

(a) (b)

FIGURA 1.14 (a) Rectas con pendiente m que pasan por el origen. (b) Una funciónconstante con pendiente m = O.

DEFINICIÓN Dos variables y y x son proporcionales (una con respecto a la otra)si una siempre es un múltiplo constante de la otra; esto es, si y = la para algunaconstante k distinta de cero.

Si la variable y es proporcional al recíproco l/x, entonces algunas veces se dice que y es in-versamente proporcional a x (puesto que l/x es el inverso multiplicativo de x).

Funciones potencia Una función r(x) = xa, donde a es una constante, se denomina funciónpotencia. Existen varios casos importantes a considerar.


y y = X 2 + 1

y

y = x+ l

----~~--------~x

(a) (h)

FIGURA 1.13 (a) Cuando sumamos el término constante 1 a la función y = x2, la función resultante y = x2 + l sigue siendo par y su gráfica sigue

siendo simétrica con respecto al eje y . (b) Cuando sumamos el término cons

tante 1 a la función y = x, la función resultante y = x + 1 ya no es impar.

Se pierde la simetría con respecto al origen (ejemplo 8).

Funciones comunes

Con frecuencia, en cálculo aparecen una variedad de tipos importantes de funciones. Vamos a identificarlas y a describirlas brevemente.

Funciones lineales Una función de la formaj(x) = rnx + b, para constantes rn y b, se denomina función lineal. La figura 1.14a muestra un arreglo de rectasj(x) = rnx donde b = O, por lo que tales rectas pasan por el origen. La funciónj(x) = x donde rn = I Y b = O, se denomina función identidad. Las funciones constantes se presentan cuando la pendiente rn = O (figura 1.14b). Una función lineal con pendiente positiva cuya gráfica pasa por el origen se denomina relación de proporcionalidad.

y m =-3

m = 1 y

1 3 m='i

2 y = -2

x

x O 2

(a) (h)

FIGURA 1.14 (a) Rectas con pendiente m que pasan por el origen. (b) Una función

constante con pendiente m = O.

DEFINICIÓN Dos variables y y x son proporcionales (una con respecto a la otra) si una siempre es un múltiplo constante de la otra; esto es, si y = kx para alguna constante k distinta de cero.

Si la variable y es proporcional al recíproco l / x, entonces algunas veces se dice que y es inversamente proporcional a x (puesto que l / x es el inverso multiplicativo de x).

Funciones potencia Una funciónf(x) = xo, donde a es una constante, se denomina función potencia. Existen varios casos importantes a considerar.



(a) a = n, un entero positivo.

La gráfica de f(x) = x", para n = 1,2,3,4,5, se muestra en la figura 1.15. Dichas funcionesestán definidas para todos los valores reales de x. Observe que cuando la potencia n crece, en elintervalo (-1, 1), las curvas se aplanan hacia el eje x y también crecen cada vez más rápida-mente para Ixl > 1. Cada curva pasa por el punto (1,1) Ypor el origen. Las gráficas de las fun-ciones con potencia par son simétricas con respecto al eje y, mientras que aquellas con potenciaimpar son simétricas con respecto al origen. Las funciones con potencia par son decrecientesen el intervalo (-00, O] Ycrecientes en [0,00), en tanto que las funciones con potencia impar soncrecientes en toda la recta real (-00,00).

y y=x

_--L_.,jL_L-~x _--L~+--"'--'--~x

FIGURA 1.15 Gráficas de f(x) = x", n = 1,2,3,4,5, definidas para -00 < x < oo

(b) a = -1, o bien, a = - 2.

Las gráficas de las funciones f(x) = x-I = l/x y g(x) = x-2 = 1/ x2 se muestran en la fi-gura 1.16. Ambas funciones están definidas para toda x *" O (nunca se puede dividir entre cero).La gráfica de y = l/x es la hipérbola xy = 1, la cual tiende al eje de las abscisas cuando sealeja del origen. La gráfica de y = 1/ x2 también tiende al eje de las abscisas. La gráfica de lafunción f es simétrica con respecto al origen; f es decreciente en el intervalo (-00, O) Ytam-bién en el intervalo (O, 00). La gráfica de la función g es simétrica con respecto al eje y; g escreciente en (-00, O) Ydecreciente en (O, 00).

y

~, JY\F~DO~inio:x*o 1 ~ xRango: y * O O 1

Dominio: x * ORango: y> O

(a) (b)

FIGURA 1.16 Gráficas de las funciones potenciaf(x) = xa para el inciso (a) a = -1 Yparael inciso (b) a = -2.

1 1 3 2(e) a=2'3'2Y3.

Las funciones f(x) = x 1/2 = Vx y g(x) = X 1/3 = ~ son las funciones raíz cuadrada y raízcúbica, respectivamente. El dominio de la función raíz cuadrada es [O, 00), pero la funciónraíz cúbica está definida para todo real x. Sus gráficas se muestran en la figura 1.17juntocon las gráficas de y = x3/2 y Y = X2/3. (Recuerde que x3/2 = (XI/2)3 y x2/3 = (x 1/3)2).

Funciones polinomiaLes Una función p es polinomial si

p(x) = anxn + an_IXn-1 + ... + alx + ao

donde n es un entero no negativo, y los números ao, al, az, ... , a; son constantes reales (de-nominados coeficientes del polinomio). Todos los polinomios tienen dominio (-00,00). Si elcoeficiente principal all *" O Yn > O, entonces a n se le llama el grado del polinomio. Las fun-


(a) a = n, un entero positivo.

La gráfica de f(x) = xn, para n = 1,2,3, 4,5, se muestra en la figura 1.15. Dichas funciones están definidas para todos los valores reales de x. Observe que cuando la potencia n crece, en el intervalo ( - 1, 1), las curvas se aplanan hacia el eje x y también crecen cada vez más rápidamente para Ixl > l. Cada curva pasa por el punto (1 , 1) Y por el origen. Las gráficas de las funciones con potencia par son simétricas con respecto al eje y, mientras que aquellas con potencia impar son simétricas con respecto al origen. Las funciones con potencia par son decrecientes en el intervalo (-00, O] Y crecientes en [O, (0), en tanto que las funciones con potencia impar son crecientes en toda la recta real (-00, (0).

I '/~ \ ') " 7'0 -1 _: ' ---'-..--I-...c......'--_ x

- 1

FIGURA 1.15 Gráficas de f(x) = x n, n = 1, 2,3, 4, 5, definidas para - 00 < x < oo.

(b) a = -1, o bien, a = - 2.

Las gráficas de las funciones f(x) = x- I = l / x y g(x) = x - 2 = 1/ x2 se muestran en la figura 1.16. Ambas funciones están definidas para toda x *- O (nunca se puede dividir entre cero). La gráfica de y = l / x es la hipérbola xy = 1, la cual tiende al eje de las abscisas cuando se aleja del origen. La gráfica de y = 1/ x 2 también tiende al eje de las abscisas. La gráfica de la función f es simétrica con respecto al origen; f es decreciente en el intervalo (- 00, O) Y también en el intervalo (O, (0). La gráfica de la función g es simétrica con respecto al eje y ; g es creciente en (-00, O) Y decreciente en (O, (0).

y

~, J Y \F~ DO~imo:x*o 1 ~ x Rango: y* O O

Dominio: x * O Rango: y> O

(a) (b)

FIGURA 1.16 Gráficas de las funciones potenciaf(x) = x a para el inciso (a) a = -1 Y para

el inciso (h) a = -2.

1 1 3 2 (e) a = 2'3' 2Y3'

Las funciones f(x) = x 1/2 = Vx y g(x) = X 1/ 3 = ~ son las funciones raíz cuadrada y raíz cúbica, respectivamente. El dominio de la función raíz cuadrada es [O, (0), pero la función raíz cúbica está definida para todo real x. Sus gráficas se muestran en la figura 1.17 junto con las gráficas de y = x 3/2 y Y = X2/3. (Recuerde quex 3/ 2 = (X I/ 2)3 y x2/ 3 = (XI / 3)2).

Funciones polinomiaLes Una función p es polinomial si

p(x) = anxn + a n_ IX n- 1 + ... + alx + ao

donde n es un entero no negativo, y los números ao, al , a2, ... , a ll son constantes reales (denominados coeficientes del polinomio). Todos los polinomios tienen dominio (-00, (0). Si el coeficiente principal an *- O Y n > O, entonces a n se le llama el grado del polinomio. Las fun-


y


y

y

--~O+---~l--------~x

Dominio: O :5 x < 00

Rango: O :5 Y < 00

--------...,,-J~-'-----~x ------~OfL~I------~x

Dominio: O :5 x < 00

Rango: 0:5 Y < 00

FIGURA 1.17 Gráficas de las funciones potencia ¡(x) = x" para a = t,t,~y ~ .

y

Dominio: -00 < x < 00

Rango: 0:5 Y < 00

ciones lineales con m -=FOson polinomios de grado l. Los polinomios de grado 2 por lo regularse escriben como p(x) = ax2 + bx + e y se conocen como fuuciones cuadráticas. De lamisma forma, las funciones cúbicas son polinomios, p(x) = ax ' + bx? + ex + d, de grado 3.La figura 1.18 muestra las gráficas de tres polinomios. En el capítulo 4 se estudian técnicaspara graficar polinomios.

x3 x2 1y=3-2'-2x+3

y

4y

y = 8x4 - 14x3 - 9x2 + llx - 1

yy = (x - 2)\x + l)\x - 1)

2

--"l--------+.f---'_-'---------T----~X

-----"-'....,....---+----~=---'--~--~x

(a)

FIGURA 1.18 Gráficas de tres funciones polinomiales.

(b) (e)

Funciones racionaLes Una función racional es un cociente o una razón f(x) = p(x)/q(x),donde p y q son polinomios. El dominio de una función racional es el conjunto de todos losnúmeros reales x para los que q(x) -=FO.Las gráficas de varias funciones racionales se mues-tran en la figura 1.19.

yy 8 llx + 2

Y 5x2 + 8x - 36

Y = 2x3 _ 1y=

2 ~ 4

I Recta y = ~

x x l>X

-5 \~I 5 10 4 6

-2NO ESTÁ A ESCALA

-6

-8(a) (b) (c)

FIGURA 1.19 Gráficas de tres funciones racionales. Las líneas rectas se denominan asíntotas y no son parte dela gráfica.


Funciones aLgebraicas Cualquier función que se construyen mediante polinomios y utilizan-do operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces) está enla clase de las funciones algebraicas. Todas las funciones racionales son algebraicas, perotambién están incluidas funciones más complicadas (como y3 - 9xy + x3 = 0, que se estudianen la sección 3.7). La figura 1.20 muestra las gráficas de tres funciones algebraicas.


y

------~----~~----~x

(a)

y y = x(1 - x)2/5

(b) (e)

FIGURA 1.20 Gráficas de tres funciones algebraicas.

Funciones trigonométricas Las seis funciones trigonométricas básicas se revisan en la sec-ción 1.3. Las gráficas de las funciones seno y coseno se muestran en la figura 1.21.

y

\.x

y

(a) f(x) = sen x

FIGURA 1.21 Gráficas de las funciones seno y coseno.

Funciones exponenciaLes Las funciones de la forma f(x) = a", donde la base a > ° es unaconstante positiva y a =1= 1, se denominan funciones exponenciales. Todas las funciones expo-nenciales tienen dominio (-00, (0) y rango (O, (0), de manera que una función exponencialnunca toma el valor O. En la sección 7.3 estudiaremos las funciones exponenciales. Las grá-ficas de algunas funciones exponenciales se muestran en la figura 1.22.

y

1210

8

6

4

2

-1 -0.5 O 0.5(a)

(b) f(x) = CQS x

y

~------:!-:-~~~x-1 -0.5 O 0.5

(b)

FIGURA 1.22 Gráficas de funciones exponenciales.



Funciones logaritmicas Éstas son las funciones f(x) = log,», donde la base a =f=. 1 es unaconstante positiva. Las funciones inversas de las funciones exponenciales y el cálculo de talesfunciones se analizan en el capítulo 7. La figura 1.23 muestra las gráficas de cuatro funcioneslogarítrnicas con diferentes bases. En cada caso, el dominio es (O,00)Yel rango es (-00,00).

y

y = log5xI

y = logIOx

I .~ I I 'xo-1

FIGURA 1.23 Gráficas de cuatro funcio-nes logarítmicas.

FIGURA 1.24 Gráfica de una catenariao cable colgante. (La palabra latina catenasignifica "cadena").

y

-1

Funciones trascendentales Se trata de funciones que no son algebraicas e incluyen las fun-ciones trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales y logaritrnicas, así como muchasotras funciones. Un ejemplo particular de una función trascendental es una catenaria. Su grá-fica tiene la forma de un cable, como el de una línea telefónica o un cable eléctrico, que cuelgalibremente bajo su propio peso de un soporte a otro (figura 1.24). La función que define la grá-fica se analiza en la sección 7.7.

Ejercicios 1.1. _. ---- --_._-

FuncionesEn los ejercicios 1 a 6, determine el dominio y el rango de cada una de lasfunciones.

8. a. y

1. f(x) = 1 + x2

3. F(x)=~45.f(t) =-3-- t

2. f(x) = 1 - Vx4. g(x) = Vx2 - 3x

26. G(t) = _ ..r - 16

En los ejercicios 7 y 8, ¿cuál de las gráficas representa la gráfica de unafunción de x? ¿Cuáles no representan a funciones de x? Dé razones queapoyen sus respuestas.

I • xo

b. y

o

C)I • x

Determinación de fórmulas para funciones9. Exprese el área y el perímetro de un triángulo equilátero como una

función del lado x del triángulo.

10. Exprese la longitud del lado de un cuadrado como una función de lalongitud d de la diagonal del cuadrado. Exprese el área como una fun-ción de la longitud de la diagonal.

11. Exprese la longitud del lado de un cubo como una función de la lon-gitud de la diagonal d del cubo. Exprese el área de la superficie y elvolumen del cubo como una función de la longitud de la diagonal.

7. a. y b. Y

o oI • x I 'x

Ejerddos 1.1

Funciones


Funciones logaritmicas Éstas son las funciones f(x) = logax, donde la base a =f=. 1 es una constante positiva. Las funciones inversas de las funciones exponenciales y el cálculo de tales funciones se analizan en el capítulo 7. La figura 1.23 muestra las gráficas de cuatro funciones logarítmicas con diferentes bases. En cada caso, el dominio es (O, 00) Y el rango es (-00,00).

y

-----t--=i'=----+-----t-~ x o

FIGURA 1.23 Gráficas de cuatro funcio

nes logarítmicas.

y

FIGURA 1.24 Gráfica de una catenaria

o cable colgante. (La palabra latina calena

significa "cadena").

Funciones trascendentales Se trata de funciones que no son algebraicas e incluyen las funciones trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales y logarítmicas, así como muchas otras funciones. Un ejemplo particular de una función trascendental es una catenaria. Su gráfica tiene la forma de un cable, como el de una línea telefónica o un cable eléctrico, que cuelga libremente bajo su propio peso de un soporte a otro (figura 1.24). La función que define la gráfica se analiza en la sección 7.7.

8. a. y b. y En los ejercicios 1 a 6, determine el dominio y el rango de cada una de las funciones.

1. f(x) = 1 + X2

3. F(x) = v5x'+1O 4

5. f(t) =-3-- t

2. f(x) = 1 - Vx 4. g(x) = Vx2 - 3x

2 6. G(t) = -.2-

.- - 16

En los ejercicios 7 y 8, ¿cuál de las gráficas representa la gráfica de una función de x? ¿Cuáles no representan a funciones de x? Dé razones que apoyen sus respuestas.

7. a. y b. y

-~-------~ x -t--------~ x

o o

-~-------~x -t--------~x

o o

Determinación de fórmulas para funciones 9. Exprese el área y el perímetro de un triángulo equilátero como una

función del lado x del triángulo.

10. Exprese la longitud del lado de un cuadrado como una función de la longitud d de la diagonal del cuadrado. Exprese el área como una función de la longitud de la diagonal.

11. Exprese la longitud del lado de un cubo como una función de la longitud de la diagonal d del cubo. Exprese el área de la superficie y el volumen del cubo como una función de la longitud de la diagonal.



12. Un punto P en el primer cuadrante pertenece a la gráfica de la fun-ción f(x) = Vx. Exprese las coordenadas de P como funciones dela pendiente de la recta que une a P con el origen.

13. Considere el punto (x, y) que está en la gráfica de la recta 2x + 4y = 5.Sea L la distancia del punto (x, y) al origen (O, O). Escriba L comofunción de x.

14. Considere el punto (x, y) que está en la gráfica de y = -Vx"=3.Sea L la distancia entre los puntos (x, y) y (4, O). EscribaL como fun-ción dey.

Las funciones y sus gráficasEn los ejercicios 15 a 20, determine el dominio y grafique las funciones.

15. f(x) = 5 - 2x

17. g(x) = ~

19. F(t) = t/I ti

16. f(x) = I - 2x - x2

18. g(x) = ~

20. G(t) = 1/1ti

. Id .. d x+321. Determine e onuruo e y = _¡-;¡--;:.4- vx2-9

22. Determine el rango de y = 2 +2 ?- .x: + 4

23. Grafique las siguientes ecuaciones y explique por qué no son gráficasde funciones de x.

a. Iyl = x b. y2 = x2

24. Grafique las siguientes ecuaciones y explique por qué no son gráfi-cas de funciones de x.

a. Ixl + Iyl = 1 b. Ix + yl = 1

Funciones definidas por partesEn los ejercicios 25 a 28, grafique las funciones.

25. f(x) = {x, O :5 X :5 12 - x, 1 < X :5 2

{I-X 0:5x:51

26. g(x) = '2-x,1<x:52

27. F(x) = {42 - x2, x:5 1x + 2x, x> 1

28. G(x) = {l/X, x < Ox, O :5 X

Determine una fórmula para cada función graficada en los ejercicios 29a 32.

29. a. y b. Y

(1, 1)2 t-?

I II II I

XO O 2 3 4

30. a. y b. y

2 3

x2 5

x

-3

31. a. y b. y

2

x3 x

(-2, -1)

b. y

(T,1)

32. a. y

A t-9I I

O 31T 'liT

x -A W 1-.401 T T

2

Las funciones mayor entero y menor entero33. ¿Para qué valores de x es

a. lxJ= O? b. rxl = O?

34. ¿Cuáles valores x de números reales satisfacen la ecuación lxJ = [x]?

35. ¿Es cierto que r -xl = -lxJ para todo número real x? Justifique surespuesta.

36. Grafique la función

f(x) = {lx J,r xLx 2: Ox < o.

¿Por qué f(x) se denomina parte entera de x?

Funciones crecientes y funciones decrecientesGrafique las funciones en los ejercicios 37 a 46. Si tiene simetrías, ¿quétipo de simetría tienen? Especifique los intervalos en los que la función escreciente y los intervalos donde la función es decreciente.

37. Y = -x3 l38. Y =-2

xl

39. Y = -X- 140. Y =-[x]

42. y= ~

44. Y = -4Vx

46. Y = (-x)2/3

41. y= ~

43. Y = x3/8

45. y = -x3/2

Funciones pares y funciones imparesEn los ejercicios 47 a 58, indique si la función es par, impar o de ningunode estos tipos. Justifique su respuesta.

47. f(x) = 3

49. f(x) = x2 + 1

51. g(x) = x3 + x

153. g(x)=~x- - 1

55. h(t) = _1-1t -57. h(t) = 2t + 1

48. f(x) = x-s

50. f(x) = x2 + x

52. g(x) = .0 + 3x2 - 1

x54. g(x)=~x- - 1

56. h(t) = 1 t31

58. h(t) = 21tl + 1

Teoría y ejemplos59. La variable s es proporcional a t, y s = 25 cuando t = 75. Determine t

cuando s = 60.


60. Energía cinética La energía cinética K de una masa es propor-cional al cuadrado de su velocidad v. Si K = 12,960 joules, cuandov = 18 mis, ¿cuál es el valor de K cuando v = 10 mis?

61. Las variables r y s son inversamente proporcionales, mientras quer = 6 cuando s = 4. Determine s cuando r = 10.

62. Ley de Boyle La ley de Boyle establece que el volumen V de ungas, a temperatura constante, aumenta cuando la presión P dismi-nuye, de manera que V y P son inversamente proporcionales. SiP = 14.7 lb/in? cuando V = 1000 in'', entonces ¿cuál es el valor deV cuando P = 23.4lbs/in2?

63. Una caja sin tapa se construye a partir de una pieza rectangular decartón, cuyas dimensiones son 14 por 22 pulgadas (in). A la piezade cartón se le cortan cuadrados de lado x en cada esquina y luegose doblan hacia arriba los lados, como en la figura. Exprese el volu-men V de la caja como una función de x.

lE 22 )1

T Jx xL.

~

x x14

1x x--ix .r64. La siguiente figura muestra un rectángulo inscrito en un triángulo

rectángulo isósceles, cuya hipotenusa tiene una longitud de dosunidades.

a. Exprese la coordenada y de P en términos de x. (Podría iniciarescribiendo una ecuación para la recta AB).

b. Exprese el área del rectángulo en términos de x.

y

"'-lB

1,\ xA

-1 O x

En los ejercicios 65 y 66 relacione cada ecuación con su gráfica. No utili-ce un dispositivo para graficar y dé razones que justifiquen su respuesta.

65. a. y = .0 b. Y = x7 C. y = xlO

y

~ I~"/ )X~ O


66. a. y = 5x c. y = x5b. y= 5x

y

=""'•••••:::::=::::J~.¿' )x

D 67. a. Grafique juntas las funciones ¡(x) = x/2 y g(x) = 1 + (4/x) paraidentificar los valores de x que satisfacen

~>l+±2 x :

b. Confirme algebraicamente los hallazgos del inciso a).

D 68. a. Grafique juntas las funciones ¡(x) = 3/(x - 1) y g(x) = 2/(x + 1)para identificar los valores de x que satisfacen

_3_<_2_x-l x+l·

b. Confirme algebraicamente los hallazgos del inciso a).

69. Para que una curva sea simétrica con respecto al eje x, el punto (x, y)debe estar en la curva si y sólo si el punto (x, -y) está en la curva.Explique por qué una curva que es simétrica con respecto al eje x noes la gráfica de una función a menos que la función seay = O.

70. Trescientos libros se venden en $40 cada uno, lo que da por resulta-do un ingreso de (300)($40) = $12,000. Por cada aumento de $5 enel precio, se venden 25 libros menos. Exprese el ingreso R como unafunción del número x de incrementos de $5.

71. Se va a construir un corral con la forma de un triángulo rectánguloisósceles con catetos de longitud de x pies (ft) e hipotenusa de longi-tud h ft. Si los costos de la cerca son de $5/ft para los catetos y $1O/ftpara la hipotenusa, escriba el costo total C de la construcción comouna función de h.

72. Costos industriales Una central eléctrica se encuentra cerca de unrío, donde éste tiene un ancho de 800 ft. Tender un cable de la plantaa un lugar en la ciudad, 2 millas (mi) río abajo en el lado opuesto,tiene un costo de $180 por ft que cruce el río y $100 por ft en tierraa lo largo de la orilla del río.

lE 2mi )1P y o Ciudad

Central eléctricaNO ESTÁ A ESCALA

a. Suponga que el cable va de la planta al punto Q, en el ladoopuesto, lugar que se encuentra a x ft del punto P, directa-mente opuesto a la planta. Escriba una función C(x) que indi-que el costo de tender el cable en términos de la distancia x.

b. Genere una tabla de valores para determinar si la ubicación másbarata para el punto Q es menor a 2000 ft o mayor a 2000 ft delpuntoP.


f+gf-gg-ff'g

f/g [O, 1) (excluido x = 1)


1.2 Combinación de funciones; trasLación y cambio de tamaño de funciones

En esta sección examinaremos las principales formas en las que las funciones se combinan otransforman para obtener nuevas funciones.

Sumas, diferendas, productos y codentes

Al igual que los números, las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (exceptosi el denominador es cero) para obtener nuevas funciones. Si f y g son funciones, entonces paracada x que esté en el dominio tanto de f como de g (esto es, para x E D(f) n D(g)), definimoslas funciones f + g, f - g y fg mediante las fórmulas

(f + g)(x) = f(x) + g(x).(f - g)(x) = f(x) - g(x).

(fg)(x) = f(x)g(x).

Observe que el signo de + en el lado izquierdo de la primera ecuación representa la operaciónde suma de funciones, mientras que el signo + en el lado derecho de la ecuación significa lasuma de los números reales f(x) y g(x).

En cualquier punto de D(!) n D(g), en el cual g(x) *- O, podemos definir también la fun-ción f/g con la fórmula

(L)(x) = ¡(x)g g(x) (dondeg(x) * O).

Las funciones también se pueden multiplicar por constantes: si e es un número real, en-tonces la función cf está definida para toda x en el dominio de f mediante

(cf)(x) = cf(x).

EJEMPLO 1 Las funciones definidas mediante las fórmulas

¡(x) = Vx y g(x) = ~

tienen dominios D(f) = [0,00) Y D(g) = (-00, 1]. Los puntos comunes a tales dominios sonlos puntos

[0,00) n (-00, 1] = [O, 1].

La siguiente tabla resume las fórmulas y los dominios para diferentes combinaciones algebrai-cas de las dos funciones. Además, escribimos F: g para la función producto fg.

Función Fórmula Dominio

g/f

(f+ g)(x) = Vx + ~(f- g)(x) = Vx - ~(g- f)(x) = ~ - Vx(f' g)(x) = f(x)g(x) = V~x(-l--x)

L (x) = ¡(x) =) xg g(x) 1 - x

~(x) = g(x) =)1 - x¡ ¡(x) x

[O, 1] = D(!) n D(g)[O, 1][O, 1][O, 1]

(O, 1] (excluido x = O)

•La gráfica de la función f + g se obtiene a partir de las gráficas de f y g, donde se su-

man las ordenadas f(x) y g(x) en cada punto x E D(f) n D(g), como en la figura 1.25. En lafigura 1.26 se muestran las gráficas de f + g y L: g del ejemplo l.


1.2 Combinación de funciones; trasLación y cambio de tamaño de funciones

En esta sección examinaremos las principales formas en las que las funciones se combinan o transforman para obtener nuevas funciones.

Sumas, diferencias, productos y cocientes

Al igual que los números, las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (excepto si el denominador es cero) para obtener nuevas funciones. Sify g son funciones, entonces para cada x que esté en el dominio tanto de f como de g (esto es, para x E D(f) n D(g)), definimos las funciones f + g, f - g y fg mediante las fórmulas

(f + g)(x) = f(x) + g(x) .

(f - g)(x) = f(x) - g(x) .

(fg)(x) = f(x)g(x).

Observe que el signo de + en el lado izquierdo de la primera ecuación representa la operación de suma de funciones , mientras que el signo + en el lado derecho de la ecuación significa la suma de los números reales f(x) y g(x).

En cualquier punto de D(!) n D(g), en el cual g(x) *" 0, podemos definir también la función f / g con la fórmula

(L)(x) = ¡(x) g g(x)

(dondeg(x) *" O).

Las funciones también se pueden multiplicar por constantes: si e es un número real, entonces la función cf está definida para toda x en el dominio de f mediante

(cf)(x) = cf(x).

EJEMPLO 1 Las funciones definidas mediante las fórmulas

¡(x) = Vx y g(x) = ~

tienen dominios D(f) = [0, 00) Y D(g) = ( -00, 1]. Los puntos comunes a tales dominios son los puntos

[0,00) n (-00, 1] = [O, 1].

La siguiente tabla resume las fórmulas y los dominios para diferentes combinaciones algebraicas de las dos funciones. Además, escribimos f· g para la función producto fg.

Función Fórmula Dominio

f+g (f+ g)(x) = Vx + ~ [O, 1] = D(!) n D(g)

f-g (f- g)(x) = Vx -~ [O, 1]

g-f (g- f)(x) = ~ - Vx [O, 1]

f · g (f. g)(x) = f(x)g(x) = Vx(I - x) [O, 1]

f/g L (x) = ¡(x) = ) x g g(x) 1 - x

[0, 1) (excJuidox = 1)

g/f ~ (x) = g(x) = ) 1 - x ¡ ¡(x) x

(O, 1] (excluido x = O)

• La gráfica de la función f + g se obtiene a partir de las gráficas de f y g, donde se su

man las ordenadas f(x) y g(x) en cada punto x E D(f) n D(g), como en la figura 1.25 . En la figura 1.26 se muestran las gráficas de f + g y f· g del ejemplo 1.


1.2 Combinación de funciones; traslación y cambio de tamaño de funciones 15

y

8

I IJ I J ) X

o a

FIGURA 1.25 Suma gráfica de dosfunciones.

Composición de funciones

y

_ f ! I I ! 1 ) X

FIGURA 1.26 El dominio de la función! + g esla intersección de los dominios de! y g, el intervalo[O, 1] en el eje x donde estos dominios se traslapan.Además, este intervalo es el dominio de la función! . g (ejemplo 1).

La composición es otro método para combinar funciones.

DEFINICIÓN Si f y g son funciones, la función composición f o g ("f compuestacon g") se define por

El dominio de f o g consiste de todos los números x en el dominio de g para loscuales g(x) está en el dominio de f.

(f o g)(x) = f(g(x)).

La definición implica que f o g puede formarse cuando el rango de g está en el dominiode f. Para encontrar (f o g)(x), primero encontramos g(x) y después f(g(x)). La figura l.27representa a f o g como el diagrama de una máquina, en tanto que la figura 1.28 muestra lacomposición mediante un diagrama de flechas.

x ----. _g(x) •••• f !---+ f(g(x))g

FIGURA 1.27 Dos funciones pueden componerseen x siempre que el valor de una función de x esté enel dominio de la otra. La composición se denotamediante! o g.

fog

FIGURA 1.28 Diagrama de flechas para! o g.

Para evaluar la composición g o f (cuando está definida), invertimos el orden para en-contrar primero f(x) y después g(f(x)). El dominio de g o f es el conjunto de números x en eldominio de f, tales que f(x) esté en el dominio de g.

Por lo general, las funciones f o g y g o f son muy diferentes.


y

8

-o~----------~---L---L------~ x

FIGURA 1.25 Suma gráfica de dos

funciones.

Composición de funciones

FIGURA 1.26 El dominio de la función! + g es la intersección de los dominios de! y g, el intervalo [O, 1] en el eje x donde estos dominios se traslapan. Además, este intervalo es el dominio de la función ! . g (ejemplo 1).

La composición es otro método para combinar funciones.

DEFINICIÓN Si f y g son funciones, la función composición fa g ("f compuesta con g") se define por

(f a g)(x) = f(g(x).

El dominio de f a g consiste de todos los números x en el dominio de g para los cuales g(x) está en el dominio de f.

La definición implica que f a g puede formarse cuando el rango de g está en el dominio de f. Para encontrar (f o g)(x), primero encontramos g(x) y después f(g(x»). La figura l.27 representa a f o g como el diagrama de una máquina, en tanto que la figura 1.28 muestra la composición mediante un diagrama de flechas.

f ~f(g(x))

FIGURA 1.27 Dos funciones pueden componerse en x siempre que el valor de una función de x esté en el dominio de la otra. La composición se denota mediante! a g.

fag

FIGURA 1.28 Diagrama de flechas para! o g.

Para evaluar la composición g o f (cuando está definida), invertimos el orden para encontrar primero f(x) y después g(f(x). El dominio de g o f es el conjunto de números x en el dominio de f, tales que f(x) esté en el dominio de g .

Por lo general, las funciones f a g y g a f son muy diferentes.



EJEMPLO 2 Sif(x) = Vx y g(x) = x + 1, determine

(a) (f o g)(x) (b) (g o f)(x) (e) (f o f)(x) (d) (gog)(x)

SoluciónComposición

(a) (f o g)(x) = f(g(x») = vgw = -Vx+l(b) (g o f)(x) = g(f(x)) = f(x) + 1 = Vx + 1

(e) (fo f)(x) = f(f(x) = v7W = -v:\rx = xl/4

(d) (g o g)(x) = g(g(x)) = g(x) + 1 = (x + 1) + 1 = x + 2

Dominio

[-1,(0)

[O, (0)

[O, (0)(-00, (0)

Para ver por qué el dominio de f + g es [-1, (0), observe que g(x) = x + 1 está definidapara todos los valores reales x, pero pertenece al dominio de f sólo si x + 1 2:: 0, es decir,si x 2:: -l. •

Observe que si f(x) = x2 y g(x) = Vx, entonces (f o g)(x) = (Vx)2 = x. Sin embargo,

el dominio de f o g es [O, (0), no (-00, (0), ya que Vx requiere que x 2:: O.

Traslación de la gráfica de una funciónUna forma común para obtener una nueva función a partir de una ya existente es mediante lasuma de una constante a cada salida de la función dada, o a su variable de entrada. La gráficade la nueva función es la gráfica de la función original trasladada vertical u horizontalmente,como se indica a continuación.

y

Si h > 0, la gráfica de f se recorre h unidades hacia la izquierda.

Si h < 0, la gráfica de f se recorre Ih I unidades hacia la derecha.

Fórmulas de traslación

Traslación vertical

y = f(x) + k Si k > 0, la gráfica de f se recorre k unidades hacia arriba.

Si k < 0, la gráfica de f se recorre I kl unidades hacia abajo.y = x2 + 2

Y = x2 + 1

Y = x2 Traslación horizontal

y = f(x + h)

EJEMPLO 3

Sumar 1 al lado derecho de la fórmula y = x2 para obtener y = x2 + 1 traslada la gráficauna unidad hacia arriba (figura l.29).

Sumar -2 al lado derecho de la fórmula y = x2 para obtener y = x2 - 2, traslada la grá-fica dos unidades hacia abajo (figura l.29).

(e) Sumar 3 a x en y = x2 para obtener y = (x + 3)2, traslada la gráfica 3 unidades a la iz-quierda (figura l.30).

Sumar -2 a x en y = Ixl y luego sumar -1 al resultado da y = [x - 21la gráfica 2 unidades a la derecha y una unidad hacia abajo (figura l.31).

(a)

(b)FIGURA 1.29 Para trasladar lagráfica de !(x) = x2 hacia arriba(o hacia abajo) sumamos constantespositivas (o negativas) a la fórmulapara! (ejemplos 3a y b).

(d) 1 Y traslada

•Cambio de tamaño y reflexión de la gráfica de una funciónCambiar el tamaño de la gráfica de una función y = j{x) es alargarla o comprimirla, verticalu horizontalmente. Lo anterior se realiza mediante la multiplicación de la función!, o la varia-ble independiente x, por una constante apropiada c. Las reflexiones con respecto a los ejescoordenados son casos especiales donde c = - l.


y y = X2 + 2

Y = X2 + 1

Y = X2

y = X2 - 2

FIGURA 1.29 Para trasladar la gráfica de f(x) = x2 hacia arriba

(o hacia abajo) sumamos constantes positivas (o negativas) a la fórmula paraf (ejemplos 3a y b).

EJEMPLO 2 Sif(x) = Vx y g(x) = x + 1, determine

(a) (f o g)(x) (h) (g o f)(x) (e) (f o f)(x) (d) (gog)(x)

SoLución Composición Dominio

(a) (f o g)(x) = f(g(x») = vgw = -Vx+l (h) (g o f)(x) = g(f(x)) = f(x) + 1 = Vx + 1

(e) (fo f)(x) = f(f(x) = V"iW = ~ = X1/ 4

(d) (g o g)(x) = g(g(x)) = g(x) + 1 = (x + 1) + 1 = x + 2

[-1,(0)

[O, (0)

[O, (0)

(-00, (0)

Para ver por qué el dominio de f + g es [-1, (0), observe que g(x) = x + 1 está definida para todos los valores reales x, pero pertenece al dominio de f sólo si x + 1 2:: 0, es decir, si x 2:: - l. •

Observe que si f(x) = x2 y g(x) = Vx, entonces (f o g)(x) = (Vx)2 = x. Sin embargo,

el dominio de f o g es [O, (0), no ( -00, (0), ya que Vx requiere que x 2:: O.

Traslación de la gráfica de una función

Una forma común para obtener una nueva función a partir de una ya existente es mediante la suma de una constante a cada salida de la función dada, o a su variable de entrada. La gráfica de la nueva función es la gráfica de la función original trasladada vertical u horizontalmente, como se indica a continuación.

Fórmulas de traslación

Traslación vertical

y = f(x) + k Si k> 0, la gráfica de f se recorre k unidades hacia arriba.

Si k < 0, la gráfica de f se recorre I kl unidades hacia abajo .

Traslación horizontal \

Y = f(x + h) Si h > 0, la gráfica de f se recorre h unidades hacia la izquierda.

Si h < 0, la gráfica de f se recorre I h I unidades hacia la derecha.

EJEMPLO 3

(a) Sumar 1 alIado derecho de la fórmula y = X2 para obtener y = x2 + 1 traslada la gráfica una unidad hacia arriba (figura l.29) .

(h) Sumar - 2 alIado derecho de la fórmula y = X2 para obtener y = x2 - 2, traslada la gráfica dos unidades hacia abajo (figura 1.29).

(e) Sumar 3 a x en y = x2 para obtener y = (x + 3)2, traslada la gráfica 3 unidades a la izquierda (figura 1.30).

(d) Sumar -2 a x en y = Ix l y luego sumar -1 al resultado da y = Ix - 21 la gráfica 2 unidades a la derecha y una unidad hacia abajo (figura l.3l).

Cambio de tamaño y reflexión de la gráfica de una función

1 Y traslada

•

Cambiar el tamaño de la gráfica de una función y = j{x) es alargarla o comprimirla, vertical u horizontalmente. Lo anterior se realiza mediante la multiplicación de la función!, o la variable independiente x, por una constante apropiada c. Las reflexiones con respecto a los ejes coordenados son casos especiales donde c = -l.


y

i5

4

32

1jVx

x-1 4

FIGURA 1.32 Alargamiento y compre-sión vertical de la gráfica de y = Vx porun factor de 3 (ejemplo 4a).


Sumar una constantepositiva a x.

••••• y

Sumar una constantenegativa ax.-.. y

, ! 1', ," I )x

"'--, ..•••.. , "I •••••• ~':",.,. )X

-3FIGURA 1.30 Para trasladar la gráfica de y = x2

hacia la izquierda sumamos una constante positivaa x (ejemplo 3c). Para desplazar la gráfica a laderecha, sumamos una constante negativa a x.

FIGURA 1.31 Traslación de la gráficade y = [x 1, 2 unidades a la derecha yl unidad hacia abajo (ejemplo 3d).

Fórmulas para cambiar la escala vertical u horizontal y la reflexión de una gráfica

Para e > 1, la gráfica modifica su escala:y = ef(x) Alarga la gráfica de f verticalmente en un factor de c.

y = ¿ f(x) Comprime la gráfica de fverticalmente en un factor de c.

y = f(cx) Comprime horizontalmente la gráfica de f por un factor de c.y = f(xl c) Alarga horizontalmente la gráfica de f por un factor de c.Para e = -1, la gráfica de f se refleja:y = -f(x) con respecto al eje x.y = f( -x) con respecto al eje y.

EJEMPLO 4 En este ejemplo cambiamos el tamaño y reflejamos la gráfica de y = Vx.(a) Cambio vertical: Al multiplicar el lado derecho de y = Vx por 3 para obtener

y = 3 Vx, la gráfica se alarga verticalmente en un factor de 3, mientras que al multiplicarpor 1/3 se comprime en un factor de 3 (figura 1.32).

(b) Cambio horizontal: La gráfica de y = \,/h es una compresión horizontal de y = Vxpor un factor de 3 y Y = v;¡3 es un alargamiento horizontal por un factor de 3 (fi-

gura 1.33). Observe que y = \,/h = V3Vx por lo que una ~ompresión horizontalpodría corresponder a un alargamiento vertical por un factor de escala diferente. Delmismo modo, un alargamiento horizontal podría corresponder a una compresión verti-cal de un factor de escala diferente.

(e) Reflexión: La gráfica de y = - Vx es una reflexión de y = Vx con respecto al eje x yy = v=;: es una reflexión con respecto al eje y (figura 1.34). •

y

4

3

2 I l3 2 -1 I I I ) X

-1

-; O r ; ~ 3 4 ) x

FIGURA 1.33 Alargamiento y compresiónhorizontal de la gráfica de y = Vx por un factorde 3 (ejemplo 4b).

FIGURA 1.34 Reflexiones de la gráficade y = Vx con respecto a los ejes decoordenadas (ejemplo 4c).



EJEMPLO 5 Dada la función f(x) = x4 - 4x3 + 10 (figura 1.35a), determine fórmulas para

(a) comprimir la gráfica horizontalmente por un factor de 2, seguida por una reflexión conrespecto al eje y (figura 1.35b).

(b) comprimir la gráfica verticalmente por un factor de 2, seguida por una reflexión con res-pecto al eje x (figura l.35c).

-10

y

10

-----_~2~--~~~+---~~--~x ---_~l--~O~--~~~--~~L---+x-1 O-10-20 -20

(a) (b) (e)

FIGURA 1.35 (a) Gráfica original de! (b) Compresión horizontal por un factor de 2 de y = f(:t:) del inciso (a), seguida por una reflexióncon respecto al eje y. (e) Compresión vertical por un factor de 2 de y = f(x) del inciso (a), seguida por una reflexión con respecto aleje x (ejemplo 5).

Solución

(a) Multiplicamos x por 2 para obtener la compresión horizontal y por -1 para dar la re-flexión con respecto al eje y. La fórmula que se obtiene al sustituir x con -2x, en el ladoderecho de la ecuación para f, es:

y = f( -2x) = (-2x)4 - 4( -2x)3 + 10= 16x4 + 32x3 + 10

(b) La fórmula es

y = -~ ¡(x) = _~x4 + 2x3 - 5. •ElipsesAunque no son gráficas de funciones, las circunferencias pueden estirarse o compnrmrse,tanto horizontal como verticalmente, de la misma forma que las gráficas de las funciones.La ecuación estándar para una circunferencia con radio r y centro en el origen es

x2 + y2 = r2.

Al sustituir x por ex, en la ecuación estándar para una circunferencia (figura 1.36a), se obtiene

e2x2 + y2 = r2. (1)

y y y

-r

-r

r r r

------~~-4----~x---4----~~------~~x ---r~----------------70r-----------------;-r--+xe e

r re

-r -r

(a) circunferencia (b) elipse, O< e < 1 (e) elipse, e> 1

FIGURA 1.36 El alargamiento o compresión horizontal de una circunferencia produce gráficas de elipses.


y

-1 O - 10

-20

(a)

EJEMPLO 5 Dada la funciónf(x) = x 4 - 4x 3 + lO (figura 1.35a), determine fórmulas para

(a) comprimir la gráfica horizontalmente por un factor de 2, seguida por una reflexión con respecto al ejey (figura 1.35b).

(b) comprimir la gráfica verticalmente por un factor de 2, seguida por una reflexión con respecto al eje x (figura l.35c).

y = 16x4 + 32x3 + 10 Y Y

20 ) Y = _lx4 + 2x3 - 5 lO 2

X X X O -1 O

-10 - 10

- 20

(b) (e)

FIGURA 1.35 (a) Gráfica original de! (b) Compresión horizontal por un factor de 2 de y = ¡(x) del inciso (a), seguida por una reflexión con respecto al eje y. (c) Compresión vertical por un factor de 2 de y = ¡(x) del inciso (a), seguida por una reflexión con respecto al

eje x (ejemplo 5).

y

Solución

(a) Multiplicamos x por 2 para obtener la compresión horizontal y por -1 para dar la reflexión con respecto al eje y. La fórmula que se obtiene al sustituir x con -2x, en el lado derecho de la ecuación paraf, es:

(b) La fórmula es

Elipses

y = f( - 2x) = (-2x)4 - 4( - 2x)3 + 10

= 16x4 + 32x 3 + lO

y = -~ ¡(x) = - ~ x 4 + 2x 3 - 5. •

Aunque no son gráficas de funciones, las circunferencias pueden estirarse o compnmlfSe, tanto horizontal como verticalmente, de la misma forma que las gráficas de las funciones. La ecuación estándar para una circunferencia con radio r y centro en el origen es

x2 + y2 = r2.

Al sustituir x por ex, en la ecuación estándar para una circunferencia (figura 1.36a), se obtiene

(1)

y y

---4----~~------~-+ x ---r~----------------~Ot-----------------;-r--+ x - r r e e

- r -r

(a) circunferencia (b) elipse, O < e < 1

FIGURA 1.36 El alargamiento o compresión horizontal de una circunferencia produce gráficas de elipses.

r e

-r

(e) elipse, e > 1



Si 0< e < 1, la gráfica de la circunferencia, ecuación (1), se alarga horizontalmente; si e> 1,la circunferencia se comprime horizontalmente. En cualquiera de los casos, la gráfica de laecuación (1) es una elipse (figura l.36). Observe en la figura l.36 que las intersecciones conel eje y de las tres gráficas siempre son -r y r. En la figura l.36b, el segmento que une lospuntos (±r / e, O) se denomina eje mayor (o eje principal) de la elipse; el eje menor es elsegmento de recta que une (O, ±r). Los ejes de la elipse se invierten en la figura l.36c: el ejemayor es el segmento de recta que une los puntos (O, ±r), mientras que el eje menor es elsegmento de recta que une los puntos (±r/ e, O). En ambos casos, el eje principal es el ma-yor segmento de recta.

Si dividimos ambos lados de la ecuación (1) entre r2, obtendremos

y

b

-a a

2 2~+ L= 1a2 b2

(2)

I • 1) x

-b

FIGURA 1.37 Gráfica de la elipse2 i

\ + 2" = 1, a > b, donde el eje mayora bes horizontal.

donde a = r/ e y b = r. Si a > b, el eje mayor es horizontal; si a < b, el eje mayor es vertical.El centro de la elipse, dada por la ecuación 2, es el origen (figura l.37).

En la ecuación (2), al sustituir x por x - h, y Y por Y - k, el resultado es

(x - h? (y - k)22 + - =l.

a b(3)

La ecuación (3) es la ecuación estándar de una elipse con centro en (h, k). La definición geo-métrica y las propiedades de las elipses se estudian en la sección 11.6.

Ejerddos 1.2

,~ 1 19. ¡(x) = V x + 1, g(x) = x + 4' h(x) = x

x+2 x2 ,~10. ¡(x) = -3 -, g(x) = -2--' h(x) = v 2 - x

- x x + 1

Sean ¡(x) = x - 3, g(x) = Vx, h(x) = x3 Y j(x) = 2x. Expresecada una de las funciones de los ejercicios 11 y 12 como una composiciónde funciones que incluyan a una o más de f, g, h y j.11. a. y = Vx - 3 b. Y = 2Vx

c. y = Xl/4 d. y = 4x

e. y = ~ f. Y = (2x - 6)3

12. a. y = 2x - 3 b. Y = x3/2

~y=~ ~y=x-6e. y = 2-v;=3 f. Y = \1?-=3

13. Copie y complete la siguiente tabla:

g(x) f(x) (f o g)(x)

a. x - 7 Vx ?

b. x + 2 3x ?

c. ? ~ V'7=5x x ?d. x - 1 x - 1

e. ? 1 + 1 xx

f.1

?- xx

Combinaciones aLgebraicasEn los ejercicios 1 y 2, determine dominios y rangos de I.g, f + g yi :«

1. f(x) = x, g(x) = ~2. f(x) = Vx+l, g(x) = ~

En los ejercicios 3 y 4, determine dominios y rangos de/, g,f/g y g/I

3. f(x) = 2, g(x) = x2 + 1

4. f(x) = 1, g(x) = 1 + Vx

Composición de funciones5. Sif(x) = x + 5 Yg(x) = x2 - 3, determine lo siguiente:

a. f(g(O» b. g(f(O»

c. f(g(x» d. g(f(x»e. f(f( - 5» f. g(g(2»

g. f(f(x» h. g(g(x»

6. Sif(x) = x - 1 Y g(x) = 1/(x + 1), determine lo siguiente.

a. f(g(1/2» b. g(f(1/2»

c. f(g(x» d. g(f(x»

e. f(f(2» f. g(g(2»

g. f(f(x» h. g(g(x»

En los ejercicios 7 a 1O, escriba una fórmula para f o g o h.

7. ¡(x) = x + 1, g(x) = 3x, h(x) = 4 - x

8. ¡(x) = 3x + 4, g(x) = 2x - 1, h(x) = x2



14. Copie y complete la siguiente tabla.

g(x) f(x) (f o g)(x)

I Ixl ?a. x-

b. ?x - I x~-

X X + 1

c. ? Vx Ixld. Vx ? Ixl

15. Evalúe cada expresión utilizando la siguiente tabla de valores.

22. La siguiente figura muestra la gráfica de y = x2 recorrida a dos nue-vas posiciones. Escriba las ecuaciones para las nuevas gráficas.

x -2 -1 O 1 2

f(x) 1 O -2 1 2

g(x) 2 I O -1 O23. Relacione las ecuaciones listadas en los incisos (a) a (d) con las grá-

ficas que aparecen más abajo:a. y = (x - 1)2 - 4

c. y = (x + 2)2 + 2a. f(g( -1»d. g(g(2»

b. Y = (x - 2)2 + 2

d. Y = (x + 3? - 2b. g(f(O»

e. g(f( -2»

c. f(f( -1)

f. f(g(1»

16. Evalúe cada expresión con el uso de las funciones

{-x

f(x) = 2 - x, g(x) = x ., 1,-2 :5 x < O

O :5 X :5 2.

a. f(g(O»

d. f(f(2»

b. g(f(3»

e. g(f(O»

c. g(g( -1»f. f(g(1/2»

En los ejercicios 17 y 18, (a) escriba fórmulas para f o g y g o f, luegodetermine (b) el dominio y (e) el rango de cada una.

17. f(x) = Vx+l, g(x) = ~

18. f(x) = x2, g(x) = 1 - Vx19. Sea f(x) = ~2' Determine una función y = g(x), de manerax-

que (f o g)(x) = x.

20. Sea f(x) = 2X3 - 4. Determine una función y = g(x) de tal formaque (f o g)(x) = x + 2.

(1, -4)

24. La siguiente figura muestra la gráfica de y = -x2 recorrida a cuatroposiciones nuevas. Escriba una ecuación para cada una de las gráficasnuevas.

y(1,4)

Gráficas trasladadas21. La siguiente figura muestra la gráfica de y = -x2 recorrida a dos

nuevas posiciones. Escriba las ecuaciones para las nuevas gráficas.

y ------~------~~--~~~---+x



Los ejercicios 25 a 34 indican cuántas unidades y en qué dirección se re-corre la gráfica de cada una de las ecuaciones dadas. Dé una ecuaciónpara la gráfica trasladada. Luego haga un bosquejo de las dos gráficasjuntas y anote aliado de cada gráfica su ecuación respectiva.

25. x2 + y2 = 49 Hacia abajo 3, a la izquierda 2

26. x2 + y2 = 25 Hacia arriba 3, a la izquierda 4

27. Y = x3 A la izquierda 1, hacia abajo 1

28. Y = x2/3 Hacia la derecha 1, hacia abajo 1

29. Y = Vx A la izquierda 0.81

30. Y = - Vx A la derecha 3

31. Y = 2x - 7 Hacia arriba 7

32. Y = k (x + 1) + 5 Hacia abajo 5, a la derecha 1

33. Y = l/x Hacia arriba 1, a la derecha 1

34. Y = l/x2 A la izquierda 2, hacia abajo 1

Grafique las funciones de los ejercicios 35 a 54.

35.y=~ 36.y=~

37. Y = [x - 21 38. Y = I1 - xl - 1

39. Y = 1 + ~ 40. Y = 1 - Vx41. Y = (x + 1)2/3 42. Y = (x - 8)2/3

43. Y = 1 - x2/3 44. y + 4 = ~/3

45. Y = ~ - 1 46. Y = (x + 2?/2 + 1

147. Y = x - 2 -1_248. Y - x

149. Y = x + 2

150. Y = x + 2

151. Y = (x _ 1)2

152. Y = ~

1 153. Y = 2" + 1 54. Y = -- 2X (x + 1)

55. La siguiente figura muestra la gráfica de una función f(x) con do-minio [O, 2] Y rango [O, 1]. Determine los dominios y los rangos delas siguientes funciones y haga un bosquejo de sus gráficas.

y

01 x2

a. f(x) + 2 b. f(x)-

c. 2f(x) d. - f(x)

e. f(x + 2) f. f(x - 1)

g. f( -x) h. - f(x + 1) + 1

56. La siguiente figura muestra la gráfica de una función f(x) con domi-nio [-4, O]Yrango [-3, O].Determine los dominios y los rangos delas siguientes funciones y haga un bosquejo de sus gráficas.

y

-4' o

a. g( -t) b. -g(t)

c. g(t) + 3 d. 1 - g(t)

e. g( =t + 2) f. g(t - 2)

g. g(I - t) h. -g(t - 4)

Cambios de tamaño vertical y horizontalLos ejercicios 57 a 66 indican el factor y la dirección en los que las gráfi-cas de las funciones dadas se alargan o se comprimen. Dé una ecuaciónpara la gráfica que se alargó o comprimió.

57. y = x2 - 1, alargamiento vertical por un factor de 3

58. Y = x2 - 1, compresión horizontal por un factor de 2

59. Y = 1 + ~, compresión vertical por un factor de 2x'

60. Y = 1 + ~, alargamiento horizontal por un factor de 3x

61. y =~, compresión horizontal por un factor de 4

62. Y =~, alargamiento vertical por un factor de 3

63. Y =~, alargamiento horizontal por un factor de 2

64. Y =~, compresión vertical por un factor de 3

65. Y = 1 - x3, compresión horizontal por un factor de 3

66. Y = 1 - x3, alargamiento horizontal por un factor de 2

GraficaciónEn los ejercicios 67 a 74, grafique cada función; no lo haga graficandopuntos, inicie con la gráfica de una de las funciones estándar presentadasen las figuras 1.14 a 1.17 y mediante la aplicación de una transformaciónadecnada.

67.y=-~

69. Y = (x - 1)3 + 2

171. Y = 2x -

73. Y = -\o/x

68. Y =)1 -~70. Y = (I - x)3 + 2

272. Y = 2" +

x74. y = (-2x?/3

75. Grafique la función y = Ix2 - 11.

76. Grafique la función y = vfxI.ElipsesLos ejercicios 77 a 82 presentan ecuaciones de elipses. Ponga cada ecua-ción en la forma estándar y haga un bosquejo de la elipse.

77. 9x2 + 25/ = 225 78. 16x2 + 7/ = 112

79. 3x2 + (y - 2)2 = 3 80. (x + 1? + 2/ = 4



81. 3(x - 1)2 + 2(y + 2? = 6

82. 6 (x + ~y + 9 & _ ~) 2

= 54

83. Escriba una ecuación para la elipse (x2/16) + (j219) = 1, trasladada4 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba. Haga un bos-quejo de la elipse, luego identifique su centro y su eje mayor.

84. Escriba una ecuación para la elipse (x2/4) + (y2/25) = 1, trasladada3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo. Haga un bos-quejo de la elipse, luego identifique su centro y su eje mayor.

a. fg b. tts c. glfd. i' = ff e. i = gg f. f o gg. g o f h. f o f i. g o g

86. ¿Puede una función ser simultáneamente par e impar? Justifique surespuesta.

O 87. (Continuación del ejemplo l.) Grafique las funciones f(x) = Vxy g(x) = ~ junto con (a) su suma, (b) su producto, (c) sus di-ferencias, (d) sus cocientes.

O 88. Sean f(x) = x - 7 Yg(x) = x2 Grafique f y g junto con f o g y g o f.Combinación de funciones85. Suponga que f es una función par y g es una función impar, y que

tanto f como g están definidas en toda la recta real, IR. ¿Cuáles delas siguientes funciones (donde estén definidas) son pares? ¿Cuálesimpares?

1.3 Funciones trigonométricas

En esta sección se revisan la medida en radianes y las funciones trigonométricas básicas.

Ángulos

A'

Los ángulos se miden en grados y radianes. La medida en radianes del ángulo central A' CB'en un círculo de radio r se define como el número de "radios" contenidos en el arco s, subten-dido por el ángulo central. Si denotamos este ángulo central por f) cuando se mide en radianes,esto significa que f) = si r (figura l.38), o

s = rf) (f) en radianes). (1)a ,;.o~

ií-cUlo de r\l."~

FIGURA 1.38 La medida en radianes delángulo centralAICB' es el número e = sir.Para un círculo unitario de radio r = 1, e esla longitud del arco AB que el ángulo centralACB determina sobre el círculo unitario.

Si el círculo es un círculo unitario que tiene radio r = 1, entonces, con base en la figura l.38 yla ecuación (1), vemos que el ángulo central f), medido en radianes, es justamente la longituddel arco determinado por el ángulo al cortar el círculo unitario. Como una vuelta completa delCÍrculounitario es 3600 o 27T radianes, tenemos

7T radianes = 1800 (2)

y

1 radián = 1;0 (~ 57.3) grados o 1 grado = 1;0 (~ 0.017) radianes.

La tabla 1.2 muestra la equivalencia entre medidas en grados y radianes para algunos ángulosbásicos.

Grados -180 -135 -90 -45 o 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360TABLA 1.2 Ángulos medidos en grados y radianes

() (radianes) -7T-37T

4 2 4 O6

7T

4 3 2


81. 3(x - 1)2 + 2(y + 2? = 6

82. 6(X + ~y + 9G -~y = 54

83. Escriba una ecuación para la elipse (x2/ 16) + 0l/9) = 1, trasladada 4 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba. Haga un bosquejo de la elipse, luego identifique su centro y su eje mayor.

84. Escriba una ecuación para la elipse (x2 / 4) + (y2 / 25) = 1, trasladada 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo. Haga un bosquejo de la elipse, luego identifique su centro y su eje mayor.

Combinación de funciones 85. Suponga que f es una función par y g es una función impar, y que

tanto f como g están definidas en toda la recta real , IR. ¿Cuáles de las siguientes funciones (donde estén definidas) son pares? ¿Cuáles impares?

1.3 Funciones trigonométricas

86.

D 87.

D 88.

a. fg

d. f 2 = ff g. g o f

b. f/g

e. i = gg

h. f o f

c. glf

f. f o g

i. g o g

¿Puede una función ser simultáneamente par e impar? Justifique su respuesta.

(Continuación del ejemplo l.) Grafique las funciones f(x) = Vx y g(x) = ~ junto con (a) su suma, (b) su producto, (c) sus diferencias, (d) sus cocientes.

Sean f(x) = x - 7 Y g(x) = x2 Grafique f y g junto con f o g y g o f.

En esta sección se revisan la medida en radianes y las funciones trigonométricas básicas.

A'

a ".oj ¡¡-Culo de r\l.V~

FIGURA 1.38 La medida en radianes del

ángulo central A' CB' es el número e = s / r.

Para un círculo unitario de radio r = 1, e es

la longitud del arco AB que el ángulo central

ACB determina sobre el círculo unitario.

Ángulos

Los ángulos se miden en grados y radianes. La medida en radianes del ángulo central A' CE' en un CÍrculo de radio r se define como el número de "radios" contenidos en el arco s, subtendido por el ángulo central. Si denotamos este ángulo central por e cuando se mide en radianes, esto significa que e = si r (figura l.38), o

s = re (e en radianes). (1)

Si el CÍrculo es un CÍrculo unitario que tiene radio r = 1, entonces, con base en la figura l.38 y la ecuación (1), vemos que el ángulo central e, medido en radianes, es justamente la longitud del arco determinado por el ángulo al cortar el CÚ'cu10 unitario. Como una vuelta completa del CÍrculo unitario es 3600 o 27T radianes, tenemos

7T radianes = 1800 (2)

y

1 radián = 1;0 (~ 57.3) grados o 1 grado = 1;0 (~0.017)radianes.

La tabla 1.2 muestra la equivalencia entre medidas en grados y radianes para algunos ángulos básicos.

TABLA 1.2 Ángulos medidos en grados y radianes

Grados -180

() (radianes) -7T

-135

-37T

4

-90

2

-45 o 30

4 O

6

45

7T

4

60

3

90

2

120 135 150 180 270 360


1.3 Funciones trigonométricas 23

Se dice que un ángulo en el plano xy está en posición estándar si su vértice se encuentraen el origen y su rayo inicial está a lo largo de la parte positiva del eje x (figura 1.39). A los án-gulos medidos en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, a partir de la partepositiva del eje x, se les asigna medidas positivas, mientras que a los ángulos que se miden ensentido del giro de las manecillas del reloj se les asignan medidas negativas.

y y

Rayo inicial

.,¡ ¡ IV 'xRayo inicial

Ir J"'-- 't") X

FIGURA 1.39 Ángulos en posición estándar en el plano xy.

Los ángulos que describen rotaciones en contra de las manecillas del reloj pueden ir másallá de 27T radianes o 360°. De forma análoga, los ángulos que giran en sentido de las maneci-llas del reloj pueden tener medidas negativas de cualquier tamaño (figura lAO).

y y y y

( l" \ 1 , x 't { I \} ) X 71 I ) x 1 l 1 'x

57T2

37T

()

97T4

hipotenusaopuesto FIGURA 1.40 Las medidas en radianes, distintas de cero, pueden ser positivas o negativas, e ir más

allá de 27r.

sen () = ophip

cos () = adyhip

tan()=~ady

ese () = hipop

sec e = hipady

cot () = adyop

Convención para ángulos: Uso de radianes A partir de ahora, en este libro se supondrá quetodos los ángulos se miden en radianes, a menos que se indiquen explícitamente grados u otraunidad. Cuando hablemos acerca del ángulo 7T /3, queremos decir 7T /3 radianes (que es 60°), no7T /3 grados. Utilizamos radianes, porque eso simplifica muchas de las operaciones en cálculo;algunos resultados que obtendremos, los cuales incluyen funciones trigonométricas, no sonválidos cuando los ángulos se miden en grados.

adyacente

FIGURA 1.41 Razones trigonométricasde un ángulo agudo.

Las seis funciones trigonométricas básicasQuizás esté familiarizado con la definición de las funciones trigonométricas de un ánguloagudo en términos de los lados de un triángulo rectángulo (figura IA1). Ampliamos estadefinición a ángulos obtusos y negativos, colocando primero el ángulo en forma estándar en uncírculo de radio r. Luego definimos las funciones trigonométricas en términos de las coorde-nadas del punto P(x, y), donde el rayo terminal interseca al círculo (figura 1A2).

Y rseno: sen6 = r cosecante: ese 6 = Yy+ x rcoseno: cos 6 = r secante: sec6 = x

1 I '1) 1) xr

y xtangente: tan 6 = x cotangente: cot 6 = Y

Estas definiciones ampliadas coinciden con las definiciones en el triángulo rectángulo cuando elángulo es agudo.

Tenga en cuenta también que siempre que los cocientes estén definidos,

FIGURA 1.42 Las funciones trigonométricas

de un ángulo general () están definidas en

términos de x, y y r.

tan 6 = sen 6cos6

sec6 = 1cos 6

lcot6 = tan 6

lcsc 6 = sen 6


Mediante el uso de un método semejante, determinamos los valores de sen e, cos e y tan e quese muestran en la tabla 1.3.

TABLA 1.3 VaLores de sen e, cos e y tan e para vaLores seLeccionados de eGrados -180 -135 -90 -45 O 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360() (radianes)

-31T -1T -1TO

1T 1T 1T 1T 21T 31T 51T 31T-TT -- - - - TT - 2TT4 2 4 6 4 3 2 3 4 6 2

sen e o -V2 -1 -V2 o 1 V2 v3 v3 V2 1 o -1 o2 2 2 2 2 2 2 2

cos e -1 -V2 o V2 v3 V2 1 o 1 -V2 -v3 -1 o--2 2 2 2 2 2 2 2

tan e o -1 o v3 v3 -v3 -1 -v3 o o3 3

24 CapítuLo 1: Funciones

n2*17T 7T- -4 2

1

FIGURA 1.43 Ángulos en radianes ylongitudes de lados de dos triánguloscomunes.

Como se observa, tan e y sec e no están definidas si x = cos e = O. Lo anterior significa que noestán definidas si e es ±1T/2, ±31T/2, ...De forma análoga, cot e y ese e no están definidaspara valores de e para los cuales y = sen e = O, es decir, para e = o, ±1T, ±21T, ...

Los valores exactos de estas razones trigonométricas para algunos ángulos pueden dedu-cirse a partir de los triángulos en la figura 1.43.Por ejemplo,

1T 1sen- =--4V2

1T 1cos- =--4V2

1T 1sen"6 = 2"

1T v3cos"6 = 2

1T v3sen"3 = -2-

1T 1cos"3 = 2"

1T 1tan- =--6v3

El acrónimo "tose taco" (figura 1.44)es útil para recordar cuándo las funciones trigonométri-cas básicas son positivas o negativas. Por ejemplo, con base en el triángulo de la figura 1.45,vemos que

1Ttan4 = 1 tanf = v3

21T v3sen) = -2-'

21T , ¡::tan- = - v3.

3

y (cos 2;, sen 2;) = H' ~)y

eo ~~-~-~-~--~-~X

SE TOseno todas

positivo positivas

------t-----+x

TAtangentepositiva

cosenopositivo

FIGURA 1.44 El acrónimo "tose taco", quese forma a partir de "todas positivas", "senopositivo", "tangente positiva" y "cosenopositivo" nos ayuda a recordar cuáles de lasfunciones trigonométricas son positivas encada uno de los cuadrantes.

FIGURA 1.45 Triángulo para calcularel seno y el coseno de 27T/3 radianes.Las longitudes de los lados se pueden obtenerde la geometría de triángulos rectángulos.


Periodos de las funcionestrigo no métricas

Periodo 11": tan(x + 7T) = tan xcot(x + 7T) = cot x

Periodo 211": sen(x + 27T) = sen xcos(x + 27T) = COS xsec(x + 27T) = sec xcsc(x + 27T) = CSC X

DEFINICIÓN Una funciónf(x) es periódica si existe un número positivo p, talque f(x + p) = f(x) para todo valor de x. El menor de estos valores de p es elperiodo de!


Periodicidad y gráficas de las funciones trigonométricasCuando un ángulo de medida 8 y un ángulo con medida 8 + 211" están en posición estándar, susrayos terminales coinciden. Por lo tanto, las funciones trigonométricas de los dos ángulostienen los mismos valores: sen(8 + 211") = sen(8), tan(8 + 211"), etcétera. De forma análoga,cos(8 - 211") = cos(8), sen(8 - 211") = sen(8), etcétera. Describimos este comportamientorepetitivo diciendo que las seis funciones trigonométricas son periódicas.

Cuando graficamos las funciones trigonométricas en el plano coordenado, por lo regular deno-tamos a la variable independiente con x en vez de 8. La figura 1.46 muestra que las funcionestangente y cotangente tienen periodo p = 11", en tanto que las otras cuatro funciones tienen pe-riodo 27T. Además, las simetrías de estas gráficas revelan que las funciones coseno y secanteson pares, mientras que las otras cuatro funciones son impares (aunque esto no demuestra di-chos resultados).

y

Dominio: -00 < x < 00

Rango: -1:s Y :S 1Periodo: 2'7T

(b)

yy = ese x

IV- '7T0 '7T jñ~r. "2

Dominio: x 0/= O, :±:'7T, :±:2'7T, .Rango: y:s -1 o y 2:: 1Periodo: 2'7T

(e)

cos? 8 + sen? 8 = l.

yy = tan x

y

Dominio' x --'"+:'! + 3'7T. T-2,- 2

Rango: -00 < y < 00

Periodo: '7T (e)

yy = cotx

x

Par Dominio: -00 < x < 00

Rango: -1:s y:s 1Periodo: 2'7T

I 'o'". I "", I ~'".1 'x

Dominio: ~ #= 0, ::!::7T, :!:27T, .Rango: -00 < y < 00

Periodo: '7T

(1)

FIGURA 1.46 Gráficas de las seis funciones trigonométricas básicas, con los ángulos medidos enradianes. En cada función, el sombreado indica su periodicidad.

Las coordenadas de cualquier punto P(x, y) en el plano pueden expresarse en términos de ladistancia r del punto al origen y el ángulo 8 que el rayo OP forma con la parte positiva del eje x(figura 1.42). Como x] r = cos 8 y Y Ir = sen 8, tenemos

x = r cos 8, y = r sen 8.

Cuando r = 1, es posible aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de referenciade la figura l.47 y obtener la ecuación

(3)FIGURA 1.47 El triángulo de referencia

para un ángulo general 8.

cos( -x) = cos(x)

sec( -x) = sec(x)(a)

yy = seex

Impar J ' I _1 1 ' J 1 X

sen( -x) = -sen xtan(-x) = -tanxcsc(-x) = -cscx

cot( -x) = -cot x

Dominio· x:,t:+ '!!.. + 37T. -2' - 2"

Rango: y:s -1 o v 2:: 1Periodo: 2'7T

(d)

y

P(cos 8, sen ~ Identidades trigonométricasx2 + y2 = 1

1 'L ~! 1) x



Esta ecuación, verdadera para todos los valores de e, es la identidad que se utiliza con mayorfrecuencia en trigonometría. Al dividir esta identidad primero entre cos- e y luego entre sen? ese obtiene

1 + tan- e = sec- e1 + cot? e = ese? e

Las siguientes fórmulas se cumplen para todos los ángulos A y B (ejercicio 58).

(4)

Fórmulas para la suma

cos(A + B) = cos A cos B - sen Asen Bsen(A + B) = sen A cos B + cos Asen B

Existen fórmulas análogas para cos(A - B) Y sen(A - B) (ejercicios 35 y 36). Todaslas identidades trigonométricas necesarias en este libro se deducen de las ecuaciones (3) y (4).Por ejemplo, al sustituir A y B por e en la fórmula de la suma, se obtiene

(5)

Fórmulas para el ángulo doble

cos 2e = cos- e - sen- esen 2e = 2 sen e cos e

Se pueden deducir otras fórmulas si se combinan las ecuaciones

cos? e + sen? e = 1 cos- e - sen- e = cos 2e.Sumamos las dos ecuaciones para obtener 2 cos- e = l + cos 2e y restamos la segunda de laprimera para obtener 2 sen? e = 1 - 2 cos 2e. Esto lleva a las identidades siguientes, queson útiles en cálculo integral.

Fórmulas para el ángulo medio

2 e 1 + cos 2ecos = 2 (6)

serr' e = 1 - cos 2e2

(7)

Ley de los cosenosSi a, b y e son lados de un triángulo ABC, y e es el ángulo opuesto a e, entonces

e2 = a2 + b2 - 2ab cos e. (8)

Esta ecuación se denomina ley de los cosenos.


Esta ecuación, verdadera para todos los valores de e, es la identidad que se utiliza con mayor frecuencia en trigonometría. Al dividir esta identidad primero entre cos2 e y luego entre sen2 e se obtiene

1 + tan2 e = sec2 e 1 + cot2 e = csc2 e

Las siguientes fórmulas se cumplen para todos los ángulos A y B (ejercicio 58).

Fórmulas para la suma

cosCA + B) = cos A cos B - sen A sen B

sen(A + B) = sen A cos B + cos A sen B (4)

Existen fórmulas análogas para cosCA - B) Y sen(A - B) (ejercicios 35 y 36). Todas las identidades trigonométricas necesarias en este libro se deducen de las ecuaciones (3) y (4). Por ejemplo, al sustituir A y B por e en la fórmula de la suma, se obtiene

Fórmulas para el ángulo doble

cos 2e = cos2 e - sen2 e sen 2e = 2 sen e cos e

Se pueden deducir otras fórmulas si se combinan las ecuaciones

cos2 e + sen2 e = 1 cos2 e - sen2 e = cos 2e.

(5)

Sumamos las dos ecuaciones para obtener 2 cos2 e = 1 + cos 2e y restamos la segunda de la primera para obtener 2 sen2 e = 1 - 2 cos 2e. Esto lleva a las identidades siguientes, que son útiles en cálculo integral.

Fórmulas para el ángulo medio

Ley de los cosenos

2 e 1 + cos 2e cos = 2

sen2 e = 1 - cos 2e 2

Si a, b y e son lados de un triángulo ABe, y e es el ángulo opuesto a e, entonces

e2 = a2 + b 2 - 2ab cos e.

Esta ecuación se denomina ley de los cosenos.

(6)

(7)

(8)



y Podemos ver por qué se cumple la ley si introducimos ejes coordenados con el origen en Cy la parte positiva del eje x a lo largo de un lado del triángulo, como se muestra en la figura1.48. Las coordenadas de A son (b, O);las coordenadas de B son (a cos 8, asen 8). Porlo tanto,el cuadrado de la distancia entre A y B

c2 = (a cos 8 - b)2 + (a sen 8)2

B(a cos 8, asen 8)

= a2 (cos'' 8 + sen28) + b2 - 2ab cos 8~

'1 \ ....•. ) X

c b A(b, O)= a2 + b? - 2ab cos 8.

La ley de los cosenos generaliza el teorema de Pitágoras. Si 8 = 'TT /2, entonces cos 8 = OY c2 = a? + b2.

FIGURA 1.48 El cuadrado de la distancia

entre A y B da la ley de los cosenos.

Transformaciones de las gráficas trigonométricas

En el siguiente diagrama se hace un resumen de las reglas para trasladar, alargar, comprimiry reflejar la gráfica de una función aplicadas a las funciones trigonométricas que analizamosen esta sección.

Alargamiento o compresión vertical; si a es~ /Traslación verticalnegativa, reflexión con respecto al eje x ~ /

y = af(b(x + e)) + d

Alargamiento o compresión horizontal; si b es /' ~ Traslación horizontalnegativa, reflexión con respecto al eje y

Las reglas de transformación aplicadas a la función seno dan lugar a la fórmula generalde funciones senos o sinusoides

¡(x) = Asen e; (x - C)) + D,

donde IAI es la amplitud, IBI es el periodo, C es la traslación (o corrimiento) horizontal, yD es la traslación (o corrimiento) vertical. A continuación se presenta una interpretación grá-fica de los diferentes términos.

y

y = Asen (2;(x - C)) + D

Este eje es larecta y = D.

l ."O ) X

Dos desigualdades especiales

Para cualquier ángulo 8, medido en radianes, se cumple

-1 8 1 ::; sen 8 ::; 18 1 y -1 8 1 ::; 1 - cos 8 ::; 18 [.

y

B(a cos 8, a sen 8)

FIGURA 1.48 El cuadrado de la distancia

entre A y B da la ley de los cosenos.


Podemos ver por qué se cumple la ley si introducimos ejes coordenados con el origen en C y la parte positiva del eje x a lo largo de un lado del triángulo, como se muestra en la figura 1.48. Las coordenadas de A son (b, O); las coordenadas de B son (a cos 8, a sen 8). Por lo tanto, el cuadrado de la distancia entre A y B

c2 = (a cos 8 - b)2 + (a sen 8)2

= a2 (cos2 8 + sen2 8) + b2 - 2ab cos 8 ~

1

= a 2 + b 2 - 2ab cos 8.

La ley de los cosenos generaliza el teorema de Pitágoras. Si 8 = 'TI" / 2, entonces cos 8 = O Y c2 = a2 + b2

Transformaciones de las gráficas trigonométricas

En el siguiente diagrama se hace un resumen de las reglas para trasladar, alargar, comprimir y reflejar la gráfica de una función aplicadas a las funciones trigonométricas que analizamos en esta sección.

Alargamiento o compresión vertical; si a es~ / Traslación vertical negativa, reflexión con respecto al eje x ~ /

y = af(b(x + e)) + d

Alarcramiento o compresión horizontal' si bes /' ~Traslación horizontal '" , negativa, reflexión con respecto al eje y

Las reglas de transformación aplicadas a la función seno dan lugar a la fórmula general de funciones senos o sinusoides

¡(x) = A sen e; (x - C)) + D,

donde IA I es la amplitud, IBI es el periodo, C es la traslación (o corrimiento) horizontal, y D es la traslación (o corrimiento) vertical. A continuación se presenta una interpretación gráfica de los diferentes términos.

y

y = A sen (2; (x - e)) + D

Este eje es la recta y = D.

-o~----~-------------------------------------+ x

Dos desigualdades especiales

Para cualquier ángulo 8, medido en radianes, se cumple

- 1 8 1 :s sen 8 :s 1 8 1 y -1 8 1 :s 1 - cos 8 :s 1 8 l.


-----------~-.. ~~~~----------------------------------------------------------------------------------------------------~-

Para establecer estas desigualdades, representamos a e como un ángulo distinto de ceroen posición estándar (figura 1.49). En la figura, el círculo es unitario, así que 1 e 1 es igual ala longitud del arco circular AP. Por lo tanto, la longitud del segmento de recta AP es menorque lel.

El triángulo APQ es un triángulo rectángulo con lados de longitud


y

~--------~~~----+---~XA(l, O)

QP = [sen el, AQ = 1 - cos e.

Con base en el teorema de Pitágoras y el hecho de que AP < 1 el, obtenemos

(9)sen- e + (1 - cos e)2 = (AP)2 :S e2.

Ambos términos en el lado izquierdo de la ecuación (9) son positivos, así que cada uno esmenor que su suma y, por lo tanto, menor o igual a e 2;

y

FIGURA 1.49 Con base en la geometría deesta figura, hecha para e > O,obtenemos ladesigualdad sen? e + (1 - cos e)2 :s el.

Al sacar raíces cuadradas, lo anterior es equivalente a decir que

por lo que

11 - cos e 1 :S 1 el,y

-Iel :S sen e:s lel y -1 e 1 :S 1 - cos e :S 1 e l.Tales desigualdades serán útiles en el siguiente capítulo.

Ejercicios 1.3Radianes y grados

1. En un círculo de radio de 10 m, ¿cuál es la longitud de un arco quesubtiende un ángulo central de (a) 47/"/5 radianes? (b) 110°?

2. Un ángulo central en un círculo de radio 8 está subtendido por unarco de longitud lO7/".Determine la medida del ángulo en radianesy en grados.

3. Usted quiere construir un ángulo de 80° marcando un arco en el perí-metro de un disco, con diámetro de 12 in, y dibujando líneas de losextremos de este arco hacia el centro del disco. ¿Cuál debe ser la lon-gitud del arco? (Aproxime al décimo más cercano).

4. Si se hace rodar a nivel del piso una rueda de 1 m de diámetro 30 cmhacia delante, ¿qué ángulo giró la rueda? Responda en radianes (aldécimo más cercano) y en grados (al grado más cercano).

EvaLuación de funciones trigonométricas5. Copie y complete la siguiente tabla de valores de funciones. Si la

función no está definida en un ángulo dado, escriba INDEF. No uti-lice calculadora ni tablas.

(J -2TT/3 TT/2 3TT/4

(J -3TT/2 -TT/3 5TT/6

-TT o

TT/4-TT/6

sen ecos etan ecot esec eese e

En los ejercicios 7 a 12 se establece ya sea sen x, cos x o tan x. Determinelos otros dos si x pertenece al intervalo que se especifica.

7. 3XE[~,7/"] 8. tanx = 2, XE [O'~]senx = 5'

9. IXE[-~,O] 10. S

XE[~,7/"]cosx = 3' cosx = -13'

11. IXE [7/",3;] 12. I

XE [7/",3;]tanx = 2' senx = -2'

Graficación de funciones trigonométricasGrafique las funciones en los ejercicios 13 a 22. ¿Cuál es el periodo decada función?

sen ecos etan ecot esec eese e

6. Copie y complete la siguiente tabla de valores de funciones. Si lafunción no está definida en un ángulo dado, escriba INDEF. No uti-lice calculadora ni tablas.

13. sen 2x 14. sen (x/2)

15. 16. 7/"Xcos 7/"X cos-Z

17. 7/"X 18. -cos 27/"x-sen3

19. cos(x - ~) 20. sen(x+~)


21. sen(x -~) + -1 22. cos(x + 2;) - 2

En el plano ts (el eje t es horizontal y el eje s es vertical) grafique las fun-ciones en los ejercicios 23 a 26. ¿Cuál es el periodo de cada función?¿Qué simetrías tienen las gráficas?

23. s = cot 2t 24. s = -tan -ttt

25. s = sec ( ~t) 26. s = ese (1)O 27. a. Grafique juntas y = cos x y y = sec x, para - 37r/2 ::=; x ::=; 37r/2.

Comente sobre el comportamiento de sec x con respecto a los sig-nos y los valores de cos x.

b. Grafique juntas y = sen x y y = ese x para +-tt ::=; X ::=; 27r. Co-mente sobre el comportamiento de ese x con respecto a los signosy los valores de sen x.

028. Grafique juntas y = tan x y y = cot x para -7 ::=; x ::=; 7. Comentesobre el comportamiento de cot x con respecto a los signos y los va-lores de tan x.

29. Grafique juntas y = sen x y y = [sen xJ. ¿Cuáles son el dominio y elrango de [sen xJ?

30. Grafique juntas y = sen x y y = [sen x] ¿Cuáles son el dominio yel rango de rsen x11

Aplicación de las fórmulas para la sumaUtilice las fórmulas para la suma para deducir las identidades en los ejer-cicios 31 a 36.

31. cos(x - ~) = senx 32. cos(x + ~) = -senx

33. sen(x + ~) = cosx 34. senG - ~) = -cosx

35. cos(A - B) = cos A cos B + sen Asen B (el ejercicio 57 brinda unadeducción diferente).

36. sen(A - B) = sen A cos B - cos Asen B.

37. ¿Qué sucede si toma B = A en la identidad trigonométrica cos (A - B)= cos A cos B + sen Asen B? ¿El resultado coincide con algo queya conoce?

38. ¿Qué sucede si toma B = 27r en las fórmulas para la suma? ¿Los re-sultados coinciden con algo que ya conoce?

En los ejercicios 39 a 42 exprese la cantidad dada en términos de sen xy cos x.

39. cos( tt + x) 40. sen (27r - x)

41. sene; - x) 42. cos(3; + x),77r (7r 7r)43. Evalue sen 12 como sen "4 + 3" .

,117r (7r 27r)44. Evalue cos U como cos "4 +"""3 .

45. Evalúe cos ~ . 46. Evalúe sen ~; .

Aplicación de las fórmulas para el doble de un ánguloDetermine los valores de la función en los ejercicios 47 aSO.

257r48. COS 1227r

47. cos "82.!!....

49. sen 12 50. serr' 37r8


Resolución de ecuaciones trigonométricasPara los ejercicios 51 a 54 determine el ángulo O donde O ::=; O ::=; 27r.

351. serr' O = ¡ 52. sen? O = cos- O

53. sen 20 - cos O = O 54. cos 20 + cos O = O

Teoria y ejemplos55. Fórmula para la tangente de la suma La fórmula estándar para la

tangente de la suma de dos ángulos es

tan(A + B) = tanA + tanB1 - tan A tanB'

Deduzca la fórmula.

56. (Continuación del ejercicio 55). Deduzca una fórmula paratan (A - B).

57. Aplique la ley de los cosenos al triángulo de la siguiente figura, conla finalidad de deducir la fórmula para cos (A - B).

y

1 =::""'1' ) I I ) x

58. a. Aplique la fórmula para cos(A - B) a la identidad sen O =

cos (~ - O) para obtener la fórmula para la suma sen(A + B).

b. Deduzca la fórmula para cos(A + B) mediante la sustitución de-B por B en la fórmula para cos(A - B) del ejercicio 35.

59. Un triángulo tiene lados a = 2 Y b = 3, y ángulo C = 60°. Determinela longitud del lado c.

60. Un triángulo tiene lados a = 2 Y b = 3, y ángulo C = 40°. Determi-ne la longitud del lado c.

61. Ley de los senos La ley de los senos establece que si a, by c son loslados opuestos de los ángulos A, B y C, en un triángulo, entonces

senAa

senBb

senCc

Utilice las siguientes figuras y, si se requiere, la identidad sen(-tt -

O) = sen e para deducir la ley.

A A

h

B/ I 'e BL Ja

62. Un triángulo tiene lados a = 2 y b = 3, Y el ángulo C = 60° (comoen el ejercicio 59). Determine el seno del ángulo B mediante la leyde los senos.

21. senG - -¡) + -1 22. cos (X + 2;) - 2

En el plano Is (el eje I es horizontal y el eje s es vertical) grafique las funciones en los ejercicios 23 a 26. ¿Cuál es el periodo de cada función? ¿Qué simetrías tienen las gráficas?

23. s = cot 21 24. s = -tan 171

25. s = sec(~t) 26. s = csc(~) O 27. a. Grafique juntas y = cos x y y = sec x, para - 317/ 2 oS x oS 317/ 2.

Comente sobre el comportamiento de sec x con respecto a los signos y los valores de cos x .

b. Grafique juntas y = sen x y y = csc x para - 17 oS X oS 217. Comente sobre el comportamiento de csc x con respecto a los signos y los valores de sen x.

0 28. Grafique juntas y = tan x y y = cot x para -7 oS x oS 7. Comente sobre el comportamiento de cot x con respecto a los signos y los valores de tan x.

29. Grafique juntas y = sen x y y = lsen xJ. ¿Cuáles son el dominio y el rango de lsen xJ?

30. Grafique juntas y = sen x y y = rsen xl ¿Cuáles son el dominio y el rango de r sen x 11

Aplicación de Las fórmuLas para La suma Utilice las fórmulas para la suma para deducir las identidades en los ejercicios 31 a 36.

31. cos(x - f) = sen x 32. cos(x + f) = -senx

33. senG + f) = cosx 34. sen(x - f) = -cosx

35. cosCA - B) = cos A cos B + sen A sen B (el ejercicio 57 brinda una deducción diferente).

36. sen(A - B) = sen A cos B - cos A sen B.

37. ¿Qué sucede si toma B = A en la identidad trigonométrica cos (A - B) = cos A cos B + sen A sen B? ¿El resultado coincide con algo que ya conoce?

38. ¿Qué sucede si toma B = 217 en las fórmulas para la suma? ¿Los resultados coinciden con algo que ya conoce?

En los ejercicios 39 a 42 exprese la cantidad dada en términos de sen x y cos x.

39. cos( 17 + x) 40. sen (217 - x)

41. sen(3; - x) 42. cose; + x)

43. Evalúe sen ~; como sen (-¡ + f) . 44. Evalúe cos 1

11; como cos (-¡ + 2;).

45. Evalúe cos ~ . 6 1, 517

4 . Eva ue sen 12'

ApLicación de Las fórmuLas para el doble de un ángulo Determine los valores de la función en los ejercicios 47 a 50.

47. cos2 2!:. 48. 2 517 8 cos 12

49. 2 17 50. sen2 317 sen 12 8


Resolución de ecuaciones trigonométricas Para los ejercicios 51 a 54 determine el ángulo 8 donde O oS 8 oS 217.

51. sen2 8 = ~ 52. sen2 8 = cos2 8

53. sen 28 - cos 8 = O 54. cos 28 + cos 8 = O

Teoria y ejemplos 55. Fórmula para la tangente de la suma La fórmula estándar para la

tangente de la suma de dos ángulos es

tanA + tanB tan(A + B) = 1 - tan A tanB'

Deduzca la fórmula.

56. (Continuación del ejercicio 55). Deduzca una fórmula para tan (A - B).

57. Aplique la ley de los cosenos al triángulo de la siguiente figura, con la finalidad de deducir la fórmula para cos (A - B) .

y

---+------=':"f---'L....l.----t:---~ x

58. a. Aplique la fórmula para cosCA - B) a la identidad sen 8 =

cos (f - 8) para obtener la fórmula para la suma sen(A + B).

b. Deduzca la fórmula para cosCA + B) mediante la sustitución de - B por B en la fórmula para cosCA - B) del ejercicio 35.

59. Un triángulo tiene lados a = 2 Y b = 3, y ángulo C = 60°. Determine la longitud del lado c.

60. Un triángulo tiene lados a = 2 Y b = 3, y ángulo C = 40°. Determine la longitud del lado c.

61. Ley de los senos La ley de los senos establece que si a, b y c son los lados opuestos de los ángulos A, By C, en un triángulo, entonces

senA sen B sen C a -b- = - c-

Utilice las siguientes figuras y, si se requiere, la identidad sen( 17 -8) = sen 8 para deducir la ley.

A A

62. Un triángulo tiene lados a = 2 Y b = 3, Y el ángulo C = 60° (como en el ejercicio 59). Determine el seno del ángulo B mediante la ley de los senos.



63. Un triángulo tiene lado e = 2 Y ángulos A = 7T/ 4 Y B = 7T/3. Deter-mine la longitud a del lado opuesto al ángulo A.

O 64. La aproximación sen x ""x Con frecuencia es útil saber que, cuan-do x se mide en radianes, sen x "" x para valores de x numéricamen-te pequeños. En la sección 3.9 veremos por qué esta aproximaciónes cierta. El error de la aproximación es menor que l en 5000 siIxl <0.1.

a. Con su graficadora en modo de radianes, grafique juntas y = sen xy y = x en una ventana alrededor del origen. ¿Qué sucede cuandox está cerca del origen?

b. Con su graficadora en modo de grados, grafique juntas y = sen xy y = x en una ventana, alrededor del origen, otra vez. ¿Qué tandiferente es con respecto a la gráfica que obtuvo en modo deradianes?

Curvas senoidales generalesPara

¡(x) = A sene; (x - C») + D,

identifique A, B, C y D para las funciones seno de los ejercicios 65 a 68y bosqueje sus gráficas.

65. y = 2 sen (x + 7T) - 1

2 (7T) 167. Y = -lTsen '2t + 17

1 166. Y = "2 sen (7TX - 7T) + "2

L 27Tt68. Y = 27T sen L' L > O

EXPLORACIONES CON COMPUTADORAEn los ejercicios 69 a 72 explorará de forma gráfica la función seno

¡(x) = Asen e; (x - C») + D

conforme cambian los valores de las constantes A, B, C y D. Utilice un sis-tema algebraico computacional (SAC) o una calculadora graficadora pararealizar los pasos dados en los ejercicios.

1.4 Graficación por medio de caLcuLadorasy computadora

Una calculadora graficadora o una computadora con un software para graficar nos permitengraficar con alta precisión funciones complicadas. Muchas de estas funciones no podrían grafi-carse con facilidad de otra forma. Sin embargo, debemos tener cuidado cuando se utilicen talesdispositivos con propósitos de graficación; en esta sección tratamos algunos de los temas rela-cionados. En el capítulo 4 veremos cómo el cálculo nos ayuda a determinar que consideremoscon precisión todas las características importantes de la gráfica de una función.

Cuando utilizamos una calculadora graficadora o una computadora como una herramienta degraficación, parte de la gráfica se muestra en una pantalla o ventana rectangular. Con fre-cuencia, la ventana predeterminada ofrece una representación incompleta o engañosa de la grá-fica. Utilizamos el término ventana cuadrada cuando las unidades o las escalas en ambos ejesson iguales. Este término no significa que la ventana sea cuadrada (por lo regular es rectangu-lar), significa que la unidad en el eje x (unidad x) es igual que la unidad en el eje y (unidad y).

Cuando una gráfica se muestra en la ventana predeterminada, la unidad en el eje x puedediferir de la unidad en el eje y para ajustar la gráfica a la ventana. La ventana se fija especi-ficando un intervalo [a, b] para los valores de x y un intervalo [e, d] para los valores de y.La máquina selecciona valores igualmente espaciados de x en [a, b] Y luego traza los puntos(x, ¡(x». Un punto se grafica si y sólo si x está en el dominio de la función y ¡(x) pertenece

Ventana de graficación

69. El periodo B Fije las constante A = 3, C = D = O.

a. Grafique f(x) para los valores B = 1,3, 27T, 57T en el intervalo-47T ::; x ::;47T. Describa lo que sucede a la gráfica de la funciónseno conforme aumenta el periodo.

b. ¿Qué sucede a la gráfica para valores negativos de B? Pruebe conB = -3 YB = -27T.

70. El desplazamiento horizontal e Establezca las constantes A = 3,B = 6,D = O.

a. Grafique f(x) para los valores de C = O, 1 Y 2, en el intervalo-47T ::; x::; 47T. Describa lo que sucede a la gráfica de la funciónseno cuando C aumenta en valores positivos.

b. ¿Qué sucede a la gráfica para valores negativos de C?

c. ¿Cuál es el valor positivo más pequeño que debe asignarse a C demanera que la gráfica no exhiba un desplazamiento horizontal?Confirme su respuesta con una gráfica.

71. El desplazamiento vertical D Establezca las constantes A = 3,B = 6, C = O.

a. Grafique f(x) para los valores de D = O, 1 Y 3, en el intervalo-47T ::; x ::;47T. Describa lo que sucede a la gráfica de la funciónseno cuando D aumenta en valores positivos.

b. ¿Qué sucede a la gráfica para valores negativos de D?

72. La amplitud A Establezca las constantes B = 6, C = D = O.

a. Describa lo que sucede a la gráfica de la función seno cuando Aaumenta en valores positivos. Confirme su respuesta graficandof(x) para los valores de A = 1,5 Y 9.

b. ¿Qué sucede a la gráfica para valores negativos de A?


63. Un triángulo tiene lado e = 2 Y ángulos A = 7T / 4 Y B = 7T /3. Determine la longitud a del lado opuesto al ángulo A.

D 64. La aproximación sen x ~ x Con frecuencia es útil saber que, cuando x se mide en radianes, sen x ~ x para valores de x numéricamente pequeños. En la sección 3.9 veremos por qué esta aproximación es cierta. El error de la aproximación es menor que 1 en 5000 si

Ixl < 0.1.

a. Con su graficadora en modo de radianes, grafique juntas y = sen x y y = x en una ventana alrededor del origen. ¿Qué sucede cuando x está cerca del origen?

b. Con su graficadora en modo de grados, grafique juntas y = sen x y y = x en una ventana, alrededor del origen, otra vez. ¿Qué tan diferente es con respecto a la gráfica que obtuvo en modo de radianes?

Curvas senoidales generales Para

¡(x) = A sen e; (x - C)) + D,

identifique A, B, C y D para las funciones seno de los ejercicios 65 a 68 y bosqueje sus gráficas.

65. y = 2 sen (x + 7T) - 1 1 1

66. Y = 2: sen (7TX - 7T) + 2:

2 (7T) 1 67. Y = - l7 sen "2 t + 17 L 27Tt

68. Y = 27T sen L' L > O

EXPLORACIONES CON COMPUTADORA En los ejercicios 69 a 72 explorará de forma gráfica la función seno

¡ (x) = A sen e; (x - C)) + D

conforme cambian los valores de las constantes A, B, C y D. Utilice un sistema algebraico computacional (SAC) o una calculadora graficadora para realizar los pasos dados en los ejercicios.

69. El periodo B Fije las constante A = 3, C = D = O.

a . Grafique f(x) para los valores B = 1, 3, 27T, 57T en el intervalo -47T ::; x ::; 47T. Describa lo que sucede a la gráfica de la función seno conforme aumenta el periodo.

b. ¿Qué sucede a la gráfica para valores negativos de B? Pruebe con B = -3 Y B = -27T.

70. El desplazamiento horizontal e Establezca las constantes A = 3, B = 6,D = O.

a. Grafique f(x) para los valores de C = O, 1 Y 2, en el intervalo -47T ::; x ::; 47T. Describa lo que sucede a la gráfica de la función seno cuando C aumenta en valores positivos.

b. ¿Qué sucede a la gráfica para valores negativos de C?

c. ¿Cuál es el valor positivo más pequeño que debe asignarse a C de manera que la gráfica no exhiba un desplazamiento horizontal? Confirme su respuesta con una gráfica.

71. El desplazamiento vertical D Establezca las constantes A = 3, B = 6, C = O.

a. Grafique f(x) para los valores de D = O, I Y 3, en el intervalo - 47T ::; x ::; 47T. Describa lo que sucede a la gráfica de la función seno cuando D aumenta en valores positivos.

b. ¿Qué sucede a la gráfica para valores negativos de D?

72. La amplitud A Establezca las constantes B = 6, C = D = O.

a. Describa lo que sucede a la gráfica de la función seno cuando A aumenta en valores positivos. Confirme su respuesta graficando f(x) para los valores de A = 1,5 Y 9.

b. ¿Qué sucede a la gráfica para valores negativos de A?

1.4 Graficación por medio de caLcuLadoras y computadora

Una calculadora graficadora o una computadora con un software para graficar nos permiten graficar con alta precisión funciones complicadas. Muchas de estas funciones no podrían graficarse con facilidad de otra forma. Sin embargo, debemos tener cuidado cuando se utilicen tales dispositivos con propósitos de graficación; en esta sección tratamos algunos de los temas relacionados. En el capítulo 4 veremos cómo el cálculo nos ayuda a determinar que consideremos con precisión todas las características importantes de la gráfica de una función.

Ventana de graficación

Cuando utilizamos una calculadora graficadora o una computadora como una herramienta de graficación, parte de la gráfica se muestra en una pantalla o ventana rectangular. Con frecuencia, la ventana predeterminada ofrece una representación incompleta o engañosa de la gráfica. Utilizamos el término ventana cuadrada cuando las unidades o las escalas en ambos ejes son iguales. Este término no significa que la ventana sea cuadrada (por lo regular es rectangular), significa que la unidad en el eje x (unidad x) es igual que la unidad en el eje y (unidad y).

Cuando una gráfica se muestra en la ventana predeterminada, la unidad en el eje x puede diferir de la unidad en el eje y para ajustar la gráfica a la ventana. La ventana se fija especificando un intervalo [a, b] para los valores de x y un intervalo [e, d] para los valores de y . La máquina selecciona valores igualmente espaciados de x en [a, b] Y luego traza los puntos (x, ¡(x». Un punto se grafica si y sólo si x está en el dominio de la función y ¡(x) pertenece


1.4 Graficación por medio de calculadoras y computadora 31

al iritérvalo [¿, d]. Luego se traza un pequeño segmento de recta entre cada punto graficado ysu siguiente punto vecino. Ahora daremos ejemplos ilustrativo s de algunos problemas comunesque ocurren con este procedimiento.

EJEMPLO 1ventanas.

Grafique la función f(x) = x3 - 7x2 + 28 en cada una de las siguientes

(a) [-10,10] por [-10,10] (b) [-4,4] por [-50, 10] (e) [-4,10] por [-60,60]

Solución

(a) Seleccionamos a = -10, b = 10, e = -10 Y d = 10 para especificar el intervalo de va-lores de x y el rango de valores de y para la ventana. La gráfica resultante se muestra enla figura 1.50a. Parece que la ventana corta la parte inferior de la gráfica y que el inter-valo de valores para x es demasiado grande. Probemos con la siguiente ventana.

10 -4 10-10

.~,I

I

10

-4 4

-10(a)

-50(b) (e)

FIGURA 1.50 La gráfica de f(x) = x3 - 7x2 + 28 en diferentes ventanas. Con frecuencia, seleccionar una ventana que dé unarepresentación clara de una gráfica es un proceso de prueba y error (ejemplo 1).

(b) Ahora vemos más características de la gráfica (figura 1.50b), pero la parte superior sepierde y necesitamos ver más a la derecha de x = 4. La siguiente ventana debería ayudar.

(e) La figura 1.50c muestra la gráfica en esta nueva ventana. Observe que obtenemos una re-presentación más completa de la gráfica en esta ventana, que es una gráfica razonable deun polinomio de tercer grado. _

EJEMPLO 2 Cuando se muestra una gráfica, la unidad en el eje x puede diferir de la unidaden ei eje y, corno se observa en las gráficas de las figuras 1.50b y 1.50c. El resultado es unadistorsión de la representación que podría ser engañosa. La ventana podría hacerse cuadradamediante una compresión o un alargamiento de las unidades en urio de los ejes para hacer coin-cidir la escala con el otro, lo que da como resultado la gráfica verdadera. Muchos sistemastienen integradas funciones para hacer "cuadrada" la ventana. Si su sistema no es así, deberáhacer algunos cálculos y fijar el taniaño de la ventana en forma manual para obtener una ven-tana cuadrada o aplicar a la ventana conocimientos previos de la representación verdadera.

La figura 1.51 a muestra las gráficas de las rectas perpendiculares y = x y y = -x + 3V2junto con la semicircunferencia y = ~, en una ventana no cuadrada [- 6, 6] por[-6, 8]. Observe la distorsión. Las rectas no parecen ser perpendiculares, y la semicircunfe-rencia tiene forma elíptica.

La figura 1.51b muestra las gráficas de las mismas funciones en una ventana cuadradaen la q~e las unidades en x se han hecho iguales a las unidades en y. Observe que la ventana[-6,6] por [-4,4] tiene el mismo eje x en ambas figuras, 1.51a y 1.51b, pero al cambiar laescala en el eje x se ha comprimido en la figura 1.51 b para obtener la ventana cuadrada. Lafigura 1.51c ofrece una vista ampliada de la figura 1.51b gracias a una ventana cuadrada de[- 3, 3j por ro, 4]. _

Si el denominador de una función racional es cero para algún valor de x en la ventana, unacalculadora o el sdftware de graficación de una computadora producirían un segmento de rectamuy inclinado, casi vertical, de la parte superior a la parte inferior de la ventana. A continua-ción tenemos un ejemplo.


-6(a)


FIGURA 1.51 Gráficas de rectas perpendiculares y = x y y = -x + 3\12, Yla semicircunferenciay = ~aparecen distorsionadas (a) en una ventana no cuadrada, pero son claras en (b) y (e), que son ventanas cuadradas(ejemplo 2).

EJEMPLO 3 Grafique la función y = -2 1 .-xSolución La figura 1.S2a muestra la gráfica en la ventana cuadrada predeterminada [-1 0,10] por [-10, 10] de nuestro software de graficación. Observe el segmento de recta casi ver-tical en x = 2. En realidad no es parte de la gráfica, y x = 2 no pertenece al dominio de lafunción. Por prueba y error logramos eliminar la recta si cambiamos el tamaño de la ventanaa una menor de [-6,6] por [-4,4], que muestra mejor la gráfica (figura 1.S2b). •

-10..1

:1'

10 4

)10 -6 r 6

-4(b)

-10(a)

FIGURA 1.52 Gráficas de la función y = -2-1-. Sin una cuidadosa elección-xde la ventana, podría aparecer una recta vertical (ejemplo 3).

En ocasiones la gráfica de una función trigonométrica oscila muy rápido. Cuando unacalculadora o el software trazan los puntos de la gráfica y los conectan, se pierden muchos delos puntos máximos y mínimos. La gráfica resultante es muy engañosa.

EJEMPLO 4 Grafique la funciónf(x) = sen 100x.

Solución La figura l.S3a muestra la gráfica de f en la ventana de [-12, 12] por [-1, 1].Vemos que la gráfica se ve muy extraña, ya que la curva senoidal debe oscilar periódicamenteentre -1 y 1. El comportamiento no se exhibe en la figura 1.S3a. Podríamos experimentar con

-12+H--IF--'H+

FIGURA 1.53 Gráficas de la función y = sen 100x en tres ventanas. Puesto que el periodo es 27T /100"" 0.063, la ventanamás pequeña en (e) muestra mejor los aspectos reales de esta función que oscila rápidamente (ejemplo 4).



una ventana más pequeña, digamos [-6, 6] por [-1,1], pero la gráfica no es mejor (figura1.53b). La dificultad es que el periodo de la función trigonométrica y = sen 100x es muy pe-queño (27T /1 00 ~ 0.063). Si elegimos la ventana mucho más pequeña [- 0.1, 0.1] por [-1, 1],obtenemos la gráfica que se observa en la figura 1.53c. Esa gráfica revela las oscilacionesesperadas de una curva senoidal. _

EJEMPLO 5 Grafique la función y = cos x + 510sen50x.

Solución En la ventana [- 6, 6] por [-1, 1] la gráfica se parece mucho a la función cosenocon algunas pequeñas perturbaciones en ella (figura 1.54a). Obtenemos una mejor imagencuando reducimos en forma significativa la ventana a [-0.6, 0.6] por [0.8, 1.02], para obte-ner la gráfica de la figura 1.54b. Ahora vemos las pequeñas pero rápidas oscilaciones delsegundo término, (1/ 50)sen 50x, que se añaden a los valores relativamente mayores de la cur-va coseno. _

-1

(a)

1.02

0.8(b)

FIGURA 1.54 En (b) vemos la imagen de un acercamiento de la función

y = cos x + 510sen 50x cuya gráfica está en (a). El término cos x claramente

domina al segundo término, 5l0sen 50x, que produce las oscilaciones rápidas

a 10 largo de la curva coseno. Ambas imágenes son necesarias para tener una

idea clara de la gráfica (ejemplo 5).

Cómo obtener una gráfica completaAlgunos dispositivos no mostrarán la parte de la gráfica de f(x) cuando x < O. Por lo regulareso sucede a consecuencia del procedimiento que el dispositivo utiliza para calcular los valoresde la función. En ocasiones obtenemos la gráfica completa al definir la fórmula para la fun-ción de una manera diferente.

EJEMPLO 6 Grafique la función y = xl/3.

Solución Algunos dispositivos para graficar muestran la gráfica que aparece en la figura1.55a. Cuando la comparamos con la gráfica dey = xl/3 = \Yx en la figura 1.17, vemos quese pierde la rama izquierda para x < O. La razón de que las gráficas difieran es que muchas

2v----3

-2(a)

2

3 -3 3

-2(b)

FIGURA 1.55 En (a) se pierde la rama izquierda de la gráfica de y = x'/3

En (b) graficamos la función j'(x) = ~·lxl'/3, en donde se obtienen ambas[x]

ramas. (Véase el ejemplo 6).


una ventana más pequeña, digamos [-6, 6] por [-1 , 1], pero la gráfica no es mejor (figura l.S3b). La dificultad es que el periodo de la función trigonométrica y = sen 100x es muy pequeño (27T / 1 00 ~ 0.063). Si elegimos la ventana mucho más pequeña [ - 0.1 , 0.1] por [ -1 , 1], obtenemos la gráfica que se observa en la figura I.S3c. Esa gráfica revela las oscilaciones esperadas de una curva senoidal. _

EJEMPLO 5 Grafique la función y = cos x + s10sen SOx.

Solución En la ventana [ - 6, 6] por [ -1, 1] la gráfica se parece mucho a la función coseno con algunas pequeñas perturbaciones en ella (figura l.S4a). Obtenemos lilla mejor imagen cuando reducimos en forma significativa la ventana a [-0.6, 0.6] por [0.8, l.02] , para obtener la gráfica de la figura I.S4b. Ahora vemos las pequeñas pero rápidas oscilaciones del segundo término, (1 / SO)sen SOx, que se añaden a los valores relativamente mayores de la curva coseno. _

1.02

c::='==~~===:J 0.6 0.8

(b)

FIGURA 1.54 En (b) vemos la imagen de un acercamiento de la función

y = cos x + 510 sen 50x cuya gráfica está en (a). El término cos x claramente

domina al segundo término, 5l0sen 50x, que produce las oscilaciones rápidas

a 10 largo de la curva coseno. Ambas imágenes son necesarias para tener una

idea clara de la gráfica (ejemplo 5).

Cómo obtener una gráfica completa

Algunos dispositivos no mostrarán la parte de la gráfica de f(x) cuando x < O. Por lo regular eso sucede a consecuencia del procedimiento que el dispositivo utiliza para calcular los valores de la función. En ocasiones obtenemos la gráfica completa al definir la fórmula para la función de una manera diferente.

EJEMPLO 6 Grafique la función y = xl/ 3.

Solución Algunos dispositivos para graficar muestran la gráfica que aparece en la figura l.SSa. Cuando la comparamos con la gráfica de y = x 1/3 = o/x en la figura l.17, vemos que se pierde la rama izquierda para x < O. La razón de que las gráficas difieran es que muchas

- 3

2

-2

(a)

2

- 2 (b)

FIGURA 1.55 En (a) se pierde la rama izquierda de la gráfica de y = X I /3

En (b) graficamos la funciónf(x) = 2... . Ixl 1/3 , en donde se obtienen ambas Ixl

ramas. (Véase el ejemplo 6).


calculadoras y muchos programas de graficación calculan x 1/3 como e(l/3) In x. Puesto que lafunción logaritmo no está definida para valores negativos de x, el dispositivo de cómputo sólologra producir la rama derecha, donde x > O.(En el capítulo 7 se presentan las funciones loga-rítmica y exponencial).

Para obtener la representación completa que muestre ambas ramas, podemos graficar lafunción

Esta función es igual a xl/3, excepto en x = O(donde f no está definida, aunque 01/3 = O).La gráfica de f se presenta en la figura 1.55b. •


Ejercicios 1.4Selección de una ventana

O En los ejercicios l' a 4 utilice una calculadora graficadora o una compu-tadora para determinar cuál de las ventanas dadas muestra mejor la grá-fica de la función que se especifica.1. ¡(x) = x4 - 7x? + 6x

a. [- 1, 1] por [- 1, 1]

c. [-10, 10] por [-10, 10]

2. ¡(x) = x3 - 4x? - 4x + 16

a. [-1,1] por [-5, 5]

c. [-5,5] por [-10,20]

3. ¡(x) = 5 + 12x - x3

a. [- 1, 1] por [- 1, 1]

c. [-4,4] por [-20,20]

4. ¡(x) = V5 + 4x - x2

a. [-2,2] por [-2,2]

c. [-3,7] podo, 10]

b. [-2,2] por [-5, 5]

d. [-5,5] por [-25, 15]

b. [-3,3] por [-10, 10]

d. [-20,20] por [-100,100]

b. [-5,5] por [-10,10]

d. [-4, 5] por [-15,25]

b. [-2,6] por [-1,4]

d. [-lO, 10] por [-10, 10]

Determinación de una ventanaO En los ejercicios 5 a 30 determine una ventana adecuada para la función

dada y utilícela para mostrar su gráfica.x3 x?

5. ¡(x) = x4 - 4x3 + 15 6. ¡(x) = 3 - "2 - 2x + 1

7. ¡(x) = x5 - 5x4 + lO 8. ¡(x) = 4x3 - x4

9. ¡(x) = x\1'9=7 10. ¡(x) = x?(6 - x3)

11. y = 2x - 3x?/3 12. Y = XI/3(x? - 8)

13. Y = 5x?/5 - 2x 14. Y = x?/3(5 - x)

15. y = Ix? - 1I 16. Y = Ix? - x]x + 3 1

17. Y = x + 2 18. Y = 1 - x + 3

__ C_a...:....p_it_u_lo l Preguntas de repaso

1. ¿Qué es una función? ¿Cuál es su dominio? ¿Su rango? ¿Qué es undiagrama de flechas para una función? Dé ejemplos.

2. ¿Qué es la gráfica de una función con valores reales de una variablereal? ¿Cuál es la prueba de la recta vertical?

19. ¡(x) = x: + 2x: + 1

21. ¡(x) = x - 1x?-x-6

23. ¡(x) = 6x? - 15x + 64x? - 10x

25. y = sen 250x

27. y = cos(;o)

129. Y = x + TOsen30x

¡(x) = x? - 1x? + 1

8¡(x) = x? - 9

¡(x) = x? - 3x - 2

26. Y = 3 cos 60x

28. y = 110sen (;0)

20.

22.

24.

130. Y = x? + 50 cos 100x

31. Grafique la mitad inferior de la circunferencia definida por la ecua-ción x2 + 2x = 4 + 4y - y.

32. Grafique la rama superior de la hipérbola y - 16x2 = 1.

33. Grafique cuatro periodos de la funciónf(x) = -tan 2x.

34. Grafique dos periodos de la función f(x) = 3 cot ~ + 1.

35. Grafique la funciónf(x) = sen 2x + cos 3x.

36. Grafique la funciónf(x) = sen' x.

O Graficación en modo de puntos (Dot)Otra forma de evitar conexiones incorrectas cuando se utiliza un dispo-sitivo de graficación es por medio del uso del "modo de puntos" (dot) quetraza sólo los puntos. Si su dispositivo de graficación le permite ese modo,úselos para trazar las funciones en los ejercicios 37 a 40.

1 137. Y = x _ 3 38. Y = sen x

~ - 139.y=xlxJ 40.y=~

x- - 1

3. ¿Qué es una función definida por partes? Dé ejemplos.

4. ¿Cuáles son los tipos importantes de funciones que se encuentran confrecuencia en cálculo? Dé un ejemplo de cada tipo.


calculadoras y muchos programas de graficación calculan x 1/ 3 como e(l / 3) In x. Puesto que la función logaritmo no está definida para valores negativos de x, el dispositivo de cómputo sólo logra producir la rama derecha, donde x > O. (En el capítulo 7 se presentan las funciones logarítmica y exponencial).

Para obtener la representación completa que muestre ambas ramas, podemos graficar la función

Esta función es igual a x l / 3 , excepto en x = O (donde f no está definida, aunque 01/ 3 = O). La gráfica de f se presenta en la figura 1.55b. •

Ejercicios 1.4

Selección de una ventana O En los ejercicios 1" a 4 utilice una calculadora graficadora o una compu

tadora para determinar cuál de las ventanas dadas muestra mejor la gráfica de la función que se especifica.

1. ¡(x) = x4 - 7x? + 6x

a. [-1 , 1] por [-1 , 1] b. [- 2,2] por [-5, 5]

c. [-10, 10] por [- 10, lO] d. [-5, 5] por [-25 , 15]

2. ¡(x) = x3 - 4x? - 4x + 16

a. [-I,I]por[-5, 5] b. [- 3, 3]por [-10, 10]

c. [-5, 5] por [-10,20]

3. ¡(x) = 5 + 12x - x3

a. [- 1,1] por [- 1, 1]

c. [-4, 4] por [-20,20]

4. ¡(x) = V5 + 4x - x2

a. [- 2,2] por [- 2, 2]

c. [-3,7] podo, lO]

Determinación de una ventana

d. [-20,20] por [-100, lOO]

b. [-5, 5] por [-10, lO]

d. [- 4, 5] por [- 15,25]

b. [-2,6] por [-1 ,4]

d. [-lO, 10] por [- 10, 10]

O En los ejercicios 5 a 30 determine una ventana adecuada para la función dada y utilícela para mostrar su gráfica.

x3 x? 5. ¡(x) = x4

- 4x3 + 15 6. ¡(x) = 3 - 2 - 2x + 1

7. ¡(x) = x5 - 5x4 + lO 8. ¡(x) = 4x3 - x4

9. ¡(x) = x\19=7 10. ¡(x) = x?(6 - x3)

11. Y = 2x - 3x?/3

13. Y = 5x?/5 - 2x

15. Y = Ix? - 1I x + 3

17. Y = x + 2

Capitulo

12. Y = XI /3(x? - 8)

14. Y = x?/3( 5 - x)

16. y = Ix? - xl

18. y = I x + 3

Preguntas de repaso

1. ¿Qué es una función? ¿Cuál es su dominio? ¿Su rango? ¿Qué es un diagrama de flechas para una función? Dé ejemplos.

2. ¿Qué es la gráfica de una función con valores reales de una variable real? ¿Cuál es la prueba de la recta vertical?

19. ¡(x) = x~ + 2 x- + 1

21. ¡(x) = x - I x? - x - 6

23. ¡(x) = 6x? - 15x + 6 4x? - 10x

25. y = sen 250x

27. y = cos(;o)

1 29. Y = x + lOsen30x

20.

22.

¡(x) = x? - I x? + I

8 ¡(x) = x? - 9

24 ¡ (x) = x? - 3 . x - 2

26. Y = 3 cos 60x

28. y = 110 sen (;0)

1 30. Y = x? + 50 cos 100x

31. Grafique la mitad inferior de la circunferencia definida por la ecua-ción x2 + 2x = 4 + 4y - y.

32. Grafique la rama superior de la hipérbola y - 16x2 = 1.

33. Grafique cuatro periodos de la funciónf(x) = -tan 2x.

34. Grafique dos periodos de la función f(x) = 3 cot ~ + 1.

35. Grafique la funciónf(x) = sen 2x + cos 3x.

36. Grafique la funciónf(x) = sen3 x.

O Graficación en modo de puntos (Dot) Otra forma de evitar conexiones incorrectas cuando se utiliza un dispositivo de graficación es por medio del uso del "modo de puntos" (dot) que traza sólo los puntos. Si su dispositivo de graficación le permite ese modo, úselos para trazar las funciones en los ejercicios 37 a 40.

I 1 37. Y = x _ 3 38. Y = sen x

~ - I 39.y=x l x J 40. y =--;¡--

x- - I

3. ¿Qué es una función definida por partes? Dé ejemplos.

4. ¿Cuáles son los tipos importantes de funciones que se encuentran con frecuencia en cálculo? Dé un ejemplo de cada tipo.


5. ¿Qué se entiende por función creciente? ¿Y por función decreciente?Dé un ejemplo de cada una.

6. ¿Qué es una función par? ¿Qué es una función impar? ¿Cuáles sonlas propiedades de simetría que tienen las gráficas de tales funciones?De esto, ¿qué ventajas se pueden aprovechar? Dé un ejemplo de unafunción que no sea par ni impar.

7. Si f y g son funciones reales, ¿cómo están relacionados los do-minios de f + g, f - g, fg y f/g con los dominios de f y g?Dé ejemplos.

8. ¿Cuándo es posible realizar la composición de una función conotra? Dé ejemplos de composiciones y sus valores en varios pun-tos. ¿Importa el orden en el que se lleva a cabo la composición defunciones?

9. ¿Cómo debe cambiar la ecuación y = f(x) para trasladar su gráficaIkl unidades verticalmente hacia a arriba o hacia abajo? ¿Horizontal-mente hacia la derecha o hacia la izquierda? Dé ejemplos.

10. ¿Cómo debe cambiar la ecuación y = f(x) para comprimir o alargarsu gráfica por un factor e > 1? ¿Para reflejar la gráfica con respectoa un eje de coordenadas? Dé ejemplos.

Ejercicios de prácticaCapituLo

Funciones y sus gráficas1. Exprese el área y la circunferencia de un CÍrculo como funciones

del radio del círculo. Luego exprese el área como función de la cir-cunferencia.

2. Exprese el radio de una esfera como función del área de la superficiede la esfera. Luego exprese el área de la superficie como función delvolumen.

3. Un punto P, en el primer cuadrante, está en la parábola y = x2. Ex-prese las coordenadas de P como función del ángulo de inclinaciónde la recta que une a P con el origen.

4. Un globo de aire caliente que se eleva verticalmente desde el nivel delsuelo es localizado por una estación rastreadora ubicada a 500 ftdel punto de lanzamiento. Exprese la altura del globo como una fun-ción del ángulo que forma la recta, que va de la estación al globo,con el suelo.

En los ejercicios 5 a 8, determine si la gráfica de la función es simétricacon respecto al eje y, al origen o a ninguno de los dos.

5. Y = xl/5 6. y = y/57. Y = Y - 2x - 1 8. y = e-x'

En los ejercicios 9 a 16, determine si la función es par, impar o ningunade las dos.

9. y = y + 1

11. y = 1 - cos x

13 =~.y ~-2x

15. Y = x + cosx 16. y = xcosx

17. Suponga que tanto f como g son funciones impares definidas sobretoda la recta real. ¿Cuáles de las siguientes (donde estén definidas)son pares? ¿Cuáles son impares?

a. fg b. /3 c. f(senx) d. g(secx) e. Igl18. Si fea - x) = fea + x), demuestre que g(x) = f(x + a) es una fun-

ción par.

10. Y = x5 - x3 - x

12. Y = sec x tanx

14. Y = x - senx

Capítulo 1 Ejercicios de práctica 35

11. ¿Cuál es la ecuación estándar de una elipse con centro en (h, k)?¿Cuál es su eje mayor? ¿Cuál es su eje menor? Dé ejemplos.

12. ¿Qué es una medida en radianes? ¿Cómo se convierte de radianes agrados? ¿Cómo se convierte de grados a radianes?

13. Realice la gráfica de cada una de las seis funciones trigonométricas.¿Qué simetrías tienen sus gráficas?

14. ¿Qué es una función periódica? Dé ejemplos. ¿Cuál es el periodo decada una de las seis funciones trigonométricas?

15. Comenzando con la identidad sen? (} + cos? (} = 1 Y las fórmulaspara cos(A + B) Y sen(A + B), muestre cómo se pueden deducir va-rias de las identidades trigonométricas.

16. ¿Cómo está relacionada la fórmula general para la función seno,f(x) = Asen ((27T / B)(x - C) + D, con el desplazamiento, el alar-gamiento, la compresión y la reflexión de su gráfica? Dé ejemplos.Trace la gráfica de la curva del seno e identifique cómo actúan lasconstantes A, B, e y D.

17. Mencione tres problemas que podrían surgir cuando se grafican fun-ciones mediante una calculadora o una computadora con un programade graficación. Dé ejemplos.

En los ejercicios 19 a 28, determine (a) el dominio y (b) el rango.

19. y = Ixl - 2 20. Y = -2 + ~

21. Y = ~ 22. Y = 32-x + 1

23. Y = 2e-x - 3 24. Y = tan (2x - 7T)

26. Y = y/5

28. Y = - 1 + ~2 - x

25. Y = 2 sen(3x + 7T) - 1

27. Y = In (x - 3) + 1

29. Indique si cada una de las funciones es creciente, decreciente o nin-guna de éstas.

a. El volumen de una esfera como función de su radio.

b. La función mayor entero.

C. La altura sobre el nivel del mar en la Tierra como función de lapresión atmosférica (suponiéndola distinta de cero).

d. La energía cinética como una función de la velocidad de unapartícula.

30. Determine el mayor intervalo en el cual la función dada es creciente.

a. f(x) = [x - 21 + 1

c. g(x) = (3x - 1)1/3

b. f(x) = (x + 1)4

d. R(x) = ~

Funciones definidas por partesEn los ejercicios 31 y 32, determine (a) el dominio y (b) el rango.

31. Y = {~'Vx,-4:5 x :5 O

0<x:54

{

-x - 232. Y = x, ,

-x + 2,

-2:5 x :5 -1-1<x:51

l<x:52

5. ¿Qué se entiende por función creciente? ¿Y por función decreciente? Dé un ejemplo de cada una.

6. ¿Qué es una función par? ¿Qué es una función impar? ¿Cuáles son las propiedades de simetría que tienen las gráficas de tales funciones? De esto, ¿qué ventajas se pueden aprovechar? Dé un ejemplo de una función que no sea par ni impar.

7. Si f y g son funciones reales, ¿cómo están relacionados los dominios de f + g, f - g, fg y f / g con los dominios de f y g? Dé ejemplos.

8. ¿Cuándo es posible realizar la composición de una función con otra? Dé ejemplos de composiciones y sus valores en varios puntos. ¿Importa el orden en el que se lleva a cabo la composición de funciones?

9. ¿Cómo debe cambiar la ecuación y = f(x) para trasladar su gráfica Ikl unidades verticalmente hacia a arriba o hacia abajo? ¿Horizontalmente hacia la derecha o hacia la izquierda? Dé ejemplos.

10. ¿Cómo debe cambiar la ecuación y = f(x) para comprimir o alargar su gráfica por un factor e > 1? ¿Para reflej ar la gráfica con respecto a un eje de coordenadas? Dé ejemplos.

Capitulo Ejercicios de práctica

Funciones y sus gráficas 1. Exprese el área y la circunferencia de un círculo como funciones

del radio del círculo. Luego exprese el área como función de la circunferencia.

2. Exprese el radio de una esfera como función del área de la superficie de la esfera. Luego exprese el área de la superficie como función del volumen.

3. Un punto P, en el primer cuadrante, está en la parábola y = x2. Exprese las coordenadas de P como función del ángulo de inclinación de la recta que une a P con el origen.

4. Un globo de aire caliente que se eleva verticalmente desde el nivel del suelo es localizado por una estación rastreadora ubicada a 500 ft del punto de lanzamiento. Exprese la altura del globo como una función del ángulo que forma la recta, que va de la estación al globo, con el suelo.

En los ejercicios 5 a 8, determine si la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje y, al origen o a ninguno de los dos.

5. Y = XI / 5 6. y = ~/5

7. Y = ~ - 2x - 1 8. y = e-x'

En los ejercicios 9 a 16, determine si la función es par, impar o ninguna de las dos.

9. y = x2 + 1

11. y = 1 - cos x

13 =~ . y ~ - 2x

10. Y = x5 - x3 - x

12. Y = sec x tanx

14. Y = x - senx

15. Y = x + cosx 16. y = xcos x

17. Suponga que tanto f como g son funciones impares definidas sobre toda la recta real. ¿Cuáles de las siguientes (donde estén definidas) son pares? ¿Cuáles son impares?

a. fg b. 13 c. f(senx) d. g(secx) e. Ig l

18. Si fea - x) = fea + x), demuestre que g(x) = f(x + a) es una función par.

Capítulo 1 Ejercicios de práctica 35

11. ¿Cuál es la ecuación estándar de una elipse con centro en (h, k)? ¿Cuál es su eje mayor? ¿Cuál es su eje menor? Dé ejemplos.

12. ¿Qué es una medida en radianes? ¿Cómo se convierte de radianes a grados? ¿Cómo se convierte de grados a radianes?

13. Realice la gráfica de cada una de las seis funciones trigonométricas. ¿Qué simetrías tienen sus gráficas?

14. ¿Qué es una función periódica? Dé ejemplos. ¿Cuál es el periodo de cada una de las seis funciones trigonométricas?

15. Comenzando con la identidad sen2 (} + cos2 (} = 1 Y las fórmulas para cosCA + B) Y sen(A + B), muestre cómo se pueden deducir varias de las identidades trigonométricas.

16. ¿Cómo está relacionada la fórmula general para la función seno, f(x) = A sen ((2'Tr / B)(x - C) + D, con el desplazamiento, el alargamiento, la compresión y la reflexión de su gráfica? Dé ejemplos. Trace la gráfica de la curva del seno e identifique cómo actúan las constantes A, B, e y D.

17. Mencione tres problemas que podrían surgir cuando se grafican funciones mediante una calculadora o una computadora con un programa de graficación. Dé ejemplos.

En los ejercicios 19 a 28, determine (a) el dominio y (b) el rango.

19. y = Ixl - 2 20. Y = - 2 + ~

21. Y = v'i"6-=-7 22. Y = 32-

x + 1

23. Y = 2e-x - 3

25. Y = 2 sen (3x + 'Tr) - 1

27. Y = In (x - 3) + 1

24. Y = tan (2x - 'Tr )

26. y = ~/5

28. Y = - 1 + \Y2 - x

29. Indique si cada una de las funciones es creciente, decreciente o ninguna de éstas.

a. El volumen de una esfera como función de su radio.

b. La función mayor entero.

c. La altura sobre el nivel del mar en la Tierra como función de la presión atmosférica (suponiéndola distinta de cero).

d. La energía cinética como una función de la velocidad de una partícula.

30. Determine el mayor intervalo en el cual la función dada es creciente.

a. f(x) = Ix - 21 + 1

c. g(x) = (3x - 1)1/3

b. f(x) = (x + 1)4

d. R(x) = ~


En los ejercicios 31 y 32, determine (a) el dominio y (b) el rango.

31. y = {~' Vx,

{

-x - 2

32. Y = x, ,

- x + 2,

-4 :5 x :5 O

0 < x:5 4

- 2 :5 x :5 - 1

-1 < x:51

l < x:52


------------------------------------------------------36 Capítulo 1: Funciones

En los ejercicios 33 y 34, escriba una fórmula definida por partes para lafunción.

33. y 34. y

~,

5(2,5)

O 4·~-------'-----+x

Composición de funcionesEn los ejercicios 35 y 36, determine

a. (fog)(-l).

e. (f ° f)(x).

1 135. f(x) = x' g(x) = , r=::':

v x + 2

36. f(x) = 2 - x, g(x) = ~

b. (g ° f)(2).

d. (g ° g)(x).

En los ejercicios 37 y 38, (a) escriba las fórmulas para f ° g y para g ° f;para cada una de ellas determine (b) el dominio y (e) el rango.

37. f(x) = 2 - x2, g(x) = Vx+238. f(x) = Vx, g(x) = ~

Para los ejercicios 39 y 40, haga un bosquejo de las gráficas de f y def°f.

39. f(x) = {=~,- 2,

x - 2,

(){X + 1,

40. f x =x - 1,

-4 s; x s; -1-1<xs;1

l<xs;2

-2 S; x < O

0s;xs;2

Composición con valores absolutos En los ejercicios 41 a 48, grafiquejuntas fl y f z. Luego describa cómo la aplicación de la función valor ab-soluto eniz afecta a la gráfica de fl.

f¡(x) h(x)41. x Ixl42. x2 Ixl243. x3 Ix3144. x2 + x Ix2 + xl45. 4 - x2 14 - x2

1

1 146. x Ixl47. Vx vfxI48. senx sen Ixl

Traslación y cambio de tamaño de gráficas49. Suponga que se tiene la gráfica de g. Escriba las ecuaciones para las

gráficas que se obtienen, a partir de la gráfica de g, mediante trasla-ción, cambio de tamaño o reflexión, como se indica.

a. Hacia arriba ~ unidad, a la derecha 3

b. Hacia abajo 2 unidades, a la izquierda ~

e. Reflexión con respecto al eje y

d. Reflexión con respecto al eje x

e. Alargamiento vertical en un factor de 5

f. Compresión horizontal en un factor de 5

50. Describa cómo se obtiene cada gráfica teniendo como base la gráficadey = f(x).

a. y = f(x - 5) b. Y = f(4x)

e. y = f(-3x) d. y = f(2x + 1)

e. y = f(~) - 4 f. Y = -3f(x) + ~

En los ejercicios 51 a 54, grafique cada función; no lo haga mediante eltrazado de puntos, sino iniciando con la gráfica de una de las funcionesestándar que se presentaron en las figuras 1.14 a 1.17; luego aplique unatransformación adecuada.

51. Y = -)1 + 11

53. Y = -2 +2x

TrigonometriaEn los ejercicios 55 a 58 realice un bosquejo de la gráfica dada. ¿Cuál esel periodo de la función?

52. Y = 1x3

54. Y = (-5x)I/3

55. Y = cos 2x x56. Y = sen 2'

7fX58. y = cosT57. Y = sen 7fX

59. Grafique y = 2 cos (x - f).60. Grafique y = 1 + sen (x + -¡) .En los ejercicios 61 a 64, el triángulo ABe es un triángulo rectángulo conángulo recto en e. Los lados a, b y e son opuestos a los ángulos A, B Y e,respectivamente.

61. a. Determine a y b, si e = 2, B = -tr/3.

b. Determine a y e, si b = 2, B = tt /3.

62. a. Exprese a en términos de A y c.

b. Exprese a en términos de A y b.

63. a. Exprese a en términos de B y b.

b. Exprese e en términos de A y a.

64. a. Exprese senA en términos de a y c.

b. Exprese sen A en términos de b y c.

65. Altura de un poste Dos cables van de la parte superior T de unposte vertical a dos puntos B y e en el suelo, donde e está 10mmás cerca a la base del poste que el punto B. Si el cable BT formaun ángulo de 35° con la horizontal, mientras que el cable C'I' for-ma un ángulo de 50° con la horizontal, ¿cuál es la altura del poste?

66. Altura de un globo meteorológico Dos observadores ubicados enA y B, separados 2 km entre sí, miden de forma simultánea el ángu-lo de elevación de un globo aerostática; las medidas son 40° y 70°,respectivamente. Si el globo está directamente arriba de un punto delsegmento de recta que une aA y B, determine la altura del globo.

067. a. Grafique la funciónf(x) = senx + cos(x/2).

b. ¿Cuál parece ser el periodo de esta función?

e. Confirme de forma algebraica su respuesta al inciso (b).

O 68. a. Grafique f(x) = sen(1/x).

b. ¿Cuáles son el dominio y el rango de f?

e. ¿Es f periódica? Justifique su respuesta.


Capítulo 1 Ejercicios adicionales y avanzados 37

Capitulo Ejercicios adicionales y avanzados

Las funciones y sus gráficas1. ¿Existen dos funciones f y g, tales que f o g = g o f? Justifique su

respuesta.

2. ¿Existen dos funciones f y g con la siguiente propiedad? Las gráfi-cas de f y g no son líneas rectas, pero la gráfica de f o g es una recta.Justifique su respuesta.

3. Si f(x) es impar, ¿puede decir algo de g(x) = f(x) - 2? ¿Qué ocu-rriría si f fuera par? Justifique su respuesta.

4. Si g(x) es una función impar definida para todos los valores de x,¿qué puede decir acerca de g(O)? Justifique su respuesta.

5. Grafique la ecuación Ixl + Iyl = 1 + x.

6. Grafique la ecuación y + Iyl = x + Ixl.

Deducciones y demostraciones7. Demuestre las siguientes identidades.

1 - cosxsenx

senx+ cosx

b. 1 - cosx = tan2~+ cosx 2

a.

8. Explique la siguiente "demostración sin palabras" de la ley de loscosenos. (Fuente: "Proof without Words: The Law of Cosines", Sid-ney H. Kung, Mathematies Magazine, vol. 63, núm. 5, diciembrede 1990, p. 342).

9. Demuestre que el área del triángulo ABe está dada por (1 /2)ab sen e= (1/2)be sen A = (1/2)ea sen B.

e

A /' e 'B

10. Demuestre que el área del triángulo ABe está dada por

Vs(s - aJes - b)(s - e) donde s = (a + b + e)/2, es elsemiperímetro del triángulo.

11. Demuestre que si f es tanto par como impar, entonces f(x) = O paratoda x en el dominio de f.

12. a. Descomposiciones par-impar Sea f una función cuyo domi-nio es simétrico con respecto al origen, esto es, siempre que x estéen el dominio, -x también lo estará. Demuestre que f es la sumade una función par y de una función impar:

f(x) = E(x) + O(x),

donde P es una función par e I es una función impar. (Sugerencia:Sea E(x) = (f(x) + f( -x»/2. Demuestre que P( -x) = P(x), asíque P es par. Luego demuestre que [(x) = f(x) - P(x) es impar).

b. Unicidad Demuestre que sólo existe una forma de escribir fcomo la suma de una función par y una función impar.(Sugerencia: Una forma se presenta en el inciso (a). Si además,f(x) = p¡(x) + [¡(x), donde P, es par e I, es impar, demuestreque P - P, = [¡ - I. Luego utilice el ejercicio 11 para demos-trarqueP = P, e[= [l.

Exploraciones con graficadoras-efectos de los parámetros13. ¿Qué sucede con la gráfica de y = ax' + bx + e, cuando

a. a cambia, mientras que b y e permanecen fijas?

b. b cambia (a y e permanecen fijas, con a op O)?

c. e cambia (a y b permanecen fijas, con a op O)?

14. ¿Qué sucede con la gráfica de y = a(x + b)3 + e, cuando

a. a cambia, mientras que b y e permanecen fijas?

b. b cambia (a y e permanecen fijas, con a op O)?

c. e cambia (a y b permanecen fijas, con a op O)?

Geometría15. El centro de masa de un objeto se mueve a velocidad constante v, a lo

largo de una recta. La siguiente figura ilustra el sistema de coorde-nadas y la recta de movimiento. Los puntos indican las posicionesdel objeto cada segundo. ¿Por qué las áreas A¡, A2, ... , As de la figurason iguales? Como en la ley de áreas iguales de Kepler [véase la sec-ción 13.6 (volumen 2)], la recta que une el centro de masa del objetocon el origen barre áreas iguales en tiempos iguales.

y

engoa'o[2

o 5 10

Kilómetros15

16. a. Determine la pendiente de la recta que va del origen al punto me-dio, P, del lado AB del triángulo de la siguiente figura (a, b > O).

y

01...... ......) xA(a, O)

b. ¿Cuándo es OP perpendicular a AB?

Capítulo 1 Ejercicios adicionales y avanzados 37

CapituLo Ejercicios adicionaLes y avanzados

Las funciones y sus gráficas 1. ¿Existen dos funciones f y g, tales que f o g = g o f? Justifique su

respuesta.

2. ¿Existen dos funciones f y g con la siguiente propiedad? Las gráficas de f y g no son líneas rectas, pero la gráfica de f o g es una recta. Justifique su respuesta.

3. Si f(x) es impar, ¿puede decir algo de g(x) = f~r;) - 2? ¿Qué ocurriría si f fuera par? Justifique su respuesta.

4. Si g(x) es una función impar defin ida para todos los valores de x , ¿qué puede decir acerca de g(O)? Justifique su respuesta.

5. Grafique la ecuación Ixl + Iyl = I + x.

6. Grafique la ecuación y + Iyl = x + Ixl.

Deducciones y demostraciones 7. Demuestre las siguientes identidades.

a. 1 - cosx

senx sen x + cosx

b. ~ - cosx = tan2 ~ + cosx 2

8. Explique la siguiente "demostración sin palabras" de la ley de los cosenos. (Fuente: "Proof without Words: The Law of Cosines", Sidney H. Kung, Mathematics Magazine, vol. 63, núm. 5, diciembre de 1990, p. 342).

9. Demuestre que el área del triángulo ABe está dada por (1 / 2)ab sen e = (1/2)bc senA = (l/2)ca sen B.

e

A .L-------,,...----..... B

10. Demuestre que el área del triángulo ABe está dada por

Ys(s - a)(s - b )(s - c) donde s = (a + b + c)/ 2, es el semi perímetro del triángulo.

11. Demuestre que si f es tanto par como impar, entonces f(x) = O para toda x en el dominio de f.

12. a . Descomposiciones par-impar Sea f una función cuyo dominio es simétrico con respecto al origen, esto es, siempre que x esté en el dominio, -x también lo estará. Demuestre que f es la suma de una función par y de una función impar:

f(x) = E(x) + O(x),

donde P es una función par e [ es una función impar. (Sugerencia: Sea E(x) = (f(x) + f( -x))/ 2. Demuestre que P( -x) = P(x), así que P es par. Luego demuestre que [(x) = f(x) - P(x) es impar).

b. Unicidad Demuestre que sólo existe una forma de escribir f como la suma de una función par y una función impar. (Sugerencia: Una forma se presenta en el inciso (a). Si además, f(x) = P,(x) + [ ,(x), donde P , es par e [ , es impar, demuestre que P - P, = [, - I. Luego utilice el ejercicio 11 para demostrarqueP = P, e[= [l.

Exploraciones con graficadoras-efectos de los parámetros 13. ¿Qué sucede con la gráfica de y = ax2 + bx + c, cuando

a. a cambia, mientras que b y c permanecen fijas?

b. b cambia (a y c permanecen fijas, con a =1= O)?

c. c cambia (a y b permanecen fijas, con a =1= O)?

14. ¿Qué sucede con la gráfica de y = a(x + b)3 + c, cuando

a . a cambia, mientras que b y c permanecen fijas?

b. b cambia (a y c permanecen fijas, con a =1= O)?

c. c cambia (a y b permanecen fijas, con a =1= O)?

Geometña 15. El centro de masa de un objeto se mueve a velocidad constante v, a lo

largo de una recta. La siguiente figura ilustra el sistema de coordenadas y la recta de movimiento. Los puntos indican las posiciones del objeto cada segundo. ¿Por qué las áreas A" A2, ... , As de la figura son iguales? Como en la ley de áreas iguales de Kepler [véase la sección 13.6 (volumen 2)], la recta que une el centro de masa del objeto con el origen barre áreas iguales en tiempos iguales.

y

10 " "

'" o tJ

" a 'O 5 ~

o

t = 6

5 10

Kilómetros

" "" t = 1

--~ " " 15

16. a . Determine la pendiente de la recta que va del origen al punto medio, P, del lado AB del triánguIo de la siguiente figura (a , b > O).

y

BCO, b)

--~------------~----+ x A(a, O)

b. ¿Cuándo es OP perpendicular a AB?



17. Considere el cuarto del círculo de radio 1 y los triángulos rectángulosABE y ACD de la siguiente figura. Utilice las fórmulas comunes delárea para concl uir que

18. Sean f(x) = ax + b Y g(x) = ex + d. ¿Qué condiciones deben sa-tisfacer las constantes a, b, c y d para que (f o g)(x) = (g o f)(x)para todo valor de x?

1sen fJ cos fJ < !L < 1sen fJ .2 2 2 cos fJ

y

(O, 1)

__ ~~fJ ~~~D ~xE (1, O)A

Capitulo Proyectos de aplicación tecnológica

Una panorámica de MathematicaUn panorama de Mathematica es suficiente para completar los módulos de Mathematica que aparecen en el sitio Web.

Módulo Mathematica/Maple:

Modelacián del cambio: Resortes, conducción segura, radiactividad, árboles, peces y mamíferosConstruya e interprete modelos matemáticos, analícelos y mejórelos; luego haga predicciones con base en ellos.


17. Considere el cuarto del círculo de radio 1 y los triángulos rectángulos ABE y ACD de la siguiente figura. Utilice las fórmulas comunes del área para concluir que

1 sen (J cos (J < !L < 1 sen (J . 2 2 2 cos (J

y

(0, 1)

__ ~~e~ ____ -L~._D ______ ~)X A E (1, O)

18. Sean f(x) = ax + b Y g(x) = cx + d. ¿Qué condiciones deben satisfacer las constantes a, b, c y d para que (f o g)(x) = (g o f)(x)

para todo valor de x?

CapituLo Proyectos de apLicación tecnoLógica

Ulla pallorámica de Mathematica

Un panorama de Mathematica es suficiente para completar los módulos de Mathematica que aparecen en el sitio Web.

Módulo MathematicajMaple:

ModelaciólI del cambio: Resortes, cOllducciólI segura, radiactividad, árboles, peces y mamíferos

Construya e interprete modelos matemáticos, analícelos y mejórelos; luego haga predicciones con base en ellos.


funciones - wordpress.com...rango de la función. el rango podría no incluir a todos los elementos...

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