( เรอง วงกลม )*

ชดท 5

( เรอง วงกลม )*

โดย วาท ร.ต. อนนต ยอดภญญาณ

วชาคณตศาสตรเพมเตม ค 30205

วชาคณตศาสตรเพมเตม ค 30205

ผงความคดสรปเนอหาการเรยนการสอน

คาบทผานมา ทฤษฎเกยว

กบวงกลม (ตอ)

มมในสวนของวงกลม

สวนเดยวกนยอมเทากน

บทกลบมมทมขนาดเทากน ตงอยบนฐานเดยวกน และ

อยบนขางเดยวกน จดยอดของมมทงสองจะ

อยบนเสนรอบวงของวงกลม

ซงมฐานเปนคอรด

ถารปสเหลยมทแนบในวงกลม

มมตรงขามของรปสเหลยมรวมกนได

สองมมฉากบทแทรก

ถาตอดานใดดานหนงของรปสเหลยมใดๆ ทแนบในวงกลมออกไป มมภายนอกทเกดขน

ยอมเทากบมมภายในทอยตรงขาม

วงกลม(ตอ)

< จดประสงคการเรยนร

1. นกเรยนสามารถพสจนบทกลบของทฤษฎบทท 47 ได

2. นกเรยนสามารถนำาความรจากผลการพสจนทฤษฎบทใน ขอ 1 ไปใชแกปญหาได

3. นกเรยนสามารถสรางแบบจำาลองทางเรขาคณตเพอใชใน การแกปญหาได

< บทนยาม

บทนยาม 1.

ถาวงกลมวงหนงผานจด 4 จด (หรอมากกวา) ไดครบทกจด เรยกจดเหลานนวา “รวมวงกลมเดยวกน” (Concyclic)

บทนยาม 2.

รปสเหลยม ซงมวงกลมผานจดยอดไดครบทกจด เรยกวา เปนรปสเหลยมซงมวงกลมลอมรอบได (Cyclic) หรอเรยกวาเปน รปสเหลยมซงแนบในวงกลมได

< ทฤษฎเกยวกบวงกลม

บทกลบของทฤษฎบทท 47

รปสเหลยมซงมมตรงขามรวมกนเทากบสองมมฉาก เปน รปสเหลยมซงวงกลมลอมรอบได A

B

E

D

C

กำาหนดใหจะตองพสจนวาพสจน

บทพสจนบทกลบของทฤษฎบทท 47

ให ABCD เปนรปสเหลยมใดๆ ซงม + = จด A, B, C และ D รวมวงกลมเดยวกน

∧ABC

∧ADC 180

รปสเหลยมซงมมตรงขามรวมกนเทากบสองมมฉาก เปนรปสเหลยมซงวงกลมลอมรอบไดA

B

D

C

E

ซ.ต.พ.

เหตผลขอความพสจน1. เขยนวงกลมผานจด A, B, C 2. ถาวงกลมไมผานจด D ยอมตด หรอสวนตอ ของ ทจดๆ หนง สมมตวาเปนจด E ลาก

1. วงกลมยอมผานจด 3 จด ซงไมอยใน เสนตรงเดยวกน 2. วงกลมยอมตดสวนของเสนตรงได ไมเกน 2 จด 3. + = 3. มมตรงขามของรปสเหลยมทแนบใน วงกลมรวมกนได 4. + = 4. โจทยกำาหนดให

5. + = + 5. ตางกรวมกนได 6. ∴ = 6. สมบตการบวกและผลจาก

ขอ 5. 7. ∴ จด E ทบ จด D 7. มมทมขนาดเทากนยอมทบกนสนท

บทพสจนบทกลบของทฤษฎบทท 47

8. ∴ D อยบนเสนรอบวง ซงผานจด A, B, C

8. ผลจากขอ 1., ขอ 2. และ ขอ 7. 9. ∴ จด A, B, C และ D รวม

วงกลมเดยวกน 9. ผลจากขอ 8.

ADAD CD∧

ABC∧

AEC 180180

∧ABC

∧ADC 180

∧ABC

∧AEC

∧ABC

∧ADC 180

∧AEC

∧ADC

A

B

E

D

C

1. ABCD เปนรปสเหลยมทแนบในวงกลม ถา และ

จงพสจนวา ABCD เปนรปสเหลยมผนผา

กำาหนดให

จะตองพสจนวาพสจน

เอกสารฝกหดชดท 5

ให ABCD เปนรปสเหลยมแนบในวงกลมทม O เปนจดศนยกลางABCD เปนรปสเหลยมผนผา

AB CD BC AD

AB CD BC AD

O

โดยท และ

A B

D C

ซ.ต.พ.

เหตผลขอความพสจน1. // และ 2. + =

1. โจทยกำาหนดให 2. มมตรงขามของรปสเหลยมทแนบใน วงกลมรวมกนได 3. + = 3. ผลบวกของมมภายในบนขางเดยวกนของ เสนตดเสนขนานเทากบ 4. + = + 4. ตางกรวมกนได

5. ∴ = 5. สมบตการบวกและผลจากขอ 4. 6. + = 6. เหมอนขอ 3.

7. ∴ = =

7. ผลจากขอ 5. และขอ 6.

เอกสารฝกหดชดท 5

8. ∴ = = =

8. พสจนทำานองเดยวกนกบขอ 1. ถงขอ 7. 9. ∴ ABCD เปนรปสเหลยม

ผนผา 9. ผลจากขอ 1., ขอ 5. และขอ 8.

AB CD BC AD∧

ABC∧

ADC 180180

∧BCD

∧ADC 180

180∧

ABC∧

ADC∧

BCD∧

ADC 180∧

ABC∧

BCD∧

ABC∧

BCD 180∧

ABC∧

BCD 90∧

BCD∧

ADC∧

BAD 90

A B

D C

O

2. ABC เปนรปสามเหลยมทแนบในวงกลม O , D เปนจดกงกลางของ ลาก

พบกบ ทจด Eจงพสจนวา A, B, O และ E เปนจดบนวงกลมเดยวกน (Concyclic)

กำาหนดให

จะตองพสจนวาสรางเพอการพสจนพสจน

เอกสารฝกหดชดท 5

ให ABC เปนรปสามเหลยมทแนบในวงกลมทม O เปนจดศนยกลาง

A, B, O และ E เปนจดบนวงกลมเดยวกน

BC DOAC

BC DOAC

ลาก และ BO CO

O

D เปนจดกงกลางของ ลาก ไปทาง O พบกบ ทจด E

A

B C

|| ||

D

E

(มตอ)

เหตผลขอความพสจน BO = CO DO = DO

1. รศมวงกลมเดยวกน 2. เปนดานรวม

BD = CD

3. D เปนจดกงกลางของ

1. ด.2. ด.3. ด.

4. ∴ BOD ≅ COD

4. มความสมพนธแบบดาน-ดาน-ดาน

เอกสารฝกหดชดท 5

5. ∴ = หรอ = 2

5. ผลจากขอ 4. 6. = 2 6. มมทจดศนยกลางมขนาด

เปนสองเทาของ มมทเสนรอบวงทอยบนสวนโคงเดยวกน

BC

∧BOD

∧COD

∧BOC

∧BOD

∧BOC

∧BAC

O

|| ||

A

B CD

E

O

A

B C

x

2x

ซ.ต.พ.

เหตผลขอความพสจน

7. 2 = 2 8. = หรอ

7. ตางกมขนาดเทากบ 8. สมบตการคณ

9. + = 9. มมประชดบนเสนตรง 10. + = 10. แทนคา ดวย

เอกสารฝกหดชดท 5

11. ∴ A, B, O และ E เปนจดบนวงกลมเดยวกน

11. มมตรงขามรวมกนได

O

|| ||

A

B CD

E

O

A

B C

x

2x

∧BOD

∧BAC

∧BOC

∧BOD

∧BAC

∧BAE

∧BOD

∧BOE 180

∧BAE

∧BOE 180

∧BOD

∧BAE180

3. และ เปนคอรดของวงกลมซงตอออกไปพบกนภายนอกทจด X ถา

จงพสจนวา BX = DX และ AX = CX

กำาหนดให

จะตองพสจนวาพสจน

เอกสารฝกหดชดท 5

ให และ เปนคอรด 2 คอรดของวงกลมทม O เปนจดศนยกลาง ซงตอออกไปพบกนภายนอกวงกลมทจด X1. BX = DX 2. AX = CX

AB CDBD AC

AB CD

BD AC

O

ทำาให

A

C

D

BX

ซ.ต.พ.

เหตผลขอความพสจน1. // 2. = และ =

1. โจทยกำาหนดให 2. มมสมนยกนของ

3. = และ =

3. มมภายนอกของรปสเหลยมทแนบใน วงกลมเทากบมมภายในทอยตรงขาม

4. = และ =

4. ผลจากขอ 2. และขอ 3. 5. ∴ BX = DX และ AX = CX

5. ในรปสามเหลยมใดๆ ดานทอยตรงขาม กบมมทเทากนยอมยาวเทากน

เอกสารฝกหดชดท 5

BD AC∧

CAX∧

DBX∧

BDX∧

ACX BD AC∧

CAX∧

BDX∧

BDX∧

CAX

∧DBX

∧BDX

∧ACX

∧CAX

O

A

C

D

BX

4. ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว ม เปนฐาน ถา เปนเสนเชอมดานสองดาน

และขนานกบฐาน จงพสจนวา B, C, X และ Y อยบนเสนรอบวงของวงกลมเดยวกน

กำาหนดให

จะตองพสจนวาพสจน

เอกสารฝกหดชดท 5

ให ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว ม เปนฐาน จด B, C, X และ Y อยบนเสนรอบวงของวงกลมเดยวกน

BC XY

BC XYBC

A

B C

เปนเสนเชอมดานสองดานและขนานกบ

Y X

ซ.ต.พ.

เหตผลขอความพสจน

1. = 2. + =

1. มมทฐานของรปสามเหลยมหนาจว 2. มมภายในบนขางเดยวกนของเสนตดเสน ทขนานกน 3. + = 3. แทนคา ดวย

4. ∴ จด B, C, X และ Y อยบนเสนรอบ วงของวงกลมเดยวกน

4. รปสเหลยมทมมมตรงขามรวมกนได ยอมมวงกลมลอมรอบได

เอกสารฝกหดชดท 5

∧ABC

∧ACB

∧ABC

∧BYX 180

∧ACB

∧BYX 180

∧ABC

∧ACB

180

A

B C

Y X

ม //

5. ABCD แนบในวงกลม ถา จงพสจนวา AC = BD

กำาหนดให

จะตองพสจนวาพสจน

เอกสารฝกหดชดท 5

ให ABCD แนบในวงกลมทม O เปนจดศนยกลางAC = BD

BC AD

BC AD AC BD

O

D

A

C

B

ลาก และ

ซ.ต.พ.

เหตผลขอความพสจน

= =

3. ตางกมขนาดเทากบ 4. เหมอนขอ 1.

AD = AD

5. เปนดานรวม

3. ม.4. ม.5. ด.

6. ∴ BAD ≅ ACD

6. มความสมพนธแบบมม-มม-ดาน 7. ∴ AC =

BD 7. ผลจากขอ 6.

1. = 1. มมในสวนโคงของวงกลมเดยวกน 2. = 2. มมแยง ( // ม เปนเสนตด) พจารณาใน BAD

และ ACD

∧ADB

∧ACB

∧CAD

∧ACB BC AD AC

∧ADB

∧CAD

∧ACB

∧ABD

∧ACD

O

D

A

C

B

D

A

C

B

|| D

A

C

B

||||

6. ABCD เปนรปสเหลยมใดๆ ม AD = CD , AC = AB และ = 2

จงพสจนวา จด A, B, C และ D เปนจดอยบนเสนรอบวงของวงกลมเดยวกน

กำาหนดให

จะตองพสจนวา

พสจน

เอกสารฝกหดชดท 5

ให ABCD เปนรปสเหลยมใดๆ รปหนง

จด A, B, C และ D เปนจดอยบนเสนรอบวงของวงกลมเดยวกน

∧ABC

∧ACD

∧ABC

∧ACD

A B

CD

ม AD = CD, AC = ABและ

= 2 |

|

||||

(มตอ)

เหตผลขอความพสจน1. ABC และ DAC เปนรปสามเหลยมหนาจว 2. ใน ABC ; =

1. AB = AC และ DA = DC 2. สมบตของรปสามเหลยมหนาจว 3. = 2

3. โจทยกำาหนดให

4. + + =

4. มมภายในรปสามเหลยมรวมกนได 5. + 2 + 2

= 5. แทน และ ดวย 2

เอกสารฝกหดชดท 5

6. ∴ = - 4

6. จากขอ 5. สมบตการบวก 7. ใน DAC ; =

7. เหมอนขอ 2.

∧ACB

∧ABC

∧ABC

∧ACD

∧BAC

∧ABC

∧ACB 180 180

∧BAC

∧ACD

∧ACD 180

∧ABC

∧ACB

∧ACD

∧BAC 180

∧ACD

∧DAC

∧ACD

||

||

|

|

A B

CD

∴

ซ.ต.พ.

เหตผลขอความพสจน

8. = + 9. + = ( + ) + ( + )

8. สวนยอยรวมกนเทากบสวนใหญ 9. สมบตการบวก

10. + = ( + - 4 )

+ ( + 2 )

10. ผลจากขอ 7., ขอ 6., ขอ 2. และขอ 3

11. + = + - 4 + + 2

11. ผลจากขอ 10.

12. ∴ จด A, B, C และ D เปนจดอยบน เสนรอบวงของวงกลมเดยวกน

12. รปสเหลยมใดๆ มมมตรงขามรวมกนได เปนรปสเหลยมทมวงกลมลอมรอบได

เอกสารฝกหดชดท 5

และ = +

=

∧BAD

∧CAD

∧BAC∧

BCD∧

ACD∧

ACB∧

BAD∧

BCD∧

CAD∧

BAC∧

ACD∧

ACB∧

BAD∧

BCD∧

ACD 180∧

ACD∧

ACD∧

ACD∧

BAD∧

BCD∧

ACD 180∧

ACD∧

ACD∧

ACD180

180

||

||

|

|

A B

CD

จบ ชดท 5

< เอกสารฝกหดชดท 5