PRIMER MES

Nombre de la asignatura: Investigacin Operativa IParcial de estudio:

Primero

Introduccin

La Programacin lineal, es una clase de modelos de programacin matemtica destinados a la asignacin eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas, con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (tal como maximizar beneficios o minimizar costos). La caracterstica distintiva de los modelos de P. L. es que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales o sea inecuaciones o ecuaciones de primer grado.

La PL. Tuvo sus orgenes a raz de la Segunda Guerra Mundial, cuando George Dantzin, quien realiz investigaciones y aplicaciones en distintos casos de operacin areo-militar.

Leonfiel aport principalmente en relaciones interindustriales a travs de su Matriz de Insumo - Producto.

Koopmans, incursion profundamente en aplicaciones microeconmicas resolviendo casos de produccin, asignacin de recursos, maximizacin de beneficios y minimizacin de costos, etc.

La PL. Es un modelo sistemtico y matemtico de enfocar determinado problema para lograr una solucin ptima o la mejor posible, empleando una ecuacin objetivo (propsito del problema), un conjunto de restricciones lineales y una condicin de eliminar valores negativos (condicin de no negatividad).Asesora didcticaDurante este primer parcial usted revisar los captulos II y III, del texto gua Investigacin Operativa Tomo I, contenido que le servir para desarrollar la actividad. Adicionalmente, usted dispondr de ejemplos relacionados con el tema de estudio en esta asesora.

A travs de la PL, se pueden resolver interesantes casos tales como: combinacin ptima de mezclas de produccin, disposicin interna de procesos, maximizacin de beneficios, localizacin, asignacin de recursos, minimizacin de costos, transporte, entre los ms sobresalientes.

En cuanto al rea de aplicacin se resuelven casos en la industria en general y dentro de sta con mejores opciones en la industria qumica, hierro y acero, papel y cartn, petrleo, farmacuticos, alimenticios y textil.

Se han realizado aplicaciones tambin en la agricultura, construccin, aviacin, sistemas hidroelctricos, transporte, etc.

Conceptos bsicos

Linealidad

Todo proceso, actividad o relacin lineal utilizada se identifica con la cantidad unitaria de cada uno de los factores con respecto a los dems y a las cantidades de cada uno de los productos.

Divisibilidad

Los procesos pueden utilizarse en extensiones positivas divisibles mientras se dispongan de recursos.

Finitud

Tanto el nmero de procesos identificados cuanto los recursos disponibles, debern corresponder a cantidades finitas, esto es, conocidas y cuantificadas en forma determinstica.

Algoritmos o Iteraciones

Como se dijo anteriormente la I. O. en lo que se refiere a la P. L. utiliza mtodos mediante aproximaciones sucesivas, ensayos, intentos que reciben el nombre de algoritmos o iteraciones y, segn los cuales se determina pasos o etapas hasta obtener el objetivo planteado.

El problema general de la PL.

Los problemas de la PL, se presentan por la limitacin de recursos que se tratan de distribuir en la mejor forma. Los recursos a la vez que son limitados en trminos per se (por s mismo) pueden ser distribuidos en tantas formas como combinaciones matemticas permitan relacionarlos a un mismo objetivo, de all que es necesario distribuirlos adecuadamente en forma equilibrada y armnica entre los factores que intervienen en el problema, a fin de encontrar las mejores alternativas de uso, cumpliendo con el propsito fijado.

Un problema de PL, trae implcitamente el sentido de funcin, propsito o meta, recursos disponibles y habilidad o forma para seleccionar, comparar y decidir la mejor alternativa (decisin).

Los problemas de PL. Planteados y resueltos por cualquiera de los mtodos debern cumplir cuatro condiciones necesarias y suficientes:

1 Funcin objetivo

Es la ecuacin que expresa la cantidad que va a ser maximizada o minimizada segn el objetivo planteado y es de la forma

Z(MAX) para los casos de maximizacin

Z(MIN) para los de minimizacin.

Coeficientes de la funcin objetivo pueden ser mrgenes de beneficios, precios, costos unitarios, etc.

Variables del problema, lo que queremos lograr.

2 Limitaciones y Restricciones

Es el conjunto de inecuaciones o ecuaciones que expresan las condiciones finitas del problema, denominados tambin coeficientes tcnicos de produccin, tecnolgicos, de transporte, etc., segn sea el caso de estudio.

Donde

Coeficientes Tcnicos

Variables o incgnitas del problema.

Signos o lmites del sistema.

( Igual o menor que

( Mayor o igual que

( Igual

3. No negatividad

En la resolucin de los problemas de P. L. en ningn caso se aceptarn resultados negativos en las respuestas, pues, no se concibe produccin negativa, gastos negativos, tendrn que ser por lo menos igual o mayor que cero. Xn ( 0

4 Condiciones de Optimizacin

Se van obteniendo por aproximaciones sucesivas.

Solucin factible: Aquella que satisface las limitaciones y restricciones del problema.

Solucin bsica factible: Es aquella que satisface tanto las limitaciones o restricciones como la funcin objetivo del problema (optimizacin).El mtodo Simplex se basa en el lgebra y se lo emplea para resolver problemas de Programacin Lineal tanto de Maximizacin o Minimizacin.

Es un proceso repetitivo numrico que permite llegar a una solucin ptima partiendo de un punto extremo conocido; es decir, partiendo de una solucin bsica, si esta solucin bsica factible tomada como punto de partida no satisface, es necesario tomar otra solucin que nos da un valor para Z mayor o menor y as sucesivamente hasta llegar a la solucin final.

Es un mtodo iterativo (aproximaciones sucesivas), fue ideado por George Dantrig (1947) quien realiz investigaciones basado en relaciones matemticas de carcter lineal.

Existen tres requisitos en la solucin de un problema de programacin lineal por el mtodo simplex.

a) Todas las limitaciones deben estar establecidas como ecuaciones.

b) El segundo miembro de una limitante, no puede ser negativo.

c) Todas las variables estn restringidas a valores no negativos.

Actividades de aprendizajeActividad de aprendizaje 1.1.

PlanteamientosSolucin grficaEl mtodo grfico permite una comprensin visual de la resolucin de un problema.

De acuerdo a las condiciones deber cumplir con los cuatro requisitos bsicos.

1. Funcin Objetivo

2. Conjunto de limitaciones o restricciones

3. Condicin de no negatividad

4. Condiciones u optimizacin

4.1. Solucin factible

4.2. Solucin bsica factible

4.3. Solucin ptima factible

Mediante el mtodo grfico se trata de resolver por aproximaciones, o interacciones grficas las posibilidades de mejorar las soluciones de conformidad a la funcin objetivo determinada.

Maximizacin

Cuando se trata de problemas de maximizacin, la solucin est determinada por la regin interior formada por el polgono convexo.

Para este caso se utilizar las expresiones ( (menor o igual) lo que indica que la empresa no podr utilizar ms recursos de los que dispone (Finitud) y los coeficientes de X1 y X2 corresponden a las necesidades tcnicas de produccin.

Las restricciones o limitaciones sern:

La funcin objetivo puede representarse mediante un conjunto de rectas paralelas con pendiente.

Donde C1 es el coeficiente de X1 y C2 el coeficiente de X2. Cada recta indica un conjunto de puntos que proporcionan un beneficio idntico.

ObjetivoDeterminar las soluciones ptimas para problemas de programacin lineal utilizando el criterio pesimista, el criterio optimista y el criterio del valor esperado.

Orientaciones didcticasEl texto gua tiene como complemento el CD para que resuelva los problemas en la computadora y el solucionario de los problemas impares. El tema se refiere a solucin grfica de los problemas de programacin lineal.Del texto gua Investigacin Operativa Tomo I, de los problemas propuestos que se encuentran al final del captulo II, resuelva los problemas 8 y 14, la solucin debe ser manual y digitalizada.

Criterios de evaluacin

Desarrollo de ejercicios y la evaluacin de los mismos.

Actividad de aprendizaje 1.2.

PlanteamientosAnlisis de sensibilidad para las restriccionesLa bsqueda de la solucin de un modelo de decisin es solo el primer paso del anlisis. Tambin es importante que el gerente comprenda cun sensible es la solucin a los cambios en las suposiciones y a los factores exgenos. Esto tambin se aplica a los modelos de programacin lineal, y una de las caractersticas agradables de los modelos de programacin lineal es que gran parte de este anlisis de sensibilidad proviene directamente de la solucin del problema. Primero veremos estos conceptos en forma grfica y despus por medio de la interpretacin de las salidas de los programas de computacin que se usan para resolver problemas de programacin lineal.

Precios dualesConsidere la ecuacin de restriccin para la mquina 1, que especifica un mximo de 24 horas disponibles. En trminos de la programacin lineal, este lmite de la capacidad con frecuencia se denomina valor del trmino independiente o segundo miembro de la restriccin (o sencillamente bi).

Los precios duales tienen muchas aplicaciones empresariales. Aunque en el mundo existen restricciones y limitaciones, la mayora de ellas no son absolutas. Por ejemplo, el gerente que formul el problema de programacin lineal determin las horas disponibles en cada una de las mquinas en circunstancias normales, pero podra obtener horas adicionales con trabajo en tiempo extra, comprando equipo adicional o reprogramando otras actividades. Los precios duales indican si vale la pena hacerlo y con qu margen, y as ayudan a identificar los cuellos de botella clave. En nuestro ejemplo, el gerente sabe que vale el doble (dos dlares en lugar de uno) obtener horas adicionales para la mquina 1 que para la mquina 2.

Un precio dual representa el valor marginal asociado con un cambio unitario en el trmino independiente de una restriccin. Un costo reducido representa el valor marginal de introducir en la solucin una unidad de una variable de decisin. Los costos reducidos se pueden considerar como precios duales de las restricciones de no negatividad. Si una restriccin no es efectiva, su precio dual es cero.

Intervalos de variacin del trmino independienteLos precios duales proporcionan el valor marginal de la realizacin de un cambio pequeo en el lmite de una restriccin (es decir, el valor del trmino independiente), pero sera un error creer que estos valores seran los mismos si la capacidad se cambiara en forma arbitrara. Se llega a un punto en el cual la capacidad adicional es excesiva y no tiene valor; por lo tanto, hay lmites con respecto al intervalo de capacidad en el cual se mantienen los valores marginales.

El precio sombra dado dice cunto aumentara el valor de la funcin objetivo si se aumentara en 1 el lado derecho de esa restriccin. El precio sombra de la restriccin para la planta 1 es O, puesto que esta planta ya est usando menos horas (2) que las disponibles (4) y no habra beneficio en disponer de una hora adicional. No obstante, las plantas 2 y 3 estn usando todas las horas a su disposicin para los dos nuevos productos. Por ello, no es sorprendente que los precios sombra indiquen que la funcin objetivo aumentara si las horas disponibles en la planta 2 o en la 3, se aumentarn.

Es el precio sombra de una restriccin funcional da informacin valiosa porque indica cunto aumentar el valor ptimo de la funcin objetivo por un aumento de unidad en el lado derecho de la restriccin. A la inversa, un valor negativo del precio sombra proporciona el cambio en el valor ptimo de la funcin objetivo por una disminucin en el lado derecho.

Sin embargo, esta informacin slo es vlida para cambios bastante pequeos en el lado derecho. Esta seccin se centra en la determinacin de qu tan grandes pueden ser estos cambios antes de que el precio sombra ya no sea vlido.

La regla de 100%Recuerde que la regla de 100% se usa para investigar cambios simultneos en los coeficientes en lados derechos de forma similar.

Regla de 100% para cambios simultneos en los lados derechos: el precio sombra sigue vlido slo para predecir el efecto de cambiar en forma simultnea los lados derechos de algunas restricciones funcionales, siempre y cuando los cambios no sean demasiados grandes. Para verificar si los cambios son suficientemente pequeos, calcule para cada cambio el porcentaje del cambio permitido (disminucin o aumento) para que ese lado derecho se conserve dentro de su intervalo de factibilidad. Si la suma de los cambios porcentuales no exceda del 100%, los precios sombra definitivamente seguirn siendo vlidos. (Si la suma s excede 100%, entonces no hay seguridad.Cambios simultneos en los coeficientes de la funcin objetivo

En realidad, las estimaciones de todos los coeficientes (o al menos ms de una) pueden ser inexactos al mismo tiempo. La pregunta crucial es si esto es probable que se obtenga una solucin ptima equivocada. Si es as, debe de tenerse ms cuidado en refinar estas estimaciones lo ms posible, al menos para los coeficientes ms cruciales. Por otra parte, si el anlisis de sensibilidad si revela que es improbable que afecten a la solucin ptima los errores anticipados en la estimacin de los coeficientes, entonces la administracin puede estar tranquila de que el modelo de programacin lineal actual y sus resultados proporcionan una gua adecuada.

Esta seccin se centra en cmo determinar, sin resolver otra vez el problema, si la solucin ptima podra cambiar si ocurrieran simultneos ciertos cambios en los coeficientes de la funcin objetivo (debido a que sus valores verdaderos difieren de sus estimaciones).

Pregunta: Qu ocurre s las estimaciones de las ganancias unitarias de los dos nuevos productos de Wyndor son inexactas?

ObjetivoUtilizar tcnicas de asignacin de cantidades fijas de recursos a la satisfaccin de varias demandas.

Orientaciones didcticasUtilizando el CD del texto gua, de los problemas propuestos que se encuentran al final del captulo II, resuelva mediante la computadora los problemas: 42 y 52, Debe seguir los pasos sealados en el texto para resolver por computadora. El tema se relaciona a anlisis de sensibilidad.

Criterios de evaluacin

Desarrollo de ejercicios y la evaluacin de los mismos

Actividad de aprendizaje 1.3.

PlanteamientosProcedimientoCualquiera que sea el nmero de inecuaciones y de incgnitas de un sistema, este por s mismo se ajusta a un tratamiento de identificacin que nos d una idea de que sea sujeto de solucin.

Cuando el sistema rene a un nmero de ecuaciones inferior al nmero de incgnitas, existen muchas soluciones. Justamente este es el caso ms frecuente de los problemas de programacin lineal, de all que es necesario introducir (+) variables de Holgura en los casos de la expresin ( (igual o menor), restar (-) variables de holgura e introducir Variables Artificiales en los casos de ( (mayor o igual) y en los casos de = se introduce variables artificiales con signo ms.

( + VARIABLE DE HOLGURA

( - VARIABLE DE HOLGURA + VARIABLE ARTIFICIAL

= + VARIABLE ARTIFICIAL

Cada caso se comprender con un ejemplo y as podremos establecer su similitud y diferencias.

Maximizacin mediante el simplexEn problemas de matizacin (Ej. Produccin) se debe tomar en cuenta.

Planteamiento

Identificacin de

Producto I = X1

Variables

Producto II = X2

Producto III = X3

Producto IV = X41) Funcin objetivo

Z(MAX) = C1X1 + C2X2 + C3X3+ ------------ + CnXn2) Limitaciones o restricciones

A11X1 + A12X2 + A13X3 + ----------------- + A1nXn ( b1

A21X1 + A22X2 + A23X3 + ----------------- + A2nXn ( b2

A31X1 + A32X2 + A33X3 + ----------------- + A3nXn ( b3

...................................................................................

Am1X1 + Am2X2 + Am3X3 + ----------------- + AmnXn ( bn3) No negatividad

Xj ( 0

ResolucinCuando se trata de un sistema de inecuaciones, no existe solucin nica, si no que implica muchas posibilidades, razn por la cual, el mtodo simplex va generando soluciones bsicas.

Introduccin de variables de Holgura

Como el primer miembro de la inecuacin es inferior al otro, es necesario introducir una variable denominada de Holgura que cubra imaginariamente el valor faltante, para convertirlo en igualdad.

S1, S2, S3, ..... Sn = Variables de Holgura

A11X1 + A12X2 + A13X3 + ----- + A1nXn + S1 = b1

A21X1 + A22X2 + A23X3 + ----- + A2nXn + S2 = b2

A31X1 + A32X2 + A33X3 + ----- + A3nXn + S3 = b3

...............................................................................................

Am1X1 + Am2X2 + Am3X3 + ----- + AmXn + ---------------+ Sn = bn

Al convertir el sistema de desigualdades es un sistema de ecuaciones mediante la introduccin de variables de Holgura, se ha logrado un importante punto de partida. Estas variables en la funcin objetivo irn antepuestas de un coeficiente cero de beneficio.

Z(MAX) = C1X1 + C2X2 + ---- + CnXn + 0S1 + 0S2 + ---- + 0SnGeneracin de una solucin bsica factible

En el caso de un ejemplo de produccin, el primer supuesto o alternativa del mtodo simplex es no fabricar nada de los productos reales (variables fundamentales), esto quiere decir dar respuesta al sistema manteniendo inutilizados los recursos existentes, es decir:

X1 = 0

S1 = b1

X2 = 0

S2 = b2

X3 = 0

S3 = b3 ......................................

Xn = 0

Sn = bnProceso Iterativo

En funcin de los criterios del mtodo simplex se van obteniendo ensayos, interacciones o algoritmos hasta lograr la respuesta ideal.

El objetivo es ir eliminando las variables de holgura e irlas reemplazando por alternativas en funcin de variables fundamentales, propsito del problema.

El proceso se lo desarrolla por cuadros o etapas. Cada uno de ellas nos representar una mejor combinacin de produccin y un mayor beneficio, para lo cual se necesita aplicar el mtodo matricial de coeficientes.

Cj = Coeficiente de la funcin objetivoXj = Solucin bsica de cada etapa: es la base vectorial que da solucin al sistema* = Elemento Pivote

= Elementos semipivotalesbn = Parmetros; datos conocidos, nos indican la cuantificacin de recursos

Zj = Valores que va tomando la funcin objetivo en cada posicin.

Zj-Cj =

Se la conoce como el "Criterio del simplex; permite continuar o no la generacin de alternativos.

Cuando la expresin Zj - Cj corresponde en todas las posiciones a valores POSITIVOS O CEROS, habr terminado el problema de maximizacin.

Pasos para formar la nueva tabla

Se elige el elemento (Zj-Cj) de menor valor negativo, la variable que le corresponde debe entrar a la base de la nueva tabla para mejorar la solucin.

Para determinar que fila sale, se obtiene el elemento pivote, el mismo que es la interseccin de la columna que ingresa y la fila que sale, para lo cual se divide los elementos de la columna de bn para los elementos de la columna que ingres, se escoge el menor cociente que representar al pivote, los restantes elementos de la columna son los semipivotes. No se toma en cuenta la divisin para nmeros negativos o cero.

Formar los nuevos elementos de la fila de la variable de holgura que es reemplazada por la variable fundamental, basndose en el elemento PIVOTE, que se encuentra en la interseccin de la columna que entra y la fila que sale.

Los restantes elementos de la columna que entra se denominan SEMIPIVOTES ()

Los elementos de las dems filas se obtienen restando los elementos anteriores de dicha fila menos los elementos de la nueva fila que ingres, multiplicados por el semipivote correspondiente.

Elementos de otra filaZj se obtiene multiplicando el coeficiente de la variable fundamental que ingres por todos los elementos de dicha fila.Obtenemos la fila Zj - Cj, restando los elementos de la fila de Zj menos los elementos de la fila Cj, si todos sus elementos son positivos o ceros el proceso se ha terminado, esto quiere decir que la tabla es ptima, caso contrario construimos la nueva tabla eliminando el menor negativo que exista y realizar el mismo proceso anterior.

El mximo beneficio est dado por el valor del elemento de Zj de la columna bn.

El mtodo simplex en los casos de minimizacinLos casos de minimizacin se resuelven empleado tambin la metodologa conocida del Simplex, con algunas variaciones.

En los problemas de minimizacin se introduce variables de holgura con signo negativo y las variables artificiales con signo positivo.

Sj = Variables de holgura

mj = Variables artificiales

Las variables artificiales tienen un coeficiente (M) que es un valor indeterminado.

Cuando hay variables de holgura y artificiales, primero se eliminan las artificiales, luego las de holgura.

Si la restriccin es una igualdad, entonces se introduce solamente variables artificiales con signo positivo.

Maximizacin (() + SJ

Minimizacin (() Sj + mj

Igualdad (=) + mj

Para resolver un problema de minimizacin, se empieza eliminando los mayores valores positivos de la fila Zj Cj.

El proceso habr concluido cuando en la fila Zj Cj queden valores negativos o ceros.

La funcin objetivos se representar por Z(MIN) y las variables artificiales llevarn en esta funcin un coeficiente M.

Z(MIN) = ?X1 + ?X2 ---- + 0S1 + 0S2 + ------ + Mn1 + Mm2 --- Mmn

Restricciones, variables de holgura y artificiales

A11X1+ A12X2 - S1 + m1

= b1A21X1+ A22X2 - S2 + m2 = b2A31X1 + A32X2

-S3 + m3 = b3

------------------------------------------------------------------

Xj ( 0

ObjetivoExplicar detalladamente por qu el mtodo simplex encuentra soluciones ptimas para problemas de programacin lineal.

Orientaciones didcticasDe los problemas que se encuentran al final del captulo III, del texto gua Investigacin Operativa Tomo I, que trata sobre el tema, el mtodo simplex, resuelva manualmente y luego digite el problema 60 y mediante computadora utilizando el CD del texto el problema 92.

Criterios de evaluacin

Desarrollo de ejercicios y la evaluacin de los mismos

Formato de entregaArchivo de Microsoft Office 2003.

Enviar aEnve las actividades de aprendizaje a travs de la plataforma, mediante la seccin Contenidos, en un archivo cuyo nombre debe ser:Formato: G#.Apellido.Apellido.Nombre.Asignatura

Preguntas o dudasEnve sus preguntas o dudas a travs de la plataforma: utilice la seccin Enviar correo y marque el nombre de su tutor.

Puntaje por actividadActividades de aprendizaje

Puntaje

Actividad de aprendizaje 1.1.10

Actividad de aprendizaje 1.2.5

Actividad de aprendizaje 1.3.5

20

El tutor de la asignatura

EMBED Equation.3

En caso de que el examen sea estrictamente necesaria la consulta de tablas, frmulas, esquemas o grficos, estos sern incluidos como parte del examen o en un anexo.

EL EXAMEN SER SIN CONSULTA

_1236661693.unknown

_1236661695.unknown

_1237534278.unknown

_1249268538.unknown

_1237533938.unknown

_1236661694.unknown

_1236454304.unknown

_1236661692.unknown

_1236661691.unknown

_1007401564.unknown

_1139729485.unknown

_1007399879.unknown