ginzburg-landau方程式を用いた 横磁界下における...
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時間依存Ginzburg-Landau方程式を用いた 横磁界下における超伝導体内の磁束線についての研究
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2016/09/15 九州工業大学大学院 情報工学府 谷村賢太、
小田部荘司
背景
2
𝐽
𝐵
𝐽c 0
𝐽d 0
𝐵c2
ピンの 濃度
形状・大きさ配置
Ψ = 0 ,𝛼 > 0 𝛽 > 0
𝐽
𝐵 𝐵c2
𝐽c 0
横磁界下での超伝導体内の磁束線において、理論上、磁束線を留めるピンについての様々な条件の違いよって、𝐽cが変化すると予想されている。 しかし、それを確認することは容易ではない。
研究目的
本研究では、簡易化した３次元の時間依存Ｇ-Ｌ方程式をシミュレーションを用いて解
くことによって、横磁界下での超伝導体内の磁束線において、ピンの濃度、形状・大きさ、配置、境界条件の違いが𝐽cにどのような影響を与えるのかについて調査を行う。
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GL方程式・TDGL方程式
• Ginzburg-Landau(GL)方程式 • 超伝導を説明する現象論 • オーダーパラメータ𝛹を計算 • 𝛹 2:超伝導電子密度
• 時間依存GL(TDGL)方程式 • GL方程式に時間依存性を付与したもの
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超伝導 電子密度
磁束密度
シミュレーションモデル
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■形状
・真空に囲まれた超伝導体を仮定
・一辺の長さ10𝜉の立方体空間を考慮
・球型のピン（直径：𝜉）
・隣り合ったピンの中心間隔：4𝜉
※軸設定は右図のとおり
𝑥
𝑦
𝑧 10𝜉
4𝜉
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シミュレーションモデル
𝑥
𝑦
𝑧
■電流密度𝐽・磁束密度𝐵 ・𝐽 = 𝐽𝑦𝒊𝑦, 𝐵 = 𝐵𝑧𝒊𝑧 ∴ 𝐽 ⊥ 𝐵 （𝒊𝑥, 𝒊𝑦, 𝒊𝑧:それぞれの軸の単位ベクトル）
■初期条件 ・𝛹 𝑡 = 0 = cos𝜃 + i sin𝜃 ・𝑉 𝑡 = 0 = −𝐽𝑦/𝜎
■境界条件 ・𝒏 ∙ 𝛻𝛹 + i𝑨𝛹 = 0 ・𝛻𝑉 = −𝑱/𝜎 ※𝒏：面に垂直な単位ベクトル
𝐽
𝐵
プロットについて ● 𝛹 2についてのプロット
・ 𝛹 2 ≤ 0.1の等位面により磁束線の構造を表示 ・位相に準じて色分け
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0
2𝜋
𝜋
TDGL方程式の簡易化
1. 非常に細い超伝導体を仮定 2. TDGL方程式でパラメータを規格化
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1. 非常に細い超伝導体を仮定
全体に磁界が進入するほどの超伝導体を仮定
ベクトルポテンシャルが磁界に支配される
ベクトルポテンシャルが磁界に依存する変数
具体的には 𝑨 = 𝐵ext𝑦𝒊𝑦 𝑩 ⊥ 𝑱 (𝑱 = 𝐽𝑦𝒊𝑦)
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２． TDGL方程式でパラメータを規格化
𝜕𝛹𝜕𝑡
+ i𝑉𝛹 + −i𝛻 − 𝑨 2𝛹 − 𝛹 + 𝛹 2𝛹 = 0
※ 23
32 1
2 𝐽c𝐽 → 𝐽となるため𝐽 < 2
3
32 1
2 ≈ 0.385に設定
1𝜉𝑥 → 𝑥,
𝛼𝛾𝑡 → 𝑡,
2𝑒𝛾𝛼
𝑉 → 𝑉,
12𝜅𝐵c𝜉
𝑨 → 𝑨, 𝛽𝛼
12𝛹 → 𝛹
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実際に解く方程式 𝜕𝛹𝜕𝑡
+ i𝑉𝛹 + −i𝛻 − 𝑨 2𝛹 − 𝛹 + 𝛹 2𝛹 = 0
𝜎𝛻2𝑉 =i2𝛹∗𝛻2𝛹 − 𝛹𝛻2𝛹∗ − 𝛻 ∙ ( 𝛹 2𝑨)
𝑱s =i2𝛹∗𝛻𝛹 − 𝛹𝛻𝛹∗ − 𝛹 2𝑨, 𝑱n = −𝜎𝛻𝑉
第一方程式：超伝導領域の𝛹について 第二方程式：𝑉について
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※常伝導領域は強制的に𝛹 = 0
12
シミュレーション結果
上部臨界磁界 𝐵c2
0 0.5 10
0.1
0.2
0.3
B
J
0.385
𝑬 = −𝛁𝑉
𝐸
𝐽 0 0.1 0.2 0.3
0
0.1
0.2
𝐵 = 0.1
0.25
0.7
𝐵 = 0.25~0.7まで0.05刻み グラフ１番下の曲線は𝐵 = 0.1
𝐸-𝐽特性
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常伝導部𝛹 = 0の シミュレーションの問題点
常伝導部分で強制的に オーダーパラメータ𝛹 = 0
非常に強いピン 現実的でない
常伝導部の𝛹 = 0に代わる方程式の導入
𝜕𝛹𝜕𝑡
+ i𝑉𝛹 + −i𝛻 − 𝑨 2𝛹 + 𝜂𝛹 = 0 , 𝜂 =𝜉𝜉n
2
実際に解く方程式 𝜕𝛹𝜕𝑡
+ i𝑉𝛹 + −i𝛻 − 𝑨 2𝛹 − 𝛹 + 𝛹 2𝛹 = 0
𝜕𝛹𝜕𝑡
+ i𝑉𝛹 + −i𝛻 − 𝑨 2𝛹 + 𝜂𝛹 = 0 , 𝜂 =𝜉𝜉n
2
𝜎𝛻2𝑉 =i2𝛹∗𝛻2𝛹 −𝛹𝛻2𝛹∗ − 𝛻 ∙ ( 𝛹 2𝑨)
𝑱s =i2𝛹∗𝛻𝛹 − 𝛹𝛻𝛹∗ − 𝛹 2𝑨, 𝑱n = −𝜎𝛻𝑉
第一方程式：超伝導領域の𝛹について 第二方程式：常伝導領域の𝛹について 第三方程式：𝑉について 15
𝜉n：常伝導領域のコヒーレンス長
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2𝑑n 2𝑑s
常伝導 超伝導
0 𝑑n 𝑑n + 𝑑s 𝑥
E.S. Otabe and T. Matsushita, Cryogenics (1993) 33 531-540
𝜂 = 0.4
𝑥
𝛹 2
近接効果
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.2
0.4
0.6
0.8
1
0.8
1.2
1.6 2.0
𝜂 =𝜉𝜉n
2
𝑑n: 0~0.6 𝑑s: 0.6~3 𝑑n 𝑑s
規格化 1𝜉 𝑥 → 𝑥
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𝑥
𝜂 = 1.2
𝑥
𝜂 = 2.0
規格化 1𝜉 𝑥 → 𝑥
図の実線は過去の研究から引用*、 点線はTDGLシミュレーション
𝑑n: 0~0.6 𝑑s: 0.6~3
𝛹 2 𝛹 2
𝜂 = 0.4
𝑥
𝛹 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.2
0.4
0.6
0.8
1
0.8
1.2
1.6 2.0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
(*)E.S. Otabe and T. Matsushita, Cryogenics (1993) 33 531-540
𝑥
𝜂 = 1.6
𝛹 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
18
𝑥
𝜂 = 0.4
𝑥
𝜂 = 0.8
𝛹 2 𝛹 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
(*)E.S. Otabe and T. Matsushita, Cryogenics (1993) 33 531-540
規格化 1𝜉 𝑥 → 𝑥
図の実線は過去の研究から引用*、 点線はTDGLシミュレーション
𝜂 = 0.4
𝑥
𝛹 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.2
0.4
0.6
0.8
1
0.8
1.2
1.6 2.0
𝑑n: 0~0.6 𝑑s: 0.6~3
まとめ • 簡易化した３次元のTDGL方程式をシミュレーションを用いて
解いて、𝐽c-𝐵特性を明らかにした。 • 常伝導部𝛹 = 0に代わる方程式を導入し、近接効果が表現
できていることを確認した。 • 常伝導部の配置や大きさなどを変更して𝐽c-𝐵特性を調査す
る必要がある
19 0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
B
J
0.385