Universitat Pompeu Fabra Diploma de postgrau en Matemàtiques per a la Secundària

Eines informàtiques: GeoGebra (I)Pep Bujosa

jbujosa@xtec.cat

Polígons regulars

Aquesta eina que permet dibuixar polígons regulars.

Trieu l’eina Polígon regular. Feu dos clics sobre la zona gràfica, per representar dos vèrtexs consecutius. De la finestra que surt, trieu el nombre de costats. Acabeu amb Aplica.

Ja veieu de quina manera més senzilla podeu dibuixar polígons regulars. Com sempre, a la finestra gràfica apareixen la longitud dels seus costats i l’àrea (polígon1= ).

Aplicarem aquesta eina a la comprovació del teorema de Pitàgores.

Feu que només es vegin les etiquetes dels punts (menú Opcions | Etiquetes | Només etiqueta els punts nous)

Amb el botó dret del ratolí, activeu la graella, si no està activada. Trieu l’eina Polígon i dibuixeu un triangle, procurant que els seus vèrtexs quedin

situats sobre els vèrtexs de la graella.

Aquesta és una construcció molt simple; fins i tot massa. Només la fem servir per comprovar que el teorema de Pitàgores es compleix exclusivament per als triangles rectangles. Ben aviat la sabreu millorar!

Amb l’eina Mou activada, podeu desplaçar els vèrtexs del triangle i fer que aquest sigui rectangle o no. Fareu ara que es vegin els angles interiors.

Trieu l’eina Angle i feu clic a l’interior del triangle. Amb l’eina Mou activada, desplaceu els vèrtexs i observeu com van canviant les angles. Finalment, feu que sigui rectangle.

A continuació, dibuixareu quadrats a partir els costats del triangle

Trieu l’eina Polígon regular. Cliqueu sobre dos vèrtexs del triangle, però seguint el sentit antihorari. Trieu 4 com a nombre de costats. Repetiu aquest procés fins a tenir dibuixats els tres quadrats.

Observeu que a la finestra algebraica apareixen les àrees dels tres quadrats. Només cal que desplaceu els vèrtexs del triangle i comproveu si es compleix o no el teorema.

Feu clic amb el botó dret del ratolí a l’interior d’un dels quadrats i trieu l’opció Propietats.

Apareix la finestra que ja coneixeu amb les propietats de l’objecte triat i també dels altres.

De la fitxa Bàsic activeu Mostra etiqueta i trieu l’opció Valor dels desplegable. D’aquesta manera feu visible l’àrea del quadrat. Repetiu el procediment amb els altres.

1

Universitat Pompeu Fabra Diploma de postgrau en Matemàtiques per a la Secundària

Acabeu els detalls estètics, donat diferents colors als quadrats i al triangle.

Passos de construcció i barra de navegació

Una vegada acabada la construcció, podeu veure tot el procés accedint a Visualitza | Passos de la construcció.... Us proposo que aneu provant les diferents opcions i botons que us ofereix la finestra que s’obre.

També és molt útil l’opció Visualitza | Barra de navegació ... Si la trieu apareixen uns botons que us permetran repetir la construcció feta com si fos un vídeo. Només deixa veure els objectes que han quedat visibles.

Creació d’eines noves

D’aquesta construcció, per exemple, en podeu fer una eina nova (com si fos una macro que podeu haver vist en altres programes), de tal manera que quan la vulgueu repetir una només caldrà que trieu l’eina creada.

Trieu l’opció Eines | Crea una eina nova. Del desplegable de la fitxa Objectes de sortida trieu tot allò que voleu que es

dibuixi automàticament. En aquest cas, els tres quadrats. Haureu de triar cada objecte consecutivament i no tots a l’hora.

A la fitxa Objectes d’entrada deixeu els tres punts inicials. A la fitxa Nom i Icona, entreu els rètols que vulgueu i acabeu amb D’acord.

Per provar-la, només cal feu clic sobre la nova eina que haurà sortit al costat de les altres i, tot seguit, cliqueu, consecutivament, tres cops a la zona gràfica, indicant on voleu els vèrtexs.

Deseu aquesta eina accedint a Eines | Administra les eines | Anomena i desa, perquè la farem servir més tard.

Els punts lliscants

Seguint la revisió de les diferents eines que ens proporciona el GeoGebra, arribem a una que permet un control més acurat sobre les diferents transformacions de les figures geomètriques. Són els anomenats Punts lliscants (sliders, en anglès). Per poder entendre millor el seu funcionament, veiem un exemple senzill.

Construcció d’un triangle a partir de la mida dels seu costats.

El primer que fareu és definir tres punts lliscants que representaran la mida dels tres costats del triangle.

Traieu els eixos amb el botó dret del ratolí. Trieu l’eina Punt lliscant. Cliqueu a la part superior de l’interior de la finestra gràfica. Entreu els valors 0 com a valor mínim i 20 com a valor màxim a la finestra que

apareix. Premeu Aplica. Repetiu el mateix procés dos cops més de manera que quedin dibuixats els tres

punts lliscants a la part superior de l’interior de la finestra gràfica.

2

Universitat Pompeu Fabra Diploma de postgrau en Matemàtiques per a la Secundària

Si, amb l’eina Mou, desplaceu els punts lliscants, veureu com les variables a, b i c agafen diferents valors que van des del 0 fins al 20, perquè així ho heu imposat. Heu d’entendre aquestes variables com a paràmetres i que la construcció del triangle es farà en funció d’ells.

Feu que el paràmetre a agafi el valor 8 Trieu l’eina Segment amb longitud donada des d’un punt i feu clic a la zona

gràfica. Apareix un finestra que demana quina longitud fixeu per al segment que esteu

dibuixant. Entreu-hi la lletra a i premeu Aplica.

D’aquesta manera, haureu dibuixat un segment, la longitud del qual és igual al valor del paràmetre (punt lliscant) a. Desplaceu el punt a i observeu com la longitud del segment augmenta i disminueix.

Tot seguit, dibuixareu els altres costats:

Moveu el punt lliscant b, de manera que agafi el valor 5. Trieu l’eina Circumferència donats el centre i el radi. Cliqueu sobre el punt A i feu, a la finestra que apareix, que la longitud del radi sigui

igual a b.

Si feu variar el paràmetre b, veureu com varia el radi de la circumferència que heu dibuixat.

Repetiu el procés anterior, fent que, inicialment, el paràmetre c agafi el valor 4 i considerant com a centre de la circumferència el punt B.

Trieu l’eina intersecció de dos objectes i apropeu el cursor a la intersecció superior de les dues circumferències, de manera que quedin seleccionades (ressaltades) totes dues. Feu clic i apareixerà el punt d’intersecció.

Si haguéssiu clicat consecutivament sobre les dues circumferències, però sense que quedessin seleccionades les dues, haurien sortit els dos punts d’intersecció.

Trieu l’eina Polígon i cliqueu sobre els vèrtexs A, B, C i A.

Si canvieu els valors dels paràmetres a, b i c amb els punts lliscants podreu observar els diferents triangles que surten i, fins i tot, quan les longituds inicials no permeten dibuixar-ne cap.

A continuació, podeu acabar la construcció amb els retocs finals, que podeu intentar fer pel vostre compte:

Canviar la trama de les circumferències i el color. Fer que les longituds dels costats surtin en el triangle. Fer aparèixer els angles del triangle amb les seves amplituds visibles. Fer canvis de color. Incloure caselles per mostrar i amagar objectes. ...

3

Universitat Pompeu Fabra Diploma de postgrau en Matemàtiques per a la Secundària

Naturalesa dels punts lliscants

Els punts lliscants són una de les eines més importats del GeoGebra per poder fer construccions dinàmiques. Però quina relació hi ha entre aquesta eina i els valors numèrics entrats directament a la línia d'entrada? Per respondre aquesta pregunta fareu una senzilla construcció:

Entreu a la línia d'entrada el valor numèric r=3. Aquest serà el radi d'una circumferència. Veureu que a la finestra algebraica apareix l'expressió r=3 precedida d'un petit cercle de color blanc. Aquest símbol davant de qualsevol objecte de la finestra algebraica ens indica que l'objecte no és visible. Més avall veureu quin significat té en aquest cas.

Trieu l'eina Circumferència donats el centre i el radi. Feu un clic a la zona gràfica, serà el centre de la circumferència, i entreu r a la

finestra que apareix tot seguit. Haureu dibuixat una circumferència de radi 3. I si ara volem variar aquest radi? Amb l'eina Mou triada, feu un clic a l'expressió r=3 (sense tocar el cercle de davant!)

de la finestra algebraica. Veureu que queda seleccionada. Premeu les tecles de les fletxes de la dreta del teclat i observeu. Amb aquestes

tecles esteu fent variar el valor numèric r i, per tant, el radi de la circumferència. A continuació feu clic al cercle blanc de r, a la finestra algebraica i… apareix el punt

lliscant! Aquí està la curiositat.

En definitiva, podem considerar que un punt lliscant no és més que un valor numèric visible i que podem canviar directament amb el ratolí.

Construcció d’un triangle a partir de dos costats i l'angle que formen

Trieu l'eina Punt lliscant i cliqueu sobre la zona gràfica. Feu que tingui com a valor mínim el 0 i com a màxim el 12.

Repetiu el procediment anterior per al segon punt lliscant.

Per al tercer, que controla l'angle, heu d'activar l'opció Angle a la finestra de la configuració del punt lliscant i fer que el valor màxim sigui 180º (és imprescindible mantenir les unitats).

Trieu l’eina Segment amb longitud donada des d’un punt i cliqueu sobre la zona gràfica. Així heu dibuixat el punt A i apareix una finestra que us demana la longitud del segment. Entreu a, que és el nom del primer punt lliscant. Acabeu amb D'acord.

Ara trieu l'eina Angle amb amplitud donada i feu clic, per aquest ordre, sobre B i després sobre A. D'aquesta manera, el vèrtex de l'angle serà A.

A la finestra de configuració de l'angle, heu d'entrar com a angle el nom del tercer punt lliscant. Esborreu el 45º que surt per defecte i trieu la lletra corresponent al desplegable de la dreta de la mateixa finestra.

Fixeu-vos que també podeu triar el sentit. En aquest cas interessa que estigui seleccionada l'opció Sentit antihorari. Premeu D'acord

El punt C que ha aparegut és només un punt auxiliar per delimitar millor la direcció que ha determinat l'angle.

4

Universitat Pompeu Fabra Diploma de postgrau en Matemàtiques per a la Secundària

Trieu l'eina Semirecta que passa per dos punts i cliqueu sobre A i després sobre C.

Trieu l'eina Circumferència donats el centre i el radi i feu clic sobre el punt A. Entreu com a radi b, que és el nom del segon punt lliscant.

Trieu l’eina Intersecció de dos objectes i moveu el cursor fins que la semirecta i la circumferència quedin seleccionades. Aleshores feu clic i apareixerà el tercer vèrtex.

Trieu ara l’eina Polígon i cliqueu sobre els tres vèrtexs acabant pel primer. Ja teniu el triangle dibuixat.

Feu invisibles el punt auxiliar C, la circumferència i la semirecta.

Accediu a Edita | Propietats per acabar els últims detalls.

A partir d’aquí, podeu fer servir l’eina nova que havíeu creat (recupereu-la) per comprovar el teorema de Pitàgores.

Punts lliscants i girs: àrea d’un trapezi

Una de les aplicacions més directes dels punts lliscants en geometria són els girs. Vegem-ne un exemple.

En aquesta pràctica fareu servir un punt lliscant per justificar el càlcul de l’àrea d’un trapezi a partir de l’àrea d’un paral·lelogram.

Trieu l’eina Punt lliscant. Cliqueu a la part superior de l’interior de la finestra gràfica. Activeu l’opció angle i feu que els possibles valors vagin de 0º a 180º. Per fer-ho no

esborreu el símbol dels º perquè és necessari. Premeu Aplica.

Passem a dibuixar un trapezi.

Dibuixeu un segment horitzontal AB. Dibuixeu un punt fora del segment, que quedi per sobre. Serà el punt C. Dibuixeu una paral·lela al segment AB que passi per C. Fixeu un punt sobre aquesta paral·lela. Serà el punt D. Amb l’eina Polígon, dibuixeu el polígon ABCD. Feu invisibles la recta paral·lela i les etiquetes dels costats.

A continuació, dissenyareu un gir centrat en el punt mitjà del costat lateral de la dreta.

5

Universitat Pompeu Fabra Diploma de postgrau en Matemàtiques per a la Secundària

Trieu l’eina Punt mitjà o centre i cliqueu sobre els vèrtexs extrems del costat lateral de la dreta. Apareix el punt E.

Trieu l’eina Gira un objecte al voltant d’un punt un determinat angle i cliqueu, consecutivament, al centre del trapezi, i sobre el punt E, per indicar que volem moure el polígon amb un gir de centre E. Cal fixar l’angle del gir: a la finestra que ha sortit, esborreu el 45º i entreu , fent servir el desplegable de la dreta. Premeu Aplica.

Sembla que no ha canviat res, però si, amb l’eina Mou, feu variar el punt lliscant observareu com una còpia del trapezi gira i queda situada de tal manera que ara tenim un paral·lelogram d’àrea doble.

Podeu acabar fent invisibles les etiquetes dels costats del segon trapezi i dibuixant una altura en el trapezi original. Noteu que podeu canviar el trapezi original, desplaçant alguns dels seus vèrtexs, i el segon trapezi també queda modificat.

Punts lliscants i translacions: visualització de la suma dels angles d’un triangle

En aquest cas utilitzareu un punt lliscant per fer una translació.

Deixeu visible, momentàniament, els eixos. Dibuixeu dos punts (A i B) sobre l’eix d’abscisses. D’aquesta manera ens assegurem

que el segment AB sempre serà horitzontal. Feu invisibles els eixos. Trieu l’eina Polígon i dibuixeu un triangle, aprofitant els vèrtex A i B. Feu invisibles

les etiquetes dels costats. Creeu un punt lliscant que representi la variació d’un angle des de 0º fins a 360º. Feu-ne un altre que sigui numèric i que pugui variar de 0 fins a 2. Aquest serà el

punt lliscant que ens definirà la translació. Trieu l’eina Punt mitjà o centre i cliqueu sobre els punts C i B. Apareix el punt D. Trieu l’eina Gira un objecte al voltant d’un punt un determinat angle i cliqueu,

consecutivament, al centre del triangle, i sobre el punt D. Fixeu l’angle del gir igual a i trieu l’opció Sentit horari.

6

Universitat Pompeu Fabra Diploma de postgrau en Matemàtiques per a la Secundària

Si feu variar el punt lliscant de l’angle, veureu com una còpia del triangle gira i podeu fer coincidir la còpia del vèrtex A amb el B, just quan l’angle és igual a 180º. A continuació fareu la translació.

Definiu el vector de la translació: escriviu a la casella inferior anomenada Entrada l’expressió v = d*Vector[A, B] i premeu Intro. Aquesta expressió defineix el vector v com el producte de l’escalar d ( punt lliscant) i el vector AB.

Trieu l’eina Trasllada un objecte segons un vector i cliqueu sobre el centre del triangle original i, després, sobre el vector v.

Feu variar el punt lliscant d fins que es visualitzi que la suma dels angles fa 180º.

Acabeu amb els detalls estètics que facin més atractiva la figura.

Exercicis

1. Construïu un triangle donats dos costats i l’angle oposat a un d’ells, fent servir punts lliscants. Analitzeu les diferents solucions possibles.

2. Construïu un paral·lelogram amb punts lliscants

3. Justifiqueu, fent servir punt lliscants, l’àrea d’un paral·lelogram qualsevol, a partir de l’àrea d’un rectangle.

4. Dissenyeu una pràctica, fent servir un punt lliscant, per estudiar gràficament les raons trigonomètriques dels angles situats en una circumferència trigonomètrica.

7