greda prosta greda mtn i uticajne
TRANSCRIPT
6 PROSTA GREDA 6.1 Statička metoda
Ako je jedna kruta ploča oslonjena na jedno nepokretno i drugo pokretno
ležište čiji su pravci okomiti na pravu koja spaja tačke oslanjanja, tada se
taj nosač naziva prosta greda.
Slika 6.1 Prosta greda
(6.1)
1 0
1 0
1
1
Ln
m m
m
Ln
m m
m
A P x p x x dxL
B P x p x x dxL
Kontrola postupka provodi se iz uslova ravnoteže
(6.2)
Transverzalna sila u proizvoljnom presjeku cjednaka je algebarskom zbiru
svih okomitih sila na osu štapa sila lijevo ili desno od tog presjeka.
(6.3)
Momenat savijanja u proizvoljnom presjeku c jednak je algebarskom zbiru
momenata svih sila lijevo ili desno od tog presjeka u odnosu na tačku c.
(6.4)
0Y
1 0
0
Ln
m
m
A B P p x dx
1 10
c
c
x Lk n
c m m
m m k x
T A P p x dx B P p x dx
1 0
1
c
c
xk
c c m c m c
m
Ln
c m m c c
m k x
M Ax P x x p x x x dx
Bx P x x p x x x dx
Ako je prosta greda opterećena samo raspodijeljenim opterećenjem, čija je
promjena duž štapa analitički definisana, tada se transverzalne sile i
momenti savijanja mogu odrediti:
(6.5)
(6.6)
Funkcija τF predstavlja odnos transverzalne sile u proizvoljnom presjeku
proste grede i reakcije A, a funkcija ωF odnos momenta savijanja na
posmatranom mjestu i momenta reakcije u odnosu na suprotan kraj.
Navedene funkcije zavise samo od oblika opterećenja.
F FT A M AL
0 0
1 1
c cx x
F F c cp x dx p x x x dxA AL
Tabela 6.1 Funkcije A, B, τF, ωF za razna podijeljena opterećenja
parabola sinusoida
Kada je prosta greda opterećena samo koncentričnim silama Pm u tačkama
nosača m=0,1,2... ...n u polju između dvije sile transverzalna sila je
Konstantna, a momenat savijanja se mijenja linearno.
Slika 6.2 Prosta greda opterećena koncentričnim silama
(6.7)
1
1
m m m
m m m m
T T P
M M T
Proračun se može provesti i tabelarno kao što je prikazano u tabeli 6.2.
Tabela 6.2 Tabelarni proračun proste grede opterećene sa koncentričnim
silama
(6.8)
0 0
1
n n
m m m
m m
A P x B P AL
Ukoliko imamo slučaj raspodijeljenog opterećenja prema proizvoljnoj funkciji,
a da pri tome koristimo postupak proračuna kao kod koncentričnih sila, tada
je pogodno izvršiti diskretizaciju opterećenja tj. Raspodijeljeno opterećenje
pretvoriti u koncentrično.
Slika 6.3 Diskretizacija proste grede
Kod trapeznog opterećenja reakcije od sekundarnih prostih greda dobijaju se
od donjeg i gornjeg trougaonog opterećenja.
Slika 6.4 Trapezno opterećenje proste grede
Reakcije od donjeg trougaonog opterećenja su:
(6.9)
2 m mm
pR
1, ,
2
3 6 3 3
m m m m m mm m m m
R p R pC C
1 1, 1 1, 1
3 6
m m m mm m m m
p pC C
Od gornjeg trougaonog opterećenja reakcije su:
(6.10)
Ukupna reakcija sa sekundarnih greda koja se predaje prostoj gredi u tački
m kao koncentrična sila je:
(6.11)
U tački 0 prva sekundarna greda će primarnoj gredi prenijeti reakciju:
(6.12)
1 1 1 1, 1 1, 1
6 3
m m m mm m m m
p pC C
1, , , 1 , 1 1 12 2
6 6
m m
m m m m m m m m m m m m mP C C C C p p p p
10 0 12
6 P p p
Ako se usvoji da su sva polja podjele jednaka dobija se:
(6.13)
Opterećenje čija je funkcija višeg stepena može se zamijeniti trapeznim, ali se
pri tome čini određena greška.
Zato je podesno funkcije opterećenja višeg stepena aproksimirati polinomom
drugog stepena.
(6.14)
0 0 1
1 1
1
26
46
6
m m m m
n n n
P p p
P p p p
P p p
21 1 1 1
2
2
2 2
m m m m mm
p p p p pp x p x x
Slika 6.5 Opterećenje aproksimirano polinomom drugog stepena
Površina paraboličnog segmenta dužine λ i strijele f je:
Prema tome na već gotove izraze za trapez treba dodati po pola površine sa
obadvije strane:
(6.15)
0 0 1 2
1 1
2 1
7 624
1012
6 724
m m m m
n n n n
P p p p
P p p p
P p p p
2
3F f
Slika 6.6 Skokovita promjena opterećenja
Ako se opterećenje mijenja skokovito a linearno je tada se može napisati:
(6.15)
10 0 1
11 1
1
26
2 26 6
26
L
D L D Lm mm m m m m
Dnn n n
P p p
P p p p p
P p p
6.2 Kinematska metoda
Reakcije oslonaca kinematskom metodom određujemo ako uklonimo
oslonac koji prenosi nepoznatu reakciju i time formiramo mehanizam sa
jednim stepenom slobode kretanja.
Slika 6.7 Mehanizmi proste grede
1 0 AY F
1 0 AX F u
1 0 BY F
Presječne sile kinematskom metodom se dobijaju uklanjanjem veze koja
prenosi nepoznatu silu, pri čemu se aplicira jedinično generalisano
pomjeranje u pravcu te sile.
Slika 6.8 Mehanizmi proste grede za određivanje M, T, N
6.3 Uticajne linije
Kada se na prostoj gredi kreće jedna jedinična sila analitički izrazi za uticajne
linije iznosiće:
(6.16)
Izrazi za transverzalnu silu:
(6.17)
Za momente savijanja:
(6.18)
u uA B
L L
c
uB u x
LT
uA u x
L
c c u x
u xB x u x
x xLM M
u x LA x u x
L
Slika 6.9 Uticajne linije proste grede
Ako je greda opterećena indirektno oblik uticajnih linija će biti poligonalan.
Slika 6.10 Uticajne linije proste grede opterećene indirektno
6.4 Granične vrijednosti transverzalnih sila
Za određivanje ekstremnih vrijednosti transverzalnih sila posmatrat ćemo
dva slučaja opterećenja, ravnomjerno raspodijeljeno i sistem koncentričnih
sila.
6.4.1 Ravnomjerno raspodijeljeno opterećenje
Slika 6.11 Uticajne linije za transverzalnu silu
Ekstremne vrijednosti transverzalnih sila za proizvoljan presjek dobijamo kao
proizvod intenziteta opterećenja i pozitivne, odnosno negativne površine
uticajne linije.
(6.19)
Uz pokretno opterećenje uvijek ide vlastita težina, od koje se transverzalna
sila računa po izrazu (6.20).
(6.20)
Ukupna transverzalna sila će biti:
(6.21)
22
22
max2 2
min2 2
p
p
x pLT p F p
L
x pLT p F p
L
1 22 2
g
gL gLT gx
2
2
max max 1 22
min min 1 22
g p
g p
LT T T g p
LT T T g p
Ako je greda opterećena indirektno oblik dijagrama transverzalnih sila je
stepenast.
Slika 6.12 Uticajne linije za transverzalnu silu kod indirektnog opterećenja
(6.22)
max2
m m
p
pe xT p F
L
Ako se za svako polje preko izraza (6.22) izračuna transverzalna sila dobija
se gornja stepenasta linija.
Transverzalna sila od stalnog opterećenja u polju (m-1, m) se dobije kada se
od reakcije oduzme dio sopstvene težine od početka nosača do polja (m-1,
m).
(6.23)
Sa ovim vrijednostima izračunatim za svako polje dobija se donja stepenasta
linija. Zasjenčeni dio je traženi dijagram maksimalnih transverzalnih sila.
11 1
2 2 2
m m
g m m m
x xgL gT gx g L x x
6.4.2 Sistem vezanih sila
Slika 6.13 Sistem vezanih sila iznad uticajne linije
Maksimalna transverzalna sila usljed sistema pokretnih vezanih sila će
nastupiti kada jedna od sila dospije iznad donjeg vrha uticajne linije.
(6.24) 1
c m mT A P xL
Slika 6.14 Grafičko rješenje maksimalnog uticaja T sila
(6.25)
(6.26)
m m
bm
P xy
L
1 b m my P x A
L
6.5 Granične vrijednosti momenata savijanja
Za ravnomjerno raspodijeljeno opterećenje ekstremna vrijednost momenata
savijanja se dobija za slučaj punog opterećenja nosača.
Maksimalni momenat savijanja u presjeku x od oslonca A jednak je:
(6.27)
Ukoliko je greda opterećena indirektno izraz daje maksimalne momente
ispod sekundarnih nosača, a između tih nosača dijagram je linearan.
U slučaju opterećenja sistemom vezanih sila maksimum tražimo za slučaj
kada je jedna sila iznad tjemena.
Slika 6.15 Uticajne linije za transverzalnu silu
2
max2 2
p R
R
p pLM x L x
Slika 6.15 Uticajna linije za momenat savijanja
Momenat savijanja u tački m je:
(6.28)
Tjeme parabole je u tački:
(6.29)
(6.30)
(6.31)
Paraboličnih funkcija ima onoliko koliko i sila na gredi.
2
L LRm m m m m m m
L
m m m m
Rx RM x M L a x x M
L L
R Rx L a x M
L L
02
m
m
L ax
2
1, 2 0 0
L
mm m m m
M Lx x x
R
2
max2
Lmm m
L aRM M
L
Specijalan slučaj je kada imamo dvije jednake sile na rastojanju e.
Slika 6.16 Slučaj za dvije jednake sile
(6.32)
(6.33)
02 4
m
L ex 1, 2
0
0
2
m m
m
xx
22
max2 4
P L eM
L