guia de funciones 2012

5/14/2018 guia de funciones 2012 - slidepdf.com

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Institución Educativa Misional Santa Tta:

1. Magnitudes Físicas

a ) Explica con tus propias palabras la diferencia entre magnitudesfundamentales y magnitudes derivadas.

b) La fuerza neta o resultante sobre un objeto es igual al produc-to de la masa del objeto por su aceleración : fuerza = masa aceleracion, ¿Qué dimensiones tiene la fuerza?

c ) El volumen de una esfera es 4

3

r3;radio del sol 109 m, radio de latierra 107 m . La relación entre el volumen del sol y la masa de latierra.

d ) Convierte en el sistema metrico decimal.

1) 125;000 Km2) 70 meses3) 0;123 pulg

2. Vectores

a ) Sean A = (3i+5 j) unidades y B = (15i+3 j) unidades Completa:

1) R = A + 4B

2) La Magnitud de R, R =

3) resultante =

b) Para restar dos vectores A y B se aplica el método del paralelo-gramo, pero sumando al A el opuesto de del B. Dibuja dos vectoresen un sistema de coordenadas y halla la diferencia grá…camente.

Muestra que la resultante, en este caso, coincide con la otra diag-onal del paralelogramo.

3. Movimiento en una Dimensión: MUR-MUV

a ) Desde un segundo piso situado a 8m, un hombre deja caer un objeto con velocidad inicial igual a cero.

1



1) Determina el tiempo de caída del objeto.

2) ¿Cúal es la velocidad del objeto justo en el momento de chocarcontra el suelo?

3) Elabora las grá…cas de posición, velocidad y aceleración parael movimiento del objeto.

b) Un perro se mueve en dirección horizontal con una velocidad con-stante vx = 3m=s. Si en t = 0s la posición del perro respecto alorigen es 8m :

1) Plantea la ecucación de posición del perro en función del tiem-

po2) Realiza un grá…co de posición en función del tiempo

4. Movimiento de proyectiles.

a ) Un cañon que dispara balas con rapidez de 350m=s, se ajusta paraque realice el lanzamiento con un ángulo de 30o. Determina:

1) La magnitud de la velocidad instantanea para un tiempo de25 s.

2) La altura máxima alcanzada por el proyectil.

3) El alcance máximo.

b) Un proyectil se dispara horizontalmente con rapidez inicial de 100m=s, desde una montaña cuya altura es de 500m.

1) Determina las componentes horizontal y vertical del vectorvelocidad inicial.

2) Halla el tiempo que el proyectil está en el aire.3) Calcula el alcance horizontal del proyectil.

FORMULAS PARA EL MOVIMIENTO DE PROYECTILES.ax = 0 Aceleración horizontalvx = v0:cos0 Velocidad horizontalx = v0:cos0:t Distancia Horizontalay = g Aceleración Verticalvoy = v0:sen0 Velocidad Inicial Verticalvy = v0:sen0 g:t Velocidad Verticaly = g:t2

2+ v0:sen0:t Distancia Vertical (Altura)

2



ymax = (v0:sen0)2

2:gAltura Máxima

xmax = v02sen(2:0)g

Alcance Máximots = v0sen0

gTiempo de subida

tv = 2v0sen0g

Tiempo de vuelov =

p v2x + v2

y Magnitud del vector velocidad

3



Institución educativa Misional Santa teresita

Guia de matemáticasGrado 11

1. Números Reales

1.1. Propiedades de los números reales

1.1.1. Propiedad conmutativa para la adición.

a + b = b + a

Cuando usted suma o adiciona dos números reales el orden no interesa.Ejemplo: 7 + 3 = 3 + 7

1.1.2. Propiedad Conmutativa para la Multiplicación

ab = ba

Cuando usted multiplica dos números reales, el orden de los factoresno altera el resultado.

Ejemplo: 3 5 = 5 3

1.1.3. Propiedad Asociativa para la adicción

(a + b) + c = a + (b + c)

Cuando usted suma tres números, no importa que adición binaria re-alice primero.

Ejemplo: (2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7)

1.1.4. Propiedad Asociativa para la multiplicación

(ab)c = a(bc)

Cuando multiplica tres números, no importa que pareja multiplicaprimero el producto es el mismo.

Ejemplo: (3 7) 5 = 3 (7 5)

4



1.1.5. Propiedad Distributiva

a(b + c) = ab + ac

Cuando usted multiplica un número por la suma de dos términos, ustedobtiene el mismo resultado si multiplica el número con cada uno de lostérminos de la suma, luego suma los resultados.

Ejemplo: 2 (3 + 5) = 2 3 + 2 5

1.2. Propiedades de los negativos

(1)a = aEjemplo: (1)5 = 5

(a) = a

Ejemplo: (5) = 5

(a)b = a(b) = (ab)

Ejemplo: (5)7 = 5(7) = (5 7)

(a)(b) = ab

Ejemplo: (4)(3) = 4 3

(a + b) = a b

Ejemplo: (3 + 5) = 3 5

(a b) = b a

Ejemplo: (5 8) = 8 5

1.3. Propiedades de las fracccionesa

b c

d=

ac

bdLa multiplicación de fracciones se realiza numerador con numerador ydenominador con denominador.

Ejemplo:2

3 5

7=

2 5

3 7=

10

21

5



a

b c

d =

a

b d

cDivisión de fracciones, se invierte el divisor y luego se multiplica..

Ejemplo:2

3 5

7=

2

3 7

5=

14

15

a

c+

b

c=

a + b

cla suma o adicción de fracciones homogeneas, se coloca el mismo de-nominador y se suma los numeradores.

Ejemplo:2

5

+7

5

=2 + 7

5

=9

5a

b+

c

d=

ad + bc

bdSuma de fracciones de diferentes denominador, encunetra el mínimocomún múltiplo de los denominadores luego suma los numeradores.

Ejemplo:2

5+

3

7=

2 7 + 3 5

35=

29

35

ac

bc=

a

bSe pueden cancelar n{umeros que tengan factores comunes en el nu-merador y denominador.

Ejemplo:2 5

3 5=

2

3

Sia

b=

c

d, entonces ad = bc

multiplicación cruzada

Ejemplo:2

3=

6

9, así 2 9 = 3 6

1.4. De…nición de valor absoluto

Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es

jaj =

a if a 0

a if a < 0

6



1.5. De…nición de distancia entre dos puntos

Si a y b son números reales, entonces la distancia entre dos puntos a yb sobre la recta real esta dada

d(a; b) = jb aj

2. PRE CÁLCULO

La peste bubónica parece haberse aliado con las matemáticas por el año de

1664, en el cual cerraron las universidades de Inglaterra debido a la pesteque había, por lo cual Sir Isaac Newton (1642-1727) regreso a su hogar enLincolnshire durante año y medio de trabajo resulto el tratado del calculus.En Alemania a la vez Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 -1716) Alemán, Leib-niz inicio su trabajo ocho años después que Newton estableció la notaciónde dx y . Estos dos personajes estudiaron muchos las funciones que en susépocas se llaman ‡uxiones.Las funciones utilizan variables que pueden ser dependientes o independi-entes, estas variables se representan por letras.LA FUNCIÓN ES UNO DE LOS CONCEPTOS MÁS IMPORTANTES DE

LA MATEMÁTICA.

2.1. INTRODUCCIÓN

Uno de los conceptos más importantes de la Matemática es el de función. Estenos permite describir la correspondencia entre dos conjuntos, por ejemplo lafunción exponencial explica y predice fenómenos de crecimiento de bacteriasó desintegración de una sustancia radiactiva, la tasa de crecimiento de interéscompuesto de un capital invertido es también función exponencial.La longitud y el área de un círculo dependen de su radio, C = 2r A = r2

La hipotenusa de un triángulo rectángulo depende de sus catetos.La sequia depende del tiempo seco de una región.El valor de los servicios públicos depende del consumo.El volumen de un paralelepípedo depende del área de su base y su altura.V = b:hLos modelos de función han servido a las ciencias para expresar y predecirmuchos fenómenos tanto en la vida cientí…ca como en la vida social.Una función es una correspondencia entre dos conjuntos A y B, que asocia acada elemento de A un y solo un elemento de B. el conjunto A lo llamaremosdominio y el conjunto B rango.

7



Veamos primero lo que es una relación, ya que una función es una relación,

pero no toda relación es función.RELACIONES:PRODUCTO CARTESIANO:Sea A = f1; 2; 3g B = f4; 6; 7; 8gEntonces:

AxB =

(_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _);(_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _)

BxA =

(_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _);(_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _)

En general AxB y BxA; ¿son conmutativo?

¿Por que?Sea Re el conjunto de los realesRexRe = R2

e, es el conjunto in…nito de pares ordenados.La representación grá…ca de este conjunto se conoce como:“PLANO CARTESIANO”.

De…namos ahora que es entonces un producto cartesiano y que es unplano cartesianoRELACIONES ENTRE CONJUNTOS:Sea C = f1; 2; 8g LuegoCxC = f(_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _)gConsideremos ahora el subconjunto de CxC , R =

f(x; y)= x + y = 9

gDecimos entonces que la relación R es:Represente la relación R en un diagrama sagital o de ‡echas, cartesiano.ELEMENTOS DE UNA RELACIÓN:La relación del ejemplo anterior los elementos 1; 2; 8 se consideran el DO-MINIO de la relación y los elementos 1; 2; 8 se consideran el RANGO de larelaciónDe…no: DOMINIO Y RANGO de una relación.

GRÁFICA: Es el conjunto de puntos del plano, los cuales representan lasparejas que pertenecen a la relación.

EJEMPLO: Sea A = f1; 3; 4; 8; 10g B = f0; 4; 5; 6; 9; 11g

AxB =

8>>>>>><>>>>>>:

(_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _);(_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _);(_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _);(_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _);(_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _);(_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _)

9>>>>>>=>>>>>>;

y la relación R = f(x; y)= y = x + 1gLa relación R es:

8



f gEl dominio de la relación R es el conjunto:El rango (contradominio) de la relación R es el conjunto:La grá…ca cartesiana de la relación R es:RELACIONES INVERSAS:Sea A = f3; 5; 7; 9gR = f(x; y)= AxA; x es multiplo de ygR1 = f(x; y)= AxA; x es divisor de ygLas parejas que pertenecen a R son:f gLas parejas que pertenecen a R1 son:

f gQue podemos concluir de la comparación de las relaciones R y R1

“a esa conclusión la llamamos una relación inversa”

¿De…no que es una relación inversa?PROPIEDADES DE LAS RELACIONES:EJEMPLOS:

1. Sea A = f3; 6; 7; 9g y R = f(x; y)= AxA; x + y sea pargEntonces R es el conjunto:

f gEnuncie características de la relación:

Su grá…ca cartesiana es:

Está relación R es una relación REFLEXIVA.De…no cuando una relación es REFLEXIVA

9



1. Sea A =

f1; 2; 3

gy R =

f(x; y)= AxA; x

y sea par

gEntonces R es el conjunto:f g

1. Enuncie características de la relación:


Está relación R es SIMÉTRICA.

De…no cuando una relación es SIMETRICA

¿Es re‡exiva? ¿Por qué?

1. 3. Sea A = f3; 6; 12g y R = f(x; y)= AxA; x divide a y g

Entonces R es el conjunto:

f g1. Enuncie características de la relación:

10




Está relación R es TRANSITIVA.

De…no cuando una relación es TRANSITIVA

Seria ¿Re‡exiva, Simétrica?

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA:En que se diferencia el ejemplo 1 del 2 y del 3?

Decimos que la relación 1 del ejemplo es una RELACION DE EQUIVALEN-CIADe…no que es una RELACION DE EQUIVALENCIA

RESOLVAMOS:

1. Repaso el producto cartesiano entre dos conjuntos y su representacióngrá…ca. A = fr;s;tg B = fu; vg;

entonces AxB = f(r; u); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _); (_; _)g ;

2. Si P = f1; 2; 3; g T = f3; 4g entonces

R1 = f(x; y)=x + y = 5g = fDominio de R1 =fRango de R1 = f

11



FUNCIONES:

El área A, de un circulo depende de su radio r. La regla que relaciona r conA está expresada por la ecuación A = r2, La cantidad, N , de bacterias enun cultivo depende del tiempo transcurrido t. Si el cultivo se inicia con 5000bacterias y la población de éstas se duplica cada hora, una vez transcurridast horas la cantidad de bacterias será N = (5000)2t.Esta última es una regla que relaciona t con N .En los ejemplos mencionados, se puede a…rmar que son funciones, ahora ob-servemos los siguientes funciones: a cada fecha de cumpleaños le correspondemás de una persona; la relación R = f(x; y)= x = y2 2 g, estos ejemplos nocorresponden a funciones.

¿Qué diferencias encontramos entre los dos grupos de ejemplos?¡Esas diferencias hacen que el primer grupo sean funciones!Ahora vamos a de…nir que es una FUNCIÓN

FUNCIÓN

EJEMPLO:Sea Z el conjunto de los números enteros

F = f(x; y); y = x2 10 x / x 2 Zg

El conjunto de F está dado por:Elaboremos un grá…co sagital¿Es la relación F una función? ¿Por que?Grá…camente como puedo veri…car si una relación es función o no.

Si a una función f : R R; se le asigna un valor y 2 R en el rango a ciertax 2 R; 01en el dominio escribimos:y = f (x) “f de x”, se denomina el valor de f en x, observe que f (x) no esel producto de f en x:EJEMPLOS:

12



f (x) = 4x2

6x + 1

Calcular f (a), reemplazamos a x por a en la ecuación (1)

f (a) =

f (5) =

f (3) =

f (1=2) =

Dada g(x) = 3x2

2x + 5

Evalúe

g(h + 1) =

g(1) =

g(h) =

g(x + h) =

g(1) + g(h) =

g(5) =

g(x+h)g(x)h

=

RESOLVAMOS:

1. f (x) = 3x + 2

evalue

a ) f (0) =

b) f (7) =

c ) f (2) =

d ) f (4 t) =

con t 4

e ) f (4 + t) =

f ) f (x+h)f (x)h

13



2. u(x) = 3

evalue

a ) u(0) =

b) u(7) =

c ) u(2) =

d ) u(4 t) =

con t 4

e ) u(4 + t) =

f ) u(x+h)u(x)h

3. g(x) =

3x + 4 si x < 42x + 1 si x 4

evalue

a ) g(0) =

b) g(7) =

c ) g(2) =

d ) g(4 t) =con t 4

e ) g(4 + t) =

f ) g(x+h)g(x)h

4. h(x) = 2

evalue

a ) h(0) =

b) h(7) =

c ) h(2) =

d ) h(4 t) =

con t 4

e ) h(4 + t) =

f ) h(x+v)h(x)v

aqui v es el incremento

14



5. H (x) = 4

evalue

a ) H (0) =

b) H (7) =

c ) H (2) =

d ) H (4 t) =

con t 4

e ) H (4 + t) =

f )H (x+h)

H (x)h

6. F (x) = x2 3x + 5

evalue

a ) F (0) =

b) F (7) =

c ) F (2) =

d ) F (4 t) =

con t 4e ) F (4 + t) =

f ) F (x+h)F (x)h

7. G(x) = 2

evalue

a ) G(0) =

b) G(7) =

c ) G(2) =d ) G(4 t) =

con t 4

e ) G(4 + t) =

f ) G(x+h)G(x)h

8. f 1(x) = 2x7x+2

evalue

15



a ) f 1(0) =

b) f 1(7) =

c ) f 1(2) =

d ) f 1(4 t) =

con t 4

e ) f 1(4 + t) =

f ) f 1(x+h)f 1(x)h

9. Sea y = f (x) = 2x + 1, realizo el gra…co en el plano cartesiano RxR

Gra…co en el plano:

y = 3x 4;

y = x2 1 ,

y = 2x+1;

10. En cada uno de los ejercicios trace la grá…ca de f

a ) f (t) =

8

<:1 si t 0

t + 1 si 0 < t 3

t2

1 si t 3

b) f (x) =

8<:

x2 si x 3x3 si 3 < x 32x si x 3

c ) f (x) =

8<:

3 si x 4x si 4 < x 43 si x 4

d ) f (x) =

x2 + 4 si x 12x si x 1

e ) f (t) =

2 si x 02 si x > 0

f ) f (t) =

x29x3

si x 6= 3

1 si x = 3

g ) f (t) =

8<:

1 si t < 0t + 1 si 0 t < 2t2 4 si t 2

16



h ) f (x) =8<:

x2 si x < 0

x3 si jxj < 12x 4 si x 1

i ) f (x) =

x2 + 1 si x > 13x si x 1

j ) f (x) =

2 si x > 03 si x 0

k ) f (x) =

x24x2

si x 6= 2

3 si x = 2

11. Gra…que las siguientes funciones teniendo que son funciones a trozos.

a ) F (x) =

8>>>><>>>>:

3 si x 2 [6; 4]2 si x 2 (4; 1)5 si x 2 [1; 3]3 si x 2 (3; 8]2 si x 2 (8; 11]

b) g(x) =

8<

:

2 x 3 si x < 02 x2 si 0 x < 25 si x

2

c ) f (x) = dx 1ed ) h(x) = dx + 1e

12. Para la función y = f (x) = x2 + 2x 3, si 2 x 5

Encuentro los valores para

a ) f (0) =

b) f (1) =

c ) f (6) =

d ) f (23

) =

En general y = f (x) se lee y es función de x

13. Gra…co en el plano y = 2x+1x29

g(x) =p

2 7x

El conjunto de todos los valores admisibles de x recibe el nombre de DO-MINIO de la función, y; al conjunto de todos los valores resultantes de y; sedenomina RANGO de la función.

17



EJEMPLO:Hallar el dominio, rango de la función y elaborar su grá…caf (x) = 1

x2, x 6= 2 .

RESOLVAMOS:

1. Determine el dominio de cada función

a ) f (x) = 4p

x Dom(f ) =

b) f (x) = 2x+3

Dom(f ) =

c ) f (x) =

4 si x < 04 si x 0

Dom(f ) =

d ) f (x) =

x si x < 1x si x 1Dom(f ) =

e ) f (x) =p

16 x2 Dom(f ) =

f ) f (x) = x2 + 2x 3

g ) f (x) =

2x + 8 si x > 316 2x si x 3

Dom(f ) =

h ) f (x) = 4p

x + 2 Dom(f ) =

18



i ) g(x) = 1x1

Dom(f ) =

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

x

y

j ) h(x) =

8<:

x2 si x < 03x 5 si 0 x < 24 si x 2

Dom(f ) =

k ) f (x) =

x si x > 1

x si x 1 Dom(f ) =

l ) f (x) =

1 si x > 03 si x 0

Dom(f ) =

m ) f (x) =

2x 3 si x > 56 3x si x 5

Dom(f ) =

n ) f (x) =p

25 x2 Dom(f ) =

ahora, De…namos que es una función sobreyectiva, inyectiva, biyectiva,doy ejemplos.

Función sobreyectiva:

Ejemplo:

19



Función inyectiva:

Ejemplo:

Función biyectiva:

Ejemplo:

RESOLVAMOS:

1. Determinar si la función dada, es una función inyectiva.

a )x 1 2 3 4 5 6f (x) 1 4 9 16 25 36

b)x 1 2 3 4 5 6

f (x) 1;5 2;1 3;6 5;3 2;8 2;1

c )x 1 2 3 4 5 6

f (x) 1 1=2 1=3 1=2 1=3 1

20



2. Escribir V si la a…rmación es verdadera o F si la a…rmación es falsa.

Justi…car la respuesta.

a ) La función f (x) = 5x + 3 es una función inyectiva, ya que noexisten dos elementos de x con una misma imagen.

b) La función f (x) = x2 + 5 es una función sobreyectiva por queRanf (x) = Re = Codf (x)

c ) La función f(x)=p

x 9 no es una función sobreyectiva por queRanf (x) 6= Codf (x).

d ) La función f (x) = x2 es una función biyectiva, porque es una

función inyectiva y sobreyectiva.e ) La función f (x) = x + 4 es una función sobreyectiva por que

Ranf (x) = Re = Codf (x)

f ) Las funciones cuadráticas son funciones sobreyectivas.

3. El gerente de un centro comercial sabe que si cobra x cantidad de pesospor un local, entonces, el número de locales que puede arrendar estadado por la expresión: f (x) = 200 4x

a ) Determinar si la función f (x) = 200

4x es una función inyectiva.

b) Analizar si la función es sobreyectiva, explicar porque.

c ) Completar la tabla de valores de la función.x 10 20 30 40 50

f (x)

d ) Gra…car la función f (x).

Con frecuencia las grá…cas se emplean para escribir La variación decantidades físicas. Por ejemplo un cientí…co puede emplear la Figurapara mostrar el comportamiento de la temperatura T de cierta soluciónen diferentes instantes t durante un experimento.

En el intervalo t=0 y t=5 la temperatura es. . .En el intervalo t= 5 y t=8 la temperatura es...En el intervalo t=8 y t=9 la temperatura es. . .Para variaciones de T es más valiosa una grá…ca de este tipo que una tablade variaciones numéricas.En general, hablemos de funciones que crecen o decrecen en ciertos intervalos.

21



1. Sea f una función de…nida sobre un intervalo I y sean x1; x2 númerosen I;

2. f (x) es creciente por qué?

3. f (x) es decreciente por qué?

4. f (x) es constante por qué?EJEMPLOS:

1. Trazar la grá…ca de f (x) = x2 3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

x

y

22



, encontrar dominio, rango de la función, determinar los intervalos en

que la función es creciente o decreciente.

Dominio:Rango:Decrece en ( ; ) y crece en [ ; )f (x) tiene un valor mínimo en x = (al menor valor), se llama mínimo def , El punto ( ; ) es el punto más bajo de la grá…ca, f (x) no tiene valormáximo.

2 Trazar la grá…ca de F (x) =p

x + 2 , hallar: dominio, rango, dónde f (x)

es creciente, decreciente, cuál es el máximo, cuál es el valor mínimoDominio:Rango:Decrece en ( ; ) y crece en [ ; )

3 .F (x) = x2 5 v( ; )

Dominio:Rango:Decrece en ( ; ) y crece en [ ; )

Existe un valor mínimo para x = , en el punto ( ; ) no tiene valor máximo.

4 Sea F : Re ! Re decimos que F es escalonada, si su dominio se puededividir en intervalos, tales que cada uno de ellos la función es constante.

Función parte entera o mayor entero:

f : N ! Z donde dxe es el mayor entero menor o igual que x

f (x) = [x] = n () n x < n + 1; n 2 Zx

2

x

1

1

x

0 0

x

1 1

x

2 2

x

3

f =(x) 2 1 0 1 2GRÁFICA DE LA FUNCIÓN PARTE ENTERA .f (x) = dxe

23



-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

1. RESOLVAMOS:

2. Trace la grá…ca de F , determinar el dominio, rango de F y describa losintervalos en la que F es creciente, decreciente o constante.

a ) F (x) = 3 x

2

1) Grá…ca2) Dominio de F=3) Rango de F=4) F es creciente en :5) F es decreciente en6) F es constante en

b) F (x) =p

x + 4

1) Grá…ca2) Dominio de F =3) Rango de F =4) F es creciente en :5) F es decreciente en6) F es constante en

c ) F (x) = 1x2

1) Grá…ca

24



2) Dominio de F =

3) Rango de F =4) F es creciente en :5) F es decreciente en6) F es constante en

d ) F (x) = jx + 2j1) Grá…ca2) Dominio de F =3) Rango de F =

4) F es creciente en :5) F es decreciente en6) F es constante en

3. a ) FUNCIÓN INVERSA:

Recuerdo como se determina la inversa R1 de una relación R. Para deter-minar la inversa de una función F 1, el proceso es el mismo.Ahora podemos concluir, que para hallar la F 1 equivale a:EJEMPLOS:

1. Sea F (x) = 3x + 2 y = 3x + 2

observa cuál es el proceso para encontrar la función inversa, debe serclaro que una función F; existe F 1 si y solo si F es inyectiva ó sirestringimos el dominio para que la función sea inyectiva.

Grá…ca de la función F (x) = 3x + 2

25



2.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

x

y

Proceso:

Intercambiemos las variables x e y.

Tenemos:

x = 3y + 2

despejamos y, “Recuerda que en una ecuación, cuando el númeroesta positivo en el lado derecho pasa negativo en el lado izquierdo”x 2 = 3y

“Recuerda que en una ecuación, cuando el número esta multiplicandoen el lado derecho pasa a dividir toda la expresión del lado izquierdo”

y = x23

Gra…ca de F 1 = x23

:

26



-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

x

y

Escribimos: y = F 1 F 1 = x23

:

Grá…camente la inversa se obtiene re‡ejándola sobre la recta y = x ¿ porqué?

2 Sea F (x) = x2

3, x

0 =

)y = x2

3, x

0 y +3 = x2

Grá…ca de la función F (x) = x2 3DomF (x) = fx 2 Rx 0g = (0; +1)RangF (x) = fx 2 Rx 3g = (3; +1)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

x

y

27



Intercambiemos las variables x e y.

Tenemos:x = y2 3

despejamos y,

y =p

x + 3

Escribimos: y = F 1 F 1 =p

x + 3:

Grá…ca de la función F 1 =

p x + 3

RangF (x) = fx 2 Rx 0g = (0; +1)DomF (x) = fx 2 Rx 3g = (3; +1)

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

x

y

RESOLVAMOS: FUNCIONES INVERSAS

1. Encuentre la función inversa de F luego traza a grá…ca

a ) y = p 2 x

b) y =p

3x + 2

c ) y = 2 3x4

d ) y = p x

2. Trace la grá…ca de F; determinar el dominio, rango de F , y describalos intervalos en la que F es creciente, decreciente o constante.

28



a ) f (x) = 5

x2

b) g(x) = p x + 4

c ) h(x) = 1x2

d ) f (x) = jx 2j

3. Encuentre la función inversa de F , trazar la grá…ca de F y F 1:

a ) F (x) = p 3 x

b) F (x) =p

3x + 4

c ) F (x)= 4

4x

5d ) F (x)=

p x

ALGEBRA DE FUNCIONES:Sean f; g funciones de una variable real, de…nidas f : A ! B; g : C ! D;donde A; B; C; D son subconjuntos de los números reales.Dadas dos funciones f y g la suma, la diferencia, el producto y él cociente deesas funciones se de…nen de la siguiente manera:

1. Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x) Dom(f + g) = A \ C

2. Diferencia: (f g)(x) = f (x) g(x) Dom(f g) = A \ C

3. Producto: (f g)(x) = f (x) g(x) Dom(f g) = A \ C

4. Cociente: ( f g

)(x) = f (x)g(x)

con g(x) 6= 0 Dom(f g

) = fx 2 A \ C g(x) 6= 0g

EJEMPLOS:

1. Sea: f (x) = 2x 1 g(x) =p

x

Dominio de f (x) = R

Dominio de g(x) = R+

dominio f (x)\ dominio g(x) = R \R+ = R+

(f +g)(x) = f (x)+g(x) = 2x1+p

x Dom(f +g) = R+[f0g(f g)(x) = f (x)g(x) = 2x1p

x Dom(f g) = R+[f0g(f g)(x) = f (x) g(x) = 2x 1 +

p x Dom(f g) = R+ [ f0g

(f g

)(x) = f (x)g(x)

= 2x1p x

Dom(f g) = R+

29



RESOLVAMOS:Ejercicios de algébra de funciones

1. Calcule la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las dosfunciones f y g en cada uno de los ejercicios siguientes:

a ) f (x) =p

x + 1 g(x) =x1x+3

b) f (x) = (x 3)2 g(x)= 1x21

c ) f (x) =p

x + 1 g(x) =x+1x

d ) f (x) =p

x 1 g(x) = 1p x+1

e ) F (x) = 1x+2

g(x) = x21x+2

f ) f (x) = (x + 1)2 g(x) = 1g ) f (x) = 1

x21g(x) = x

h ) F (x) =p

x g(x) = 2x + 4

Otra forma en que dos funciones pueden combinarse y producir una tercerafunción se conoce como composición de funciones la cuál tambien es conocidacomo la quinta operación de funciones.COMPOSICIÓN DE FUNCIONESDEFINICIÓN:

1. Sean f y g dos funciones, tales que estan de…nidas f : A!

B; g : B!C; donde A; B; C son subconjuntos

de los números reales, de tal manera que g(x) pertenezcan al dominiode f (Rango(g) Dom(f )).

entonces la composición f g (Se lee g compuesta con f ) se de…ne por:

(f g) (x) = f (g (x)) tal que para cada x que pertenece al dominio de g,g(x) pertenece al dominio de f

EJEMPLOS:

1. f (x) = x21 y g (x) = 2x + 3, donde, f : R ! R; g : R ! R podemos

cálcular (f g) (x) evaluando x en g primero, luego en f ; La funcióng esta dada por 2x + 3;

entonces aplicamos a f; 2x + 3 obteniendo la composición.

(f g) (x) = f (g (x))

= f (2x + 3)

= (2x + 3)2 1

= 4x2 + 12x + 9 1

= 4x2 + 12x + 8

30



RESOLVAMOS:

2. Sea f (x) = 2x+2

1 y g(x) = (x 2)

a ) Calcular:

b) g(9) =

c ) (f g)(9) = f (g(9)) =

d ) g(4) =

e ) (f g)(4) = f (g(4)) =

f ) (f

g)(x) = f (g(x)) =

g ) g(x) =

h ) (g f )(6) = g(f (6)) =

i ) f (6) =

j ) (g f )(1) = g(f (1))

k ) f (1) =

3. Si f (x) = 13x+1

g(x) = p x + 2 evalue cada una de las siguientes

funciones.

a ) (f g)(4)

b) (f g)(1=4)

c ) (g f )(3=2)

d ) (g g)(4)

e ) (f f )(4)

f ) (g f )(2=3)

g ) (f g)(x)

h ) (g f )(x)

4. Determine (f g)(x) y (gf )(x) de cada uno de los siguientes ejercicios

a ) f (x) =p

x + 3 g(x) = x2

b) f (x) = 2 + 3p

x g(x) = (x + 4)2

c ) f (x) =p

x 3 g(x) = x2 4

d ) f (x) =p

x g(x) = x2 + 4

31



5. Encuentre funciones f (x) y g(x) de tal manera que cada función com-

posición sea como esta descrita.

a ) (f g)(x) = (x2 + 1)

b) (g f )(x) =p

2x + 3

c ) (f g)(x) = 1x2+7

d ) (g f )(x) = 1p x2+8

e ) (g f )(x) =p

x + 3

f ) Si f (x) = 12x3

g(x) = p x 4 evalúe cada una de las sigu-

ientes funciones.g ) (f g)(1=4)) =

h ) (f g)(4)) =

i ) (g f )(3=2)) =

j ) (g f )(1=2)) =

6. Determine (f g)(x) y (g f )(x) en los ejercicios siguientes:

a ) f (x) =p

x + 1 g(x) = x2

b) f (x) = 2 p x g(x) = (x + 2)2

c ) f (x) = 3 g(x) = 7

d ) f (x) = x 1 g(x) = x2

7. Encuentre f (x) y g(x) de tal manera que la composción f g sea comoesta escrita

a ) (f g)(x) = (x2 + 4)

b) (f g)(x) =p

2x 8

c ) (f g)(x) =

5x

x7

d ) (f g)(x) = 4p x9

8. Escribir las funciones f (x) y g(x) que componen la función h(x) =f (g(x)) dada.

a ) h(x) =p

cos(x)

b) h(x) = (x 1)2

c ) h(x) = cos(p

x)

32



d ) h(x) = 2x+4

e ) h(x) = x3

x2+5

f ) h(x) = cot(x)

g ) h(x) = sin2(x)

h ) h(x) =p p

x 8

i ) h(x) = 15x5

j ) h(x) = 1sinx2

ACTIVIDADES:

1.

2.

Una función f es creciente en un intervalo I , si para cualquier x1 , x2

donde x1 < x2

Se tiene que f (x1) < f (x2)

Una función f es creciente en un intervalo I , si para cualquier x1 , x2

donde x1 < x2

Se tiene que f (x1) > f (x2)

Una función es constante sobre un intervalo I , si para todo x los valoresde f (x) son Iguales.

1. Gra…co y = 3x 2 y = 2x + 3 y = 5

Una función f es par si para cualquier x en su dominio se cumpleque f (

x) = f (x)

Una función f es impar si f (x) = f (x)

2. Analizo si las siguientes funciones son pares ó impares y establezco sussimetrías.

Funciones especiales.Usando la tabulación realizo a las siguientes funciones:

grá…ca

33



Dominio

Rango

Analizo si son funciones pares, impares o constantes.

1. a ) y = f (x) = 2x + 4

b) y = f (x) = 6

c ) y = f (x) = x

d ) y = f (x) = x2 3

e ) y = x

3

+ 2 f ) y = f (x) =

p x

g ) y = jxjh ) y = f (x) = 1

x4

i ) y = f (x) = dxe

TALLER DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL:

1. La …gura ilustra un cable telefónico, que está conectado a un punto P que esta a x pies sobre el suelo en un poste telefónico a un punto a 8pies del suelo en una casa, localizada a 30 pies del poste.

a ) Exprese la longitud del cable como función de x

b) ¿Dónde debe conectarse al cable de modo que su longitud sea 50pies?

2. A las 6 a. m se eleva un globo meteorológico desde el suelo, este se elevaa razón constante de 5 pies por segundo. Un observador se sitúa en unpunto a 120 pies del punto de liberación. Si t representa el número desegundos que han transcurrido desde la liberación del globo, exprese la

distancia del observador al globo como función de t.

3. La altura oblicua s de un cono circular recto se indica en la …gura. Si laaltura del cono es de 8 cms, exprese el volumen del cono como funciónde s.

4. Un cilindro recto circular abierto de altura h está inscrito en una esferade 12 cms de radio.

a ) Exprese el área de la super…cie del cilindro como función de r.

34



b) Exprese el volumen del cilindro como función de r

5. Según la …gura

a ) Exprese y como función de x

b) Exprese el área del triangulo ABC como función de x

6. Un hombre de 6 pies de altura esta a x pies de distancia de un asta de20 pies que tiene una luz en la parte superior, Exprese la longitud dela sombra s del hombre como función de x.

7. Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto de altura15 pies y radio 5 pies. Si el tanque se llena de modo que el radio delcírculo en la super…cie del agua es r, exprese el volumen del agua en eltanque como función de la profundidad d.

8. El punto (x; y) está sobre la recta que pasa por los puntos (0; 2) y (5; 0)

a ) Exprese y como función de x

b) Exprese el área del triangulo ABC como función de x.

9. El Triangulo ABC está inscrito en un semicírculo de radio r. Exprese

el área de la parte sombreada del semicírculo como función de r.

10. Se une un punto D(x; y) sobre la recta que une al origen con el punto(4; 7),Utilice la …gura para expresar el área del rectángulo ABCD comofunción de x.

11. Se desea fabricar una caja abierta mediante una hoja rectangular demetal de 30 por 40 centímetros , cortando cuadrados idénticos de lado xde cada una de las esquinas de la hoja, doblando los lados para formarla caja

a ) Exprese el volumen de la caja resultante como función de x.

12. Se desea cortar en dos partes un cable de 30 cms de longitud. Con unaparte se debe formar un cuadrado y con la otra un circulo.

a ) Exprese el área total encerrada por el cuadrado y el círculo comouna función del lado s del cuadrado.

b) Exprese el área total encerrada por el cuadrado y el circulo comofunción del radio r del circulo.

35



13. La pista de atletismo tiene la forma de rectángulo con un semicírculo

de radio r en cada extremo. Si la distancia total alrededor de la pistaes 200 metros . Exprese el área encerrada por la pista como función der.

14. Con una hoja rectangular de aluminio de 18 pies de largo por 1 piede ancho, se desea formar un canal para el agua lluvia, doblando unabanda de x pies de ancho a lo largo de cada orilla de la hoja.

Exprese el volumen de lluvia que puede controlar como función de x.

BIBLIOGRAFÍA:Cálculo y trigonometria de Shokwosky (BIBLIOTECA MISIONAL)Algebra y trigonométria de Dennis Zill (BIBLIOTECA MISIONAL)Espiral Once Editorial NormaCalculo Editorial Cencage

36

guia de funciones 2012

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