gauss i
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09/04/2015
Electricidad y Magnetismo
Ley de Gauss
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09/04/2015
Flujo elctrico
El flujo elctrico a travs
de un rea est definido
como el producto de la
intensidad de campo
por la superficie
perpendicular al campo,
es decir:
= EA.
Esto significa que las unidades de
flujo son: Nm2/C
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AA'
Flujo elctrico
A1
Ei
La superficie A
perpendicular al campo es:
cosAA
Luego, la definicin de
es:
cosEA
A
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Flujo elctrico
En general, el campo elctrico vara sobre la superficie, por lo
tanto es conveniente tomar slo pequeos elementos de
superficie E para definir el flujo local:
iiii AEAE
cos
Ntese que hemos definido el vector cuya direccin es
perpendicular al rea y su magnitud igual al rea que
representa.
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Flujo elctrico
Como de costumbre, en estos casos, sumamos las
contribuciones y luego las llevamos al lmite:
i
iiA
dAEAEi
sup0
lm
La ecuacin es una integral de superficie. Su valor ser
funcin tanto de la manera en que el campo se distribuye,
como de la superficie considerada.
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Flujo elctrico
Normalmente querremos evaluar el flujo a travs de una
superficie cerrada. Qu es una superficie cerrada?
1
3
24
1
3
2
4
Observe que en los elementos
1, 2 y 4 el campo apunta hacia
fuera, luego 90o y el flujo se torna
negativo, pues cos es
negativo.
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Flujo elctrico
El flujo neto es proporcional al nmero neto de lneas que
abandonan la superficie (lneas saliendo - lneas entrando)
1
3
24
1
3
2
4
Si son ms las lneas que
salen el flujo neto es positivo,
en el caso contrario el flujo
neto es negativo.
El flujo neto sobre una
superficie cerrada es:
dAEdAE ncG-1
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Flujo a travs de un cubo de arista l
dA4
dA1
x
z
y
E
dA2
dA3
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Flujo a travs de un cubo
dA4
dA1
x
z
y
E
dA2
dA3
El flujo a travs de dA3 y
dA4 es cero, ya que = 900
y cos = 0, luego EdA es
cero. Lo mismo ocurre para
las caras anterior y
posterior.
Por otra parte, dA1apunta en la direccin
negativa del eje x y el
campo E en la
direccin positiva,
luego...
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09/04/2015
Flujo a travs de un cubo
dA4
dA1
x
z
y
E
dA2
dA3 = 180o y cos180 = -1, por
lo tanto
2
11
1 180cos EldAEEdAo
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09/04/2015
Flujo a travs de un cubo
dA4
dA1
x
z
y
E
dA2
dA3En la cara 2, dA2 es paralelo y
apunta en la misma direccin
que el campo, luego = 0 y
cos0 =1. Por lo tanto:
2
22
2 0cos EldAEEdAo
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Flujo a travs de un cubo
dA4
dA1
x
z
y
E
dA2
dA3De los resultados anteriores,
vemos que:
022 ElElc
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Ley de Gauss
r dA E
La Ley de Gauss establece
una relacin entre el flujo
elctrico neto a travs de
una superficie cerrada
(gaussiana) y la carga
encerrada por dicha
superficie.
Sea una carga puntual positiva
encerrada por una esfera de radio r.
Sabemos que las lneas de campo
apuntan radialmente hacia fuera as
como los vectores dA, por lo tanto son
paralelos y cos = 1.
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Ley de Gauss
r dA E
Segn Coulomb:
2r
qkE e
De acuerdo a la ec. G-1:
dAEEdAdAEnc
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Ley de Gauss
r dA E
Por simetra, el campo es constante
sobre la superficie de la esfera y la
superficie de sta es 4r2, luego:
)4( 22
rr
qkec
y dado que
o
ek4
1
0
2
2
0
)4(4
1
qr
r
qc
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Ley de GaussEl resultado:
0
qc
Nos dice que el flujo neto es slo
proporcional a la carga. Para
entender esto consideremos la figura
de la izquierda.
El casquete interno es atravesado por el
mismo nmero de lneas que el externo,
porque mientras la densidad de lneas por
unidad de superficie decrece con 1/r2, la
superficie crece con r2. Como estas dos
variaciones se anulan entre s, el
resultado neto es que el flujo no depende
de r.