磁性・超伝導

Ginzburg-Landau理論

Josephson 効果

2017/1/20

Landauの相転移理論

秩序パラメータ 𝜓(𝒓)を導入する

𝜓が有限＝秩序がある 相転移 : 𝜓がゼロから有限になる

最も簡単な例：𝐹 = 𝑟𝜓2 +1

2𝑢𝜓4

Ginzburg-Landau理論

𝜓∗ 𝒓 𝜓 𝒓 = 𝑛s(𝒓)

ns(r):局所的な超伝導電子密度

① 典型的な2次転移のLandau形式 ② 秩序パラメータの空間変化によるエネルギーの増加 ③ 超伝導体から磁束を排除したことによるエネルギーの増加

𝐹𝑠 𝒓 − 𝐹𝑛 𝒓 = −𝛼 𝜓2 + 𝛽 𝜓4 +

1

2𝑚−𝑖ℏ𝛻 −

𝑞𝐴

𝑐𝜓

2

− 𝑴 ∙ 𝑑𝑩𝑎

𝐵𝑎

0

① ② ③

GL理論によりnsの局所的な変化を扱える

Fsが極小となる条件を求める

1

2𝑚−𝑖ℏ𝛻 −

𝑞𝐴

𝑐

2

− 𝛼 + 𝛽 𝜓 2 𝜓 = 0 (GL方程式)

Hc2またはTc付近では 𝜓2 ~ 0と近似できるのでGL方程式は

1

2𝑚−𝑖ℏ𝛻 −

𝑞𝐴

𝑐

2

𝜓 = 𝛼𝜓 (線形化されたGL方程式)

𝐻c2 = 2𝜅𝐻c : 𝜅 =𝜆

𝜉

Ba

-4p

M

Hc

-4p

M

Ba Hc Hc1 Hc2

第I種超伝導体 第II種超伝導体

超伝導 超伝導 常伝導

渦糸状態 (混合状態)

完全反磁性

常伝導

完全反磁性

渦糸状態

常伝導 𝜅 =

𝜆

𝜉<1

2 𝜅 =

𝜆

𝜉>1

2

𝐻c2 = 2𝜅𝐻c

渦糸状態

表面エネルギー 正

表面エネルギー 負

界面をたくさん作ったほうが安定

第II種超伝導体において Hc1 < H < Hc2 で安定

常伝導的な状態

H. F. Hess et al., Phys. Rev. Lett. 62, 214 (1989)

Hc1 : 下部臨界磁場

• 渦糸が１つ入る磁場 • 広がりはpl2程度 • 磁束は量子化される

∴ 𝜙0≈ 𝐻c1 × 𝜋𝜆2

𝐻c1≈𝜙0𝜋𝜆2

Hc2 : 上部臨界磁場

• 渦糸が超伝導体を埋め尽くす磁場 (= xの許す範囲で密に詰める) • 広がりはpx2程度 • 磁束は量子化される

∴ 𝜙0≈ 𝐻c2 × 𝜋𝜉2

𝐻c2≈𝜙0𝜋𝜉2

コヒーレンス長～渦糸半径 ～ 層境界の厚み

2𝜉

渦糸コアのエネルギーは 𝑓core ≈1

8𝜋𝐻c2 × 𝜋𝜉2

周りの超伝導体への 磁場侵入のエネルギーは 𝑓mag ≈ −

1

8𝜋𝐵a2 × 𝜋𝜆2

𝑓 = 𝑓core + 𝑓mag ≈1

8𝐻c2𝜉2 − 𝐵a

2𝜆2 一本の渦糸に対して

Hc とHc1, Hc2の関係を定性的に導く．

Hc1でf = 0 なので 𝐻c2𝜉2 −𝐻c1

2 𝜆2 ≈ 0 ∴ 𝐻c1/𝐻c ≈ 𝜉/𝜆 = 1/𝜅

𝐻c1≈𝜙0𝜋𝜆2

𝐻c2≈𝜙0𝜋𝜉2

, であるから 𝜋𝜉𝜆𝐻c ≈ 𝜙0

𝐻c1𝐻c2 ≈ 𝐻c

𝐻c2 ≈ 𝜆/𝜉 𝐻c = 𝜅𝐻c

トンネル効果(Tunneling)

金属/絶縁体/金属接合において絶縁体が十分に薄い(10Å以下)とき電子が有意な確率で透過する．

オームの法則的 曲線的（オームの法則からはずれる）

状態密度

超伝導体にはエネルギーギャップ2Dが存在．通常金属ではEF付近の狭い領域で状態密度は変化しない．

絶対零度 V = Eg/2e = D/eを印可するまで電流は流れない．

有限温度

常伝導電子が熱的に励起されているため電流が流れる．

ジョセフソン効果(Josephson effect) 1972年ノーベル賞

S S I 弱連結(weak link)を通したクーパー対のトンネル現象

直流ジョセフソン効果 (dc Josephson effect)

交流ジョセフソン効果 (ac Josephson effect)

電場，磁場なし．接合に抵抗ゼロで直流電流が流れる．

直流電圧印可 → 接合でのrf電流発振（ℏ/𝑒の正確な測定） 交流（rf)電圧印可 → 接合に直流電流が流れる．

2の接合を含む超伝導回路．印可された磁場の関数として臨界電流が振動するので磁場を超高感度で測定可能

巨視的な超範囲量子力学的干渉効果 (macroscopic long-range quantum interference)

直流ジョセフソン効果 (dc Josephson effect)

𝑖ℏ𝜕𝜓1

𝜕𝑡= ℏ𝑇𝜓2, 𝑖ℏ

𝜕𝜓2

𝜕𝑡= ℏ𝑇𝜓1

ℋ𝜓 = 𝑖ℏ𝜕𝜓

𝜕𝑡 ： 時間依存するシュレディンガー方程式

𝜓1,2 ∶ 電子対の確率振幅, ℏ𝑇 : 移動相互作用

S S I

𝜓1 𝜓2

𝜓1 = 𝑛1𝑒𝑖𝜃1 , 𝜓2 = 𝑛2𝑒

𝑖𝜃2とおく

𝜕𝜓1

𝜕𝑡=

1

2𝑛1

𝜕𝑛1

𝜕𝑡𝜓1 + 𝑖𝜓1

𝜕𝜃1

𝜕𝑡= −𝑖𝑇𝜓2

ここで 𝜓1∗𝜓1 = 𝑛1, 𝜓1

∗𝜓2 = 𝑛1𝑛2𝑒𝑖𝛿 𝛿 ≡ 𝜃2 − 𝜃1

𝜓1∗𝜕𝜓1𝜕𝑡

=1

2

𝜕𝑛1𝜕𝑡+ 𝑖𝑛1

𝜕𝜃1𝜕𝑡= −𝑖𝑇 𝑛1𝑛2𝑒

𝑖𝛿

両辺の実部と虚部がそれぞれ等しい

𝐽 = 𝐽0 sin 𝛿 = 𝐽0 sin 𝜃2 − 𝜃1

𝜕𝑛1

𝜕𝑡= 2𝑇 𝑛1𝑛2 sin 𝛿,

𝜕𝜃1

𝜕𝑡= −𝑇

𝑛2

𝑛1cos 𝛿

同様にして

1

2

𝜕𝑛1𝜕𝑡+ 𝑖𝑛1

𝜕𝜃1𝜕𝑡= −𝑖𝑇 𝑛1𝑛2𝑒

𝑖𝛿 = −𝑖𝑇 𝑛1𝑛2 cos 𝛿 + 𝑇 𝑛1𝑛2 sin 𝛿

𝜕𝑛2

𝜕𝑡= −2𝑇 𝑛1𝑛2 sin 𝛿,

𝜕𝜃2

𝜕𝑡= −𝑇

𝑛1

𝑛2cos 𝛿

𝜕𝑛1

𝜕𝑡= −

𝜕𝑛2

𝜕𝑡

𝑛1 ≅ 𝑛2とすると

𝜕𝜃1

𝜕𝑡=𝜕𝜃2

𝜕𝑡 ∴

𝜕

𝜕𝑡𝜃2 − 𝜃1 = 0

𝐽 ∝𝜕𝑛2

𝜕𝑡 なので

交流ジョセフソン効果 (ac Josephson effect)

電圧V が接合に印可されているとすると， クーパー対の感じるポテンシャルエネルギーの差はqV ポテンシャルエネルギーをeVと-eVに定めると

𝑖ℏ𝜕𝜓1

𝜕𝑡= ℏ𝑇𝜓2 − 𝑒𝑉𝜓1, 𝑖ℏ

𝜕𝜓2

𝜕𝑡= ℏ𝑇𝜓1 + 𝑒𝑉𝜓2

直流の場合と同様にして

𝜕𝑛1

𝜕𝑡= 2𝑇 𝑛1𝑛2 sin 𝛿,

𝜕𝜃1

𝜕𝑡=𝑒𝑉

ℏ− 𝑇

𝑛2

𝑛1cos 𝛿

𝜕𝑛2

𝜕𝑡= −2𝑇 𝑛1𝑛2 sin 𝛿,

𝜕𝜃2

𝜕𝑡= −

𝑒𝑉

ℏ− 𝑇

𝑛1

𝑛2cos 𝛿

𝐽 = 𝐽0 sin 𝛿 0 − 2𝑒𝑉𝑡/ℏ

• 𝐽が𝜔 = 2𝑒𝑉/ℏの周期で振動する(483.6 GHz/mV)． • ℏ𝜔 = 2𝑒𝑉の光子が放出/吸収される． • ℏ/𝑒の非常に正確な値の測定 • 物理定数のみで決まる → 電圧標準

∴ 𝛿 𝑡 = 𝛿0 −2𝑒𝑉𝑡

ℏ

𝜕𝑛1

𝜕𝑡= 2𝑇 𝑛1𝑛2 sin 𝛿,

𝜕𝜃1

𝜕𝑡=𝑒𝑉

ℏ− 𝑇

𝑛2

𝑛1cos 𝛿

𝜕𝑛2

𝜕𝑡= −2𝑇 𝑛1𝑛2 sin 𝛿,

𝜕𝜃2

𝜕𝑡= −

𝑒𝑉

ℏ− 𝑇

𝑛1

𝑛2cos 𝛿

𝑛1 ≅ 𝑛2とすると 𝜕

𝜕𝑡𝜃2 − 𝜃1 =

𝜕𝛿

𝜕𝑡= −

2𝑒𝑉

ℏ

𝜕𝑛1

𝜕𝑡= −

𝜕𝑛2

𝜕𝑡

2𝑒𝑉/ℏで振動

𝜃2 − 𝜃1 =2𝑒

ℏ𝑐𝜙

位相の量子化

𝛿a = 𝛿0 +𝑒

ℏ𝑐𝜙, 𝛿b = 𝛿0 −

𝑒

ℏ𝑐𝜙

∴ 𝛿a − 𝛿b =2𝑒

ℏ𝑐𝜙

𝛿a,b : a, bを通った時の1-2の位相差

𝐽total = 𝐽0 sin 𝛿0 +𝑒

ℏ𝑐𝜙 + sin 𝛿0 −

𝑒

ℏ𝑐𝜙 = 2 𝐽0 sin 𝛿0 cos

𝑒𝜙

ℏ𝑐

𝑒𝜙

ℏ𝜋= 𝑠𝜋の時に J 極大

巨視的な量子力学的干渉効果

超伝導量子干渉計 (Superconducting QUantum Interference Device)

超高感度の磁束計への応用

巨視的な超範囲量子力学的干渉効果

SQUID

C. Kittel 固体物理学入門

1. 磁性イオンの電子の占有数を与えられたときに，フントの規則を利用して

スペクトル項が出せるようにすること

2. フントの3つの規則と物理的意味が説明できるようにすること

3. 多重度２Ｊ＋１＝２（Ｊ＝１／２）が与えられたときに状態和Ｚ，自由エ

ネルギーＦ=kBTlnZ，磁化Ｍを計算できるようにすること

4. 常磁性に種類（ランジバン常磁性，パウリ常磁性，バン・ブレック常磁性，

反磁性）の定性的な説明ができるようにすること

5. マイスナー効果について説明できるようにすること

6. 超伝導体内への磁場の浸透についてロンドンの式を用いて説明できるよう

にすること

7. 第一種超伝導体と第2種超伝導体の違いを物理的意味に言及しながら説明

できること

8. BCS理論による超伝導発現機構を定性的に説明できること

9. ジョセフソン接合とその応用例について説明できること

定期考査のポイント（持ち込みはなし）