grad.hrgrad.hr/nastava/nmk/modeliranje generacija 2007... · web view4.proraČun matrice krutosti...
TRANSCRIPT
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
4. PRORAČUN MATRICE KRUTOSTI ŠTAPA DISKONTINUIRANO PROMJENJIVOG PRESJEKA
Proračun pomaka za obostrano upetu gredu primjenom metode sila
Slika 4. Proračun pomaka za obostrano upetu gredu primjenom metode sila.
Proračun dijagrama za jedinično opterećenje x1
Slika 5. Proračun dijagrama za jedinično opterećenje x1.
5
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
Proračun dijagrama za jedinično opterećenje x2
Slika 6. Proračun dijagrama za jedinično opterećenje x2.
Proračun dijagrama za jedinično opterećenje x3
Slika 7. Proračun dijagrama za jedinično opterećenje x3.
Proračun pomaka u smjeru jedinične x2 od jedinične sile x2
6
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
Slika 8. Proračun pomaka u smjeru jedinične x2 od jedinične sile x2
LL= L−x
y1⇒ y1=L−x
LL=
12∗x+L−x
y2⇒ y2=
12∗x+ L−x=−1
2∗x+L
LL=
23∗x+L−x
y3⇒ y3=
23∗x+L−x=−1
3∗x+L
LL=
23(L−x)
y4⇒ y4=
23(L−x )
δ 22=[ x∗(L−(L−x ) )∗1
2 ∗(−13 ∗x+L)+(L−x )∗x∗(−12 ∗x+L)]∗1n∗EI
+(L−x )
+(L−x )∗(L−x )∗12
∗( 23∗(L−x ))∗1EI
Proračun kuta zaokreta u smjeru jediničnog momenta x3 od jediničnog momenta x3
δ 33=x∗1∗1∗1n∗EI
+(L−x )∗1∗1∗1
EI
δ 33=x∗1n∗EI
+(L−x )∗1EI
Proračun pomaka u smjeru jedinične sile x1 od jedinične sile x1
δ 11=x∗1n∗EA
+(L−x )∗1EA
Proračun pomaka u smjeru jedinične sile x1 od jedinične sile x2
δ 12=0
Proračun pomaka u smjeru jedinične sile x1 od jediničnog momenta x3
δ 13=0
Proračun pomaka u smjeru jedinične sile x2 od jedinične sile x1
7
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
δ 21=0
Proračun pomaka u smjeru jedinične sile x2 od jediničnog momenta x3
Slika 9. Proračun pomaka u smjeru jedinične sile x2 od jediničnog momenta x3
y1=L−x
y2=−12
∗x+L
y3=−13
∗x+L
y4=23(L−x)
δ 23=−[ (L−(L−x ) )∗x∗1
2 ∗1]∗1n∗EI
−[ (L−x )∗x∗1
2∗1]∗1
n∗EI
−[ (L−x )∗(L−x )∗12 ]∗1EI
Proračun kuta zaokreta u smjeru jediničnog momenta x3 od jedinične sile x2
δ 32=δ 23
Odnos između sile na krajevnima i pomaka na krajevima
D=[δ 11 δ12 δ13δ 21 δ22 δ23δ 31 δ32 δ33 ]
8
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
D=[x
mEA +(L−x )EA 0 0
0
L3
3−L2 x+ Lx2− x
3
3EI
+L2 x−Lx2+ x
3
3nEI
−(L−x )2
2 EI+x (−2L+x )2nEI
0 −(L−x )2
2EI+x (−2L+x )2nEI
L−xEI
+ xnEI
]D [ x1x2x3]+[ uij
wij−φijφij
L]=[ u jiw ji
φ ji ][ x1x2x3]=D−1[ u ji−uij
w ji−wij+φij Lφ ji−φij ]
9
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
D−1=[1
L−xEA
+ xmEA
0 0
0
L−xEI
+ xnEI
L4
12 (EI )2− L3
3 (EI )2+ L3x3n (EI )2
+ L2 x2
2 (EI )2− L2 x2
2n (EI )2− L x3
3 (EI )2+ Lx3
3n (EI )2+ x4
12 (EI )2+ x4
12n2 (EI )2− x4
6 (EI )2
−− (L−x )2
2 EI+ x (−2 L+ x )
2nEIL4
12 (EI )2− L3
3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2
+ L2 x2
2 (EI )2− L2 x2
2n (EI )2− L x3
3 (EI )2+ L x3
3n (EI )2+ x4
12 (EI )2+ x4
12n2 (EI )2− x4
6 (EI )2
0−
−(L−x )2
2EI +x (−2 L+x )2nEI
L4
12 (EI )2− L3
3 (EI )2+ L3x3n (EI )2
+ L2 x2
2 (EI )2− L2 x2
2n (EI )2− L x3
3 (EI )2+ Lx3
3n (EI )2+ x4
12 (EI )2+ x4
12n2 (EI )2− x4
6 (EI )2
L3
3−L2 x+L x2− x
3
3EI +
L2 x−L x2+ x3
3nEI
L4
12 (EI )2− L3
3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2
+ L2 x2
2 (EI )2− L2 x2
2n (EI )2− L x3
3 (EI )2+ L x3
3n (EI )2+ x4
12 (EI )2+ x4
12n2 (EI )2− x4
6 (EI )2
][ x1x2x3]=[ n jit jim ji
]=[(u ji−uij )
L−xEA
+ xmEA
0 0
0( L−xEI +
xnEI ) (w ji−wij+φij L )
L4
12 (EI )2− L3
3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2
+ L2 x2
2 (EI )2− L2 x2
2n (EI )2− Lx3
3 (EI )2+ Lx3
3n (EI )2+ x4
12 (EI )2+ x4
12n2 (EI )2− x4
6 (EI )2
−(−(L−x )2
2 EI+x (−2 L+x )2nEI ) (φ ji−φ ij)
L4
12 (EI )2− L3
3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2
+ L2 x2
2 (EI )2− L2x2
2n (EI )2− Lx3
3 (EI )2+ Lx3
3n (EI )2+ x4
12 (EI )2+ x4
12n2 (EI )2− x4
6 (EI )2
0−(− (L−x )2
2 EI+x (−2 L+ x )2nEI ) (w ji−wij+φij L )
L4
12 (EI )2− L3
3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2
+ L2 x2
2 (EI )2− L2 x2
2n (EI )2− Lx3
3 (EI )2+ Lx3
3n (EI )2+ x4
12 (EI )2+ x4
12n2 (EI )2− x4
6 (EI )2
( L3
3−L2 x+Lx2− x
3
3EI
+L2 x−Lx2+ x
3
3nEI ) (φ ji−φij )
L4
12 (EI )2− L3
3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2
+ L2 x2
2 (EI )2− L2x2
2n (EI )2− Lx3
3 (EI )2+ Lx3
3n (EI )2+ x4
12 (EI )2+ x4
12n2 (EI )2− x4
6 (EI )2
]10
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
[nijtijmijn jit jim ji
]=[1
L−xEA +
xmEA
0 0 −1L−xEA +
xmEA
0 0
0
L−xEI
+ xnEI
BR
−L(L−xEI +xnEI )+ (L−x )2
2 EI −x (−2 L+x )2nEI
BR 0
−L−xEI
− xnEI
BR
−(L−x )2
2EI+x (−2 L+x )2nEI
BR
0L(−L−xEI
− xnEI )
BR+
(L−x )2
2 EI+x (−2L+x )2nEI
BR
L2( L−xEI + xnEI )
BR+2 L( (L−x )2
2 EI+x (−2 L+x )2nEI )
BR+
L3
3−L2 x+ Lx2− x
3
3EI
+L2 x−Lx2+ x
3
3nEI
BR0
L( L−xEI + xnEI )
BR+
−(L−x )2
2EI+x (−2 L+x )2nEI
BR
−L( (L−x )2
2EI+x (−2 L+x )2nEI )
BR+
−L3
3−L2 x+L x2− x
3
3EI
−L2 x−Lx2+ x
3
3nEI
BR−1
L−xEA
+ xmEA
0 0 1L−xEA
+ xmEA
0 0
0
−L−xEI
− xnEI
BR
L(L−xEI + xnEI )− (L−x )2
2EI+x (−2 L+ x )2nEI
BR0
L−xEI
+ xnEI
BR
(L−x )2
2EI−x (−2L+x )2nEI
BR
0
− (L−x )2
2 EI+x (−2 L+x )2nEI
BR
−L(− (L−x )2
2 EI+ x (−2 L+ x )
2nEI )BR
−
L3
3−L2 x+L x2− x
3
3EI
+L2 x−Lx2+ x
3
3nEI
BR0
(L−x )2
2 EI−x (−2 L+ x )2nEI
BR
L3
3−L2x+Lx2− x
3
3EI
+L2 x−Lx2+ x
3
3nEI
BR
][ uijw ijφiju jiw jiφ ji ]11
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
5. KONTROLA DOBIVENIH REZULTATA
Prvi slučaj
Vrijednosti: x=L ,n=n ,m=m, EI=EI , EA=EA , L=L
Rezultati:[mEAL 0 0 −mEA
L 0 0
0 12nEIL3
−6nEIL2
0 −12nEIL3
−6nEIL2
0 −6nEIL2
4nEIL
0 6nEIL2
2nEIL
−mEAL
0 0 mEAL
0 0
0 −12nEIL3
6nEIL2
0 12nEIL3
6nEIL2
0 −6nEIL2
2nEIL
0 6nEIL2
4nEIL
]Dobivena matrica je jednaka poznatoj matrici krutosti za konstantni presjek.
Drugi slučaj
Vrijednosti: x=0 , n=n ,m=m ,EI=EI , EA=EA ,L=L
Rezultati:[EAL 0 0 −EA
L 0 0
0 12 EIL3
−6 EIL2
0 −12 EIL3
−6 EIL2
0 −6 EIL2
4 EIL
0 6 EIL2
2EIL
−EAL
0 0 mEAL
0 0
0 −12 EIL3
6 EIL2
0 12 EIL3
6 EIL2
0 −6 EIL2
2 EIL
0 6 EIL2
4 EIL
]Dobivena matrica je jednaka poznatoj matrici krutosti za konstantni presjek.
Treći slučaj
12
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
Vrijednosti: x= L2, n=2,m=2 , EI=EI , EA=EA , L=L
Rezultati:[4 EA3 L 0 0 −4 EA
3 L 0 0
0 192EI11L3
−112nEI11L2
0 −192 EI11L3
−80 EI11L2
0 −112EI11L2
80 EI11L
0 112EI11L2
32 EI11L
−4 EA3 L
0 0 4 EA3 L
0 0
0 −192EI11L3
112EI11L2
0 192 EI11L3
112EI11L2
0 −80 EI11L2
32EI11L
0 80 EI11L2
48 EI11L
]
13
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
Vrijednosti : x= L2, n=2,m=2 , EI=57600 ,EA=4320000 , L=4
Rezultati:[140000 0 0 −14000 0 0
0 17280011
−40320011
0 −17280011
−28800011
0 −40320011
115200011
0 40320011
46080011
−14000 0 0 14000 0 0
0 −17280011
40320011
0 17280011
28800011
0 −28800011
46080011
0 28800011
69120011
]Dobivene rezultate ćemo usporediti sa kompjuterskim softverom Sap.
Opterećenje jediničnim kutom zaokreta u točki 1
M-dijagram
T- dijagram
N- dijagram
Slika 10. Rezultati kompjuterskog programa SAP za gredu, opterećenu jediničnim kutom zaokreta u točki 1.
MATRICA 0.00 -36654.55 104727.27 0.00 36654.55SAP 0.00 -36654.55 104727.27 0.00 36654.55
N12 T12 M12 N21 T21
Tablica 1. Usporedba rezultata.
14
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
Opterećenje jediničnim pomakom u točki 1 u smjeru poprečne sile
M- dijagram
T- dijagram
N- dijagram
Slika 11. Rezultati kompjuterskog programa SAP za gredu, opterećenu jediničnim pomakom u točki 1.
MATRICA 0.00 15709.09 -36654.55 0.00 -15709.09 -26181.82SAP 0.00 15709.09 -36654.35 0.00 -15709.09 -26181.82
N12 T12 M12 N21 T21 M21
Tablica 2. Usporedba rezultata.
15
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
Opterećenje jediničnim pomakom u točki 1 u smjeru uzdužne sile
M- dijagram
T- dijagram
N- dijagram
Slika 12. Rezultati kompjuterskog programa SAP za gredu, opterećenu jediničnim pomakom u točki 1 u smjeru uzdužne sile.
MATRICA 1440000.00 0.00 0.00 -1440000.00 0.00 -26181.82SAP 1440000.00 0.00 0.00 -1440000.00 0.00 -26181.82
N12 T12 M12 N21 T21 M21
Tablica 3. Usporedba rezultata.
16
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
6. PRORAČUN MATIRCE KUTOSTI ŠTAPA PROMJENJIVOG POPREČNOG PRESJEKA ZA SLUČAJ KADA GREDA NIJE OBOSTRANO UPETA PRIMJENOM KONDEZACIJE
m ji=−(−(L−x )2
2 EI+x (−2L+x )2nEI ) (w ji−wij+φijL )+( L
3
3−L2 x+L x2− x
3
3EI
+L2 x−L x2+ x
3
3nEI ) (φ ji−φ ij)
L4
12 (EI )2− L3
3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2
+ L2 x2
2 (EI )2− L2 x2
2n (EI )2− Lx3
3 (EI )2+ L x3
3n (EI )2+ x4
12 (EI )2+ x4
12n2 (EI )2− x4
6 (EI )2
0=−(−(L−x )2
2EI+ x
(−2 L+x )2nEI )(w ji−wij+φ ijL )+( L
3
3−L2 x+Lx2− x
3
3EI
+L2 x−Lx2+ x
3
3nEI )(φ ji−φij )
L4
12 (EI )2− L3
3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2
+ L2 x2
2 (EI )2− L2 x2
2n (EI )2− L x3
3 (EI )2+ Lx3
3n (EI )2+ x4
12 (EI )2+ x4
12n2 (EI )2− x4
6 (EI )2
⟹φ ji
φ ji=φij+(w ji−w ij+φijL )(−(L−x )2
2 EI+ x (−2L+x )
2nEI )L3
3−L2 x+L x2− x
3
3EI
+L2 x−L x2+ x
3
3nEI
n ji=(u ji−u ij)
L−xEA
+ xmEA
t ji=( L−xEI +
xnEI ) (w ji−w ij+φijL )
BR −(−(L−x )2
2EI+ x (−2L+x )
2nEI )2
(w ji−w ij+φ ijL )
BR2
nij=−n ji
nij=−(u ji−uij )L−xEA
+ xmEA
t ij=−t ji
t ij=−( L−xEI +
xnEI )(w ji−wij+φij L )
BR +(−(L−x )2
2 EI+x (−2L+x )2nEI )
2
(w ji−wij+φij L )
BR 2
mij=−m ji+lij∗t ji
17
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
mij=L(( L−xEI + xnEI ) (w ji−w ij+φijL )
BR−
(−(L−x )2
2EI+x (−2L+x )2nEI )
2
(w ji−w ij+φ ijL )
BR2 )
18
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
[nijtijmijn jit jim ji
]=[1
L−xEA
+ xmEA
0 0 −1L−xEA
+ xmEA
0 0
0( L−xEI +
xnEI )
BR −(−(L−x )2
2EI+ x (−2 L+x )
2nEI )2
BR 2
−L( L−xEI +xnEI )
BR +L(− (L−x )2
2 EI+ x (−2 L+ x )
2nEI )2
BR 2 0−( L−xEI +
xnEI )
BR +(−(L−x )2
2EI+ x (−2 L+x )
2nEI )2
BR 2 0
0−L( L−xEI + x
nEI )BR
+L(−(L−x )2
2EI+x (−2L+x )2nEI )
2
BR 2
L2( L−xEI + xnEI )
BR−L2(− (L−x )2
2 EI+x (−2 L+ x )2nEI )
2
BR20
L( L−xEI + xnEI )
BR−L(−(L−x )2
2 EI+x (−2L+x )2nEI )
2
BR 20
−1L−xEA
+ xmEA
0 0 1L−xEA
+ xmEA
0 0
0−( L−xEI + x
nEI )BR
+(− (L−x )2
2 EI+x (−2 L+ x )2nEI )
2
BR2
L( L−xEI + xnEI )
BR−L(−(L−x )2
2EI+x (−2 L+x )2nEI )
2
BR 20
L( L−xEI + xnEI )
BR−L(−(L−x )2
2 EI+x (−2L+x )2nEI )
2
BR 20
0 0 0 0 0 0
]BR2=( L4
12 (EI )2− L3
3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2
+ L2 x2
2 (EI )2− L2 x2
2n (EI )2− L x3
3 (EI )2+ Lx3
3n (EI )2+ x4
12 (EI )2+ x4
12n2 (EI )2− x4
6 (EI )2 )(L3
3−L2x+Lx2− x
3
3EI
+L2 x−Lx2+ x
3
3nEI )
BR= L4
12 (EI )2− L3
3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2
+ L2 x2
2 (EI )2− L2 x2
2n (EI )2− L x3
3 (EI )2+ L x3
3n (EI )2+ x4
12 (EI )2+ x4
12n2 (EI )2− x4
6 (EI )2
19
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
7. KONTROLA MATRICE KRUTOSTI PROMJENJIVOG POPREČNOG PRESJKEA KADA NIJE GREDA OBOSTRANO UPETA
Prvi slučaj
Vrijednosti: x=L ,n=n ,m=m, EI=EI , EA=EA , L=L
Rezultati:[mEAL
0 0 −mEAL
0 0
0 3nEIL3
−3nEIL2
0 −3nEIL3
0
0 −3nEIL2
3nEIL
0 3nEIL2
0
−mEAL
0 0 mEAL
0 0
0 −3nEIL3
3nEIL2
0 3nEIL3
0
0 0 0 0 0 0
]Dobivena matrica krutosti je indentična poznatoj matirici krutosti za konstatantni presjke.
Drugi slučaj
Vrijednosti: x= L2, n=2,m=2 , EI=57600 ,EA=4320000 , L=4
Rezultati:[1440000 0 0 −1440000 0 00 4800 −19200 0 −4800 00 −19200 76800 0 19200 0
−1440000 0 0 1440000 0 00 −4800 19200 0 4800 00 0 0 0 0 0
]Dobiven rezultate ćemo usporediti sa kompjuterskim softverom Sap.
Opterećenje jediničnim kutom zaokreta u točki 1
M- dijagram
T- dijagram
20
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
N- dijagram
Slika 13. Rezultati kompjuterskog programa SAP za gredu, opterećenu jediničnim kutom zaokreta u točki 1.
MATRICA 0.00 -19200.00 76800.00 0.00 19200.00 0.00SAP 0.00 -19200.00 76800.00 0.00 19200.00 0.00
N12 T12 M12 N21 T21 M21
Tablica 4. Usporedba rezultata.
Opterećenje jediničnim pomakom u točki 1 u smjeru poprečne sile
M- dijagram
T- dijagram
N- dijagram
Slika 14. Rezultati kompjuterskog programa SAP za gredu, opterećenu jediničnim pomakom u točki 1 u smjeru poprečne sile.
MATRICA 0.00 4800.00 -19200.00 0.00 -4800.00 0.00SAP 0.00 4800.00 -19200.00 0.00 -4800.00 0.00
N12 T12 M12 N21 T21 M21
Tablica 5. Usporedba rezultata.
21
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
Opterećenje jediničnim pomakom u točki 1 u smjeru uzdužne sile
M- dijagram
T- dijagram
N- dijagram
Slika 15. Rezultati kompjuterskog programa SAP za gredu, opterećenu jediničnim pomakom u točki 1 u smjeru uzdužne sile.
MATRICA 1440000.00 0.00 0.00 -1440000.00 0.00 0.00SAP 1440000.00 0.00 0.00 -1440000.00 0.00 0.00
N12 T12 M12 N21 T21 M21
Tablica 6. Usporedba rezultata.
22
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
8. PRIMEJNA MATRICE KRUTOSTI ŠTAPA PROMJENJIVOG POPREČNOG PRESJEKA
Matricu krutosti promjenjivog presjeka probat ćemo primijeniti na okviru. Okvir će biti opterećen kontinuiranim opterećenjem i koncentriranom silom. Proračun će se provesti metodom pomak. Dobiveni rezultati će se usporediti sa kompjuterskim softverima Sap i Dim.
E1=6∗10
7kN ¿m2
E2=3∗10
7 kN /m2
Slika 16. Okvir sa kontinuiranim opterećenjem na gredi.
K=[4 EA3L 0 0 −4 EA
3 L 0 0
0 192EI11L3
−112EI11L2
0 −192 EI11L3
−80EI11L2
0 −112EI11L2
80 EI11L
0 112EI11L2
32 EI11L
−4 EA3L
0 0 4 EA3 L
0 0
0 −192 EI11L3
112EI11L2
0 192 EI11L3
112EI11L2
0 −80 EI11L2
32 EI11L
0 80 EI11L2
48 EI11L
]m21=
n6E2 IH2 w2+
n 4 E2 IH
φ2
t 21=n12E2 IH3 w2+
n6 E2 IH 2 φ2
n21=mE2 AH
u2
m23=−112E2 I11L2
(−u2 )+80 E2 I11L
φ2+112E2 I11L2
(−u3 )+32 E2 I11L
φ3
23
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
t 23=192 E2 I11L3
(−u2 )−112E2 I11L2
φ2−192E2 I11L3
(−u3 )−80E2 I11L2
φ3
n23=4 E2 A3L
w 2−4 E2 A3 L
w3
m32=−80 E2 I11L2
(−u2)+32 E2 I11L
φ2+80 E2 I11L2
(−u3 )+48 E2 I11L
φ3
t 32=192 E2 I11L3
(−u2 )+112E2 I11L2
φ2+192E2 I11L3
(−u3 )+80E2 I11L2
φ3
n32=−4 E2 A3 L
w2+4 E2 A3 L
w3
m34=−6 E2 IH 2 (−w3 )+
4 E2 IH
φ3
t 34=12E2 IH 3 (−w3 )−
6 E2 IH2 φ3
n34=E2 AH (−u3 )
Računanje momenata upetosti
Slika 17. Računanje momenata upetosti
24
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
Slika 18. Dijagrami za jedinični moment x1.
Slika 19. Dijagrami za jedinični moment x2.
Slika 20. Dijagrami za jediničnu silu x3.
25
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
Slika 21. Dijagrami od vanjskog opterećenja.
δ 11=
L2∗1
2∗1
2∗2
3 ∗1
2 ∗1
EI +
L2∗1
2 ∗( 12+12∗1
2 )∗1n∗EI +
12∗L
2 ∗1
2 ∗(12+23∗1
2 )∗1n∗EI
δ 11=L
24 EI+ 7 L24 EIn
δ 22=
L2∗1
2∗1
2∗2
3 ∗1
2 ∗1
nEI +
L2∗1
2 ∗( 12+12∗1
2 )∗1EI +
12∗L
2 ∗1
2 ∗( 12+23∗1
2 )∗1EI
δ 22=L
24 nEI+ 7 L24 EI
26
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
δ 12=
L2∗1
2 ∗1
2 ∗(12 +
12∗1
3 )∗1EI +
L2∗1
2 ∗1
4 ∗1
n∗EI +
L2∗1
2∗1
2∗1
3 ∗1
2 ∗1
n∗EI
δ 12=L
12 EI+ L12nEI
δ 10=
23∗q∗L
2
8 ∗L∗1
2 ∗( 38∗12 +12 )∗1n∗EI +
23∗q∗L2
8∗L∗1
2∗5
8 ∗1
2 ∗1
EI
δ 10=5 L3q384 EI
+ 11L3q
384 nEI
δ 20=
23∗q∗L
2
8 ∗L∗1
2 ∗( 38∗12 +12 )∗1
EI +
23∗q∗L2
8∗L∗1
2∗5
8 ∗1
2 ∗1
nEI
δ 20=5 L3q384nEI
+ 11L3q
384 EI
[ L24 EI
+ 7 L24 EIn
L12EI
+ L12nEI
L12EI
+ L12nEI
L24nEI
+ 7 L24 EI ]∗[M 23
M 32]=[ 5L3q
384 EI+ 11L
3q384nEI
5 L3q384 nEI
+ 11L3q
384 EI]
M 23=17L2q176
M 32=13 L2q176
−T 32L−q L2
2−M 23+M 32=0
27
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
T 32L=−q L2
2−17 L
2q176
+ 13L2q
176=−92 L2q
176
T 32=−92Lq176
=−23 Lq44
T 23=−23Lq44
+q∗L=21 Lq44
M 21=m21=n6 E2 IH 2 w2+
n4 E2 IH
φ2
T 21=t21=n12E2 IH3 w2+
n6 E2 IH 2 φ2
N21=n21=mE2 AH
u2
M 23=m23+M23=−112E2 I11L2
(−u2 )+80 E2 I11L
φ2+112E2 I11L2
(−u3 )+32E2 I11L
φ3+17 L2q176
T 23=t23+T 23=192 E2 I11L3
(−u2 )−112E2 I11L2
φ2−192E2 I11L3
(−u3 )−80E2 I11L2
φ3−21 Lq44
N23=n23=4 E2 A3L
w2−4 E2 A3 L
w3
M 32=m32+M 32=−80 E2 I11L2
(−u2 )+32E2 I11L
φ2+80E2 I11L2
(−u3 )+48E2 I11L
φ3−13 L2q176
T 32=t32+T23=192 E2 I11L3
(−u2 )+112E2 I11L2
φ2+192E2 I11L3
(−u3 )+80E2 I11L2
φ3+−23Lq44
N32=−4 E2 A3 L
w2+4 E2 A3 L
w3
M 34=−6 E2 IH 2 (−w3 )+
4 E2 IH
φ3
T 34=12E2 IH 3 (−w3 )−
6 E2 IH2 φ3
N 34=E2 AH (−u3 )
Ravnoteža čvorova
M 21+M 23=0
28
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
17L2q176
+112EI u211L2
−112EI u311L2
+6nEI w2H 2 +
80 EI φ211L
+4nEI φ2H
+32EI φ311L
=0
M 32+M 34=0
−13L2q176
+80 EI u211L2
−80EI u311L2
+6 EI w3H 2 +
32EI φ211L
+4 EI φ3H
+48EI φ311L
=0
−N21+T23=0
−23 Lq44
−192 EI u211L3
−mEAu2H
+192EI u311L3
−112EI φ211L2
−80 EI φ311L2
=0
−T 21−N23+F=0
F−4 EA w23 L
−12nEI w2H 3 +
4 EA w33 L
−6nEI φ2H2
N32−T 34=0
−4 EA w23 L
+12 EI w3H3 +
4 EAw 33 L
+6 EI φ3H 2
T 32+N34=0
−21Lq44
−192 EI u211L3
−EAu3H
−192 EI u311L3
+112EI φ211L2
+80EI φ311L2
=0
K=[4 EA3L 0 0 −4 EA
3 L 0 0
0 192EI11L3
−112EI11L2
0 −192 EI11L3
−80 EI11L2
0 −112EI11L2
80 EI11L
0 112EI11L2
32 EI11L
−4 EA3L
0 0 4 EA3 L
0 0
0 −192 EI11L3
112EI11L2
0 192 EI11L3
112EI11L2
0 −80 EI11L2
32 EI11L
0 80 EI11L2
48 EI11L
]29
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
M=[112EI11L2
6nEIH 2
80 EI11L
+4nEIH
−112EI11L2
0 32EI11L
80 EI11L2
0 32EI11L
−80 EI11L2
6 EIH2
4 EIH
+ 48 EI11L
−192 EI11L3
−mEAH
0 −112EI11L2
192 EI11L3
0 −80 EI11L2
0 −4 EA3L
−12nEIH 3
−6nEIH2 0 4 EA
3 L0
0 −4 EA3 L
0 0 12EIH3 + 4 EA
3 L6 EIH2
−192 EI11L3
0 112EI11L2
−EAH
−192 EI11L3
0 80 EI11L2
][u2w2φ2u3w3φ3
]=M−1[−17 L2q17613 L2q17623Lq44−F0
21Lq44
][u2w2φ2u3w3φ3
]=[ −6,0299∗10−6
0,000246328−0,00014414
−0,00001560060,0002404540,0000599567
]30
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
Usporedba dobivenih rezultata
Slika 22. Rezultati kompjuterskog programa SAP.
Tablica 7. Usporedba rezultata
U drugom primjeru probati ćemo primijeniti matricu krutosti također na okviru. Za razliku od predhodnog primjera opterećenje na okviru se ne će nalaziti na elementu koji ima promjenjivu krutost.
E1=6∗107kN ¿m2
E2=3∗10
7 kN /m2
Slika 23. Okvir opterećen kontinuiranom silom u stupu.
M 21
n6 E2 IH2 w2+
n 4 E2 IH
φ2
31
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
T 21=n12 E2 IH 3 w2+
n6 E2 IH 2 φ2
N21=mE2 AH
u2
M 23=−112E2 I11L2
(−u2 )+80 E2 I11L
φ2+112E2 I11L2
(−u3 )+32 E2 I11L
φ3
T 23=192 E2 I11L3
(−u2 )−112E2 I11L2
φ2−192E2 I11L3
(−u3 )−80E2 I11L2
φ3
N23=4 E2 A3 L
w2−4 E2 A3L
w3
M 32=−80E2 I11L2
(−u2)+32 E2 I11L
φ2+80 E2 I11L2
(−u3 )+48E2 I11L
φ3
T 32=192 E2 I11L3
(−u2 )+112E2 I11L2
φ2+192E2 I11L3
(−u3 )+80 E2 I11L2
φ3+¿
N32=−4 E2 A3 L
w2+4 E2 A3 L
w3
M 34=−6 E2 IH 2 (−w3 )+
4 E2 IH
φ3
T 34=12E2 IH 3 (−w3 )−
6 E2 IH2 φ3
N 34=E2 AH (−u3 )
Ravnoteža čvorova
M 21+M 23=0
112EI u211L2
−112EI u311L2
+6nEI w2H 2 +
80EI φ211L
+4nEI φ2H
+32EI φ311L
=0
M 32+M 34=0
80 EI u211L2
−80 EI u311L2
+6 EI w3H 2 +
32EI φ211L
+4 EI φ3H
+48EI φ311L
=0
−N21+T23=0
32
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
−192EI u211L3
−mEA u2H
+192EI u311L3
−112EI φ211L2
−80 EI φ311L2
=0
−T 21−N23+F=0
F−4 EA w23 L
−12nEI w2H 3 +
4 EA w33 L
−6nEI φ2H2
N32−T 34=0
−4 EA w23 L
+12 EI w3H3 +
4 EAw 33 L
+6 EI φ3H 2
T 32+N34=0
−192EI u211L3
−EAu3H
−192EI u311L3
+112EI φ211L2
+80 EI φ311L2
=0
M=[112EI11L2
6nEIH 2
80 EI11L
+4nEIH
−112EI11L2
0 32EI11L
80 EI11L2
0 32EI11L
−80 EI11L2
6 EIH2
4 EIH
+ 48 EI11L
−192 EI11L3
−mEAH
0 −112EI11L2
192 EI11L3
0 −80 EI11L2
0 −4 EA3L
−12nEIH 3
−6nEIH2 0 4 EA
3 L0
0 −4 EA3 L
0 0 12EIH3 + 4 EA
3 L6 EIH2
−192 EI11L3
0 112EI11L2
−EAH
−192 EI11L3
0 80 EI11L2
][u2w2φ2u3w3φ3
]=M−1[000
−F00
]
33
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
[u2w2φ2u3w3φ3
]=[−1,05092∗10−6
0,000206402−0,0000553194−2,12477∗10−6
0,0002038540,0000 400593
]Tablica 8. Usporedba dobivenih rezultata
34
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
9. ZAKLJUČAK
Analizom i usporedbom dobivenih rezultata utvrđeno je da je točnost na zadovoljavajućoj razini. Dobiveni rezultati razlikuju se u pravilu za manje od 1% od rezultata dobivenih primjenom kompjuterskih programa. Pretvaranje matrice krutosti za diskontinuirano promjenjivi poprečni presjek u matricu konstantnog poprečnog presjeka nisu dobiveni različiti rezultati. Provedena je usporedba rezultata na okviru. U prvom slučaju okvir je opterećen kontinuiranim opterećenjem na elementu koji ima poprečno promjenjiv presjek a u drugom slučaju okvir je opterećen koncentriranom silom koji se ne nalazi na elementu sa promjenjivim poprečnim presjekom. Uspoređivanjem obadva slučaja sa kompjuterskim programima dobivani su rezultati zadovoljavajuće točnosti.
Na temeljnu provedenih analiza i usporedbi rezultata možemo reći da je proračunati oblik matrice krutosti za promjenjivi poprečni presjek točan. Matrica krutosti za element konstantnog poprečnog presjeka ima vrlo jednostavan oblik dok matrica krutosti za element promjenjivog poprečnog presjek ima jako složen oblik. Zbog te složenosti matrice krutosti promjenjivog poprečnog presjeka dovodi se u pitanje njena primjenjivost. Bez korištenja kompjuterskih programa jako je teško doći do rezultata dok se kod matrice krutosti konstantnog poprečnog presjeka rezultati se dobivaju jednostavnim proračunom.
35
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
10. POPIS LITERATURE
[1] Simović,V.: Građevna statika I, Zagreb, 1988.
[2] Anđelić,M.: Građevna statika II, Zagreb, 2005.
[3] Kostrenčić, Z. : Teorija elastičnosti, Školska knjiga, Zagreb, 1982.
[4] Timošenko S., Gudier J. N. : Teorija elastičnosti, Građevinska knjiga, Beograd, 1962.
[5] Šimić,V.: Otpornost materijala 1, Školska knjiga, Zagreb,1992.
[6] Šimić,V.: Otpornost materijala 2, Školska knjiga, Zagreb, 2002.
[7] Simović, V. : Zidovi s otvorima i okvirne konstrukcije, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971.
[8] Sorić, J. : Metoda konačnih elemenata, Golden markting – Tehnička knjiga, Zagreb,2004.
[9] Kovačević, D. : MKE modeliranje u analizi konstrukcija, Beograd, 2006.
[10] Tomičić, I. : Betonske konstrukcije, Zagreb, 1996.
[11] Fresl, K.: Skripta Građevna statika I
[12] SAP 11 Manual
[13] SAP 11 Tutorial Movies
[14] DIM Manual
[15] Mathematica 4 Manual
36
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
11. SAŽETAK
U ovome radu smo proračunali maticu krutosti grede promjenjivog poprečnog presjeka. Prilikom proračuna korišteni su kompjuterski programi Mathematica 4, SAP i Dim. Program Mathematica 4 je korišten za rješavanje matematičkih problema dok su se programi SAP i Dim koristili za usporedbu dobivenih rezultata. Usporedba dobivenih rezultata pokazala je da proračunata matrica daje slične rezultate kao i kompjuterski programi.
Naslov rada: Izvod matrice krutosti grede diskontinuirano promjenjivog presjeka.
Ključne riječi: matrica krutosti; metoda sila, metoda pomak
Autor: Dalibor Gelo
Adresa autora: Karlvoačka 58a Blato, 10020 Zagreb
12.SUMMARY
In this paper we have developed a Matrix of the beam with discontinuous variable cross-section. In the development we have used computer software’s Mathematic 4, SAP and Dim. Mathematic 4 was use for solving mathematical problems while software’s SAP and Dim ware used for comparations of the results. Comparations of the results has show us that calculated matrix give a similar results as computer software’s.
Name of the paper: The development of the stiffness matrix of the beam whit discontinuous variable cross-section
Keywords: stiffness matrix, force method, displacement method
Author: Dalibor Gelo
Address: Karlvoačka 58a Blato, 10020 Zagreb
37