gazdasagstatisztika elméleti témakörök típuspéldák

I. Zárthelyi dolgozat Elméleti témakörök, típuspéldák

Gazdaságstatisztika

Ha valaki nem a kiírt időpontban és helyen jelenik meg, 4 pontot veszít az eredményéből

BEOSZTÁS AZ UTIN 3 fogalom definíciója (3*2 = 6pont)

A fogalomtárban szereplő fogalmak közül három EBBŐL KETTŐT TUDNI KELL DEFINIÁLNI AHHOZ, HOGY AZ

ELMÉLETI RÉSZT TOVÁBB JAVÍTSUK Elméleti kérdés (8 pont) Számítási feladat (14 pont) Összesen: 28 pont Sikeres teljesítéshez szükséges minimum: 14 pont

Tudnivalók a zh-ról

2

A matematikai statisztika lényege, sokaság, mintavétel, minta, mintavételi hiba

Skálaelmélet Nominális skála jellemzése Ordinális skála jellemzése Intervallum skála jellemzése Arányskála jellemzése

Leíró statisztika Grafikus ábrázolás alapjai (gyakorisági táblázat, hisztogramok) Legfontosabb középértékmutatók (módusz, medián, számtani átlag)

jellemzése Legfontosabb ingadozásmutatók (terjedelem, (korr.) tapasztalati szórás)

jellemzése Alakmutatók lényege, legfontosabb alakmutatók jellemzése

Elméleti témakörök

3

Elméleti témakörök (2) Heterogén sokaság

Teljes, külső és belső eltérés Szórások értelmezése (nem képlet kimásolás!) Vegyes kapcsolat erősségének jellemzése

Összehasonlítás standardizálással A standardizálás lényege, jelentősége, módszerei

(különbségfelbontás, hányadosfelbontás) Indexszámítás

Aggregált sokaság, az indexszámítás célja Egyedi, valamint a termékek összességére vonatkozó ár-, érték

és volumenindexek definiálása A különböző súlyozású indexek közötti eltérések okai

4

Leíró statisztika Diszkrét ismérv Folytonos ismérv

Heterogén sokaságok vizsgálata Vegyes kapcsolat jellemzése

Összehasonlítás standardizálással Különbségfelbontás Hányadosfelbotás

Indexszámítás Két időszakra vonatkozó indexszámítás

Számítási feladatok típusai

5

Leíró statisztikai feladatok


Egy internetszolgáltató vállalkozásnál 280 napon keresztül vizsgálták az ügyfelek napi reklamációinak számát. A megfigyelések eredményiből az alábbi gyakorisági eloszlást készítették.

1. Készítsen az adatokból gyakorisági táblázatot és értelmezze minden gyakorisági sorból az 5. osztályhoz tartotó értéket!

2. Ábrázolja a gyakorisági sort és a kumulált relatív gyakoriságokat!3. Mekkora a napi reklamációk átlagos száma?4. Mekkora a napi reklamációk tipikus értéke?5. Mekkora a medián értéke?6. Mekkora az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga (szórás)?7. Mekkora a relatív szórás?

Példa

7

Reklamációk száma (reklamáció naponta) Napok száma

0 311 452 653 774 325 216 9

1. Készítsen az adatokból gyakorisági táblázatot és értelmezze minden gyakorisági sorból az 5. osztályhoz tartotó értéket!

A megfigyelések során 32 napon volt a napi reklamációk száma 4.

250 napon volt a napi reklamációk száma 4, vagy annál kevesebb.

Az esetek 11,4%-ban volt napi 4 reklamáció.

Az esetek 89,3%-ban volt a napi reklamációk száma 4, vagy annál kevesebb.

Példa – megoldás (1)

8


0 31 31 0.111 0.1111 45 76 0.161 0.2712 65 141 0.232 0.5043 77 218 0.275 0.7794 32 250 0.114 0.8935 21 271 0.075 0.9686 9 280 0.032 1

if'if ig '

ig

5f'

5f

5g'5g

2. Ábrázolja a gyakorisági sort és a kumulált relatív gyakoriságokat!

Gyakoriság:

Relatív gyakoriság:

Kumulált relatív gyakoriság:


9


0 31 31 0.111 0.1111 45 76 0.161 0.2712 65 141 0.232 0.5043 77 218 0.275 0.7794 32 250 0.114 0.8935 21 271 0.075 0.9686 9 280 0.032 1

if'if ig '

ig

if

ig'ig

2. Ábrázolja a gyakorisági sort és a kumulált relatív gyakoriságokat!Gyakorisági hisztogram


10

2. Ábrázolja a gyakorisági sort és a kumulált relatív gyakoriságokat!Kumulált relatív gyakoriságok


11

0,111

0,271

0,504

0,779

0,8930,9681,000

0 1 2 3 4 5 6Napi reklamációk száma

Kumulált relatív gyakoriság 'ig

3. Mekkora a napi reklamációk átlagos száma?Példa – megoldás (5)

12

r

ii

r

iii

f

xfx

1

1

475,2280

69521432377265145031

4. Mekkora a napi reklamációk tipikus értéke?A napi reklamációk tipikus értéke a módusz.

A módusz értéke 3. Azért tipikus, mert ez a leggyakoribb érték.


13


0 31 31 0.111 0.1111 45 76 0.161 0.2712 65 141 0.232 0.5043 77 218 0.275 0.7794 32 250 0.114 0.8935 21 271 0.075 0.9686 9 280 0.032 1

if'if ig '

ig

5. Mekkora a medián értéke?

Páros számú adat esetén a sorbarendezett adatok között a két középső átlaga a medián. Esetünkben a 140. és a 141. adat a növekvő sorrendbe rendezett adatok között a két középső. E két adat értéke rendre a 2 és a 2. Ezért a medián értéke 2.

Miért nem ezzel számoltunk?


14


0 31 31 0.111 0.1111 45 76 0.161 0.2712 65 141 0.232 0.5043 77 218 0.275 0.7794 32 250 0.114 0.8935 21 271 0.075 0.9686 9 280 0.032 1

if'if ig '

ig

meme

me

me hf

fN

XeM

'1

0,2ˆ

6. Mekkora az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga (szórás)?

7. Mekkora a relatív szórás?


15


0 31 31 0.111 0.1111 45 76 0.161 0.2712 65 141 0.232 0.5043 77 218 0.275 0.7794 32 250 0.114 0.8935 21 271 0.075 0.9686 9 280 0.032 1

if 'if ig '

ig

280

475,269...475,2145475,2031 2222 S

299,22 S 516,1S

613,0475,2516,1

xS

Egy áramszolgáltatónál 650 megfigyelést végeztek a szolgáltatásban bekövetkező áramkimaradásokra vonatkozóan. A megfigyelések eredményit az alábbi táblázatban rögzítették.

1. Készítsen az adatokból gyakorisági táblázatot és értelmezze minden gyakorisági sorból a 4. osztályhoz tartotó értéket!

2. Ábrázolja az áramkimaradások időtartam szerinti megoszlását és a tapasztalati eloszlásképet!3. Mekkora az áramkimaradások átlagos időtartama?4. Mekkora a tipikusnak tekinthető áramkimaradás időtartama? 5. Becsülje meg és értelmezze a mediánt! 6. Adjon becslést a szórásra!7. Mekkora a relatív szórás?

Példa

16

Áramkimaradás időtartama (perc)

Áramkimaradások száma

[0;10) 40[10;20) 190[20;30) 350[30;40) 40[40;50) 20[50;60) 10



[0;10) 40 40 0.062 0.062[10;20) 190 230 0.292 0.354[20;30) 350 580 0.538 0.892[30;40) 40 620 0.062 0.954[40;50) 20 640 0.031 0.985[50;60) 10 650 0.015 1

1. Készítsen az adatokból gyakorisági táblázatot és értelmezze minden gyakorisági sorból a 4. osztályhoz tartotó értéket!

A megfigyelések során 40 esetben volt az áramkimaradás időtartama 30 percnél hosszabb vagy azzal egyenlő és 40 percnél rövidebb.

620 esetben volt az áramkimaradás időtartama 40 percnél rövidebb.

Az esetek 6,2%-ban volt az áramkimaradás időtartama 30 percnél hosszabb vagy azzal egyenlő és 40 percnél rövidebb.

Az esetek 95,4%-ban volt az áramkimaradás időtartama 40 percnél rövidebb.


17

if'if ig '

ig

4f

'4f

4g'4g

2. Ábrázolja az áramkimaradások időtartam szerinti megoszlását és a tapasztalati eloszlásképet!


18



[0;10) 40 40 0.062 0.062[10;20) 190 230 0.292 0.354[20;30) 350 580 0.538 0.892[30;40) 40 620 0.062 0.954[40;50) 20 640 0.031 0.985[50;60) 10 650 0.015 1

if'if ig '

ig

ig

10 20 30 40 50 60

Időtartam szerinti megoszlás(relatív gyakorisági hisztogram )

Áramkimaradások időtartama(perc)

2. Ábrázolja az áramkimaradások időtartam szerinti megoszlását és a tapasztalati eloszlásképet!


19



[0;10) 40 40 0.062 0.062[10;20) 190 230 0.292 0.354[20;30) 350 580 0.538 0.892[30;40) 40 620 0.062 0.954[40;50) 20 640 0.031 0.985[50;60) 10 650 0.015 1

if'if ig '

ig 'ig

10 20 30 40 50 60

Tapasztalati eloszláskép

Áramkimaradások időtartama(perc)

ix

3. Mekkora az áramkimaradások átlagos időtartama? Az áramkimaradások átlagos értékének becsléséhez szükségünk van az osztályközepekre.

Átlag becslése:


20

if'if ig '

igÁramkimaradás

időtartama (perc)Áramkimaradások

száma

[0;10) 40 40 0.062 0.062 5[10;20) 190 230 0.292 0.354 15[20;30) 350 580 0.538 0.892 25[30;40) 40 620 0.062 0.954 35[40;50) 20 640 0.031 0.985 45[50;60) 10 650 0.015 1 55

538,22650

5510540

1

1

r

ii

r

iii

f

xfx

ix

4. Mekkora a tipikusnak tekinthető áramkimaradás időtartama? A leggyakrabban előforduló időtartamú áramkimaradást tekintjük tipikusnak, ez a módusz.

Módusz: folytonos ismérv esetén a gyakorisága görbe maximum helye(i). Módusz becslése: tudjuk, hogy a 3. osztályközben van.


21

if'if ig '

igÁramkimaradás

időtartama (perc)Áramkimaradások

száma

[0;10) 40 40 0.062 0.062 5[10;20) 190 230 0.292 0.354 15[20;30) 350 580 0.538 0.892 25[30;40) 40 620 0.062 0.954 35[40;50) 20 640 0.031 0.985 45[50;60) 10 650 0.015 1 55

mofa

amo h

dddXoM

0,ˆ 310403501 momof ffd

1601903501 momoa ffdA móduszt tartalmazó osztály bal végpontja

A móduszt tartalmazó osztály hossza

404,2310310160

16020ˆ 0,

mofa

amo h

dddXoM

5. Becsülje meg és értelmezze a mediánt!

meme

me

me hf

fN

XeM

'1

0,2ˆ



[0;10) 40 40 0.062 0.062 5[10;20) 190 230 0.292 0.354 15[20;30) 350 580 0.538 0.892 25[30;40) 40 620 0.062 0.954 35[40;50) 20 640 0.031 0.985 45[50;60) 10 650 0.015 1 55

ix


22

if'if ig '

ig

A mediánt tartalmazó osztály bal végpontja

A mediánt tartalmazó osztály hossza

N a megfigyelések száma:650

me Az első olyan osztályköz sorszáma, amelyhez tartozó kumulált gyakoriság nagyobb vagy egyenlő, mint a megfigyelések számának fele. Most a 3. osztály.

714,2210350

2302

650

202ˆ'

1

0,

meme

me

me hf

fN

XeM

6. Adjon becslést a szórásra!

7. Mekkora a relatív szórás?



[0;10) 40 40 0.062 0.062 5[10;20) 190 230 0.292 0.354 15[20;30) 350 580 0.538 0.892 25[30;40) 40 620 0.062 0.954 35[40;50) 20 640 0.031 0.985 45[50;60) 10 650 0.015 1 55

ix


23

if'if ig '

ig

95,8650

538,225510538,22540 22

S

538,22x

%7,39397,0538,2295,8

xSV

r

ii

r

iii

f

xxfS

1

1

2

Heterogén sokaság feladatok


Heterogén sokaság – Példa 1Egy adott nagyvállalatnál megfigyelt 250 munkavállaló jövedelem adatait tartalmazza az alábbi táblázat:

25

Beosztás Fő Jövedelem (ezer Ft)

Keresetek szórása (ezer

Ft)FelsővezetőKözépvezetőBeosztottFizikai

60907525

20013010070

25201510

Összesen 250

Határozzuk meg és értelmezzük a rész- és főátlago(ka)t! Határozzuk meg és értelmezzük a részszórásokat! Számítsuk ki és értelmezzük a belső szórást! Számítsuk ki és értelmezzük a külső szórást! Számítsuk ki és értelmezzük a belső szórást! Jellemezzük a beosztás és az 1 főre jutó jövedelem

közötti vegyes kapcsolatot! (beosztás – minőségi ismérv, jövedelem – mennyiségi ismérv)

26

Példa

Példa megoldása (1)

27




60907525

20013010070

25201510

Összesen 250

részsokaságok

Részsokasági elemszámok

Fősokaság nagysága

RészszórásRészátlag

Példa megoldása (2) Részátlagok:

A felsővezetők átlagos jövedelme 200 eFt/hó A középvezetők átlagos jövedelme 130 eFt/hó A beosztottak átlagos jövedelme 100 eFt/hó A fizikai foglalkozásúak átlagos jövedelme 70 eFt/hó

Főátlag

Az adott nagyvállalat esetében az átlagos jövedelem 131,8 eFt.

28

8,131250

7025100751309020060

1

1

M

jj

M

jjj

N

YNY


29




60907525

20013010070

25201510

Összesen 250

Részszórások és értelmezésük: A felsővezetők esetében a jövedelmek felsővezetői átlagtól való átlagos

eltérése 25 eFt/hó A középvezetők esetében a jövedelmek középvezetői átlagtól való átlagos

eltérése 20 eFt/hó A beosztottak esetében a jövedelmek beosztotti átlagtól való átlagos eltérése

15 eFt/hó A fizikai foglalkozásúaknál a jövedelmek fizikai beosztottak átlagától való

átlagos eltérése 10 eFt/hó

Belső szórás számítása a részszórások alapján:

Az egyes beosztottak havi jövedelme átlagosan 19,27 eFt-tal tér el a megfelelő részátlagtól.

30


Beosztás Fő 1 főre jutó jöv. (ezer Ft)



60907525

20013010070

25201510

Összesen 250 131,8

M

jj

M

jjjM

j

N

ijijB

N

NYY

N

j

1

1

2

1 1

22 1

5,371250

1025157520902560 22222

B

27,195,371 B

Példa megoldása (5) Külső variancia és szórás:

Az egyes munkakörök havi átlagos jövedelme átlagosan 42,46 eFt-tal tér el a főátlagtól (a nagyvállalat havi átlagos jövedelmétől).

31

Beosztás Fő 1 főre jutó jöv. (ezer Ft)



60907525

20013010070

25201510

Összesen 250 131,8

76,1802250

8,13170258,131100758,134130908,13120060 22222

K

46,4276,1802 K

Példa megoldása (6) A teljes variancia és szórás:

Az egyes munkavállalók havi jövedelme átlagosan 46,63 eFt-tal tér el a főátlagtól (a vállalat havi átlagos jövedelmétől).

32

26,217476,18025,371222 KB

63,4626,2174

Példa megoldása (7) Vegyes kapcsolat jellemzése:

A havi jövedelem ingadozásának 82,9%-át magyarázza az, hogy milyen beosztásban dolgozik az illető.

Erős sztochasztikus kapcsolat van a jövedelem (mennyiségi ismérv) és a beosztás (minőségi ismérv) között.

33

%9,82829,026,217476,1802

2

22

T

KH

91,0829,0 H

Heterogén sokaság – példa 2Egy pénzintézet vállalati pénzügyi területre keres megfelelő szakembereket. A jelentkezés feltétele a felsőfokú végzettség volt. Az állás meghirdetése után, a kiválasztás és az első körös megbeszélés alapján 32 jelentkező vehetett részt a második körben, vagyis a pszichológiai, szakmai és pályaalkalmassági kérdéseket tartalmazó tesztíráson. A maximálisan 100 pontos teszten elért eredmények nemek szerint csoportosítva:

34

Pályázó neme A teszten elért pontszámFérfi 85,66,50,78,51,72,76,64,65,95,42,58,92,81,69,89,74,

72,59Nő 84,58, 80,82,80, 97,59,91,76,80,96,85,77

Számítsuk ki a nemek szerinti részátlagokat és értelmezzük az eredményeket!

Számítsuk ki és értelmezzük a tesztet írók átlagos pontszámát!

Számítsuk ki és értelmezzük a részszórásokat, ill. a teljes, belső, és külső szórásokat!

Jellemezzük a vegyes kapcsolatot a pályázó neme és az elért pontszáma között!

35

Heterogén sokaság – példa 2


36

Pályázó neme A teszten elért pontszámFérfi 85,66,50,78,51,72,76,64,65,95,42,58,92,81,69,89,74,

72,59Nő 84,58, 80,82,80, 97,59,91,76,80,96,85,77

Részátlag – férfiak:

Részátlag – nők:

42,7019

597274...50668511

ffiN

iiffi

ffiffi Y

NY

38,8013

778596...80588411

nőN

iinő

nőnő Y

NY

A férfiak átlagos pontszáma: 70,42 pont

A nők átlagos pontszáma: 80,38 pont


Főátlag:

37

47,7432

38,801342,7019

2

1

N

YNY j

jj

A férfiak átlagos pontszáma: 70,42 pont

A nők átlagos pontszáma: 80,38 pont

A tesztet írók átlagos pontszáma: 74,47 pont

Példa megoldása (3) Férfi részszórás:

38

2

11

2 )(11

jj N

ijij

j

N

iij

jj YY

NB

N

19,1419

)42,7059(...)42,7066()42,7085(

)(11

222

2

11

2

ffiffi N

iffiiffi

ffi

N

iiffi

ffiffi YY

NB

N

Egy kiválasztott férfi pontszáma átlagosan 14,19 ponttal tér el a férfi részátlagtól.

Pályázó neme A teszten elért pontszámFérfi 85,66,50,78,51,72,76,64,65,95,42,58,92,81,69,89,74,7

2,59Nő 84,58, 80,82,80, 97,59,91,76,80,96,85,77

Példa megoldása (4) Női részszórás:

39

Pályázó neme A teszten elért pontszámFérfi 85,66,50,78,51,72,76,64,65,95,42,58,92,81,69,89,74,7

2,59Nő 84,58, 80,82,80, 97,59,91,76,80,96,85,77

2

11

2 )(11

jj N

ijij

j

N

iij

jj YY

NB

N

3,1113

)38,8077(...)38,8058()38,8084(

)(11

222

2

11

2

nőN

inőinő

nő

Nnő

iinő

fnőnfnő YY

NB

N

Egy kiválasztott nő pontszáma átlagosan 11,3 ponttal tér el a női részátlagtól.

Példa megoldása (3) Belső szórás:

40

M

jj

M

jjjM

j

N

ijijB

N

NYY

N

j

1

1

2

1 1

22 1

43,17132

3,111319,1419 222

B

1,1343,171 B

Egy kiválasztott tesztíró pontszáma átlagosan 13,1 ponttal tér el a megfelelő részátlagtól.

Példa megoldása (4) Külső szórás:

41

89,432

26,766

)47,7438,80(13)47,7432,70(193211 22

1

2

M

jjjK YYN

N

91,2389,4 22 K 52,19589,41,13 22222 KBT

%22,121222,052,19591,23

2

22

T

KH

35,01222,02 HH

A részátlagok átlagosan 4,89 ponttal térnek el a főátlagtól.

a pályázó neme 12,22%-ban magyarázza a pontszámingadozását

Gyenge kapcsolat a nem és az elért pontszám között

98,1352,195 T

Standardizálási feladatok


Az “A” és “B” országban a nagyvárosok, kisvárosok és falvak körében vizsgálták a halfogyasztási adatokat. A vizsgálati eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza.

1. Határozzuk meg az “A” ország egy főre jutó halfogyasztás adatait településtípusonként!

2. Határozzuk meg az “B” ország lakosainak számát településtípusonként!3. Adjuk meg az egy főre jutó átlagos halfogyasztás értékét mindkét országra!4. Határozzuk meg a két ország egy főre jutó átlagos halfogyasztása közötti

különbség okait!

Standardizálás – Példa 1

43

Lakosok száma (fő) Halfogyasztás (kg) Halfogyasztás (kg) Egy főre jutó halfogyasztás (kg/fő)kisvárosok 2315000 8565500 5679570 3.9nagyvárosok 5674000 27235200 14956760 5.2falvak 1819000 5275100 14002018 3.1

"B" ország"A" ország

1. Határozzuk meg az “A” ország egy főre jutó halfogyasztás adatait településtípusonként!


44


"B" ország"A" ország jA0jB0

j

jj BA

V0

00 7,3

23150008565500

01

0101

BAV

8,4567400027235200

02

0202

BAV

9,218190005275100

03

0303

BAV

2. Határozzuk meg az “B” ország lakosainak számát településtípusonként!


45


"B" ország"A" ország jA1 jV1

j

jj VA

B1

11 1456300

9,35679570

11

1111

VAB

28763002,5

14956760

12

1212

VAB

45167801,3

14002018

13

1313

VAB

3. Adjuk meg az egy főre jutó átlagos halfogyasztás értékét mindkét országra! A megadott, illetve eddig kiszámított értékek:

Lakosok száma (fő) Halfogyasztás (kg)Egy főre jutó halfogyasztás (kg/fő)


kisvárosok 2315000 8565500 3.7 1456300 5679570 3.9nagyvárosok 5674000 27235200 4.8 2876300 14956760 5.2falvak 1819000 5275100 2.9 4516780 14002018 3.1

"A" ország "B" ország


46

jA0 jV0

3

1 0

0

3

10

3

10

3

100

3

10

3

10

0 188,41819000567400023150005275100272352008565500

j j

j

jj

jj

jjj

jj

jj

VA

A

B

VB

B

AV

jB0 jA1jB1 jV1

3

1 1

1

3

11

3

11

3

111

3

11

3

11

1 914,345167802876300145630014002018149567605679570

j j

j

jj

jj

jjj

jj

jj

VA

A

B

VB

B

AV

4. Határozzuk meg a két ország egy főre jutó átlagos halfogyasztása közötti különbség okait!






47

jA0 jV0jB0 jA1jB1 jV1

274,0188,4914,3'''01 KKVV

3

1

3

10

3

1

3

11

'

jsj

jjsj

jsj

jjsj

B

VB

B

VBK

3

10

3

100

3

10

3

110

'0

jj

jjj

jj

jjj

B

VB

B

VBK

316,0188,4504,4188,4181900056740002315000

1,318190002,556740009,32315000'0

K

Részhatás-különbség:







48

jA0 jV0jB0 jA1jB1 jV1

274,0188,4914,3'''01 KKVV

3

10

3

10

3

11

3

11

''

jj

jsjj

jj

jsjj

B

VB

B

VBK

3

10

3

110

3

11

3

111

''1

jj

jjj

jj

jjj

B

VB

B

VBK

589,0504,4914,3''1 K

Összetételhatás-különbség:







49

274,0188,4914,3'''01 KKVV

590,0504,4914,3''1 KÖsszetételhatás-különbség:

316,0188,4504,4'0 KRészhatás-különbség:

A „B” ország egy főre jutó átlagos halfogyasztása 0,316 kg/fő-vel lenne nagyobb az „A” országénál, ha csak a részviszonyszámok hatását tekintenék változatlan (az a „A” országénak megfelelő) lakosság struktúra mellett.

A „B” ország egy főre jutó átlagos halfogyasztása -0,589 kg/fő-vel lenne kisebb az „A” országénál, ha csak a lakosság összetételének hatását tekintenék változatlan (a „B” országénak megfelelő) részviszonyszámok mellett.

A Bkisvárosok 23.6% 16.5%nagyvárosok 57.9% 32.5%falvak 18.5% 51.0%

274,0590,0316,0''1

'0 KK

A következő táblázat egy ország lakosainak adósságállományukkal kapcsolatos adatait tartalmazza három életkor kategóriában a 2002-es és 2010-es évben.

1. Mekkora az egy főre jutó átlagos adósságállomány értékét kifejező összetett viszonyszám értéke 2002-ben és 2010-ben?

2. Hány százalékkal változott az egy főre jutó átlagos adósságállomány 2002-ről 2010-re?

3. Mekkora a részhatás-index? 4. Mekkora az összetételhatás-index?5. Értelmezze a hányadosfelbontás eredményét!

Standardizálás – Példa 2

50

Korcsoport 2002 2010

Lakosok száma (fő)

Egy főre jutó adósságállomány

(millió Ft/fő)

Adósságállomány (millió Ft)

Egy főre jutó adósságálomány

(millió Ft/fő)Fiatal 3250000 3.68 10822500 3.90

Középkorú 4517000 2.47 13830000 2.50Idős 5125000 0.71 5420800 0.80


Egy főre jutó átlagos adósságállomány 2002-ben (0. időszak) (millió Ft)



Egy főre jutó adósságállomány (millió Ft/fő)


Egy főre jutó adósságálomány (millió Ft/fő)

Fiatal 3250000 3.68 10822500 3.90Középkorú 4517000 2.47 13830000 2.50Idős 5125000 0.71 5420800 0.80


51

jB0 jV0

07,251250004517000325000

71,0512500047,2451700068,332500003

10

3

100

0

jj

jjj

B

VBV

AB B

AV AdósságállományLakosok száma

Egy főre jutó adósságállomány








Egy főre jutó átlagos adósságállomány 2010-ben (1. időszak) (millió Ft)


52

jA1 jV1

99,1

8,05420800

5,213830000

9,310822500

542080013830000108225003

1 1

1

3

11

1

j j

j

jj

VA

AV

2. Hány százalékkal változott az egy főre jutó átlagos adósságállomány 2002-ről 2010-re?

Az összhatás-index:

Az egy főre jutó átlagos adosságállomány kb. 4%-kal csökkent.








53

99,11 V07,20 V

96,007,299,1

0

1 VVI

3. Mekkora a részhatás-index?

Az összhatás-indexet az alakban szeretnénk felírni. a részhatás-index, az összetételhatás-index








54

'''III 'I ''I

3

100

3

110

3

10

3

100

3

10

3

110

3

1

3

10

3

1

3

11

' ::

jjj

jjj

jj

jjj

jj

jjj

jsj

jjsj

jsj

jjsj

VB

VB

B

VB

B

VB

B

VB

B

VBI

05,107,2:18,207,2:512500045170003250000

8,051250005,245170009,33250000

jB0 jV0 jA1 jV1

4. Mekkora az összetételhatás-index?

Továbbá korábban kiszámottuk:

Így








55

jB0 jV0

3

10

3

110

3

11

3

111

3

10

3

10

3

11

3

11

'' ::

jj

jjj

jj

jjj

jj

jsjj

jj

jsjj

B

VB

B

VB

B

VB

B

VBI

jA1 jV1 jB1

99,13

1 1

1

3

11

3

11

3

111

j j

j

jj

jj

jjj

VA

A

B

VB

18,23

10

3

110

jj

jjj

B

VB

-ket eddig nem számítottuk ki, de tudjuk, hogy

92,018,299,1'' I

5. Értelmezze a hányadosfelbontás eredményét!Korcsoport 2002 2010







56

jB0 jV0 jA1 jV1

96,092,005,1''' III

Összetételhatás-index:

Részhatás-index:

2010-ben az egy főre jutó adósságállomány 8%-kal lenne kisebb a 2002. évinél, ha csak a lakosság összetételének hatását tekintenék változatlan (a 2010-es évnek megfelelő) részviszonyszámok mellett.

2010-ben az egy főre jutó adósságállomány 5%-kal lenne nagyobb a 2002. évinél, ha csak a részviszonyszámok hatását tekintenék változatlan (a 2002-es évnek megfelelő) lakosság struktúra mellett.

05,1

92,0

5. Értelmezze a hányadosfelbontás eredményét!

A részviszonyszámok minden korosztályban növekedtek 2002-ről 2010-re, de a lakosság struktúrájának változása összességében a 2002. évinél kisebb egy főre jutó átlagos adósságállományt eredményezett 2010-ben.

A kisebb egy főre jutó adósságállományú korcsoportok (középkorúak és idősek) aránya növekedett a teljes lakosság összetételében.








57

jB0 jV0 jA1 jV1

2002 2010

KorcsoportLakosok száma (fő) Lakosság

megoszlása Lakosok száma (fő) Lakosság megoszlása

Fiatal 3250000 25.2% 2775000 21.5%Középkorú 4517000 35.0% 5532000 42.9%Idős 5125000 39.8% 6776000 52.6%

99,11 V07,20 V

Indexszámítási feladatok


Gazdaságstatisztika 59

Egy elektronikai gyártó vállalkozás három termékéből (A, B, C) származó árbevételét a 2010-es és 2011-es évben, valamint az egyes termékek árainak %-os változását tartalmazza a következő táblázat.

1. Hány százalékkal változott az egyes termékek árbevétele 2010-ről 2011-re?2. Hány százalékkal változott az egyes termékek értékesítésének mennyisége 2010-ről 2011-re?3. Hány százalékkal változott az árbevétel összértéke 2010-ről 2011-re?4. Hány százalékkal változott az árszínvonal a termékek összességére vonatkozóan 2010-ről 2011-

re? Értelmezze az eredményt!5. Hány százalékkal változott az értékesítés mennyisége a termékek összességére vonatkozóan 2010-

ről 2011-re? Értelmezze az eredményt!6. Mekkora az árváltozásból és mekkora a volumenváltozásból adódó árbevétel változás a termékek

összességére vonatkozóan? Értelmezze az eredményt!

Példa

TermékÁrbevétel 2010-ben(millió Ft)

Árbevétel 2011-ben(millió Ft)

%-os árváltozás(2010-hez viszonyítva)

A 200 260 10%B 150 200 20%C 300 360 15%


1. Hány százalékkal változott az egyes termékek árbevétele 2010-ről 2011-re?

Az egyes termékek árbevétele a 0., illetve 1. időszakban:

Egy termék árbevételének változása az egyedi termelési érték-index:

Az A termék árbevétele 30%-kal nőtt, a B termék árbevétele 33,33%-kal nőtt, a C termék árbevétele 20%-kal nőtt.




Egyedi árindex (%)

A 200 260 110%B 150 200 120%C 300 360 115%

iv0 iv1 pii

iii pqv 000 iii pqv 111

i

ivi v

vi0

1

30,1200260

1 vAv ii 3333,1150200

2 vBv ii 20,1300360

3 vCv ii


2. Hány százalékkal változott az egyes termékek értékesítésének mennyisége 2010-ről 2011-re?

Egy termékek értékesített mennyiségének változása az egyedi volumenindex:

Egy termék árváltozása az egyedi árindex:

Egy termék termelési értékének változása az egyedi termelési érték index:

Az A termék értékesítési mennyisége 18,18%-kal nőtt, a B terméké 11,11%-kal, a C terméké 4,35%-kal növekedett.


i

iqi q

qi0

1

1818,11,13,1

qAi

i

ipi p

pi0

1

i

ivi v

vi0

1

piqiii

ii

i

ivi ii

pqpq

vvi

00

11

0

1

iv0 iv1 pii vii

pi

viqi i

ii

1111,12,1

3333,1qBi 0435,1

15,12,1

qCi



Egyedi árindex (%) Egyedi termelési érték index

A 200 260 110% 1.3000B 150 200 120% 1.3333C 300 360 115% 1.2000


3. Hány százalékkal változott az árbevétel összértéke 2010-ről 2011-re?

Az árbevétel összértékének változása az értékindex:

Az árbevétel összértéke 26,15%-ka növekedett.


TermékÁrbevétel 2010-ben

(millió Ft)

Árbevétel 2011-ben

(millió Ft)Egyedi árindex (%)

A 200 260 110%B 150 200 120%C 300 360 115%

iv0 iv1 pii

2615,1650820

300150200360200260

3

10

3

11

3

100

3

111

ii

ii

iii

iii

v

v

v

pq

pqI


4. Hány százalékkal változott az árszínvonal a termékek összességére vonatkozóan 2010-ről 2011-re? Értelmezze az eredményt!

Az árszínvonal változása a termékek összességére vonatkozóan az árindex:




Egyedi árindex (%)

A 200 260 110%B 150 200 120%C 300 360 115%

iv0 iv1 pii

3

10

3

11

iisi

iisi

p

pq

pqI

Legyen most , azaz bázisidőszaki súlyozású (Laspeyres-féle index)

isi qq 0 0pp II

1462,1300150200

15,13002,11501,12003

10

3

10

3

100

3

100

3

100

3

110

0

ii

ipii

iii

ipiii

iii

iii

p

v

iv

pq

ipq

pq

pqI

piiii

ipi ipp

ppi 01

0

1

(Bázisidőszaki volumenek mellett) a termékek összességére vonatkozóan az árszínvonal 14,62%-kal nőtt.


5. Hány százalékkal változott az értékesítés mennyisége a termékek összességére vonatkozóan 2010-ről 2011-re? Értelmezze az eredményt!

Az értékesítés mennyiségének változása a termékek összességére vonatkozóan a volumenindex:


3

10

3

11

isii

isii

q

pq

pqI

Mivel bázisidőszaki súlyozású árindexet használtunk, ezért most tárgyidőszaki súlyozású volumenindexet (Paasche-féle) alkalmazunk: isi pp 1

1007,1

0435,1360

111,1200

1818,1260

3602002603

1

1

3

11

3

1

11

3

111

3

110

3

111

1

i qi

i

ii

i qi

ii

iii

iii

iii

q

iv

v

ipq

pq

pq

pqI

qi

ii

i

iqi i

qqqqi 1

00

1

(Tárgyidőszaki árak mellett) a termékek összességére vonatkozóan az értékesítés mennyisége 10,07%-kal nőtt.

0pp II


(millió Ft)



Egyedi termelési érték

index

Egyedi volumenindex

A 200 260 110% 1.3000 1.1818B 150 200 120% 1.3333 1.1111C 300 360 115% 1.2000 1.0435

iv0 iv1qii


5. Hány százalékkal változott az értékesítés mennyisége a termékek összességére vonatkozóan 2010-ről 2011-re? Értelmezze az eredményt!

Tudjuk, hogy

Az értékindex (3. kérdés) és az árszínvonal (4. kérdés) kiszámítása után:

(Az 1,1007 és 1,1006 közötti eltérés a korábbi kerekítésekből adódóik.)

Példa – megoldás (megjegyzés)

01pqv III

0pI

1006,11462,12615,1

01

p

vq I

II

vI


6. Mekkora az árváltozásból és mekkora a volumenváltozásból adódó árbevétel változás a termékek összességére vonatkozóan? Értelmezze az eredményt!


1706508203

10

3

11

ii

iiv vvK 10

pqv KKK


(millió Ft)




index

Egyedi volumenindex

A 200 260 110% 1.3000 1.1818B 150 200 120% 1.3333 1.1111C 300 360 115% 1.2000 1.0435

iv0 iv1 qiipii

0738,66)300150200(0435,1300111,1150818,1200

3

10

3

10

3

100

3

100

3

100

3

101

0

i

ii

qiii

iii

qiiii

iii

iiq vivpqipqpqpqK

9262,1030738,6617001 qvp KKK




0738,660 qK

9262,1031 pK

170vK

A vállalkozás árbevételének változásából ekkora rész tudható be az árak változásának változatlan (a 2011. évinek megfelelő) volumenek mellett.

A vállalkozás árbevételének változásából ekkora rész tudható be a volumenek változásának változatlan (a 2010. évinek megfelelő) árak mellett.

Az eredmények értelmezése

Ennyivel nőtt a vállalkozás árbevétele 2010-ről 2011-re az árváltozás és volumenváltozás együttes hatásának következtében.




01pqv KKK 170650820

3

10

3

11

ii

iiv vvK


(millió Ft)




index

Egyedi volumenindex

A 200 260 110% 1.3000 1.1818B 150 200 120% 1.3333 1.1111C 300 360 115% 1.2000 1.0435

iv0 iv1 qiipii

0000,750435,1360

1111,1200

1818,1260360200260

3

1

13

11

3

1

113

111

3

110

3

111

1

i qi

i

ii

i qi

ii

iii

iii

iiiq i

vvipqpqpqpqK

0000,950000,7517010 qvp KKK




751 qK

950 pK

170vK

A vállalkozás árbevételének változásából ekkora rész tudható be az árak változásának változatlan (a 2010. évinek megfelelő) volumenek mellett.

A vállalkozás árbevételének változásából ekkora rész tudható be a volumenek változásának változatlan (a 2011. évinek megfelelő) árak mellett.


Ennyivel nőtt a vállalkozás árbevétele 2010-ről 2011-re az árváltozás és volumenváltozás együttes hatásának következtében.


Egy gyümölcsáru üzlet alma, körte és szőlő értékesítéséből származó 2008. és 2009. évi árbevételeit, valamint az egyes gyümölcsök értékesített mennyiségének %-os változását a következő táblázat tartalmazza.

1. Hány százalékkal változott az egyes gyümölcsök értékesítéséből származó árbevétel 2008-ról 2009-re?

2. Hány százalékkal változott az egyes gyümölcsök ára 2008-ról 2009-re?3. Hány százalékkal változott az árbevétel összértéke 2008-ról 2009-re?4. Hány százalékkal változott az árszínvonal a termékek összességére vonatkozóan 2008-ról 2009-

re? Értelmezze az eredményt!5. Hány százalékkal változott az értékesítés mennyisége a gyümölcsök összességére vonatkozóan

2008-ról 2009-re? Értelmezze az eredményt!6. Mekkora az árváltozásból és mekkora a volumenváltozásból adódó árbevétel változás a

gyümölcsök összességére vonatkozóan? Értelmezze az eredményt!

Példa

GyümölcsÁrbevétel 2008-ban

(millió Ft)


(millió Ft)

%-os volumenváltozás(2008-hoz viszonyítva)

Alma 15.1 17.2 15%Körte 9.3 8.7 5%Szőlő 17.8 18.3 10%


1. Hány százalékkal változott az egyes gyümölcsök értékesítéséből származó árbevétel 2008-ról 2009-re?

Egy termék árbevételének változása az egyedi termelési érték-index:

Az alma értékesítéséből származó árbevétel 13,91%-kal nőtt, a körte értékesítéséből származó árbevétel 6,45%-kal csökkent, a szőlő értékesítéséből származó árbevétel 2,81%-kal növekedett.


i

ivi v

vi0

1

1391,11,152,17

1 vi 9355,03,97,8

2 vi 0281,18,173,18

3 vi


(millió Ft)


(millió Ft)Alma 15.1 17.2Körte 9.3 8.7Szőlő 17.8 18.3

iv0 iv1


2. Hány százalékkal változott az egyes gyümölcsök ára 2008-ról 2009-re?

Az egyedi árindex:

Az alma ára 0,95%-kal csökkent, a körte ára 10,91%-kal csökkent, a szőlő ára 6,54%-kal csökkent.


8909,005,1

9355,02 pi

qi

vipi i

ii

9346,01,1

0281,13 pi9905,0

15,11391,1

1 pi


(millió Ft)


(millió Ft)

Egyedi volumenindex


index

Egyedi árindex

Alma 15.1 17.2 1.15 1.1391 0.9905

Körte 9.3 8.7 1.05 0.9355 0.8909

Szőlő 17.8 18.3 1.10 1.0281 0.9346

iv0 iv1 piiviiqii


3. Hány százalékkal változott az árbevétel összértéke 2008-ról 2009-re?

Az árbevétel összértéke 4,74%-kal növekedett.


0474,12,422,44

8,173,91,153,187,82,17

3

10

3

11

3

100

3

111

ii

ii

iii

iii

v

v

v

pq

pqI


(millió Ft)


(millió Ft)Alma 15.1 17.2Körte 9.3 8.7Szőlő 17.8 18.3

42.242.2 44.244.2

iv0 iv1


4. Hány százalékkal változott az árszínvonal a termékek összességére vonatkozóan 2008-ról 2009-re? Értelmezze az eredményt!


Laspeyres-féle árindex:

9450,08,173,91,15

9346,08,178909,03,99905,01,153

10

3

10

3

100

3

100

3

100

3

110

0

ii

ipii

iii

ipiii

iii

iii

p

v

iv

pq

ipq

pq

pqI

(Bázisidőszaki volumenek mellett) a gyümölcsök összességére vonatkozóan az árszínvonal 5,5%-kal csökkent.


(millió Ft)


(millió Ft)

Egyedi volumenindex


index

Egyedi árindex

Alma 15.1 17.2 1.15 1.1391 0.9905

Körte 9.3 8.7 1.05 0.9355 0.8909

Szőlő 17.8 18.3 1.10 1.0281 0.9346

iv0 iv1 piiviiqii


5. Hány százalékkal változott az értékesítés mennyisége a gyümölcsök összességére vonatkozóan 2008-ról 2009-re? Értelmezze az eredményt!


Paasche-féle volumenindex:

(Tárgyidőszaki árak mellett) a gyümölcsök összességére vonatkozóan az értékesítés mennyisége 10,84%-kal nőtt.

Gyümölcs

Árbevétel 2008-ban

(millió Ft)


(millió Ft)

Egyedi volumeninde

x


index

Egyedi árindex

Alma 15.1 17.2 1.15 1.1391 0.9905

Körte 9.3 8.7 1.05 0.9355 0.8909

Szőlő 17.8 18.3 1.10 1.0281 0.9346

iv0 iv1 piiviiqii

1084,1

1,13,18

05,17,8

15,12,17

3,187,82,173

1

1

3

11

3

1

11

3

111

3

110

3

111

1

i qi

i

ii

i qi

ii

iii

iii

iii

q

iv

v

ipq

pq

pq

pqI


Ellenőrzés:

teljesül-e?

Korábban (3. kérdés):



Az értékindex és az árszínvonal kiszámítása után a volumenindexet így is számíthattuk volna:

Példa – megoldás (megjegyzés)

01pqv III

1084,19450,00474,1

01

p

vq I

II

0474,1vI

1084,11 qI

9450,00 pI0474,19450,01084,101 pqII


6. Mekkora az árváltozásból és mekkora a volumenváltozásból adódó árbevétel változás a gyümölcsök összességére vonatkozóan? Értelmezze az eredményt!


01pqv KKK 22,422,44

3

10

3

11

ii

iiv vvK

3214,41,13,18

05,17,8

15,12,173,187,82,17

3

1

13

11

3

1

113

111

3

110

3

111

1

i qi

i

ii

i qi

ii

iii

iii

iiiq i

vvipqpqpqpqK

3214,23214,4210 qvp KKK


(millió Ft)


(millió Ft)

Egyedi volumenindex


index

Egyedi árindex

Alma 15.1 17.2 1.15 1.1391 0.9905

Körte 9.3 8.7 1.05 0.9355 0.8909

Szőlő 17.8 18.3 1.10 1.0281 0.9346

iv0 iv1 piiviiqii




3214,41 qK

3214,20 pK

2vK

A gyümölcsök értékesítéséből származó árbevétel változásából ekkora rész tudható be az árak változásának változatlan (a 2008. évinek megfelelő) volumenek mellett.

A gyümölcsök értékesítéséből származó árbevétel változásából ekkora rész tudható be a volumenek változásának változatlan (a 2009. évinek megfelelő) árak mellett.


Ennyivel változott az üzlet árbevétele 2008-ról 2009-re az árváltozás és volumenváltozás együttes hatásának következtében.




10pqv KKK 22,422,44

3

10

3

11

ii

iiv vvK

5100,4)8,173,91,15(1,18,1705,13,915,11,15

3

10

3

10

3

100

3

100

3

100

3

101

0

i

ii

qiii

iii

qiiii

iii

iiq vivpqipqpqpqK

51,251,4201 qvp KKK


(millió Ft)


(millió Ft)

Egyedi volumenindex


indexEgyedi árindex

Alma 15.1 17.2 1.15 1.1391 0.9905

Körte 9.3 8.7 1.05 0.9355 0.8909

Szőlő 17.8 18.3 1.10 1.0281 0.9346

iv0 iv1 piiviiqii




51,40 qK

51,21 pK

2vK

A gyümölcsök értékesítéséből származó árbevétel változásából ekkora rész tudható be az árak változásának változatlan (a 2009. évinek megfelelő) volumenek mellett.

A gyümölcsök értékesítéséből származó árbevétel változásából ekkora rész tudható be a volumenek változásának változatlan (a 2008. évinek megfelelő) árak mellett.


Ennyivel változott az üzlet árbevétele 2008-ról 2009-re az árváltozás és volumenváltozás együttes hatásának következtében.

gazdasagstatisztika elméleti témakörök típuspéldák

Documents