C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, Shie I, p. 313-316, 1997 GPomktrie alg~brique/A/gebraic Geometry

Graphes arithmitiques et syzygies

Antonio CAMPILLO et Philippe GIMBNEZ

R&urn& Nous trouvons ici la rksolution libre minimale d’une courbe monomiale projective et arithmktiquement Cohen-Macaulay j I’aide d’un graphe que nous construisons facilement g partir des exposants dkfinissant la courbe.

Arithmetic graphs and syzyges

1. Introduction

Consid&ons d et r deux entiers non negatifs. et 1’ + 2 &lCments de N”, ~1~ = (cl, 0), f&l = (c1,11,c112):. ,fL,. = (f1,.,.1.~,.~), 712 = (O,d), tels que (1,,1 + (1,~ = tl pour tout 6; supposons que tl > ~11 > . > (L,.I > 0. Soit S le semi-groupe de N’ engendrt par A = { 71~. (I,~ ~ . . , f/ ,,., ?I,} et C la courbe projective de $“+l, C := Proj (k[S]). C est une varittt torique particuli&e appelee courbe monomiale projective.

Soit A := k[yl, -cl 3 . , :I:,. > :1/z]. Nous nous intkressons ici A la r&olution libre minimale S-grad&e de l’anneau de coordonn6es de C, la A:-algkbre grad&e, R := k[S] N A/ker{A + X:[.S, ~1. :1/, +-+ ,$ I ( .I. 1 H P’ ’ t” ’ 2 , . ~ :I’,. H s ‘Ii ’ f” - ( I,,2 H t” } :

O-A ii c”,) i’--+....,. i A”’ 5+245+R i 0.

On se propose de calculer les multi-degrCs des g&+rateurs minimaux des modules successifs de syzygies lorsque C est arithmCtiquement Cohen-Macaulay.

Note p&entCe par Henri CARTAN.

0764.4442/Y7/032403 I3 Q AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris 313

A. Campillo et Ph. GimCnez

2. Complexes simpliciaux

2.1. IXfinitions et rksultats cle’s A tout Mment ‘ITI de S on peut associer A,,, sous-complexe simplicial de y(A), ensemble des

parties de A, oti F sera une face de A,, si ‘m-mF E S avec mF = CnEF n. On peut alors considCrer I’espace vectoriel d’homologie augmentCe & valeurs dans le corps Ic, fit(A,,), -1 5 t < T + 1, dont on notera i,,(A,,,) la dimension. Si m = @,,,+“A,, est l’idCa1 irrelevant de A et si N; = ker 4,;

(Ni),, est le %-i6me module de syzygies, notons K(m) = ~

(mni), ’ Rappelons de [4] et [2] le r&ultat

central suivant :

PROPOSITIOK 1. - (1) r;l, (ILL) zx Z?, (A,,) et cet isomorphisme est explicite; (2) R est Cohen-Macaulay si et seulement si, pour tout rrt. E S, l?,.( A,,,) = 0.

Rernarque 2. - L’explicitation de l’isomorphisme (1) permet de construire des syzygies de (Ni)m qui donnent une base de \< (711). La connaissance des couples (m, 1:) tels que I?,( A,) # 0 conduit g la ditermination recurrente des d,,, et done, d’une r!solution libre minimale (121).

En particulier. ij,+l = tlirnk. N,/mN, = ClrlES ht (A, ) pour 0 5 t 5 ‘r - 1. Par ailleurs, pour tout t. 0 5 f 5 r - 1, &(P(A)) = 0, ce qui permet de se limiter aux Climents 711 tels que A,,, 5 S’ = P(h) - {,I}. La suite exacte, 0 + C,(A,,) ---+ Ct(S7’) - C;;(S”, A,) ---f 0, pour tous les t satisfaisant -1 5 f < I’, permet d’obtenir la suite exacte longue d’homologie

. . i &(A,,,) i H+(y) - &(S”,A,,,) - fir-d&n) - ..

que l’on peut dCcouper en suites exactes courtes en utilisant fir( A,,,) = 0, aT7.(S1.) ? k et gt(S’) = 0 si f > T. On en d6duit que

&,+(A,,,) = &+I($“, A,,) - { :, ;inon’ = ” - ‘.

2.2. Caracte’risations de la proprie’te’ Cohen-Macaula?

Pour j = 1,2, nous notons Sj le semi-groupe num&ique engendrk par { (~1~. . . . : CL,.~. d} et nous considkrons l’ensemble d’Apt5y de S, relatif ti d, c’est B dire que, pour tout B avec 1 5 d < d - 1, hp (resp. cc) dCsignera le plus petit entier de S1 (resp. Sp) tel que be E C (resp. (‘r - e) modulo d. Les paires d’ApCry de S sont les couples 4~ := (bp, Q-V) avec 0 < e < d - 1. oti l’on convient que q0 = (0,O). La caract&isation donnee dans la proposition 1 se traduit par :

PROPOSITION 3. - (1) R est Cohen-Macaulay si et seulement si, pour tout m E Z2, m + 711 E S et m + 712 E S impliyue 7n. E S (caract&risation graphique) ; (2) R est Cohen-Macaulay si et seulement si, pour tout P sutisfaisant 1 2 B 5 d - 1, (10 E S (caractkrisation arithme’tique).

On trouve ainsi une preuve ClCmentaire de critbres bien connus (voir [6] et IS]).

3. Graphe arithmbique et homologie

A partir de Q := {YB)“<F+--~ et de A = {u;} I<;<~, on associe g C un graphe arithmktique G, dit graphe d’Apery. G est le graphe acyclique orient6 g a&es colortes dont les sommets sont les Cltments ‘~1 de Z2 tels qu’il existe I C A avec II + 71,1 E Q, et dont les a&es sont donnCes par la r&gle << pour chaque ‘11, ‘II? E g. il existe une ari3e de couleur i de ~1 B w si et seulement si w = ‘u + a, )>.

&ant donnC un sommet II de 6 et une valeur de t avec - 1 < t < T - 1, on peut considCrer le X:-espace vectoriel /I+(U) engendrk par les ClCments I de q(d) de cardinal 7’ - t - 1 tels que

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Graphes arithmktiques et syzygies

w + nI E Q, et on pose U*(U) = dirnk A+(U). On voit que l’on peut ainsi construire un complexe N-I

0 -+ A,-l(v) - . . . . . .\;‘A,~(@+A-~(~~) -+ 0 . Pour 0 5 f < r - 1, notons /I,(V) := rk& et b,.(v) = 0. La dimension de l’homologie du complexe est alors donnee par

Ilt(~~) := (I.~(,~I) - /+(,/I) - II,+,( pour tout t satisfaisant O<f<r-1.

En particulier, pour f; = 7’ - 1. on a par consequent,

1 si II E Q et 1: + (1, $! Q. V’%, 1 5 % 5 7’ h-l(lJ) = { o sinon

Par ailleurs, il-r(,t!) E { fi ifion’ rLsl ’ ’ et done. bo(,rl) = { :, ~~~o~ “‘=t ’ ‘.

4. Le calcul des multidegrks de Betti

4.1. Le re’sultat principal

THEOREME 4. - Soient 711, E S et ?I = 711 - 71,~. (i) Si v n’est pas un sommet du graphe G, alors &(A,,,) = 0 pour tout t, 0 < t 5 ‘r’ - 1. (ii) Si 71 est un sommet du gruphe G, alors &(A,,,) = h,(~!) puur tout t, 0 5 t 5 ‘1’ - 1.

Ddmonstration. - Pour 0 5 f 5 7’ - 1, notons 0, : C,+l(S”,A,,) + CI+(S”.A,,,). La demonstration se fait par recurrence sur f, de 1 = 7’ - 1 a t = 0. Pour t = 1’ - 1, une minoration du rang de A,. nous permet de prouver que &,.( S”: A,,,) 2 2 pour tout *rn et que cette majoration peut &tre ramenee a k,( S”, A,,,) < 1 si VI, - 71~ $ e. Maintenant, pour les elements ?r? tels que ?r/ - no E g, il suffit de calculer exactement le rang de h,. et de prouver qu’il est minimal si et seulement si 711, - 11~ + U, $ G, pour tout 1 < ,i 5 7’. Pour poursuivre la recurrence, nous exprimons h,+(A,,) en fonction du rang de ?I,+~ et des homologies deja calculees? i,., (A,,), pour t + 1 < s 5 r’- 1. En gtneralisant les arguments du cas t = 1’ - 1, une minoration du rang de h t+r donnera qu’une condition necessaire pour avoir &(A,,,) # 0 est qu’il existe I c A de cardinal (7. - t - 1) tel que rr/ - ??.A + 71, E Q. Pour de tels */II, on demontre alors que le calcul du rang, puis de ?~,(a,,,), se ramene au calcul de I~,~(*rrr - ~-4).

Remarque 5. - La preuve donne Cgalement une methode pour construire une base des espaces ~,+,(S”. A,,). L” image de la base ainsi obtenue par le morphisme connectant, h : I?,+~ (S”, A,,,) --+ H, (A,, ) donne une base (si f < 7’ - 1) ou un systeme de gedrateurs (si t = 7’ - 1) de I?, (A,,, ). D’apres la remarque 2, ceci permet de construire la resolution de man&e effective. En fait. cette construction ne necessite que de l’algebre lineaire et de l’arithmetique Clementaires.

4.2. Application ci la recherche d’un .systPme tninimal de gCnPruteurs

Comme consequence du theoreme 4, on observe que, pour un t donnt satisfaisant 0 5 t < 7’ - 1. une condition necessaire pour avoir h+(A,,,) # 0 est que CL+(U) # 0. Dans ce cas, i,+(A,,,) ne depend

que de la suite At+l(,,~)ni,-!A,(r!)~A,-, (,I,).

En particulier, pour t = 0, nous avons &( A,,,) = U,,(U) - br(w) - { i :;a ‘. .’

Le calcul de Q~(v) - /II(U) peut se faire de maniere graphique comme suit. On considere le graphe non oriente K(,u) dont les sommets sont toutes les couleurs %. 1 5 % < ‘I’, et les a&es sont les couples (2, j) tels que 7r1 - n, - (Lo E e. Soit alors S(*U) l’ensemble des sommets ? de K(U) tels que rn - (I., E Q. On a alors la proposition suivante :

PROPOSITION 6. - Si 7’ = 711 - 71~ et Q(TI) # 0, alors c~,~~(II) - hl(,v) e.s ‘t I e non&r-e de composantes connexes du graphe K(,u) qui sent entitrement,form~es de sornmets de S(‘U).

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Renxzrqur 7. - La proposition prkckdente permet de calculer les multidegrks d’un systkme minimal de gCnCrateurs de I((‘) et, par conskquent, de dtterminer un tel systkme de bin8mes (remarque 5). Le problkme de trouver de tels systkmes de g&krateurs pour les variCt&s monomiales est difficile (voir, par exemple, [ 11, [31 et 171). Voici un exemple de ditermination explicite. 4.3. UII eserr~plr

Soit CY la cow-be monvmialc de $” associk h

On a S, z { 0. 2. :i. . } ct S2 = { 0.5, ci. 9. II). 11. 12. 13. 15, . . .} ; les paires d’ ApCry sont

‘!(I = (0.0) 1/] = (l.<. I1 ) = /I] + II,:! (12 = (2, 10) = 11*.1 y:, = (3. 9) = f/.i( yi = [ 1. 20) = 2fl.1 ys = (5. 19) = (L:s + (h-l yt; = (6. 6) = 0,~ 47 = (7.5) = fJ] (18 = (X.16) = fI2 + a4

,A, = (!). lr,) = fJ2 + (1.3 fll() L (1’). ld) = 11, + 0:) (111 = (11, ar;) = “,I + ‘L(J4

Par consequent, & c 5 et C est done arithmktiquement Cohen-Macaulay. Le graphe s’ comprend ici 57 sommets. Pour I = 3. on lit sur le graphe que les ClCments 11 E & tels que ‘0 + CL, $! &? pour tout % Sent y] i. (11 et ylt], Par consiquent, les 711 tels que &(n,,) # (1 sent ks y; $ 714 pour i 6 { 1, 1(). ll}, les g&5-ateurs leur correspondant &ant de degrC 1 ql / + 4 (2 de degrk 6 et 1 de degrC 7), et /IA = 3. Pour f = 2, on trouve de m&ne que les ,111 tek que &( A,,,,) # 0 sont les elkments ‘f;; ,+ ‘TJ,A pour

‘f ‘, = (i.fI-i) et i E (-:~,-a.-l.l,‘L.:l,-~. s.6.7.8.1().11). aVCC /J2(,A,,,)={f ~~~o,7. C&I

donne /Ji = 12. tow les gikrateurs ktant de degre 5. Pour f = 1, les 711, tels que h,(&,,) # 0 sont les Cltments ‘I:, + JJ.,~ pour I)? = (i. -i) et i E { -9, -8. -6, -5, -4, -3, -2. -1,0,1~2.3.i1.5.8},

avec k,(A,,,) = { r tlS)z {-5’01 On a /& = 17 et tous les gCn&ateurs sont de de& 4. Enfin,

pour f = 0. on utilise la section 4.2 ainsi que le graphe permettant de trouver que &,(a,,,) # 0 pour JIJ, E {y4 + u2.yI f o,:i.y4 + fJ,>ff; + al.qfi + f12~ffi~.q~ + Q}. ce qui nous donne if,,,(A,,,) = 1. Nous awns 3 g&rateurs de dcgrC 3 et 4 de degri 2. avec 191 = 7.

Note remise le 13 twi 1996. accept& apt& rCvision ie I I septembre 1996.

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