guia n° 2.2015 - funciones de variable compleja

INGENIERIA EN SISTEMAS DE INFORMACIONTEORIA DE CONTROL - 4º AÑO - AÑO 2015

GUÍA DE TRABAJO Nº 2 – FUNCIONES COMPLEJAS Inicio 10/08/2015

Contenidos: Definición de funciones complejas. Representación gráfica. Funciones elementales. Continuidad y analicidad. Funciones analíticas. Transformación conforme. Funciones meromorfas. Principio del argumento. Transformación de contornos.

Definición

Una función compleja de variable compleja f definida sobre un conjunto

D⊂C=D⊂R2de números complejos es una función que asigna a cada número complejo z∈D otro

número complejo w=f ( z ) y se representa con la notación f :D→C .

El conjunto D se llama, igual que en el caso de las funciones reales, dominio de f.Igualmente, el conjunto de las imágenes de f se llama imagen de f.

Para z=x+ yi ¿ ; f ( z )=u( x , y )+ iv( x , y ) ¿, x ¿¿constituyen la parte real de z y f ( z )

respectivamente. Análogamente, y ¿¿ constituyen la parte imaginaria de z y f ( z ) respectivamente.

La representación gráfica de una función compleja utiliza dos planos complejos, uno para el dominio y otro para la imagen; estos dos planos se pueden representar separados:

Para representar gráficamente una función compleja w=f(z) necesitamos dos números reales para fijar z y otros dos para fijar su imagen w, es decir, un espacio de cuatro dimensiones. Por ello, una función compleja de variable compleja se representa mediante dos planos coordenados, uno al lado del otro; en el plano de la izquierda se representa z y en el de la derecha w

Ejemplo. Cálculo de funciones de variables complejas y representación gráfica.1. Representación gráfica para función de variable real y=f(x)=x2 y función de variable compleja

f(z)=z2

a.

Esp. Ing. Castellanos - Esp. Ing. Pennisi 1



b.

2. Dada la función f ( z )=z2+1 , se puede expresar como




f ( z )=(x+ yi )2+1=x2+2xyi− y2+1=u( x , y )+iv( x , y )con u( x , y )=x2− y2+1 y iv( x , y )=2 xyi

3. Dada la función f ( z )=2 iz+6 z , entonces

El valor de f(z) para z=3+2i es

f ( z )=(6 x−2 y )+i(2x−6 y )=(6⋅3−2⋅2 )+ i(2⋅3−6⋅2)=14−6 i

4. ¿En qué curvas se transforman rectas verticales en el plano z a través de la función f(z)=z2 en el plano w?

Para el caso dondex=k

z=k+ iy ; {u (x , y )= x2− y2=k2− y2 ¿ ¿¿¿

y=√k 2−u

y= v2k

} v2=−4k 2(u−k2 )

Para el caso donde y = k

z=x+ik ; {u (x , y )= x2− y2=x2−k2 ¿ ¿¿¿

x=√u+k2

x= v2k

} v2=4 k2(u+k2 )

Si se toma como dominio un rectángulo con esquinas en ±3/2 ± 3/2i, las líneas verticales, formadas por complejos de parte real constante, se convierten en parábolas abiertas hacia la izquierda y las líneas horizontales, formadas por números complejos de parte imaginaria constante, en parábolas abiertas a la derecha.

Funciones elementales

PolinomiosLos polinomios complejos son de la forma:

f ( z )=a1 zn+a2 z

n−1+a3 zn−2+ .. ..an−1 z+an ; a j∈⊂ para j=0 .. .n


f ( z )=2 i( x+iy )+6 (x−iy)=(6 x−2 y )+i(2x−6 y )



Función racionalDe forma análoga al caso real, se define una función racional a una función definida como cociente de

dos polinomios: f ( z )=

P( z )Q( z )

Como en el caso real, las funciones racionales se pueden definir en todo el plano complejo, salvo en el conjunto de los números complejos que anulen el denominador, que son las raíces del polinomio Q(z).

Función exponencialDado el número complejo z = x+iy, la función exponencial compleja se define a través de la fórmula de Euler:

f ( z )=e z=ex+iy=ex(cos y+i sin y )La función así definida es una extensión de la función exponencial real, puesto que si z es un número real se que tiene que y=0 y entonces f(x)=ex.

ez se reduce a ex cuando z es real (cuando y = 0).ez es una función entera (es analítica en todo punto). Su derivada coincide con la función misma, como en el caso de la exponencial real.

Función trigonométrica

Las fórmulas de Euler permiten asegurar que para todo x∈ R eix=cos x+i sin x y e

−ix=cos x−isin x

Se tiene entonces que six∈ R

e ix=cos x+isenx y e−ix=cos x−isenxEs razonable extender las funciones seno y coseno al plano complejo definiéndolas para todo z∈C :

cos z= e iz+e−iz

2y sin z= e iz−e−iz

2i

Ejemplo

1. Una función polinomial es la analizada anteriormente, f(z)=z2

2.f ( z )=2 z2+1

z2+1 es una función racional, está definida para todo valor complejo salvo para z=+i y z=-i.

3. Si f(z) es una función exponencial entonces e1+iπ=e (cos π+i sinπ )=−e y

e3+iπ /2=e3 (cos π /2+isin π /2)=ie3 .

Continuidad. Analiticidad Para introducirnos en el concepto de continuidad, pensemos en el significado opuesto lógico: la falta de continuidad.

En una variable real, la falta de continuidad podría decirse: “los puntos x próximos al punto a no tiene una aplicación f(x) próxima a f(a)”.

Una función f(z) se dice que es continua en z = z0 si f(z0) está definida en z0 y limz→ z0

f ( z )=f ( z0)

Decimos que f(z) es continua en una región si es continua en todo punto de la región.

Las sumas, diferencias y productos de funciones continuas son continuas. El cociente de dos funciones continuas es continuo salvo en los puntos en que se anula el denominador. La composición de funciones continuas es continua. Sea f(z) = u(x,y) + iv(x,y), entonces u y v serán continuas en todo punto en el que f(z) lo sea. Y a la inversa:




f(z) será continua en todo punto en que u(x,y) y v(x,y) lo sean.

Ejemplo

Sea

f ( z )={ z2+1z−i

, z≠i

3 i , z=i

¿Es continua f(z) en z = i ? 1) Para f(z) = 3i está definido.

2) Para

z2+1z−i calculamos el límite de la función cuando z tiende a i:

limz→i

z2+1z−i

=limz→i

( z−i)( z+i)z−i

=limz→i

( z+i)=2i

El límite existe pero no coincide con el valor de la función, por lo tanto la función no es continua.

Funciones analíticasLas funciones holomorfas o analíticas son el principal objeto de estudio del análisis complejo; son funciones que se definen sobre un subconjunto abierto del plano complejo C y con valores en C, que además son complejo-diferenciables en cada punto.

La frase "analítica en un punto a" significa no sólo diferenciable en a, sino diferenciable en todo un disco abierto centrado en a, en el plano complejo.

Cuando se dice que una función f es analítica en un conjunto S que no es abierto, quedará sobrentendido que f es analítica en algún abierto que contiene a S.

Cuando se dice que una función es analítica en un punto zo, la derivada debe existir en todos los puntos de algún entorno de z0.

Definición

Sea un dominio en C y f :Ω→C una función de variable compleja. Sea z0 un punto de Ω Se dice que

f es derivable en

z0 si existe el límite

f z0

' = limz→ z0

f ( z )− f ( zo)z−zo que, en ese caso, se llama derivada

de f en z0

Entonces, f es analítica en Ω cuando es derivable en todos los puntos de Ω, también se dice que es holomorfa o regular.




Está claro que toda función derivable es continua.

Un punto donde f ( z )no es analítica es un punto singular. Un polo es un punto singular.

¿Existe una forma rápida y fácil de comprobar si una función f (z) es analítica?

Sea f ( z )=u( x , y )+iv( x , y ) continua en un dominio D.

f(z) es analítica en un dominio D si u(x,y) y v(x,y) son continuas y poseen primeras derivadas parciales continuas en D y satisfacen las ecuaciones de CR (Cauchy-Riemman):

∂u∂ x

=∂ v∂ y

∂u∂ y

=−∂ v∂ x en todo punto D

Se puede definir un proceso sencillo para determinar si f(z) es analítica en z0.1. Escribir f(z) como f(z) = u(x,y) + iv(x,y).2. Encontrar ux(x,y), uy(x,y), vx(x,y) y vy(x,y).3. Comprobar que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

ux(x0,y0) = vy(x0,y0)uy(x0,y0) = -vx(x0,y0)

4. Comprueba que ux(x,y), uy(x,y), vx(x,y) y vy(x,y). son continuas en (x0,y0).

Ejemplo

¿Es 1/z analítica?

f ( z )=1

x+ iy⋅x−iyx−iy

=( x

x2+ y2 )+i( − y

x2+ y2) u( x , y ) v (x , y )

∂u∂ x

=∂ v∂ y

= −x2+ y2

( x2+ y2 )2,

∂u∂ y

=−∂ v∂ x

= −2 xy( x2+ y2 )2

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen. Pero f(z) no es continua en cero. La función es analítica en todo punto, excepto en z = 0.

¿Qué tienen de especial las funciones analíticas? Si una función es analítica entonces todas sus derivadas también son analíticas (en franco

contraste con las funciones de variable real).

Toda función analítica puede expresarse como serie de potencias positivas o serie de Taylor, es decir, una función f es analítica en Ω si y sólo si para todo z0 en Ω existe una serie de potencias

tal que f ( z )= ∑n=0

∞an (z-z0 )

n , |z-z0| ∈ R y converge en el interior de un disco

|z-z0| <R .

Ejemplo El desarrollo de f ( z )=ez en serie de Taylor es:

Si f(x) = ex , de modo que fn(0) = e0 =para toda n. En consecuencia, la serie de Taylor de f en 0 es

∑n=0

∞ f (n)(0)n!

xn= ∑n=0

∞ xn

n !=

1+ x

1!+ x2

2!+ x3

3 !+.. .




Transformación conforme

Una transformación conforme es una función f :Ω⊆C→C analítica tal que f ' ( z )≠0 ;∀ z∈Ω .Si f es conforme, entonces fpreserva los ángulos.

Teorema

Si Ωes una región simplemente conexa entonces siempre existe f :Ω⊆C→C biyectiva y analítica, o bien analítica y conforme.

Un conjunto se dice conexo cuando todo par de puntos del mismo puede ser unido por un camino (puede ser una poligonal también) contenido en el conjunto.

Función meromorfa

Una función f se dice meromorfa en Ω si es el cuociente de dos funciones analíticas, esto es:

f= pq,q≠0

Las singularidades de una función meromorfa, corresponden a los ceros de q (pueden ser polos o singularidades esenciales).

Sea f ( z )=

a0+a1 z1+a2 z

2+. .. . .. .. .+am zm

b0+b1 z1+b2 z

2+ .. .. . .. ..+bn zn=A .

( z−c1)( z−c2 ) .. .. . .. .( z−cm)( z−p1)( z−p2) .. . .. .. .( z−pn)

ci son los ceros de la función compleja. pi son los polos de la función compleja.

EjemploDada f(z)=1+z. Esta función tiene un cero en z=-1 y no tiene polos.El siguiente gráfico representa el valor de f(z) para el cero de la función identificando los planos z y w.

Si se quiere calcular f (z) no en un único punto z0sino en todos los puntos de una trayectoria cerrada del plano z, se repite el procedimiento anterior en cada uno de los puntos de la trayectoria.




Las figuras siguientes muestran los resultados para dos trayectorias diferentes que se han recorrido en el sentido horario. En ambos casos se produce en el plano w otra trayectoria cerrada en sentido horario.

La principal diferencia entre las dos trayectorias es que la primera no encierra al cero de f (z) (plano z) mientras que la segunda sí lo hace. Como consecuencia de esto, en el primer caso la trayectoria cerrada que aparece en el plano w no encierra al origen, mientras que en el segundo sí lo hace.

Las figuras que siguen muestran cuál habría sido el resultado si f(z) tuviera un polo en z=-1 en lugar

de un cero, es decir si f ( z )= 1

z+1 . En el plano w

aparecen trayectorias cerradas que sólo encierran al origen si la trayectoria del plano z encierra al polo.

El sentido de la trayectoria que encierra al origen es antihorario, lo que se explica a partir de que el ángulo de los vectores que van de polos a z0 tiene signo negativo.

Si la trayectoria hubiese encerrado varios ceros y varios polos, cada uno de estos ceros contribuye con un término que habrá variado 360o en sentido horario, mientras que cada polo lo hará con otro término que habrá variado 360o en sentido antihorario.

Otro detalle a tener en cuenta, es que si la trayectoria pasa por un polo de f(z) al calcularla en ese punto el resultado tiende a ∞, y por lo tanto la trayectoria generada en el plano w no necesariamente será cerrada.

Principio del argumentoDada una función w=f(z) calculada en una trayectoria cerrada Γ , que no pasa por ningún polo de w=f(z), recorrida en sentido horario, el resultado es también una trayectoria cerrada que encierra al origen un número de veces α :




α=nΓ−mΓ

Si nΓ>mΓ la trayectoria se recorre en sentido horario, caso contrario el sentido es anti horario.

nΓ Número de ceros de fencerrados por Γ

mΓNúmero de polos de fencerrados por Γ

Transformación de contornoAnalizaremos la transformación de los contornos en el plano s mediante una función f(z). Una transformación del contorno es un contorno o trayectoria en un plano transformado en otro plano, o trasladado a éste, mediante la relación f(z). Como z es una variable compleja, la función f(z) es por sí misma compleja y es igual a f(z)=u+iv representándose en un plano f (z) complejo con coordenadas u y v.

Ejemplo1. Transformar el contorno dado utilizando la función f(z)=2z+1 se obtiene la imagen de la

derecha. El contorno conserva la forma, es una aplicación conforme, ambos con sentido positivo.

2. Si se transforma el mismo contorno pero f ( z )= z

z+3 se obtiene otro contorno pero se conserva el sentido:

Se observa nuevamente que si el contorno en el plano de salida encierra un cero de la función el contorno transformado encierra al origen y conserva el sentido.

3. Si el contorno en el plano de salida no encierra a ningún cero o polo de la función el contorno transformado no encierra al origen:

4. Si el contorno en el plano de salida encierra a algún polo de la función el contorno transformado encierra al origen en sentido contrario:




Nota: El contorno cerrado, elegido en el plano complejo, no debe pasar por ningún cero y/o polo de la función f. Es decir, hay que evitar pasar por sobre las singularidades de f, caso contrario no se sabría si están dentro o fuera del contorno.

5. Si se considera la figura (a) que sigue, la transformación del contorno cuadrado unitario del plano z para f(z)=2z+1 en el plano w se efectúa a través de la relación f(z), de forma que u+iv= 2z+1=2(x+yi)+1

Por lo tanto se tiene u=2x+1 y v=2y

De este modo se ha transformado el contorno por medio de f ( z ) en otro de idéntica forma, un cuadrado, con el centro desplazado en una unidad y la magnitud del lado multiplicada por dos. Este tipo de transformación, que retiene los ángulos del contorno del plano s en el plano F ( s ), se conoce como transformación conforme. También es importante notar que un contorno cerrado en el plano z da como resultado un contorno cerrado en el plano w. La transformación se muestra en la figura (b).

Los puntos A, B, C y D, como se muestran en el contorno del plano z, se transforman en los mismos puntos A, B, C y D del plano w. Además estos puntos indican un recorrido y una dirección.

6. Una traslación es la transformación lineal T(z)=z+b. A partir del cuadrado de vértices 1+i, 2+i, 2+2i,1+2i, se traslada mediante la transformación T(z)= z+(1-2i) y se obtiene el cuadrado de vértices 2-i, 3-i,3,2. El desarrollo correspondiente se resuelve con los siguientes comandos de Matlab.

T=@(z) z+(1-2i); dominio=[1+i,2+i,2+2*i,1+2*i]imagen=T(dominio)hold onplot(real(dominio),imag(dominio),'bo','markersize',2,'markerfacecolor','b')plot(real(imagen),imag(imagen),'ro','markersize',2,'markerfacecolor','r')dominio=[dominio,dominio(1)]; %se cierra el cuadradoimagen=[imagen,imagen(1)];plot(real(dominio),imag(dominio),'b')




plot(real(imagen),imag(imagen),'r')hold offaxis equalxlim([0,5])title('Traslación-Cuadrado Azul Dominio & Cuadrado Rojo Imagen')xlabel('x,u')ylabel('y,v')

Ejercitación

1) Dada la función compleja f ( z )= z+i

z−i encuentre su dominio, la parte real de f(z) y la parte imaginaria.

2) Encuentre el transformado del rectángulo definido por las inecuaciones 0≤ℜ ( z )≤2 ,0≤ℑ ( z )≤1 usando la transformación f ( z )=z+1−2 i .

3) Dada la función f ( z )= 1z+1

a) muestre que el transformado del cuadrado es el recinto de la derecha:

i) Complete

La figura (contorno …………………) del plano z ………………………………………. al polo …………….La figura (contorno……………………..) del plano w………………………………………. al …………….….

b) Para la misma función, considere el recinto:




4) a) Dada la función f (z)=z+1z+2

muestre el diagrama polar del recinto de la izquierda es el recinto de

la derecha: (observe los sentidos)

b) Complete a modo de obtener una proposición verdadera:

“Un contorno cerrado en el plano z, que ………………….. al polo y al cero de f, tiene como imagen un contorno ……………. en el plano w que no contiene …………………… de dicho plano.

5) Ídem al anterior para:a)

Complete como Conclusión

Un contorno …………..en el plano z, que contiene un………….. único de f, tiene como ……….., un contorno cerrado en el plano w, que contiene al …………… de dicho plano. ¿Qué puede decir respecto del sentido?

b)


i) Encuentre el contorno transformadoii) Elabore su conclusión respecto del

polo del plano z y del origen del plano w.



Complete como conclusión:

Un contorno cerrado en el ……. z, que contiene al …………. único de f, tiene como imagen, un contorno cerrado en el plano w que contiene al..……. de dicho plano. El ………. de giro del contorno cerrado en el plano w es ………. al sentido del contorno del plano z.

6) De acuerdo con el concepto de función compleja, complete:

a) Una función f se dice ………………………………………..en un abierto Ω si es …………………………………en cada punto de Ω.

b) Es fácil ver que si f es …………………………………en z0 entonces f es ……………………………..en

z0.

7) Teniendo en cuenta la definición de funciones analíticas, complete:

Cuando digamos que f es ……………………………….. en un conjunto SCque no es abierto, se entenderá que f es analítica en algún ……………………………………………………… que contiene a S. En particular, fes ……………………………….en el punto z0 si es analítica en un entorno de……….. Es decir: para que

una función f sea analítica en un punto z0 debe ser ……………………………..no solo en dicho punto sino

también en ……………………..los puntos de un disco abierto de radio ε>0 centrado en z0 .

Casos Prácticos con Software

Comandos

Utilice help para ver la sintaxis de cada comando.

complex() dato complejo construido a partir de sus partes real e imaginaria.

sign()Función signo. Para un dato complejo z, no-nulo,

z¿ z∨¿¿

.

isreal() Determina si un dato es real o complejo.atan2 Es la tangente inversa de la parte real y la parte imaginaria del

número complejo, -pi <= atan2(Y,X) <= piplot(z,s) Dibuja el complejo z. La variable s es opcional. (Ver plot sección

anterior)

. (operador punto)




Subplot(n,m,k) Divide la ventana gráfica activa en n×m subventanas y envía el gráfico a la subventana número k (se cuenta de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo)

Input Ingresa por teclado variablesLinspace Genera un vector linealmente espaciado.Ezplot dibujar curvas planas definidas por una fórmula matemática (no por

un conjunto de valores). linspace(a,b,n) Vector cuyas coordenadas son los puntos de una partición uniforme

del intervalo [a,b]. El tercer argumento es opcional, y si no se introduce toma el valor 100.

meshgrid La superficie se representa mediante una malla, con un aspecto similar al de una red de pesca, cuyos nudos están situados sobre la superficie correspondiente.

surf(X,Y,Z,C) Dibuja el gráfico con los colores especificados en C, que debe ser una

matriz del mismo tamaño que X, Y y Z. Si se omite este último

argumento C = Z

Función plot

La instrucción plot es la función clave de la mayor parte de los gráficos 2D en MATLAB y su sintaxis es

la siguiente: plot(x,y,s) (la variable s es opcional). Si queremos dibujar n puntos P1 = (x1,y1), P2 =

(x2,y2), ... ,Pn = (xn,yn), x sería [x1,x2,...,xn] e y sería [y1,y2,...,yn]. Si la variable s no aparece,

dibujaría los puntos unidos por segmentos. La variable s puede contener un símbolo de cada una de las

columnas de la siguiente tabla, encerrados entre apóstrofos:

Operaciones con el operador punto (.)

1)Para el número complejo z=-1+2i, a) calcule el argumento principal, Arg(z) ∈ (−π, π] (medido en radianes).




b) Separe la parte real y la parte imaginaria del número, utilice atan2c) Dibuje el número complejo z. Utilice plot.d) Complete

Aunque desde cierto punto de vista trabajar con números/vectores/matrices complejos, en MATLAB, es similar a trabajar con números/vectores/matrices reales, hay que tener siempre presente que mientras que con un número real representamos un punto de una _______, con un número complejo representamos un punto ________. Por ejemplo, esta situación queda patente cuando se hace uso del comando _____________.

2) Obtener una partición del intervalo [0, 1] y los valores de la función y=f ( x )=x2 en los puntos de dicha partición. Almacenando los puntos y valores obtenidos en dos vectores-fila “x” e ”‘y” respectivamente, aplicar la orden plot y subplot a x, y como: (a) pareja de vectores-fila, (b) un único vector-fila, (c) una matriz con dos filas y (d) vector complejo con parte real x y parte imaginaria y.

Establezca conclusiones.

3) Escribir un fichero .m, que calcule la imagen de un complejo z = x+yi para la función:

Dibuje la imagen del complejo, como punto y en la misma gráfica como vector.También puede utilizar la función input para ingresar por teclado distintos complejos que sean evaluados para esta misma función.

Ejercicio Propuesto1) Dibujar la gráfica de la función que a cada complejo le asigna su módulo, para complejos con

módulo en el intervalo [0,2π].


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