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Funciones Reales de Varias
Variables
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de Ingeniería Mecánica
Curso: Cálculo Vectorial
Prof: Hermes Pantoja C.
NOTA HISTORICA.
Mary Fairfax Somerville (1780-1872).
Somerville se interesó por el problema de
crear modelos geométricos de funciones de
varias variables. Su libro más conocido, The
Mechanics of the Heavens, se publicó en
1831. Gran divulgadora de los resultados de
Laplace.
Sonya Kovalevsky (1850-1891). Gran parte
de la terminología usada para definir limites y
continuidad de una función de dos o tres
variables la introdujo el matemático alemán
Karl Weierstrass (1815-1897). El enfoque
riguroso de Weierstrass a los límites y a otros
temas en cálculo le valió la reputación de
“padre del análisis moderno”. Weierstrass era
un maestro excelente. Una de sus alumnas
fue la matemática rusa Sonya, quien aplicó
muchas de las técnicas de Weierstrass a
problemas de la física matemática y se
convirtió en una de las primeras mujeres
aceptada como investigadora matemática.
NOTA HISTORICA.
Funciones de dos variables
La temperatura T en un punto en la superficie terrestre
en cualquier tiempo depende de la latitud x y la longitud y
del punto. Podemos considerar
T=f(x,y)
El volumen V de un cilindro circular depende de su radio
r y de su altura h
V=f(r,h)= hr 2
Definición:
Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado
de números reales (x,y) de un conjunto D, un número real único denotado
Por f(x,y)
Función real de n variables
Dominio:
Ejemplo:
Hallar el dominio de la siguiente función: )ln(),( 2 xyxyxf
Solución:
}/),{()( 22 yxRyxfDom
Rango:
Ejemplo:
Hallar el rango de la siguiente función:229),( yxyxf
Solución:
]3,0[)(
39039
9900
),(
2222
222222
fRang
yxyx
yxyxyx
yxf
Gráfica de una función:
definimos la gráfica de f como el conjunto:
RRUf n :
)}(,/),{( xfyUxyx
Ejemplo:
Hallar la gráfica de la siguiente
función:
229),( yxyxf
Curvas de Nivel
Suponga que la superficie z = f (x, y) se intersecta con el plano z = c, y que la
curva de intersección se proyecta sobre el plano XY. Esta curva proyectada
tiene a f (x, y) = c como su ecuación, y la curva se denomina curva de nivel de
la función f en c. Cada punto de la curva de nivel corresponde a sólo un punto
de la superficie que se encuentra a c unidades de ella.
Ejemplo:
Graficar las curvas de nivel de la función:
22
22 )sin(),(
yx
yxyxfz
Algebra de Funciones
Sean
f:URnR; g:VRnR
Con dominios U y V respectivamente; definimos:
1. (fg)(X)=f(X) g(X) Dom(fg)=UV
2. (f.g)(X)=f(X) .g(X) Dom(f.g)=UV
3. (f/g)(X)=f(X)/g(X) Dom(f/g)=UV-{x/g(X)=0}
Límite de una función:
Sea f una función de dos variables definidas en un disco abierto centrado en
, excepto posiblemente en , y sea L un número real. Entonces
Si para cada > 0 existe un >0 tal que
),( 00 yx ),( 00 yx
)(),( 0,0
),(limyxyx
Lyxf
Lyxfyxyx ),(),(),(0 00
Teorema
Si f(x,y)L1 cuando (x,y) (a,b) por una trayectoria C1
y f(x,y)L2 cuando (x,y) (a,b) por otra trayectoria C2, donde
L1≠L2, entonces
no existe
),(),(
),(limbayx
Lyxf
Ejemplo:
Sea 22
),(yx
xyyxf
calcule
)0,0(),(
),(limyx
yxf si es que existe
Continuidad de Funciones
Interpretación Geométrica
Ejemplo:
Derivadas Parciales
Las derivadas parciales existen siempre que sus límites existan
Notación:
Interpretación Geométrica
),(;:
),(;:
2
1
yxfzaxC
yxfzbyC
),(1 bafD
Es la pendiente de la recta
tangente a C1 en P
),(2 bafD
Es la pendiente de la recta
tangente a C2 en P
Ejemplo:
Derivada Parcial para n variables
k
nknkk
xnkk
x
xxxfxxxxfxxxfD
k
),,,(),,,(lim),,,( 11
01
Siempre que el límite exista
Derivada Parcial de orden superior
Definición:
Ejemplo:
Diferenciabilidad
Definición:
Sea f una función de 2 variables f(x,y) entonces el incremento de f en
El punto (x0,y0) se denota por ∆f(x0,y0)
),(),(),( 000000 yxfyyxxfyxf
Definición:
Si el incremento de una función se puede expresar como
yxyyxfDxyxfDyxf 2100200100 ),(),(),(
donde:
2)0,0(),(
1)0,0(),(
22
11
0
),(
),(
yxyxLimLim
yx
yx
Entonces f es diferenciable en (x0,y0)
Ejemplo:
Hallar una aproximación del valor: 97.804.4
Solución:
02.6)03.0(3
1)04.0(
4
36)03.09,04.04(
3
1)9,4(,
4
3)9,4(
2),(,
2),(
),(
),(),(),(
),(,03.0,04.0
21
21
002
0010000
f
fDfD
xy
xyxfD
xy
yyxfD
yyxfD
xyxfDyxfyyxxf
xyyxfyx
Ejercicio:
Solución:
Si f(x,y) es diferenciable en el punto
entonces existe un plano tangente a la superficie z=f(x,y) en
y tiene por ecuación
donde
Teorema:
Regla de la Cadena
Sea u=f(x,y), donde f es una función diferenciable de x e y. Si x=g(r,s),
y=h(r,s) son tales que las derivadas parciales de primer orden
s
y
r
y
s
x
r
x
,,, Entonces existen y están dadas por
y
u
x
u
,
Ejemplo:
Si yez x sin donde tsystx 22 ,
encuentre
t
z
s
z
,
Solución:
Definición: La derivada direccional de f
en la dirección dada por el vector unitario
u está dada por:
h
y)f(x, - ) huy ,hu x( f lim y)f(x, 21
0h
u
D
si el límite existe.
La Derivada Direccional
Derivada direccional
jseniu
cos
Si f es una función diferenciable de x e y, su
derivada direccional en la dirección del vector
unitario
Denotada por:
t
yxfsentytxfyxfD
tu
),(),cos(lim),(
0
),( yxfDu se define como
siempre que ese límite exista.
La Derivada Direccional
Interpretación geométrica de la derivada
direccional
),(/),,( yxfzzyx
C
),(,, bafba
zz
sentby
tax
cos
:
u
Derivada direccional
jseniu
cos
Si f es una función diferenciable de x e y, su
derivada direccional en la dirección del vector
unitario
es:
senyxfyxfyxfD yxu ),(cos),(),(
Derivada Direccional y Parcial
Teorema: Si f tiene sus primeras
derivadas parciales continuas
entonces tiene derivada direccional en
la dirección de cualquier vector
unitario u y:
2y1x u y)(x, f u y)(x, f y)f(x, u
D
Teorema
Si f es una función diferenciable de x e y entonces la derivada direccional
de f en la dirección del vector u=(cos,sin)
uyxfyxfyxfyxfD yxu ).,(sin),(cos),(),(
Hallar la derivada direccional de
f(x,y) = x2-xy+y en la dirección del
vector v = (1,2).
5
2
)2,1(5
1)1,2(),(
y
xyxyxfDu
Ejemplo:
Ejemplo:
Encuentre la derivada direccional de la función
yyxyxf 4),( 32
Solución:
En el punto (2,-1) en la dirección del vector v=2i+5j
29
32).1,2()1,2(
)29
5,
29
2(
)8,4()1,2(
)43,2(),( 223
uffD
v
vu
f
yxxyyxf
u
jyxfiyxfyxf yx ),(),(),(
x
),( yx),( yxf
y
z
Gradiente:
Gradiente de una función de dos variables
),( yxf
Sea z=f (x, y) una función de x e y, tal que fx y fyexisten. Se llama gradiente de f, al vector
Se “lee delta de f ”
Otra notación
f
),( yxfgrad
jyxfiyxfyxf yx
),(),(),(
Es un vector del plano xy
Forma alternativa de la derivada direccional
jseniu
cos
Si f es una función diferenciable de x e y, su
derivada direccional en la dirección del vector
unitario
es:
uyxfyxfDu
),(),(
Propiedades del Gradiente
),(),(demáximovalorEl
).,(pordada
vienededirecciónLa
yxfesyxfD
yxf
fdeocrecimientmáximo
u
Sea z=f (x, y) una función diferenciable en el punto
(x, y)
uyxfyxf
todopara0),(Dentonces0),(Si u
uyxfyxfDu
),(),(
Q(3,2) a P(2,2)
dedirección laen )2,2( b)Halle
mente.geométrica
lorepreséntey )2,2( ea)Encuentr
),( Sea :Ejemplo 22
fD
f
yxyxf
u
Derivada Direccional en término del
Teorema
a) El valor máximo de Du f(x0,y0) se
alcanza en la dirección f(x0,y0).
b) La tasa máxima de crecimiento
de f en (x0,y0) es || f (x0,y0 ) ||.
Corolario
a) El valor mínimo de Du f(x0,y0) se
alcanza en la dirección de - f(x0,y0)
b) La tasa mínima de crecimiento de
f en (x0,y0) es -||f (x0,y0) || .
Derivada direccional para funciones de tres variables
kcjbiau
Si f es una función diferenciable de x, y, z su
derivada direccional en la dirección del vector
unitario
es:
),,(),,(),,(),,( zyxfczyxbfzyxafzyxfD zyxu
1u
Propiedades del gradiente de una función de tres variables
uzyxfzyxf
todopara0),,(Dentonces0),,(Si u
),,(),,(demáximovalorEl
).,,(pordada
vienededirecciónLa
zyxfeszyxfD
zyxf
fdeocrecimientmáximo
u
entonces es normal a la superficie de nivel
que pasa por (x0, y0,z0)
0),,( 000
zyxf
Sea u=f (x, y,z) una función diferenciable en el punto (x0, y0,z0) y
),,( 000 zyxf
Propiedades del Gradiente
Sea f diferenciable en el punto (x,y),
1. Si entonces para todo u
2. La dirección de máximo incremento de f está dada por
El valor máximo de es
3. La dirección de mínimo incremento de f está dada por
El valor mínimo de es
,0),( yxf 0),( yxfDu
),,( yxf
),( yxfDu),( yxf
),,( yxf
),( yxfDu),( yxf
Ejemplo:
La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es
22420),( yxyxT
Donde x e y se miden en centímetros. ¿En qué dirección a partir de (2,-3)
aumenta más rápido la temperatura?. ¿Cuál es la tasa o ritmo de
crecimiento?
Solución:
centimetropor
incrementomáximodedirección
oT
T
yxyxT
09.17292)3,2(
)6,16()3,2(
)2,8(),(
Tasa o ritmo de incremento:
Extremo de Funciones
Definición de extremos de funciones de varias variables.
Una función f definida en un dominio D abierto presenta un mínimo (máximo)
local en (a,b) ∈ D si existe un entorno U de (a,b) tal que
f (x, y) ≥ f (a,b) ∀(x, y) ∈U ( f (x, y) ≤ f (a,b)) .
Diremos (a,b) es un extremo local o relativo de f si es un mínimo o
máximo local.
El punto (a,b) ∈ D abierto, es un punto crítico de f : D ⊆ R2 → R, si f es
diferenciable en (a,b) [i.e: f continua y con derivadas parciales en (a,b)] y ∇f
(a,b) = (0,0) .
Teorema
Si f es diferenciable en el punto (a,b) ∈ D abierto y además dicho punto es un
extremo local entonces (a,b) es un punto crítico de f ; i.e: ∇f (a,b) = (0,0) .
Este teorema pone de manifiesto que para encontrar extremos locales sólo
tenemos que determinar los puntos críticos. Un punto crítico que no es un
extremo local se denomina punto de silla.
Matriz Hessiana
La matriz formada por todas las derivadas parciales de segundo orden se
llama matriz hessiana. La construcción de esta matriz se hace según el
siguiente cuadro:
PROPIEDAD (Teorema de Schwartz): La matriz hessiana siempre es
simétrica si las derivadas parciales de segundo orden son continuas.
Criterio de la Segunda Derivada Parcial
Ejemplo:
Determine los extremos , si existen , de la función F definida
yxyxyxF 493),( 23
Solución:
Fx(x,y)=9x2-9
Fy(x,y)=2y+4
Puntos Criticos (1,-2); (-1,-2)
H(1,-2)=36>0; Fxx(1,-2)=18>0 F(1,-2)=-10 es un mínimo local
H(-1,-2)=36>0; Fxx(1,-2)=-36<0 F(1,-2)=-18 es un punto de silla