gv. nguyễn thanh chuyên email: ntchuyen@gmail

GV. Nguyễn Thanh Chuyên Email: [email protected]

QUAN HỆ & SUY LUẬN TOÁN HỌC

Chương 1

Bài gi ng ả TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC (Tài liệu cập nhật – 2009)

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh

Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304

1.1 Tập hợp và Quan hệ

1.2 Suy luận toán học

1.3 Quan hệ hai ngôi

1- Khái niệm về tập hợp2- Quan hệ giữa các tập hợp3- Các phép toán về tập hợp

4- Quy nạp toán học5- Định nghĩa bằng đệ quy6- Các thuật toán đệ quy7- Tính đúng đắn của chương trình

8- Quan hệ tương đương9- Quan hệ thứ tự

Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC

TOÁN ỨNG DỤNG Chương 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC

1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ

1- Khái niệm về Tập hợp

+ TẬP HỢP; một số các phần tử cùng tính chất

Tập hợp các SV lớp A, trường B

Tập hợp các số nguyên

Tập hợp các điểm trên một đường tròn

+ Tập hợp A , B, C --- các phần tử x, y, z...

phần tử x thuộc tập hợp A, x không thuộc tập hợp B

Ax Bx

A BX

Y

Z

C

C là tập hợp rỗng


1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)

+ CÁCH DIỄN TẢ MỘT TẬP HỢP;

L

N

R

+ Liệt kêAzyx ,,

z,y,xA + Đặc trưng

A = xx có tính chất p

+ THCS tự nhiên N

+ THCS nguyên Z

+ THCS hữu tỷ Q

+ THCS vô tỷ

+ Tập hợp các số thực

R+ THCS nguyên tố NT

+ THCS chẵn C

+ THCS lẻ L....

+ THCS phức P

+ THCS ảo A

1- Khái niệm về Tập hợp

B = {x x=n2+1; nN và 1<n≤5} A = {5, 10, 17, 26}

Ví dụ 1.1:


2- Quan hệ giữa các tập hợp;

+ Tập hợp CON

Az,y,x Bt,z,y,x

BABA

XY

Z

B

C

CB

CATính bắc cầu:

t

n

CBA ,,Quy ước:

+ Sự bằng nhau của 2 tập hợp

z,y,xA

z,y,xA z,x,yE

AE EA

AE


EX

Y

Z


3- Các phép toán về tập hợp

a. Phép hợp

b. Phép giao

c. Hiệu của 2 tập hợp

d. Tập bù

e. Tích của 2 tập hợp

f. Phân hoạch



http://images.google.com.vn/imgres?imgurl=http://www.inkscape.org/doc/advanced/advanced-f08-vi.svg.png&imgrefurl=http://www.inkscape.org/doc/advanced/tutorial-advanced.vi.html&usg=__thoURbvftM2BVhEEsiTa605BdA8=&h=422&w=335&sz=16&hl=vi&start=40&itbs=1&tbnid=Mjkc7_VlWTODgM:&tbnh=126&tbnw=100&prev=/images%3Fq%3Dto%25C3%25A1n%2Bt%25E1%25BA%25ADp%2Bh%25E1%25BB%25A3p%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26hl%3Dvi%26sa%3DN%26start%3D20


a. Phép HỢP


BA1

3

2

4 b3

2 a

BA1

3

2

4b3

2 a

BA

4,3,2,1A

b,a,3,2B

b,a,4,3,2,1BA

Tính chất (hợp)

T.lũy đẳng

T.kết hợp

T. rỗng

AAA

CBACBA )()(AAA

T.giao hoán ABBA

x A x A hay x B B

Ví dụ 1.2:



b. Phép GIAO


BA1

3

2

4 b3

2 a

BA àx A x A v x B B

T.lũy đẳng

T.kết hợp

T.rỗng

AAA

CBACBACBA )()(

AA

T.giao hoán ABBA

Tính chất (GIAO )

4,3,2,1A

b,a,3,2B

BEE rời B

Ef

3,2BA

Ví dụ 1.3:



c. HiỆU của 2 tập hợp


FE1

3

2

4 b3

2 a

\ àx F E x F v x E 4,3,2,1E

b,a,3,2F

E 3

2

43

2

Fb

a1

3

2

4,1\ FE

baEF ,\

Ví dụ 1.4:



d/ Tập BÙ


EAAACAE E \

Bù của A trong E

E

A

EA

Luật De Morgan

EB,A BABA BABA

6,5,4,3,2,1E

3,2A 6,5,4,1\ ACAEA E

Ví dụ 1.5:



d/ TÍCH của 2 tập hợp


( , ) àx y A B x A v y B

Không có tính giao hóan

AxB

A

B

3,2,1A

baB , (1, ), (2, ), (3, ), (1, ), (2, ), (3, )A B a a a b b b

Ví dụ 1.6:



e/ PHÂN HOẠCH


Các tập con A1, A2, A3 …của tập X tạo nên một PHÂN HOẠCH của X, nếu:

1( ) à ( )

n

i i ji

A X v A A

1A2A

4A3A5A

6A

Ví dụ 1.7:



Ví dụ 1.8- (Hệ nhị phân)


9,7,5,3,110NL

10,8,6,4,210NC

1: ; 0 :True False

1010101010

0101010101

5,4,3,2,15N 1111100000


10,9,8,7,6,5,4,3,2,110NU 1111111111

17,...,,3,2,117NU

1717 NLNC

1717 NNL

1717 NNC

1717 NNL

17\17 NNC

17\17 NNL

Bài tập 1.1: Biết Hãy tính:

Bài tập về nhà DẠNG 1 (Homework-1):


BA

BA

BA \

BA

Cho A = {x x=n2+1; nN và 1<n≤9}

và B = {y y=5n; n=2, 5, 8, 10, 13} Xác định:

trong A

BA trong B

BA trong AB

Bài tập 1.2:




4- Quy nạp toán học

5- Định nghĩa bằng đệ quy

6- Các thuật toán đệ quy

7- Tính đúng đắn của chương trình


1. Phương pháp

Với những bài toán chứng minh tính đúng đắn của một biểu thức mệnh đề có chứa tham số n, như P(n). Quy nạp toán học là một kỹ thuật chứng minh P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥N0.

- Quá trình chứng minh quy nạp bao gồm 2 bước:

Bước cơ sở: Chỉ ra P(N0) đúng.

Bước quy nạp: Chứng minh nếu P(k) đúng thì P(k+1) đúng. Trong đó P(k) được gọi là giả thiết quy nạp.

Chứng minh 1 + 3 + 5 + 7 + …+ (2n-1)= n2 với n ≥ 1

4- Quy nạp toán học1.2 Suy luận toán học


Bước 1: Chỉ ra n=1 (*) đúng:

Bước 2: Giả sử (*) đúng với n= k :

Chứng minh 21 3 5 .... (2 1) (*)n n

Giải:21 1

21 3 5 .... (2 1)k k Chứng minh (*) đúng với n =k+1:

1 3 5 .... (2 1) [2( 1) 1]k k 2 2(2 1) ( 1)k k k

Bài toán đã được chứng minh đúng với n=k+1) :

Ví dụ 1.9:


5- Định nghĩa bằng đệ quy(Định nghĩa quy nạp)

3)(2)1(,3)0( nfnff


Biết Tính f(3)

93)0(2)1(,3)0(0 fffn

213)1(2)2(,9)1(1 fffn

Giải:

453)2(2)3(,21)2(2 fffn

Ví dụ 1.10:


5)(3)1(,2)0( nfnffBài tập 2.1: Biết Tính f(4)

3)]([)1(,4)0( 2 nfnffBài tập 2.2: Biết Tính f(3)

42)()1(,2)0( nfnffBài tập 2.3: Biết Tính f(5)



6- Các thuật toán đệ quy

Ví dụ 1.11- Thuật toán đệ quy tính an

Hàm lũy thừa (aR và a0; nN và n0 )

if n=0 then luythua(a,n) :=1

else luythua(a,n)=a*luythua(a,n-1)

1* nn aaa



7- Tính đúng đắn của chương trình

Chương trình đúng đắn Mọi đầu vào khả dĩ đầu ra đúng

qSp Chương trình (Đọan CT) S là đúng đắn bộ phận đối với khẳng định đầu p và khẳng định cuối q

If điều_kiện then S1else S2

Câu lệnh điều kiện

While điều_kiện S

Bất biến vòng lập While



Định nghĩaMột quan hệ hai ngôi từ tập A đến tập B là tập con của tích Đề

các R A x B. Chúng ta sẽ viết a R b thay cho (a, b) R Quan hệ từ A đến chính nó được gọi là quan hệ trên A

RR = { ( = { (aa11, , bb11), (), (aa11, , bb33), (), (aa33, , bb33) }) }

23



Ví dụ. A = tập sinh viên; B = các lớp học. R = {(a, b) | sinh viên a học lớp b}

24



Ví dụ. Cho A = {1, 2, 3, 4}, và

R = {(a, b) | a là ước của b}

Khi đóR = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4,4)}

1 2 3 4

1 2 3 4

25



Định nghĩa. Quan hệ R trên A được gọi là phản xạ nếu: a A, a R a

Ví dụ. Trên tập A = {1, 2, 3, 4}, quan hệ:

• R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} không phản xạ vì (3, 3) R1

• R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} phản xạ vì (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) R2

26



Quan hệ trên Z phản xạ vì a a với mọi a Z

Quan hệ > trên Z không phản xạ vì 1 > 1

1 2 3 41

2

3

4

Quan hệ“ | ” (“ước số”) trên Quan hệ“ | ” (“ước số”) trên Z Z ++ là phản xạ vì mọi số là phản xạ vì mọi số nguyên nguyên a a là ước của chính nó .là ước của chính nó .

Chú ý. Quan hệ R trên tập A là phản xạ nếu nó chứa đường chéo của A × A :

= {(a, a); a A}



Định nghĩa. Quan hệ R trên A được gọi là đối xứng nếu:

a A b A (a R b) (b R a)

Quan hệ R được gọi là phản xứng nếu

a A b A (a R b) (b R a) (a = b)

Ví dụ. Quan hệ R1 = {(1,1), (1,2), (2,1)} trên tập

A = {1, 2, 3, 4} là đối xứng Quan hệ trên Z không đối xứng.

Tuy nhiên nó phản xứng vì

(a b) (b a) (a = b)

28



Định nghĩa. Quan hệ R trên A có tính bắc cầu (truyền) nếua A b A c A (a R b) (b R c) (a R c)

Ví dụ. Quan hệ R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (1, 3), (2, 3)}trên tập A = {1, 2, 3, 4} có tính bắc cầu.Quan hệ và “|”trên Z có tính bắc cầu

(a b) (b c) (a c)

(a | b) (b | c) (a | c)

29




ii babaX , baba

a ba c

a e

Phản xạ

a bc d e

f

Bắc cầu

Phản đối xứng

Đối xứng

Tính chất của Quan hệ hai ngôi

Ví dụ 1.12:



8- Quan hệ tương đương

baba

Phản xạ

Bắc cầu

Phản đối xứng –xx--

Đối xứng

Tính chất của Quan hệ tương đương

Ví dụ 1.13:


Ví dụ.Cho S = {sinh viên của lớp}, gọi R = {(a,b): a có cùng họ với b}Hỏi

Yes

Yes

Yes

Mọi sinh viên

có cùng họ

thuộc cùng một nhóm.

RR phản xạ? phản xạ?

RR đối xứng? đối xứng?

RR bắc cầu? bắc cầu?

32



8- Quan hệ tương đương

Định nghĩa. Quan hệ R trên tập A được gọi là tương đương nếu nó có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu :

Ví dụ. Quan hệ R trên các chuỗi ký tự xác định bởi aRb nếu a và b có cùng độ dài. Khi đó R là quan hệ tương đương.

Ví dụ. Cho R là quan hệ trên R sao cho aRb nếu a – b nguyên. Khi đó R là quan hệ tương đương

33




9- Quan hệ thứ tự

yx

Tính chất của Quan hệ thứ tự

Phản xạ--xx--

Bắc cầuĐối xứng—xx--

Phản xạPhản đối xứng

Ví dụ 1.14:


Quan hệ >= trên tập số thực

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE !

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh

Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304

TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT

Kết thúc Chương 1:

QUAN HỆ & SUY LUẬN TOÁN HỌC

gv. nguyễn thanh chuyên email: ntchuyen@gmail

Documents