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Guía Didáctica Para Matemática Básica

Autor:

Prof. Joel Amauris Gelabert S.

Guía Didáctica de Matemática Básica.

Pag. 1

Lenguaje Algebraico. El lenguaje algebraico es una generalización del lenguaje numérico de la aritmética el cual se basa en la utilización de letras para representar cantidades.

Mediante el uso del lenguaje algebraico podemos expresar situaciones del lenguaje cotidiano o de la vida real de una manera clara y sencilla.

En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos sobre la utilización del lenguaje algebraico.

Lenguaje ordinario Lenguaje algebraico.

La suma de dos números a+b

El triplo de un número 3m

La raíz cuadrada de la suma de 3 números √𝑥 + 𝑦 + 𝑧

El cubo de un número 𝑥3

El cuadrado de un número menos el doble de otro 𝑦2 − 2𝑥

La raíz cúbica de la diferencia de tres números

√𝑚 − 𝑦 − 𝑘3

El producto de dos números xy

La mitad de la suma de dos números 𝑧 + 𝑚

2

La cuarta parte de la diferencia de los cuadrados de dos números.

1

4 (𝑥2 − 𝑦2)

El triplo de la edad de Juan. 3k

Expresión algebraica. Una expresión algebraica es una colección finita de números y variables que pueden combinarse mediante las operaciones matemáticas elementales. Ejemplos.

1. −16 𝑚3

2. 20 𝑥𝑦2

3. 3 𝑤2𝑧2 + 9 𝑚𝑏2

4. 12 𝑚𝑛𝑥

5. x+1


Pag. 2

Término algebraico. Un término algebraico es una expresión algebraica que consta de un signo, un coeficiente numérico, una parte literal o variable y un exponente.

Ejemplos.

1. −10 𝑚2

2. 12 𝑥𝑦 − 4 𝑧2

3. 5 √𝑛 + 𝑥2

4. 4

5 √2𝑥𝑚 + 3𝑘𝑤

3

5. 4 𝑥2+12 𝑘𝑦2

5 𝑥𝑎2

Partes de un término algebraico.

− 9 𝑚4 Exponente

Parte Literal o variable

Coeficiente Numérico

Signo Clasificación de los términos algebraicos.

De acuerdos a sus características, los términos pueden ser: a. Enteros

Cuando no tienen variables en sus denominadores.

Ejemplos:

1. 15 𝑥4𝑦3𝑧5

2. 7

2 𝑚2𝑏

3. 5 ab𝑤8

b. Fraccionarios. Son aquellos términos que tienen variables en sus denominadores.

Ejemplos:

1. √3 𝑚𝑧2

𝑥𝑦

2. 8 𝑦4𝑛6

4 𝑘

3. 7 𝑘3𝑤12

5 𝑥𝑏2


Pag. 3

c. Racionales. Son aquellos términos que no contienen radicales.

Ejemplos:

1. 7 𝑎8𝑏11

2. −19 𝑚9𝑥𝑦

3. 8 𝑦4𝑛6

4 𝑘

d. Irracionales Son aquellos términos que contienen radicales.

Ejemplos:

1. √3 𝑚𝑧2

𝑥𝑦

2. √7 xy

4 m6

3. 7 𝑎12𝑏18

√𝑦

Grado de un término algebraico.

El grado de un término algebraico puede ser:

a. Relativo: Cuando tomamos el mayor exponente de una de sus variables.

Ejemplos:

1. 5 𝑦5𝑚3 es de tercer grado en m y de 5to grado con relación a la variable y

2. 4 𝑎4𝑏8 es de 8vo grado con relación a la variable b y 4to grado en a.

3. −15 𝑘7𝑤10 este término es de 7mo grado en k y 10mo grado en w.

4. 23⁄ 𝑥6𝑛2 este término es de 6to grado en x y 2do grado en n.

b. Absoluto

Cuando se suman los exponentes de las variables que aparecen en el término.

Ejemplos:

1. − 10 𝑐3𝑎5 es de 8vo grado absoluto

2. 9 𝑘6𝑦4 es de 10mo grado absoluto

3. 15 𝑤7𝑧2 es de 9no grado absoluto

4. 35⁄ 𝑎3𝑥5𝑦2 es de 10mo grado absoluto.


Pag. 4

Clasificación de las expresiones algebraicas.

De acuerdo a la cantidad de términos, las expresiones algebraicas se clasifican en monomios, binomios, trinomios y polinomios.

Monomios. Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término algebraico.

Ejemplos:

1. 16 𝑘7𝑦3

2. 4 𝑦𝑥𝑧5

3. 24 𝑚𝑛2𝑤

4. 3

7 √𝑥3𝑚𝑧9

Binomio. Un binomio es una expresión algebraica formada por la suma o la diferencia de dos monomios. Dicho de otra forma, un monomio es una expresión algebraica formada por dos términos.

Ejemplos:

1. 16 𝑘7𝑦3+ 4 𝑦𝑥𝑧5

2. 15 𝑤7𝑧2+ 8 mn

3. 7 x𝑎8 − 12 𝑘𝑤𝑥

4. 24 ab+18 𝑐7𝑧9

Trinomio. Es una expresión algebraica que está formada por tres términos.

Ejemplos:

1. 16 𝑘7𝑦3+ 4 𝑦𝑥𝑧5+24 𝑚𝑛2𝑤

2. 7 x𝑎8 − 12 𝑘𝑤𝑥+19 x𝑦2

3. 17 ab+ 2 3⁄ 𝑡5𝑏8+4 𝑦𝑥𝑧5

4. √𝑥3𝑚𝑧9 − 4 𝑚10𝑧 + √𝑥3 + 𝑥𝑦𝑧

Polinomio. Un polinomio es una expresión algebraica que contiene varios términos.

Ejemplos:

1. 16 𝑘7𝑦3+ 4 𝑦𝑥𝑧5+24 𝑚𝑛2𝑤 + 12 𝑏𝑥

2. 16 𝑘7𝑦3+ 4 𝑦𝑥𝑧5 −24 ab+18 𝑐7𝑧9


Pag. 5

Grado de un polinomio.

En el polinomio 6 a3b5 + 4 a4b4 − 7 a6b2 + 10 a5b3 se puede observar que el mayor exponente de la variable a es 6 y que el mayor exponente de la variable b es 5, esto a su vez nos permite concluir que el polinomio es de 6to grado con relación a la variable a y de 5to grado con relación a la variable b. Puede observarse además que cada uno de los monomios o términos que componen el polinomio son de 8vo grado absoluto. Este tipo de polinomios se denominan polinomios homogéneos. Ahora bien, cuando tenemos un polinomio en el que sus términos sean de distintos grados absolutos, el polinomio será heterogéneo.

Ejemplo:

1. 16 𝑘7𝑦3+ 4 𝑦𝑥𝑧5 −24 ab+18 𝑐2𝑧7

En este polinomio se observa que el primer término es de 10mo grado, el segundo es de 7mo grado, el tercero es de 2do grado y el cuarto término es de 9no grado. Valor numérico de una expresión algebraica.

Para calcular el valor numérico de una expresión algebraica se sustituyen los valores de las variables que aparecen en dicha expresión y se realizan las operaciones indicadas.

Ejemplos.

Si a=5, b=8, c=2, m =10, y=15 y x = −4, halle el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas.

1. 5𝑥2𝑚 + 4𝑎𝑦 − 10𝑥

Solución:

= 5(−4)2(10) + 4(5)(15) − 10(−4)

= 5(16)(10) + 20(15)+40

= 800+300+40

= 1,140

2. 8ac+4ym+2by+10𝑥𝑏

Solución:

= 8(5)(2) + 4(8)(15) + 10(−4)(8)

= 80+480−320

= 560−320

= 240


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3. √4a2c + 2m2b − 5ayx

Solución:

= √4 (5)2(2) + 2(10)2(8) + 5 (5) (15)(−4)

= √4(100)(2) + 2(100)(8) − 1,500

= √800 + 1600 − 1,500

= √2,400 − 1,500

= √900

= 30

4. 12 𝑎𝑏−15𝑐𝑚+4 𝑦2

4 𝑐

Solución:

= 12 (5)(8)−15(2)(10)+4 (15)2

8

= 480−300+4(225)

8

= 180+900

8 =

1,080

8 = 135


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Evaluación.

Punto I.

Seleccione la respuesta correcta.

1. Es una generalización del lenguaje numérico de la aritmética que se basa en la utilización de letras para representar cantidades. A. Lenguaje algebraico B. Lenguaje matemático

C. Expresión Algebraica.

2. Es una colección finita de números y variables que pueden combinarse mediante las operaciones matemáticas elementales.

A. Término algebraico B. Lenguaje algebraico

B. Expresión Algebraica.

3. Son aquellos términos que tienen variables en sus denominadores.

A. Enteros B. Fraccionarios C. Racionales.

4. El grado absoluto de la expresión 5 𝒚𝟓𝒎𝟑 es igual a A. 15 B. 5 C. 8

5. Es una expresión algebraica formada por la suma o la diferencia de dos monomios.

A. Monomio B. Binomio C. Polinomio

6. Si a=5, b=8, x=10 y m=4, el valor numérico de 𝟒 𝒂𝟐𝒎 + 𝟓𝒃𝒎 + 𝟐𝒙𝟐𝒂 es igual a

A. 950 B. 1,560 C. 1,060

7. Es aquella expresión algebraica que está formada por tres términos A. Trinomio B. Binomio C. Monomio

8. La expresión √𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 puede traducirse al lenguaje ordinario como:

A. La raíz cuadrada de la suma de dos números

B. La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de dos números

C. El cuadrado de la raíz de la suma de dos números

9. Es aquel polinomio en el que sus términos tienen distintos grados absolutos. A. Homogéneo B. Heterogéneo C. Racional.


Pag. 8

Punto II.

Complete el siguiente cuadro utilizando el lenguaje coloquial o en el lenguaje algebraico en cada caso. La raíz cuadrada de la suma de dos números.

El triplo de un número menos el cuadrado de otro.

La cuarta parte de la suma de tres números.

√𝒙𝟐 − 𝟐𝒎𝟑

El duplo de un número más su cuadrado

El cociente de la suma de dos números y la raíz cuadrada de su diferencia.

√𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

𝒂𝒃

La edad de Marcos aumentada en 15 años.

𝒎𝟐𝒚𝟐 + 𝒎𝒚

𝒙𝟑 − 𝒌𝟑

Punto III.

Escribe 5 Monomios, 4 binomios, 3 trinomios y 2 polinomios de 5 términos.

1. _________ 9. _____________________

2. _________ 10. _____________________

3. _________ 11. _____________________

4. _________ 12. _____________________

5. _________ 13. ______________________

6. ________________________ 14. ______________________

7. __________________________________________________

8. __________________________________________________


Pag. 9

Punto IV.

Escribe el grado relativo y el grado absoluto de cada monomio.

Monomios Grado relativo Grado absoluto

8 𝑦2𝑥4

10 𝑚4𝑛3𝑎5

12 𝑤8𝑘2

7 𝑧3𝑥5𝑦2

16 𝑥5𝑦4

20 𝑚3𝑛4

9 𝑎5𝑏3

−15 𝑐5𝑚2𝑎3

30 𝑝6𝑎3

18 𝑤7𝑒2

Punto V.

Si a = 5, b = 8, c =2, m =10, y =15 y x = −4, calcule el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas.

1. 5𝒙𝟐𝒎 + 𝟒𝒂𝒚 − 𝟏𝟎𝒙

2. 8ac+4ym+2by+𝟏𝟎𝒙𝒃

3. √𝟔𝐚𝟐𝐜 + 𝟐𝐦𝟐𝐛 + 𝟓𝐚𝐲𝐱

4. 4𝒂𝟐b+5yc+4𝒎𝟐x+√𝟒 𝒎𝟐

5. 16 ab−𝟖𝒎𝟐 + 𝟖𝒎𝒚𝒄𝟐

6. 4𝒃𝟐𝒎 + 𝒂𝟐𝒃𝒙+𝟐𝒄𝟓𝒎

7. 2abm+5c𝒃𝟐+𝒚𝒙𝟐

8. √𝟓𝒂𝒄 − 𝟐𝒃𝒚 − 𝒎𝒂𝟑


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Términos semejantes.

Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal o variables y los mismos exponentes. Ejemplos:

1. 5mn y 16 mn

2. 45 𝑘2𝑧5 y 8 𝑧5𝑘2

3. 17 𝑎3𝑏2𝑤5 𝑦 − 12 𝑤5𝑎3𝑏2

Operaciones con expresiones algebraicas.

Reducción de términos semejantes.

Para reducir términos semejantes, se suman los coeficientes numéricos de los términos

dados teniendo en cuentas reglas de los signos y se copia en el resultado la parte literal

o variables.

Adición y sustracción de expresiones algebraicas.

Para sumar o restar expresiones algebraicas, las expresiones dadas deben ser semejantes.

Ejemplos:

1. 16 𝑦4𝑚3 + 12 𝑦4𝑚3 + 10 𝑦4𝑚3 = (16 + 12 + 10) 𝑦4𝑚3 = 38 𝑦4𝑚3

2. 45 mn+20 mn−50mn = (45 + 20 − 50) mn =15 mn

3. 30 𝑥5𝑘3 − 20 𝑥5𝑘3 + 15 𝑥5𝑘3 = (30 − 20 + 15) 𝑥5𝑘3 =25 𝑥5𝑘3

4. (18 𝑚3𝑛4 + 28 𝑥6𝑦3 + 16 𝑘8𝑤5) − (10 𝑚3𝑛4 + 20 𝑥6𝑦3 + 10 𝑘8𝑤5)

18 𝑚3𝑛4 +28 𝑥6𝑦3 +16 𝑘8𝑤5

−10 𝑚3𝑛4−20 𝑥6𝑦3−10 𝑘8𝑤5

8 𝑚3𝑛4+8 𝑥6𝑦3+6 𝑘8𝑤5

5. (40 𝑦5𝑧2 − 10 𝑥9𝑦8 + 16 𝑎8𝑛7) − (35 𝑦5𝑧2 − 50 𝑥9𝑦8 + 34 𝑎8𝑛7)

40 𝑦5𝑧2−10 𝑥9𝑦8+16 𝑎8𝑛7

−35 𝑦5𝑧2+50 𝑥9𝑦8−34 𝑎8𝑛7

5 𝑦5𝑧2 +40 𝑥9𝑦8 −18 𝑎8𝑛7


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Ejercicios propuestos.

Reduce los siguientes términos semejantes.

a. 𝟏𝟔 𝒙𝒚 + 𝟐𝟒 𝐱𝐲 − 𝟑𝟎 𝐱𝐲 =

b. 𝟒𝟎 𝒎𝒏 + 𝟏𝟓 𝒎𝒏 − 𝟏𝟎 𝒎𝒏 + 𝟖 𝒎𝒏 =

c. −𝟒𝟎 𝒂𝟐𝒃𝟑+65 𝒂𝟐𝒃𝟑 + 𝟏𝟎𝟎 𝒂𝟐𝒃𝟑 =

d. 16 w𝒌𝟐 − 𝟒𝟓 𝒘𝒌𝟐 + 𝟖𝟎 𝒘𝒌𝟐 + 𝟏𝟎 𝒘𝒌𝟐 =

e. 25 𝒙𝟑𝒛 +35 𝒙𝟑𝒛 + 𝟓𝟓 𝒙𝟑𝒛 − 𝟗𝟓 𝒙𝟑𝒛 =

f. 100 𝒂𝒃 − 𝟕𝟓 𝒂𝒃 + 𝟑𝟎 𝒂𝒃 − 𝟏𝟎 𝒂𝒃 + 𝟏𝟓 𝒂𝒃 =

g. 45 𝒃𝟓𝒄𝟐 − 𝟑𝟎 𝒃𝟓𝒄𝟐 + 𝟔𝟓 𝒃𝟓𝒄𝟐 − 𝟐𝟎 𝒃𝟓𝒄𝟐 =

h. 86 𝒑𝟐𝒒𝟕 + 𝟐𝟒 𝒑𝟐𝒒𝟕 − 𝟔𝟖 𝒑𝟐𝒒𝟕 + 𝟒𝟎 𝒑𝟐𝒒𝟕 =

i. 150 𝒙𝟒𝒚𝟑 − 𝟖𝟎 𝒙𝟒𝒚𝟑 + 𝟑𝟎 𝒙𝟒𝒚𝟑 + 𝟏𝟎 𝒙𝟒𝒚𝟑 =

j. 56 𝒎𝟐𝒏𝟑 − 𝟒𝟎 𝒎𝟐𝒏𝟑 + 𝟑𝟎 𝒎𝟐𝒏𝟑 + 𝟏𝟓 𝒎𝟐𝒏𝟑 =

Multiplicación de monomios.

Para obtener el producto de dos monomios de m se multiplican los coeficientes numéricos teniendo en cuenta las reglas de los signos.

1. (5 𝑥2𝑦4) (−8 𝑥5𝑦4) = − 40 𝑥7𝑦8

2. (12 𝑏𝑘3) (4 𝑏2𝑘9) = 48 𝑏3𝑘12

3. (4 𝑦10 𝑎6 𝑧9)(10 𝑦4 𝑎5 𝑧4) = 40 𝑦14 𝑎11 𝑧13

4. (73

𝑚3𝑦4) (45

𝑚4𝑦6) = 28

15 𝑚7𝑦10

5. (9 𝑤3𝑎2)(5 𝑥2)= 45 𝑤3𝑎2𝑥2


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Producto de un monomio y un binomio.

Ejemplos.

1. (5 𝑥2𝑦4) (9𝑥3𝑦2 + 3𝑥2𝑦5)

= (5𝑥2𝑦4)(9𝑥3𝑦2)+(5 𝑥2𝑦4)(3𝑥2𝑦5)

= 45𝑥2+3𝑦4+2+15𝑥2+2𝑦4+5

= 45 𝒙𝟓𝒚𝟔+15 𝒙𝟒𝒚𝟗

2. (8 𝑚4𝑛6) (6𝑚3𝑛2 − 7𝑚8𝑛4)

= 48𝑚4+3𝑛6+2 − 56𝑚4+8𝑛6+4

= 48 𝒎𝟕𝒏𝟖 − 𝟓𝟔 𝒎𝟏𝟐𝒏𝟏𝟎

3. (4𝑎3𝑏5) (7𝑎2𝑏5 + 8𝑎4𝑏3)

= 28𝑎3+2𝑏5+5 + 32𝑎3+4𝑏5+3

= 28 𝒂𝟓𝒃𝟏𝟎 + 𝟑𝟐 𝒂𝟕𝒃𝟖

Multiplique los siguientes monomios.

1. (𝟏𝟐 𝒙𝟐𝒚𝟒) (−𝟓 𝒙𝟓𝒚𝟒) =

2. (𝟒 𝒂𝟒𝒃𝟐) (𝟗 𝒂𝟐𝒃𝟑) =

3. (𝟖 𝒎𝟓𝒏𝟒) (𝟑 𝒙𝟐𝒚𝟑) =

4. (𝟕 𝒘𝟑𝒌𝟒) ( 𝟏𝟐 𝒘𝟐𝒌𝟖)=

5. (𝟐 𝒙𝟐𝒛𝟑) (−𝟏𝟓 𝒙𝟓𝒛𝟔)=

6. (𝟒

𝟕 𝒄𝟖𝒑𝟑) (𝟏𝟒 𝒄𝟒𝒑𝟓) =

Multiplicación de binomios.

La multiplicación de binomios puede llevarse a cabo aplicando la propiedad distributiva

de la multiplicación con respecto a la suma teniendo las reglas de los signos al momento

de realizar la multiplicación.

Lo dicho anteriormente se expresa mediante la siguiente expresión:

(𝒙 + 𝒚)(𝒂 + 𝒃)= 𝒙𝒂 + 𝒙𝒃 + 𝒚𝒂 + 𝒚𝒃

El coeficiente numérico del

monomio (5) se multiplica por

los coeficientes numéricos del

binomio (9 y 3) y se suman los

exponentes de las variables que

son iguales.


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Ejemplos.

1. (5𝑥2𝑦4 + 8𝑥3𝑦2) (7𝑥3𝑦5 + 3𝑥4𝑦2) = 35 𝒙𝟓𝒚𝟗 + 𝟏𝟓 𝒙𝟔𝒚𝟔+56 𝒙𝟔𝒚𝟕 + 𝟐𝟒 𝒙𝟕𝒚𝟒

2. (9𝑚3𝑛2 + 3𝑎2𝑏5) (6𝑚6𝑛4 + 10𝑎7𝑏2)

= 54𝒎𝟗𝒏𝟔 + 𝟗𝟎 𝒎𝟗𝒏𝟔𝒂𝟕𝒃𝟐 +18 𝒂𝟐𝒃𝟓𝒎𝟔𝒏𝟒+30𝒂𝟗𝒃𝟕

3. (3

4 𝑥3𝑦4 +

5

2 𝑥2𝑦5) (4𝑥2𝑦3 + 8𝑥4𝑦2)

= (3𝑥4

4) 𝑥5𝑦7+ (

3𝑥8

4) 𝑥7𝑦6+(

5𝑥4

2) 𝑥4𝑦8+ (

5𝑥8

2) 𝑥6𝑦7

= 3𝒙𝟓𝒚𝟕+6𝒙𝟕𝒚𝟔+10 𝒙𝟒𝒚𝟖+20𝒙𝟔𝒚𝟕


Calcule el producto de los siguientes binomios.

1. (𝟏𝟐 𝒂𝟔𝒃𝟑) (𝟓𝒂𝟒𝒃𝟐 + 𝟒𝒂𝟑𝒃𝟐) =

2. (𝟑 𝒙𝟓𝒛𝟕) (𝟏𝟎𝒙𝟒𝒛𝟑 + 𝟔𝒙𝟒𝒛𝟗) =

3. (𝟖 𝒎𝟑𝒏𝟓) (𝟔𝒎𝟐𝒏𝟖 − 𝟕𝒎𝟏𝟎𝒏𝟑)=

4. (−𝟏𝟓 𝒂𝟑𝒃𝟓) (𝟑 𝒂𝟐𝒃𝟓 + 𝟐𝒂𝟒𝒃𝟑)=

5. (𝟐𝟓 𝒛𝟑𝒘𝟒) (𝟑 𝒛𝟐𝒘𝟓 + 𝟓 𝒛𝟔𝒘𝟖) =

6. (𝟏𝟎 𝒚𝟒𝒂𝟔) (−𝟗 𝒚𝟑𝒂𝟓 + 𝟔𝒚𝟐𝒂𝟕) =

7. (𝟖 𝒙𝟒𝒎𝟑) (𝟏𝟐 𝒙𝟐𝒎𝟔 − 𝟏𝟓𝒙𝟐𝒎𝟒) =

8. (𝟒 𝒂𝟖𝒃𝟐) (𝟔 𝒂𝟕𝒃𝟑 + 𝟗𝒂𝟐𝒃𝟑) =


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División de expresiones algebraicas.

División de monomios.

Para dividir dos monomios se procede a dividir sus coeficientes numéricos y restar los exponentes de sus variables siempre que las mismas sean iguales. Ejemplos.

1. 𝟓𝟒 𝒙𝟏𝟐𝒚𝟏𝟎

𝟗 𝒙𝟕𝒚𝟔 = 𝟓𝟒

𝟗 𝒙𝟏𝟐−𝟕 𝒚𝟏𝟎−𝟔 = 6 𝒙𝟓𝒚𝟒

2. −𝟔𝟒 𝒎𝟏𝟒𝒏𝟏𝟓

𝟏𝟔 𝒎𝟏𝟐𝒏𝟏𝟐 = −𝟔𝟒

𝟏𝟔 𝒎𝟏𝟒−𝟏𝟐 𝒏𝟏𝟓−𝟏𝟐 = − 𝟒 𝒎𝟐𝒏𝟑

3. 𝟏𝟎𝟎 𝒂𝟏𝟔𝒃𝟏𝟑

𝟐𝟎 𝒂𝟏𝟏𝒃𝟗 = 𝟏𝟎𝟎

𝟐𝟎 𝒂𝟏𝟔−𝟏𝟏 𝒃𝟏𝟑−𝟗 = 𝟓 𝒂𝟓𝒃𝟒

4. 𝟐𝟕 𝒘𝟗𝒌𝟒

𝟑 𝒘𝟔𝒌𝟐 = 𝟐𝟕

𝟑 𝒘𝟗−𝟔 𝒌𝟒−𝟐 = 𝟗 𝒘𝟑𝒌𝟐


Aplica las reglas de la división de monomios y completa la siguiente tabla.

Divisiones Resultados

1. −𝟏𝟔 𝒙𝟏𝟐 𝒚𝟏𝟏

𝟖 𝒙𝟖 𝒚𝟗

2. 𝟐𝟒 𝒂𝟏𝟔 𝒃𝟗

𝟖 𝒂𝟏𝟑 𝒃𝟕

3. 𝟔𝟒 𝒘𝟏𝟎 𝒌𝟖

𝟖 𝒘𝟕 𝒌𝟓

4. 𝟑𝟐 𝒎𝟕 𝒏𝟏𝟐

𝟖 𝒎𝟒 𝒏𝟏𝟎

5. 𝟑𝟔 𝒛𝟏𝟕 𝒄𝟏𝟗

𝟗 𝒛𝟏𝟑 𝒄𝟏𝟕

6. 𝟒𝟓 𝒚𝟓 𝒂𝟖

𝟏𝟓 𝒚𝟑 𝒂𝟑

7. −𝟏𝟐𝟎 𝒙𝟏𝟓 𝒚𝟗

𝟑𝟎 𝒙𝟏𝟐 𝒏𝟕

8. 𝟒𝟖 𝒑𝟐𝟎 𝒒𝟐𝟒

−𝟏𝟐 𝒑𝟏𝟖 𝒒𝟏𝟗


Pag. 15

División de un binomio y un trinomio entre un monomio.

Ejemplos.

1. 42 𝑥12 𝑦10+30 𝑥9 𝑦8

6𝑥7 𝑦5

= 42 𝑥12 𝑦10

6 𝑥7 𝑦5 + 30 𝑥9 𝑦8

6 𝑥7 𝑦5

= 7 𝑥12−7𝑦10−5+ 5 𝑥9−7𝑦8−5

= 7 𝒙𝟓𝒚𝟓+ 5 𝒙𝟐𝒚𝟑

2. 16 𝑚14 𝑛12 + 20 𝑚9 𝑛10 + 24 𝑚8 𝑛11

4 𝑚6 𝑛8

= 16 𝑚14 𝑛12

4 𝑚6 𝑛8 + 20 𝑚9 𝑛10

4 𝑚6 𝑛8 + 24 𝑚8 𝑛11

4 𝑚6 𝑛8

= 4 𝒎𝟖𝒏𝟒 + 5 𝒎𝟑𝒏𝟐 + 6 𝒎𝟐𝒏𝟑

División de polinomios.

Ejemplo 1.

a) 5 𝑥4 − 3𝑥3+2𝑥2 − 7𝑥 + 3 𝑥 − 1

−5𝑥4 + 5𝑥3 5 𝑥3 + 2𝑥2 + 4𝑥 − 3

2𝑥3 + 2𝑥2

−2𝑥3 + 2𝑥2

4𝑥2 − 7𝑥

−4𝑥2 + 4𝑥

−3𝑥 + 3 3𝑥 − 3

0

Ejemplo 2.

b) 18 𝑥5 − 45𝑥4 + 36𝑥3 − 24𝑥2 + 7𝑥 − 2 3𝑥3 − 6𝑥2 + 2𝑥 − 1

−18𝑥2 + 36𝑥4 − 12𝑥3 + 6𝑥2 6𝑥2 − 3𝑥 + 2

−9𝑥4 + 24𝑥3 − 18𝑥2+7𝑥 − 2

9𝑥4 − 18𝑥3 + 6𝑥2 − 3𝑥

6𝑥3 − 12𝑥2 + 4𝑥 − 2

− 6𝑥3+12 𝑥2 − 4𝑥 + 2

0

En la división de un binomio y de un

trinomio entre un monomio se aplica

la propiedad distributiva de la

adición con respecto al cociente


Pag. 16

Ejemplo 3.

c) 𝑥4 − 2𝑥3 − 11𝑥2 + 30𝑥 − 20 𝑥2 + 3𝑥 − 2

−𝑥4 − 3𝑥3 + 2𝑥2 𝑥2 − 5𝑥 + 6

−5𝑥3 − 9𝑥2 + 30𝑥

5𝑥3 + 15𝑥2 − 10𝑥

6𝑥2 + 20𝑥 − 20

−6𝑥2 − 18𝑥 + 12

𝟐𝒙 − 𝟖 Resto.


Efectúa la división de los siguientes polinomios.

a) 21𝒙𝟒 − 𝟒𝟏𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 − 𝟑𝟎 𝟕𝒙 + 𝟓


Pag. 17

b) 𝒙𝟔 − 𝟐𝒙𝟓 − 𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟒𝒙 + 𝟐 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐

c) 𝒙𝟔 − 𝟐𝒙𝟓 − 𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟒𝒙 + 𝟐 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐


Pag. 18


Divide los siguientes polinomios.

a. 𝟐𝒂𝟐 + 𝟏𝟎𝒂 + 𝟏𝟐 𝒂 − 𝟏

b. 4𝒎𝟒 + 𝟒𝒎𝟑 − 𝟏𝟑𝒎𝟐 − 𝟑𝒎 − 𝟐𝟎 𝟐𝒎𝟑 − 𝟑𝒎𝟐 + 𝒎 − 𝟒

c. 𝒚𝟑 − 𝟑 𝒚𝟐𝒙 + 𝟑 𝒚𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 𝒚 − 𝒙

d. 𝒙𝟓 + 𝟏𝟎𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟑 − 𝟐𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 + 𝟖 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟖


Pag. 19

Potencia de un monomio.

Ejercicios resueltos.

1. (𝟓𝒙𝟐𝒚𝟑)𝟑 = 𝟓𝟑𝒙𝟐𝒙𝟑 𝒚𝟑𝒙𝟑 = 125 𝒙𝟔𝒚𝟗

2. (𝟒𝒎𝟒𝒏𝟐)𝟒 = 𝟒𝟒 𝒎𝟒𝒙𝟒 𝒏𝟐𝒙𝟒 = 256 𝒎𝟏𝟔𝒏𝟖

3. (𝟐𝒂𝟓𝒃𝟒)𝟓

= 𝟐𝟓𝒂𝟓𝒙𝟓 𝒃𝟒𝒙𝟓 = 32 𝒂𝟐𝟓𝒃𝟐𝟎

4. (−𝟑 𝒘𝟑𝒌𝟐)𝟒 = (−𝟑)𝟒𝒘𝟑𝒙𝟒 𝒌𝟐𝒙𝟒 = 81 𝒘𝟏𝟐𝒌𝟖

5. (𝟑

𝟒 𝒙𝟐 𝒂𝟑)

𝟑

= (𝟑

𝟒)

𝟑

𝒙𝟐𝒙𝟑𝒂𝟑𝒙𝟑

= 𝟑𝟑

𝟒𝟑 𝒙𝟔 𝒂𝟗 =

𝟐𝟕

𝟔𝟒 𝒙𝟔 𝒂𝟗


Calcule la potencia de cada monomio.

1. (𝟖 𝒙𝟑𝒎𝟐)𝟒 =

2. (𝟕𝒂𝟐𝒃𝟓)𝟑

=

3. (𝟗𝒌𝟒𝒘𝟐)𝟑 =

4. (𝟓 𝒏𝟑𝒛𝟐)𝟒 =

5. (𝟏𝟎 𝒚𝟓𝒑𝟐)𝟐

=

6. (−𝟏𝟓 𝒂𝟐𝒎𝟐)𝟑 =

7. ( 𝟐

𝟓 𝒃𝟐 𝒂𝟒)

𝟒

=

8. ( 𝟕

𝟐 𝒎𝟒 𝒏𝟐)

𝟑

=

9. (𝟒 𝒘𝟐𝒌𝟔)𝟒 =

10. (𝟏𝟐 𝒙𝟑𝒚𝟐)𝟑 =

11. (𝟑 𝒃𝟑𝒄𝟕)𝟓 =

12. ( 𝟒

𝟗 𝒑𝟑 𝒒𝟒)

𝟑

=

Regla de la potencia de un monomio.

Para elevar un monomio a

una potencia cualquiera se

eleva su coeficiente numérico

a dicha potencia y se

multiplican los exponentes de

las variables del monomio por

el exponente de la potencia dada.


Pag. 20

Raíz de un monomio.

Para calcular la raíz de un monomio, se extrae la raíz de su coeficiente numérico y se

dividen los exponentes de las variables entre el índice de la raíz.

Ejemplos.

1. √𝟑𝟔 𝒙𝟏𝟒𝒚𝟏𝟎 = √𝟑𝟔 𝒙𝟏𝟒

𝟐 𝒚𝟏𝟎

𝟐 = 6 𝒙𝟕𝒚𝟓

2. √𝟐𝟕 𝒎𝟏𝟐𝒏𝟗𝟑 = √𝟐𝟕

𝟑 𝒎

𝟏𝟐

𝟑 𝒏𝟗

𝟑 = 3 𝒎𝟒𝒏𝟑

3. √𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝒘𝟖𝒌𝟔 = √

𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝒘

𝟖

𝟐 𝒌𝟔

𝟐 = √𝟐𝟓

√𝟏𝟔 𝒘𝟒 𝒌𝟑

4. √𝟏𝟎𝟎 𝒂𝟏𝟔𝒃𝟏𝟖 = √𝟏𝟎𝟎 𝒂𝟏𝟔

𝟐 𝒃𝟏𝟖

𝟐 = 10 𝒂𝟖 𝒃𝟗

5. √𝟏𝟔 𝒌𝟏𝟔 𝒘𝟐𝟒𝟒 = √𝟏𝟔

𝟒 𝒌

𝟏𝟔

𝟒 𝒃𝟐𝟒

𝟒 = 2 𝒌𝟒 𝒃𝟔


Extrae la raíz de los siguientes monomios.

1. √𝟔𝟒 𝒘𝟔𝒚𝟒 =

2. √𝟖𝟏 𝒂𝟏𝟎𝒃𝟏𝟐 =

3. √𝟏𝟒𝟒 𝒙𝟏𝟔𝒚𝟏𝟎 =

4. √𝟒𝟗 𝒎𝟏𝟒𝒏𝟔 =

5. √𝟔𝟒 𝒚𝟗𝒙𝟏𝟐𝒛𝟏𝟖𝟑 =

6. √𝟏𝟐𝟓

𝟖𝟏𝒑𝟐𝟕𝒙𝟏𝟓

𝟑 =

7. √𝟏𝟔

𝟖𝟏𝒂𝟏𝟐𝒎𝟖 =

8. √𝟓𝟏𝟐 𝒚𝟏𝟓𝒛𝟗𝟑 =

9. √𝟑𝟐 𝒙𝟐𝟎𝒂𝟏𝟓𝟓 =

10. √𝟐𝟕 𝒃𝟐𝟏 𝒄𝟐𝟒𝟑 =


Pag. 21

Productos y Cocientes Notables.

Productos Notables.

Los productos notables son productos especiales en los que no es necesario multiplicar para obtener sus resultados ya que solo basta con aplicar ciertas reglas o patrones.

Entre los productos notables tenemos:

Cuadrado de la suma de dos cantidades.

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplo 1.

(x+y)2 = (x)2 +2(x) (y) + (y)2

(x+y)2 = x2 +2xy + y2

Ejemplo 2.

(2m+5y)2 = (2m)2+2(2m) (5y)+ (5y)2

(2m+5y)2 = 4m2+20my)+ 25y2

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos dos veces la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad. Ejemplo 1.

(a−b)2 = (a)2 +2(a)(b) +(b)2

(a−b)2 = a2 +2ab + b2

Ejemplo 2.

(2k−4m)2 = (2k)2 +2(2k)(4m) +(4m)2

(a−b)2 = 4k2 +16km + 16m2

Cubo de la suma de dos cantidades. El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, mas 3 veces el cuadrado de la primera por la segunda cantidad, mas 3 veces la primera por el cuadrado de la segunda cantidad más el cubo de la segunda cantidad.

Ejemplo 1. (3x+2w)3 = (3x)3+ 3(3x)2(2w)+3(3x)(2w)2+(2w)3

(3x+2w)3 = 27x3+ 3(9x2)(2w)+(9x)(4w2)+8w3

(3x+2w)3 = 27x3+ 54x2 w+36xw2+8w3


Pag. 22

Ejemplo 2.

(5x+4y)3 = (5x)3+3(5x)2(4y)+3(5x)(4y)2 +(4y)3

(5x+4y)3 = 125x3+3(25x2)(4y)+3(5x)(16y2) +64y3

(5x+4y)3 = 125x3+300x2 y+240x y2 +64y3

Cubo de la diferencia de dos cantidades.

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos 3 veces el cuadrado de la primera por la segunda cantidad, mas 3 veces la primera por el cuadrado de la segunda cantidad menos el cubo de la segunda cantidad.

Ejemplo 1.

(2k−4m)3 = (2k)3 −3(2k)2(4m) +3(2k)(4m)2 – (4m)3

(2k−4m)3 = 8k3 −3(4k2)(4m) +(6k)(16m2) – 64m3

(2k−4m)3 = 8k3 −48k2m +(96k m2 – 64m3

Ejemplo 2.

(8y−7k)3 = (8y)3 −3(8y)2(7k)+3(8y)(7k)2 –(7k)3

(8y−7k)3 = 512y3 −3(64y2)(7k)+(24y)(49k2) –343k3

(8y−7k)3 = 512y3 −1,344y2k+1,176yk2–343k3

Ejercicios Resueltos.

Halle el resultado de los siguientes productos notables.

1. (2b+6y)2 = (2b)2 +2(2b)(6y) + (6y)2

= 4b2 +24by + 36y2

2. (5x+10k)2 = (5x)2 + 2(5x)(10k)+ (10k)2

= 25x2 +100xk + 100k2

3. (6m−9w)3 = (6m)3 −3(6m)2(9w)+3(6m)(9w)2 –(9w)3

= 216m3 −3(36m)2(9w)+(18m)(81w2) –729w3

= 216m3 −972m2 w+1,458mw2 –729w3

4. (3a+5y)3 = (3a)3+3(3a)2(5y)+3(3a)(5y)2 +(5y)3

= 27a3+3(9a2)(5y)+(9a)(25y2) +125y3

= 27a3+135a2 y+225ay2 +125y3

5. (3

4𝑥 −

2

5𝑦)

2

= ( 3

4 x)2 −2(

3

4 x) (

2

5 y)+ (

2

5 y)2

= 9

16 x2 −2 (

6

20 x y)+

4

25 y2

= 9

16 x2 −

12

20 x y+

4

25 y2


Pag. 23

6. (4m3 +2x2)2 = (4m3)2 +2(4m3)(2x2)+(2x2)2

= 16m6 +16m3 x2+4x4

Cocientes notables.

Al igual que en los productos notables, en los cocientes notables no es necesario dividir para obtener el resultado, ya que dicho resultado se puede obtener por simple inspección. Ejemplos:

Diferencia de cuadrados

1. a2−b2

a−b =

(a−b)(a+b)

(a−b) = a+b

2. (25m2−100x2)

(5m−10x) =

(5m−10x)(5m+10x)

(5m−10x) = 5m+10x

Suma de cubos

3. x3+y3

(x+y) =

(x+y)(x2−xy+y2)

(x+y) = x2−xy+y2

4. y2+𝑦𝑘+𝑘2

(x3+y3) =

(y2+yk+k2)

(y+k)(y2+yk+k2) =

1

(y+k)

5. x3+y3

(x2−xy+y2) =

(x+y) (x2−xy+y2)

(x2−xy+y2) = x+y

Diferencia de cubos

6. x3−y3

(x2+xy+y2) =

(x−y)(x2+xy+y2)

(x2+xy+y2) = x−y

7. x3−y3

(x−y) =

(x−y)(x2+xy+y2)

(x−y) = x2+xy+y2

Trinomio de la forma x2+bx+c

8. (a2+10a+24)

(a+6) =

(a+6)(a+4)

(a+6) = a+4

9. (x2+8x+15)

(x+5) =

(x+5)(x+3)

(x+5) = x+3

Trinomio cuadrado perfecto

10. (a2+8a+16)

(a+4) =

(a+4)(a+4)

(a+4) = a+4


Pag. 24

11. (36m2+120mk+100k2)

(6m+10k) =

(6m+10)(6m+10k)

(6m+10k) = 6m+10k

Trinomio de la forma ax2+bx +c

12. (4x2+12x+8)

(x+2) =

(x+2)(4x+4)

(x+2) = 4x+4

13. (5k2+15k+10)

(5k+5) =

(k+2)(5k+5)

(5k+5) = k+2


Pag. 25

Evaluación. Escribe las reglas de: 1. El cuadrado de la suma de dos cantidades. 2. El cubo de la suma de dos cantidades. 3. El cubo de la diferencia de dos cantidades. 4. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

Halle el resultado de los siguientes productos notables.

1. (7x+8m)2 =

2. (9m−5y)3 =

3. (4k+3a)2 =

4. (8w+6m)3 =

5. (3y−10k)2 =

6. (2x2 +3y4)2 =

Coloca en la raya de la derecha el número que le corresponde en la columna de la izquierda. 1. (3m+2y)2

2. (7x+5k)3

3. 4x2 + 20xy+25y2

4. (2a+6y)3

5. 27x6 +54x4 +36x2 +8

6. 25w2 −20wz+4z2

Simplifique y luego desarrolle la potencia del binomio resultante.

1. (2x+4m)2. (2x+4m)4

(2x+4m)3 =

2. (3k+5y)3. (3k+5y)4

(3k+5y)5 =

3. (10a+8x)7

(10a+8x)4 =

4. (5m+10k)2. (6w+2y)4

(25m2+100mk+100k2)(6w+2y)2 =

5. (7x+9y)3. (7x+9y)2

(7x+9y)4 =

______ 4a2+24ay +36y2

______ (5w −2z)2

______ (3x2 +2)3

______ 9m2 +12my+4y2

______ 343x3 +735x2k+525xk2+125k3

______ (2x+5y)2

http://es.123rf.com/photo_16587676_3d-hombre-sentado-sobre-una-pila-de-libros-y-la-lectura-de-libros-sobre-fondo-blanco.html


Pag. 26

Halle el resultado de los siguientes cocientes sin tener que realizar la división.

1. 16b2+40bm+25m2

(4b+5m) =

2. 144x4−81y4

(12x2+9y2) =

3. k2+15k+56

(k+8) =

4. 343w3+512a3

(7w+8a) =

5. y2−yz+z2

(y3+Z3) =

6. 729a3+64m3

(9a2+36am+16m2) =

7. k2+15k+56

(k+8) =

8. 10x2+8x−2

(x+1) =

9. 64z2+96zk+36k2

(8z+6k) =

10. k2+15k+56

(k+8) =

11. 27b3−125a3

(3b−5a) =

12. 169n2−49p2

(13n2−7p2) =


Pag. 27

Racionalización.

Es el procedimiento mediante el cual se eliminan los radicales del numerador o del denominador de una fracción. Cuando el denominador es un monomio.

Ejemplos.

a. 𝟓

√𝟑

Solución:

𝟓

√𝟑𝒙

√𝟑

√𝟑 =

𝟓√𝟑

(√𝟑) (√𝟑) =

𝟓√𝟑

√𝟗 =

𝟓√𝟑

𝟑

b. 𝟖

√𝟓

Solución:

𝟖

√𝟓𝒙

√𝟓

√𝟓 =

𝟖√𝟓

(√𝟓) (√𝟓) =

𝟖√𝟓

√𝟐𝟓 =

𝟖√𝟓

𝟓

c. 𝟕

− √𝟏𝟎

Solución:

𝟕

− √𝟏𝟎𝒙

− √𝟏𝟎

− √𝟏𝟎 =

−𝟕√𝟏𝟎

(− √𝟏𝟎) (− √𝟏𝟎)

= −𝟕√𝟏𝟎

√𝟏𝟎𝟎 =

−𝟕√𝟏𝟎

𝟏𝟎

d. 𝟏𝟎

√𝟖

Solución:

𝟏𝟎

√𝟖𝒙

√𝟖

√𝟖 =

𝟏𝟎√𝟖

(√𝟖) (√𝟖) =

𝟏𝟎√𝟖

√𝟔𝟒 =

𝟏𝟎√𝟖

𝟖

e. 𝟐

𝟑 √𝟏𝟓

Solución:

𝟐

𝟑 √𝟏𝟓𝒙

√𝟏𝟓

√𝟏𝟓 =

𝟐√𝟏𝟓

𝟑 (√𝟏𝟓) (√𝟏𝟓) =

𝟐√𝟏𝟓

𝟑 √𝟐𝟐𝟓 =

𝟐√𝟏𝟓

𝟑𝒙𝟏𝟓 =

𝟐√𝟏𝟓

𝟒𝟓

Cuando el denominador es un monomio se multiplica el numerador y el denominador por el denominador.


Pag. 28

Cuando el denominador de la fracción es un binomio.

Ejemplos.

1. 𝟓

√𝟓+√𝟐

Solución:

𝟓

√𝟓+√𝟐𝒙

√𝟓−√𝟐

√𝟓−√𝟐 =

𝟓√𝟓−𝟓√𝟐

(√𝟓)𝟐

−(√𝟐)𝟐

= 𝟓√𝟓−𝟓√𝟐

(𝟓𝟏𝟐)

𝟐

−(𝟐𝟏𝟐)

𝟐 = 𝟓√𝟓−𝟓√𝟐

𝟓−𝟐 =

𝟓 (√𝟓−√𝟐)

𝟑

2. 𝟏𝟎

√𝟕−√𝟓

Solución:

𝟏𝟎

√𝟕−√𝟓𝒙

√𝟕+√𝟓

√𝟕+√𝟓 =

𝟏𝟎√𝟕+𝟏𝟎√𝟓

(√𝟕)𝟐

−(√𝟓)𝟐

= 𝟏𝟎√𝟕+𝟏𝟎√𝟓

𝟕−𝟓 =

𝟏𝟎 (√𝟕+√𝟓)

𝟐 = 5 (√𝟕 + √𝟓)

3. 𝟗

𝟒√𝟏𝟎−𝟑√𝟑

Solución:

= 𝟗

𝟒√𝟏𝟎−𝟑√𝟓𝒙

𝟒√𝟏𝟎 +𝟑√𝟓

𝟒√𝟏𝟎 +𝟑√𝟓 =

𝟑𝟔√𝟏𝟎 +𝟐𝟕√𝟓

(𝟒√𝟏𝟎)𝟐

−(𝟑√𝟓)𝟐

= 𝟑𝟔√𝟏𝟎 +𝟐𝟕√𝟓

[𝟒𝟐(𝟏𝟎)]+[𝟑𝟐(𝟓)] =

𝟑𝟔√𝟏𝟎 +𝟐𝟕√𝟓

[𝟏𝟔 (𝟏𝟎)]+[𝟗 (𝟓)] =

𝟑𝟔√𝟏𝟎 +𝟐𝟕√𝟓

𝟏𝟔𝟎+𝟒𝟓

= 𝟑𝟔√𝟏𝟎 +𝟐𝟕√𝟓

𝟐𝟎𝟓

Cuando el denominador de la fracción es un binomio, se multiplican tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.


Pag. 29


Racionalice las siguientes expresiones.

1. 𝟏𝟐

√𝟔

2. 𝟗

𝟐 √𝟑

3. −𝟓

√𝟐

4. 𝟐𝟎

√𝟏𝟕

5. 𝟏𝟓

𝟑 √𝟕

6. 𝟐

−√𝟏𝟏

7. 𝟒

𝟓 √𝟓

8. 𝟏𝟖

𝟏𝟎 √𝟐

9. 𝟏𝟎

√𝟕−√𝟓

10. 𝟗

√𝟔+√𝟐

11. 𝟏𝟓

√𝟏𝟎−√𝟕

12. −𝟑

𝟓√𝟑−𝟐√𝟑

13. 𝟕

√𝟏𝟐+√𝟖

14. 𝟔

𝟑√𝟕−𝟐√𝟑

15. 𝟓

𝟒√𝟑−𝟐√𝟓


Pag. 30

Operaciones con radicales.

Suma y resta de expresiones con radicales.

Para sumar o restar expresiones que contienen radicales, las cantidades dentro del radical deben ser iguales. Ejemplos.

1. 10 √5 + 8 √5 − 7 √5 + 4 √5

= (10 + 8 − 7 + 4) √5

=15 √𝟓

2. 15 √2 + 9 √2 + 4 √2 + 6 √2

= (15 + 9 + 4 + 6) √2

= 34 √𝟐

3. 20 √6 + 10 √6 − 18 √6 + 2 √6

= (20 + 10 − 18 + 2) √6

=14 √𝟔

4. 8 √8 + 4 √32 +5 √50 − 10 √2

= 8 √4𝑥2 + 4 √16𝑥2 +5 √25𝑥2 − 10 √2

= 8 (√4 𝑥 √2 )+ 4 (√16 𝑥 √2)+5 (√25 𝑥 √2 ) − 10 √2

= 8 (2 𝑥 √2 )+ 4 (4 𝑥 √2)+5 (5 𝑥 √2 ) − 10 √2

= 8 (2 √2 )+ 4 (4 √2)+5 (5 √2 ) − 10 √2

= 16 √2+ 16 √2+25 √2 − 10 √2

= (16 + 16 + 25 − 10) √2

= 47 √𝟐

5. 12 √27 + 6 √48 −3 √75 + 8 √12

= 12 √9𝑥3 + 6 √16𝑥3 −3 √25𝑥3 + 8 √4𝑥3

= 12 𝑥3 √3 + 6 𝑥4 √3 −3𝑥5 √3 + 8 𝑥2 √3

= 36 √3 − 24 √3 +15 √3 + 16 √3

= 43 √𝟑

Cuando las cantidades dentro del radical no son iguales, se descomponen en factores de modo que uno de esos factores tenga raíz exacta. Luego se extrae la raíz de ese factor y se multiplica por el coeficiente del radical y luego se simplifica la expresión.


Pag. 31


Efectúa las siguientes operaciones con radicales.

a. 45 √3 − 15 √3 + 10 √3 + 8 √3 =

b. −20 √5 + 35 √5 + 10 √5 + 12 √5 =

c. 15 √2 − 10 √2 + 7 √2 + 9 √2 =

d. 12 √6 + 18 √6 − 15 √6 + 20 √6 =

e. 50 √8 + 20 √8 − 60 √8 + 30 √8 =

f. 9 √40 − 5 √90 + 10 √10 + 5 √160 =

g. 10 √98 + 15 √32 + 30 √18 + 12 √2 =

h. 25 √80 − 6 √125 + 11 √20 − 3 √5 + 8 √45 =

i. 7 √7 + 13 √7 + 12 √7 − 10 √7 =

j. 30 √5 − 20 √5 + 10 √5 + 40 √5 =

k. 35 √28 − 9 √63 + 5 √112 + 7 √175 + 6√7 =

l. 11 √6 + √6 + 8 √6 − 12 √6 =

m. 52 √2 + 42 √2 − 75 √2 + 5 √2 =

n. 3 √11 + 13 √11 − 15 √11 + 4 √11 =

o. 2 √8 + 5 √200 + 6 √288 + 7 √2 − 3 √162 =


Pag. 32

Ecuaciones Lineales.

Una ecuación lineal o de primer grado: Es una igualdad en la que aparecen relacionadas mediante las operaciones matemáticas básicas constantes y variables cuyos valores son desconocidos.

Ejemplos:

1. 5x+8=48

2. 3m+6m−25=56

3. 4y+8y+50= 5y+99

4. 5x

4 +5= 15

Solución de una ecuación lineal.

Resolver una ecuación lineal es bastante sencillo y para ello debemos tener en cuenta las operaciones matemáticas básicas y sus operaciones inversas, así como también las propiedades del opuesto aditivo y del opuesto multiplicativo.

Ejemplos:

Halle el valor de x en las siguientes ecuaciones lineales.

1. 5x

4 +5=15

4( 5x

4 +5)= 4 (15)

5x+20=60

5x= 60 −20

5x

5 =

40

5

x = 8

2. 8m+4m−30=90

12m−30=90

12m= 90+30

12m=120

12m

12 =

120

12

m =10

En esta ecuación se puede utilizar tanto el procedimiento 1 como el procedimiento 2 porque si observamos bien ambos procesos son similares. En ambos se observa que se transpone la constante que se está sumando y luego se multiplica por 4 en ambos lados de la igualdad y luego se simplifica hasta obtener el resultado.

2. 5x

4 +5=15

5x

4 +5− 5 = 15− 5

5x

4 = 10

4 (5x4

) = 4 (10)

5x = 40

5x

5 =

40

5

x = 8

En el ejemplo de la izquierda

se redujeron los términos

semejantes, se transpuso al

otro lado el −30 aplicando la

propiedad del opuesto

aditivo y luego se dividió de

ambos lados por 12 para

obtener el valor de la

variable m.


Pag. 33

3. Halle el valor de x

5x

3 +

3x

2 −

x

4 = 70

12 (5x

3 +

3x

2 −

x

4 ) =12(70)

60x

3 +

36x

2 −

12x

4 = 840

20x+18x −3x = 840

35x = 840

35x

35 =

840

35

x = 24

4. Halle el valor de y

4y+8y+50= 5y+99

12y+50= 5y+99

12y− 5y= 99 −50

7y = 49 7y

7 =

49

7

y = 7

5. Halle el valor de m

3m+6m−25=56 9m −25=56 9m= 56+25 9m= 81

9m

9 =

81

9

m=9

Para resolver esta ecuación buscamos un común denominador entre 3, 2 y 4, o sea un número que pueda dividirse exactamente entre 2, entre 3 y entre 4. Este común denominador o número es 12, luego multiplicamos ambos miembros de la igualdad por 12 y simplificamos los resultados reduciendo términos semejantes hasta obtener el valor de x.

En esta ecuación sumamos (4y) y (8y), luego se aplica la propiedad del opuesto aditivo y transponen el 50 hacia la derecha y el 5y hacia la izquierda, se reducen los términos semejantes y se divide para hallar el valor de y.


Pag. 34

Resolución de problemas aplicando ecuaciones lineales.

1. Halle 3 números consecutivos sabiendo que la suma de ellos es 87.

Solución: Se a x el primer número.

X+1 el segundo número

X+2 el tercer número

Conforme a esto tendremos que:

x+x+1+x+2= 87

3x+3= 87

3x= 87−3

3x= 84

3x

3 =

84

3

x =28

Los números consecutivos buscados son: 28, 29 y 30 2. Halle dos números consecutivos sabiendo que el mayor es el doble del menor

aumentado en 10 y que la suma de ellos es igual a 102. Solución: Sea x el número menor y 2(𝑥 + 1) + 10 el número mayor.

De acuerdo a la información:

𝑥 + 2(𝑥 + 1) + 10 =102

𝑥 + 2𝑥 + 2 + 10 = 102

3𝑥 + 12 = 102

3𝑥 = 102 − 12

3𝑥 = 90

3𝑥

3 =

903

𝑥 = 30

El número menor es 30

El número mayor es 2 (30 + 1) + 10 =2(31) + 10 =72

Luego:

x+1=28+1

x+1=29

x+2=28+2

x+2=30

http://es.123rf.com/photo_10391654_cerebro-de-caricatura-dando-los-pulgares.html


Pag. 35

3. Problema 2.

Un grupo de palomas van volando y en el aire se encuentran con un Loro el cual les pregunta: ¿A dónde van mis 100 palomas? Por su parte las palomas respondieron: No, nosotras no somos 100, nosotras, más una parte igual a nosotras, más la mitad de nosotras, más la cuarta parte de nosotras y tú completamos 100.

¿Con cuántas palomas se encontró el Loro?

Solución:

Sea m la cantidad de palomas.

Sea m

2 la mitad de ellas y

m

4 la cuarta parte

Luego:

m+ m+ m

2 +

m

4 +1= 100

2m+ m

2 +

m

4 = 100 −1

2m+ m

2 +

m

4 = 99

4(2m + m

2 +

m

4 )= 4(99)

8m + 4m

2 +

4m

4 =396

8m +2m + m=396

11m = 396

11m

11 =

396

11

m=36

El loro se encontró con 100 palomas.

Se realiza la suma m+m y se transpone el 1 hacia el otro lado de la igualdad aplicando la propiedad del opuesto aditivo. Se toma el 4 como común denominador y se multiplican ambos miembros de la igualdad por 4, luego simplificamos reduciendo términos semejantes hasta llegar al cociente: 396

11 cuyo resultado es la solución del problema.

Comprobación:

m+ m+ m

2 +

m

4 +1= 100

36+ 36+ 36

2 +

36

4 +1= 100

72+18+9+1=100

100=100


Pag. 36

4. Halle 3 números pares consecutivos sabiendo que la suma de ellos es igual a 54.

Solución:

Sea x el primer número.

x+2 el segundo número.

x+ 4 el tercer número.

Luego:

x+x+2+x+4=54

3x+6=54 3x = 54 −6 3x = 48

3x

3 =

48

3

x = 16

Los números buscados son: 16, 18 y 20.

5. Resuelve.

Si al triplo de un número se le suma su duplo disminuido en 60, el resultado es igual a 190.

¿Cuál es el número?

Solución:

Si representamos por k el número, tendremos que:

3k+2k − 60=190

5k − 60=190

5k =190+60

5k= 150

5k

5 =

150

5

k =30

El número buscado es 30.

Por tanto: x+2= 16+2 x+2= 18

x+2= 16+4 x+2= 20


Pag. 37

6. Un padre le dice a su hijo: dentro de 5 años mi edad será el doble de la tuya más 6 años. Si dentro de los 5 años la suma de sus edades será 81 años.

¿Qué edad tendrá cada uno al transcurrir los 5 años? Solución: Sea y la edad actual del hijo.

En 5 años tendrá y+5 años y la edad del padre será: 2(y+5)+6 o sea (2y+16) años.

Luego:

y+5+2y+16 = 81

3y+21 = 81

3y = 81 −21

3y = 60

3y

3 =

60

3

y = 20

Ecuaciones que contienen radicales.

Ejemplo 1.

√x + 3 − √x − 2 =1

√x + 3 =1+√x − 2 Se transpone el término √x − 2

Se elevan ambos miembros al cuadrado.

(√x + 3 )2

=(1 + √x − 2 )2

En (1 + √x − 2 )2

se aplica la regla del cuadrado de la suma de dos cantidades.

x+3=1+2√x − 2 +x−2

Se transpone a la izquierda el término x−2 y 1

x+3−x+2 − 1= 2√x − 2

Simplificando nos queda que:

4=2√x − 2

Se eleva nuevamente todo al cuadrado.

42=(2√x − 2 )2

16= 4(x−2)

16=4x−8

4x=16+8

4x =24 4x

4 =

24

4

x =6

La edad del hijo será 25 años y la edad del padre será 56 años.

http://es.123rf.com/photo_10391654_cerebro-de-caricatura-dando-los-pulgares.html


Pag. 38

Ejemplo 2.

√2x − 4 + 2√2x + 1 = √18x − 8

Se eleva todo al cuadrado.

(√2x − 4 + 2√2x + 1 )2

=(√18x − 8 )2

2x − 4 + 4(√2x + 1 )(√2x − 4 ) +4 (2x+1)=18x−8

2x − 4+4√4x2 − 8x + 2x − 4 +8x+4=18x−8


10x+4√4x2 − 6x − 4 =18x−8

Se transpone el 10x

4√4x2 − 6x − 4 =18x−8 − 10x

4√4x2 − 6x − 4 =8x−8

Elevamos todo al cuadrado.

(4√4x2 − 6x − 4 )2

=(8x − 8 )2

16(4x2 − 6x − 4)= 64x2 − 128𝑥 + 64

64x2 − 96x − 64= 64x2 − 128𝑥 + 64


−96x + 128x=128

32x=128

32x

32 =

128

32

x = 4


Pag. 39

Problema 1.

El largo y el ancho de un rectángulo está expresado por 3x−4 y x+2 pies respectivamente. ¿Cuál es el área del rectángulo si su diagonal mide 10 pies?

Solución: Datos: Largo=3x−4 pies Por Pitágoras se cumple que: Ancho=x+2 pies (3x − 4)2+(x + 2)2 =102 Luego: D=10 pies 9x2 − 24x +16+ x2+4x+4=100 10x2 − 20x+20=100 10x2 − 20x =100 −20 10x2 − 20x =80 Divido todo por 10

10x2−20x

10 =

80

10

x2 − 2x =8 Se transpone el 8 hacia la izquierda. x2 − 2x − 8=0

(x−4) (x+2)=0 x−4=0 x=4 Esto nos indica que:

Largo=3(4) −4 pies = 8 pies.

Ancho=4+2 pies = 6 pies.

A modo de comprobación verificaremos estos valores con el teorema de Pitágoras.

(6)2+(8)2 =102

36+64=100

100=100 L.Q.Q.D.

Factorizamos este trinomio buscando dos cantidades que sumadas nos den multiplicadas nos den −8 y que sumadas algebraicamente nos den −2


Pag. 40

Ejemplo 3.

√2x − 3 –x= −3

√2x − 3 = −3+x Se elevan al cuadrado ambos miembros.

(√2x − 3 )2

=(−3+x)2

2x − 3=9−6x+x2

x2 − 6x − 2x+9+3=0

x2 − 8x +12=0 Se factoriza este trinomio

(x−6) (x − 2)=0 Se iguala cada factor a cero

x −6=0 x −2=0

x = 6 x = 2

Ejemplo 4.

√5x + 4 –1= 2x

√5x + 4 = 2x+1

(√5x + 4 )2

=(2x+1)2

5x+4= 4x2+4x+1

4x2+4x+1−5x − 4=0

4x2 − x − 3=0 Esta ecuación se resuelve por la formula general.

x = −b±√b2−4ac

2a

x = −(−1)±√(−1)2−4(4)(−3)

2(4)

x = 1±√1+49

8

x = 1±7

8

𝒙𝟏 = 1+7

8

𝒙𝟏 = 𝟏

𝒙𝟐= 1−7

8

𝒙𝟐 = − 𝟑

𝟒 = − 0.75


Pag. 41

Ejemplo 5.

3 √x − 1 +4=2x

3 √x − 1 =2x −4

(3 √x − 1 )2

= (2x − 4)2 Se elevan ambos miembros al cuadrado

9(x−1)= 4x2 − 16x+16

9x−9 = 4x2 − 16x+16

4x2 − 16x+16−9x+9=0 Se simplifica, reduciendo términos semejantes.

4x2 − 25x+ 25=0 Esta ecuación se resuelve por la formula general.

x = −b±√b2−4ac

2a

x = −(−25)±√(−25)2−4(4)(25)

2(4)

x = 25±√625−400

8 =

25±√225

8

x1 =25+15

8 =

40

8 = 5

x2 =25−15

8 =

10

8 =

5

4 = 1.25

Ejemplo 6.

√x + √x − 4 = 2−√x

√x − 4 = 2−√x

( √x − 4 )2

= (2 − √x)2

x − 4 = 4 −4√x +x

x − 4 − 4 − x = −4√x

−8 = −4√x

(−8)2 = (−4√x)2

64 =16 x

16x

16 =

64

16

x = 4


Pag. 42

Ejemplo 7.

√2x − 1 + √x + 4 = 6 Se transpone el término √2x − 1

√x + 4 = 6 − √2x − 1

(√x + 4 )2

= (6 − √2x − 1 )2 Se elevan ambos miembros al cuadrado.

x+4 = 36 −12 √2x − 1 + 2x – 1

x+4 – 36 −2x + 1 = −12√2x − 1

−x−31 = −12√2x − 1

(−x − 31)2 = (−12√2x − 1 )2

x2+62x+961= 144 (2x −1)

x2+62x+961 −288 x+144=0

x2 − 226x+1,105=0 Se factoriza este trinomio

(x−5)(x−221)=0 Se iguala cada factor a cero.

x−5=0 x −221=0 x = 5 x = 221

Comprobación:

√2(5) − 1 + √5 + 4 = 6

√9 + √9 = 6 3+3=6 6 = 6 El valor de x que satisface la ecuación es 5.

Ejemplo 8.

x+4=√x + 10

(x + 4)2 = (√x + 10 )2

(x+4) (x+4) = x+10 x2+8x+16 = x+10 x2+8x+16 −x−10 =0 x2+7x+6 =0 (x+6)(x+1)=0

x+6=0 x+1=0 x = −6 x = −1 Comprobación:

−6 +4= √−6 + 10

−2 = √4

−2 = 2 Esto es falso

Como se observa, el valor que satisface la ecuación es −1.

Se elevan al cuadrado ambos lados para eliminar el radical.

Ahora se simplifica y se resuelve la ecuación.

Luego se combinan los términos semejantes y se factoriza.

−1 +4= √−1 + 10

3 = √9 3 = 3

√2(221) − 1 + √221 + 4 = 6

√442 − 1 + √225 = 6

√441 + √225 = 6 21+25=6 46 = 6 Esto es falso


Pag. 43

Ejemplo 9.

√x2 + 2x + 1 −√4x + 1 = 0 Se transpone el término √4x + 1

√x2 + 2x + 1 = √4x + 1

(√x2 + 2x + 1 )2

=(√4x + 1 )2

x2 + 2x + 1= 4x + 1

x2 + 2x + 1 − 4x − 1= 0

x2 − 2x = 0 Se factoriza y se iguala cada factor a cero

x (x−2) = 0

x=0 x −2=0 x =2 Comprobación:

√22 + 2(2) + 1 − √4(2) + 1 = 0

√4 + 4 + 1 − √8 + 1 = 0

√9 − √9 = 0

3 − 3 = 0

0=0

Problema. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro. Solución.

x: Edad actual

x −13: Edad hace 13 años

x+11: Edad dentro de 11 años.

De acuerdo a la información, tenemos que:

x+11= (x−13)2

2 Ecuación correspondiente al problema.

2x+22= (x − 13)2

2x+22 = x2 −26x+169

x2 −26x +169 −2x − 22 =0

x2 −28x +147 =0

La ecuación anterior se resuelve por la formula general

x = −b±√b2−4ac

2a

Se elevan ambos factores al cuadrado para suprimir los radicales y luego simplificamos


Pag. 44

x = −(−28)±√(−28)2−4(1)(147)

2(1)

x = 28±√784−588

2 =

25±√196

2 =

25±14

2

x1 =28+14

2 =

42

2 = 21

x2 =28−14

2 =

14

2 = 7

Comprobación:

Para x = 2

2+11= (2−13)2

2

13= (−11)2

2

13 = 121

2

13 ≠ 60.5

Como se observa el valor 2 no satisface la ecuación, por lo que el valor de x es 7.

Para x =7

7+11= (7−13)2

2

18= (−6)2

2

18= 36

2

18 = 18


Pag. 45

Evaluación.

I. Seleccione la respuesta correcta.

1. El valor de x en la ecuación 7x−19=30 es igual a: A. 8 B. 5 C. 7

2. Si Juan le dice a Pedro: yo tengo el doble del dinero que tú tienes más $250 pesos y entre los dos tienen $1,750. ¿Qué cantidad de dinero tiene Juan? A. $500 B. $700 C. $1,250

3. ¿Cuál es el procedimiento correcto para resolver la ecuación 5m

4 + 8=33?

A. 5m

4 + 8=33 B. C.

5m

4 = 33 −8

5m

4 = 25

5m=4(25)

5m=100

5m

5 =

100

5

m=20

4. ¿Qué número tiene la peculiaridad de que si se le suma su triplo disminuido en 60 el resultado es él mismo incrementado en 30? A. 40 B. 30 C. 20

5. ¿Cuáles son los valores de m y a en las ecuaciones 4m+25=125 y 8a−24=40? A. m=8 y a=5 B. a=25 y m=8 C. m=25 y a=8

II. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales.

1. 6k+26=10

2. 7m+25+3m=5m+225

3. 18𝑤

5 +10=2w+26

4. 8x+4x−100=20

5. 9y−4y+15=60

III. Resuelve los siguientes problemas aplicando ecuaciones.

1. Si al duplo de la edad de Marcos se suma su cuádruplo disminuido en 40 años, el resultado es su edad aumentada en 60 años. ¿Qué edad tiene Marcos?

2. Halle 4 números pares consecutivos sabiendo que la suma de ellos es igual a 132.

3. El precio de un producto es el triplo del precio del otro menos $55 pesos, si por ambos productos se pagó un total de $305 pesos. ¿Cuál es el precio de cada producto?

5m

4 + 8=33

5m

4 = 33+ 8

5m

4 = 41

5m=4(41)

5m=160 5m

5 =

160

5

m=32

5m

4 + 8=33

5m

4 = 33+ 8

4 ( 5m

4 )= 4(41)

5m=164

5m

5 =

164

5

m=32.8


Pag. 46

Factorización. Diferencia de cuadrados. Una diferencia de cuadrados es un binomio especial formado por dos términos que tienen raíces cuadradas exactas, separados por el signo de menos. Ejemplos.

1. 36x2- 64y2. 2. 100m4- 144n4 3. 81k2- 25w2.

Para factorizar una diferencia de cuadrados debemos buscar las raíces cuadradas de los dos términos que forman dicha diferencia de cuadrados y luego se expresa el producto de la suma de las raíces por la diferencia de las mismas. Ejemplos 1

Factorizar

49m2-100y2 buscamos la raíz cuadrada de cada término.

√49m22 = 7m.

√100y22 = 10y.

Luego los factores buscados son: (7m+10y) (7m-10y).

Ejemplo 2. Factorizar 36a4 – 64m4. Buscamos las raíces cuadradas de cada término.

√36a42 =6a2

√64m42 =8m2

y formamos dos binomios con estas raíces, escribiendo en uno de ellos la suma de dichas raíces y en el otro la diferencia de las mismas.

Los factores buscados son: (6a2+8m2) (6a2 -8m2).

Ejemplo 3. Halle los factores de la siguiente diferencia de cuadrados. 81x4 – 144y4 Buscamos la raíz cuadrada de cada término

√81x4 = 9x2

√144y4 =12x2

Con estas raíces formamos dos binomios y expresamos el producto de dichos binomios escribiendo en uno la suma de las raíces y en el otro la diferencia de las mismas.

Luego los factores buscados son:

(9x2+12y2)(9x2-12y2)


Pag. 47

Factorice las siguientes diferencias de cuadrados.

1. 25x4 –16a4

2. 144m2 –169y2

3. 9x2 - 81y2

4. 169w6 –100z6

5. 16

25 m4 −

64

81 x4

6. 121 b8 – 36 y8

Trinomio de la forma x2± bx ±c

Para factorizar un trinomio de esta forma, formamos dos binomios, se busca la raíz cuadrada del término cuadrático y buscamos dos cantidades cuyo producto sea ± c y cuya suma algebraicamente sea ± bx. Ejemplos.

1. x2+6x+8

2. a2+9x+20

3. m2-12m+32

4. y2+5y-36

Hallar los factores de los siguientes trinomios 1. x2+7x-60 Buscamos dos números que multiplicados cuyo producto sea 60 y que sumados algebraicamente nos den 7. Estos números son 12 y -5 ya que (12) x (-5)=-60 y -5+12=7 Luego los factores buscados son: (x+12) (x-5) Ejemplo 2. Hallar los factores de m2+16m+28 Buscamos dos números cuyo producto sea 28 y que sumados den 16 Estos números son 14 y 2 ya que (14) x (2)=28 y 14+2=16, por tanto los factores son: (m+14) (m+2) Ejemplo 3. Hallar los factores de a2-8a-48 Se buscan dos números que multiplicados den -48 y que sumados den -8 Estos números son -12 y 4 ya que -12x4=-48 y -12+4=-8, por lo que los factores son: (a-12) (a+4).



Pag. 48

Factorizar los siguientes trinomios.

1. x2+10x+21

2. w2-5w+6

3. b2+15b+56

4. y2+7y-44

5. m2-10m+24

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Dado el trinomio 5x2+8x+3

Hallar sus factores.

Se multiplica el trinomio por el coeficiente del término cuadrático 5(5x2)+5(8x)+5(3) Se escribe de la forma (5x)2+8(5x)+15 Se asume que a=5x y expresamos el trinomio en función de a a2+8a+15 Como se le dio la forma x2+bx+c, buscamos dos números que multiplicados den 15 y que sumados den 8, estos números son 3 y 5 (a+5)(a+3) y como a=5x, entonces

(5x+5)(5x+3)

(𝟓𝐱+𝟓)(𝟓𝐱+𝟑)

𝟓 𝐱 𝟏 = (x+1) (5x+3)

Luego los factores buscados son (x+1) (5x+3)

Ejemplo 2.

Halle los factores del trinomio 7x2+10x+3

Solución

Multiplico el trinomio por el coeficiente del término cuadrático

7(7x2)+7(10x)+7(3)

Se escribe de la forma

(7x)2+10(7x)+21

Se asume que a=7x

a2+10a+21

Como multiplique por 5, divido por 5 para volver el trinomio a su forma original.

Como este trinomio tiene la forma x2+bx+c buscamos dos cantidades cuyo producto sea 21 y cuya suma algebraica sea 10

¿Cómo se obtiene un trinomio de la forma ax2+bx +c?


Pag. 49

Estas cantidades son 7 y 3 ya que 7x3=21 y 7+3=10

Luego los factores son:

(a+7)(a+3) y como a=7x sustituyo a por 7x

(7x+7)(7x+3)

(𝟕𝐱+𝟕)(𝟕𝐱+𝟑)

𝟕 𝐱 𝟏 = (x+1) (7x+3)

Finalmente los factores del trinomio 7x2+10x+21 son: (x+1) (7x+3)

Ejercicios propuestos Factorice los siguientes trinomios.

1. 8x2+15x+7

2. 4x2+9x+5

3. 9x2+6x-3

4. 5x2+14x+9

5. 7x2+12x+5

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.

Un trinomio cuadrado perfecto es aquel trinomio en el cual el primer y el tercer término tienen raíz cuadrada exacta y el término medio es el doble del producto de las raíces de los otros dos. Ejemplos.

1. 36x2+60xy+25y2

2. 100a2+140ab+49b2

3. 16m2+64mn+64n2

4. 81w2+180wk+100k2

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto debemos dar los siguientes pasos:

1. Buscamos las raíces cuadradas del primer y el tercer término.

2. Verificamos que el término medio sea el doble de las raíces de los otros dos términos.

Como multiplique por 7 se divido por 7 para que el trinomio vuelva a su forma original

Una forma de obtener un trinomio ax2+bx+c es combinando con operaciones de (+ o −) una variable al cuadrado con su coeficiente numérico y una constante, de forma que el término medio sea la suma del coeficiente numérico de la variable cuadrada y la constante.



Pag. 50

Ejemplo 1.

Factorice siguiente trinomio cuadrado perfecto.

36x2+60xy+25y2

Solución:

Buscamos la raíz cuadrada del primer y tercer término

√36x2 =6x

√25y2 =5y

Verificamos que el término medio sea el doble del producto de las raíces

2(6x) (5y)=60xy como esto se cumple los factores buscados son:

(6x+5y)(6x+5y)

Ejemplo 2.

Halle los factores de la expresión 100a2+80ab+16b2

Solución:

Buscamos la raíz cuadrada del primer y el tercer termino

√100a2 = 10a

√16b2 = 4b

Se verifica que el término medio sea el doble del producto de las raíces

2(10a) (4b)= 80ab

Al verificarse esto, concluimos diciendo que los factores buscados son: (10a+4b) (10a+4b)

Factorice los siguientes trinomios cuadrados perfectos.

1. 36x2+60xy+25y2

2. 100a2+140ab+49b2

3. 16m2+64mn+64n2

4. 81w2+180wk+100k2

5. 144y2+120ym+100m2


Pag. 51

Factorización de una suma de cubos.

Una suma de cubos es un binomio en el cual sus términos tienen raíz cubica exacta.

Ejemplos:

1. 27x3+64m3

2. 729 a3+125b3

3. 216x3+343y3

4. 512w3+8n3

¿Cómo factorizar una suma de cubos?

Para factorizar una suma de cubos, buscamos la raíz cúbica de las cantidades que la

forman y con ellas formamos un binomio, luego formamos un trinomio con el cuadrado

de la primera raíz menos la primera raíz por la segunda más el cuadrado de la segunda

raíz y se expresa el producto del binomio y del trinomio siendo estos los factores

buscados.

Ejemplos. Factorice la siguiente suma de cubos. 27x3+64m3

1. Buscamos las raíces cúbicas de 27x3 y 64m3

√27x33=3x

√64m33=4m

2. Formamos un binomio con las raíces

(3x+4m)

Luego formamos un trinomio con el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas más el cuadrado de la segunda raíz.

(9x2-12xm+16m2)

Finalmente los factores buscados son:

(3x+4m)(9x2-12xm+16m2)

Halle los factores de 125a3+729y3

√125a33 = 5a

√729y33 = 9y

Luego (5a+9y) (25a2-45ay+81y2) son los factores buscados.

Factorice 27

64 w3 +

343

8 m3

Buscamos las raíces cúbicas de ambos términos

√27

64 w3

𝟑 =

3

4 w √

343

8 m3

𝟑 =

7

2 m luego los factores buscados son:

( 3

4 w +

7

2 m) (

9

16 w2 −

21

8 wm+

49

4 m2)


Pag. 52

Evaluación.

Seleccione la respuesta correcta.

1. Los factores de la expresión 36x2 – 64m2 son:

A. (8x – 6m) (8x – 6m) B. (6x –8m) (6x+8m) C. (6x+8m)(6x+8m)

2. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un cuadrado perfecto?

A. 4x2+ 40xy+25y2 B. 36x4+120x2 y2+100y4 C. 16m2+ 32mn+8n2

3. ¿Cuáles son los factores del trinomio 100w2+80wk+16k2?

A. (10w+8k)(10w+8k) C. (10w+4k) (10w+4k)

B. (10w −8m)(10w+4k)

4. ¿Cuáles son los factores de la expresión x2+ 15x+56?

A. (x+8) (x+8) B. (x+7) (x+8) C. (x+8) (x+8)

5. Los factores de la expresión 343m3 + 729y3 son:

A. (7m+9y)(49m2+72my+81y3) C. (7m+9y)(49m2+9y)

B. (7m+9y)(49m2 −72my+81y2)

6. Si (4x – 5m) es un factor de 16x2 – 25m2 ¿Cuál es el otro?

A. (x+8) B. (8x – 6m) C. (4x+5m)

Factorice las siguientes expresiones.

1. 64x2+ 80xy+25y2

2. x2+15x+54

3. 5x+12x+7

4. 27w3 +64a3

5. 81x2 −100y2

6. 49m2 −16w2

7. 4a2+72ab+81b2

8. 4k2+10k+6

9. 125x3 −729y3

10. a2+20a+9

Factorice y luego simplifique las siguientes expresiones.

1. 36x2+84xy+49y2

(6x+7y) =

2. 216m3+512k3

(36x2−48mk+64k2) =

3. 81w2−144a2

(9w−12a) =

4. 9x2+16x+7

(9x+7) =

5. 343w3+729y3

(7w+9y) =


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Ecuaciones de segundo grado Una ecuación de segundo grado es aquella ecuación en la cual el mayor exponente de la variable o las variables que en ella aparecen es 2.

Su forma general es ax2±bx±c=0.

Este tipo de ecuaciones pueden resolverse:

Por la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas 𝐱 =−𝐛±√𝐛𝟐−𝟒𝐚𝐜

𝟐𝐚

Por factorización

Por tanteo.

Discriminante de una ecuación de 2do grado.

El discriminante de una ecuación de segundo grado (∆) nos permite determinar el tipo

de raíces que tiene dicha ecuación y su fórmula es: ∆= b2−4ac Propiedades del determinante.

1. Si el ∆ es menor que cero las raíces son complejas y conjugadas.

2. Si el ∆ es igual a cero las raíces son reales e iguales.

3. Si el ∆ es mayor que cero las raíces son reales y distintas.

Ejemplo 1.

Resolver la siguiente ecuación 3x2+ 8x-3=0 por la formula general.

𝐱 =−𝐛±√𝐛𝟐−𝟒𝐚𝐜

𝟐𝐚 Aplicamos la formula general

x =−8±√82−4(3)(−3)

2(3)

x =−8±√64+36

6 Sumamos 64 y 36

x =−8±√100

6 Se busca la raíz cuadrada de 100

x =−8±10

6

x =−8+10

6

𝑥1 =2

6 =

1

3 Se simplifica

2

6

𝑥2 =−8−10

6 =

−18

6 Se divide -18 entre 6 para que de -3

x = -3

El conjunto solución de esta ecuación es [ 𝟏

𝟑 , −𝟑 ]

Calculemos el discriminante de la ecuación 3x2+8x-3=0. Solución:

∆= b2-4ac

∆= 82-4(3)(-3) ∆= 64+36 ∆= 100 Aquí observamos que ∆>0 lo que indica que las raíces de esta ecuación son reales y distintas.

Se sustituye cada variable por su valor y se multiplica 8x8 y -4(3) (-3)


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Resolvamos ahora la misma ecuación por factorización.

Como esta ecuación tiene la forma del trinomio ax2+bx+c apliquemos entonces el procedimiento para factorizarlo.

Multiplico todo por 3

3(3x2)+3(8x)+3(-3)=0

(3x)2+8(3x)-9=0

Hacemos a=3x

a2+8a−9=0

Factorizamos este trinomio y obtenemos los factores.

(a+9)(a-1)=0 (3x+9)(3x-1)=0 Como ya habíamos dicho a=3x, ahora sustituimos a por 3x (3x+9)(3x−1)

3 = 0

(x+3)(3x-1)= 0 x+3=0 Cada binomio se iguala a 0.

x=0-3

x= -3

3x-1=0

3x=0+1

3x

3 =

1

3

x = 1

3

Como se observa al resolver la ecuación por la formula general y por factorización el conjunto solución es el mismo.

Para resolver esta ecuación por tanteo solo debemos sustituir a x por cantidades cualesquiera hasta encontrar una que satisfaga la igualdad.

Por ejemplo.

Si sustituimos a x por 3, tendremos

3(3)2- 8(3)-3=0

3(9)- 24-3=0

27 – 27 =0

0=0

Como multipliqué por 3, divido por 3 para que

el trinomio vuelva a su forma original.

Como se observa al sustituir a x por 3 la igualdad se cumple.

De igual manera se cumplirá si se sustituye a x por 1

3


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Ejemplo 2. Resuelve la siguiente ecuación por la formula general.

5x2+7x-6=0

x =−b±√b2−4ac

2a

x =−7±√72−4(5)(−6)

2(5)

x =−7±√49+120

10

x =−7±√169

10 =

−7±13

10

x1= −7+13

10 =

6

10 =

3

5

x2= −7−13

10 =

−20

10 = −2

Las raíces o soluciones de la ecuación son: 𝟑

𝟓 y −𝟐

Ejemplo 3.

Resolver la ecuación 4𝑥2 + 7𝑥 − 2 = 0

En esta ecuación 𝒂 = 𝟒, 𝒃 = 𝟕 𝒚 𝒄 = −𝟐.

Sustituyendo estos valores en la fórmula general, tenemos que:

𝒙 = −𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

𝑥 = −7±√72−4(4)(−2)

2(4)

𝑥 = −7±√49+32

8

𝑥 = −7±√81

8 =

−7±9

8

𝑥1 = −7+9

8 =

28 =

1

4 = 0.25

𝑥2 = −7−9

8 =

−168

= −2

El conjunto solución o raíces de la ecuación son: [𝟎. 𝟐𝟓, −𝟐]


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Resolución de problemas aplicando ecuaciones cuadráticas.

Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardaran en realizar el mismo trabajo pero haciéndolo por separado, si uno tarda 5 horas más que el otro? Solución: Sea x el número de horas que emplea el primer obrero en realizar el trabajo.

En una hora hará 1

x del total del trabajo

El segundo obrero empleará (x+5) horas y en una hora hará 1

x+5 del total del trabajo.

Entre los dos tardan 12 horas en completar el trabajo, por lo que en una hora harán 1

12

del total del trabajo.

Luego:

1

x +

1

x+5 =

1

12 es la ecuación que nos dará la solución del problema.

Se resuelve esta ecuación

x(x+5)

x +

x(x+5)

x+5 =

x(x+5)

12

x+5+ x = x(x+5)

12

12(x+5+x)= x(x+5)12

12

24x+60 = x2+5x

x2+5x-24x-60= 0

x2-19x-60= 0

Resolvemos esta ecuación por la formula

General 𝐱 =−𝐛±√𝐛𝟐−𝟒𝐚𝐜

𝟐𝐚

x =−(−19)±√192−4(1)(−60)

2(1)

x =19±√361+240

2

x =19±√601

2=

19±24.5

2

x1 =19+24.5

2 =

43.5

2 = 21.75

x2 =19−24.5

2 =

− 5.5

2 = − 2.75

Como se observa el primer obrero tarda

21.75 horas o 21. 75x60

100 = 21.

4,500

100

21. 45, es decir 21 horas y 45 minutos. Como el segundo obrero tarda 5 horas más que el primero, el tiempo que le toma hacer el trabajo es 26.75 horas o 26 horas y 45 minutos. En conclusión: El primer obrero tarda 21 horas y 45 minutos El segundo obrero tarda 26 horas y 45 minutos


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Resuelve las siguientes ecuaciones por la fórmula general.

𝒙 = −𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

1. 2𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟓 = 𝟎

2. 𝟕𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟐 = 𝟎

3. 4𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑 = 𝟎

4. 10𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟑 = 𝟎

5. 9𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 − 𝟐 = 𝟎


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Bibliografía.

Matemática 1 Julián Santana, Alejandro Gutiérrez, Roberto Herrera y Fernando Abreu.

Matemática 1 Santillana (Serie Coral)

Amauris Gelabert google sites.

amaurisgelabert.blogspot.com

guía didactica de mat 111

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