gr 11 gatskop wiskunde finaal · 2020. 7. 24. · 6. ab is loodreg op cd 7. pq is ewewydig aan tr...
TRANSCRIPT
GatskopWiskundatskopWiskunWiskundeGatskoskundeGatsk
ppp
GatskopWiskundtskopWiskunGWiskundeGatskopiskundeGats
pppp
GatskopWiskundeskopWiskunWiskundeGatskopundeGatsk
ppp
GatskopWiskundepWiskunp
WiskundeGatskopGatskpp
deopde
p
ko
pnkonsnkonko
epppeeMeetkunde
Oplossings van Meetkundeprobleme: M Smit & M van NiekerkTaalversorging: C Oosthuizen
KopieregDie inhoud van hierdie boek is die intellektuele eiendom van Morné Smit.
Ongemagtige duplisering van enige aard kan lei tot strafregtelike vervolging
Saamgestel deur M. Smit
Uitgegee deur:
Tel: 014 592 6083Cell: 079 092 0519(no sms Vodacom)/063 133 6292(no sms MTN)Email: [email protected]/ www.amaniyah.co.zaISBN 978-1-928528-05-0eISBN 978-1-928528-13-5
Gatskop Wiskunde - Inleiding en eksamen riglyneII
Baie dankie dat jy hierdie meetkundewerkboek aangekoop het. Dit is beslis ‘n goeie belegging in jou
akademiese toekoms. Ek glo en vertrou dat jy baie baat hierby gaan vind.
Hierdie werkboek is spesiaal saamgestel om meetkunde baie makliker en lekkerder vir jou te maak. Uit
jare se ondervinding, weet ek waarmee leerders die meeste sukkel en daarom glo ek in my spesiale
onderrigbenadering wat tot voordeel van alle leerders strek. Werk sorgvuldig deur hierdie werkboek en jy
sal ongetwyfeld die vrugte van sukses in die toetse en eksamens pluk.
Wiskunde is nie ‘n vak vir toeskouers nie. As jy die heeltyd net soos ‘n toeskouer gaan kyk hoe jou
onderwyser of maats die somme doen, gaan jy nooit sukses in wiskunde behaal nie. Jy moet te alle tye
aktief betrokke bly en SELF die somme aanpak en doen. Ek sê altyd vir my leerders: “Al het jy die beste
wiskunde-onderwyser in die hele wêreld … as jy dit nooit SELF inoefen nie, sal jy dit nooit SELF kan doen
nie”.
Alle “verstaanwerk“ het eers ‘n gedeelte “leerwerk” wat jy 100% moet ken. As jy iets in wiskunde nie
verstaan nie, is dit bloot omdat daar seker leergedeeltes (wette, teorieë, stellings ens.) is wat jy nog nie
goed genoeg uit jou kop uit ken nie. Maak te alle tye seker dat jy jou kant bring met die “leerwerk”.
Baie sterkte met jou wiskunde op skool. Onthou: Wiskunde sluit baie deure oop en maak die toekoms vir
jou oop!
Groete.
Morné Smit
Hierdie boek word opgedra aan Henna Cornelius – ‘n baie spesiale ouma wat my nog altyd aangemoedig
en gehelp het om my drome te laat realiseer!
VOORWOORD
Meer oor die outeur …
Mnr. Morné Smit het meer as 15 jaar ervaring in die suksesvolle
onderrig van Wiskunde. Met die graad 11- & 12- eksterne
eksamens tree hy al vir ‘n hele paar jaar as eksaminator,
moderator, adjunkhoof– en hoofnasiener in die provinsie op.
In 2015 wen mnr. Smit die National Teaching Awards en word
aangewys as die beste wiskunde-onderwyser in Suid-Afrika.
GatskopWiskundeatskopWiskunWiskundeGatskopskundeGatsk
ppp
GatskopWiskundetskopWiskunp
GWiskundeGatskopiskundeGatspppp
GatskopWiskundeskopWiskunWiskundeGatskopundeGatsk
ppp
GatskopWiskundepWiskunp
WiskundeGatskopWi k d G t kGatskpp
1
2
3
4
5
6
7
8
INHOUDSOPGAWE
Hoeke binne ‘n sirkel: Omtrekshoeke, Middelpuntshoeke en Hoeke in ‘n semi-sirkel
Inleiding en eksamenriglyne
Hersiening van vorige meetkundige konsepte
Die stelling van Pythagoras
Die lynstukke binne ‘n sirkel
Koordevierhoeke
Oplossings
Raaklyne aan sirkels
1bladsy 1
bladsy 5
bladsy 15
bladsy 19
bladsy 31
bladsy 50
bladsy 73
bladsy 107
2
3
4
5
6
7
8
Gatskop Wiskunde - Inleiding en eksamen riglyne1
Jy moet ALLE stellings en meetkundefeite ken.
Jy moet ALLE stellings en meetkundefeite in diagramme kan toepas.
Jy moet in elke probleem jou EIE bewerings gee en dan die korrekte rede wat jou
bewering ondersteun.
Jy moet 4 stellings foutloos in toetse en eksamens kan bewys. Maak seker jy leer altyd heel eerste jou stellings! Dit is pasella-punte !
In graad 11-sirkelmeetkunde gaan die volgende van jou verwag word:
Euklidiese Meetkunde beteken dat jy nooit
die hoeke of sye mag meet nie, maar dat jy
MEETKUNDE-TEORIE (stellings en feite) gebruik
om die vrae te beantwoord.
Jy mag dus nooit dink jy kan die sye met
‘n liniaal of die hoeke met ‘n gradeboog meet
om die antwoorde van ‘n meetkundeprobleem
te kry nie.
INLEIDING
Feit 1
Feit 2
Feit 3
Feit 4
Moenie meetkunde vir jouself onnodig moeilik
maak nie. As jy al die meetkunde-stellings en
feite ken, is meetkunde ‘n baie makliker afdeling
as algebra.
Wanneer meetkundevrae beantwoord word,
moet daar ‘n BEWERING (dit wat jyself bereken
of aflei) en REDE (dit wat jou berekening of
afleiding ondersteun) gegee word.
Die volgende nasienriglyne is baie belangrik, omdat jou onderwyser(es) dit streng gaan toepas elke keer as hy/sy jou meetkundetoets of –vraestel nasien:
Feit 1 Jou bewering MOET KORREK wees voordat jy ‘n punt vir die rede mag kry. Jy kry geen punte vir ‘n korrekte rede as die bewering verkeerd is nie. Gee dus baie aandag aan die korrekte bewerings.
Jy mag nooit vir enige hoek ‘n bepaalde grootte gee nie. Jy mag byvoorbeeld nie stel dat ‘n sekere hoeke 30° ensovoorts is nie. Jy mag wel ‘n hoekgrootte gelyk stel aan x (of enige ander veranderlike).
Feit 2
Feit 3 Jy gaan altyd ‘n stelling kry om te bewys. Maak seker dat jou konstruksielyn altyd korrek is anders kry jy GEEN punte vir die stelling nie. Dit staan bekend as ‘n “break down ” in wiskunde.
(Die voorgeskrewe stellings waarvan die formele bewyse vir eksamendoeleindes geken moet word, word aan die einde van elke module gegee en bewys).
Gewoonlik verdien elke meetkundefeit/stelling wat jy in graad 11 geleer het twee punte (� bewering en � rede) as dit in ‘n probleem toegepas word. Alle vorige feite/stellings (gr. 8 – 10) verdien slegs een punt as dit in ‘n meetkundeprobleem toegepas word.
Feit 4
2Gatskop Wiskunde - Inleiding en eksamen riglyne
Terminoloige Simbool / Afkorting
HoekHoeke eHoek A ÂHoek A en Hoek B is saam 180° Â+ B̂ =180°Driehoek �SirkelSirkel met middelpunt A ARegoorstaande hoeke regoorst. eTeenoorstaande hoeke teenoorst. eLoodregEwewydig IIKoordevierhoek kvhParallelogram Parm of IIm
Gelykvormige driehoeke �������Middelpunt Midpt.Ooreenkomstige hoeke Ooreenk. eVerwisselende binnehoeke Verw.binne e
T
AANVAARBARE AFKORTINGS EN SIMBOLE IN MEETKUNDE#1
Leer die gebruik van die volgende simbole baie goed:
Gatskop Wiskunde - Inleiding en eksamen riglyne3
Wanneer jy redes gee is daar sekere aanvaarbare afkortings of simbole wat jy mag gebruik. Hier volg ‘n paar van hierdie aanvaarbare afkortings of simbole:
Stelling Aanvaarbare rede1. As twee reguit lyne mekaar sny, is die regoorstaande
hoeke ewe groot.regoorst. e
2. Hoeke op ‘n reguit lyn is saam 180°. e op reguit lyn
3. Die som van die binnehoeke van ‘n driehoek is 180°. binne �������
4. Die buitehoek van ‘n driehoek is gelyk aan die som van die binneste teenoorstaande hoeke.
buite ������
5. As AB II CD dan is die ooreenkomstige hoeke gelyk. ooreenk. e [AB II CD]
6. As AB II CD dan is die KO-binnehoeke saam 180°. ko-binne e [AB II CD]
7. As AB II CD dan is die verwisselende binnehoeke gelyk. verw.binne e[AB II CD]
Graad 8 - Meetkunde
Graad 10 - Meetkunde
Stelling Aanvaarbare rede8. Die lynstuk wat die middelpunte van twee sye van ‘n
driehoek verbind, is ewewydig aan die derde sy en gelyk aan die helfte van die derde sy.
midpt.-stelling
9. Twee driehoeke wat op dieselfde basis en tussen dieselfde ewewydige lyne lê, is gelyk in oppervlakte.
dies.basis;dies. hoogte /
dies.basis;dies. II lyne
Die som van die binnehoeke van ‘n driehoek is 180°. binne �������
10. Die teenoorstaande sye van ‘n parallelogram is gelyk. teenoorst.sye van parm
11. Die teenoorstaande sye van parallelogram is ewewydig. teenoorst.sye van parm
12. Die teenoorstaande hoeke van parallelogram is ewe groot. teenoorst. e van parm
13. Hoeklyne van parallelogram halveer mekaar. hoeklyne van parm
14. Hoeklyn van parallelogram halveer oppervlakte. hoeklyn parm halveer opp.
Stelling Aanvaarbare rede15. Die lyn vanuit die middelpunt van ‘n sirkel loodreg na die
koord, halveer die koord.loodlyn uit midpt. na koord
16. Die lyn vanuit die middelpunt van die sirkel na die middelpunt van die koord, is loodreg op die koord.
lyn midpt. ; midpt. koord
17. Die middelpuntshoek is twee maal die omtrekshoek. midpt. = 2× omtrek
18. Die hoek in halwe sirkel (of semi-sirkel) is 90°. in 1/2
19. Omtrekshoeke onderspan deur dieselfde boog of koord, is gelyk (die STRIKDASSIE).
e in dies. segment
Graad 11 - Meetkunde
4Gatskop Wiskunde - Inleiding en eksamen riglyne
20. Die teenoorstaande hoeke van ‘n koordevierhoek is saam 180°.
teenoorst. e van kvh
21. Die buitehoek van ‘n koordevierhoek is gelyk aan die binneste teenoorstaande hoek.
buite van kvh
22. Die radius van ‘n sirkel is loodreg op die raaklyn. rad
T
raaklyn
23. Die hoek tussen ‘n raaklyn en koord is gelyk aan die hoek in die teenoorstaande sirkelsegment.
raaklyn- koordstelling / tussen raaklyn en koord
24. Die raaklyne getrek vanuit dieselfde punt na die sirkel, is gelyk.
raaklyne vanuit dies. punt
Graad 12 - Meetkunde
Stelling Aanvaarbare rede25. Die lyn ewewydig aan een sy van ‘n driehoek verdeel die
ander twee sye in eweredige dele. (veronderstel AB II CD )
eweredigheid.st [AB II CD]
of lyn II�������
26. As twee driehoeke gelykvormig is, dan is hulle ooreenstemmende sye eweredig.
�������
Skryf die volgende bewerings oor in ‘n verkorte weergawe sodat dit in alle toetse en eksamens aanvaarbaar sal wees:(1 word as voorbeeld vir jou gedoen)
Meetkundige bewerings Aanvaarbare verkorte weer-gawe
1. Die teenoorstaande hoeke van ‘n parallelogram
Die teenoorst. e van ‘n parm
2. Die middelpuntshoek van ‘n sirkel3. Driehoek ABC en driehoek PQR is
gelykvormige driehoeke4. Die binnehoeke van ‘n koordevierhoek5. Die teenoorstaande hoeke van ‘n
koordevierhoek6. AB is loodreg op CD7. PQ is ewewydig aan TR8. Lyn KM is twee keer so lank soos LP9. Lyn AB is die helfte van lyn CD10. Verwisselende binnehoeke 11. Ooreenkomstige hoeke12. Hoek A is net so groot soos hoek B13. Hoek P is drie keer so groot soos hoek M14. Hoek X en Hoek Y is saam 120°15. Die sirkel met middelpunt O
Oefening 11 2 365
4 987
+
-x
_..%
c
.0 =
A Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetkunde5
Hoe benoem ons hoeke?
DA
BC
�1 2
�
AÊD = �Lyne AE en ED vorm die hoek �. Die hoek word by E gevorm en daarom is daar ‘n kappie op die E.(Gly jou vinger van A na E na D… Die middelste letter (E) is waar die hoek gevorm word)
CÊB = �
Lyne CE en EB vorm die hoek �. Die hoek word by E gevorm en daarom is die kappie op die E.(Gly jou vinger van C na E na B… Die middelste letter (E) is waar die hoek gevorm word)
As die hoeke genommer is, is daar ‘n korter manier om die hoeke te skryf:
Ê1 =
Ê2 =
AÊD + CÊB + Ê1 + Ê2 = 360°(omwenteling) / <e om ‘n punt.
HERSIENING VAN BASIESE MEETKUNDE#2
6Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetkunde
Hoeke gevorm deur twee lyne
Soorte hoeke Beskrywing van hoeke
Korrekte meetkundige rede
DA
BC
E�
�
As twee reguit lyne mekaar sny, is die regoorstaande hoeke ewe groot.
A D = C Bregoorst. e
D
A B C
Die AANGRENSENDE hoeke wat op ‘n reguit lyn gevorm word, is SAAM 180° (supplementêre hoeke)
+ = 180°
A D + D C= 180° e op reguit lyn
D
A B C
E
Komplementêre hoeke is SAAM 90°.
+ = 90°
D E + E C = 90°Komplementêre e
A Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetkunde7
Hoeke van ‘n driehoek
Soorte hoeke Beskrywing van hoeke
Korrekte meetkundige rede
A
B C
+ + = 180°
Die binnehoeke van ‘n driehoek is saam 180°.
As jy al die hoeke van ‘n driehoek “afknip”, dan pas als mooi op ‘n reguit lyn.
+ + = 180°Binne e van �
A
B C
������������ ��
Wanneer twee sye van ‘n driehoek gelyk is, is die hoeke teenoor die gely-ke sye ewe groot.
In ‘n gelykbenige driehoek, is twee hoeke altyd ewe groot.
= e teenoor gelyke sye
A
B C
������������ ��
Wanneer al 3 die sye van ‘n driehoek gelyk is, is al 3 die hoeke ewe groot en gelyk aan 60°.
= = = 60°
= = = 60°Gelyksydige �
8Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetkunde
Buitehoek van ‘n figuurDie buitehoek van ‘n figuur is ‘n konsep waarmee die meeste leerders soms klei
trap. Die groot rede is omdat baie leerders net fokus op die “buite”-gedeelte.
is ‘n buitehoek ���������������������
DA
B C
Is NIE ‘n buitehoek NIE ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
D
A
B C
A D = B C + A C ������ ������ )
= +
�������������������������������������������������������������!
+ + "�#$%&������� ����������
������������������������������������'������������!
+ = 180° ( e �'����������
+ = + +
= +
D
A
B C
Die buitehoek van enige driehoek of vierhoek is die hoekwat aan die buitekant teenaan een van die sye van die figuur gevorm word, deur een van die sye van die figuur reguit (met ‘n liniaal) te verleng.
A Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetkunde9
Ewewydige lyne
F)�����������������
>
> =
UKo-binnehoeke
> >
+ = 180°
N*���������������������
> >
=
10Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetkunde
Hoe word lyne ewewydig bewys?
A B
C D
E
G
H
F
����,�����.�����������������/ke ?
)������������2������'�OOREENKOMSTIGE e
��3�"�43.�"�
� ������4�)����������������5� e
�����
x (180 – x)
A
B
C
D
E G
H F
����,�����7�����������������������#$%&�� ?
)������������2������'�
9)/�:;;<� e5�
�3�>��3��"�x + (180° – x���"�180°
� ������4�)���������9)/����� e
�����#$%&�
A B
C D
E
G
H
F
����,�����?�����������������/ke ?
)������������2������'�*<@�:��<A<;4<��:;;<�
�3�"��3G = � ������4
�)�������������5����� e �����
A Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetkunde11
Eienskappe van vierhoekeTrapesium Parallelogram
Ruit (Rhombus) Reghoek
Vierkant Vlieër
1 paar teenoorstaande sye ewewydig.
>
>1area = (som van ewewydige sye) x
T
h2
>
>
>> >>
2 pare teenoorstaande sye is ewewydig.
2 pare teenoorstaande sye is ewe lank.
2 pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
Hoeklyne halveer mekaar.
area = basis x
T
h
>>
>
>>>>
2 pare teenoorstaande sye is ewewydig.Al 4 sye is gelyk.2 pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.Hoeklyne halveer hoeke.Hoeklyne halveer mekaar loodreg.area = basis x
T
h
>
>
>
>> >>
2 pare teenoorstaande sye is ewewydig.2 pare teenoorstaande sye is gelyk.Al 4 hoeke is 90°.Hoeklyne halveer mekaar en is gelyk.area = basis x
T
h
>
>
>
>>>>
2 pare teenoorstaande sye is ewewydig.
Al 4 sye ewe lank.
Al 4 hoeke is 90°.
Hoeklyne is ewe lank.
Hoeklyne halveer mekaar reghoekig en halveer hoeke 45°
area = l x l
2 pare aangrensende sye is ewe lank.
1 paar teenoorstaande hoeke is ewe groot.
Langste hoeklyn halveer hoeke.
Langste hoeklyn halveer kortste hoeklyn reghoekig.
>
1area = (hoeklyn1 x hoeklyn2) 2
12Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetkunde
‘n Segment is die oppervlakte gevorm tussen die koord en die omtrek van die sirkel. ‘n Koord verdeel ‘n sirkel altyd in ‘n groot en klein segment.
‘n Koord is ‘n lynstuk vanaf een punt op die sirkelomtrek na ‘n ander punt op die sirkelomtrek.
‘n Boog is ‘n gedeelte van die omtrek van die sirkel. ‘n Koord of radius van ‘n sirkel dui gewoonlik die betrokke boog aan.
‘n Sektor is die oppervlakte gevorm tussen twee radiusse en die omtrek van die sirkel.
Middelpunt
Middellyn
Sektor
Radius
Boog
Raaklyn Klein Segment
Koord
Segment
Sektor
Komponente van ‘n sirkel
A Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetkunde13
#1
#2
4x
3x
2x
A
B C
Gegee ��ABC met = 3x ; = 4x en = 2x Bereken die waarde van x en gevolglik die grootte van elke hoek.
3x180° - 7x
>
>P
Q R S
T
In elk van die volgende gevalle moet daar redes vir jou bewerings gegee word
Bewering Rede
=
=
=
Bewering Rede
Gegee � PQR met P = 3x en RPT = 180°-7x
QS ll PT
Druk die volgende hoeke uit in terme van x:
a) PRS
b) PQR
c) PRQ
Oefening 21 2 365
4 987
+
-x
_..%
c
.0 =
14Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetkunde
In elk van die volgende gevalle moet daar redes vir jou bewerings gegee word
Bewering Rede
=
=
Bewering Rede
PTQ =
QPT =
S =
TPS =
SUP =
#3
#4
3x– 40°
120°– xA
B C
DGegee parallelogram ABCD met
B =3x-40° en D =120°-x.
Bereken die waarde van:
a) x
b) B
c) A
P S
U
TQ Rx
Gegee parallelogram PQRS met QR verleng na T. Lyn PT word getrek sodat PQ = PT. Q = x.Druk die volgende hoeke uit in terme van x:
a) PTQ
b) QPT
c) S
d) TPS
e) SUP
A Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetikunde15
Die stelling van Pythagoras (graad 8)
Reghoeksy2 + Reghoeksy2 = Skuinssy2
(AB)2 + (BC)2 = (AC)2
PYTAGORAS#3A
B C
9
16
3 5
4
25
! B/DDit is BAIE belangrik dat jy die stelling van Pythagoras korrek neerskryf. Indien jy die stelling verkeerd formuleer, word dit as ‘n breakdown (B/D) beskou en verloor jy al jou punte by daardie betrokke vraag.
16Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetkunde
Los op vir x in die volgende kwadratiese vergelyking: x2 + (x – 1)2 = (x + 1)2
Oplossing:x2 + x2 – 2x + 1 = x2 + 2x + 1x2 - 4x = 0x(x – 4) = 0x = 0 of x = 4
Bepaal die waarde van x in die volgende reghoekige driehoek.
(AB)2 + (BC)2 = (AC)2 … Pythagoras (x)2 + (x – 1)2 = (x + 1)2 … Elke sylengte in EIE hakie x2 + x2 – 2x + 1 = x2 + 2x + 1x2 - 4x = 0x(x – 4) = 0x = 0 of x = 4Maar x is ‘n SYLENGTE en kan NIE negatief of nul wees nie. Slegs x = 4
A
CB
x+1x
x-1
A Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetikunde17
#1 #2A
B C M
T
K
2x
x + 3
63x - 2
x
2x + 2
Bereken die waarde van x in die volgende reghoekige driehoeke:
Oefening 3A1 2 365
4 987
+
-x
_..%
c
.0 =
18Gatskop Wiskunde - Hersiening van basiese meetkunde
#1 #2P
Q R M
T
K
x + 2
x + 1
��� 12
52
x
132
x
Bereken die numeriese waarde van die sylengtes in die volgende reghoekige driehoeke:
Oefening 3B1 2 365
4 987
+
-x
_..%
c
.0 =