heiskanen

G E O D E S I A F I S I C A

WEIKKO A. HEISKANEN

Director, Instituto Isostático de la Asociación Internacional de Geodesia

HELMUT MORITZ

Profesor de Geodesia Superior y Astronomía, Universidad Técnica de Berlín

W. H. FREEMAN AND COMPANYSan Francisco y Londres

PREFACIO

Casi todas las mediciones geodésicas dependen fundamentalmente del campo de gravedad dela tierra. Por lo tanto, el estudio de las propiedades físicas de dicho campo y de sus aplicaciones geodésicas, las cuales constituyen la base de la geodesia física, representa una parte esencial de la educación de un geodesta.

En los diez años que han transcurrido desde que Heiskanen y Vening Meinsz escribieron, “The Earth and Its Gravity Field” (La Tierra y su Campo de Gravedad), la geodesia ha avanzado enormemente. A medida que pasaba el tiempo resultaba cada vez más difícil incorporar los resultados de tales adelantos, tanto teóricos como prácticos, en una nueva edición del citado libro. Era necesario escribir un texto totalmente nuevo y con un enfoque diferente. El gran aumento en la cantidad de información disponible requería que este se limitara concretamente a los aspectos geodésicos; los adelantos teóricos han hecho necesario un mayor énfasis en los métodos matemáticos. Así nació este libro, cuyo propósito es exponer los aspectos teóricos en el sentido en que se emplea la palabra en la expresión “física teórica”.

Para comprender este texto, que ha sido escrito para estudiantes de postgrado, se deberá contar con todos los conocimientos matemáticos y físicos requeridos por los departamentos de geodesia física. Los capítulos del 6 al 8 presentan varios temas más especializados y avanzados en los que actualmente se están realizando muchas investigaciones. (Es posible que estos capítulos sean más parcializados que los demás). El lector que logre conocer esta materia a fondo estará en capacidad de iniciar sus propias investigaciones. Para completar el libro, se le ha agregado un capítulo sobre métodos celestes o astronómicos; este material podría formar parte del curso básico.

Hemos puesto todo nuestro empeño para hacer de este un libro autosuficiente. Se le han incluido deducciones detalladas cuando ha sido necesario. Los planteamientos se han hecho de forma intuitiva : las explicaciones verbales de los principios se han considerado más importantes que los desarrollos matemáticos formales pero sin omitir estos últimos.

Nuestra actitud ha sido mas bien conservadora. No creemos que el concepto del geoide haya pasado a ser obsoleto. Esto no significa, sin embargo, que no estemos conscientes de la importancia de los últimos adelantos teóricos, especialmente los relacionados con el nombre de Molodensky los cuales se tratan en el capítulo 8.

Se han omitido intencionalmente aquellas técnicas de observación como las que se utilizan para las observaciones astronómicas o las mediciones gravimétricas ya que no tienen mucha relación con una presentación que, básicamente es teórica.

Al final de cada capítulo hay una bibliografía de los trabajos mencionados en el texto, muchos de los cuales podrían resultar útiles para un estudio más detallado; las citas se han hecho por el nombre del autor y el año de publicación –por ejemplo, Kellogg (1929).

No ha sido nuestra intención establecer prioridades. Los nombres relacionados con las fórmulas deben considerarse principalmente rótulos o membretes convenientes. Así mismo, se ha indicado la obra de mayor acceso o más completa del autor sobre determinado tema en lugar dela primera.

La mayoría de nuestras propias investigaciones que se han incluido en el libro se llevaron a cabo en la Universidad del Estado de Ohio. Deseamos agradecer al Dr. Walter D. Lambert quien revisó cuidadosamente la redacción en inglés de partes del manuscrito.

Diciembre 1966 WEIKKO A. HEISKANEN HELMUT MORITZ

INDICE

1Principios de la Teoría del Potencial

11. Introducción. Atracción del Potencial. 1 12. Potencial de un Cuerpo Sólido 3 13. Potencial de una Superficie Material 5 14. Potencial de una Doble Capa 6 15. Fórmulas Integrales de Gauss y Green 9 16. Aplicaciones de las Fórmulas Integrales de Green 11 17. Funciones Armónicas. Teorema de Stokes y Principio de Dirichlet 14 18. Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Esféricas 17 19. Armónicas Esféricas 19110. Armónicas Esféricas de Superficie 20 111. Funciones de Legendre 21112. Funciones de Legendre del Segundo Tipo 26113. Teorema de Desarrollo y Relaciones de Ortogonalidad 28114. Armónicas Esféricas Totalmente Normalizadas 291.15. Desarrollo dela Distancia Recíproca en Armónicas Zonales. Fórmula de Descomposición 331.16. Solución del Problema de Dirichlet por medio de Armónicas Esféricas. Integral de Poisson 351.17. Otros Problemas de Valores Límites 371.18. La Derivada Radial de una Función Armónica 381.19. La Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Elipsoidales 411.20. Armónicas Elipsoidales 43

Referencias 48

2El Campo de Gravedad de la Tierra

21. Gravedad 49 22. Superficies de Nivel y Líneas de la Plomada 51 2.3. Curvatura de las Superficies de Nivel y delas Líneas de la Plomada 532.4. Coordenadas Naturales 58 25. El Potencial e la Tierra en Términos de Armónicas Esféricas 60 26. Armónicas de Grado Inferior 64 27. El Campo de Gravedad del Elipsoide de Nivel 67 28. Gravedad Normal 70 29. Desarrollo del Potencial Normal 74 210. Desarrollo en Serie para el Campo de Gravedad Normal 77 211. Valores Numéricos. El Elipsoide Internacional 82 212. Otros Campos de Gravedad Normal y Superficies de Referencia 84 213. El Campo Anómalo de la Gravedad. Las Ondulaciones Geoidales y las Desviaciones de la Vertical 85214. Aproximación Esférica. Desarrollo del Potencial de Perturbación en Armónicas Esféricas 902.15. Anomalías de la Gravedad 922.16. Fórmula de Stokes 952.17. Formas Explícitas de la Integral de Stokes. Desarrollo de la Función de Stokes en Armónicas Esféricas 982.18. Generalización a un Elipsoide de Referencia Arbitrario 101 2.19. Generalización dela Fórmula de Stokes para N 1032.20. Determinación de las Constantes Físicas de la Tierra 1102.21. El Elipsoide Terrestre Medio 1122.22. Desviaciones de la Vertical. Fórmula de Vening Meinesz 114

2.23. El Gradiente Vertical de la Gravedad. Reducción de Aire Libre al Nivel del Mar 1172.24. Determinación Práctica del Valor de las Fórmulas Integrales 120

Referencias 126

3Métodos Gravimétricos

3.1. Reducción de la Gravedad 1293.2. Fórmulas Auxiliares 1303.3. La Reducción de Bouguer 1333.4. Isostasia 1363.5. Reducciones Isostáticas 1403.6. El Efecto Indirecto 1443.7. Otras Reducciones de la Gravedad 1463.8. Efectos Esféricos 1503.9. Determinación Práctica del Geoide 155

Referencias 162

4Alturas Sobre el Nivel del Mar 4.1. Nivelación con Nivel de Burbuja 1644.2. Números Geopotenciales y Alturas Dinámicas 1664.3. La Reducción de la Gravedad de Poincaré y Prey 1674.4. Alturas Ortométricas 1704.5. Alturas Normales 1744.6. Comparación de los Diversos Sistemas de Alturas 1764.7. Alturas Trianguladas 178

Referencias 182

5Métodos Astrogeodésicos

5.1. Introducción 1835.2. Proyecciones hacia el Elipsoide 1845.3. Proyección de Helmert. Coordenadas Geodésicas y Rectangulares 186 5.4. Reducción delas Observaciones Astronómicas al Elipsoide 190 5.5. Reducción de los Ángulos Horizontales y Verticales y de las Distancias 1945.6. Reducción de las Coordenadas Astronómicas para la Curvatura de la línea de la Plomada 1985.7. La Determinación Astrogeodésica del Geoide 2025.8. Interpolación de las Desviaciones de la Vertical. Nivelación Astrogravimétrica 2065.9. Transformaciones de las Coordenadas y Desplazamientos del Datum 2095.10.Determinación del Tamaño de la Tierra 2155.11.Elipsoides de Mejor Ajuste y el Elipsoide Terrestre Medio 2205.12.Geodesia Tridimensional 223

Referencias 230

6Campo de Gravedad Fuera de la Tierra

6.1. Introducción6.2. Gravedad Normal – Fórmulas Cerradas6.3. Gravedad Normal – Desarrollos en Serie6.4. Perturbaciones de la Gravedad – Método Directo6.5. Perturbaciones de la Gravedad – Método de Revestimiento6.6. Perturbaciones de la Gravedad – Prolongación Ascendente6.7. Otras Consideraciones6.8. Anomalías de la Gravedad Fuera de al Tierra

Referencias

7Métodos Estadísticos en la Geodesia Física

7.1. Introducción7.2. La Función de Covarianza7.3. Desarrollo de la Función de Covarianza en Armónicas Esféricas7.4. Influencia de Zonas Distantes en la Fórmulas de Stokes y de Vening Meinesz7.5. Interpolación y Extrapolación de las Anomalías de Gravedad7.6. Precisión de los Métodos de Predicción. Predicción Mínima Cuadrática7.7. Propagación del Error. Precisión de las Armónicas Esféricas7.8. Precisión de las Ondulaciones Geoidales Calculadas con las Anomalías de la Gravedad7.9. Precisión de las Anomalías Medias 7.10. Correlación con la Elevación

Referencias

8Métodos Modernos para Determinar la Configuración de la Tierra

8.1. Introducción8.2. Reducciones de al Gravedad y el Geoide8.3. El Problema de Molodensky8.4. Ecuaciones Integrales Lineales8.5. Aplicación de las Integrales de Green 8.6. Ecuación Integral para la Capa Superficial8.7. Solución de la Ecuación Integral

8.8. Interpretación Geométrica8.9. Desviaciones dela Vertical8.10. Prolongación Descendente hasta el Nivel del Mar8.11. Reducción de la Gravedad según la Teoría Moderna8.12. Determinación del Geoide con las Anomalías a Nivel del Suelo8.13. Repaso

Referencias

9Métodos Astronómicos

9.1. Introducción. Métodos de Observación9.2. Determinación del Tamaño de la Tierra con Observaciones de la Luna9.3. Efectos Dinámicos del Achatamiento de la Tierra 9.4. Determinación del Achatamiento a partir de la Precisión9.5. Orbitas de los Satélites Artificiales9.6. Determinación de las Armónicas Zonales9.7. Coordenadas Rectangulares del Satélite y sus Perturbaciones9.8. Determinación de las Armónicas Teserales y las Posiciones de las Estaciones

Referencias

CAPITULO 1

1.1. Introducción. Atracción y Potencial

El propósito de este capítulo es presentar los principios de la teoría del potencial, incluyendo las armónicas esféricas y elipsoidales, en una forma suficientemente detallada para permitir la plena comprensión de los capítulos posteriores. Nuestro objetivo es explicar el significado de los teoremas y de las fórmulas, evitando derivaciones extensas que pueden hallarse en cualquier otra parte del textos sobre la teoría del potencial (léanse las referencias al final de este capítulo). Se ha tratado de hacer una presentación sencilla en lugar de optar por una formal, rigurosa y exacta. Aun así, es posible que el lector considere este capítulo más bien abstracto y hasta más difícil que cualquier otra parte del libro. Como las aplicaciones prácticas ofrecerán más adelante un concepto más concreto de los temas expuestos en este capítulo, tal vez el lector prefiera leerlo por encima la primera vez para luego regresar a él cuando sea necesario.

De acuerdo con la ley de la gravitación de Newton, dos puntos cuyas masas están representadas por m1, m2, separados por una distancia l, se atraen con una fuerza equivalente a

F=km1m2

l2 (11)

Esta fuerza está orientada a lo largo de la línea que une a los dos puntos; k es la constante gravitacional de Newton. En unidades de egs, dicha constante tiene un valor de

k = 66.7 X 10 −8 cm 2 g −1 sec −2 (12)según las mediciones efectuadas por P. R. Heyl alrededor de 1930.

Aunque las masas m1, m2 se atraen mutuamente de una manera completamente simétrica, resulta conveniente denominar una de ellas la masa atrayente y la otra masa atraída. Para mayor sencillez podemos considerar la masa atraída igual a la unidad, y denotar atrayente por medio de m. La fórmula

F=km

l2 (13)

Aunque las masas representan la fuerza que ejerce la masa m sobre una masa unitaria situada a una distancia l de m.

Ahora podemos incorporar un sistema de coordenadas rectangulares xyz, y denotar las coordenadas de la masa atrayente m por ξ , η , ζ y las coordenadas del punto atraído P por x, y, z. La fuerza puede representarse mediante un vector con magnitud de F (fig. 11). Los componentes de F pueden expresarse así

X=−F cosα=−km

l2

x−ξl=−km

x−ξ

l3

Y=−F cosβ=−km

l2

y−ηl=−km

y−η

l3 (14)

Z=−F cosγ=−km

l2

z−ζl=−km

z−ζ

l3

en donde

l= x−ξ 2 y−η 2z−ζ 2 (15)

Luego incorporamos una función escalar

V=kml

, (1 6)

conocida como el potencial de gravitación. Los componentes X, Y, Z de la fuerza gravitacional F se expresarán por consiguiente así

X=∂V∂ x

, Y=∂V∂ y

, Z=∂V∂ z

, (17)

Esto puede verificarse fácilmente diferenciando (16), dado que

∂

∂ x

1l=−

1

l2

∂ l∂ x=−

1

l2

x−ξl=−

x−ξl3

,. .. . .. .. (18)

El símbolo vectorial de (17) se expresa

F = (X,Y,Z) – grad V (17’)

Es decir, que el vector de fuerza es el vector de gradiente de la función escalar V.

Es de primordial importancia recordar que de acuerdo con (17), las tres componentes del vector F pueden sustituirse por una sola función V. Especialmente cuando estamos considerando la atracción de sistemas de masas puntuales o de cuerpos sólidos, como es el caso de la geodesia, resulta mucho más fácil tratar con el potencial que con las tres componentes de la fuerza. Aun en estos casos complicados son válidas las relaciones (17); la función sería entonces sólo una suma de las contribuciones de las respectivas partículas.

De modo que si tenemos un sistema de varias masas puntuales m1, m2, . . . . . . . , m n , que si tenemos el potencial del sistema sería la suma de las contribuciones individuales (16):

V=km1

l1

km2

l2

. .. .. . . . .kmn

ln

=k∑i=1

n mi

l i

(19)

FIGURA 11Las componentes de la fuerza gravitacional. La figura superior muestra la componente y.

1.2. Potencial de un Cuerpo Sólido

Supongamos que las masas puntuales se encuentran distribuidas en forma continua en un volumen v (fig. 12) con una densidad de

ρ=dmdv

, (110)

en donde dv representa un elemento de volumen y dm un elemento de masa. Por consiguiente la suma (19) se convierte en una integral

V=k∭v

dml=k∭

v

ρl

dv , (111)

En donde l representa la distancia entre el elemento de masa dm = ρ dv y el punto atraído P.

FIGURA 12 Potencial de un cuerpo sólido

Si denotamos las coordenadas del punto atraído por medio de (x, y, z) y las del elemento de masa por medio de ( ξ ,η , ζ ), las coordenadas vemos que l está dada nuevamente por (15), y podemos escribir explícitamente

V x , y , z =k∭v

ρ ξ ,η , ζ

x−ξ 2 y−η 2 z−ζ 2d d dξ η ζ , (111’)

puesto que el elemento de volumen está expresado porEsta es la razón por la que tenemos integrales triples en (111)Las componentes de la fuerza de atracción están dadas por (17). Por ejemplo,

η =k∭v

ρ ξ ,η , ζ ∂∂ x

1l

d d dξ η ζ .

Nótese que hemos intercambiado el orden de la diferenciación y de la integración. Si sustituimos (18) en la expresión anterior, obtenemos finalmente

X=−k∭v

x−ξ

l3dρ v .

Hay expresiones similares que son válidas para Y y Z.

El potencial V es continuo en todo el espacio y se anula cuando tiende a infinito como 1/ l. Esto es obvio por el hecho de que para distancias l muy grandes el cuerpo actúa más o menos como una masa puntual, con el resultado de que su atracción está representada aproximadamente por (16). En consecuencia, los planetas se consideran generalmente masas puntuales en lo que se refiere a la mecánica celeste.

Las primeras derivadas de V, es decir, las componentes de la fuerza, también son continuas en todo el espacio, pero no así las segundas derivadas. En los puntos donde la densidad cambia en forma irregular, algunas de las segundas derivadas presentan una discontinuidad. Esto se manifiesta por el hecho de que el potencial V satisface la ecuación de Poisson:

V=−4 kπ ρ (113)En donde

V=∂

2V∂ x2

∂2 V∂ y2

∂2V∂ z2

(114)

El símbolo , llamado el operador de Laplace, tiene la forma

∂2

∂ x2∂

2

∂ y2∂

2

∂ z2

Analizando (113 y 114) vemos que por lo menos una de las segundas derivadas de V tendrá que ser discontinua junto con ρ .

En la parte de afuera de los cuerpos atrayentes, o sea el espacio vacío, la densidad ρ es cero y (113) se convierte en

V=0 (115)

Esta es la ecuación de Laplace. Sus soluciones se conocen como funciones armónicas. Por consiguiente, el potencial de gravitación constituye una función armónica fuera de las masas atrayentes pero no dentro de las mismas allí satisface la ecuación de Poisson.

1.3. Potencial de una Superficie Material

Supongamos ahora que las masas atrayentes forman una capa, o revestimiento, sobre cierta superficie cerrada S, con un espesor de cero y una densidad de

k=dmdS

en donde dS es un elemento de superficie. Este es un caso más o menos imaginario pero aun así de gran importancia teórica.

Al igual que (111), el potencial está dado por

V=k∬S

dml=k∬

S

kl

dS (116)

en donde l representa la distancia entre el punto atraído P y el elemento de superficie dS (fig. 13).

En S el potencial V es continuo, sin embargo existen discontinuidades en las primeras derivadas. A pesar de que las derivadas tangenciales en S (derivadas tomadas a lo largo del plano de la tangente) son continuas, las derivadas normales difieren dependiendo de si nos aproximamos a S desde el interior o desde el exterior.

FIGURA 13 Potencial de una Superficie Material

Si es desde el exterior, entonces la derivada normal tiene en S el límite

dVdn =−2πkkk∬

S

k∂

∂ n 1l dS ; (117a)

si es desde el interior

dVdn =+ 2πkkk∬

S

k∂

∂ n 1l dS . (117b)

Para efectos de este texto ∂/∂ n denotará la deriva en dirección de la normal exterior n (fig. 13).Por ende vemos que la derivada normal ∂V /∂ n tiene una discontinuidad en S :

∂V∂ n ?−

∂V∂ n ?=−4π kk (118)

Las siguientes expresiones son generalizaciones de las ecuaciones (117a,b) y representan la discontinuidad en S dela derivada de V a lo largo de una dirección arbitraria m :

∂V∂m =−2 kπ k cosm ,n k∬

S

k ∂

∂m 1l dS . (119a)

∂V∂m =+ 2 kπ k cosm ,n k∬

S

k ∂

∂m 1l dS . (119b)

en donde (m,n) denota el ángulo entre la dirección m y la normal n. Estas ecuaciones resultan de (117a,b) y de la continuidad de las derivadas tangenciales.Las discontinuidades ocurren únicamente en la superficie S; tanto dentro como fuera de S, el potencial V es en todas partes continuo y sus derivadas satisfacen en todas partes, excepto en la misma S, la ecuación de Laplace para las funciones armónicas,

V=0 .En el infinito, el potencial de una superficie se comporta en la misma forma que el potencial de un cuerpo

sólido, anulándose como 1/ l para l∞ . El potencial de las superficies materiales también se conoce como potencial de una sola capa para diferenciarlo

del potencial de doble capa que se explica continuación.

1.4. Potencial de una Doble CapaImagínese un dipolo formado por dos masa puntuales equipotenciales de signos contrarios, +m y –m, separadas por una distancia h pequeña (fig. 14). En gravitación, éste sería un caso enteramente imaginario puesto que no existen masas negativas, no obstante, el concepto matemático resulta útil. En el caso del magnetismo, sin embargo, existen en efecto dipolos reales. El potencial de una masa positiva está dado por

V ¿= kml

,

¿

el potencial de la masa negativa por V −¿= km

h,

¿

Luego el potencial total del dipolo estaría representado por

¿V −¿=km1l−

1h .

¿¿

V=V ¿¿

Si denotamos la dirección del eje del dipolo por medio den, podemos desarrollar 1/ h para formar una serie de Taylor con respecto a h :

1h=

1l−∂

∂ n 1l h

12∂

2

∂ n2 1l h

2−. .. . .. ..

FIGURA 14 Potencial de un Dipolo

Al sustituir en la fórmula anterior obtenemos

V=k . mh .∂

∂ n 1l −k

mh2

2∂

2

∂ n2 1l .. .. .. . ..

o, si denotamos el producto mh, masa por distancia , por medio de M,

V=k . M .∂

∂ n 1l −k

Mh2

∂2

∂ n2 1l . . .. .. .. .

La cantidad mh = M se conoce como el momento dipolar. Supongamos ahora que la distancia h disminuye indefinidamente y que a la vez aumenta la masa m de modo que el momento dipolar M = mh permanece infinito. En consecuencia, los términos de orden superior tienden a cero cuando h 0 y la expresión para V llega a un limite :

V=kM∂

∂n 1l (120)

Este es el potencial de un dipolo.Una doble capa en la superficie S podría considerarse como dos capas sencillas separadas por una distancia h pequeña. La normal n de la superficie intercepta las dos capas en dos puntos P y P’ que se encuentran muy cerca uno del otro y cuyas densidades superficiales tienen la misma magnitud k y signos contrarios (fig. 15). Por tanto, todo par de puntos correspondientes P, P’ forman un dipolo con una densidad dipolar (densidad del momento dipolar) que en la figura anterior está representada por = k (h muy pequeña, k muy grande).Aplicando (120) y sumando una sucesión (integrando) sobre todos los dipolos, los cuales se encuentran distribuidos en forma continua sobre la superficie S, obtenemos

V=k∬S

∂

∂n 1l . dM=k∬

S

∂

∂n 1l .dS (121)

Este es el potencial de la doble capa en la superficie S.

FIGURA 15 El potencial de doble capa como límite del potencial de dos capas sencillas en dos superficies paralelas cercanas.

Es continuo en todas partes excepto en la superficie S; allí obtenemos dos limites diferentes para el potencial, dependiendo del lado (interno o externo) de donde nos aproximamos a S :

V e=2 kπ μ∬S

∂

∂ n 1l dS . (122a)

V i=−2 kπ μ∬S

∂

∂ n 1l dS . (122b)

La diferencia, V e−V i=4 kπ μ , (123)es la continuidad a la que se encuentra expuesta V en la superficie S cuando pasamos de afuera hacia adentro.

Aunque las ecuaciones (122a,b) son similares a las (117a,b) la diferenciación ∂ / ∂ n se refiere a la normal a la superficie en el punto atraído P si, como limite, yace sobre la misma superficie S. En las fórmulas para el potencial de doble capa, y por consiguiente en (122a,b), la diferenciación ∂ / ∂ n se toma a lo largo de la normal a la superficie en el punto atrayente variable que contiene el elemento de superficie dS. En ambos casos, n es por supuesto la dirección de la normal a la superficie hacia fuera.

La doble capa deberá distinguirse claramente de la capa sencilla, o revestimiento, siendo esta diferencia la que existe entre el dipolo de la masa y la masa puntual. El comportamiento de ambas cuando van hacia el infinito es el mismo (se anulan como 1/ l), así como el hecho de que son armónicas tanto en el interior como en el exterior de S, satisfaciendo allí la ecuación de Laplace. En la misma S, sin embargo, sus discontinuidades son de naturalezas totalmente diferentes, y son estas mismas discontinuidades las que hacen que esos potenciales imaginarios puedan usarse matemáticamente, especialmente con relación a los teoremas de Green.

1.5. Fórmulas Integrales de Gauss y GreenLos teoremas y fórmulas integrales relacionadas de Green son algunas de la ecuaciones básicas de la teoría del potencial; constituyen herramientas indispensables para ciertos problemas en el campo de la geodesia teórica.

Fórmula de Gauss. Empezando por la fórmula integral de Gauss,

∭v

div F . dv=∬S

Fn . dS , (124)

en donde v representa el volumen que encierra la superficie S, en la proyección del vector F sobre la normal exterior a la superficie (v. g. la componente normal de F), y div F la llamada divergencia del vector F. Si F tiene las componentes X, Y, Z, es decir,F = (X, Y, Z)entonces

div F=∂ X∂ x∂Y∂ y∂Z∂ z

(125)

Como la fórmula de Gauss es muy conocida y puede hallarse en cualquier texto de matemáticas para ingeniería o de física matemática, no es necesario desarrollarla aquí. Mas bien trataremos de que se comprenda en forma intuitiva.

La fórmula (124) es válida en cualquier campo de vectores, cualquiera que sea su significado físico. El caso en que F es el vector de velocidad de un fluido incomprimible resulta bastante caro. Dentro de la superficie S pueden existir fuentes de flujo donde éste se genera, o sumideros donde éste muere. La intensidad de las fuentes o sumideros se mide por medio de div F. La integral de la izquierda de (124) representa la cantidad de fluido generado (o muere) en el tiempo unitario a través de la superficie S; el lado derecho representa la cantidad de fluido que fluye en el tiempo unitario a través dela superficie S. La fórmula de Gauss (124) expresa el hecho de que ambas cantidades son equivalentes.

En el caso en que F es el vector de la fuerza gravitacional, la interpretación intuitiva no es tan obvia, pero muchas veces puede aplicarse la analogía del flujo de fluido. En lo que se refiere a la gravitación las componentes X, Y, Z de la fuerza pueden deducirse de un potencial V utilizando las ecuaciones (17) :

X=∂V∂ x

, Y=∂V∂ y

, Z=∂V∂ z

,

Por tanto

div F=∂ X∂ x∂Y∂ y∂Z∂ z=∂

2V∂ x2

∂2 V∂ y2

∂2V∂ z2 = V,

de manera que según la ecuación de Poisson (113)div F = 4 kπ ρ ,Esto puede interpretarse de manera que signifique que las masas son las fuentes del campo gravitacional; la intensidad de las fuentes, div F, es proporcional a la densidad de la masa ρ . La parte derecha de (124) se conoce como el flujo de fuerza, en nuestro caso el flujo gravitacional análogo también al flujo del fluido.

Para cualquier fuerza cuyas componentes pueden deducirse de un potencial V de acuerdo con las ecuaciones (17), es posible expresar la fórmula de Gauss en términos de la función V. Para el momento tomamos el eje x positivo en la dirección de la normal exterior n a la superficie ; entonces la componente normal de F será la componente X: Fn = X. Luego, como ∂V /∂ x=∂V /∂ n ; la derivada de V en la dirección de la normal n exterior, vemos que de acuerdo con (17)

F=∂V∂ n

Incorporando esto y la relación div F = V a (124), obtenemos

∭v

V .dv=∬S

∂V∂ n

. dS . (126)

Esta es la fórmula integral de Gauss para el potencial.Al deducir (126) de (124) únicamente hemos aplicado el hecho de que la fuerza F es la gradiente de una

función V. No es necesario dar por sentado que V satisface la ecuación de Poisson para el campo gravitacional. Por lo tanto, la integral de Gauss también es válida para una función arbitraria V que sea suficientemente regular y diferenciable.

Fórmulas de Green. Estas fórmulas se deducen de (124) mediante la sustitución

X=U∂V∂ x

, Y=U∂V∂ y

, Z=U∂V∂ z

,

en donde U, V son funciones de x, y, z. La componente normal del vector F = (X, Y, Z) está representado por

F n=U∂V∂ n

.

Para poder comprender esto, consideremos nuevamente el eje x que coincide con la normal n. Si aplicamos (125) la divergencia sería,

div F=∂U∂ x

∂V∂ x∂U∂ y

∂V∂ y∂U∂ z

∂V∂ zU V .

De esta manera (124) pasa a ser

∭v

U . V . dv∭v

∂U∂ x

∂V∂ x∂U∂ y

∂V∂ y∂U∂ z

∂V∂ z.dv=∬

S

U∂V∂n

. dS . (127)

Esta es la primera identidad de Green.Si en esta fórmula intercambiamos las funciones U y V y restamos la ecuación nueva de la original, obtenemos

∭v

U . V−V . U dv=∬S

U∂V∂ n−V

∂V∂ ndS . (128)

Esta es la segunda identidad de Green.En estas fórmulas hemos dado por sentado que las funciones U, V son continuas y finitas en la región espacial v

(v. G. , dentro de la superficie S y en la misma ) y que tienen derivadas parciales continuas y finitas de primer y segundo orden.

Es de gran importancia en el caso que

U=1l

,

en donde l representa la distancia desde un punto fijo P determinado. Si P está fuera de la superficie S, entonces 1/ l es regular dentro y en S, y U satisface las condiciones mencionadas. Sin embargo, si P se encuentra dentro de S o en la misma, entonces 1/ l se torna infinito en algún punto de v y (128) no podrá aplicarse directamente sino que deberá modificarse. Pasando por alto la derivación mencionemos solamente el resultado :

∭v

1l

V . dv=−pV∬S

[1l∂V∂n−V

∂

∂n 1l ] . dS , (129)

en donde p = 4 π si P está dentro de S,

2 π si P está en S,0 si P está fuera de S.

Esta es la tercera identidad de Green. Difiere de la segunda (128) en el término –pV. La razón por la que (129) tiene diferentes formas dependiendo de que el punto P se halle dentro, en o fuera de S, es el término que contiene ∂/∂ n (1/ l), el cual puede considerarse un potencial de doble capa con discontinuidades en S. Si P está fuera de S,

entonces 1/ l es regular en v, y la ecuación (129), con p = 0, es consecuencia inmediata de (128); v es el interior de la superficie S (incluyendo la misma S), y n es la normal S en dirección hacia fuera.

La tercera identidad de Green (129) y también resulta válida si v es el exterior de la superficie S y la normal n es la normal interna de S. Si deseamos mantener n como la normal exterior, entonces tenemos que invertir el signo de , obteniendo así :

∭v

1l

V . dv=−pV−∬S

[1l∂V∂n−V

∂

∂n 1l ] . dS , (129’)

en dondep = 4 π si P está fuera de S,

2 π si P está en S, 0 si P está dentro de S.

Esta es la tercera identidad de Green para el exterior de la superficie S. Es válida para las funciones V que, además de satisfacer los requerimientos generales para las identidades de Green, satisfacen asimismo ciertas condiciones en infinito, como el de anularse allí.

1.6. Aplicaciones de las Fórmulas Integrales de Green

Para mostrar la importancia y la utilidad de las identidades de Green es necesario aplicarlas a casos especiales.

1. En la tercera identidad (129), hacemos que V 1. De modo que≡

∬S

∂

∂ n 1l . dS= { 4 π si P está dentro de S, 2 π si P está en S ó 0 si P está fuera de S. (130)

Estas fórmulas, que a veces resultan útiles , también fueron desarrolladas por Gauss. Pueden considerarse teoremas sobre el potencial de una doble capa con una densidad constante k =1. Un potencial como éste tiene un valor constante dentro de la superficie y es cero fuera de ésta, con la discontinuidad característica (123) en S.

2. En este caso, V es una función armónica fuera de S : V = 0. Si el punto P también está fuera de S, entonces la tercera identidad (129) resultaría en (p = 4 π ) :

V=−14∬S

1l ∂V∂ n

.dS14∬S

1l ∂

∂n.dS . (131)

Esta fórmula demuestra que toda función armónica puede representarse como la suma de un potencial de superficie (116) con una densidad de

k=−1

4 kπ∂V∂ n

,

y un potencial de doble capa (121), con una densidad de =V/ k4π .

3. Aquí también V resulta armónica fuera de S. Supongamos además que S sea una superficie donde V = Vo = const., es decir, una superficie de potencial constante V, o sea una superficie equipotencial. De manera que para un punto P fuera de S, aplicamos (131), obtenemos

V=−14∬S

1l ∂V∂ n

.dSV4∬S

∂

∂ n 1l . dS .

La segunda integral es cero de acuerdo con (130). Por tanto

V=−1

4π∬S

1l∂V∂ n

. dS (132)

Esta fórmula, atribuida a Charles, muestra que toda función armónica puede presentarse

como un potencial de una sola capa en cualquiera de sus superficies equipotenciales V = const. Si

V es el potencial de Newton de un cuerpo sólido dentro de S, podemos decir que es posible

reemplazar cualquier cuerpo sólido por una capa superficial adecuada en una de sus superficies

equipotenciales externas S sin cambiar su potencial fuera de S (fig. 16).

Daremos a continuación dos ejemplos algo más elaborados que consideramos sumamente importantes desde el punto de vista de la geodesia física.

4. En la segunda identidad (128) hacemos que U 1. Volvemos a obtener la fórmula de Gauss (126) :≡

∭v

V . dv=∬S

∂V∂ n

. dS .

FIGURA 16. Teorema de Charles. En cualquier punto P fuera de S, el potencial de una capa superficial cuya densidad k=−4 kπ −1 .∂V /∂ n es igual a la del sólido atrayente en sí.

Aplicamos esta fórmula al potencial de gravedad W (gravitación más fuerza centrífuga; refiérase a la sección 21) :

∭v

W . dv=∬S

∂W∂ n

. dS .

La función W satisface una ecuación (26)

W =−4 kπ ρ2ω2 ,la cual es similar a la ecuación de Poisson (113); ω representa la velocidad angular de la rotación de la tierra S. Tomando en cuenta estas dos relaciones, hallamos que

∭v

−4 kπ ρ2ω2 . dv=−∬S

gn .dS .

ó

M=1

4 kπ∬Sgn . dS

ω2

2 kπv , (133)

en donde

M=∭v

ρ . dv

M es la masa de la tierra y v su volumen. Básicamente, esta ecuación es el motivo por el cual resulta posible determinar la masa de la tierra a partir de la gravedad medida. Nótese que no es necesario conocer la distribución detallada de la densidad en el interior de la tierra.

5. Consideremos nuevamente la tierra y su potencial de gravedad W y apliquemos la tercera identidad (129) a un punto sobre la superficie terrestre. Entonces p = 2 π , de manera que tenemos

∭v

1l

. W .dv2 Wπ −∬S[1l∂W∂ n−W ∂

∂ n 1l ] . dS=0

Haciendo las mismas sustituciones de antes obtenemos

∭v

1l

.−4 kπ ρ2ω2. dv2 Wπ ∬

S[W ∂

∂n 1l

gn

l ] . dS=0

y según (111),

W=k∭v

ρl

.dv12ω2 x2y2

,

finalmente obtenemos

−2 Wπ ∬S[W ∂

∂ n 1l

gn

l ] . dS2πω2 x2y2

2ω2∭

v

dvl=0 (134)

Todas las cantidades de esta ecuación hacen referencia a la superficie S.

La ecuación (134) relaciona la superficie S al potencial de gravedad W y a la gravedad g. Si W y g fueran conocidos, sería razonable suponer que la ecuación anterior puede resolverse de alguna forma con respecto a la superficie S. En realidad, podríamos considerar esta ecuación como la base matemática para determinar la superficie física S de la tierra a partir de las mediciones del potencial W y de la gravedad g, de acuerdo con la famosa teoría de Molodensky (refiérase al capítulo 8).

17. Funciones Armónicas. Teorema de Stokes y Principio de Dirichlet

Anteriormente se definieron las funciones armónicas como soluciones de la ecuación de Laplace

V=0 .

Específicamente, una función se considera armónica en una región v del espacio si satisface la ecuación de Laplace en todos los puntos de v. Si dicha región consiste en el exterior de determinada superficie cerrada S, entonces tendrá además que anularse como 1/ l para l∞ . Es posible demostrar que toda función armónica es analítica (en la región donde satisface la ecuación de Laplace); quiere decir, que es continua y tiene derivadas continuas de cualquier orden.

La función armónica más sencilla es la que representa la distancia recíproca

1l=

1

x−ξ 2 y−η 2 z−ζ 2

entre dos puntos ( ξ , η , ζ ) y (x, y, z), la cual se considera una función de x, y, z. Es el potencial de una masa puntual m = 1/k, ubicada en el

punto ( ξ , η , ζ ); comparemos (15) y (16) para km = 1.

Puede demostrarse fácilmente que 1/ l es armónica. Formamos las siguientes derivadas parciales con respecto a x, y, z de la misma manera que (18) :

x−ζ ;∂

∂ x 1l =−

x−ξ

l1,∂∂ y

1l =−

y−η

l1,∂∂ z

1l =−¿

¿

¿l1

∂2

∂ x2= 1l −l23 x−ξ 2

l2 ,∂

2

∂ y2= 1l −l23 y−η 2

l2 ,∂

2

∂ z2= 1l −l23 z−ζ 2

l2

Si sumamos las últimas tres ecuaciones y aplicamos la definición de , hallamos que

1l =0 ; (135)

es decir que 1/ l es armónica.

El punto ( ξ , η , ζ ), en donde l equivale a cero y 1/ l a infinito, es el único donde no puede aplicarse la deducción anterior; 1/ l no es armónica en este punto exclusivamente.

De hecho, el potencial algo más general (16) de una masa puntual arbitraria m también es armónico excepto en ( ξ , η , ζ ) dado que (135) no cambia al multiplicar ambos lados por km.

En el exterior de las masas atrayentes, no sólo el potencial de una masa puntual es armónico sino también cualquier otro potencial gravitacional. Consideremos ahora el potencial (111) de un cuerpo extendido. Si se intercambia el orden de la diferenciación y de la integración, hallamos que de acuerdo con (111)

V=k [∭v

ρl

.dv ]=k∭v

ρΔ 1l .dv=0 ;

es decir, que el potencial de un cuerpo sólido también es armónico en cualquier punto P (x, y, z) fuera de las masas atrayentes.

Si P se halla dentro del cuerpo atrayente, la deducción anterior resulta nula puesto que 1/ l pasa a ser infinito para el elemento de masa dm (

ξ , η , ζ ) que coincide con P (c, y, z), y (135) deja de ser válida. Esta es la razón por la que el potencial de un cuerpo sólido no es armónico

en su interior y más bien satisface la ecuación diferencial de Poisson (113).

De la misma manera podemos demostrar que el potencial (116) de una capa atrayente en una superficie S es armónico en todos sus puntos con excepción de aquellos en la misma S. Por consiguiente, vemos que el potencial (121) de una doble capa es también armónico en todas partes excepto en la superficie S, puesto que le potencial de al doble capa puede considerarse como el límite del potencial combinado de dos capas superficiales contiguas; compárese la fig. 15.

De manera que el potencial gravitacional es armónico en todos los puntos donde no hay masas atrayentes y, por consiguiente, lo mismo ocurre con el potencial externo de la tierra si hacemos caso omiso de la atmósfera y la fuerza centrífuga. A esto se le debe la importancia que tienen las funciones armónicas en la geodesia física.

En general, es posible generar la misma función armónica por medio de distintas distribuciones de masa. Un ejemplo bastante conocido es el del potencial externo de una esfera homogénea:

V=kMl

,

en donde M representa la masa de la esfera y l la distancia desde su centro1. Por tanto, todas las esferas homogéneas concéntricas con la misma masa total M, cualquiera que sea su tamaño, generan el mismo potencial. El potencial es el mismo que si la masa total estuviese concentrada en el centro, puesto que el potencial de una masa puntual se determina también con esta fórmula.

Otro ejemplo sería el teorema de Charles (132). Tomemos cualquier potencial V de Newton y denotemos una de sus superficies equipotenciales exteriores por S. Afuera de S, el potencial sería el mismo que le de una capa superficial con una densidad

−1

4 kπ. ∂V∂n

;

Véase la fig. 16.

Estos son ejemplos particulares del teorema de Stokes. Una función V que sea armónica fuera de una superficie S está determinada por sus valores en S exclusivamente. No obstante, suele haber un número infinito de distribuciones de masa que tienen como potencial externo la función armónica V dada.

Por ello resulta imposible determinar las masas generadoras a partir del potencial externo. Este problema inverso de la teoría del potencial no tiene una solución única (problema directo: determinación del potencial a partir de las masas; problema inverso: determinación de las masas a partir del potencial). El problema inverso se presenta en la exploración geofísica con las mediciones gravimétricas: se deducen masas invisibles basándose en las perturbaciones del campo de gravedad. Para determinar el problema en una forma más completa, es necesario contar con información adicional que se obtiene, por ejemplo, por medio dela geología o de mediciones sísmicas.

Dada la importancia del teorema de Stokes, haremos aquí una prueba sencilla de su primera parte. Supongamos que determinada distribución de masa genera un potencial V y que S es una superficie que encierra todas las masas. Supongamos además que una distribución diferente de masa dentro de S genera un potencial V’ que asume los mismos valores que la superficie S. Si denotamos la diferencia V’ – V por U, entonces, de acuerdo con nuestra hipótesis, U = 0 en S. Tomando la primera identidad de Green (127) y poniendo una función igual a la otra, obtenemos

∭v

U . U . dv∭v[∂U∂ x

2

∂U∂ y

2

∂U∂ z

2

] . dv=∬S

U .∂U∂ n

.dS .

Esta ecuación se aplica al exterior de S, de manera que v represente la región fuera de S.2 Dado que U = V’ – V, siendo esta la diferencia de dos funciones armónicas, también resulta armónica fuera de S y tenemos que U= 0 en v; además, U =0 en S. Por tanto, el lado derecho y la primera integral del lado izquierdo se anulan, y obtenemos

Si solo una de las derivadas de U tiene otro valor que no sea cero, esta ecuación dejará de ser válida ya que el integrando debe ser siempre positivo cero. De manera que todas las derivadas de U tendrán que ser cero; es decir que U es una constante. Dado que U, como función armónica, tiene que ser cero en infinito, la constante tendrá que ser cero también. Por lo tanto, V’ – V = 0 o sea V’ = V en todo v, que es precisamente lo que se está tratando de demostrar.

El teorema de Stokes establece que hay una sola función armónica V que asume determinados valores límites en una superficie S, siempre que dicha función armónica exista. La aseveración de que para valores límites asignados arbitrariamente existe siempre una función V que asume en S los valores límites dados se conoce como el principio de Dirichlet. Tenemos dos casos diferentes : V armónica fuera de S y V armónica dentro de S.

El principio de Dirichlet ha sido probado por muchos matemáticos para casos muy generales, por ejemplo, Poincaré y Hilbert; la demostración resulta bastante difícil.

El problema de calcular la función armónica (dentro o fuera de S) a partir de sus valores límites en S se conoce comúnmente como el problema de Dirichlet, o el primer problema de los valores límites de la teoría del potencial. Se tratará con mayor detalle en la sección 116.

Finalmente quisiéramos hacer notar que no hay función que sea armónica en todo el espacio (excepto en el caso de V 0) : siempre hay por≡ lo menos una excepción. El potencial de una masa puntual, V = km / l, es singular para l = 0; el potencial de una distribución superficial o de una doble capa en una superficie S es armónico tanto dentro como fuera de S pero no en la misma S.

1 Esto se ve enseguida analizando (239) : en el caso de una simetría esférica, tanto Jnm como Knm deberán ser cero.2 Ello es posible si U es armónica, puesto que siendo éste el caso las condiciones de regularidad en infinito mencionadas al final de las secciones anteriores quedarán satisfechas.

2

∭v[ ∂U∂ x

2

∂U∂ y

2

∂U∂ z

2

] . dv=0

1.8. Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Esféricas

Las funciones armónicas más importantes son las llamadas armónicas esféricas. Para su determinación, es necesario incluir las coordenadas esféricas: r (vector radial), (distancia polar), (longitud concéntrica) (fig. 17). Las coordenadas esféricas están relacionadas con las coordenadasθ λ rectangulares x, y, z mediante las ecuaciones

x = r sin cos ,θ λ

y = r sin sin , (136)θ λ

z = r cos θ

o inversamente por

(137)

FIGURA 17. Coordenadas esféricas y rectangulares.

Para expresar la ecuación de Laplace por medio de las coordenadas esféricas, es necesario determinar primero el elemento de arco (elemento de distancia) ds con estas coordenadas. Para ello, formamos

dx=∂ x∂r∂r

∂ x∂θ

∂θ∂ x∂λ

∂λ ,

dy=∂ y∂r∂r

∂ y∂θ

∂θ∂ y∂λ

∂λ ,

dz=∂ x∂r∂r∂ z

∂θ∂θ

∂ z∂λ

∂λ .

Diferenciando (136) e incorporándolas la fórmula básica

ds2=dx2

dy2dz2

Obtenemos

ds2=dr 2

r2 dθ2r2 sin2θ .dλ2 . (138)

Hubiera sido posible hallar esta conocida fórmula más fácilmente por medios geométricos, pero el método utilizado es más general y además puede aplicarse también a la coordenadas elipsoidales.

En (138) no hay términos con dr d , dr d y d d . Esto demuestra el hecho de que las coordenadas esféricas son ortogonales: las esferasθ λ θ λ

r=x2y2

z2 ,

θ=tan−1x2y2

z,

λ=tan−1 yx

.

r = const., los con los = const. y los planos = const se intersecan entre sí ortogonalmente.θ λ

La forma general del elemento de arco expresado en coordenadas ortogonales arbitrarias q1, q2, q3 es

ds2=h1

2 . dq12h2

2 . dq212h3

2 . dq32 . (139)

puede demostrarse que el operador de Laplace en estas coordenadas es

V=1

h1h2 h3 [∂

∂ q1 h2 h3

h1 ∂

∂q2 h3 h1

h2 ∂

∂q3 h1h2

h3 ] (140)

Para las coordenadas esféricas, tenemos que q1=r ,q2=θ , q3=λ . Una comparación de (138) con (139) mostrará que

h1=1, h2=r , h3=r . sinθ .

Si sustituimos esto en (140), obtenemos

V=1

r2

∂

∂ r r2 ∂V∂r

1

r 2sinθ∂

∂ θ sinθ∂V∂θ

1

r2sin2 θ

∂2 V∂

2 λ.

Al efectuar las diferenciaciones, hallamos

V=∂

2V∂r2

2r∂V∂r

1

r2

∂2 V∂θ2

cot θ

r2

∂V∂θ

1

r2 sin2θ

∂2V∂λ2=0 . (141)

que representa la ecuación de Laplace expresada en coordenadas esféricas. Se obtiene una expresión alterna multiplicando ambos lados por 2r

r2 ∂2V∂r2 2r

∂V∂ r∂

2 V∂θ 2cotθ

∂V∂θ

1

sin2θ

∂2V∂ λ2=0 . (1 41’)

esta fórmula resulta mucho más conveniente para nuestro trabajo posterior.

1.9. Armónicas Esféricas

Trataremos de resolver la ecuación de Laplace (141) o (141’) separando las variables r, , por medio de una sustitución tentativaθ λ

V(r, θ, λ) = f (r) Y(θ, λ) (1 42)

En donde f es una función de r solamente, y Y es una función de θ y de solamente. Al sustituir esto en (1 – 41’) y dividiendo por f Y, obtenemosλ

1fr2 f ''2 rf ' =−

1Y ∂

2Y

∂θ2cot θ

∂Y∂θ

1

sin2θ

∂2 Y

∂λ 2 ,en donde las primas denotan una diferenciación con respecto al argumento (r, en este caso). Como la parte izquierda depende solamente de r y al parte derecha solamente de θ y , ambos lados deberán ser constantes. Por consiguiente, podemos separar la ecuación en dos:λ

r2 f ''r 2 rf ' r −n n1 f r =0, (1 43)

∂

2 Y∂θ2cot θ

∂Y∂θ

1

sin2θ

∂2 Y∂λ2n n1Y=0, (1 44)

en donde hemos representado la constante por medio de n (n + 1). Las soluciones de (1 43) están expresadas mediante las funciones

f r =r n y f r =r− n1 ; (1 45)

esto deberá comprobarse por sustitución. Si denotamos las soluciones de (1 44) hasta ahora desconocidas por Y n θ ,λ vemos que la

ecuación de Laplace (1 41) se resuelve por medio de la funciones

V=r nY n θ ,λ y V=Y n θ ,λ

r n1 (1 46)

Estas funciones se conocen como las armónicas esféricas sólidas, mientras que las funciones Y nθ ,λ se conocen como las armónicas

esféricas de superficie (de Laplace). Ambas se llaman armónicas esféricas; del tipo al que se está haciendo referencia por lo general se deduce del contexto.

Más adelante veremos que n no es una constante arbitraria sino que tiene que ser entero 0, 1, 2, .......... Si una ecuación diferencial es lineal y conocemos varias soluciones entonces, como es bien conocido, la suma de estas soluciones será también una solución en sí. Por lo tanto podemos concluir que

V=∑n=0

∞

rnY n θ ,λ y V=∑n=0

∞ Y n θ ,λ

rn1 (1 47)

son también soluciones de la ecuación de Laplace V=0 ; es decir, funciones armónicas.

Lo importante es que toda función armónica –con ciertas restricciones puede expresarse en una de las formas indicadas en (1 47).

110. Armónicos Esféricos de Superficie

Ahora tenemos que determinar las armónicas de superficie de Laplace Y nθ ,λ .

Trataremos de resolver (1 44) por medio de una nueva sustitución tentativa

Y nθ ,λ = g ( ) h ( ), (1 48)θ λ

en donde tanto la función g como la h dependen de una sola variable. Efectuando esta sustitución en (1 44) y multiplicando por sin2θ /gh

hallamos que

sinθgsin θ . g ''cosθ . g'n n1sin θ . g =−

h ''h

,

en donde las primas denotan diferenciación con respecto al argumento : en g, en h. La parte izquierda es una función de solamente, y laθ λ θ

derecha es una función de solamente. Por lo tanto ambos lados tendrán que ser nuevamente constantes; supongamos que la constante sea λ m2 . De

esta manera se divide la ecuación diferencial parcial (1 44) en dos ecuaciones diferenciales regulares para las funciones g ( ) y h ( ):θ λ

;0)(g.sinm

sin)1n(n[)('g.cos)(''g.sin2

=θ

θ

−θ++θθ+θθ (1 49)

h ''λ m2 h λ =0 (1 50)

Las soluciones de la segunda ecuación son las funciones

h λ =cos mλ y h λ =sin mλ , (1 51)

tal como puede comprobarse por sustitución. La primera ecuación es más difícil. Puede demostrarse que sus soluciones tienen significado físico solamente si n y m son números enteros 1, 2, ........ y si m es menor que o igual a n. Una de las soluciones de (1 49) es la llamada función de

Legendre Pnm cosθ la cual será tratada con más detalle en la siguiente sección. Por tanto

g θ =Pnm cosθ (1 52)

y las funciones

Y n θ ,λ =Pnm cosθ cosmλ y Y nθ ,λ =Pnm cosθ sin mλ (1 53)

son soluciones de la ecuación diferencial (1 44) para las armónicas de superficie de Laplace.

Dado que esta ecuación es lineal, cualquier combinación lineal de las soluciones (1 53) será también una solución en sí. Dicha combinación lineal tiene la siguiente forma general:

Y nθ ,λ =∑m=0

n

[anm Pnm cos θ cos mλbnm Pnm cosθ sin mλ ] ,

en donde nma y bnm son constantes arbitrarias. Esta es la expresión general para la armónica de superficie Y n .

Si incluimos esto en las ecuaciones (1 47), vemos que

V r ,θ ,λ =∑n=0

m

rn∑m=0

n

[anm Pnm cosθ cosmλbnm Pnmcos θ sin mλ ] , (1 54a)

V r ,θ ,λ =∑n=0

m 1

rn1 ∑m=0

n

[anm Pnmcosθ cos mλbnm Pnmcosθ sin mλ] , (1 54b)

son soluciones de la ecuación de Laplace V=0 ; es decir, funciones armónicas. Además, tal como se ha mencionado anteriormente, son en realidad soluciones muy generales : toda función que sea armónica dentro de determinada esfera podrá desarrollarse para formar una serie (1 54a), y toda función que sea armónica fuera de determinada esfera (como por ejemplo, el potencial gravitacional de la tierra) podrá desarrollarse para formar una serie (1 54b). Así vemos como las armónicas esféricas pueden resultar útiles en la geodesia.

1.11. Funciones de Legendre

En la sección anterior se definió la función )(cosPnm θ de Legendre como una solución de la ecuación diferencial de Legendre (1 49). La n

denota el grado y m el orden de nmP .

Resulta conveniente transformar la ecuación de Legendre (1 49) sustituyendo

t = cos (1 55)θ

Para evitar confusiones, utilizamos una raya para indicar que g es una función de t. Por lo tanto,

g (θ) = g (t),

g ' θ =dgdθ=

dgdt

dtdθ=−g ' t sinθ ,

g '' θ =g '' t sin2θ−g '' t cos2θ .

Si insertamos esto en (1 49), dividimos por sin , y luego sustituimos θ θ2sin = 1 t2 obtenemos

1−t2g '' t −2t .g ' t [n n1−

m2

1−t2 ] .g t =0 . (1 56)

La función de Legendre g (t) = nmP (t), definida por

Pnm t =1

2n n !1−t2

m/2 d nm

dtnm t2−1n , (1 57)

satisface (1 56). Aparte del factor 2/m2 )t1( − = sinmθ y de una constante, la función nmP es la (n +m)ésima derivada del polinomio

n2 )1t( − . De esta manera es posible determinar su valor numérico sin ninguna dificultad. Por ejemplo,

P11 t =1−t2

1/2

2∗1d 2

dt2 t2−1=

121−t2

∗2=1−t2=sin θ .

El caso m = 0, tiene especial importancia. A menudo las funciones Pnθ t se denotan sencillamente por Pn t . Luego (1 57) da

Pn t =Pnθ t Pnm t =1

2n n !dn

dt n t2−1n , (1 57’)

Como m = 0, no hay raíz cuadrada, es decir, no hay sin . Por lo tanto, las son sencillamente polinomios de t. Se conocen como polinomios deθ Legendre. Aquí mostramos unos cuantos de los primeros polinomios para n = 0 hasta n = 2.

Pp t =1, P1 t =t , P2 t =32

t2−

12

t , P3 t =52

t2−

32

t ,

P4 t =358

t4−

154

t2

38

, P5 t =638

t5−

354

t3

158

t , (1 58)

Recordemos que

t = cos .θ

Los polinomios podrán obtenerse por medio de (1 57’) o más fácilmente usando la fórmula de recursión

Pn t =−n−1

nPn−2 t

2n−1n

t . Pn−1 t , (1 59)

mediante la cual es posible calcular P2 a partir de P0 y P1 , P3 a partir de P1 y P2 , etc. En la fig. 18 se muestran las graficadse

los polinomios de Legendre.

Las potencias de cos pueden expresarse en términos de los cosenos de múltiplos de , tales comoθ θ

cos2θ=12

cos 2θ12

, cos2θ=14

cos3θ34

cosθ .

Por consiguiente, también podemos expresar Pn (cos ) en esta forma, obteniendoθ

P2 cosθ =34

cos2θ14

,

P3cosθ =58

cos 3θ38

cosθ ,

P4 cosθ =3564

cos 4θ516

cos 2θ964

,

P5cosθ =63128

cos5θ35128

cos3θ1564

cosθ ,

.. .. . . . .. .. . . . .. . .. .. .. . .. . . . .. . . . . . .. .. . .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. . . . . . .

(1 58’)

Si el orden m no es cero, es decir, m = 1, 2, . . . . . , n, las funciones de Legendre nmP (cos ) se conocen como las funciones asociadas de Legendre.θ

Estas pueden reducirse fácilmente a polinomios de Legendre por medio de la ecuación

Pnm t =1−t2m /2 d m Pn t

dt m , (1 60)

que se desarrolla de (1 57) y (1 57’). De esta manera es posible expresar las funciones asociadas de Legendre en términos de polinomios de

Legendre del mismo grado n. Aquí damos algunas nmP , escribiendo t = cos , θ 1−t2=sinθ :

P11cosθ =sinθ P21cosθ =3sin θ cosθ , P31=sin θ152

cos2θ−32 ,

P22 cosθ =3sin2 θ , P32=15sin2θ cosθ , P33=15sin2θ . (1 61)

también mencionamos una fórmula explícita para cualquier función de Legendre (polinomio o función asociada) :

Pnm t =2−n1−t2

m/2∑k=0

r

−1k2n−2k !

k ! n−k ! n−m−2k !tn−m−2k . (1 62)

donde r representa el número entero más alto ≤ (n m) / 2; v. g. r es (n m) / 2 o (n –m 1) / 2, cualquiera que sea un número entero. Esta fórmula resulta conveniente para la programación de una computadora electrónica.

Puesto que es difícil encontrar esta fórmula útil en trabajos publicados hemos incluido aquí su deducción la cual es bastante sencilla y sin complicaciones. La información requerida sobre factoriales puede obtenerse de cualquier colección de fórmulas matemáticas.

FIGURA 18 Polinomios de Legendre como

funciones de t = cos . Arriba, n θ

es par; abajo, n es impar.

El teorema del binomio de Newton da:

t2−1n=∑

k=0

n

−1k nk t2n−2k

=∑k=0

n

−1kn !

k !n−k !t2n−2k .

De esta manera se convierte en

Pnm t =1

2n1−t2

m /2∑k=0

n

−1k1

k ! n−k !t2n−2k ,

Al suprimirse el factor común n! La résima derivada de la potencia t8 es

d r

dt r t r=ss−1 .. .. . .. .. s−r1 t s−r

=s !

s−r !t s−r .

Si ponemos r = n + m y s = 2 n – 2k, tenemos

dnm

dt nm t2n−2k

=2n−2k ! n−m−2k !

tn−m−2k .

Al insertar esto en la expresión anterior para nmP (t) y notar que el exponente más bajo posible de t es t ó t° = 1, obtenemos (1 62).

Las armónicas esféricas de superficie son las funciones de Legendre multiplicadas por cos m o sin m :λ λ

Grado 0 P0 cosθ ;

Grado 1 P0 cosθ ;

P11cosθ cosλ ,P11cosθ sinλ ;

Grado 2 P2cosθ ;

P21cosθ cosλ , P21 cosθ sinλ ,

P22 cosθ cos2λ , P22 cosθ sin 2λ ;

y así sucesivamente.

La representación geométrica de estas armónicas esféricas resulta útil. Las armónicas donde m = 0, es decir los polinomios de Legendre, son polinomios de grado n en t, de manera que tienen n ceros. Estos n ceros son todos reales y están situados en el intervalo 1 ≤ t ≤ +1, es decir 0 ≤ ≤θ

(fig. 18). Las armónicas donde m = 0 cambian por lo tanto de signo n veces en este intervalo; además no dependen de . Su representaciónπ λ geométrica es por consiguiente similar al caso a de la fig. 19. Como dividen la esfera en zonas, también se conocen como armónicas zonales.

Las funciones asociadas de Legendre cambian de signo n – m veces en el intervalo 0 ≤ ≤ . Las funciones cos m y sin m tienen 2mθ π λ λ ceros en el intervalo 0 ≤ ≤ 2 , de manera que la representación geométrica de las armónicas para m ≠ 0 es similar a la del caso b. Dividen laλ π esfera en compartimientos en los que son positivas y negativas alternativamente al igual que un tablero de ajedrez, y se conocen como armónicas t eserales. En el caso particular de n = m degeneran en funciones que dividen la esfera en sectores positivos y negativos, en cuyo caso se conocen como armónicas sectoriales (fig. 19, caso c).

FIGURA 19 Los diferentes tipos de armónicas esféricas : (a) zonales, (b) Teserales, (c) sectoriales.

1.12. Funciones de Legendre del Segundo Tipo

La función de Legendre no es la única solución de la ecuación diferencial de Legendre (1 56). Hay una función de naturaleza completamente diferente que también satisface esta ecuación. Se le conoce como la función de Legendre del segundo tipo, de grado n y de orden m, y que se denota

por Qnm t .

Aunque Qnm t son funciones de naturaleza totalmente diferente, satisfacen relaciones muy similares a las que satisfacen las

Pnm t .

Las funciones “zonales”

Qn t ≡Qnθ t

están definidas por

Qn t =12

Pn t ln1t1−t

−∑k=1

n 1k

Pk−1 t Pn−k t , (1 63)

y las otras por

Qnm t =1−t2m /2 d m Qn t

dtm . (1 64)

La ecuación (1 64)es completamente análoga a (1 60); además, las funciones Qn t satisfacen la misma fórmula de recursión (1 59) que las

funciones .

Si determinamos el valor de las primeras nQ por medio de (1 63) hallamos que

Q0 t =12

ln1t1−t

=tanh−1 t ,

Q1 t =t2

ln1t1−t

−1=t tanh−1 t−1,

Q2 t =34 t2−

14 ln

1t1−t

−32

t=32 t2−

12 tanh−1 t−

32

t .

(1 65)

Estas fórmulas y la fig. 110 muestran que las funciones nmQ son en realidad muy distintas a las funciones nmP . Por la singularidad ±

∞ en t = (v. G. = 0 ó ) vemos que es imposible sustituir π nmQ (cos ) por θ nmP (cos )si representa la distancia polar, ya que las funcionesθ θ

armónicas tienen que ser regulares.

No obstante, las hallaremos en la teoría de las armónicas elipsoidales (sección 1 20), la cual se aplica al campo de gravedad normal de la tierra (sección 2 7). Por este motivo necesitamos las funciones de Legendre del segundo tipo como funciones de un argumento complejo. Si el argumento z es complejo tendremos que sustituir la definición (1 63) por

Qn z =12

Pn z lnz1z−1

−∑k=1

n 1k

Pk−1 z Pn−k z , (1 63’)

en

donde los polinomios de Legendre Pn z se definen mediante las mismas fórmulas que en el caso de un argumento real t. Así pues, el único

cambio en comparación con (1 63) es la sustitución de

12

ln1t1−t

=t tanh−1 t ,

.

FIGURA 1 10Funciones de Legendre del segundo tipo. Arriba n es par; abajo n es impar.

Por

específicamente tenemos

(1 65’)

1.13. Teorema de Desarrollo y Relaciones de Ortogonalidad

En esta sección trataremos con las armónicas esféricas de superficie. En (1 54a,b) desarrollamos las funciones armónicas en el espacio para formar una serie de armónicas esféricas sólidas. Similarmente es posible desarrollar una función f ( , ) arbitraria (por lo menos en sentido muy general)θ λ en la superficie de una esfera para formar una serie de armónicas de esfera de superficie :

(1 66)

en donde hemos utilizado las formas abreviadas3

Rnm θ ,λ = Pnm cosθ cos mλ ,

Snmθ ,λ = Pnm cosθ sin mλ . (1 67)

3 Se han usado las establecidas por MacMillan (1930); él utiliza las formas abreviadas Cnm θ ,λ = Pnm cosθ cos mλ ,

y, Snmθ ,λ = Pnm cosθ sin mλ .

12

lnz1z−1

=coth−1 z ,

.

Q0 z =12

lnz1z−1

=corh−1 z ,

Q1 z =z2

lnz1z−1

−1=z coth−1 z−1,

Q2 z =34 z2−

14 ln

z1z−1

−32

z=32 z2−

12 coth−1 z−

32

z .

f θ ,λ =∑n=0

m

Y n θ ,λ =∑n=0

m

∑m=0

n

[anm Rnm θ ,λ bnm Snm θ ,λ ] ,

Los símbolos anm y bnm son coeficientes constantes que ahora procederemos a determinar. Para ello, son esenciales las llamadas relaciones

de Ortogonalidad. Estas relaciones poco comunes significan que la integral sobre la esfera unitaria del producto de cualesquiera dos funciones

diferentes Rnm y Snm es cero :

Si s ≠ n, r ≠ m o ambos

Si s ≠ n, r ≠ m o ambos

En cualquier caso

En el caso del producto de dos funciones equivalentes Rnm ó Snm tenemos

∬σ

[Rnθθ ,λ ]2 . dσ=4π2n1

;

∬σ

[Rnm θ ,λ ]2 . dσ=∬σ

[Snmθ ,λ ]2 . dσ=2π2n1

nm ! n−m !

(m ≠ 0). (1 69)

(No hay ninguna Sn0 , ya que sin 0 = 0.) En estas fórmulas hemos utilizado la forma abreviadaλ

∬σ

=∫λ=0

2π∫θ=0

π

para la integral sobre la esfera unitaria. La expresión

d = sin d dσ θ θ λ

denota el elemento de superficie de la esfera unitaria o el elemento de ángulo sólido, el cual se define como el área correspondiente en al esfera unitaria.

Ahora resulta fácil determinar los coeficientes anm y bnm en (1 66).

Si multiplicamos ambas partes de la ecuación por un Rsr θ ,λ e integramos sobre la esfera unitaria, obtenemos

∬σ

f θ ,λ Rsr θ ,λ ] . dσ=asr∬σ

[ Rsr θ ,λ ]2 .dσ ,

ya que en el lado derecho de la integral doble se anularán todos los términos, salvo el que tiene n = s, m = r, de acuerdo con las relaciones de

Ortogonalidad (1 68). La integral del lado derecho tiene el valor dado en (1 69) de manera que se ha determinado a sr . En forma similar

podemos calcular bsr multiplicando (1 66) por S sr θ ,λ e integrando sobre la esfera unitaria. El resultado es

∬σ

Rnm θ ,λ Rsr θ ,λ .dσ=0

∬σ

Snm θ ,λ S sr θ ,λ . dσ=0

∬σ

Rnm θ ,λ S sr θ ,λ . dσ=0

(1 70)

( m ≠ 0 )

Los coeficientes anm y

bnm pueden por lo tanto

determinarse mediante una integración.

Notamos que también es posible hallar directamente las armónicas esféricas de Laplace Y nθ ,λ en (1 66) mediante la fórmula

Y nθ ,λ =2n1

4π ∫λ '=0

2π∫θ '=0

πf θ ',λ ' Pn cosψ sinθ ' .dθ ' .dλ ', (1 71)

en donde es la distancia esférica entre los puntos ( , ) y ( ’, ’), de modo que (fig. 111)ψ θ λ θ λ

cosψ=cosθ . cosθ 'sinθ sin θ ' (1 72)

La ecuación (1 71) puede verificarse fácilmente mediante cálculos directos, sustituyendo Pn cosψ de la fórmula de descomposición (1

82) de la sección 15.

1.14. Armónicas Esféricas Totalmente Normalizadas

Las fórmulas de la sección anterior para el desarrollo de una función a una serie de armónicas de superficie son bastante difíciles de manejar. Si analizamos las ecuaciones (1 69) y (1 70) vemos que hay diferentes fórmulas para m = 0 y m ≠ 0; además, las expresiones son relativamente complicadas y difíciles de recordar.

FIGURA 111 La distancia esférica .ψ

anθ=2n14π ∬

σ

f θ ,λ Pn cosθ .dσ ;

anm=2n12π

n−m !nm !∬σ

f θ ,λ Rnm θ ,λ . dσ ;⋱

bnm=2n12π

n−m ! nm !∬σ

f θ ,λ Snm θ ,λ . dσ ;⋰

Por consiguiente, se ha propuesto reemplazar las armónicas “convencionales” Rnm y Snm definidas por (1 67) y (1 57) ó (1 62), por otras

funciones que difieran por un factor constante y sean más fáciles de manejar. Aquí consideramos solamente las armónicas totalmente normalizadas 4

que parecen ser las más convenientes así como las más usadas. Las denotamos por Rnm y Snm ;están definidas por

Rnθ θ ,λ =2n1 .Rnθθ ,λ ≡2n1. Pn cosθ ; (1 73)

Rnmθ ,λ

Snm θ ,λ =2 2n1

n−m ! nm !

Rnm θ ,λ

Snmθ ,λ ( m ≠ 0).

Las relaciones de Ortogonalidad (1 68) son válidas también para estas armónicas totalmente normalizadas, mientras que las ecuaciones (1 69) se simplifican completamente : se convierten en

1

4π∬σR

2nm . dσ=∬

σ

S2

nm .dσ=1 . (1 74)

Esto significa que el cuadro de medio de cualquier armónica totalmente normalizada es uno, en donde el promedio se calcula sobre la esfera (promedio = integral dividida por el área 4 ). Esta fórmula para cualquier m sea esta cero o no.π

Si desarrollamos una función arbitraria f ( , ) para formar una serie de armónicas totalmente normalizadas, análoga a (1 66),θ λ

f θ ,λ =∑n=0

m

∑m=0

n

[anm Rnm θ ,λ bnm Snmθ ,λ ] , (1 75)

Entonces los coeficientes anm nmb estarán dados sencillamente por

C=W 0−W∫0

H

gdH (1 76)

es decir, los coeficientes serán los productos medios de la función y la armónica correspondiente Rnm o Snm .

La sencillez de las fórmulas (1 74) y (1 76) representa la ventaja principal de las armónicas esféricas totalmente normalizadas, haciéndolas

útiles en muchos respectos, aun cuando las funciones Rnm y Snm (1 73) sean algo más complicadas que las Rnm y Snm

convencionales : tenemos que

Rnm θ ,λ = Pnm cosθ cos mλ ,

Snm θ ,λ = Pnm cosθ sin mλ . .

4 Las armónicas totalmente normalizadas han sido sencillamente “normalizadas” en la forma que establece la teoría de las funciones reales; hemos tenido que utilizar esta expresión extraña porque el término “armónicas esféricas normalizadas” ya se ha usado en otras funciones, lamentablemente muchas veces para funciones que no han sido realmente “normalizadas” en el sentido matemático de la palabra. JahnkeEmdeLosch (1960) utiliza una forma diferente de normalización.

En donde

Pnm(t)= 2n1

n−2k

∑k=0

r

−1k 2n−2k !/ k ! n−k ! n−2k ! talignl ¿¿¿

¿

(l77a)

para m=0, y

22n1 n−m !/ nm !∗2−n1−t2

m /2

n−m−2k

∑k=0

r

−1k 2n−2k !/ k !n−k !n−2k ! talignl ¿¿¿

¿

(l77b)

para m diferente de 0. Esto corresponde a (162): aquí, al igual que en (162), r es el numero entero mas alto ¿ (nm)/2

Hay relaciones entre los coeficientes a nm y b nm para armónicas totalmente normalizadas y los coeficientes a nm y

b nm para armónicas convencionales que por supuesto son las inversas de las expresadas en (173):

a

ng

¿¿¿¿¿ ¿

= a

n0

¿¿¿¿¿ ¿

/ 2n1 (178)

anm

bnm

1 /2 2n1 nm !/ n−m ! ∗¿ {¿ }¿{}

m diferente de cero

115. Desarrollo de la Distancia Reciproca en Armónicas Zonales. Formula de Descomposición

La distancia entre dos puntos cuyas coordenadas esféricas son:

P(r, θ ,λ ), P(r´ θ ´,λ ´

esta representada por

l2=r2

r ´ 2−2 rr ´cosψ (179)

en donde ψ es el ángulo entre los vectores radíales r y r´ (fig. 112), de manera que según (172),

• cos ψ cos θ cos +θ sin θ sin θ cos ´ ).λ λ

Suponiendo que r' < r, podemos escribir

1/l=1/ r2−2 rr ´cosψr´2 =

1

r 1−2 uα α2

en donde hemos utilizado α =r'/r y ,u=cos .ψ Esto puede desarrollarse para

formar una serle exponencial con respecto a α . Resulta notable que los

coeficientes de α n sean las armónicas zonales (convencionales), o polinomios

de Legendre Pn(u)=Pn(cos ψ)

1

t−2 uα α2=∑

n=0

∞

an Pn u =P0u Pα 1 u .. . .. .. . . , (180)

Por consiguiente, obtenemos

1l=∑

n=0

∞ r ´ n

rn1Pn cosψ (181)

que es una formula importante.

Aun asi sería conveniente expresar Pn cosψ en esta ecuación en términos funciones de las coordenadas esféricas , y ´, ´ que componen θ λ θ λ ψ de acuerdo con (172). Esto se logra por medio de la formula de descomposición.

Pn(cos ψ)=Pn(cos )Pn(cos ´)θ θ

2∑m=1

nn−m !nm ! [

Rnmθ ,λ Rnm θ ,´ λ ´ Snm θ ,λ Snm θ ,´ λ ´´ ] (182)

Si sustituimos esto en (181), obtenemos 183

1l ∑n=0

∞ P cosθ

rn1∗r ´ Pn cosθ ´ 2∑

m=1

nn−m !nm ! [

Rnmθ ,λ /rn1r ´ n Rnm θ ,´λ ´ Snm θ ,λ /r n1

r ´ n Snm θ ,´ λ ´´ ]

El uso de las armónicas totalmente normalizadas simplifica estas formulas. Si reemplazamos las armónicas convencionales de (182) y (183) por armónicas totalmente normalizadas por medio de (173) hallamos que

Pn cosψ =1

2n1 ∑m=0

n

[ [Rnmθ ,λ Rnmθ ,´λ ´ Snm θ ,λ Snm θ ,´λ ´´ ] ] ; (1

82')

1l=∑

n=0

m

∑m=0

m 12n1 [

Rnm θ ,λ /rn1r ´ n Rnm θ ,´λ ´ Snm θ ,λ /r n1

r ´ n Snm θ ,´λ ´´ ](183')

La ultima formula resulta esencial para el desarrollo del campo gravitaciónde la tierra con armónicas esféricas.

116. Solución del Problema de Dirichiet Por Medio de Armónicas Esféricas. Integral de Poisson

En la sección 17 se menciono el problema de Dirichiet, o sea el primer problema de valores limites de la teoría del potencial: con una función arbitraria dada en una superficie S, determinar una función V que sea armónica ya sea dentro o fuera de S y que en S asuma los valores de la función preestablecida.

Si la superficie S es una esfera, entonces el problema de Dirichict podrá resolverse fácilmente por medio de armónicas esféricas. Tomemos primero la esfera unitaria, r = 1, y desarrollamos !a función preestablecida, indicada en la esfera unitaria y denotada por V(1, , ), para formar una serie de armónicas de superficie (166);λ θ

V(1, , )=λ θ ∑n=0

∞

yn θλ (184)

habiéndose determinado Y ( ,λ θ) por medio de (171). las funciones

V(r, , )=λ θ ∑n=0

∞

ynr nθλ (185a)

V(r, , )=λ θ ∑n=0

∞

yn θλ / rn1 (185b)

asumen los valores dados V(1, , )enλ θ la superficie r=1. La serie (184) converge y para r<1 tenemos

rnY nY n .

y para r> l

Y n /rn1Y n .

Por tanto 1a serle (l85a) converge cuando r<1 y la serie (l85b) cuando r>1; ademas, se ha determinado que ambas series representan funciones amónicas. Asi pues podemos resolver el problema de Dirichiet por medio de V(r, , ) λ θ para

el interior de la esfera r = l, y por V(r, , ) λ θ para su exterior. En el caso de una esfera de radio arbitrario r •= R. la solución es similar. Desarrollamos la función dada

V(R, , )= λ θ ∑n=0

∞

yn θλ (186)

Las armónicas de superficie Yn se determinan por

Y nθλ =2n1

4π ∫λ=2

2x∫λ=0

xV R ,θ ,λ ´ Pn cosψ sinθ ´ dθ ´ dλ´

Luego la serie .

V(r, , )= λ θ ∑n=0

∞

rR

n

ynθλ

resuelve el primer problema para valores limites para el interior y la serie

V(r, , )= λ θ ∑n=0

∞

Rr

n1

yn θλ (i87b)

lo resuelve para el exterior de la esfera r = R.

De manera que siempre sera posible resolver el problema de Dirichiet para la esfera. Obviamenté esto esta estrechamente relacionado con la posibildad de desarrollar una función arbitrarla en la esfera para formar una serie de armónicas esféricas de superficie, y una función armónica en el espacio para formar una serie de armónicas esféricas sólidas.

Integral de Poisson: Hay una solución mas directa la cual se explica a continuación. Consideremos solamente el problema exterior que tiene mayor aplicación en la geodesia. Si sustituimos Yn( , ) de (171) en (l87b),λ θ

Obtenemos

V r ,θ ,λ =∑n=0

∞

Rr

n1 2n14π ∫λ=2

2π∫θ=0

πV R ,θ ,λ ´ Pn cosψ sinθ ´ dθ ´ dλ´

Esto lo podemos reordenar asi:

V r ,θ ,λ = 14 ∫λ=2

2x∫λ=0

xV R ,θ ,λ ´ [∑n=0

∞

2n1 Rr

n1

Pn cosψ ]sinθ ´ dθ ´ dλ´

(188)

Es posible determinar el valor de la suma dentro de los paréntesis rec

tangulares. Denotamos la distancia espacial entre los puntos (r, , ) y (R, , )λ θ λ θ

por l. Luego, de acuerdo con (181)

1

2 20

1 1 1cos

2 cos

n

nn

RP

l R rr R R

Diferenciando con respecto a r obtenemos

r−R cosψ

l3=−

iR ∑n=0

∞

n1Rn1

r n1Pn cosψ

Si multiplicamos esta ecuación por 2Rr, y multiplicamos la expresión para 1/l por R y luego sumamos las dos ecuaciones, obtenemos como resultado

Rr2−R2

l2 =∑n=0

∞

2n1Rr

n1

Pncosψ

1a parte derecha es la expresión entre paréntesis rectangulares de (188).Si sustituimos la parte Izquierda, obtenemos finalmente '

V(r, , )=λ θRr2

−R2

4π ∫λ=0

2π∫θ=0

π V R ,θ ´,λ ´

l2 sen θ ´ dθ´ dλ´ (189)

Esta es la integral de Poisson. Es una solución explícita del problema de Dirichlet para el exterior de la esfera que tiene muchas aplicaciones en la geodesia física.

117, Otros Problemas de Valores Límites

Hay otros problemas de valores límites similares. En el problema de Neumann o sea el segundo problema de valores limites de la teoria del potencial, se da la derivada normal de V con respecto a n en la superficie S en lugar de la función V misma. La derivada normal es la derivada a lo Iargo de la normal superficial n a S en dirección hacia afuera. En el tercer problema de valores Iimites, se da una combinación lineal de V y de su derivada normal

hV+k*aV/an

en S.

En el caso de la esfera también es posible expresar fácilmente la solución de estos problemas de valores limites en terminos de armónicas esféricas. Consideremos ahora los problemas exteriores solamente, ya que son de especial ínteres en la geodesia.

En el problema de Neúmmann desarrollamos los valores dados de aV/an en la esfera r = R para formaruna serie de armónicas de superficie:

∂V∂ n r=R

=∑n=0

∞

Y θλ 190

La función armónica que resuelve el problema de Neinnann para el exterior de la esfera es por lo tanto

V r ,θ ,λ =−R∑n=0

∞

Rr

n1

[Y n θ ,λ

n1 ]

Para verificarla, podemos diferenciarla con respecto a r. obteniendo

∂V∂ n=∑

n=0

∞

Rr

n1

Y n λ ,θ

|Como en el caso de la esfera, la normal coincide con el vector radial tenemos que

∂V∂ n r=R

=∂V∂r r=R

y por lo tanto vemos que satisface (ll0).

El tercer problema de los valores limites es particularmente importante para la geodesia fsica, ya que la determinación de las ondulaciones del geoide a partir de 1as anomalias de la gravedad esprecisamente este tipo de problema. Para resolver el caso general desarrollamos nuevamente la función definida por los valores limites dado; para formar armónicas de superficie:

hVk∂V∂ n=∑

n=0

∞

Y n θ ,λ

La función armónica

V r ,λ ,θ =R∑n=0

∞

Rr

n1 Y n λθ

h− k /R n1 191

V r .

resuelve el tercer problema de valores limites para el exterior de la esfera r=R. Su verificación es totalmente análoga al caso de (191).

Al determinar las ondulaciones geoidales, las constantes h, k asumen los valores

h=2/R, k=1

de manera que

V r ,λ ,θ =R∑n=0

∞

Rr

n1 Y n λθ

n−1 (192•)

resuelve el llamado problema de 1os valores 1imites de la geodesia fisica.

Como hemos podido apreciar en la sección anterior, también es posible resolver directamente el primer problema de valores limites por medio de la integral de Poisson. Existen asimismo formulas integrales similares para el segundo y tercer problema. La formula integral que corresponde a (l92) para el problema de los valores limites de la geodesia física es 1a integral de Stokes que trataremos con mayor detalle en el Capitulo 2.

118. La Derivada Radial de una Función Armónica

Para poder aplicarla mas adelante a problemas relacionados con la gradiente vertical de la gravedad, deduciremos ahora una formula integral para 1a derivada a lo largo del vector radial r de una función armónica arbitraria que denotaremos por V. Una función armonica como esta satisface la integral de Poisson (189):

V(r, , ) =λ θRr2

−R2

4π ∫λ=0

2π∫θ=0

π V R ,θ ´,λ ´

l2 sen θ ´ dθ´ dλ´

Al formar la derivada radial aV/ar notamos que V(r´, ´, ´) no depende de r. Deλ θ modo que solo necesitamos diferenciar (r2R2)/l2 obteniendo

∂V r ,θ ,λ ∂r

R4π∫λ=0

2π∫θ=0

π M r .ψ V R ,θ ´,λ ´ senθ ´ dθ´ dλ´

en donde

M r ,ψ ≡∂

∂rr2−R2

l2 =1

l2 5R2−r3

−Rr2 cosψ−3R2 cosψ (194)

Si aplicamos esta ecuación a la función armónica especial

obtenemos

−Rr2=

R4π∫λ=0

2π∫θ=0

π M r .ψ senθ ´ dθ ´ dλ´

Multiplicando ambos lados de esta ecuación por V(r, , ) y restándola de (193) nos daλ θ

∂V∂r

R

r2Vr=

R4π∫λ=0

2π∫θ=0

πM r ,ψ v−Vr sen θ ´ dθ´ dλ ´

en donde Vp=V(r, , ), V=(R, , , ),λ θ λ θ

Para hallar la derivada radial en la superficie de una esfera de radio R,tenemos que usar r= R. Luego ( pasa a ser (fig. 131)

l0=2Rsin

ψ2

y la función M adquiere la forma sencilla

M R ,ψ =1

4R2 sen2 ψ2

=2Rl3

0

(196)ψ

Para ψ 0 tenemos M(r, )ψ0 y no podemos utilizar la formula original (193) en la superficie de la esfera f = R. En la ecuación ransformada (195), sin embargo, tenemos v v. —> 0 para ψ0, y la singularidad de M para ψ 0 sera neutralizada. Siempre que V sea dos veces diferencíable en P. De esta manera obtenemos

∂V∂r=

1R

VrR2

2π∫λ=0

2π∫θ=0

π v−Vr l0

sen θ ´ dθ´ dλ ´ 197

esta ecuación representa aV/ar en la esfera r = R en términos de V en dicha esfera; de modo que ahora tenemos

Vr=(R, , ), V=(R´, ´, ´) 198θ λ θ λ

SoÍución en términos de armónicas esféricas. Podemos expresar Vr como

∂V∂r=−

1R∑n=0

∞

Rr

n1 Y n λθ 199

Una diferenciación nos da

∂V∂r=−∑

n=0

∞

n1 Rn1

rn1

Y n λθ 1100

Para r=R esto se convierte en

∂V∂r=−

1R∑n=0

∞

α1Y n θ ,λ

Esto es el equivalente de (197} en términos de armonicas esféricas.

De esta ecuación obtenemos un resultado secundario interesante. La ecuación (1100) podria escribirse

∂V∂r=−

1R

V p−1R∑n=0

∞

nY n θ ,λ

Si comparamos esto con (197) vemos que si estuviera en una esfera de radioR .

V p=∑n=0

∞

Y n θ ,λ (1101)

entonces

R2

2π∫λ=0

2π∫θ=0

π v−Vr

l3

0senθ ´ dθ ´ dλ´= −

1R∑n=0

∞

nY n θ ,λ (1102)

Esta ecuación se formula en su totalidad usando cantidades que hacen referencia a la superficie esférica solamente. Además, para cualquier funcion preestablecida en la superficie de una esfera podemos hallar una función en el espacio que sea armónica fuera de la esfera y asuma los valores de la funcion preestablecida en la misma. Esto se hace resolviendo el problema exterior de Diricnlet. Según esto podemos concluir que (1102) es valida para una función arbitrarla V definida sn la superficie de una esfera.

Esto se usara en las secciones 223 y 88.

119. Ecuación de Laplace Expresada en Coordenadas Elipsoidales

Las armónicas esféricas son las mas usadas en geodesia porque son relativamente sencillas y la tierra es casi esférica. Como la tierra se asemeja mas a un elipsoide de revolución es de esperar que las armónicas elipsoidales, las cuales se definen en una forma similar a las armónicas esféricas, sean hasta mas apropiadas. todo se reduce a un asunto de conveniencia la matemática puesto que se pueden usar tanto las armónicas esféricas como las elipsoidales para cualquier cuerpo atrayente, cualquiera que sea su forma. Como son mas complicadas, sin embargo, se usan solo en ciertos casos especiales que no dejan de ser Importantes, especificamente en problemas que requieren el calculo preciso de la gravedad normal.

Para ello, es necesario incluir las coordenadas elipsoidales (µ, , )λ θ (Ffg. 114). En un sistema rectangular, el punto P tiene las coordenadas x,y,z. Ahora pasamos por P la superficie de un elipsoide de revolución cuyo centro es el origen O, cuyo eje coincide con el eje z y cuya excentriciflad lineal tiene un valor constante E. La coordenada µ es el semieje menor de este elipsoide, θ es el complemento de la latitud reducida" de P con β respecto a este elipsoide (su definición puede verse en 1a ,f1g. 114), y es λ la longitud geocéntrica en el sentido normal de la palabra. estas coordenadas(µ, , )λ θ estan especialmente adaptadas a un elipsoide de revolución; son distintas a las coordenadas elipsoidales de Lame que hacen referencia a un elipsoide de tres ejes diferentes. Por este,motivo nuestras armónicas elipsoidales son diferentes a las de Lame, las cuales son menos adecuadas para los problemas geodésicos.

Las coordenadas elipsoidales (µ, , )λ θ estan relacionadas con x. y,z por medio de las ecuaciones

x= 2E2 sen θ cosλ

x= 2E2 sen θ sen λ 1103

z= cos θ

que pueden leerse de la figura, considerando que 2E 2 es el semieje mayor del elipsoide cuya superficie pasa por

P.

Si tomamos µ= const, hallamos

x2y2

2E2

z2

2

que representa un elipsoide de revolución. Para = const.θ Obtenemos

Ck=R α2−α1

2 Gπ [ J ψ2 −J ψ1 ]

lo cual representa un hiperboloide de una hoja, y para = const. obtenemos el plano meridianoλ

La distancia focal constante E = OF1, la cual es igual para todos los elipsoides µ= const. caracteriza el sistema de coordenadas. Para E = O tenemos las coordenadas esféricas usuales µ=r λθ como caso limite.

Para hallar el elemento de arco expresado en coordenadas elipsoidales se procede de la misma forma que con las coordenadas esféricas, ec. (138) y se obtiene,

ds=u2E2 cos2 θ

u2E2 du2

u2E 2cosθ dθ2

u2E2

sen 2 dθ λ2 1104

El sistema de coordenadas (µ, , )λ θ es aqui también ortogonal: los productos du, d ,etc.θ hacen falta en la ecuación para ds. Si aplicamos =q2,µ=q1, =q3 θ λ tenemos en (139)

h12=

u2E 2cos2θ

u2E2 , h

22=u2E 2 cosθ , h

32=u2E2

sen 2θ

Sí sustituimos esto en (140) obtenemos

V=1

u2E2 cos2θ senθ {

∂

∂u [u2E2

senθ ∂V∂ u ]

∂

∂θsen θ ∂V

∂ θ

∂

∂λ [u2E2 cos2 θ

u2E2

senθ∂V∂λ ]}

Si efectuamos las diferenciaciones y suprimimos el factor común sin , obtenemosθ

V=1

u2E2 cos2θ [u

2E 2

∂

2V

∂ u22u ∂V

∂u∂

2V

∂θ2cot θ ∂V

∂ uu2E2 cos2θ

u2E2

sen2θ

∂2V

∂λ2 ](1105)

que es la ecuación de Laplace expresada on coordenadas elipsoidales. Se obtiene una expresión alterna haciendo caso omiso del. factor u2

E2 cos2θ −1

0=[u2E2

∂

2V∂u2

2u ∂V∂u∂

2V∂θ2

cot θ ∂V∂uu2E2 cos2 θ

u2E2

sen2θ

∂2 V∂λ2 ] 1105´

En el caso limite E0, estas ecuaciones se reducen a las expresiones esféricas (141) y (141').

120 Armónicas Elipsoidales

Para resolver (i105) o (l105'l procedemos de manera totalmente ana1oga al método utilizado para resolver la ecuación correspondiente (141') en coordenadas esféricas. Los pasos podrán resumirse de la siguiente manera. Por medio de una sustitución tentativa

V(r λθ)=f(r)g(θ)h( )λ

separamos 1as variables(r λ ) θ para descomponer la ecuacion diferencial parcial original (141') en tres ecuaciones diferenciales regulares (143), (149) y (150).

Para resolver la ecuación dé Laplace; en coordenadas elipsoidales (1105') hacemos la respectiva sustituccion tentativa

V(µ λθ)=f(µ)g(θ)h( ) (1106)λ

Sustituyendo y dividiendo por fgh obtenemos

0=[u2E 2

f ´´2 uf ´ 1gg ´´gćot θ

u2E2 cos2 θ

u2E2

sen2 θ

h ´´h ]

La variable λ solo ocurre por el cociente h"/h, que por consiguiente deberá

ser constante._ 1esto resulta mas claro si escribimos la ecuación en la forma

u2E2

sen2θ

u2E2 cos2 θ {

1fu2

E2 f ´´2 uf ´

1g g ´´g ćot θ }=

h ´´h

El lado izquierdo .depende solamente de µ y y el ladoθ derecho solamentede Los dos lados no pueden ser exactamente iguales λ a menos que ambossean iguales a la misma constante.

h ´´h=−m2

El factor por el que se multiplica h"/h puede descomponerse de la. siguiente manera:

u2E2

cos2θ

u2E 2 sen2θ

=1

sen2 θ−

E2

u2E2

,:

Si insertamos las ultimas dos expresiones en la ecuación anterior y combinamos

las funciones de la misma variable obtenemos

'1fu2

E 2 f ´´2 uf ´

E2

u2E 2 m2

=−1g g´´g ćot θ

m2

sen2θ

Los dos lados son funcionas de diferentes variables independientes y por lo tanto deben ser constantes. Si denotamos dicha constante por n(n+1) obtenemos finalmente . '

u2E2

f ´´ u 2 uf ´ u −[n n1 −E2

u2E 2

m2] f u =0 (1107)

sen gθ ´´ θ cos gθ ´ θ −[nn1sen θ−m2

sen θ ]gθ =0 (1108)

h ´´ λ m2h λ =0 (1109)

Estas son las tres ecuaciones diferenciales regulares en que se descompone la ecuacion diferencial parcial (1105) mediante la separacion de variables (1106)

La segunda y tercera ecuaciones son las mismas que en el caso esférico, ecuaciones, (149) y (150); la primera ecuación es diferente. las sustituciones

t=cosθtransforman 1a primera y segunda ecuaciones en

1−r 2 f ´´r 2 rf ´ r [n n1 −

m2

1−r2 ] f r =0

1−t2 f ´´ t 2 tf ´ t [n n1 −

m2

1−t2 ] f t =0

en donde la raya inidica las funciones f y q están expresadas en términos de los nuevos argumentos r y t. Por las armónicas esféricas ya estamos familiarisados con la sustitución t =cos y con la ecu.icion correspondienteθ para g(t) en donde t=cos , las Qmn(t)θ "^fr) se cancela" por razones obvias, como hmos visto en la sección 112.Para f(r), sin embargo , ambos grupos de funciones Pnm( ) y Qnm(r) son posibles soluciones; corresponden a1as dosλ soluciones diferentes, f = rn y f = r−1 n1 en el caso esférico. . , .

Finalmente, (11.09) tiene como antes las soluciones cos(m ) y sen(n ).λ λ

Resumimos todas las soluciones individuales:

f u=Pnm iuE óQnm / ii

uE

g u=Pnm cosθ ;

hλ =cos m ó senmλ

aqui n y m < n son números enteros 0,1,2,...., como antes. Por lo tanto, las funciones

v u ,θ ,λ =Pnm iuE Pnm cosθ {cosmλ , senmλ }

v u ,θ ,λ =Qnm iuE Pnm cosθ {cos mλ , senmλ }

son soluciones de la ecuación de Laplace V=0

es decir, funciones armonicas. Con estas funciones y mediante

combinaciones lineales pdtemos formar' la Serie

V νθλ =∑n=0

m

∑m=0

n

pnm iuE / Pnm (anmPnm(cos )cosm +hnmPnm(cos )senm );θ λ θ λ

V νθλ =∑n=0

m

∑m=0

n

pnm iaE / pnmi

bE

Aquí b es el semieje menor de «n elipsoide arbitrario pero fijo que podra llamarse el elipsoide de referencia (fiq. 115). La división por Pnm(ib/E) Qnm(ib/E) es posible por ser constantes; su proposito es simplificar 1asexpresiones y lograr que los coeficientes anm y bnm seran reales.

SI la excentricidad E se reduce a cero, las coordenadas elipsoidales se convierten en coordenadas esféricas el elipsoide u = b se convierten en _la. esfera r = R [porque entonces los. semiejes a y. b sera'n jguales al radio R); y hallamos

lim E−¿ 0

Pnm

Pnm

=

iuE

ibE

=ub

n

=rR

n

, lim E−¿ 0

Qnm

Qnm

=

iuE

ibE

=rR

n1

de manera que la serie (lll1)convierte en (l87a), y (1lllb) se convierte en (187) Por consiguiente, vemos que la

fuincion Pnm(iu/E)corresponde a

n

ralignl ¿ ¿¿

¿

y Onm(iu/E) corresponde.' a r−1 n1 en las armónicas esféricas.

Por lo tanto la serie (1111a) es armonica en ele interior del elipsoide a=b, y la serie (1111b)es asrmonica en su exterior; este caso es pertinente a la geodesia:

Para u=b, las dos series son iguales:

∑n=0

m

∑m=0

n

[anm pnm ] co cos mλbnm Pnm cos θ senmλ (1113)

» Ü RIO

De manera que 1a solución de1 problema de los valores limites de Dirichlet para el elipsoide revolucion es sencilla, desarrollamos la funcion (b,µ, ) , dada en el elipsoide uλ = b, para formar una serie do armonicas esféricas de superficie con los siguientes argumentos:

= complemento de latitud reducida, θ =longitud geocéntrica. De modo que (lllla) es la solución del problema interiorλ y (1111b)es la solución del problema extenor do Dirichlet.

La fo'rmu1a [1113) muestra quye no solo pueden desarrollarse las funciones que se definen en la superficie para formar una sene de armonicas esfericas de superficie. También es posible desarrollar funciones mas bien arbitrarias definidas en una superficie convexa.

46Cabe hacer notar que en las armonicas esféricas, es la distancia.polar, t no es mas que el complemento de la Iatitudθ geocentrica, mientras_que en las armonicas elipsoidales, es el complemento de la latitud reducida..θ

2

EL CAMPO DE GRAVEDAD DE LA TIERRA

21. gravedad.

La fuerza que activa sobre un cuerpo en reposo que se halla sobre la superficie, de la. tierra. es_ la_suma _ vectorial de 1a fuerza gravitacional y la fuerza centrifuga de la rotacion de la tierra.Tomemos un sistema de coordenadas rectangulares donde el origen es al centro de gravedad de la tierra y el eje z coincide con el eje medio de rotación de la tierra (Fig. 21). Los ejes x,y,z se escogen de tal manera que se obtiene un sistema de coordenadas dextrorso: de 1o contrario son arbitrarios. Para mayor conveniencia podemos suponer que el eje x se halla paralelo al plano meridiano de Greenwich (refierase a la sección 24).

.

La fuerza centrifuga f sobre una masa unitaria ésta representada por

f =ω ´ pen donde ω es 1a velocidad angular da 1a rotación de la tierra y

p= x2y2 (21)

es la distancia desde el eje de rotación. El vector f de esta fuerza tiene

misma dirección del vector

p= x , y ,0 y por lo tanto viene dado por

f =ω ´ p=ω2 x ,ω2 y . 0 22

La fuerza centrifuga puede deducirse tambien de un potencial

φ=12ω2 x2y 2

23

de manera que

f =grad φ≡∂φ∂ x∂φ∂ y

∂φ∂ z 24

Si insertamos (23) en (24), obtenemos (22)

La fuerza total, o sea la suma vectorial de 1a fuerza gravitacional y la Fuerza centrifuqa, se llama gravedad. El potencial de qravedad, W, es la suma de los potenciales de la fuerza gravítacional, V(lll) y la fuerzacentrffuga Ф:

W=W x , y , z =Vφ=k∭1

pl

dr ´12ω2 x2

y2 25

en dónde la integracicn se extiende por toda la tierra..

Al diferenciar (2.3) hallamos que

≡∂φ∂ x∂φ∂ y∂φ∂ z =2ω2 27

SÍ combinarnos esto con la ecuación de Poissón (l13) para V obtenemos la

ecuación generalizada de Poisson para el potencial de grayedad W:

W =+ 4πkp2ω2 (26)

Como Ф es una función analitica, las discontinuidades de W son las de V: algunas de las segundas derivadas tienen interrupciones en la discontinuidad de la densidad.

El vector de gradiente de W.

g=gradW≡ ∂W∂ x

∂W∂ y

∂W∂ z 27

con las componentes

g z=∂W∂ x=−k∭

1

x−ξp

pdvω2 x

gy=∂W∂ y=−k∭

1

y−ηp

pdvω2 y

gx=∂W∂ z=−k∭

1

x−ζp

pdv

se conoce como el vector de gravedad; es la fuerza total (fuerza gravitacional mas fuerza centrifuga) que actúa sobre una masa unitaria. Como es un vector tiene magnitud y dirección.

La magnitud g se denomina gravedad en el sentido mas estricto de la palabra. Tiene la dimensión fisica de una aceleración y se mide en gales (1 gal ='1 cm|i seg"2), en honor a Galileo Galilei. El valor numerico de g es de unos 973 gales en el ecuador y unos 983 gales en los polos. En geodesia frecuentemente conviene utilizar otra unidad el miligal, abreviado mgal (1 mgal = 1*103 gal).

La direccion del vector de gravedad es la. dirección de la línea de la plomada, ósea la vertical; como_es por todos conocido su importancia_es esencial para las mediciones geodésicas y astronómicas.

Ademas.,de 1a..fuerza centrffuga, hay. otra fuerza que actúa sobre_un...cuerpo en movimiento, la llamada fuerza .de Coriolis. Es proporcional .a 1.a _yelocidad con_respecto a la,tierra, de_manera que para lus cuerpos en reposo sobre la tierra viene a ser_cero. Como en la geodesia tratamos por lo general con instrumentos en reposo con respecto a la tierra, la fuerza de Coriolis no ejerce efecto a uno aquí 'y por lo tanto no es necesario tomarla en cuenta.

22. Superficies de Nivel y Líneas de la Plomada

Las superficies .

W x , y , z =W 0=const (2.9)

en 1as que e1 potencial W es constante, se denominan superficiales equipotenciales o superficies de.nivel.,

Si diferenciamos el potencial de gravedad W = W(x,y,z) hallamos que

dW=∂W∂ x

dx∂W∂ y

dy∂W∂ z

dz

Según la notación vectorial, utilizando el producto escalar, esto seria:

dW=gradWdx=gdx

en donde

dx= dx . dy . dz

Si se toma el vector dx a lo largo de la superficie equipotencial W = W0 entonces el potencial permanece constante y W=0, de manera que (210) se convierte en (212)

g*dx=0

SÍ e1 producto escalar de dos vectores es cero, entonces dichos. Valores son perpendiculares entre si. Esta ecuación expresa por lo.tanto, el. hecho por todos conocido de que el vector de gravedad es normal a la superficie equipotencial que.pasa por el mismo punto.

J

Como las superficies de nivel son, por asi decirlo, horizontales en todas partes, comparten el signi focado intiutivo y Fisico de 1a horizontal ; y comparten..tambien. la importancia geodesica de linea de la plomada por ser normales a ella.. Por eso comprendemos por que' se les da tanta importancia a 1as superficies equipotenciales.

La superficie de 1os océanos puede considerarse con cierta idealizacion, como parte de determinada superficie de nivel esta superficie equipotencial en particular Fue propuesto por C.F. Gauss, el "Principe de las Matemáticas", como la "figura matematica. de la tierra y mas adelante se le llamo geoide. Esta definición ha resultarlo sumamente apropiada, y todavia muchos la consideran como la superficie fundamental para la geodesia fisica.

Si observamos en la ecuación (25)el potencial de gravedad W, vemos que las superficies equipotenciales M(x,y,z) = WQ son bastante complicadas matematicamente. Las superficies de nivel que están completamente fuera de la tierra son por lo menos superficies analiticas, si bien no tienen ninguna expresión ana1itica sencilla, puesto que fuera de la tierra el potencial de gravedad es analitico. Eso no es cierto para el caso de las superficies del .nivel..que.se hallan parcial o totalmente dentro de la tierra, como el geoide por ejemplo Estas ultimas son continuas y "lisa'." (v.q. sin bordes), pero dejan de ser superficies analíticas; en la siguiente seccion veremos que la curvatura de las superficies de nivel interiores cambian en Forma discontinua segun la.densidad.

Las lineas que son nórmales a todas las superficies equipotenciales no se precisamente rectas sino 1iogeramente curvas (fig. 22). Se llaman lineasde fuerza o lineas de la plomada. El vector de gravedad en cualquier punto es tangente a la linea de la plomada en dicho punto, por tanto la "dirección del |vector de grvedad, la "vertical", y 1a dirección de la 1inea de la p1omadia son sinónimos. Algiunas veces la misma dirección se conoce la linea de la plomada".

La altura .H de.un .punto.sobre el nivel del mar, (denominada .tambien .la.altura .ortometrica). se mide a lo largo de la linea de la plomada curva, empezando en el geoide (fig. 22). Si tomamos el vector dx a lo largo de la linea de la plomada en la dirección en que aumenta la altura H, entonces su longitud es

∣dx∣=dH

y su dirección es contraria al vector de gravedad g, que apunta hacia abajo, de manera 'que el ángulo entre dx y g es de 180 Como

gdx=gdH cos gdx =gdh cos180=−gdH

de acuerdo con la definición del producto escalar, la ecuación (210) se convierte

dW=gdH (213)

Esta ecuaci'n relaciona la altura H con el potencial W y es esencial para la teori'a do la determinación e de la altura(capftulo 4). Muestra claramente la interrelacion inseparable que caracteriza a la geodesiala interrelacion de los conceptos geometricos (H) con los conceptos dinamicos (W)

Otra forma oe la ecuación (213) es:

g=−∂W∂H

(214)

muestra que la gravedad es el gradiente vertical negativo del potencial W, o sea 1a componenete vertical del vector del vector gradienteW.

Las mediciones geodesicas (mediciones con teodolito, nivelación, etc.) hacen referencia casi exclusivamente al sistema de superficies de nivel y de lineas de la plomada del que es parte importanteel geoide. Asi', pues, vemos porque se dice que el proposito de 1a geodesis fisica es determinar las superficies de nivel del campo de gravedad de la tierra, tambien puede decirse, en forma ma's abstracta pero equivalente, que e1 objetivo de la geodesia fisica es determinarla función potencial W(x,y,z). Tal vez.a primera vista e1 lector se sienta sorprendido por esta definición que Fue establecida por Bruns (1878), pero su significado no es difícil de comprender: si se expresa el potencial W como una función de las coordenadas x,y,z, entonces se conocerán todas las superficies de nivel, incluyendo al geoide, y estarán representadas por la ecuación.

W(x,y,z)=const

23. Curvatura de las Superficies de nivel y de las líneas de la Plomada

Recordemos la conocida formula para la curvatura de una curva y "=f(x). Es

k=1p=

y2

1y21 /2

en donde k es la curvatura, p el radio de la curvatura, y

y ´=dydx

, y ´´=d ´ y

dx 2

En el caso especial donde una paralela al eje x es tanqente en el punto P bajo consideración (fig. 23), y' = O, sencillamente se obtiene

k=1p=

Fydy2 |

Superficies de Nivel. Consideremos ahora un punto P en una superficie de nivel S. Traemos un sistema local de coordenadas x,y,z cuyo origen es P y cuyo eje z es vertical, esto es, normal a la superficie S.(fig. 24). l.uecgo corta esta superf cié de nivel

w x , y , z =W 0

con el plano x,z haciendo que

y = 0

Si comparamos la fi 24 con la 23, vemos que ahora z toma el luqar de y. itanto, en vez de (215) para la curvatura de la intersección de la superficie nivel con.el plano xz tenemos:

K 1=d2 zdx 2

216 '

Si diferenciamos W(x,y,z) = Wo con respecto a x, y considerando que y es cero y z ,una funcion de x. obtenemos

W zW zdzdx=0

W z2WzdzdxW z

dzdx2W z

d2 zdx2=0

en donde los subíndices denotan la diferenciación parcial

W x=∂W∂ x

, W xx=∂

2W∂ x∂ z

, .. . .

Como el eje x es tangente en P, entonces dz/dx = O en P. de modo que

d2 zdx2=

W xx

W x

Como el eje z es vertical, tenemos, según (214),

W z=∂W∂ z=∂W∂H

=−g

Por lo tanto (216) se convierte en

K 1=W xx

g217

La curvatura de la intersección de la ^pprficie denfvel con el plano yz se determina reemplazando x por y;

K 2=W yy

g218

La curvatura media J de una superficie en el punto P se define cono la media aritmética de las curvas de las curvas en donde los planos perpendiculares entre si a traves de la normal a la superficie intersectanla superficie fig (25)Por consiguiente hallamos

J=−12

K 1K 2=−W xxW yy

2g

Aunque el signo negativo es solamente una regla convencional. Esta es una expresión para la curvatura media de la superficie de nivel,

Mediante la ecuación generalizada de Poisson

W ≡W xxW yyW zz=−4πkp2w2

hallamos

−2 gJW xx=−4πkp2w2

Considerando

W z=−g z W zz=−

∂ g∂ z=−

∂ g∂H

Finalmente obtenemos

∂ g∂H

=−2 gJ4 pπ −2w2

Esta ecuación importante que relaciona el gradiente vertical de la gravedad con la curvatura media de la superficie de nivel,tambien fue desarrollado por Bruns (1878).Es otro ejemplo notable de la interrelacion de los conceptos geometricos con los dinámicos en la geodesia.

líneas de la Plomada. La curvatura de una linea de la plomada es necesario para la reduccion de las observaciones astronomicas al geoide.

Una línea de la plomada se define como una curva cuyo vector de elemento

dx= dx . dy ,dz

tiene la dirección de gravedad

g−W xx , W yy , W zz

es decir, que dx y g solamente difieren por un factor de proporcionalidad.

se expresa mejor en la forma

dxW x

=dyW y

=dzW z

221

En el sistema de coordenadas de la fifí 24, la curvatura de la proyeccion en el plano xz de la línea de la plomada viene dada por

y=d 2 xdz2

esta es la ecuación (215) aplicada al caso que se esta considerando. Segun (221) tenemos

dxdz=

W x

W z

Diferenciamos con respecto a z considerando que y =.0:

d 2x

dz2=

1

W 2 [W z W xxW zzdxdz −W z W zzW zz

dxdz ]

En nuestro sistema de coordenadas en particular el vector do gravedad coincide con el eje z, por lo que sus componente x y y, son.cero:

W z=W x=0

La Fig. 24 muestra que tambien tenemos

dzdx=0

Por consiguiente.

d2 xdz2

=W x W xx

W2

z=

W zx

W z

=W xz

W z

Considerando Wz = g, Finalmente obtenemos

k1=1g∂ g∂ x

(222a)

y en fonna similar,

k2=1g∂ g∂ y

(222b)

Estas son las curvaturas de las proyecciones de la linea de la plomada en e1 plano xz y yz, siendo el eje z vertical, es decir que coincide con e1 vector de gravedad.

Se conoce la curvatura total k de la linea de la plomada, de acuerdo con la geometría diferencial, aplicando

k=k12k2

2=

1g

gx2gz

2 (223)

Para reducir las observaciones astronómica;; (Sec. 56) solamente se necesitaran las curvaturas de la proyección {222a,b}.

Finalmente, 1as diversas formulas para la curvatura de superficies de nivel y de las lineas de la plomada son equivalentes a la ecuación de un solo vector

gradg=−2 gJ4πkp−2w2ngn1 (224)

en donde n es ei vector unitario a lo largo de la linea de la plomada (su vector tangente unitario) y n1 es el vector

unitario a lo largo de la normal principal ala linea de la plomada.

Esto puede comprobarse fácilmente. En el.sistema xyz local utilizado, tenemos

n = (0,0,1),

n1=(cos ,sen ,(1) α α

en donde es el ángulo entre la normal principal y el eje x(Fig. 26) La componente Z de 224 resulta en la ecuaciónα

de Bruns (220), y las componentes horizontales resultan en

∂ g∂ x=gk cos α ,

∂ g∂ y=gksenα

La ecuac.ion generalizada de Bruns.

57Estos son idénticos a (222a,b)puesto que K1=K cos y K2=K sen , tal como lo demuestra la geometria diferencial.α α La ecuación 224 se conoce como la ecuación generalizada de Bruns

En las publicaciones de Marussi (1949) y de Hottine [1957) podra hallarse mas información acerca de las propiedades de la curvatura y de 1a geometría interna" del campo gravitacional.

24. Coordenadas Naturales

El sistema de superficies de nivel y de líneas de la plomada puede usarse como un sistema tridimensional curvilíneo de coordenadas, el cual resulta adecuado para algunos propósitos; estas coordenadas pueden medirse directamente, todo lo contrario de las coordenadas rectangulares x,y,z.

La dirección del eje de rotación de la tierra y la posición del plano ecuatorial (normal al eje) están bien definidas astronómicamente. La latitud geográfica Ф de un punto P en el ángulo entre la vertical (dirección de la línea de la plomada) en P y el plano ecuatoria1 (Fig. 27). Consideremos ahora un recto a través de P y paralela a1 eje de la tierra. Esta paralela y la vertical en P definen conjuntamente el plano meridiano de P. 'El ángulo entre estar plano meridiano y el plano meridiano de Greenwich (o algún otro plano fijo) constituye la longitud geográfica de Pλ

Definición de las coordenadas geográficas Ф y de P por medio de una esfera unitaria con centro en P. La 1ineaλ PN paralela al eje de rotación, el plano GPF normal a1 mismo, es decir paralelo al plano ecuatorial: n es e1 vector unitario a lo largo do la línea de la plomada; el plano NPF es el plano meridiano de P, y el plano NPG es para1elo al plano meridiano de Greenwich.

Las coordenadas geográficas, latitud Ф y longitud , forman dos de las tres coordenadas espaciales de P. Comoλ tercera coordenada podemos tomar la altura ortométrica H de P o su potencial W. El numero geopotencial c = W0W es equivalente a W, en donde W0 es el potencial del geoide. La altura ortométrica H se definió en la sección 22; vease también la figura 22; Las relaciones entre W, C y H están dadas por las ecuaciones

W=W 0−∫0

H

gdH=W 0−C

C=W 0−W∫0

H

gdH

H=−∫W 0

WdWg=∫

0

CdCg

que resultan de la interseccion de (213). La integral se toma a lo Largo de la linea de la plomada del punto P, empezando en el geoide,(H=0,W=W0)

Las cantidades

Ф, ∆, W o Ф, ∆, H

se conocen como las coordenadas naturales.

A continuación se muestra c'mo estan relacionadas con las coordenadas rectangulares geocéntricas x.y.z de la seccion 21, siendo el eje x paralelo al plano meridiano de Greenwic

Observando la Fig. 27 podemos apreciar que el vector unitario de 1a vertical n tiene los co.ponentes xyz

n= cosφ cosφ ,cosφ sen senφ 226

se entiende que el vector de gravedad g es

g=W x ,W x , W z 227

Por otra parte, como n es el vector unitario que corresponde a g pero en dirección contraria, viene dado por

n=−g∣g∣=−

gg

:

de modo que

g=−gu

Esta ecuación, junto con (226) y (227) nos da

−W x=g cosφ cosΛ

−W y=g cosφ senΛ

−W z=gsenφ

Despejando y Ф tenemos finalmenteλ

φ=tan−1−

−W z

W z2W y

2

Λ=tan−1 W y

W x

W=W x , y , z

Estas tres ecuaciones relacionan las coordenadas naturales WΛφ con las coordenadas rectangulares x, y, z siempre y cuando se conozca la función W= W (x, y. z).

Vemos que ФH estan relacionadas conΛ x, y. z, y en una forma considerablemente mas complicada que las coordenadas esféricas de 1a sección 18. Nótese tambien que hay una diferencia de concepto entre la longitud geografica y laΛ longitud geocentrica . . .λ

2S. El Potencial de la Tierra en Términos de Armónicos Esféricas

Si obsérvanos en la expresión (25) el potencial de gravedad W, vemos que la parte mas difícil de tratar es el potencial gravítacional V, ya que el potencial centrífugo es una función analitica sencilla.

El potencial gravitacional V.podria manejarse mejor| para muichos propositos si tenemos presente el hecho de que es una_funcion armonica. fuera de las masa atrayentes y que por lo tanto puede desarrollarse hasta formar una serie de armonicas esfericas.

Determinamos ahora el valor de los coeficientes de esta serie. El potencial gravitacional V esta representado por la ecuación basica (111)

V=k∭dM

l 230

en donde ahora denotaremos el elemento de masa. por dM; la integral se extiende sobre toda la tierra. En esta integral insertamos la expresion (181)

1l=∑

n=0

∞ r ´ n

rn1pn cosψ

en donde P. son los polinomios de legendre convencionales, r es el vector radial del punto fijo p en el que se determinara V, r´ es el vector radial del elemento de masa variable dM y es el angulo entre r y r´ [Fig. 29).ψ

Como r es una constante con respecto ii la integración sobre la tierra, puede sacarse de la integral. De manera que obtenemos

r ´ n pn cosψ dM

V=∑n=0

∞ 1

rn1kalignl∭¿ ¿∫∫∫ ¿

Si escribimos esto en la forma usual como una serie de armonicas esféricas solidas,

V=∑n=0

∞ Y n θλ

rn1 231

vemos por comparación que la armónica esferica de superficie de Laplace Yn( , ) λ θ viene dada por

r ´ n pn cosψ d ´

Y θ ,λ =kalignl∭ ¿¿∫∫∫ ¿

232

y su dependencia de y se manifiesta a través del ángulo , dado queθ λ ψcosψ=cosθ cosθ ´senθ senθ cosλ ´−λ (233)

Las coordenadas esféricas se definieron en la sección 18.

Se puede obtener una forma mas explicitá utilizando la formula de descomposición (183´):

1l=∑

n=0

∞

∑m=0

n 12n1 [

Rnm θλ

rn1r ´ n Rnmθ ´,λ ´

Snm θλ

rn1r ´ n Snm θ ´,λ ´ ]

Si insertamos esto en la integral (230.) y sacamos los términos que dependen de r, , ,θ λ obtenemos(234)

V=∑n=0

∞

∑m=0

n

[ Anm

Rnm θλ

rn1Bnm

Snmθλ

rn1 ] 234

Figura 29

en donde los coeficientes constantes A y B están representados por

2n1Anm=k∭tierra

r ´ n Rnm θ ´ λ ´ dM 235

2n1Bnm=k∭tierra

r ´ n Snm θ ´ λ ´ dM

Estas Formulas son muy simetricas y fáciles de recordar: el coeficiente multiplicado por 2n + 1. de la armónica solida

Rnm θλ

rn1

es 1a Integral de la armónica solida

Hay una relación similar que es valida para Snm

Como el elemento de masa es

dM= pdx ´ dy ´ dz ´= pr ´ 2 senθ ´ dr ´ dθ´ dλ´ (236)

La determinación misma del valor de las integrales requiere que la densidad p este expresada como una función de r´ , ´, ´.Aunque en la actualidad no se dispone de dicha expresión, esta no afecta la importancia teórica y practica de lasλ θ armonicas esféricas ya que los coeficientes Anm y Bnm pueden determinarse| con los valores limites de la gravedad en la superficie de la tierra. Este es un problema de valores limites que esta relacionado con los conceptos desarrollados en las secciones 116 y 1L7 y que mas adelante se explicarán en detalle.

Si recordamos 1as aplaciones (173) y (178) entre las armónicas esfericas completamente normal izadas y la'; convencionales, es posible escribir las ecuaciones (234) / (235) en terminos de armonicas convencionales, obteniendo asi:

(237)

V=∑∑ [AnmRnm θλ

rn1 BnmSnm θλ

rn1 ] en donde

Ano=K∭ rn pn cos θ dM

Anm=2n−m !nm !

λ∭rn Rnm θλ dM (2.38) cuando m es diferente de cero

Bnm=2 n−m ! nm !

λ∭r n Snmθλ dM

Estas formulas no son tan simetricas como las formulas correspondientes(235).Con respecto a la dinamica de los satelites, el potencial V se expresa a menudo de la forma.

V=Mλr {1−∑n=1

n

∑m=0

n

ar

n

U nm Rnm θλ K nm Snm θλ } 2.39

En donde a es el radio ecuatorial de la tierra, de manera que.

Anm=−KMan J nm

Bnm=−KMan K nm

n diferente de cero 2.40

Los coeficientes completamente normalizados correspondientes

Jn0=1

2n1Jn0

{J nm

K nm}=

nm !2 2n1 n−m ! {

Jnm

K nm} m sea dif de cero (241)

Tambien se utilizan .

Es obvio que faltarian los términos no zonales (m diferente de 0) en todos estos desarrollos si la tierra tuviera una simetría de revolucion total, puesto que los términos mencionados dependen de la longitud. En cuerpos rotacionalmente simétricos no hay dependencia de lamda porque todas lan longitudes son equivalentes. Las armónicas teserales y sectoriales serán, no obstante, pequeñas puesto que las desviaciones de la simetría de revolución son triviales.

Finalmente analicemos la convergencia de (234) o de desarrollos en series equivalentes del potencial de la tierra. Esta serie es un desarrollo por potencias de 1/r. Por consiguiente, cuando mas grande sea r tanto mejor la convergencia. Para r mas pequeños no es necesariamente convergentes. En el caso de un cuerpo arbitrario, puede demostrarse que el desarrollo de V en armónicas esféricas es siempre convergentes fuera de la esfera mas pequeña r=r que encierra elο cuerpo totalmente. Dentro de esta esfera, la serie es por lo generalmente divergente. En algunos caso puede ser parcialmente convergente dentro de la esfera r=r . Si la tierra fuera un elipsoide homogéneo con aproximaciones lasο mismas dimensiones, entonces la serie para V seria en efecto convergente en la superficie de la tierra. Dadas las irregularidades de la masa, sin embargo la serie del potencial real V de la tierra deberá considerarse divergente en su superficie. Esto afecta el significado practico del desarrollo armónico de V para la geodesia terrestre; no obstante, además de su valor teórico tiene un gran uso practico en la dinámica de los satélites.

No es necesario recalcar que el desarrollo armónicos esféricos, expresando siempre una función armónica, puede representarse solamente el potencial afuera de las masa atrayentes, nunca dentro de las mismas.

ARMONICAS DE GRADO INFERIOR

Resulta ilustrativo determinar en forma explicita el valor de los coeficientes de las primeras armónicas esféricas.

Para referencia rápida establecemos el primero algunas funciones armónicas convencionales Rnm y Snm, utilizando (158)(161):

R00=1R10=cosθR11=senθ cosλ

R20=3 /2 cos2θ−1 /2R21=3 senθ cosθ cosλ

R22=3 sen2θ cosλS00=0S10=0S11=senθ senλ

S20=0S21=3 sen θ cosθ senλ

S22=3 sen2θ sen2λ

2.42

Las armónicas sólidas correspondientes rnRnm y rnSm son sencillamente polinomios homogéneos expresados en x, y,z. Po ejemplo,

Ecuación r2 S22=6r2 sen 2θ sen λ cosλ=6rsen θ cosλ rsenθ senλ =6 xy

En esta forma hallamos

R00=1rR10=z

rR11=senθ cosλ

rR20=1 /2x2−1 /2y2

z2

rR21=3 xz

rR22=3x2−3y2

S00=0rS10=0rS11=y

rS20=0rS21=3 yzrS22=6 yz

343

Si sustituimos estas funciones en la expresión (238)para los coeficientes Anm y Bnm, obtenemos para el termino de cero grado.

Ano=k∭ dM=kM 244a

Es decir el producto de la masa de la tierra por la constante gravitacional.Para los coeficientes de primer grado obtenemos

Ecuación

Ano=k∭ z dM An=k∭ x dM Bn=k∭ y dM 244a

Y para los coeficientes de segundo grado

A=12

k∭ x2y2

z2 dM

A=12

k∭ x ´ z ´ dM B=k∭ y ´ z ´ dM 244c

A=12

k∭ x2−y2 dM B=

12

k∭ x ´ y ´ dM

De acuerdo con la mecánica sabemos que

ξ=1M∭

x ´ dM η=1M∭

y ´ dM ζ=1M∭

z ´ dM 245

Son las coordenadas rectangulares del centro de gravedad. Si el origen del sistema coordenadas coincide con el centro de gravedad entonces estas coordenadas y por tanto las integrales (244a)son cero. Si el origen r=0 es el centro de gravedad de la tierra, entonces no habrá términos de primer grado en el desarrollo armónico esférico del potencial V. esto es por consiguiente también cierto para nuestro sistema de coordenadas geocéntricas.Las integrales

∭ x ´ y ´ dM ∭ y ´´ z ´ dM ∭ z ´ y ´ dM

Son los productos de inercia. Serán cero si los ejes de las coordenadas coinciden con los ejes principales de inercia. Como el eje z es idéntico al eje medio de rotación de la tierra, el cual coincide con el eje de máxima inercia, se anularan por lo meno el segundo y el tercero de estos productos de inercia. Por consiguiente A21 y B22 serán cero, peo no B22, el cual es proporcional al primer producto de inercia; B22 se anularía únicamente si al tierra tuviera una simetría de revolución total o si de por casualidad el eje principal de inercia coincidiera con el meridiano de Greenwich.

Las cinco armónicas A10, R11, S11, A21, R21 y B21, S21, todas armónicas de primer grado y las de segundo grado y primer orden que deben anularse de esta manera en cualquier desarrollo armónicos esféricos del potencial de la tierra, se conocen como armónicas esféricas o inadmisibles.

Si incluimos los momentos de inercia con respecto a los ejes x,y,z aplicando las definiciones por todos conocidas

A=∭ y2z2

dM

B=∭ z2x2

dM 246a

C=∭ x2y2

dM

Y denotamos el proucto xy de inercia, el cual no puede decirse que se anula, por

D=∭ x ´ y ´ dM 246b

Obtendremos finalmente.

Ecuaciones

A00=kM

A10=A11=B11=0

A20=k AB2

−C

A21=B21=CA22=1 /4k B−AB22=1/2 kD

247

Supongamos ahora que los ejes x y y coinciden con los respectivos ejes principales de inercia de la tierra. (Esto es teóricamente posible ya que en la actualidad los ejes principales de inercia de la tierra solo se conocen aproximadamente). Luego B22=0, y teniendo en cuenta (242) podemos escribir explícitamente

V=kMr

k

r3 [12C−

AB21−3 cos2θ 3 /4B−Asen2θ cos2λ ]0

1

r4 248

En el caso de las coordenadas rectangulares s e supone la forma simétrica.

V=kMr

k2r3 [BC−2A x2

CA−2B y2 AB−2C z2 ]0

1

r 4

248´

Que se puede obtener fácilmente si se toma en cuenta las relaciones (136)entre las coordenadas rectangulares y las esfericas.

Los términos de orden superior a 1/r³pueden omitirse en el caso de distancias mayores (digamos para la distancia a la luna)de amnera que tanto (248) como (248´), pasando pr alto los terminos de orden superior 0/(1/r4) resultan apropiados para muchos propósitos astronomicos. En el caso de distancias planetarias, aun el primer termino,

V=kM/r

Es por lo general suficiente; representa el potencial de una masa puntual. Por lo tanto, para distancia muy grandes, todos los cuerpos actúan como masas puntuales.

Si se usa la forma (239)del desarrollo armonico esferico de V entonces los coeficientes de orden inferior se obtienen aplicando (240)y (247)hallando que

J10=J 11=K11=0

J 20=

C−AB

2

Ma2

J 21=K 21=0AB4 Ma2

K 22=−D

2 Ma2

J22=¿¿

¿

¿

La primera de estas formulas muestra qu la suma de una sucesión en (239 normalmete empieza con n=2, las otras realcionan los coeficientes de segundo grado con la mas y los momentos y productos de la inercia de la tierra.

La notación 0(1,r4) se refier a los termino del orden de 1/r4

EL CAMPO DE GRAVEDAD DEL ELIPSOIDE DE NIVEL

Como una primera aproximación,la tierra puede considerarse como una esfera; como una segunda aproximación puede considerarse un elipsoide de revolucion. Aunque la tierra no es un elipoide exacto, el campo de gravedad de un elipoide tiene una gran importancia practica porque es mas facil de manejar matemáticamente y las diferencias entre el campo real de gravedad y el campo normal elipsoidal son tan pequeñas que pueden considerarse lineales. Esta division del campo de gravedad de la tierra en uno normal y un campo pequeño pertubador restante simplifica considerablemnte el problema de su determinación; el problema difícilmente se podria resolver de otra forma.

Por lo anto suponemos que la configuración normal de la tierra es un elipsoide de nivel, es deci, un elipsoide de revolucion que es una supeficie equipotencial de una campo de gravedad normal. Esta hipótesis es necesaria porque el elipsoide ha de ser la forma normal de geoide, el cual es una superficie equipotencial del campo real de la gravedad. Si denotamos el potencial del campo de gravedad normal por

U=U(x,y,z)

Vemos que el elipsoide de nivel, siendo este una superficie U=const, corresponde exactamente al geoide, definido omo una superficie W=const.

Lo importante aquí es que al por sentado que el elipsoide dad es una supeficie equipotencial del campo de gravedad normal, y al suponer que la masa total es M, determinamos de una manera completa y exclusiva el potencial normal U. La distribución detallada de la densidad dentro del elipsoide, la cual origina el potencial U, es de poca importancia y no es necesario conocerla.

Esta determinación resulta posible por el teorema de Stokes. Originalmente se demostro que era solamente valida para el potencial gravitacional V, pero tambien puede aplicarse al potencial de gravedad.

U=V1 /2ω2 x2y2

Si se conoce la velocidad angular w. La prueba se deduce de la seccion 17 con ciertas modificaciones como es obvio. Por lo tanto, la funcion potencial normal U(x,y,z) se determina completamente por medio de:

1. La configuración del elipsoide de revolucion, es decir, sus semiejes a y b.2. La masa total M3. La velocidad angular.

Ahora efestuaremos los calculos detalladamente. El elipsoide dado So

x 2y2

a2 z2

b2=1 251

Es por definición una superficie equipotencial

U x , y , z =Uo 252

Se considera el elipsoide So como el elipsoide de referencia u =b. En este capitulo y los siguientes denotaremos las coordenadas elipsoidadles por ´´reservando el símbolo para la distancia polar esferica. Esta distinciones necesariaθ θ θ porque tanto como ´´se usaran en el mismo contexto. Ademas usaremosθ θ

β=90−θ

Es al latitud reducida muy utilizada en la geodesia geométrica

Como la parte gravitacional V del potencial normal U es armonica fuera del elipsoide So, usamos la seri 1111b el campo b tiene simetría de revolucion y pr consiguiente no depende de la longitud landa, Por lo tanto todos los terminos que no sean razonables y dependan de landa deben ser cero.

Por lo tanto el potencial de gravedad normal total puede expresarse

U u , β =∑Q i

ub

Q ibp

AnPn senβ 1 /2ω2u2E2

cos2β

En el elipsoide So tenemos que u=b y U=Uo, por consiguiente

Uo=∑ AnPn sen β 1 /2ω2b2E 2

cos2 β

Esta ecuación debe ser valida para todos los puntos de So, es decir, para todos los vslores de beta , como

b2E2

=a2

cos2β=2 /31− psen β

Tenemos que

∑n=0

∞

AnPn senβ 1 /3ω2 a2−1 /3ω2 a2 P2sen β −Uo=0

del desarrollo de la anterior concluimos:

V u ,β =Uo−1 /3ω2 a2

QoiuE

Qo i bE 1 /3ω2 a2

Q2iuE

Q2i bE

p2 senβ 256

Esta formula es esencialmente la solución del problema 'de Dinctilet para elelipsoide de nivel, pero podemos darle fnrmas mucho ina's convenientes.Como

De acuerdo con las expresiones (136) para las coordenadas esféricas y con las ecuaciones (1103) para las coordenadas elipsoidales, hallamos

x2y2

z2=r2

=u2E2 cos2 β

de modo que para los valores

grandes de r tenemos

1u=

1r0

1

r3

tan−1 Eu=

Er0

1

r3

Para distancias r muy grandes, el primer termino en"(259) es dominante, de modo

que asintoticamente

. V=U 0−13

w2 a2 E

tan−1Eb

1r0

1

r3 Según la sección anterior sabemos que

V=KM

r0

1

r3 |

La comparación de estas dos expresiones muestra que.

KM=U0−13

w2 a2 E

tan−1Eb

260

U0=KME

tan−1 bb

13

w2 a2

san las relaciones deseadas entre la masa M y e1 potencial U0

Estas relacionas pueden sustituirse en la expresión para V dada por (259) yP2 expresarse como

p2 sen β =32

sen2 β−12

Fina1mente si agregaramos e1 potencial centrifugo Ф (255), obtenemos el potencial de la gravedad normal U

U u ,3 =KME

tan−1 Eu

12

w2 a2 qq sen2β−

13

12

w u2E2

cos2β

Las únicas constantes que so presentan en esta formula son a, b, kM, y w.cüncuerria plenamente con el teorema f.tp Stokes.

28. Gravedad Normal

El elemento lineal expresado en coordenadas elipsoidales, esta dado por

dv2=w2 duw2

u2E2

dβu2E2

cos2β dx

en donde

w=u2E 2 sen2β

u2E2

263

Por lo tanto tenemos, junto con las lineas de coordenadas:µ = variable =const =constβ λ

= variable µ=const =constβ λ= variable µ=const =const λ β

Las componentes del vector de gravedad normal

=gradUΓ

A lo largo de estas líneas de coordenadas están dados por

γ=∂U∂su

=1W∂U∂u

γ=∂U∂sβ

=1

W u2E2

∂U∂ β

γ= ∂U∂sλ

=1

W u2E2 cosβ

∂U∂λ=0

La componente Yt es cero puesto que U no contiene . Esto tambien resulta obvio por la simetría de la revolucion.λ

A1 efectuar las diferenciaciones parcíales hallamos que:

−WγuKM

u2E 2

w2 a2 Eu2E 2

2 q ´q0

12

sen2β−16 −w2u cos2β

−wγβ= w2 a2

u2E2

qq0

w2u2E2senβ cosβ

en donde hemos usado

q ´=−u2E2

Edqdu=31 u2

E2 1− uE

tan−1 Eu −1

(267)

Nótese que que no significa dq/qu; esta notacion se ha adoptado del trabajo deHirvonen (1960), en donde q' es la derivada con respecto a otra variable independiente , que no estamos usando aqui"α

.Para el misino elipsoide de nivel S0 tenemos que u = b, y obtenemos.

γβ0=0 (26,8]

(Con Frecuencia denotaremos. 1as cantidades que hacen referencia a So por el subindice 0.) Esto también resulta evidente porque en S0 el vector de gravedad es normal a la superficie de nivel S0 . Por consiguiente, ademas de la componente tambiénλ la componente β es cero en el elipsoide de referencia u = b.1 _Los otros elipsoides coordenado', u x const. no son superficies equipotenciales U = const, de manera que en general lacomponente no sera cero.

Por lo tanto la gravedad total en el elipsoide. S0 que sencillamente denotaremos por γ, esta' dada por

\ γ=∣γa ,0∣=KM

a a2 sen2βb2 cos2β [1w2 a2 E

KM

q ´ 0

q0

12

sen2β−16 −

w2 a2 bKM

cos2β ]ya que las relaciones

u2E2

=b2E2

=a

w0=1ab2E2 sen2β=

1aa2 sen2βb2 cos2β

son validas en S0

Si Incluimos la forma abreviada2

m=w2 aalignl ¿¿

¿

bKM

¿

270

y la segunda excentricidad l La primera excentricidad es c = E/a.. La prima de e no denota diferenciación sino que sencillamente distingue la segunda excentricidad de la primera.

e ´=Eb=a2−b2

b 271

y eliminamos los terminos constantes al notar que

l=cos2βsen2 β

obtenemos

γ=KM

aa2 sen 2βb2 cos2 β [1m ´3

eq ´ 0

q0

sen2β1−m−m6

eq0 ´

q0cos2β ] 272

En el ecuador =0 hallamos.β

γ=KMab 1−m−

m6

eq0

q0 273:

(274)

en 1os polos ( =+90) la gravedad normal está representada porβ

γ0=KM

a2 1m3

eq0

q0 274

La gravedad normal en el ecuador a y la gravedad normal en el polo, b satisfacen a relaciónγ γ

a−b

aγb−γa

γ=

w2bγa1

e ´ q ´ 0

2q0 (275)

que deberá comprobarse por susutitucion. Esta es la forma inflexible de una formula aproximado importante publicada por Clairaut en 1738. Por ello se le conoce como el teorema de Clairaut. Su importancia se explica claramente en la sección 210.

Si comparamos la expresión (273) para γa y U. expresión (274) para γb con las cantidades encerradas con

paréntesis en la formula (272), vemos que es posible escribir γ en la forma simétrica

γ=aγb sin2βbγa cos2β

a2 sin2βb2 cos2β (276)

Finalmente, se incluye en el elipsoide la latitud geográfica, φ , que es el ángulo entre la normal al elipsoide y e1 plano ecuatorial (Fig. 211). Aplicando la conocida formula de la geodesia geométrica

tanβ=ba

tanφ (277)

obtenemos

γ=aγa cos2φbγb sin2 φ

a2 cos2 φb2 sin2φ(278)

Los calcu1os podrá efectuarlos el lector como práctica. Esta formula para 1a gravedad normal en el e1 elipsoide fue desarrollada por Somigliana (1929).

Concluiremos esta sección con observaciones sobre e1 gradiente vertical de 1a gravedad en e1 elipsoide de referencia ∂γ /∂ su=∂γ /∂ h . La formula de Bruns (220) aplicada al campo de gravedad normal en donde ρ =0; nos da

∂γ∂ h=−2 Jγ−2ω2 (279)

La curvatura media de1 elipsoide está dada por

J=12

1M

1N (280)

en donde M y N son los radios principales de curvatura M es el radio en la misma dirección que el meridiano, y N e1 radio normal de la curvatura, tomado en la misma dirección que el primer vertical. Adoptando geométrica 1as formulas

elipsoide de referencia U = Uo

Figura 211: Latitud geográfica (elipsoidal) φ , latitud geocéntrica δ , latitud reducida β y sus complementos para un punto P en el elipsoide.

M=c

1e' 2 cos2 φ

12

, N=

c

1e' 2 cos2φ

12

en donde

c=a2

b

es el radio de curvatura en el polo. El radio normal de curvatura, N, puede interpretarse geométricamente (Fig. 211), por lo que también se 1i? conoce como 1a "normal terminada por el eje menor" (Bomford. 1962, pag. 497).

29. Desarrollo del Potencial Normal en Armónicas Esféricas

Hemos hallado que el potencial gravitacional de la configuración normal de la tierra en términos de armónicas elipsiodales tiene 1a siguiente forma

V=KME

tan−1 Eu

13ω2 a2 q

q0

P2 sinβ (283)

Ahora deseamos expresar esta ecuación en términos de las coordenadas esféricas r ,θ ,λ

Primero tenemos que establecer una relación entre las coordenadas elipsoidales y las esféricas. Si comparamos las coordenadas rectangulares de estos sistemas de acuerdo con las ecuaciones (136) y (1103), obtenemos

rsinθ cosλ=u2E2 cosβ cosλ

rsinθ cosλ=u2E2 cosβ sinλ

r cosθ=usin β

Como la longitud λ es la misma en ambos sistemas, con estas ecuaciones podemos determinar fácilmente

cot θ=u

u2E 2

tanβ

r=u2E 2 cos2β

(284)

La transformación directa de (283) expresando u y β en términos de r y θ por medio de las ecuaciones (284) es sumamente difícil. Sin embargo el problema puede resolverse fácilmente en una forma indirecta.

Desarrollamos tan1(E/u) pira formar una serie exponencial conocida por

tan−1 Eu=

Eu−

13

Eu

3

15

Eu

5

−. .. (285)

Si insertamos esta serie en la formula (257)

q=12 [13

u2

E2 tan−1 Eu−3

uE ]

resulta, después de operaciones sencillas, en

q=2 [ 13 .5

Eu

3

−2

5. 7 Eu

5

3

7.9 Eu

7

−] (286)

Concretamente tenemos

tan−1 Eu=

Eu∑

n=1

∞

−1 n12n1

Eu

2n1

q=−∑n=1

∞

−1 n 2n2n1 2n3

Eu

2n1

Insertando esto en (283) obtenemos

V=kMu

kME ∑n=1

∞

−1n 1

2n1 Eu

2n1

−ω2 a2

3q0∑n=1

∞

−1 n 2n2n1 2n3

Eu

2n1

P2 sinβ

Si incluimos m. definido por (270), y la segunda excentricidad e' = E/b, hallamos

V=kMu∑

n=1

∞

−1 n kM2n1 E

Eu

2n1

[1−me'3q0

2n2n3

P2 sinβ ] (287)

Desarrollamos el potencial V en una serie de armónicas esféricas. Dada la simetría de revolución solamente habrán términos zonales, y dada la simetría con respecto al plano ecuatorial solamente habrá armónicas zonales pares. Las armónicas zonales de grado impar cambian de signo para las latitudes negativas y por lo tanto no se incluyen. En consecuencia, la serie tiene la forma

t V=kMrA2

P2 cosθ

r3 A4

P4 cosθ

r5 (288)

Luego tenemos que determinar los coeficientes A2 , A4 , .Para ello consideramos un punto sobre e1 eje de

rotación, afuera del elipsoide. Para dicho punto tenemos que β = 90°, θ = O°, y de acuerdo con (284), u = r. Luego (287)pasa a ser

V=kMr∑

n=1

∞

−1 n kME 2n

2n1 1−2n

2n3me '3q0

1

r2n1

y (288) toma la forma

V=kMr

A3

r3

A4

r5=

kMr∑

n=1

∞

A2n1

r2n1

Aquí hemos aplicado el hecho de que para todos los valores de nPn1 =1;

véase también la Fig. 18. Comparando los coeficientes, de ambas expresiones para V hallamos que

A2n=−1 n kME2n

2n1 1−2n

2n3me'3q0 (289)

Las ecuaciones (288) y (289) proporcionan 1a expresión deseada para el potencial del elipsoide de nivel como una serie de armónicas esféricas.

El coeficiente de segundo A2 es

A2=k A−C

Esto resulta de (247); tenemos que A = B por motivos de simetría. La C constituye el momento de inercia con respecto al eje de rotación, y A es el momento de inercia con respecto a cualquier eje en el plano ecuatorial. Usando n=1 en (289) obtenemos

A2=−13

kME 21−2

15me'q0

Comparando esto con la ecuación anterior, hallamos que

k C−A=13

kME 21−2

15me'q0 (290)

Por lo tanto la diferencia entre los momentos principales de inercia se expresa en términos de las "constantes de Stokes" a, b. M y ω .

Es posible eliminar qp de las ecuaciones (289) y (290), obteniendo

A2n=−1 n3 kME2

2n1 2n3 1−n5nC−AME 2 (291)

Si escribimos el potencial V en la forma

V=kMr [1−J2ar ]

2

P2cosθ −J 4ar 4

P4 cosθ −⋯

V=kMr [1−∑n=1

∞

J 2nar

2n

P2ncosθ ]luego J está dado por

J2n=−1n1 3e2n

2n1 2n3 1−n5nC−AME2 (292).

Aquí hemos incluido la primera excentricidad e = E/a. Para n = 1 esto resulta en la formula importante

J2=C−A

Ma 2 (292’)

que esta de acuerdo con 1as ecuaciones (249).

Finalmente observamos que al eliminar q0=1i

Q2i bE usando (290), y Uo (260) podemos escribir el desarrollo

de V en armónicas elipsoidales, ecuaciones (256), en la forma

V u ,β =iE

kMQ0iuE

15i2 E

k C−A−13

ME 2Q2iuE P2 sinβ (293)

Esto muestra que los coeficientes de las armónicas elipsoidales de los grados cero y dos son funciones de la masa y de la diferencia entre los dos momentos principales de inercia. La ana1ogía con 1os coeficientes armónicos esféricos correspondientes (247) es obvia.

210. Desarrollos en Serie para el Campo de Gravedad Normal

Como e1 elipsoide de la tierra es casi una esfera, las cantidades

E=a2−b2 , excentricidad lineal

e=Ea

, primera excentricidad (numérica),

e '=Eb

, segunda excentricidad (numérica), (294)

f =a−b

a, achatamiento

y los parámetros similares que caracterizan la desviación de una esfera, son pequeños. Por consiguiente, los desarrollos en serie en términos de estos parámetros o similares resultan convenientes para los cálculos numéricos.

Aproximación Lineal. Para que el 1ector pueda entender y aplicar las siguientes formulas prácticas, se considerará primero una aproximación que es lineal en el achatamiento f. Aquí tratamos con fórmulas particularmente sencillas y simétricas que también demuestran claramente la estructura de 1os desarrollos de orden superior.

Es conocido que el vector radial r de un elipsoide está dado aproximadamente por

r=a1− fsinφ (295)

Como veremos más adelante, la gravedad normal con la misma aproximación, puede escribirse

γ=γa 1 f∗sin2φ (296)

Para φ=±90 ° , en los polos, tenemos que a=b y γ=γb . Por tanto podemosescribir

b=a 1− f ,γb=γa1 f∗

y despejando f y f* obtenemos

f =a−b

a (297)

f∗¿γb−γa

γa

(298)

de manera que f es el achatamiento definido por (294), y f* es una cantidad análoga que podemos denominar el achatamiento por gravedad.

Con esta misma aproximación, (275) se convierte en

f f∗¿52

m , (299)

en donde

m=ω2 aγa

=

fuerzacentrifugaen elecuador

gra vedad enelecuador

(2100)

Este es el teorema de Clairaut en su forma original. Es una de las fórmulas más notables de la geodesia física: El achatamiento (geométrico) f (297) puede deducirse de f* y m, que son cantidades netamente dinámicas obtenidas mediante mediciones gravimétricas; es decir, que e1 achatamiento de la tierra puede determinarse de mediciones gravimétricas.

Obviamente la formula de Clairaut es solamente una primera aproximación y debe mejorarse incluyendo primero en f los términos elipsoidales de orden superior y, en segundo lugar, tomando en cuenta la desviación del campo de gravedad de la tierra normal. Pero e1 principio sigue siendo el mismo.

Desarrollo de segundo orden. Ahora desarrollaremos las formulas cerradas de las dos secciones anteriores para formar series de términos de la segunda excentricidad e’ y del achatamiento f, genera1mente hasta e ' 4of 2 inclusive.

Casi siempre se hace caso omiso do términos del orden de e '5 of 3 y superior.

Se empieza con la serie

tan−1 Eu=

Eu−

13

Eu

3

15

Eu

5

17

Eu

7

−,

q=2 [13⋅5 Eu

3

−25⋅7

Eu

5

37⋅9

Eu

7

−] ,

q '=6[13⋅5 Eu

2

−15⋅7

Eu

4

17⋅9

Eu

8

−]

(2101)

Las primeras dos series ya se han usado en la sección anterior; la tercera se obtiene incorporando 1a serie de tan−1 a la formula cerrada (267) para q’.

En el elipsoide de referencia So tenemos que u = b y

Eu=

Eb=e ',

De modo que

tan−1e '=e '−13

e' 3

15

e' 5 ,

q0=215

e' 31−67

e '2 ,(2102)

q ' 0=25

e' 21−37

e ' 2 ,

e ' q0

q0

=3137

e ' 2

(2103)

También necesitaremos la serie

b=a

1e' 2=a1− 1

2e' 2

38

e ' 4

Potencial y gravedad. Si sustituimos estas expresiones en las formulas cerradas (261), (273). (274) y (275) obtenemos hasta el orden e’4, inclusive:

potencial :

U0=kMb 1−1

3e '2

15

e ' 4 13ω2 a2 , (2104)

gravedad en el ecuador y en el polo:

γa=kMab 1−

32

m−3

14e ' 2 m , (2105a)

γb=kM

a2 1−m−37

e' 2 m , (2105b)

e1 teorema de Clairaut:

f f∗¿52ω2 bγa

19

35e '2 (2106)

La razón ω2 a /γa puede expresarse

ω2 aγa

=m32

m2 , (2107)

que es una versión más exacta de (2100).

De acuerdo con la ecuación (2l05a) hallamos

kM=abγa1 32

m3

14e ' 2 m

94

m2 , (2108)

que da como resultado la masa en términos de la gravedad ecuatorial. Por medio de esta ecuación podemos expresar 1a kM de 1a ecuación (2104) en términos de γa , obteniendo

U0=aγa1− 13

e ' 2

116

m15

e' 4−

27

e' 2 m114

m2 (2109)

Aquí hemos eliminado ω2 a2 sustituyéndolo por kMm/b.

Ahora podemos considerar la ecuación (278) para la gravedad normal. Con una operación simple obtenemos

γ=γa

1bγb−aγa

aγb

sin2φ

1−a2−b2

a2sin2φ

Se desarrolla el denominador para formar una serie binomia:

1

1−x=1

12

x38

x2

Luego se incluye 1a serie abreviada

a2−b2

a2 =e ' 2

1e ' 2=e '2−e ' 4 ,

bγb−aγa

aγa

=−e' 2

52

me ' 4−

137

e' 2 m154

m2

y, después de la sustitución, obtenemos

γ=γa [1−12

e ' 2

52

m12

e ' 4−

137

e' 2 m154

m2sin2 φ−18

e ' 4

54

e' 2 msin4 φ ] (2110)

También podemos expresar estas cantidades en términos del achatamiento f sustituyendo la ecuación

e '2=1

1− f 2−1=2f3f 2

El achatamiento f se utiliza con mucha frecuencia; ofrece una pequeña ventaja sobre la segunda excentricidad e' puesto que es del mismo orden de magnitud que m: el hecho de que m2 , e ' 2 m , e' 4 sean cantidades de1 mismo orden de magnitud no se aprecia enseguida. De modo que obtenemos

kM=abγ a1 32

m37

fm94

m2 (2111)

U0=aγa1− 23

f116

m−15

f 2−

47

fm114

m2 (2112)

γ=γ a[1− f52

m12

f 2−

267

fm154

m2sin2φ−12

f 2

52

fmsin4 φ ] (2113)

La ultima formula generalmente se abrevia de la siguiente manera

γ=γa 1 f 2 sin2φ f 4 sin4 φ , (2114)

de modo que tenemos

f 2=− f 52

m12

f 2−

267

fm154

m2

f 4=−12

f 2

52

fm(2115)

Si sustituimos

sin4 φ=sin2φ−14

sin2 2φ

finalmente obtenemos

γ=γa1 f∗sin2φ−14

f 4 sin2 2φ (2116)

en donde

f∗¿γb−γa

γa

= f 2 f 4 (2117)

es el "achatamiento por gravedad”

Coeficientes de las armónicas esféricas. La ecuación (290) para los momentos principales de inercia en seguida da como resultado

C−AME 2

=13−

245

me'q0

Si la desarrollamos por medio de (2102) hallamos

C−AME 2 =

1

e' 2 13 e ' 2−

13

m−27

e ' 2 mAl insertar esto en (292) obtenemos

J2=C−AMa2

=13

e' 2−

13

m−13

e ' 4

121

e '2 m

J2=23

f−13

m−13

f 2

221

fm(2118)

J4=−15

e ' 4

27

e ' 2 m=−45

f 2

17

fm (2119)

Las J superiores corresponden a un orden de magnitud que se ha omitido.

Gravedad sobre el elipsoide. En el caso de una elevación pequeña h sobre el elipsoide, es posible desarrollar la

gravedad normal γh , a esta elevación para formar una serie en términos de h:

γb=γ∂γ∂h

h12∂

2 γ

∂ h2 h2

en donde γ y sus derivadas hacen referencia al elipsoide (h = 0).

La primera derivada ∂γ /∂ h está dada por la formula de Bruns (279):

∂γ∂ h=−γ 1

M

1N −2ω2 (2120)

en donde M, N son los radios principa1es de curvatura del elipsoide, definidos por (28l). Como

1M=

b

a2 1e ' 2 cos2 φ 3/2=

b

a2 132

e ' 2 cos2φ⋯1N=

b

a2 1e' 2 cos2φ 1/2=

b

a2 1 12

e' 2 cos2 φ⋯tenemos

1M

1N=

ba2

22 e '2 cos2φ 3/ 2=

2b

a212f cos2 φ

Aquí nos hemos limitado a términos lineales en f, dado que la elevación h es en sí una cantidad pequeña. Por tanto, después de algunas operaciones sencillas con (2120) hallamos:

∂γ∂ h=−

2γa1 fm−2 fsin2φ (2121)

La segunda derivada puede tomarse de la aproximación esférica, la cual se obtiene haciendo caso omiso de e’2 o f:

γ=kMa2 ,

∂γ∂ h=∂γ∂ a=−

2 kM

a3 ,∂

2 γ

∂ h2=∂

2γ

∂ a2=6 kM

a4

De modo que

∂2 γ

∂ h2=6γ

a2(2122)

Por 1o tanto obtenemos

γh=γ [1−2a1 fm−2 fsin2φ h

3

a2h2] (2123)

Usando la ecuación (2113) para γ , también podemos expresar la diferencia γh−γ en la siguiente forma

γh−γ=−2γa

a [1 fm−3f52

msin2φ ]h3γ4

a2h2 (2124)

El símbo1o γh denota 1a gravedad normal para un punto de latitud φ , situado a una altura h sobre el elipsoide;

γ representa la gravedad en el elipsoide mismo para la misma latitud φ , tal como se expresa en (2116) o formulas equivalentes.

En la publicación de Hirvonen (1960) podrán hallarse desarrollos en serie de órdenes superiores así como fórmulas para calcular las diversas cantidades relativas al campo de gravedad normal.

211. Valores numéricos. El Elipsoide Internacional

El elipsoide de referencia y su campo de gravedad se determinan enteramente por medio de cuatro constantes. Por 1o general se incluyen tos siguientes cuatro parámetros:

a semieje principal;f achatamiento;γa gravedad ecuatorial; y

ω velocidad angular.

Los valores mas conocidos y usados son los que corresponden al elipsoide internacional:

a= 6378688.00 metrosf= 1/297000γa = 978.049000 gal

ω = 0.72921151 x 10^4 sec^1

Los parámetros geométricos de a y F Fueron determinados por Hayford en 1909 a partir de datos astrogeodesicos do los Estados Unidos que habían sido reducidos isostáticamente. La asamblea de la Asociación Internacional de Geodesia celebrada en Madrid en 1924 los adopto para el elipsoide internacinal. El valor de la gravedad ecuatorial γa fue calculado por Heiskanen (l928) usamdo también datos gravimétricos reducidos isostaticamente,; La formula

correspondiente para la gravedad Internacional,

g γ =978.049010 . 0052884 sin2 φ−0 .0000059 sin2 2φgal (2126)

cuyos coeficientes fueron calculados a partir de valores supuestos para a, f, γa , mediante 1as ecuaciones de Cassinis (19.10) [ecuaciones (2115), (2116), (2117) fue adoptada por la asamblea de Estocolmo en 1930.

Todos los parámetros del elípsoide internacional y su campo de gravedad pueden calcularse a cualquier grado de precisión utilizando (2125), la cual por supuesto expresa únicamente la consistencia interna. En esta forma hallamos que

b = 6 356 911 metros,E = 522 9/6.1 metros,

e '2 = 0.006 768 (2127)

q0 = 0.000 0/3 8130.

q ' 0 = 0.002 699 44.m = 0.003 449 86.

El potencial del elipsoide internacional es

Uo = 6 263 978.7 kgal metros (2128)

El producto de la masa de la tierra y de la constante gravitacional tiene un valor de

kM = 3.9863290 x 10^20 cm3 sec^2 (2129)

Como la constante gravitacional tiene un valor de

k = 6.67 X 10^8 cm3 g^1 sec^2

la masa de la tierra es

M = 5.98 X lO^27 g.

Como k no es muy precisa no tendría mucho sentido proporcionar una mayor precisión para M.

En e1 caso de las constantes del desarrollo armónico esférico del campo de gravedad normal, hallamos los siguientes valores

J2=C−A

Ma2=0 . 0010920

J4=−0 .00000243(2130)

El cambio de la gravedad normal con respecto a la elevación esta expresado por la formula (2124), la cual para el elipsoide internacional pasa a ser

γb=γ−0 .30877−0 .00045sin2φ h0 . 000072 h2 (2131)

en donde γh y γ se miden en gales, y h es la elevación en kilómetros.

Aunque ya no podemos considerar al elipsoide internacional como la mejor aproximación de la tierra por medio de un elipsoide, aún puede utilizarse como elipsoide de referencia para fines geodésicos (véase la sección 221 para mayores detalles).

Recientemente, la asamblea de la Unión Astronómica Internacional adopto en Hamburgo en 1964 (Fricke et al., 1965) una serie de valores que probablemente se adapte mejor a la situación actual:

a= 6378160 metros,f 2 = 0.0010827

kM= 3.98603 x 10^20 cm3 sec^2

El achatamiento correspondiente es f = 1/298.25. El valor de a. el cual es considerablemente menor que el del elipsoide internacional, incorpora determinaciones geodésicas obtenidas recientemente; el cambio en el valor de J2 y por consiguiente de f, se debe a los resultados proporcionados por los satélites artificiales.

Los países de oriente utilizan el elipsoide de Krasowsky:

a= 6378245 metros,f= 1/298.3 (2133)

En este libro continuaremos usando los valores (2125) del elipsoide internacional, a menos que se indique lo contrario, ya que la mayoría de 1ª mayoría de los cálculos, tablas, etc. hacen referencia al mismo; además, dichos valores todavía no han sido cambiados oficialmente por la Unión Internacional de Geodesia y geofísica.

212. Otros Campos de Gravedad Normal y Superficies de Referencia

Como se menciono anteriormente, e1 campo de gravedad de la tierra se ha divido convenientemente en un campo normal y uno perturbador. El campo normal comprende las características de encala grande, de manera que las desviaciones del verdadero campo de gravedad del campo normal las perturbaciones son pequeñas. Además, el campo normal debe ser matemáticamente sencillo. De lo contrario sería bastante arbitrario.

El uso del elipsoide como una superficie de referencia para el campo de gravedad es bastante reciente. No se utilizó oficialmente hasta 1930 cuando la asamblea de la Asociación Internacional de Geodesia en Estocolmo adoptó la

formula teórica de la gravedad (2126) basada en un elipsoide de revolución. Anteriormente se usaban los primeros términos del desarrollo armónico esférico de W como un potencial normal U, es decir, las funciones,

U '=Y 0

r

Y 2 θ ,λ

r4 12ω2 x2y2

(2134a)

U ''=Y 0

r

Y 2 θ ,λ

r5 Y 3 θ ,λ

r5 12ω2 x2y2

(2134b)

Aquí falta la armónica de primer grado porque se escogió el centro de la tierra como el origen de las coordenadas; se omitió la armónica de tercer grado porque se dio por sentado que el campo normal es simétrico con respecto al plano ecuatoria1. Las funciones Y 0=kM ,Y 2 , y , Y 4 supuestamente corresponden al verdadero campo de gravedad do la tierra.

Las superficies de referencia correspondientes U = Uo se llaman esferoides de la tierra (1)

La superficie

U ' x , y , z =U 0 (2135a)

se conoce como el esferoide de Bruns; la superficie

U '' x , y , z =U 0 (2135b)

es e1 esferoide de Helmert.

(1) Un esferoide es (1) cualquier superficie que se asemeje a una esfera: y (2) específicamente, un elipsoide de revolución. En este texto usaremos la palabra "esferoide" en el primer sentido más amplio en lugar del segundo sentido especial.

De acuerdo con (248), el esferoide de Bruns esta representado por la ecuación

kMr

k2r5 [ BC−2A x2

CA−2B y2 AB−2C z2 ]

12ω2 x2

y2 =U 0 (2136)

Sí eliminamos la raíz cuadrada

r= x2y2

z2

hallamos que es una superficie algebraica de grado 14. E1 esferoide de Helmert es una superficie de grado 22. . .En la practica, estas superficies se aproximan mucho a los elipsoides. Sin embargo, son mucho mas complicadas matemáticamente, de manera que prácticamente es imposible obtener formulas cerradas con ellas.

A continuación se dan tres razones a favor del elipsoide como una superficie de referencia en la geodesia física.

1. Como para las triangulaciones, etc. siempre se utiliza un elipsoide como superficie de referencia, es posible usar el mismo elipsoide como una superficie de referencia tanto geométrica como física.

2. Las formulas cerradas para el elipsoide de nivel no solo permiten definir en una forma clara y precisa el campo de gravedad normal, sino también efectuar cálculos prácticos con cualquier precisión.

3. Las funciones (2134a) y (2L34b) pueden considerarse las primeras aproximaciones naturales del campo de gravedad de la tierra. Sin embargo, el desarrollo armónico esférico del potencial de la gravedad no deja de ser mas "natural" que, digamos, un desarrollo en términos de 1as armónicas elipsoidales. Si desarrollamos W para formar una serie de armónicas elipsoidales, entonces e1 elipsoide de nivel constituirá la primera aproximación.

El concepto de superficie de referencia y de su campo de gravedad resultara más claro en "las siguientes secciones, específicamente en la sección 221.

213. El Campo Anómalo de 1a Gravedad, las Ondulaciones Geoidales y las Desviaciones de la Vertical

La pequeña diferencia entre el potencial de la gravedad real W y el potencial de la gravedad normal U se denota por T, de modo que

W x , y , z =U x , y , z T x , y , z ; (2137)

T se conoce como el potencial anómalo, o potencial de perturbación.

Comparamos el geoide

W x , y , z =W 0

con un elipsoide de referencia

U x , y , z =W 0

Figura 212. Geoide y elipsoide de referencia

del mismo potencial Uo = Wo. Un punto P del geoide se proyecta hacia el punto q del elipsoide por medio de normal elipsoidal (Fig. 212). La distancia PQ entre el geoide y el elipsoide se conoce como la altura geoidal, u ondulación geoidal, y se denota por N.(1)

Consideremos ahora e1 vector de gravedad g en el punto P y el vector de gravedad normal γ en el punto Q. El vector de la anomalía de la gravedad g se define como su diferencia:

g=gP−γQ (2138)

Un vector se caracteriza por magnitud y dirección. La diferencia en magnitud es la anomalía de la gravedad

g=gP−γQ (2139)

la diferencia en dirección constituye la desviación de la vertical.

La desviación de la vertical tiene dos componentes, una componente nortesur y ξ una componente esteoeste η (Fig. 213). Como la dirección de la vertical es definida directamente por las coordenadas geográficas de latitud y longitud, 1as componentes ξ y η pueden expresarse fácilmente por medio de las mismas. Las coordenadas geográficas verdaderas del punto geoidal P, que definen la dirección de la línea de la plomada n o del vector de gravedad g, pueden determinarse mediante mediciones astronómicas. Por lo tanto se llaman coordenadas astronómicas

y se han denotado por yΦ Λ . Las coordenadas geográficas elipsoidales dadas por la dirección de la normal elipsoidal n’ se han denotado por yφ λ . Resulta obvio que esta ultima es idéntica a la longitud geocéntrica. Por tanto,

normal geoidal n, coordenadas astronómicas Φ ,Λ ;normal elipsoidal n’, coordenadas "geodésicas" φ ,λ ;

En la Figura 213 vemos que

ξ=Φ−φη=Λ−λ cosφ

(2140)

(1) Lamentablemente tenemos aquí un conflicto en la notación. En las publicaciones geodésicas tanto el radio normal de curvatura del elipsoide como la altura geoidal se han denotado por N. Continuaremos haciendo lo mismo ya que es poco probable que se produzcan confusiones.

Figura 213. La desviación de 1ª vertical tal como se ilustra por medio de una esfera unitaria con centro en P.

También es posible comparar los vectores g y γ en el mismo punto P. Luego obtenemos el vector de perturbación de la gravedad

δ=gP−γ P (2141)

De igual forma, la diferencia en magnitud es 1a perturbación de la gravedad

gδ=gP−γ P (2142)

La diferencia en dirección es decir, la desviación de la vertical es la misma que antes, puesto que las direcciones de γP y γQ prácticamente coinciden.

La perturbación de 1a gravedad resulta en concepto, mucho más sencilla que la anomalía de la gravedad, pero no tiene tanta importancia en la geodesia terrestre. La importancia de la anomalía de la gravedad es que se obtiene directamente: la gravedad g se mide en e1 geoide (o se reduce al mismo, refiérase al capítulo 3) y la gravedad normal se calcula para el elipsoide.

Relaciones. Hay varias relaciones matemáticas básicas entre las cantidades que acabamos de definir. Como

U P=UQ∂U∂ n Q N=UQ− Nγ

tenemos

W P=U PT P=UQ− Nγ T

Dado queW P=U Q=W 0

hallamos que

T= Nγ (2143)

o

N=Tγ

(2144)

Esta es la conocida formula de Bruns, la cual relaciona la ondulación geoidal con el potencial de perturbación.

Luego consideramos la perturbación de la gravedad. Como

g=gra dWγ=gra dU

el vector de perturbación de la gravedad (2141) pasa a ser

δ=gra d W−U =gra dT≡∂T∂ x

, ∂T∂ y

, ∂T∂ z (2145)

Luego

g=∂W∂ n

,γ=−∂U∂ n '

=−∂U∂ n

ya que las direcciones dé las normales n y n’ prácticamente coinciden. Por lo tanto, la perturbación de la gravedad se expresa mediante

gδ=gP−γP=−∂W∂ n−∂U∂ n ' =−

∂W∂n−∂U∂ n

O

gδ=−∂T∂ n

(2146)

Como la elevación h se calcula a leí largo de la normal, también podemos escribir

gδ=−∂T∂ h

(2146’)

Si compararnos (2146) con (2145) vemos que la perturbación de la gravedad gδ , además de ser la diferencia en magnitud entre el vector de gravedad real y el de gravedad normal es también la componente normal del vector de perturbación de la gravedad δ

Veamos ahora la anomalía de la gravedad g . Como

γP=γ 0∂γ∂ h

N

tenemos

−∂T∂h= gδ=gP−γP=gP−γQ−

∂γ∂ h

N

Recordando 1a definición (2139) de la anomalía de la gravedad y tomando en cuenta la formula de Bruns (2144), hallamos las siguientes ecuaciones equivalentes

−∂T∂h= g−

∂ γ∂h

N (2147a)

g=−∂T∂ h∂γ∂h

N (2147b)

g=−∂T∂ h

1γ∂γ∂h

T (2147c)

gδ= g−∂γ∂h

N (2147d)

gδ= g−1γ∂γ∂ h

T=0 (2147e)

que relacionan las diferentes cantidades del campo de anomalías de la gravedad.

Otra forma equivalente seria

∂T∂ h−

1γ∂γ∂ h

T g=0 (2148)

Esta expresión se conoce como la ecuación fundamental de la geodesia física, porque relaciona la cantidad medida g con el potencial anoma1o desconocido T.

Tiene la forma de una ecuación diferencial parcial. Si se conociera g en todo e1 espacio, entonces (2148) podría considerarse y resolverse como una ecuación diferencial parcial real. No obstante, como solo se conoce g a lo largo de una superficie (el geoide), la ecuación fundamental (2148) solo puede usarse como condición límite, porque sí sola no es suficiente para calcular T. Por consiguiente, el nombre "ecuación diferencial de geodesia física", que se utiliza en ocasiones para (2148) muchas veces, resulta engañosa.

Por lo general damos por hecho que no existen masas fuera del geoide. Esto, por supuesto, no es en realidad cierto. Pero tampoco se hacen observaciones directamente sobre e1 geoide; se hacen sobre la superficie física de la tierra. Al reducir la gravedad medida al geoide, se elimina por medio de cálculos el efecto de las masas fuera del geoide, de manera que en efecto podemos suponer que todas las masas están encerradas por e1 geoide (refiérase a los capítulos 3 y 8).

En este caso, como la densidad ρ es cero en todas partes fuera de1 geoide, el potencial anoma1o T allí es armónico y satisface la ecuación de Lap1ace

T=∂

2T∂ x2

∂2 T∂ y2

∂2T∂ z2=0

Esta es, desde luego, una ecuación diferencial parcial real, 1a cual es suficiente, si se complementa con la condición límite (2148), para determinar T en todos los puntos fuera del geoide.

Si expresamos la condición 1ímite en 1a forma

−∂T∂n

1γ∂γ∂ n

T= g (2148')

en donde supuestamente se conoce g para todos los puntos del geoide, vemos que una combinación lineal de T y ∂T /∂ n estaría representada sobre esa superficie. De acuerdo con la sección 117, la determinación de T constituiría

por 1o tanto un tercer problema de valores 1ímites de la teoría del potencial. Si despejamos T, entonces podemos calcular 1a altura geoidal, que es la cantidad geométrica más importante de la geodesia física, mediante la formula de Bruns (2144).

Podemos decir por lo tanto que el problema básico de la geodesia física, es la determinación del qeoide a partir de mediciones de la gravedad, es esencialmente un tercer problema de valores límites de la teoría de1 potencial.

214. Aproximación Esférica. Desarrollo del Potencial de Perturbación en Armónicas Esféricas

El elipsoide de referencia difiere de una esfera solo por cantidades correspondientes al orden del achatamiento, f = 3 X 103. Por consiguiente, si tratamos al elipsoide de referencia como una esfera en ecuaciones que relacionan las cantidades del campo anómalo, esto podría producir un error relativo del orden de 3x10^3. Este error por lo general es permisible en N, T, Ag, etc. Por ejemplo. El efecto absoluto de este error relativo en la altura geoidal es de orden de 3x10^3 N; como N difícilmente excede los 100 metros, generalmente, se espera que este error sea menor que un metro

Como aproximación esférica tenemos que

γ=kMr2

, ∂γ∂ h=∂γ∂ r=−2 kM

r30=

1γ∂γ∂ h=−

2r

Le incorporaremos un radio medio R de 1a tierra. Casi siempre se define como radio de una esfera con el mismo volumen que el elipsoide terrestre; de acuerdo con la condición

43

Rπ 4=

43

aπ 2b

obtenemos

R=4a2 b

En forma similar podemos definir un valor medio G de gravedad sobre la tierra. Normalmente se utilizan valores, numéricos de aproximadamente

R=6371 KM ,G=979. 8 gals (2149)

Luego

1γ∂ γ∂h=−

2R

(2l50)

∂γ∂ h=−

2GR

(2150')

Como la normal a la esfera constituye la dirección del vector radial r, tenemos con la misma aproximación

∂

∂ n=∂

∂ h=∂

∂r

Según el teorema de Bruns (2144), podemos sustituir γ por G, y las ecuaciónes (2147) y (2148) se convierten en

−∂T∂h= g

2GR

N (215la)

g=−∂T∂r−

2GR

N (2151b)

g=−∂T∂r−

2R

T (2151c)

gδ= g2GR

N (2151d)

gδ= g2R

T (2l51e)

∂T∂r

2R

T g=0 (215lf)

La última ecuación representa la aproximación esférica de la condición límite fundamental.

Hay que tener presente el significado) exacto de esta aproximación esférica. Se usa solamente en ecuaciones que relacionan cantidades pequeñas como T, N, g , etc. La superficie de referencia jamás es una esfera en el sentido geométrico, sino siempre un elipsoide. Dado que el achatamiento f es muy pequeño, pueden desarrollarse las formulas elipsoidales para formar series exponenciales en términos de f, y luego se omiten todos "los términos que contienen f, f^2, etc. En esta forma se obtienen formulas que son totalmente va1idas para la esfera, pero solo más o menos validas para el elipsoide de referencia en sí. No obstante, es necesario calcular con un alto grado deprecisión la gravedad normal γ en la anomalía de la gravedad g=g−γ para el elipsoide.

Τn 0,λ Como el potencial anómalo T = W U es una función armónica, puede desarrollarse fácilmente en una serie de armónicas esféricas:

T r ,θ ,λ =∑n=0

∞

Rr

n1

T nθ ,λ (2152)

es la armónica de superficie de Laplace de grado n. En e1 geoide, que como aproximación esférica corresponde a la esfera r = R. formalmente tenemos

T=T R ,θ ,λ =∑n=0

∞

T nθ ,λ (2152'}

(no hay que preocuparse aquí por el problema de la convergencia).

Si diferenciamos la serie (2152) con respecto a r hallamos que

gδ=−∂T∂r=

1r ∑n=0

∞

n1 Rr

n1

T nθ ,λ (2153)

En el geoide (r = R) esto se convierte en

gδ=−∂T∂r=

1R∑n=0

∞

n1T nθ ,λ (2153´)

Esta serie expresa la perturbación de la gravedad en términos de armónicas esféricas.

El equivalente de (2151c) fuera de la tierra obviamente es

g=−∂T∂r−

2r

T (2154)

Su significado exacto se tratara al final de la siguiente sección. Al incorporar (2153) y (2152) en esta ecuación, obtenemos:

g=1r ∑n=0

∞

n−1Rr

n1

T n θ ,λ (2155)

En el geoide esto se convierte en

g=1R∑n=0

∞

n−1T n θ ,λ (2155')

Este es el desarrollo armónico esférico de la anomalía de 1a gravedad.

Nótese que aun si el potencial anómalo T tuviera un termino esférico de primer grado T 1θ ,λ en 1a expresión

para g sería multiplicado por e1 factor 11=O, por lo que Ag no podrá tener jamás una armónica esférica de primer grado aun si T tuviera uno.

215. Anomalías de la Gravedad fuera de la Tierra

Si una función armónica H viene dada en la superficie de la tierra, entonces, como aproximación esférica, podrían calcu1arse los valores de H fuera de la tierra por medio de la formula integral de Poisson (189)

H P=R

4π∫∫ ¿

σ

r2−R2

lλHd σ

¿

El símbolo ∫∫ ¿

σ

¿

es la forma abreviada usual para una integral que se extiende sobre 1a esfera unitaria total, o

sobre el ángulo sólido total, que viene a ser lo mismo; dσ denota el elemento de ángulo sólido, definido como el elemento superficie de la esfera unitaria. Por consiguiente, el elemento de superficie de 1a esfera, terrestre r R es

R2 dσ los significados de las demás notaciones pueden determinarse de la Fig. 214. £1 valor de la función armónica en el

Figura 214: Notaciones para la integral, integral de Poisson u sus fórmulas derivadas.

El elemento de superficie variable R2 dσ se denota senci11amente por H, en donde se refiere al punto fijo P. Obviamente, entonces,

l=r2R2

−2 rR cosψ (3156)

La función armónica H puede desarrollarse en una serie de armónicas esféricas:

H=Rr H 0

Rr

2

H1∑n=2

∞

Rr

n1

H n

Omitimos los términos de grados uno y cero, obtenemos 1a nueva función

H '=H−Rr H0

Rr

2

H1=∑n=2

∞

Rr

n1

H n (2157)

Las armónicas de superficie están representadas por

∫∫ ¿

σ

Hd σ ,H 1=3

4π∫∫ ¿

σ

H cos dψ σ

H 0=1

4π¿

¿

(2158)

Según la ecuación (171). Por tanto hallamos, de acuerdo con (2157), expresando H mediante la integral de Poisson y sustituyendo las integrales (2158) por Ho y H1, la formula bás1ca

H ' P=R

4π∫∫ ¿

σ

r2−R2

l3−

1r−

2R

r2cosψ Hd σ

¿

(2159)

La razón de esta modificación de la integra1 de Poisson es que las formulas de la geodesia física resultan mucho mas sencillas si 1as funciones comprendidas contienen armónicas de los grados cero y uno. Es por e11o conveniente comparar estos términos. Esto se hace automáticamente por medio de la integral identificada de Poisson (2159).

Ahora aplicaremos estas formulas a las anomalías de 1a gravedad fuera de la tierra. La ecuación. (2155) resulta en

r g=∑n=0

∞

Rr

n1

n−1 T n θ ,λ

Al igual que T n θ ,λ es una armónica de superficie de Laplace, también lo es . Por consiguiente, r g , considerada como una función en el espacio, ha de desarrollarse en una serie de armónicas esféricas y por lo tanto es una función armónica.

Por tanto podemos aplicar la formula de Poisson r g , obteniendo así

r gr=R

4π∫∫ ¿

σ

r2−R2

l 3−

1r−

3R

r2cosψ R g dσ

¿

gr=R2

4 rπ∫∫ ¿

σ

r2−R2

l3−

1r−

3R

r2cosψ gd σ

¿

(2160)

Esta es 1a formula para calcular las anomalías de la gravedad fuera de la tierra a partir de las anomalías de la gravedad en la superficie, o de la prolongada ascendente de las anomalías de la gravedad.

Finalmente explicaremos e1 significado exacto de la anomalía de la gravedad Ag p de 1a tierra. Empezaremos por una definición conveniente. Las superficies de nivel del potencial real de gravedad, las superficies

W=Const.,

se conocen frecuentemente como superficies geopotenciales; las superficies de nivel del campo de la gravedad normal, las superficies

U=Const.,

se conocen como superficies esferopotenciales.

Consideraremos ahora el punto P fuera de la tierra (Fig. 215) y denotaremos la superficie qeopotencial que pasa por él por medio de

W = Wp.

También hay una superficie esferopotencial

U = Wp

de la misma constante Wp. La línea de la plomada normal a través de P corta esta superficie esferopotencial en el punto Q, el cual se dice que corresponde a P.

Vemos que las suprficies de nivel W=Wp y U=Wp están relacionadas entre sí en exactamente 1a misma forma que los geoides W = Wo y el elipsoide de referencia U = Wo. Por tanto, si la anomalía de la gravedad esta definida por

gP=gP−γQ

como en la sección 213. entonces todas las deducciones y formulas de esa sección son también validas para la situación actual en donde la superficie geopotencial W = Wp reemplaza al geoide W = Wo y la superficie esferopotencial U = Wp reemplaza al elipsoide U = Wo esta es también 1a razón por 1a que (2154) es válida en P a1 igual que en el geoide.

Nótese que en la sección 213, P es un punto en el geoide, el cual se denota por Po en 1a Fig. 215.

Figura 215. Superficie geopotencial y esferopotencial.

216. Formula de Stokes

La ecuación básica (2154),

g=∂T∂r−

2r

T

puede considerarse solamente una condición límite, siempre y cuando se conozcan las anomalías de la gravedad g en la superficie de 1a tierra solamente. Sin embargo, por medio de la integral de la prolongación ascendente (2160) ahora es posible calcular las anomalías de la gravedad fuera de la tierra. De esta manera nuestra ecuación básica cambia radicalmente de significado, convirtiéndose en una verdadera ecuación diferencial que puede integrarse con respecto a r.(1)Multiplicando por r2, obtenemos

−r2 g=r2 ∂T∂r2 rT=

∂

∂rr2T

Al integrar la formula∂

∂rr2T =−r2 g r

entre los límites ∞ y r, hallamos

r 2 T∣∞r

=−∫∞

r

r 2 g r dr

en donde g (r) indica que g es ahora una función de r, calculada a partir de las anomalías de la gravedad de la superficie por medio de la formula (2160). Como esta formula elimina automáticamente las armónicas esféricas de los grados uno y cero de g (r), el potencial anómalo T, tal como se calcula de g (r) no puede contener dichos términos. De modo que tenemos

T=∑n=2

∞

Rr

n1

T n=R3

r3 T 2R4

r4 T 3

Por tanto,

limr∞

r2T = limr∞

R3

rT 2

R4

r2T 4⋯=0

de manera que

r2T ∣∞

r=r2 T− lim

r∞r 2T =r2T

Por consiguiente,(2)

t r2T=−∫∞

r

r2 g r dr

(1)Nótese que esto solamente es posible porque T, además de satisfacer la condición límite, satisface también la ecuación de Laplace AT = 0.(2)E1 hecho de que se utilice r como unn variable de integración y como un límite superior no debería causar dificultad alguna.

Y al incorporar la integral de la prolongación ascendente (2160) obtenemos

r2T=R2

4π∫∞

r

[∬∞−r3

−R2 r

l31

3Rr

cosψ gd σ ]dr

Si intercambiamos el orden de las integraciones, obtenemos

r2T= R2

4π∬∞[∫∞

r

−r3−R2 rl3

13Rr

cosψ dr ] gd σ

Es posible determinar el valor de la integral entre paréntesis rectangulares mediante métodos convencionales. La integral Indefinida es(1)

∫ − r3−R2 r

l31

3Rr

cosψ dr=2r2

l−3l−3Pcosψ lnr−R cosψ1r3R cosψ ln r

Para valores grandes de r tenemos

l=r 1−Rr

cos ψ⋯=r−R cosψ⋯

y por lo tanto hallamos que a medida que r—> ∞ , 1a parte derecha de la integral indefinida anterior se aproxima a5R cosψ−3R cosψ ln 2

Si restamos esto de la integral indefinida, obtenemos la integral definida, puesto que su límite inferior de integración es infinito. Por lo tanto

∫∞

r

− r3−R2 rl3

13Rr

cosψ dr=2r2

lr−3l−R cosψ 53 ln

r−R cosψ12r

De manera que obtenemos

T r ,θ ,λ =R

4π∬σS r ,ψ gd σ (2161)

en donde

S r ,ψ =2Rl

Rr−3

Rlr2 −

R2

r 2 cos ψ 53 lnr−R cosψ1

2r (2162)

En el mismo geoide tenemos que r = R, y si denotamos T R ,θ ,λ sencillamente por T, hallamos que

T=R

4π∬σgS ψ dσ (2163a)

(1)Se recomienda al lector efectuar esta integración tonando en cuenta (2156) o comprobar por lo menos el resultado diferenciando la parte derecha con respecto a r.

en donde

S ψ =1

sin ψ /2 −6 sin

ψ21−5 cosψ−3cosψ lnsin

ψ2sin2 ψ

2 (2164)

se obtiene de S r ,ψ y haciendo que

r=R y l=2 Rsinψ2

Según el teorema de Bruns, N=T/G, finalmente obtenemos

N=R

4 Gπ ∬σgS ψ dσ (2163b)

Esta formula fue publicada por George Gabriel Stokes en 1894; por lo tanto se le conoce como 1a formula de Stokes o la integra1 de Stokes. Es sin duda alguna la formula mas importante de la geodesia física puesto que permite determinar el geoide a partir de datos gravimétricos. La ecuación (2163a) se denomina también la formula de Stokes y S ψ conoce como la función de Stokes. Esta función y las relacionadas se encuentran tabuladds en la publicación

de Lambert y Darling (1936).Utilizando la formula (2161), la cual fue deducida por Pizzetti (1911) y posteriormente por Vening Meinesz (1928), podemos calcular el potencial anómalo T en cualquier punto fuera de la tierra. Al dividir T por la gravedad normal en el punto dado P (teorema de Bruns) obtenemos la separación N P entre la superficie geopotencial W= Wp y la superficie esferopotencial correspondiente U=Wp la cual, fuera de la tierra, toma el lugar de 1a ondulación geoidal N. (Véase la Fig. 215 y las explicaciones al final dé la sección anterior.)

Quisiéramos mencionar nuevamente que estas fórmulas se basan en una aproximación esférica; se hace caso omiso de las cantidades de1 orden de 3 X 10"3 N. Esto da como resultado un error probablemente menor que un metro en N, lo cual puede pasarse por alto para la mayoría de 1os propósitos prácticos. Zagrebin, Molodensky y Bjerhammar han desarrollado aproximaciones de grado superior, las cuales toman en cuenta el achatamiento f del elipsoide de referencia; refiérase a Sagrehin (1956), Molodenskii et al. (1962, p.53) y Bjerhammar (1962).

Luego vemos de la deducción de la fórmula de Stokes por medio, de una integral de la prolongación ascendente (2160) que los términos armónicos de los grados uno y cero se suprimen automáticamente en T y N. más adelante se discutirán las de esto. Veremos que la fórmula de Stokes en su forma inferencias original (2163a,b) sólo es valida para un elipsoide de referencia que (1)tiene el mismo potencial Uo=Wo que el geoide,(2)encierra una masa que es numéricamente igual a la de la tierra y (3) cuyo centro es e1 centro de gravedad de la tierra. Como las primeras dos condiciones no están debidamente satisfechas por los elipsoides de referencia utilizados en la actualidad, y difícilmente podrán serlo jamás, será necesario modificar la fórmula de Stokes en el caso de un elipsoide de referencia arbitrario.

Finalmente, se supone que T sea armónica fuera del geoide. Esto significa que el efecto de las masas sobre el geoide tendrá que ser eliminado por las debidas reducciones de la gravedad. Esto se tratara en el capituló 3.

217, Formas Explícitas de 1a Integral de Stokes. Desarrollo de la Función de Stokes en Armónicas Esféricas

Escribiremos ahora la fórmula de Stokes (2l63b) en una forma más explícita incorporando a la esfera un sistema apropiado de coordenadas.

E1 uso de coordenadas polares esféricas con origen en P ofrece 1a ventaja de que el ángulo ψ que es el argumento de la función de Stokes, es una de las coordenadas, 1a distancia esférica. La otra coordenada es e1 acimut α calculado desde el norte. Sus definiciones pueden apreciarse en la Fig. 216. La práctica común es usar P para denotar tanto un punto fijo la esfera r = R (o en el espacio) como su proyección en la esfera unitaria y no se producen dificultades.

Si P coincide con el polo norte, entonces ψ y α son idénticos a β y λ . De acuerdo con la sección 113, el elemento de ángulo sólido estará dado pordσ=sin d dψ ψ α

Como todos los puntos de 1a esfera son equivalentes, esta relación es valida para un origen arbitrario P. De la misma manera tenemos que

∬σ

= ∫α=0

2π

∫ψ=0

π

Por lo tanto hallamos

N=R

4 Gπ ∫α=0

2π

∫ψ=0

π

g ψ ,α S ψ sin dψ ψdα (2165)

como una forma explícita de (2l63b).

Al efectuar primero la integración con respecto a α , obtenemos

N= R2G ∫ψ=0

π

[ 12π ∫α=0

2π

g ψ ,α dα ]S ψ sin dψ ψ

La expresión en paréntesis rectangulares es e1 promedio de g a lo largo de un paralelo de, radio esférico ψ . Este promedio 1o denotamos por g ( ψ ) de modo que

Figura 216. Coordenadas polares en la esfera unitaria.

gψ =1

2π ∫α=0

2π

g ψ ,α dα

Por consiguiente la formula de Stokes puede escribirse

N= RG ∫ψ=0

πg ψ F ψ dψ (2165’)

en donde hemos usado12

S ψ sin ψ =F ψ (2166)

Las Funciones S( φ ) y F( φ ) se muestran en la Fig. 217.

Otra alternativa es usar las coordenadas geográficas φ ,λ . Dado que una aproximación esférica θ es el complemento de la latitud geográfica:θ=90°−φ ,φ=90°−θ

Tenemos por tanto

∬σ

dσ= ∫λ=0

2π

∫φ=−π /2

π/2

cos d dφ φ λ

de modo que la fórmu1a de Stokes se convierte en

N φ ,λ =R

4 Gπ ∫λ '=0

2π

∫φ '=−π /2

π /2

g φ ',λ ' S φ cosφ ' dφ ' dλ ' (2167)

Figura 217. Funciones de Stokes S( ψ ) y F( ψ )

en donde φ ,λ son las coordenadas gráficas del punto de calculo y φ ',λ ' son las coordenadas del elemento variable de superficie dσ La distancia esférica ψ se expresa como una función de estas coordenadas por medio de

ψ=cos−1[ sin φ sinφ 'cosφ cosφ 'cosλ '−λ ] (2168)

La función de Stokes en términos de armónicas esféricas. En la sección 214 hallamos

g θ ,λ =1R∑n=0

∞

n−1T 0 θ ,λ

También es posible expresar g θ ,λ directamente como una serie de armónicas de superficie de Laplace:

g θ ,λ =∑n=0

∞

gn θ ,λ

Si comparamos estas dos series, obtenemos

gnθ ,λ =n−1

RT n θ ,λ ,T n=

Rn−1

gn

de modo que

T=∑n=0

∞

T n=R∑n=0

∞ g n

n−1Esta ecuación demuestra nuevamente que no debe haber ningún termino de primer grado en el desarrollo armónico esférico de g ; de lo contrario, el termino gn n−1 sería infinito para n=1. Como siempre, daremos ahora por sentado que hacen falta las armónicas de los grados cero y uno. Por lo tanto, empezaremos la suma de la sucesión con n=2.

Como de acuerdo con la ecuación (171)

gn=2n1

4π ∬σgPn cosψ dσ

la formula anterior pasa a ser

T=R

4π∑n=2

∞ 2n1n−1 ∬σ

gP ncosψ dσ

Si intercambiamos el orden de la suma de la sucesión y de 1a integración, obtenemos

T=R

4π∬σ [∑n=2

∞ 2n1n−1

Pn cosψ ] gd σ

Al comparar esto con la formula de Stokes (2l63a) hallamos la expresión para función de Stokes en términos de polinomios de Legendre (armónicas zonales):

S ψ =∑n=2

∞ 2n1n−1

Pn cosψ (2169)

En realidad, la expresión analítica (2164) de la función de Stokes pudo haberse deducido en una forma mas sencilla por medio de la suma directa de esta serie, pero estimamos que la deducción demostrada en la Sección anterior es mucho más ilustrativa ya que también muestra información secundaria sobre problemas relacionados importantes.

218. Generalización a un Elipsoide de Referencia Arbitrario.

Como hemos visto, la fórmula de Stokes en su forma original elimina las armónicas esféricas de 1os qrados cero y uno en el potencial anómalo T y por consiguiente sólo es válida si dichos términos no se encuentran presentes. Tanto este hecho como la condición Uo=Wo imponen restricciones, en el elipsoide de referencia y en su campo de gravedad normal que difícilmente se satisfacen, en la practica.

Por consiguiente generalizaremos la fórmula de Stokes para que pueda aplicarse a un elipsoide de referencia arbitrario, e1 cual únicamente debe satisfacer la condición de que se aproxima tanto al geoide que las desviaciones de este con respecto al elipsoide pueden considerarse lineales.

Consideremos ahora el potencial anómalo T en 1a superficie de la tierra. Su expresión en armónicas esféricas de superficie está dada por

T θ ,λ =∑n=0

∞

T n θ ,λ

Si separamos los términos de los grados cero y uno podemos escribirT θ ,λ =T oT 1θ ,λ T ' θ ,λ (2170)

En donde

T ' θ ,λ =∑n=2

∞

T n θ ,λ (2171)

En el caso general, esta función T’ es, en lugar de la T misma, la cantidad dada por la fórmula de Stokes. Resulta igual a T solamente si hacen falta To y T1. De lo contrario tenemos que agregar To y T1 pan poder obtener 1a función T completa.

E1 termino de grado cero en el desarrollo armónico esférico del potencial es igual akMr

en donde M representa la masa. Por consiguiente, e1 termino de grado cero del potencial anómalo T =WU en la superficie de la tierra (r=R) está representado por

T o=k MδR

(2172)

en dondeMδ =M−M ' (2173)

es la diferencia entre la masa M de la tierra y la masa M' del elipsoide, la cual sería cero si ambas masas fueran iguales pero como no conocemos la masa exacta de la tierra, ¿cómo podemos hacer que M’ sea igual a M?

Mas adelante veremos que la armónica de primer grado siempre podra considerarse cero. Dando esto por sentado, podemos sustituir (2172) en (2170) y expresar T’ mediante la formula convencional de Stokes (2163a). Asi obtendríamos

T=k MδR

R4π∬σ

gS ψ dσ (2174)

Esta es la generalización de 1a formula de Stokes para T. Resulta valida para un elipsoide de referencia arbitrario cuyo centro coincida con el centro de la tierra.

Términos de primer grado. Los coeficientes de la armónica de primer grado en el potencial W, de acuerdo con (244b) y (245), están representados por kM ζ , kM ξ , kM η

en donde ξ ,η , ζ son las coordenadas rectangulares del centro de gravedad de la tierra. En el caso del potencial normal U, tenemos las cantidades análogaskM ' ζ ', kM ' ξ ',kM ' η '

Dado que ξ ',η ',ζ ' son de todos modos muy pequeños, prácticamente equivalen akM ζ ',kM ξ ', kM η '

Los coeficientes de la armónica de primer grado en el potencial anómalo T=W son por lo tanto equivalentes akM ζ−ζ ' , kM ξ−ξ ' , kM η−η ' (2175)

Son cero y no hay ninguna armónica de primer grado T 1θ ,λ si el centro del elipsoide de referencia coincide con el centro de gravedad de la tierra, 1º cual suele darse por sentado.En el caso general, de acuerdo con el término de primer grado de (237) hay que fijar r=R y utilizar los coeficientes (244b) junto con (245).

T 1θ ,λ =kM

R2 [ ζ−ζ ' P1 cosθ ξ−ξ ' P2 cosθ cosλη−η ' P2 cosθ sinλ ]

Si consideramos el origen del sistema de coordenadas como el centro del elipsoide de referencia, entonces ξ '=η '−ζ ' . Usando P1cosθ =cosθ , P2 cosθ =sin θ y kM=R2

=G obtenemos la siguiente expresión para la armónica de primer gradoT 1θ ,λ =G ξ cosθ sinλη sinθ sinλζ cosθ (2176a)

Dividiendo por G hallamos la armónica de primer grado de la altura geoidal N 1θ ,λ =ξ cosθ sinλη sin θ sin λζ cosθ (2176b)

en donde ξ ',η ',ζ ' son las coordenadas rectangulares del centro de gravedad de la tierra, siendo el origen el centro del elipsoide de referencia.Al incorporar el vectorξ= ξ ,η ,ζ

y el vector unitario de la dirección θ ,λ e=sin θ cosλ , sinθ sinλ ,cosθ

(2l76b) puede escribirse comoN 1θ ,λ =ξ⋅e (2177)

lo cual se interpreta como la proyección del vector ξ en la dirección θ ,λ .Por consiguiente, si los dos centros de gravedad no coinciden, entonces solo tenemos que agregar los términos de primer grado (2l76a) y (2l76b) a la formula generalizada de Stokes (2174) y a su análoga para N (ecuación (2181 de abajo), respectivamente, para obtener la solución mas general para el problema de Stokes, el cálculo de T y N a partir de g . La ecuación (2155') muestra que cualquier valor de T 1θ ,λ es compatible con un campo g dado

porque, para n=1, la cantidad {nl)T1 es cero, de modo que T1, cualquiera que sea su valor, no entra del todo en g .

Por lo tanto, la solución más general para T y N contiene tres constantes arbitrarias ξ ,η , ζ que pueden considerarse constantes de integracion para el problema de Stokes. En la practica, siempre se fija ξ=η=ζ=0 colocando de esta forma el centro del elipsoide de referencia en el centro de la tierra. Esto constituye una gran ventaja de la determinación gravimetrica del geoide en comparación con e1 método astrogeodesico en donde se desconoce la posición del elipsoide de referencia con respecto al centro do la tierra.

219. Generalización de la Fórmula de Stokes para N

Desarrollemos primero la formula de Bruns (244) a una elipsoide de referencia arbitrario. Supongamos queW x , y , z =W °U x , y , z , =U °

son las ecuaiciones del geoide y del elipsoide, donde generalmente las constantes W o y U0 son distintas; hemos

escrito W o , U0 en 1ugar de Wo,Uo para que no se confundan con una armónica de grado cero. Al igual que en la sección 213, si nos referimos a la Fig. 212, tenemos

pero ahora

W P=U Q− Nγ TUQ=U °≠W °= W γ

de modo queNγ =T−W °−U °

Si denotamos la diferencia entre los potenciales porWδ =W °−U °

obtenemos la siguiente generalización sencilla de 1a formula de Bruns

N=T− Wδγ

(2178)

Asimismo tendremos que desarrollar las ecuaciones (2147ae). Aquellas formulas que contienen N en lugar de T obviamente también son validas para un elipsoide de referencia arbitrario, pero en ese caso la transición de N a T se fectúa por medio de (2178). Por tanto (2147b)

g=−∂T∂ h∂γ∂h

N

no cambia, sino que (2147c) se convierte en

g=−∂T∂ h

1γ∂γ∂h

T−1γ∂γ∂ h

Wδ (2179)

Por lo tanto, la condición límite fundamental ahora es

−∂T∂h

1γ∂γ∂ h

T= g1γ∂γ∂ h

Wδ (2180)

Las aproximaciones esféricas de estas ecuaciones son

N=T− Wδ

G(2178’)

g=−∂T∂r−

2R

T2R

Wδ (2179’)

−∂T∂ r−

2R

T= g−2R

Wδ (2180’)

Diversas formas de la fórmula genera1izada de Stokes. De acuerdo con (2178) tenemosT=GN Wδ

Si insertamos esto en (2174) y dividimos por G obtenemos

N=k MδRG

−WδG

R4 Gπ ∬σ

gS ψ dσ (2181)

Esta es la generalización de 1a formula de Stokes para N. Es valida para un elipsoide de referencia arbitrario cuyo centro coincida con el centro de 1a tierra.Mientras que la formula (2174) para T sólo contiene el efecto de una diferencia de masa Mδ . la formula (2181) para N contiene, además 1a diferencia potencial Wδ . Estas formulas también muestran claramente que las integrales sencillas de Stokes (2163a,b) solo son validas si Mδ = Wδ =0, es decir, si el elipsoide de referencia tiene el mismo potencial que el geoide y la misma masa que la tierra. De lo contrario, sólo darán N y T hasta las constantes aditivas si fijamos

N 0=k MδRG

−WδG

(2182)

y tomamos en cuenta (217), tenemos

T=T 0R

4π∬σgS ψ dσ (2183a)

N=N 0R

4 Gπ ∬σgN ψ dσ (2183b)

Es posible obtener de la siguiente manera, formas alternativas de (2181), a veces resultan útiles. Si incorporamos la serie (2152') y (2153') en (2179'), obtenemos

g θ ,λ =1R∑n=0

∞

n−1T n θ ,λ 2R

Wδ (2184a)

como la generalización de (2155'). Si desarrollamos la función g θ ,λ en la serie usual de armónicas esféricas de superficie de Laplace,

g θ ,λ =∑n=0

∞

gn θ ,λ (2184b)

y comparamos los términos constantes (n = 0) (de estas dos ecuaciones, obtenemos

−1R

T 02R

Wδ = g0

en donde, según (171).

g0=1

4π∬σgd σ (2185)

Si expresamos To por medio de (2172) en términos de Mδ . obtenemos

g0=1

R2k Mδ

2R

Wδ (2186)

Ahora podemos despejar Mδ y Wδ en las dos ecuaciones para No (2182) y para go (2186):

k Mδ =RR g02 GN 0 (2187a)

Wδ =R g 0GN 0 (2187b)La constante No puede expresarse por medio de cualquiera de las siguientes ecuaciones:

N 0=−R

2Gg0

k Mδ2 GR

=−R

8 Gπ ∬σgd σ

k Mδ2 GR

N 0=−RG

g0WδG=−

R4 Gπ ∬σ

gd σWδG

Al insertarlas en (2183b) obtenemos

N 0=−R

4 Gπ ∬σg [S ψ −

12 ]dσ

k Mδ2 GR

(2188)

N 0=−R

4 Gπ ∬σg [ S ψ −1 ] dσ

WδG

(2189)

Estas formulas son totalmente equivalentes a (2181); también son validas para un elipsoide de referencia arbitrario.Si M=M’, aun si U0

≠W 0 , tenemos

N=R

4 Gπ ∬σg [S ψ −

12 ]dσ (2188’)

Y si U0=W 0 , aun si M '≠M tenemos

N=R

4 Gπ ∬σg [S ψ −1 ] dσ (2189’)

Estas fórmulas son algo más generales que la integral sencilla i1e Stokes, en cuanto a que se ha establecido anteriormente solamente una de las condiciones M’=M, U0

=W 0 . La ecuación (2188') fue deducida por Pizzetti y la (2189) por Hirvonen.

Determinación de No. Si se conocieran con exactitud la masa M de la tierra y el potencial W° del geoide, entonces sería posible calcular No por medio de (2182). Las ondulaciones geoidales N podrían entonces calcularse con precisión mediante la formu1a de Stokes (2l83b). Si aplicamos N al elipsoide de referencia fijo, el geoide estaría representado en forma absoluta, con la debida escala de largo, sin medir una sola distancia.En la práctica obviamente no conocemos los valores de M y W° con suficiente precisión para poder determinar No. Si sólo determinamos el valor de la integral original de Stokes

N '=R

4 Gπ ∬σgS ψ dσ (2190)

obtenemos entonces, en lugar del geoide S, una superficie S’ paralela al geoide a una distancia No (Fiq. 2l8a). Como ambas superficies son prácticamente esféricas, son geométricamente similares con un alto grado de precisión; es

Figura 218. Dos interpretaciones de la formula de Stokes. (a) N' es la altura sobre el elipsoide V de 1a superficie S’ paralela al geoide. (b)N' es la altura del geoide S sobre el elipsoide modificado E’ paralelo a E.

decir, que solamente difieren en escala. Por consiguiente, podemos decir que 1a integral original de Stokes (2190) da como resultado un geoide al que solo le hace falta un factor de escala. Este factor puede determinarse por medio de una sola medición de distancia, mientras se conozca también la constante No. Esto se desarrolla matemáticamente a continuación.

Supongamos que P1 y P2 son dos puntos geoidales, y que Q1 y Q2 son sus proyecciones en el elipsoide de referencia (Fig. 219); s representa la distancia entre P1 y P2 a lo largo del geoide, y s’ la distancia entre Q1 y Q2 a lo largo, del elipsoide.

Ahora deduciremos, la relación entre s, s' y N. si sustituimos el arco elipsoidal s’=Q1Q2 por uno esférico cuyo radio R sea el radio medio de curvatura, entonces la Fig. 219 demuestra queds cosεRN

=ds 'R

Como cosε=1 , tenemos

ds=ds ' 1NR =ds ' N

Rds 'N

Rds

Al integrar obtenemos

s=s '1R∫Q1

Q2

Nds (2191)

que es la relación deseada entre s, s’ y N. Si insertamos N=No+N', hallamos

s−s '=1R∫Q1

Q2

N 0N ' ds=1R∫Q1

Q2

N ' dssR

N 0

de modo que

N 0=Rss−s ' −

1s∫Q1

Q2

N ' ds (2192)

Figura 219. Determinación de la escala del geoide.

La cantidad N’ esta dada por 1a integral de Stokes (2190). Consideremos la distancia s que ha de medirse en el geoide o reducirse a1 mismo. La distancia elipsoidal s’ puede calcularse si se conocen las coordenadas φ ,λ de sus puntos extremos Q1 y Q2. De acuerdo con las ecuaciones (2140) obtenemosφ=Φ−ξ

λ=Λ−ηcosφ

(2193)

Las coordenadas astronómicas Φ y Λ se miden directamente; 1as componentes ξ y η de la desviación de la vertical pueden calcularse a partir de g por medio de la formula de Vening Meinesz; (refiérase a la sección 222), de modo que se conocerán φ y λ .

De esta manera es posible calcular No por medio de (2L92). Vemos que, en principio, una distancia medida s es suficiente para ello. En la practica, se medirán por supuesto muchas distancias y también ángulos, y No se obtendrá por medio de un ajuste adecuado (refiérase a la sección 510).

Interpretación de No. Finalmente mencionaremos que No, además de ser la distancia entre S y S' (Fig. 2l8a), tiene otro significado geométrico sencillo (Fig. 218b).

El vector radial r del geoide se obtiene con suficiente aproximación agregando la altura geoidal N al vector radial elipsoidal dado por (295):

r=a1− fsin2φ NSupongamos ahora que el semieje principal α del elipsoide de referencia cambia por δα , y que e1 achatamiento F queda igual. Como el vector radial geocentrico del geoide es independiente del tamaño de1 elipsoide de referencia, no se ve afectado por este cambio. Si diferenciamos la ecuación r, obtenemos

0= rδ= aδ 1− fsin2φ Nδ = aδ Nδde modo que el cambio en el semieje principal del elipsoide de referencia está compensado por un cambio en las ondulaciones geoidales de

Nδ =− aδSi el cambio es δα =No, entonces el semieje principal del nuevo elipsoide referencial E' esa=a 'N 0

y las nuevas ondulaciones geoidales sonN '=N Nδ =N−N 0

De acuerdo con (2183b) esto sería

N '=R

4 Gπ ∬σgS ψ dσ

Por lo tanto, al cambiar el semieje principal del elipsoide de referencia por No, las nuevas ondulaciones geoidales estarán dadas por 1a formula original de Stokes. Es decir, los valores N' obtenidos aplicando la formula sencilla de Stokes hacen referencia a un elipsoide con el mismo achatamiento que el elipsoide de referencia original y un semieje principal de a+No.

Dado que N’ no contiene armónicas de grado cero, tenemos

∬σ

N ' dσ=0 (2194a)

El volumen v de la capa entre el elipsoide E’ y el geoide esta dado por

v=∬σ

N ' R2 dσ

porque R2 dσ es el elemento de superficie de E’ como una aproximación esférica, de modo que (fig. 218b)

dv=N ' R2 dσPor tanto (2194a) expresa e1 hecho de que el volumen total de esta capa es cero, o que e1 elipsoide nuevo E’ con u' a’=a+No encierra el mismo volumen que el geoide.

Interpretación de g0 . La armónica de grado cero g0 puede interpretarse en forma análoga.

La gravedad g del geoide se obtiene agregando la anomalía de la gravedad g a la gravedad normal representada por (296):

g=γa 1 f∗sin2φ gSupongamos ahora que la gravedad ecuatorial normal γa cambia por δγa , y que el coeficiente f* permanece igual. Como g no se ve afectado por este cambio, a1 diferenciar esta ecuación hallamos.

0= gδ=δγa 1 f∗sin2φ gδΔ=δγa gδΔde modo que,

gδΔ=−δγa

Con un cambio de δγa= g0 os valores pasan a ser

γ ' a=γa g0 , g '= g− g0

Notando la definición (2185) de g0 , hallamos

∬σ

g' dσ=0 (2194b)

lo cual significa que las nuevas anomalías de 1agravedad g' no contienen armónicas de grado cero.

Como ni N’ ni g' contienen armónicas de grado cero, deberán hacer referencia a un elipsoide que encierra la misma masa que la tierra y que tiene el mismo potencial que el geoide. Este elipsoide tiene el mismo achatamiento que el elipsoide de referencia original, y sus otras constantes sona '=aNo ,γ ' a=γa g0

Esta interpretación esta relacionada con las ideas de Ledersteger (1957).

220, Determinación de las Constantes Físicas de la Tierra

Masa y potencial. En la sección anterior se determinaron las siguientes ecuaciones fundamentales para la masi y el potencial.k Mδ =RR g02 GN 0

Wδ =R g0GN 0Vamos a resumir ahora como so determinan la masa de la tierra, M, y el potencial del geoide, W°. con estas ecuaciones. Supongamos que un elipsoide de referencia arbitrario pero fijo tiene 1as constantes M’, (masa) y U° (potencial). Calculamos las anomalías de la gravedad g . que hacen referencia a este elipsoide y calculamos g0 por

medio de (2lfl5). Midiendo por lo menos una distancia s, así como la latitud Φ y longitud Λ astronómicas de sus puntos extremos, podemos determinar No, utilizando la formula (2192). Luego se calculan las correcciones y con las ecuaciones anteriores. Finalmente, la masa de la tierra M y e1 potencial geoidal W° se determinan agregando estas correcciones de los valores elipsoidales supuestos M' y U°:M=M ' MδW °=U °+ Wδ

La masa se expresa en la forma kM; es decir que la masa se multiplica por la constante gravitacional en lugar de representarse solamente como M dado que no se conoce k con mucha precisión.

Nótese la estrecha relación entre las constantes geométricas y las físicas. Una vez que so conozcan las constantes físicas kM y W°, se conocerá también la escala lineal de la tierra, en otras palabras, su tamaño. A la inversa, es por hallar kM y Wo con la ayuda de mediciones de distancia. Otro hecho significativo es que como se requieren las anomalías de la gravedad en toda la tierra (2185) no es posible determinar las constantes kM y W° a menos que se conozca la gravedad g en toda la tierra. Esto refleja nuevamente el principio general del método gravimetricoprincipalmente, que es necesario conocer g en todos 1os puntos de la superficie de la tierra.

Armónicas superiores. En la sección 25 hallamos la siguiente expresión para el potencial gravitacional V fuera de la tierra:

V=W−Φ=kMr [1−∑n=2

∞

∑m=0

n

ar

n

J nm cos mλK nm sinmλ Pnm cosθ ]En forma similar, el potencial gravitacional normal puede escribirse como

U−Φ=kM '

r [1−∑n=2

∞

∑m=0

n

ar

n

J ' nm cos mλK ' nm sinmλ Pnm cosθ ]Si tomamos un elipsoide de revolución como nuestra superficie de referencia, entonces todas las K'nm son cero. y de las J'nm solamente las J’no donde n es par tendrán valor distinto de cero (refiérase a la sección 29).

Si restamos las ecuaciones anteriores y fijamos r=a, obtenemos

T=W−U=k Mδ

a−

kMa ∑n=2

∞

∑m=0

n

Jδ nm cos mλ Kδ nm sinmλ Pnm cosθ

en donde Jδ nm=Jnm−J ' nm , Kδ nm=K nm−K ' nm=K nm

esto es posible ya que para los términos de segundo grado y superiores, podemos sustituir e1 factor k’/a por kM/a.

Al comparar esto con e1 desarrollo (2152’) de T, vemos que la armónica de superficie de Laplace T n θ ,λ , para

n≥2 esta representada por

T nθ ,λ =−kMa ∑m=0

n


De acuerdo con 1a aproximación esférica usual, reemplazamos a por R, obteniendo así

T nθ ,λ =−kMR ∑m=0

n


Insertamos esta ecuación, junto con (2172.}, en (2184a) y obtenemos

g θ ,λ =−kM

R2 ∑n=2

∞

∑m=0

n

n−1 Jδ nm cos mλ Kδ nm sinmλ Pnm cosθ −k Mδ

R2

2 WδR

(2195a)

También podemos escribir el desarrollo armónico esférico de g la forma usual (166):

g θ ,λ =∑n=2

∞

∑m=0

n

cnm cos mλd nm sinmλ Pnmcosθ (2195b)

en donde los coeficientes Cnm yd nm están dados por (170):

cn0=2n1

4π ∬σgPn cosθ dσ

cnm

dnm

gPnmcosθ cos mλsinmλ

{¿ }¿ {}=2n12π

n−m !nm !∬σ

¿ {¿ }¿{}dσm≠0 ¿

(2196)

Las ecuaciones (2195a) y (2i95b) ebviamente son idénticas a (2184a) y (2l84b), las armónicas de superficie de Laplace T n θ ,λ y g nθ ,λ se escriben explícitamente al igual que en la ecuación (166).

Al comparar los coeficientes de (2195a) y de (2195b) vemos que

Jδ nm=−R2

n−1 kMcnm , Kδ nm=−

R2

n−1 kMdnm

Como Jnm =J’nm+Jnm, lugo K nm=K nm Y J’nm=0 para m=0, finalmente obtenemos

Jn=J ' n−R2

n−1kMcn0

Jnm=−R2

n−1 kMcnm

K nm=−R2

n−1 kMdnm

¿ }¿

¿m≠0 ¿

(2197)

Aquí hemos abreviado los coeficientes zonales Jno Por Jn.

Por consiguiente podemos describir la determinación de los coeficientes armónicos esféricos de1 potencial de la tierra de la siguiente manera. Se desarrollan las anomalías de la gravedad g , que deben cubrir la tierra entera para formar una serie de armónicas esféricas, de acuerdo con (2195b) y (2196). Luego calculamos los coeficientes J'n para el elipsoide de referencia usando (292) por ejemplo. De esta manera las formulas (2L97) proporcionaran el resultado deseado.

De especial importancia es el coeficiente Jn=C−A

Ma2 (2198)

que expresa la diferencia entre los momentos principales de inercia de la tierra C es el momento polar y

A=12 AB (2199)

en el momento ecuatorial medio de inercia; refiérase a (249).

221 E1 Elipsoide Terrestre Medio

Como e1 elipsoide de revolución de nivel y su campo de gravedad se determinan enteramente por medio de cuatro constantes, hay un solo elipsoide que tiene e1 mismo potencial Wo que el qeoide y la misma masa M, la misma diferencia entre los momentos de inercia C A , y la misma velocidad angular ω ; que la tierra; A se define mediante (2199). De acuerdo con (2198) este elipsoide también tiene el mismo coeficiente J2. Puede considerarse en mucho aspectos la, mejor representación de la tierra por medio de un elipsoide; por lo tanto se le conoce como el elipsoide terrestre medio.

E1 elipsoide terrestre medio, definido por W 0 , kM , C−A ,ω

o, de una forma equivalente, porW 0 , kM , f 2 ,ω

tiene muchas propiedades convenientes. Como hemos observado en la seccion 219, encierra el mismo volumen que e1 geoide; en la sección 511 veremos que la suma de los cuadrados de las desviaciones N del geoide con respecto al elipsoide terrestre medio es mínima. Si el elipsoide terrestre medio estuviera en una posición absoluta y su centro coincidiera con el centro de gravedad de la tierra, tendría entonces un potencial normal U que en el caso de distancias mayores seríaa prácticamente igual al potencial real W y de 1a tierra.

Esta última propiedad del elipsoide terrestre medio lo hace particularmente adecuado para la astronomía dinámica – por ejemplo, con respecto a la teoría del movimiento de la luna o de los satélites artificiales. El motivo de ello es que para distancias mayores solo resultan efectivas las armónicas hasta el segundo grado, las cuales son iguales para W y U debido a la igualdad de kM (grado 0), la posición absoluta del elipsoide (primer grado), y la igualdad e J2 (segundo grado, zonal1).

Esta definición del elipsoide terrestre medio nos permite proporcionar definiciones precisas del semieje principal a de la tierra de la gravedad ecuatorial γ0 , etc., para fines geodésicos. De hecho, el ecuador real de la tierra es una curva irregular en lugar de un circulo de radio a, y si midiéramos la gravedad a lo largo del ecuador, obtendríamos muchos valores distintos en lugar de una constante definida γ0 . Algo similar resulta cierto, por ejemplo, en el caso del

achatamiento f =a−b /a . Esta constantes, a, f, γ0 , etc., deben por lo tanto considerarse parámetros derivados que hacen referencia a un elipsoide idealizado en lugar de directamente a la tierra.

Para obtener estas cantidades a partir de valores dados W0, kM, J2, ω resolvemos las dos ecuaciones

W 0=kME

tan−1e 13ϖ2 a2 ,

J2=E2

3a2 1−2

15mequ

Con respecto a a y f calculamos γ0 por medio de (2 73). La primera de estas ecuaciones es (261); la segunda se

obtiene de (290) si notamos que J2= C−A /Ma2 . en la practica resulta mas conveniente usar el desarrollo en

serie correspondiente (2104), (2118) y (2105ª).

Resulta aun mas conveniente usar las formulas diferenciales. Como b=a(1f)podemos aproximar (2111) y (2112) por medio de

kM=a2γ01− f 32

mW 0=aγ01−2

3f

116

m Despejando a y γ0 obtenemos a=

kMW 01 1

3f

13

mγ0=

W 02

kM 113

f−136

mDiferenciando estas formulas y haciendo caso omiso de f y m en los coeficientes, hallamos las siguientes como aproximaciones esféricas.

aδ=1

aγ0

k Mδ −1γ0

Wδ 13

a fδ

δγ0=−1

a2k Mδ

2a

Wδ 13γ0 fδ (2200´)

____________________________________________________________________________________________________________1 tamben habrían términos no zonales del segundo grado, por que A≠B, pero serán mucho mas pequeños que J2

Esta puede simplificarse considerablemente aplicando (2182) y (2186)

aδ=N 013

a fδ ,

δγ0= g013γ0 fδ ,

De acuerdo con (2118) obtenemos aproximadamente,

f =32

J 212

m

La diferenciación nos proporciona finalmente

fδ=32

J 2 (2201)

Esta ecuación expresa el cambio de acatamiento en términos de la variación de J2; los cambios en a y γ0 pueden obtenerse de (2200) o (2200´).

Cabe recordar, no obstante, que el elipsoide terrestre medio definido en esta forma no es en modo alguno la mejor superficie de referencia para propósitos geodésicos prácticos. Básicamente podemos definirlo empíricamente por medio de determinaciones empíricas de kM, W0 , etc. Sus parámetros cambian cada vez que mejora la calidad o el número de mediciones pertinentes (gravedad, distancia, etc.). Y como gran cantidad de datos numéricos se basa en un elipsoide de referencia hipotético, seria un poco practico cambiarlo con frecuencia. Resulta mucho mejor usar un elipsoide de referencia fijo con parámetros establecidos, que pueden ser mas o menos arbitrarios y siempre y cuando ofrezcan una buena aproximación. A este respecto, incluso el elipsoide internacional podría ser suficiente, aunque tal vez pueda considerarse deseable un cambio por otros motivos.

Hay cierto conflicto de intereses entre los geodesias y los astrónomos con respecto al elipsoide terrestre. El geodesta necesita una superficie de referencia permanente, mientras que el astrónomo desea obtener la mejor aproximación de la tierra mediante un elipsoide. La mejor solución es usar un elipsoide de referencia geodésico fijo y calcular de vez en cuando para propósitos astronómicos las “mejores” correspondientes para aplicar a los parámetros supuestos.

222. Desviaciones de la vertical. Formula de Vening Meinesz

La formula de Stokes permite calcular las ondulaciones geoidales a partir de las anomalías de la gravedad Vening Meinesz (1928) desarrollo una formula similar para calcular las desviaciones de la vertical a partir de las anomalías de la gravedad.

Figura 220La relación entra la ondulación geoidal la desviación de la vertical.

La figura 2 20 muestra la intersección del geoide y el elipsoide de referencia con un plano vertical azimut arbitrario. Si є es la componente de la desviación vertical en este plano, entonces

dN=−ε ds , (2202)o ε=−dN /ds ; (2203) El signo negativo responde a una regla convencional y su significado se explicara mas adelante.En una dirección norte sur tenemosε=ξ y ds=dsφ=Rd φ ;

En una dirección este oeste ε=η y ds=dsλ=R cos dφ λ ;

En las formulas para dsφ y dsλ hemos utilizado nuevamente la aproximación esférica; de acuerdo con (138), el elemento lineal de la esfera r=R esta dado por

ds2=R2 dφ2

R2 cos2 dφ λ2

Si especializamos (2203) hallamos

ξ=− dNdsφ

=−1R∂N∂φ

,

η=−dNdsλ=−

1R cosφ

∂ N∂λ

(2204)

Lo cual nos muestra la relación entre la ondulación geoidal N y las componentes ξ y η de la desviación de la vertical.Como N esta dado por la integral de Stokes, nuestro problema es diferenciar esta formula con respecto a φ y λ . Para ello usamos la forma (2167).

N φ ,λ =R

4 Gπ ∫λ =0

2π

∫φ =−π/ 2

π / 2

g φ `, N S ψ cosφ dφ´ dλ´,

En donde ψ se define como una función de φ ,λ ,φ `,λ por medio de (2168).

La integral del lado derecho de esta formula depende de φ y λ solamente a través de ψ en S ψ . por lo tanto, al diferenciar bajo el signo integral hallamos

∂N∂φ

=R

4 Gπ ∫λ =0

2π

∫φ =−π / 2

π / 2

g φ `,λ dS ψ

dφcosφ dφ´ dλ ´, (2205)

Y una formula similar para ∂N / ∂λ . Aquí tenemos

∂S ψ

∂φ=∂ S ψ

∂ψ∂ψ∂φ

,∂S ψ

∂λ=∂ S ψ

∂ψ∂ψ∂λ

, (2206)

Escribiendo (2168) en la forma

cosψ=sen φ senφ ´cosφ cosφ `cos λ −λ (2207)

Y diferenciando con respecto a φ y λ obtenemos

−senψ∂ψ∂φ

=cosφ sen φ ´−senφ cosφ `cos λ −λ

−senψ∂ψ∂φ

=cosφ cosφ ´ sen λ −λ

Ahora incluimos el azimut α , tal como se muestra en la Fig. 216. de acuerdo con el triangulo esférico de la Fig. 221 y aplicando conocidas formulas de la trigonometría esférica obtenemos

−senψ cosα=cosφ senφ ´−senφ cosφ `cos λ −λ −senψ sen α=cosφ cosφ ´ sen λ −λ (2208)

Si insertamos estas en las ecuaciones anteriores hallamos las expresiones sencillas

∂ψ∂φ

=−cosα , ∂ψ∂λ

=−cosφ senα (2209)

De modo que

∂S ψ

∂φ=−

∂S ψ

dψcosα ,

∂S ψ ∂λ

=−∂S ψ

∂ψcosφ senα

Estas se sustituyen en (2205) y la formula correspondiente para ∂N / ∂λ , y con las ecuaciones (2204) finalmente obtenemos

ξ φ ,λ =R

4 Gπ ∫λ =0

2π

∫φ =−π / 2

π/ 2

g φ `,λ ∂S ψ

∂ψcosα cosφ dφ´ dλ´,

η φ ,λ =R

4 Gπ ∫λ =0

2π

∫φ =−π/ 2

π/ 2

g φ `,λ ∂S ψ

∂ψsen α cosφ dφ´ dλ ´, (2210)

Figura 221

La relación entre las coordenadas geográficas y las polares en la esfera.

O expresando en la forma abreviada usual, ξ=1

4 Gπ ∫0∫ g dSdψ

cos dα σ

η=1

4 Gπ ∫0∫ g dSdψ

sen dα σ (2210)

Estas son las formulas de Vening Meinesz. Si diferenciamos la función de Stokes S(), ecuación (2164), con respecto a ψ obtenemos la función de Vening Meinesz

dSdψ=−

cos ψ /2

2 sen 2ψ /2

8 senψ−6 cos ψ /2 −31−sen ψ /2

senψ3 senψ ln [ sen ψ /2 sen2 ψ /2 ]

(2211)Esto puede verificarse rápidamente usando las identidades trigonométricas elementales. El azimut α esta dado por la formula

tan α=cosφ sen λ −λ

cosφ sen φ −senφ cosφ `cos λ −λ (2212)

Que es el resultado inmediato de (2208).La forma (2210) es una expresión de (2210`) en términos de las coordenadas geográficas φ y λ . Al igual que con la formula de Stokes (sección 217) podemos usar una expresión en términos de las coordenadas polares esféricas ψ y α :

{ξη }=1

4 Gπ ∫λ =0

2π

∫ψ=0

π

g ψ , a {ξη}∂S∂ψ

sen d dψ ψ α , (210”)

El lector puede verificar fácilmente si estas ecuaciones proporciona las componentes ξ y η de la desviación con el signo correcto correspondiente a la definición (2140): véase también la Fig. 213. este es el motivo por el cual incluimos el signo negativo en (2203).

Cabe anotar que la formula de Vening Meinesz, en la forma en que se encuentra es valida para un elipsoide de referencia arbitrario, mientras que la formula de Stokes tuvo que ser modificada agregando una constante N0: si diferenciamos la formula modificada de Stokes (2183b) con respecto a φ y λ para obtener la formula de Vening Meinesz, entonces esta constante N0 queda eliminada y obtenemos las ecuaciones (2210`).La aplicación practica de las formulas de Stokes da origen a muchos problemas importantes para los cuales el lector debe referirse a la sección 224 y al capitulo 3. La formula dS/d y las funciones relacionadas se encuentran tabuladas en la publicación de Sollins (1947).

223. El gradiente vertical de la gravedad.Reducción de aire libre al nivel del mar

Para la reducción teóricamente correcta de la gravedad al geoide necesitamos el gradiente vertical de la gravedad, ∂ g /∂ h . si g es el valor observado en la superficie de la tierra entonces es posible obtener g0 en el geoide como un

desarrollo de Taylor:

g0=g−∂ g∂ h

H …,

En donde H es la elevación de la estación gravimetría sobre el geoide. Pasando por alto todos los términos excepto el lineal, tenemos g1=g f , (2213) En donde

F=−∂ g∂ h

H (2214)

Es la reducción del aire libre al geoide. Aquí, al igual que en todo este capitulo, hemos dado por sentado que no hay ninguna masa sobre el geoide, o que se ha eliminado antes, de manera que en realidad esta reducción se lleva a cabo en “aire libre”. ∂ g∂h=−2 gJ−2ω2

La formula de Bruns (220), con ρ=0, no puede aplicarse directamente para este propósito porque se desconoce la curvatura media J de las superficies de nivel. Por consiguiente, se procede en la forma usual dividiendo ∂ g /∂ h en una parte norma y en una parte anómala

∂ g∂h=∂γ∂ h∂ g∂ h

(2215)

El gradiente normal ∂γ /∂ h está dado por (279) y (280), o por (2121). Primero consideraremos la parte anómala ∂ g /∂ h .

Expresión en términos de g . La ecuación 2155 puede escribirse

g r ,θ ,λ =∑n=0

∞

Rr

n2

gn θ ,λ .

Si diferenciamos con respecto a r y usando r=R, obtenemos el nivel del mar:

∂ g∂r=−

1R∑n=0

∞

n2 g0=−1R∑n=0

∞

ng 0−2R

g (2216)

Ahora podemos aplicar (1102), usando V= g y Y0 = g0 . El resultado es

∂ g∂r=

R2

2π∬g− gr

Ì 0

dσ−2R

gr (2217)

En esta ecuación, gr hace referencia al punto fijo P en donde hay que calcular ∂ g /∂r ; I0 es la distancia espacial

entre el punto fijo P y el elemento de superficie variable R2 dσ , expresado en términos de la distancia angular ψ por

I0=2 Rsenψ2

.

Comparemos la figura 113 de la sección 118; el elemento R2 dσ no se halla en el punto P`.

La formula integral importante (2217) representa el gradiente vertical de la anomalía de la gravedad en términos de la misma anomalía de la gravedad. Como el integrando disminuye rápidamente al aumentar la distancia, es suficiente en esta formula para extender la integración a las cercanías del punto P mientras que en las formulas de Stokes y Vening Meinesz la integración debe incluir la tierra entera si se desea obtener suficiente precisión.

Expresión en términos de N. Si diferenciamos la ecuación (2154)

g=−∂T∂r−

2r

T

Con respecto a r, obtenemos

d gdr=−

∂2 T∂r2 −

2r∂T∂r

2

r2 T

A esta formula se le agrega la ecuación de Laplace T=0 , que en coordenadas esféricas tiene la forma1

∂2 T∂r2

2r∂T∂ r−

tanφ

r2

∂T∂φ

1

r2

∂2T∂φ 2

1

r2 cos2 φ

∂2T∂λ2=0

El resultado, al fijar r=R , es

∂ g∂r=

2

R2 T−tan φ

R2

∂T∂φ

1

ρ2

∂2 T∂φ2

1

R2 cos2 φ

∂2T∂λ2

(2218)

Como T=GN , también podemos escribir

∂ g∂r=

2G

R2 N−G tanφ

Ri

∂N∂φ

GR2

∂2 N∂φ 2

GR2 cos2φ

∂2 N∂ λ2

(2219)

Esta ecuación expresa el gradiente vertical de la anomalía de la gravedad en términos de la ondulación geoidal N y su primera y segunda derivadas son horizontales. Su valor puede determinarse por medio de una diferenciación numérica usando un mapa de la función 0N no obstante es menos adecuada que (2217) para aplicaciones practicas por que requiere un mapa geoidal local sumamente preciso y detallado, lo cual es prácticamente imposible de conseguir; las inexactitudes de N pueden simplificarse enormemente formando las segundas derivadas.

Expresión en términos de ξ y η . De acuerdo con las expresiones (2204) hallamos

∂N∂φ

=−Rξ , ∂N∂λ=−Rη cosφ ,

De modo que

∂2 N∂φ 2=−R

∂ξ∂φ

, ∂

2 N∂λ2

=−R∂η∂λ

cosφ ,

_______________________________________________________________________________1. vease la ecuación (141); sustituya 0=900 φ .

Si incorporamos esto en (2219), obtenemos

∂ g∂r=

2G

R2 NGRξ tan φ−

GR2

∂ξ∂φ−

GR cosφ

∂2 η∂λ

(2220)

Al incluir las coordenadas rectangulares locales, x, y en el plano tangente tenemos

Rd φ=dsφ=dx ,R cos dφ λ=dsλ=dy ,

De modo que (2220) pasa a ser

∂ g∂r=

2G

R2NG

Rξ tan φ−G

∂ξ∂ x∂η∂ y .

Puede demostrarse que los primeros dos términos del lado derecho son muy pequeños en comparación con el tercero; por lo tanto

∂ g∂r=−G

∂ξ∂ x∂η∂ y . (2221)

Con suficiente precisión. Estas formulas representan el gradiente vertical de la anomalía de la gravedad en términos de las derivadas horizontales de la desviación de la vertical. También es posible determinar su valor por medio de una diferenciación numérica siempre que se disponga de un mapa de ξ y η . Son mas apropiados para aplicaciones practicas que (2219) ya que solo se requieren las primeras derivadas. Para un calculo mas practico refiérase a Mueller (1961).

Estas formulas se usaran en la sección 88

224 determinación practica del valor de las formulas integrales

El valor de las formulas integrales cono las de Stokes y de Vening Meinesz se determina aproximadamente por medio de sumas de una sucesión. Los elementos de superficie dσ se remplazan por compartimientos pequeños pero finitos q . Los cuales se obtienen subdividiendo la superficie de la tierra en una forma conveniente. Se utilizaran dos métodos convenientes de subdivisión:

1. Plantillas (fig. 222). La subdivisión se efectúa mediante círculos concéntricos y sus radios. La plantilla de material transparente coloca sobre un mapa gravimétrico de la misma escala, de manera que el centro de la plantilla con el punto de calculo P en el mapa. Las coordenadas naturales para este fin son las coordenadas polares ψ y α con origen en P.

2. Líneas cuadriculares (fig. 223). La subdivisión se efectúa por medio de líneas cuadriculares de algún sistema fijo de coordenadas, especialmente de coordenadas geográficas φ , λ . Forman casillas rectangulares por ejemplo de 10`x 10´ o de 1o x 1o. estas casillas se conocen también como cuadrados aunque por lo general no son cuadrados de acuerdo a la definición de geometría plana.

Como ejemplo para ilustrar los principios de la integración numérica, consultaremos ahora la formula de Stokes

N=R

4 Gπ ∬gs ψ dσ

Figura 222 una plantilla

En sus formas explicitas (2165) para el método de plantilla y (2167) para el método que utiliza casillas fijas.

Para cada comportamiento qk las anomalías de la gravedad se remplazan por su valo medio gk en dichos compartimientos. Por consiguiente la ecuación anterior se convierte en

N=R

4 Gπ ∑k∬ gk S ψ dσ=

R4 Gπ ∑k

gk∬S ψ dσ (2222)

N=∑k

C k gk

36λ o20` 30´ 40´ 36o50´

45º30`

30`

γ= 45º10`

Figura 223Casillas formadas por una cuadricula de coordenadas geográficas

En donde los coeficientes

Ck=R

4 Gπ ∬S ψ dσ (2223)

Se obtienen mediante la integración del comportamiento qk; no dependen de g .

Si el integrando en nuestro caso la función de Stokes S ψ es razonablemente constante en el compartimiento qk

que puede reemplazarse por su valor S ψ en el centro de qk.

Luego tenemos

Ck=R

4 GπS ψ ∬ dσ=

S ψ

4πGR∬R3dσ

La integral final es sencillamente el área Ak del compartimiento. Por lo tanto obtenemos

Ck=Ak S ψ

4 Gπ (2224)

Esta forma es mucho mas sencilla, sin embargo cerca del punto de calculo podría se necesario utilizar los coeficientes integrados (2223).

Si los compartimientos están formados por las líneas φ=const , λ=const entonces el cálculo de estos coeficientes integrados resulta difícil. Para el método de plantilla, no obstante, donde los compartimientos están formados por las líneas ψ=const ., α=const ., resulta bastante sencillo. Tenemos.

Ck=R

4 Gπ ∫α=α1

α1

∫ψ=ψ1

ψ1

S ψ sen d dψ ψ α

=R α2−α1

4 Gπ ∫ψ1

ψ2 S ψ sen dψ ψ

La función

J ψ =12∫0

ψS ψ sen dψ ψ=∫0

ψF ψ dψ (2225)

(Refiriéndose a la sección 217) ha sido tabulada por Lambert y Darling (1936). Por consiguiente obtenemos

Ck=R α2−α1

2 Gπ [ J ψ2 −J ψ1 ] (2226)

Como otro ejemplo, consideraremos ahora la formula (2217) de la sección.

Aquí

Ck=R2

2π∬qk

dσG

En donde

I0=2 Rsenψ2

Hallamos

Ck=1

16 Rπ ∫α=α1

α1

∫ψ=ψ1

ψ1 sen d dψ ψ α

sen2 ψ /2

=α2−α1

16 Rπ ∫ψ=ψ1

ψ1 2 sen ψ /2 cos ψ /2

sen2ψ /2

dψ=α2−α1

8 Rπ ∫ψ1

ψ2 cos ψ /2

sen2ψ /2

dψ

Esta integral se resuelve fácilmente sustituyendo u=sen ψ /2 ; obtenemos

Ck=α2−α1

2π 1

I0 .1

−1

I 0 .2 (2227)

La ventaja del método de plantilla consiste en su gran flexibilidad. La influencia de los compartimientos cerca del punto de calculo P es mayor que la de los compartimientos mas distantes, y el integrando cambia mas rápidamente en la proximidad de P. por lo tanto, se necesita una subdivisión aun mayor alrededor de P. esto puede lograrse fácilmente por medio de plantillas. Además, el cálculo de los coeficientes integrados resulta mas sencillo con el método de plantilla.

La ventaja de un sistema fijo de casillas formada por una cuadricula de coordenadas geográficas radica en el hecho de que se necesitan sus anomalías medias de la gravedad para diversos propósitos. Una vez determinadas, estas anomalías medias de las casillas de tamaño estándar pueden almacenarse y procesarse fácilmente por medio de una computadora electrónica. Además, se utiliza la misma subdivisión para todos los puntos de cálculo, mientras que los compartimientos definidos por una plantilla cambia cuando esta se corre al siguiente punto de cálculo. La flexibilidad del método de casilla estándar es limitada por supuesto; sin embargo, es posible utilizar casillas mas pequeñas (5`x5`, por ejemplo) en la proximidad de P y otras mas grandes (1ºx 1º, por ejemplo) a distancias mayores. Generalmente se prefiere este método para los cálculos electrónicos.

También es posible combinar los dos métodos, calculando el efecto de la zona interior por medio de una plantilla y utilizando afuera las casillas estándar. Esto podría resultar ventajoso si el integrando cambia demasiado rápido en una casilla de 5`x5`, que normalmente es el tamaño estándar mas pequeño disponible.

Efecto de la proximidad. Aun el la zona interior, el método de plantilla podría traer dificultades si el integrando fuera hacia el infinito como ψ 0 . Esto sucede con la formula de Stokes, dado que

S ψ =2ψ

(2228)

para un pequeño. Esto puede verse en la definición (2164) ya que el primer termino es predominante y para un ψ pequeño esta dado por

1sen ψ /2

=1

ψ /2 =

2ψ

La función de Vening Meinesz pasa a ser infinita también ya que, con el mismo grado de aproximación,

dS ψ

dψ=−

2

ψ2 (2229)

En la formula del gradiente (2217), el integrando

1

I03=

1

R ψ3 (2230)

se comporta en forma similar.

Por consiguiente resulta conveniente dividir el efecto de esta zona interior, la cual se supone sea un circulo de radio alrededor del punto de calculo. Por ejemplo, la integral de Stokes se convierte de esta manera en

N=N iN eDonde

N i=R

4 Gπ ∫α=0

2π

∫ψ=0

ψπ

gS ψ dσ Y N e=R

4 Gπ ∫α=0

2π

∫ψ=ψ0

π

gS ψ dσ

El radio ψ0 de la zona interior corresponde a una distancia lineal de unos cuanto kilómetros.

Dentro de esta distancia podemos considerar la esfera como un plano usando las coordenadas polares S, α en donde

s=Rψ=Rsenψ=2 Rsen ψ /2 ,De modo que el elemento de área se convierte en

R2 dσ=sdsdαDe acuerdo con esta aproximación podemos usar de (2228) a (2230), haciendo que

S ψ =2Rs

, dSdψ=−

2R2

s2,

1

I03=

1

s3

Tanto en las funciones de Stokes como en las de Vening Meinesz, el error relativo de estas aproximaciones es de 1%

para s=10km, y un 3% para s=30km. En el caso de 1/ I 01 es aun menor. Por tanto el efecto de esta zona interior en

nuestras formulas integrales pasa a ser

N i=1

2 Gπ ∫α=0

2π

∫s=0

sπgs

s dsd α (2231)

{ξη }i=−1

2 Gπ ∫α=0

2π

∫s=0

sπgs2 {cosα

sen α }sdsd α (2232)

∂ g∂h i=

12π ∫α=0

2π

∫s=0

sπ g− g p

s3 sdsd α (2233)

Para determinar el valor de estas integrales desarrollamos g en una serie de Taylor en el punto de calculo P:

g= grxgxygy12!

x2 gxx2 xygxvy2 gyy +…

Las coordenadas rectangulares x, y se definen por x=s cosα , y=ssenα1

De modo que el eje x apunta hacia el norte. Además tenemos

g s=∂ g∂ x p , g ss=∂

2 g

∂ x2 p

, etc.

esta serie de Taylor puede escribirse también

g= g ps gx cosαgv sen α s2

2 gxx cos2α2gxy cosα sen αgyy sen2α .. .

Al incorporar esto en las integrales anteriores, podemos determinar fácilmente su valor. Efectuando primero la integración con respecto a α y notando que

∫0

2π

dα=2π ,

∫0

2π

sen dα α=∫0

2π

cos dα α=∫0

2π

senα cos dα α=0 ,

∫0

2π

sen2 dα α=∫0

2π

cos2 dα α=π

Hallamos N i=1G∫0

∞

[ g ps2

4 gxxgyy . . .]ds ,

{ξη }=−1

2G∫0

∞

{gx. . .gy. .. }ds ,

∂ g∂h =

14∫0

∞

gxxgyy. . . ds .

Ahora efectuamos la integración sobre s, reteniendo solamente los términos mas bajos que no se anulan. El resultado es

N i=−s0

Ggp ; (2234)

ξi=−s0

2Ggx

, ηi=−s0

2Ggy ; (2235)

∂ g∂h =

s0

4 gxxgyy (2236)

Vemos que el efecto de la zona circular inferior de la formula de Stokes depende, en una primera aproximación, de el valor de g en P; el efecto de la formula de Vening Meinesz depende de las primeras derivadas horizontales de g ; y el efecto en el gradiente vertical depende de las segundas derivadas horizontales.

Nótese que la contribución de la zona interior a la desviación total de la vertical tiene la misma dirección que la línea de mayor inclinación de la “superficie de la anomalía de la gravedad” por que el vector planar

O ,=ξ1 ,η1

Figura 224Líneas de g constante y líneas de descenso más inclinado.Es proporcional al gradiente horizontal de g ,

grad₧ g=gx , g y La dirección del grad g define la línea de descenso mas inclinado (véase la Fig. 224).

Los valore de g x y gy pueden obtenerse de un mapa gravimétrico. Son la inclinaciones de perfiles norte sus y este

oeste a través de P. los valores de gxx

y gyy pueden determinarse ajustando un polinomio en x y y de segundo

grado a la función de anomalías de la gravedad en la proximidad de P. La influencia de las zonas distantes en las formulas de Stokes y Vening Meinesz refiérase a Hotila (1960). Los geofísicos han desarrollado técnicas numéricas interesantes para la integración y la diferenciación, las cuales resultan útiles para determinar el valor de formulas tales como (2217) y (2236); refiérase a Jung (1961).

3METODOS GRAVIMETRICOS

31. REDUCCION DE LA GRAVEDAD La gravedad g que se mide en la superficie física de la tierra no puede compararse directamente con la gravedad normal γ que hace referencia a la superficie de l elipsoide. Es necesario efectuar una reducción de g a nivel del mar. Como hay masa sobre el nivel del mar, los métodos de reducción difieren según la forma en que se tratan estas masas topográficas.

La reducción de la gravedad permite llevar a cabo tres objetivos principales: 1. la determinación del geoide2. la interpolación y extrapolación de la gravedad3. la investigación de la corteza terrestre.

Únicamente los dos primeros son de naturaleza geodesica. El tercero es de interés para los geofísicos y los geólogos teóricos que estudian la estructura general de la corteza, y para los geofísicos exploradores que buscan detalles o accidentes de poca profundidad que pudieran indicar la presencia de depósitos minerales

Para usar la formula de stokes en la determinación del geoide es necesario que las anomalías de la gravedad g representen valores limites en el geoide, para lo cual se requieren dos condiciones: primero, que la gravedad g haga referencia al geoide; y, segundo, que no haya masas fuera del geoide (sección 2 13). Por consiguiente by hablando en sentido figurado, la reducción de la gravedad consta de los siguientes pasos: eliminar masas topográficas fuera del geoide completamente o correrlas por debajo del nivel del mar; luego se baja la estación gravimetriíta desde la superficie de la tierra (punto P), hasta el geoide (punto P0, véase la Fig. 31)

Figura 31 Reducción de la gravedad

Para el primer paso hay que conocer la densidad de las masas topográficas lo cual es, por supuesto algo problemático.

Mediante este procedimiento de reducción, se eliminan ciertas irregularidades en la gravedad producidas por las diferencias en alturas de las estaciones, facilitando así la interpolación e incluso la extrapolación a las áreas no observadas (sección 710)

32. Formulas auxiliares

Calculemos el potencial U y la atracción vertical A de un cilindro circular homogéneo con un radio a y una altura b en un punto P se encuentra arriba del cilindro c>b. luego el potencial estará dado por la formula general (111),

U=k∭ρI

dv .

Figura 32Potencial y atracción de un cilindro circular en un punto externo

Si incorporamos las coordenadas polares s ,α en el plano x, y por medio de

x=s cosα , y=ssenα (32)

Tenemos I=s2 c−z

2

Ydv=dxdydz=sdsd α dz

Por lo tanto hallamos que con una densidad p=const ,

U=k p ∫α=0

2π

∫s=0

a

∫z=0

bsdsdzd α

s2c−z

2

=2 kπ ρ ∫α=0

2π

∫z=0

sdsdz

s2c−z

2

La integración con respecto a s proporciona

∫0

asds

s2 c−z

2=s2

c−z 2∣a0=a2

c−z2 −cz

De mod0o que tenemos

U=2 kπ ρ∫0

b

−cza2 c−z2 dz

La integral indefinida es 2 kπ ρ multiplicado por

12c−z

2−

12c−z a2

c−z 2

12

a2 ln c−z a2 c−z

2

Según puede verificarse por medio de una diferenciación. Por consiguiente U finalmente se convierte en

U e= kπ ρ

c−z 2−c2

−c−b a2c− z

2ca2

c2

−a2 ln c−ba2 c−b2 a2 ln ca2

c2 ¿

righ¿

¿

¿

[¿ ]¿

¿¿

(32)

En donde el subíndice e indica que p esta externo al cilindro.

La atracción vertical a es la derivada negativa de U con respecto a la altura c [comparece con la ecuación (214)]:

A=−∂U∂c

(32)

Diferenciando 32 obtenemos

A=2 kπ ρ [ba2 c−b

2−a2

c2 ] (34)

P sobre el cilindro. En este caso tenemos que q e c = b y que las ecuaciones (32) y (34) pasan a ser

U0= kπ ρ −b2ba2

b2a2 ln

ba2b2

a (35)

A0=2 kπ ρ ab2−a2

b2 (36)

P dentro del cilindro. Supongamos ahora que P se encuentra dentro del cilindro, c<b. por medio del plano z = c separamos el cilindro en dos partes 1 y 2 (fig 33), y calculamos u como la suma de las contribuciones de estas dos partes: U i=U1U 2

En donde el subíndice i denota que P se encuentra ahora dentro del cilindro. El termino U1 esta dado por (35) en donde se ha sustituido b por c, y U2 esta dado por la misma formula en donde se ha sustituido b por bc. su suma es

U i= kπ ρ

−c2− b−c

2ca2

c2 b−c a2

b−c 2

a2 lnca2

c2

aa2 ln

b−ca2b−c 2

a¿

righ¿

¿

¿

[¿ ]¿

¿¿

(37)

Podemos ver fácilmente que la atracción es la diferencia A1 – A2:

Ai=2 kπ ρ [2c−ba2 c−b

2−a2

c2 ] (38)

Esta formula también puede obtenerse diferenciando (37) de acuerdo con (33).

Disco circular. Digamos que el espesor b del cilindro tiende hacia cero, y que el productok=b p

Permanece finito. La cantidad k podría considerarse entonces como la densidad de superficie (sección 13) con la que se concentra la materia en la superficie de un circulo de radio a. necesitamos el potencial y la atracción para un punto exterior. Usando

ρ=kb

En (32) y (34) y dejando que b0 , obtenemos por medio de métodos de cálculos conocidos

Ue0=2 kπ ρ a2

c2−c (39)

Ae0=2 kπ ρ 1−

c

a2c2 (310)

Sectores y compartimientos. Las formulas anteriores no se utilizan para cilindros o discos completos si no para sectores y compartimientos como los que se muestran en la figura (222). Para un sector de radio a y ángulo

α=2πn

(311)

Figura 33Potencial y atracción en un punto

– α α1 – α α2 Figura 34Un compartimiento de plantilla

Tenemos que dividir las formulas anteriores por n. para un compartimiento que subtienden el mismo ángulo y esta delimitado por los radios a1 y a2 (Figura 34) obtenemos, en una notación obvia,

Ya que hp es la masa tanto de la coloumna topografica como de su compensación; d es la distancia entre los dos centros de masa ST y SC de la figura 316 (es h de la seccion 14): La condición d 0 se cumple bastante bien si d es pequeña en comparación con la distancia desde la estacion.

Por tanto, el efecto combinado de la topografía y de la compensación en la gravedad y potencia se obtiene por medio de (378) y (377) de la siguiente forma:

A T−A C=hdRπκρ

COS ψ

2SIN ψ 2

(382)

U T−U C=−hd 2πκρ sinψ2

(383)

fig 316Topografia y compensación como un dipolo

fig 317Topografia y compensación para las diferentes reducciones de la gravedad.

La figura 317 muestrala distancia d para las diferentes reducciones de la gravedad; tenemos:

PrattHayford: d=hd

2

AiryHeikanen: d=Tht

2

Rudzki (invesion): d=h

Helmert (condensación): d=h2

Estas son validas para los continentes.

En el caso de los oceanos no hay ni inversion ni condenascion, sino solamente compensación isotatica. En lugar de 381 tenemos:

=−h ' ρ−ρω ⋅d ´,

en donde pw y h’ son la densida y profundidad del océano, y d’ se calcula de la misma forma que antes dando como resultado:

PrattHayford: d '=D2

AiryHeikanen: d '=T−h 't '

2

Rudzki y Helmert: d '=0

El signo negativo en 385 indica que la masa se desplaza contraria a la anterior.

Para la compensación isostatica según PrattHayford 382, esto se convierte en:

Continentes: At−Ac=h hD

2Rπκρ

cosψ

2sin ψ 2

Oceanos: −Ac=hD2R

πκ ρ− wρ

cos2 ψ

2sin ψ 2

Estas dos formulas fueron deducidas por Helmert.

Todas esta formulas deberan usarse con relacion a algun sistema que divida la tierra en compartimentos esfericos similares a los de hayford de manera que en realidad

A=∑ AU=∑ U

En donde la densidad y la elevación pueden considerarse constantes para cada compartimento.

39. Determinación Practica del Geoide

Metodo de reduccion que ha de utilizarse. En principio, todas la reducciones de la gravedad son equivalentes y deberían dar por resultado el mismo geoide si se aplican debidamente y se toma en cuenta el efecto indirecto. No

obstante hay ciertos requisitos que limitan seriamente el numero de reducciones practicas. Los requerimientos principales son:

1. La reducción debe proporcionar anomalías de la gravedad pequeñas y uniformes para que puedan interpolarse fácilmente y, donde fuere necesario, extrapolarse. En otras palabras, una sola anomalía debe ser lo mas representativa posible de toda la vecindad.

2. La reducción debe corresponder a un modelo geofísicamente significativo de manera que las anomalias resultantes también puedan ser útiles para interpretaciones geofísicas y geologicas.

3. El efecto indirecto no debe ser excesivamente grande.

Las anomalías de Bouguer tienen buenas propiedades de interpolación – son grandes pero uniformes y son geofísicas significativas, pero para los propósitos de este manual debemos excluir la reducción de Bouguer en vista de su efecto indirecto excesivamente grande (refiérase a la sección 36).

La reducción de Rudzki no tiene efecto indirecto alguno en el geoide, pero cambia el potencial fuera de la tierra, que actualmente tiene la misma importancia que el geoide. Las anomalías de Rudzki no tienen significado geofísico alguno.

La reducción por condensación es fácil de calcular, ya que proporciona en forma aproximada las anomalías de aire Ubre y tiene un efecto indirecto insignificante. Tiene cierto significado geofísico que correspondería a un caso extremo de compensación isostatica. las anomalías de aire libre son pequeñas pero dependen demasiado de la topografía, de modo que su interpolación resulta sumamente imprecisa.

Las anomalías isostaticas satisfacen los tres requisitos. Los modelos en los que se basan se ciñen mejor a la realidad geológica. Las anomalías isostaticas son pequeñas, uniformes e independientes de la topografía, de manera que son ideales para la interpolación y la extrapolación, y muy representativas. El efecto indirecto es moderado.

Por tanto las anomalias de aire libre y las isostáticas deben considerarse como las más apropiadas para los fines actuales. La ventaja principal de las anomalias de aire libre es la fácilidad con que pueden calcularse; su desventaja principal es la dificultad que presentan para interpolación. En el caso de la reducción isostatica es todo lo contrario.

Dada la posibilidad actual de utilizar él calculo automático, el trabajo requerido para la reducción isostatica se ha facilitado enormemente. Por otra parte, los datos gravimetricos son escasos y deben procesarse de tal forma que se extraiga de ellos la mayor cantidad de información posible y que sean lo más representativos posibles. Es Lo favorece considerablemente la utilización de la reducción hipostática en la actualidad.

Cabe mencionar que también puedo usarse la reducción hipostática conjuntamente con la determinación gravimetrica directa de la superficie física de la tierra, tema que será tratado en oí capitulo 8; refiérase a la sección 811.

Datos gravimetricos. Para aplicar los métodos gravimetricos es necesario contar previamente con lo siguiente:

1. Teóricamente, hay que conocer las anomalías de la gravedad de cada punto sobre la superficie de la tierra; en la practica, es suficiente tener una red gravimetrica densa alrededor de los puntos de calculo y una distribución razonablemente uniforme de mediciones de gravedad afuera.

2. Todas las anomalías de la gravedad deberán convertirse al mismo sistema.

Las mediciones de Ta gravedad absoluta mediante péndulos requieren mucho trabajo y difícilmente se logra la precisión requerida de +l mgal . Por tanto, se prefieren las mediciones de la. gravedad relativa, las cuales pueden efectuarse por medio de péndulos con una precisión de +1 mgal. y mayor y por medio, de gravímetros con una precisión alrededor de +l mgal.

Estas mediciones relativas deberian estar enlazadas entre si de manera que referencia a un sistema gravimetrico mundial uniforme. Una estación ó varias en cada pais forman una red de estaciones gravimetricas base, a nivel mundial (Uotila, 1964a). El plano de referencia actual consiste en e1 llamado sistema de Potsdám que ésta basado en mediciones de la gravedad absoluta hechas alrededor de 1900 en el Instituto Geodésico de Potsdám, Alemania.

Este sistema requiere correcciones constantemente, 13 mgals. aproximadamente. Actualmente se están llevando a cabo varias determinaciones absolutas de la gravedad. Para ello se emplean diversas técnicas tales como el uso de péndulos y la observación de cuerpos en caída libre.

Los datos gravimetricos se reúnen y procesan en centros ^ como el Instituto Isostatico de Helsinki, la Universidad del Estado de Ohio, yla Oficina Gravimetrica Internacional de Parias.

Para un procesamiento automático, los datos se almacenan como valores medios de compartimientos que tienen un tamaño estándar, por ejemplo 5’X 5', 10’ X 10’, 1°X 1°, 2°X 2°, y 5°X 5|

El mapa de la Fig. 318 muestra los datos gravimetricos disponibles en 1959. La distribución esta lejos de ser satisfactoria. Se espera poder completar en el futuro las áreas extensas sin levantar que aparecen en los océanos con los resultados obtenidos de mediciones gravimetricas efectuadas en el mar y desde el aire.

Figura 318Anomalías medias de aire libre de bloques de 5° X 5°, unidad 1 mgal. Calculadas en la Universidad del Estado de Ohio sobre labase de los datos gravimetricos disponibles al 31 de diciembre de 1959.

Mientras tanto tenemos que tratar de rellenar los1espacios en blanco con valores extrapolados por medio de técnicas estadísticas (capitulo 7) o por medio de un modelo geofísico o con valores obtenidos utilizando combinaciones de ambos métodos. Uotila (1964b) calculó las anomalías de la gravedad de aire 1ibre que representaban el efecto de la topografía y de su compensación isostatica solamente, de modo que correspondieran a una anomalía isostatica de cero, utilizando un desarrollo armónico esférico hasta el grado 37 y así obtuvo valores medios de 5°X 5°. En la figura 319 se muestra parte de sus resultados. Mientras que Uotila no uso ningún dato gravimetrico real, Kivioja (1964) trato de aplicar a las áreas que no hablan sido levantadas una combinación de datos gravimetricos medidos y de extrapolación geofísica, usando nuevamente un modelo isostataico.

Figura 3 19 Anomalías medias de aire libre de Moques de 5°X 5° calculados por Uotila (1964b) para un modelo matemático <te la tierra en el sector comprendido entre tas longitudes de 0° y 90° E desde el Polo Norte hasta el Ecuador.

Cálculos geoidales. En la sección 224 se explicaron 1o^ principios de calculo de la formula de Stokes. Los primeros cálculos prácticos del geoide a nivel mundial fueron efectuados por Hirvonen (1934). El Calculo

las ondulaciones geoidales para 62 puntos distribuidos en una franja de este a oeste alrededor de la tierra. Estimo las anomalias medias de aire libré de aquellos bloques de 5°X 5° para los que se disponía de datos gravimetricos; en las áreas no levantadas utilizo anomalías de aire libre correspondientes a una anomalía isostatica de cero.

Tanni (1948, 1949) calculo las alturas geoidales utilizando la formula de Stokes al igual que Hirvonen, pero se baso en una cantidad mucho mayor de datos gravimetricos. Utilizo la reducción isostatica por medio del sistema de PrattHayford con D = 113.7 km y el sistema de AiryHeiskanen con T = 60 km. Tanm calculo las ondulaciones globales, usando bloques de 5°X 5, y un geoide mas detallado para Europa, usando bloques de l°X 1°.

El geoide gravimetrico detallado mas reciente es el de Columbus (Heiskanen , 1957). En ese entonces se disponia de cinco veces mas datos gravimetricos que los utilizados por Tanni. Se emplearon anomalías de aire libre, y se efectuó la integración numérica de la formula de Stokes usando una computadora electrónica. Los detalles de los cálculos se describen en el trabajo de Uotila, 1960. La figura 320 muestra el geoide europeo.

Los detalles de escala grande del geoide también pueden obtenerse por medio de un desarrollo armónico esférico de grado inferior, digamos hasta el grado cuatro u ocho, utilizando métodos como 1os descritos en la sección 220. Mencionamos Jeffreys (1943), Zhongolovich (19^2), Kaula (1961), Uotila (1962) y Kaula (1966). La figura 321 muestra el geoide de Uotila (1962), que corresponde a un desarrollo armónico esférico de cuarto grado. Los resultados

de los diversos autores difieren en cuanto a los datos gravimetricos disponibles y a los métodos utilizados para manejar la distribución no uniforme de los datos.

Para mayor información refiérase, por ejemplo, a Heiskanen (1965) y Kaula (1963).

Desviaciones de la vertical. La formula de Vening Meinesz (2210) para calcular las desviaciones de la vertical es mucho mas sensible a las anomalías locales de la gravedad alrededor del punto de calculo que la formula de Stokes para las alturas geoidales. Por consiguiente, se necesita una red gravimetrica densa alrededor del punto de calculo. El efecto de las zonas distantes es algo menor que con la formula ríe Stokes pero aun asi es considerable (refiérase a la sección 74),

Se requiere una precisión mayor puesto que +0.3" corresponde a unos +40 metros ;en la posición. Esto es mucho mas difícil de lograr que la precisión correspondiente de +10 metros en la altura geoidal.

Para mayores detalles sobre la integración numérica el lector puede referirse nuevamente a 1a sección 224. El efecto de la zona mas ifiterior requiere una evaluación cuidadosa del gradiente horizontal de la gravedad. El radio de esta zona interior varia entre 0.1 y 10 km de acuerdo con los diversos autores y dependiendo también de los datos gravimetricos disponibles y de 1a precisión deseada. Refiérase a Heiskanen ya Vening Meinesz (1950, pags. 25/277).

Fig 320El geoide Columbus para Europa, hace referencia al elipsoide internncional (f= 1/297). El intervalo de 1as curvr3s de nivel es de 2 metros.

Si se usan las anomalías isostaticas, entonces habria que tomar en cuenta el efecto indirecto, el cual es idéntico a 1a desviación isostaticatopógrafo correpondiente al modelo isostratico utilizado (sección 36). Si se usan las anomalías de aire libre, entonces podrán calcularse las desviaciones de la vertical en la superficie de la tierra en lugar del geoide utilizando los procedimientos de refinamiento descri tos en la sección 89.

Sistema geodésico mundial. Como la determinacion gravimétrica de las alturas geoidales proporciona valores absolutos para un elipsoide dé referencia que coincide con el centro de masa de la tierra, tiene un papel principal en un sistema geodésico mundial. (Heiskanen. '1951; Heiskanen y Vening Meinesz, 1968, capftulo 9).

Esto requiere una combinación con los datos astro geodésicos (refiérase a nuestro capitulo 5). Durante los u1timos cinco años, también se han usado los satélites para reunir datos para un sistema geodésico mundial (refiérase a nuestro capftulo 9).

Figura 321E1 geoide generalizado de Uotila (1962) calculado a partir de un desarrollo armónico esférico de cuarto grado. La unidad es 1 metro: el achatamiento del elipsoide de referencia, f = 1/298.24.

4

ALTURAS SOBREEL NIVEL DEL MAR

41. Nivelación con Nivel de Burbuja

El principio del nivel, do burbuja os ampliamente conocido. Para medir la diferencia de altura, H , entre dos puntos A y B se colocan miras verticales en cada uno de estos puntos y un nivel (instrumento de nivelación) entre ellas (fig. 41). Como 1a_recta AB es horizontal, la diferencia entre 1as lecturasde las miras l1=AA la diferencia de altura:

Para mayores detalles sobro esta técnica de medición, el lector puede referirse a la publicación de Bomford (1962).

Si medimos un circuito, es decir, una línea de nivelación cerrada, entonces por lo general 1a suma algebraica do todas las diferencias de altura medidas no será exactamente cero como esperaríamos aun si hubiésemos podido efectuar las observaciones con una precisión perfecta. Este error de cierre, como se llama indica que la nivelación es mas complicada de lo que aparenta ser a primera vista. ^

Veamos esto con mas detalle. La figura 42 muestra los principios;geométricos comprendidos. Digamos que los puntos A y Q se encuentran tan distantes uno del otro que resulta necesario aplicar el procedimiento de la figura 41 repetidamente. Por consiguiente la suma de las diferencias de

FIGURA 41

altura niveladas entre A y B no sera igual a la diferencia de las a11 ortometricas HA y Hg. El motivo de esto es que el incremento de nivelación, como seguiremos llamándolo, es distinto al incremento correspondiente dH de hb (fig. 42), debido a 1a falta de paralelismo de las superficies Si denotamos el incremento correspondiente al potencial W por dW, de acuerdo con (213) tenemos.

;' BW g n g Hδ δ− = =

en donde g es la gravedad en la estación de nivelacion y g es la gravedad en Ía línea de la plomada de B en dHb. Por tanto.

;'

Bg

H n ng

δ δ= ≠ (42)

FIGURA 42Nfve1acion y orfometrica.

No hay por consiguiente ninguna relación geométrica directa entre el resultado de la nive1aci5n y la altura ortometrica ya que (42) expresa una relacion física. Si no es la altura, entónces ¿que se obtiene directamente por nive1aci6n? Si también se mide la gravedad g. entonces es posible determinar.

;W g nδ δ= −

de manera que obtenemos

,R

B A

A

W W g nδ− = −∑ (4,3)

Por consiguiente, la nive1aci6n combinada con las mediciones de la gravedad proporciona las diferencias de potencial, es decir, cantidades físicas.

Teóricamente, resulta mas preciso reemplazar la suma de'(43) por una integral, obteniéndose así

;B

B AA

W W gdn− = −∫ (44)

Nótese que esta integral es independiente del trayecto de integración; en otras palabras, las distintas líneas de nivelación que conectan los puntos A y B (fig. 43)' deberían proporcionar el mismo resultado. Esto es obvio puesto

FIGURA 43Dos líneas de nivel acción distintas' que conectan A y B; juntas forman un circuito..

Que W es una función de posici8n únicamente; de manera qué para cada punto hay un valor único W correspondiente. Si la línea de nivelaci5n regresa a A, entonces la integral completa deberá ser Cero:

0;gdn Wa Wa= − + =∫ (45)

El símbolo (J) denota una integral sobre un circuito.

Por otra parte, la diferencia de altura medida, es decir, la suma de los incrementos de nive1aci6n

;R B

ABA

A

R n dnδ∆ = =∑ ∫ (46)

depende del trayecto de integración y por consiguente no suele ser cero en e1 caso de un circuito:

0;dn errordecierre= ≠∫ (47)

En términos matemáticos, dn no es una diferencial perfecta (la diferencial de una función de posición), mientras que dW=gdn si lo es, de modo que se convierte en una diferencial perfecta cuando se multiplica por e1 factor integrante (g).

Las diferencias de potencial son por lo tanto el resultado de 1a nivelación combinada con mediciones de la gravedad. Son fundamentales para todo la teoría altimétrica; aun las alturas ortometricas deberán considerarse1

cantidades derivadas de las diferenciar, do potencial.

La nivelación sin mediciones de la gravedad, aunque en la práctica se use, no tiene mucha importancia desde el punto de vista de la precisión, puesto que el uso de las alturas niveladas (4/i) romo tales da origen a ciertas contradicciones (errores de cierre); no SP incluirá aquí.

42. Números Geopotenciales y Alturas Dinámicas

Digamos que O es un punto a nivel del mar, es decir, sobre el geoide; por lo \ general se selecciona un punto adecuado sobre la costa. Supongamos que A sea otro punto conectado con o por una linea de nivelación. Luego, mediante la formula (43), es posible determinar la diferencia de potencial entre A y O.La integral

;B

Agdn W Wa C= − =∫

(48) que es la diferencia entre el potencial en el geoide y el potencial en el punto A, se explico en a sección 24 como el numero geopotencial de A.

Por ser una diferencia de potencial, el numero geopotencial C es independiente de la línea de nivelación especifica utilizada para relacionar el punto con e1 nivel del mar. Es igual para todos los puntos de una superficie de nivel, por lo tanto, puede considerarse una medida natural de la altura, aun si su dimensión no es de longitud.

El numero geopotercial C se mide en unidades de geopotencial (gp.u), en donde

1 g.p.u. = 1 kgal metro =1000 gal metro.

Como g = 0.98 kgal,

C=gH=0.98H

de modo que los numeros geopotenciales en gp.u. son casi iguales a la altura sobre el nivel de mar en metros.

Los números geopotcncia1es se adoptaron en 1955 durante una reunión de una de las subcomisiones de la Asociación Internacional: de Geodesia celebrada en Florencia. Anteriormente se habían utilizado las alturas dinámicas, definidas por

Hdyn=C/v0

en donde v° es la gravedad normal para una latitud estándar arbitraria, usualmente 45°:

v45= 980.6294 gals

para el geoide Internacional.

Obviamente la altura dinámica difiere del numero geopotencial s51o en escala o en unidad: La divisi6n 'por la consunta 7o en (49) sencillamente convierte algún numero geopotencial a una longitud. Sin embargo, la altura dinámica no tiene significado geopotencial alguno de modo que la división por un v; arbitrario sencillamente interfiere con el verdadero significado físico de una diferencia de potencial. Por lo tanto, generalmente se prefieren los números geopotenciales en lugar de las alturas dinámicas.

Corrección Dinámica. Resulta a veces conveniente convertir la diferencia d»:? altura medida ^/u» (46) en una diferencia, de altura dinámica agregándole una pequeña correcci5n.

La ecuacion (49) nos da

( )

0

11/ ;

1( ) ;

B

AB B A

A

B B

A A

H H H Cb Ca gdn

gg dn dn dn

∆ = − = − = ϒϒ

− ϒ= − ϒ + ϒ = +ϒ ϒ

∫

∫ ∫ ∫

de inodo que.

;ABH n DC∆ = ∆ +

en donde

;BB

AA

g gDC dn Nδ− ϒ − ϒ= =

ϒ ϒ∑∫ (411)

es la corrección dinamica.En realidad, la correcci5n dinamica tambien puede usarse para calcular las diferencias de los números geopotenciales. Enseguida se obtiene

;Cb Ca N DCγ γ− = ∆ + (4101)

43. La Reducción de la Gravedad de Poincaré y Prey

Para convertir los resultados de la nive1acion en alturas ortométricas, necesitamos obtener de (42) la gravedad g’ dentro,de la tierra. Como no es posible medir g’, deber5 calcularse a partir de la gravedad en la superficie. Esto se logra reduciendo los valores medidos de la gravedad de acuerdo con el método dü PoincarS y Prey.

Denotamos por Q, el punto en el que se ha de calcular, a', de ¡nodo que q'=gq Supongamos que P sea el punto correspondiente de 1a superficie dr; manera que tanto P como Q están situados en 1<1 misma línea de la plomada (fig. 44). ^ mide 1a gravedad en P, denotada por'^r . . :

La forma directa de calcular go sería usando 1a formula

,P

Q

gg gp dH

hδδ

= − ∫

siempre y cuando se conozca el gradiente real de 1a gravedad dg/dh dentro de 1 a tierra.

Puede obtenerse por medio de 1a formula do Rruns (220),

22 4 2 ,g

gj kp wh

δ πδ

= − + −

conociendo la curvatura media J de las superficies geopotenciales y la densidad p entre P y Q.

El Gradiente normal de aire libre esta dada por (279): 22 2 ,g

j wh

δ γδ

= − −

en donde Jo es 1a curvatura media do tas superficies esferopotenciales. Si la aproximacion(414)

0,gJ Jγ=

es suficiente, entonces aplicando (413) y (414) obtenemos

4 ,g

kph h

δ δγ πδ δ

= +

Numéricamente, haciendo caso omiso de 1a variación de ^7/c^ según la latiti hallamos para una densidad p <s 2.67 ^/cm1 y k == 66.7 X 10""9 c.g.s. unidades:

0.3086 0.2238 0.0848 /g

gal kmh

δδ

= + = − (416 )

en donde g est3 expresado en gales y H en kilómetros, Esta formula sencilla, aunque es m5s bien aproximada, en la practica se aplica frecuentemente.La forma exacta de calcular ^ sería usando (412) y (413) con la verdadera curvatura media J de las superficies geopotenciales, pero para esto se requeriría un conocimiento mas extenso de 1a configuración detallada de estas superficies del que se tiene actualmente.

La siguiente es otra forma de calcular g que en este caso resulta mas conveniente. Se asemeja a la reducción normal de la gravedad a1 nivel del mar (véase el capítulo 3) y consta de tres pasos:

1. Eliminar todas las masas encima de l<i superficie geopotencial W=Wo, la cual contiene Q, y restar su atracción de g en el punto P.

2. Como la estación gravimetrica P se encuentra ahora en "aire libre", aplicar la reducción de aire libre, desplazando así la estación gravimetrica de P a Q.

3. Restaurar las masas que se habían eliminado de su posición anterior, y sumar algebraicamente su atracción a g en Q.

El propósito de este procedimiento un tanto complicado es que en el paso 2 puede usarse el gradiente de aire libre. Si aquí reemplazamos el verdadero gradiente de aire libre por el gradiente normal dv/dh, el error supuestamente será menor que si se usa (415).

El efecto de las masas encima de Q (pasos 1 y 3) puede calcularse mediante los métodos del capítulo 3 por ejemplo, por medio de algún tipo de plantilla. Si se hace caso omiso de la corrección del terreno y solo se toma en cuenta la placa infinita de Bouguer entre P y Q de la densidad normal P = 2.67 g/cm1 entonces, con los pasos enumerados anteriormente, sencillamente obtenemos:

gravedad medida en P ^1. eliminación de la placa de Bouguer 0.1119(HpHq)2. reducción de aire libre de P a Q +0.3086(HpHq)3. restauración de la placa de Bouguer 0.1119(HpHq)

todos juntos: gravedad en Q gq=gc+0.0848(Hp+Hq)

Esto es lo mismo que (416), que de este modo se confirma independientemente. Ahora vemos que el uso de (415) o (416) equivale a reemplazar el terreno con una placa de Bouguer.

(415)

El gradiente de aire libre puede calcularse también con precisión por medio de (2217); las anomalías de la gravedad ' que han de usarse en esta fórmula son las que se obtienen después del paso 2, es decir, aquellas que se refieren al nivel del punto Q.

Finalmente notamos que la reducción de PoincarS y ,Prey, conocida can la forma abreviada de reduccion de Prey, proporciona lagravedad real que se mediría dentro de la tierra si fuera posible. Su proposito es por 1o tanto completamente diferente al de las otras reducciones de la gravedad, que es el de dar valores límites en el geoide; vease la sección 37.

44 Alturas Ortométricas

Denotamos la intersección del geoide con 1a línea de la plomada a traves del punto P por PQ (FIG 44). Digamos que C es el numero geopotencial de P, en otras palabras,

,C W W= ° −y H su altura ortometrica, es decir, el largo de1 segmento de la líneai de la plomada entre PQ Y P» La integr^cidn en (48) se efectúa a lo largo de 1a línea de la plomada PQ?. Esto esta permitido porque el resultado es independiente del trayecto. Luego obtenemos

0,

HC gdH= ∫ C^¡^df{. 0117)

Esta ecuación contiene H en una form3 implícita. También es posible obtener H explícitamente, usando

, ,dW dC

dC dW gdH dHg g

= − = = − =

de donde se obtiene

0,

W C

w

dW dCH

g g= − =∫ ∫

Al igual que artes, la integración se extiende sobre la línea de la plomada.Esta forrnula explícita (418), sin embargo, tiene poco uso practico. Es mejor transfomar (417) de una manera

que tal vez al orincipio paraca insigni ficante:

0 0

1,

H HC gdH H gdH

H= −∫ ∫

de modo que

,C gH=

en donde

0

1,

Hg gdH

H= ∫

es el valor medio de la gravedad a lo 1argo de la línea de la plómala entre el geoide, punto P0 y el terreno, punto P. Aplicando (419) tenemos a continuaci6n que

,C

Hg

=

lo cual permite calcular H si se conoce la gravedad media g. Como g no depende mucho de H, 1a ecuación (421) constituye una fórmula practica y no meramente una tautología.

Para determinar el valor de (421) es necesario conocer la gravedad media g. LA ecuación (420) puede escribirse

0

1( ) ,

Hg g z dz

H= ∫

en donde g(z) es la gravedad real en el punto variable Q que tiene a altura z (fig. 44).La aproximación m5s sencilla es usando la reducci5n simplificada de Prey de (416):

( ) 0.0848( ),g z g H z= + −

en donde g es la gravedad medida en el punto P del terreno. La integración (422) puede efectuarse ahora enseguida» dando como resultado

[ ]2

0

1 10.0848( ) 0.0848 ,

2

H zg g h z dz g Hz

H H

= + − = + −

∫

og = g + 0.0424H (g en gales, II en km).

El factor 0.0424 es v51ido para la densidad no. mal p = 2.67 g/cm3. La formula correspondiente para una densidad constante arbitraria» de acuerdo con (415), es

1/ 2 2 ,g g kp Hh

δγ πδ

= − + (425)

Si usamos g de acuerdo con (424) o (426) en 1a formula basica (421), obtenemos las alturas conocidas como de Helmert: (Helinert, 1890):

,0.0424

CH

g h=

+

con C en g.p.u., g en gales, y H en km.

Como hemos visto en la sección 43, esta aproximacion sustituye e1 terreno con una placa infinita de Bouguer de densidad constante y altura h, A menudo resulta suficiente. Algunas veces, en el caso de montañas elevadas y para obtener una precisión mayor, es necesario aplicar a g una reducción de Prey mucho mas exacta, como la de los tres pasos descritos en la seccion 43.

Niethammer (1932) desarrolló un método práctico y muy preciso para este fin, en el que se toma en cuenta la topografía y solo se da por sentado que el gradiente de aire Ubre es normal y que la densidad es constante hasta el geoide.

También es suficiente calcular g como 1a media de la gravedad g, medida en el punto de superfice P, y de la graveda go, calculada en el punto geoidal correspondiente PQ, por medio de la reducción de Prey:

1/ 2( '),g g g= + g ^ ^ {g + ^). (427 )

Esto fue propuesto por Mader (1954); da por sentado que la gravedad g varía linealmente a lo largo de la línea de la plomada. Esto por lo general pueda ponerse con suficiente precisión, aun en casos extremos, según lo han demostrado Mader (1954) y Lederstegar (1055).

Corrección ortometrlca. La corrección ortométrica se agrega a 1a diferencia de altura medida para convertirla en una diferencia de altura ortometrica.

Supongamos que 1a línea de nivelación conecta dos puntos A y B (fig. 45 ^rimero se aplica un truco sencillo:

( )( ) ( ),

Hab Hb Ha Hb Ha Hdymb Hdyma Hb Ha

Hab Hb Hdymb Ha Hdyma

∆ = − = − − + + −= ∆ + − − −

de acuerdo con (410) tenemos

,Hab hab DCab∆ = ∆ +

Considérenos ahora las diferencias entre 1a altura ortometrica y 1a dinamica ,HaHad y HbHbd. Imaginémonos una línea de nivelación ficticia quo va desde e1 pie AO en el geoide hasta el punto terrestre A a 1o largo de 1inea de la plomada. Obviamente, 1a diferencia de altura medida sería la misma Ha de modo que

Cabe hacer notar los siguientes dos puntos:

1. El eje del elipsoide de referencia es paralelo al eje de rotación de la tierra (porque

de lo contrario habría dos polos PN diferentes en la figura 54), pero no tiene que

encontrarse necesariamente en una posición absoluta, y su centro coincide con el

centro de gravedad de la tierra.

2. Las componentes de desviación Š y n se refieren directamente al punto terrestre

donde se efectúan las observaciones astronómicas, y no al geoide.

Si se calculan gravimétricamente las componentes Š y n de la desviación vertical para el geoide usando la fórmula de Vening Meinesz, entonces ‘, h y ,ג € se refieren a un elipsoide en una posición absoluta, pero debe tenerse cuidado debido a la curvatura de la línea de la plomada; refiérase también al final de la sección 5-2.

Debemos mencionar también que el acimut elipsoidal € (518) hace referencia al objetivo real T, que por lo general no esta en el elipsoide. Para los ca1culos convencionales en un elipsoide, lo deseable es que el acimut haga referencia a un objetivo T0 en el elipsoide, que viene a ser el punto de contacto de la normal que pasa por T. Además, € se refiere a lo que llamamos una sección normal del e1ipsoide y no a una línea geodésica la cual se usa en los ca1culos. En cualquiera de los dos casos, se necesitan reducciones acimutales muy pequeñas; como estas reducciones son meramente problemas de geometría elipsoidal, el lector puede referirse a cualquier texto sobre geodesia geométrica o al de Bomford (1962).

Efecto de la migración polar. La dirección del eje de rotación de la tierra no es totalmente fija con respecto a la tierra sino que sufre variaciones muy pequeñas más o menos periódicas. Este fenómeno es el resultado del minuto de diferencia entre los ejes de rotación y de máxima inercia, siendo el ángulo entre estos dos ejes de unos 0.3", Y se asemeja bastante a la presesión de un trompo girando. Este movimiento del polo tiene un período principal de 430 días aproximadamente, el período de Chandler, pero es más bien irregular, debido supuestamente al movimiento de las masas, a las variaciones atmosféricas, etc. (figura 55).

El Servicio Internacional de Latitudes que tienen la Unión Astronómica Internacional y 1a Unión Internaciona1 de: Geodesia y Geofísica, observa en forma continua la variación de la latitud en diversas estaciones y determina de esta manera el movimiento del polo. Los resultados se publican como las coordenadas rectangulares del polo instantáneo PN con respecto a un polo medio Pn

x (figura 55). Los valores observados astronómicamente de ‘, , y A hacen referencia naturalmente al polo instantáneo PN y por lo tanto tienen que reducirse al polo medio, uti1izando los valores publicados de X y Y.

Esto se efectúa por medio de las ecuaciones

Λ

ΛΛ

= obs – (xcos ysen + ג ‘tan‘+ytan (ג A = Aobs (xcos ysen + ג sec‘ (519) (ג ‘ = ‘obs – xcos ysen + ג ג

FIGURA 55 Movimiento polar

Ahora hacen referencia al polo medio; estos valores se utilizan en geodesia porque no varían con el tiempo. La longitud se calcula en este libro como positiva hacia el este, como se hace usualmente en geodesia; cabe mencionar que en las publicaciones muchas veces estas fórmulas se escriben para longitud oeste, según lo que acostumbran muchos astrónomos. Como los términos de corrección que contienen X y Y son sumamente pequeños {del orden de 0.1"), podemos usar bien sea los valores geodésicos ‘ y o los valores astronómicos ‘ Y ג en estos términos. El término que contiene ‘Gr (la latitud de Greenwich) en la formu1a para generalmente se omite, de modo qué se mantiene fijo el meridiana medio de Greenwich, en 1ugar de la longitud astronómica del mismo Greenwich.

No es el propósito de este libro incluir el desarrollo de estas fórmulas; éste puede hallarse en cualquier texto sobre astronomía esférica. No obstante, es interesante notar la gran simi1itud entre la reducción del acimut (513) producida por la "variación cenital" es decir" la desviación de la vertical y la reducción de la latitud de (519) producida por la variación polar. En realidad, la geometría es la misma en ambos casos. Las cantidades Corresponden a x, y, ‘,‘Gr ;la diferencia de signo de sin€ y sin ‘ se debe al hecho de que cuando se observa desde el cenit, el acimut se ca1cula en sentido dextrorso y cuando se observa desde el polo, la longitud este se calcula en sentido sinistrorso.

5-5. Reducción de los Ángulos Horizontales y Ver1icales y de las Distancias

ε ,η ,90 º− z ,φ

ΛΛ

Ángulos Horizontales. Para reducir un ángulo horizontal observado ” al elipsoide es importante notar que todo ángulo puede considerarse como 1a diferencia entre dos acimuts:

” = €2-€1

Por consiguiente podemos aplicar la fórmula (513). En la diferencia €2-€1, el término principal tan‘ queda eliminado, de modo que en el caso de visuales casi horizontales podemos omitir la reducción por completo.

Ángulos Verticales. La relación entre la distancia ceni1tal medida Z` y la distancia cenital elipsoidal correspondiente z se determino en la sección 47 La ecuación (449) nos da

z = z` + — = z` + Šcos€ + sin€en donde € es el acimut del objetivo. Esta ecuación también puede obtenerse analizando la figura 5-4.

Líneas Base. La figura 56 ilustra la reducción de las líneas base medidas al elips0ide. Denotemos un elemento de la distancia medida por dl. Tiene una inclinación ß hacia el horizonte local (la superficie geopotencial a nivel que pasa por d1). La componente de desviación en la dirección de la línea medida que contiene el acimut € se denota por — y está dado por (516). El elemento ds, que es la componente de dl paralela al elipsoide es

ds = dl cos ( ß —) = dl cosß + —dlsinß

Si denotamos la proyección de dl en el horizonte local por dl; dl` = dl cosßy observamos que dl sinß = dhtenemos

ds = dl`+ —dh

si r es el radio de curvatura local del acimut € del elipsoide, entonces podemos demostrar por medio de la geometría diferencial que.

1

R=

cos 2α

M

sin 2 αN

η

η

FIGURA 5 6 Reducción de las líneas base

en donde M y N son, respectivamente, los radios de curvatura norte-sur y esteoeste. luego, si ds0 es la proyección de dl en el elipsoide

o

Si dejamos que (523) tenemos y al efectuar la integración entre los puntos extremos A y B, obtenemos

(524)

Si 1a elevación h es prácticamente constante a lo largo de la línea, como suele ocurrir con 1as mediciones de la línea base, entonces la aplicación de un teorema de valor medio del calculo integral, resulta en

Aquí

ds

ds 0

=Rh

R=1

hR

ds 0=ds−h

Rds 0=dl ' dh−

h

Rds 0

ds 0

R=dψ

ds 0=dl ' dh−hd ψ=d h−hd ψ

s 0=l ' B h B− A h A−∫A

Bh d ψ

s 0=l ' B h B− A h A−h m B− A −h m∫A

Bdψ

l '=∫A

Bdl cosβ

es la suma de la dl’ reducida localmente, y hm es la elevación media a lo largo de la línea. Al Expresar d’ en términos de ds0 por -medio de (523) e integrando obtenemos finalmente

(525)

En un sentido estricto de 1a palabra, R, el radio de curvatura elipsoidal local del acimut €., varia ligerarnente a lo 1argo de la 1ínea de A a B. En la práctica, sin embargo, esta permitido reemp1azar el va1or 1ocal de R por su promedio a lo 1argo de la línea, de modo que podemos considerar R en (5-23) como una constante, lo cual nos lleva a (525). Esto viene a ser la aproximación del arco elipsiodal AB por un arco circular cuyo radio R es el promedio de los valores dados por (5 21) a lo largo de AB.

Los términos con representan el efecto de la inclinación entre la superficie geopotencial y la esferopotencial; casi siempre son insignificantes. El término s0hm/R se debe a la convergencia de las normales elipsoidales.

Por consiguiente la reducción exacta de las líneas base según (525) requiere la ondulación geoidal N, a través de la altura h encima del elipsoide, y la desviación de la vertical —. Las líneas base se reducen directamente al elipsoide por medio de las normales el elipsoidales rectas, de acuerdo con la proyección de Helmert.

Distancias espaciales. La medición electrónica de la distancia da como resultado distancias espaciales rectas l entre dos puntos A y B (figura 57). Estas distancias pueden usarse ya sea directamente para cálculos en el sistema de coordenadas geodésicas ‘,ג,h, como en la “geodesia tridimensional” (refierase a la sección 512), o pueden reducirse a la superficie del elipsoide para obtener distancias de cuerda l0 o distancias geodésicas s0.

s 0=l ' B h B−h A − A h A−h m −h m

Rs 0

A y B

FIGURA 57 Reducción de Distancias espaciales.

Volvemos a aproximarnos al arco elipsoidal A0B0 por medio de un arco circulas de radio R que es el radio de curvatura elipsoidal medio a lo largo de A0B0. si aplicamos la ley de los cosenos al triangulo OAB hallamos que

Con

esto se convierte en

y con

y la forma abreviada , obtenemos

por tanto la cuerda l0 y el arco s0 están dados por

(526)

(527)

Los refinamientos elipsoidales de estas fórmulas: pueden hallarse en la pub1icación de Rinner (1956).

La razón por la cual difieren tanto los procedimientos de reducción para las líneas base y para las distancias medidas e1ectrónicamente es que podemos considerar que las primeras se minen a lo largo de la superficie de la tierra y se reducen por partes, al horizonte local, lo cual comprende la dirección de la vertical, mientras que las distancias espaciales rectas son independientes de la vertical. Por lo tanto, la fórmula de reducción (526) no contiene la desviación de la vertical — .

5-6. Reducción de las coordenadas Astronómicas para la Curvatura de la línea de la Plomada

l 2=Rh 1

2Rh 2

2−2Rh1 Rh 2 cosψ .

cosψ=1−2 sin 2 ψ

2

l 2=h 2−h 1

24R 2

1h 1

R1

h 2

R sin 2 ψ

2;

l 0=2Rsinψ

2h=h 2−h 1

l 2= h 2

1h 1

R1

h 2

Rl 0

2

l 0=l 2−h 2

1h 1

R1

h 2

R

s 0=Rψ=2R sin−1 l 0

2R

Las coordenada; astronómicas ‘ y , tal como se observan en la superficie de la tierra, no son exactamente iguales a sus valores correspondientes en el geoide puesto que la línea de la plomada, la, línea de fuerza, no es recta, en otras palabras, porque las superficies; de nivel no son paralelas. Por consiguiente, si deseamos que nuestras coordenadas astronómicas hagan referencia al geoide, tendremos que reducir nuestras observaciones de una manera acorde.

En principio, 1a proyección de Helmert evita la reducción de la curvatura de la línea de la plomada porque no utiliza el geoide directamente, pero si se desea usar u obtener cantidades que hagan referencia al geoide será necesario efectuar dicha reducción. Algunos ejemplos de este caso serian:

1. Las desviaciones gravimétricas generalmente se calculan por medio de la fórmula de

Vening Meinesz para el geoide; de modo que hay que reducir las desviaciones

gravimétricas hacia arriba al punto terrestre o hay que reducir las observaciones

astronómicas hacia abajo al geoide para que las dos cantidades puedan compararse.

2. Si se utilizan observaciones astronómicas para la determinación de1 geoide, deberá

aplicarse la misma reducción que se explica en la siguiente sección.

Consideremos ahora la proyección de la línea de la plomada en e1 plano meridiano. De acuerdo con la definición conocida de la curvatura de una curva plana, el ángulo entre dos tangentes contiguas de esta proyección de la línea de 1a plomada es

en donde e signo negativo es convencional y la curvatura está representada por (222a 1:

El eje x es horizontal y apunta hacia el norte. Por lo tanto, el cambio total de latitud a lo largo de la 1ínea de la plomada entre .un punto sobre el

terreno, P; y su proyección en el geoide, P0, está representado por

o (528a)

En forma similar hallamos para el cambio de longitud, €2 (222b); sustituyendo a

Λ

dφ=−α 1 dh ,

α 1=1

g

∂ g

∂ x.

δφ=∫p0

pdφ=−∫p 0

pα 1 dh

δφ=−∫p 0

p 1

g

∂ g∂ y

dh

(528a)

En donde el eje y es horizontal y apunta hacia el este.

Fórmulas alternas. Hay una estrecha relación entre la reducción de la curvatura de las coordenadas astronómicas y la reducción ortométrica de la nivelación, considerada en la sección 4.4.

FIGURA 58 Curvatura de la línea de la plomada y corrección ortométrica.

La corrección ortométrica d(OC) se ha definido como la cantidad que debe agregarse al incremento de nivelación dn para convertirlo en la diferencia de altura ortométrica dH:

d(OC) =dHdn (529)

δλ cosφ=−∫p 0

P 1

g

∂ g

∂ ydh ,

En la figura 58 vemos que, para un perfil nortesur, la reducción de la curvatura y la corrección ortométrica están relacionadas por la fórmula sencilla

(530a)

En forma similar hallamos que (530b)

De acuerdo con la sección 44, tenemos

dC = gdn = dW, H=

Por consiguiente (529) pasa a ser

d(OC) = dH dC = dH + dW,

de modo que

(531)

Estas ecuaciones relacionan la reducción para la curvatura de la línea de la plomada con la altura ortométrica H y el potencial W. En vista de la forma irregular de las líneas de la plomada resulta sorprendente que existan relaciones generales tan simples como las (530) y (531).

Estas relaciones pueden usarrse para hallar fórmulas de cálculo para las reducciones …‘ y …ג de la curvatura(Bodemüller, 1957). Tenemos

d(OC)= dH =d =

=o

Si sustituimos esto en (530ª,b) obtenemos

(532)

δφ=∂OC

∂ x

dλ cosφ=δ OC

yδ

C

g

1

g

1

g

δφ=∂H

∂ x

1

g

∂W

∂ x

dλ cosφ=∂H

∂ y

1

g

∂W

∂ y

dC

g

C

g

dC

g

dC

g

C

g 2dg

dC

g

−C

gdg

g−g

gdn .

d OC =−H

gd g

g−g

gdn .

δφ=−H

g

∂ g

∂ x

g−g

gtan β 1 ,

δλ cosφ=−H

g

∂ g

∂ y

g−g

gtanβ 2 ,

En donde hemos dejado que

tan ß1 = , tan ß2 = ,

De manera que ß1 y ß2, son los ángulos de inclinación de los perfiles nortesur y esteoeste con respecto al horizonte local; es el valor medio de la gravedad entre el geoide y el terreno. En estas fórmulas sólo necesitamos este mientras que (528) necesitamos conocer las derivadas horizontales de la gravedad a todo lo largo de la línea de la plomada. En (532) no se usa directamente la forma detallada de las líneas de la plomada como se hace en (528).

El valor medio se determina mediante una reducción de Prey de la gravedad medida g. Para que las diferenciaciones numéricas … /…x y … /…x proporciones resultados confiables, se necesita una red densa de gravedad alrededor de la estación, y la reducción de Prey deberá efectuarse cuidadosamente. Los ángulos de inclinación ß1 y ß2 se obtienes de un mapa topografía.

El signo de estas correcciones puede determinarse de la siguiente manera. Si g disminuye en la dirección x, entonces las fórmulas (528) y (532) resultaran en …‘>O y la figura 58 muestra que ‘ en P0 es mayor que en P.

Φgeoid = Φground + δ‘ Λ geoid= Λground + δΛ (533)

para otros métodos de determinar la curvatura de la línea de la plomada refiérase a los trabajos de Arnold (1956, sección C ) y de Ledersteger (1955).

Curvatura de la línea de plomada normal. Si, en lugar de la gravedad real g, se utiliza la gravedad normal Para calcular la curvatura de la línea de la plomada, hallamos, utilizando

= γ γz (1+f*sin2‘ …..)

que f*sin‘cos‘= f*sin‘cos‘,

g

gg g

γ

∂n

∂ x

∂n

∂ y

2

ah

∂γ

∂ x=

1

R

∂ γ

∂φ=

2γa

R

2γ

R

∂γ

∂ y=

1

R cosφ

∂γ

∂λ=0

Por tanto, el integrando en (528ª) no depende de h, de manera que la integración puede efectuarse enseguida. Hallamos

δ‘normal= - h sin2‘ = -0.17” hmm sin2‘ (534) δ normal = 0ג

La curvatura de la línea de plomada normal en dirección esteoeste es cero por la simetría de rotación del elipsoide de revolución.

La reducción normal 85_34) se aplica muchas veces convencionalmente, pero se usa poco puesto que el efecto de las irregularidades topográficas en la curvatura de la línea de la plomada es muchas veces mayor que la parte “normal “. En montañas altas, la reducción verdadera puede alcanzar varios segundos de arco ( Kobold y hunziker, 1962).

Para la aplicación exacta de la reducción normal (534) refiere a la sección 89.

57 La Determinación Astrogeodésica del geoide

La forma del geoide puede determinarse si se conocen las desviaciones de la vertical. La ecuación básica es ( 2 202): dN = — dsAl integrar obtenemos

NB = NA — ds

En donde — = cos + sinξ α η α

f∗¿

R

¿

∫A

B

Es la componente de la desviación de la vertical a lo largo del perfil AB, cuyo acimut es €; véase la ecuación ( 516).

Esta formula expresa la ondulación geoidal como una integral de las desviaciones de la vertical a lo largo de un perfil. Como N es una función de posición, esta integral no depende de la forma de la línea que conecta los puntos A y B. esta línea no necesariamente es una geodésica en el elipsoide, y en el caso general € puede ser variable. En la practica, los perfiles norte –sur (— = Š) o este – oeste (— = n) se utilizan con frecuencia. Hay que determinar el valor de la integral (536) por medio de una integración numérica o gráfica. Deberá conocerse la componente de desviación — en suficientes estaciones a lo largo del perfil para que la interpolación entre estas estaciones pueda efectuarse con cierto grado de confiabilidad. Algunas veces se dispone de un mapa de Š y n para determinada área. Estos mapas se construyen mediante interpolación entre estaciones bien distribuidas en las que se ha determinado Š y n. Luego pueden seleccionarse debidamente los perfiles de integración; se pueden formar circuito; para obtener redundancias que deben ajustarse.

Si las componentes de desviación Š y n se obtienen directamente de las ecuaciones

Š=‘-‘0 , n = ( 0ג – ג ) cos‘ (5-37)

Es decir, comparando las coordenadas astronómicas y geodésicas del mismo punto, entonces dicho método se conoce como la determinación astrogeodésica del geoide.

Las coordenadas astronómicas se observan directamente; las coordenadas geodésicas se obtienen de la siguiente manera. Se escoge cierto “punto inicial” p1 en un sistema de triangulación más grande para el que se establece la ondulación N1 y las componentes Š1 y n1 de la desviación de la vertical. En principio se pueden establecer arbitrariamente Š0 ,n0 y N1 ; por lo tanto la posición del elipsoide de referencia con respecto a la tierra es fija. Para efectos de definición, consideremos ahora un caso de gran importancia practica, es decir, aquel donde Š1 = n1 =N1

= 0. Como en este caso el Š1 = n1 = 0 el geoide y el elipsoide tienen la misma normal a la superficie, 5 de modo que como N1= 0 el elipsoide es tangente al geoide debajo de P1 (figura 59). La condición de la tierra determina finalmente la orientación de la red de triangulación ya que la

5 Se hace caso omiso de la curvatura de la línea de la plomada.

ecuación de Laplace (514) da entonces como resultado Δ€1 = n1 tan‘=0. de modo que €1 = A1; es decir que en el punto inicial el acimut geodésico es igual al acimut astronómico.

Ahora podemos reducir las distancias y los ángulos medidos al elipsoide y calcular en él la posición de los puntos de la red de triangulación (sus coordenadas geodésicas ‘ y Ν ) en forma usual. Después de medir las coordenadas ‘ y Л astronómicamente en los mismos puntos, podemos calcular las componentes de desviación Š y n con (537). Empezando por el valor supuesto de N1 en el punto inicial P1 (en nuestro caso N1= 0) podemos finalmente calcular las alturas geoidales n de cualquier punto de la red de triangulación aplicando (536) repetidamente. Estas alturas geoidales hacen referencia al elipsoide cuya posición qudo fija al establecer previamente los valores de Š0 ,n0, N0 Y por supuesto de su semieje mayor a y de su achatamiento f.Para emplear un término que se utiliza frecuentemente, estas hacen referencia a un determinado dátum astrogeodesico (a, f, Š0 , n0 y N1).

FIGURA 59El elipsoide de referencia es Tangente al geoide en P1

Por medio de N y de la altura ortométrica H, se obtiene la altura h, encima del elipsoide (h 0 H+N ), de modo que es posible calcular las coordenadas rectangulares espaciales X, Y, Z por medio de ( 55 ). Pero a menos que y ξ ηsean desviaciones absolutas, el origen del sistema de Coordenadas no estará en el centro de la tierra; véase la sección 59.

Lo Que parece ser una falla en el procedimiento descrito anteriormente es Que ya se necesitan N, , ξ η para la reducción de los ángulos y distancias medidas al elipsoide. Sin embargo, para este

propósito los valores aproximados de N, , ξ η resultan suficientes estos se obtienen llevando a cabo el procedimiento que acaba de explicarse con los ángulos y las distancias sin reducir. También pueden obtenerse valores apropiados para N, , ξ η en otras formas, por ejemplo con la fórmu1a de Stokes. Cabe mencionar que en la práctica muchas veces la componente ηse obtiene de las mediciones acimutales usando (518),

= ( A – ) cot η α ‘, ( 538 )

dado Que las mediciones astronómicas; del acimut son mucho más sencillas que las de la longitud. Además. Con frecuencia la longitud y el acimut se miden en e1 mismo punto. Luego la condición de Laplace

Δ = α Δ ‘ sin ג

representa una verificación para la orientación correcta de la red y puede usarse para efectos de ajuste. Las estaciones astronómicas con observaciones de longitud y de acimut se conocen por lo tanto como estaciones de Laplace.

La determinación astrogeodésica del geoide fue desarrollada por Helrnert (1880); también. se le' conoce como nivelación astronómica.

Comparación con el método de Stokes. Resulta ilustrativo comparar la fórmula de Helmert

N = NA —ds

para el método astrogeodésico con la fórmula de 5tokes

para el método gravimétrico. Ambos métodos utilizan el vector de gravedad g. Es equivalente a un vector de gravedad normal .γLas componentes ξ = Δ‘ η= de la desviación de la vertical representan las diferencias de dirección y la anoma1ía de la gravedad Δg representa la diferencia de magnitud de los dos

¿ B¿

N=R

4 nG∬σ

gS ψ dσ

vectores. La fórmu1a de Helmert determina la ondulación geoidal N a partir de ξy η, es decir por medio de la dirección de g, y la fórmula de Stokes determina N a partir de Δg, es decir por medio de la magnitud de g. Ambas f6rmulas son algo similares: son integrales que contienen —,O, yξ

, y η Δg en forma lineal.

De lo contrario, .las dos fórmulas muestran diferencias marcadas las cuales son características de los respectivos métodos. En la fórmula de Helmert la integración se extiende sobre parte de un perfil.; por lo tanto sólo es necesario conocer la desviación de la vertical en un área limitada, Sin embargo, la posición del elipsoide de referencia con respecto al centro de gravedad de la tierra se desconoce, y puede determinarse solamente por medio del método gravimétrico (sección 510) o análisis de las órbitas satelitales (sección 98), Además el método astrogeodésico solo puede usarse en tierra ya que es imposible efectuar las Mediciones necesarias en el mar,

En la fórmula de Stokes, no obstante, la integración debe extenderse sobre toda la tierra. Hay que conocer la anomalía de la gravedad Δg en toda la tierra; sin embargo, es posible efectuar mediciones gravimétricas precisas en el mar. El método gravimétrico proporciona las ondulaciones geoidales absolutas para toda la tierra, en donde el centro del e1ipsoide de referencia coincide con el centro de la tierra.

Por consiguiente, de los métodos geodésicos tradicionales, solamente el gravimétrico permite tener un sistema geodésico a nivel mundial. El método astrogeodésico es necesario por ejemplo, para establecer la escala. Ambos métodos deberán combinarse y comp1ementarse por aquella información geodésica que pueda obtenerse de otras formas, especialmente aquellas. que proporcionan los sate1ites artificiales; véase el Capítulo 9.

Corrección para la curvatura de la línea de la plomada. En la fórmula (536), las componentes de desviación ξ y ηhacen referencia al geoide. Esto significa .que las observaciones astronómicas de ‘ y Λ deben reducirse al geoide de acuerdo con la sección 56.

También es posible, y muchas veces más; conveniente, no aplicar esta corrección para la curvatura dé la línea de la plomada a las coordenadas astronómicas ‘ y Λ sino a las diferencias de la altura geoidal calculadas a partir de las componentes no reducidas de la desviación (Helmert, 1900 y 1.901).

Estos valores N, denotados por N', se obtienen utilizando en (537) las coordenadas ‘ y Λ directamente observada; las cuales definen la dirección de la plomada en la estación P de la figura 510. La notación N se ha reservado para las alturas geoidales correctas. dh= dN+ d.H = dN' + d ,η

Luego de la figura 510 vemos que:

FIGURA 5lO reducción de la nivelación astronómica. en donde h es la altura geométrica del elipsoide. Por tanto vemos que la diferencia entre el elemento no reducido de la altura gordal y el

dN’ – dN = dHd 0 d(OC),η (539)

es igual a la diferencia entre el elemento dH de la altura ortométrica y el incremento de nivelación dn, que es la reduccion ortométrica d(OC).

Por consiguiente NB – NA = N’B N’A – OCAB,

(540)

de manera que podemos aplicar enseguida la ecuación (433) del capítulo anterior:

N B – NA = —ds (541)

En donde γ0 es un valor constante arbitrario que puede escogerse convenientemente, las componentes de desviación — se calculan a partir de los valores terrestres observados ‘ y Λpor medio de (537) y (516).

El método astrogeodésico se ha aplicado frecuentemente a la determinación de las secciones geoidales; refiérase por ejemplo a Bomford (1963), Fischer (1961), Galle (1914), Niethammer (1939) Olander (19519, Rice (1962) y Wolf (1956). En el trabajo de Bomford se podrá hallar una explicación de los aspectos prácticos y de la precisión del método (1962, capitulo 5, sección 5).

58. Interpolación de las Desviaciones de la vertical. Nivelación Astrogravimétrica

¿ B¿ ¿ B¿g−γ 0

γ 0

dηg B−γ 0

γ 0

H B−g A−γ 0

γ 0

H A ,

La fórmula de Helmert (536) para la nivelación astronómica da por sentado que las estaciones donde se conocen las desviaciones de la vertical se encuentran muy cerca entre sí. Por tanto puede construirse un perfil para — por interpolación, y la integración de (536) puede efectuarse numéricamente o gráficamente.

Si para A y b en (5 36 ) tomamos dos estaciones astrogeodésicas vecinas y éstas se encuentran tan cerca una de la otra que el perfil geodésico entre ellas puede aproximarse mediante el arco de un círculo, entonces esta fórmula pasa a ser

NB – NA = s (542)

En donde s es la distancia A y B. En esta forma es posible evitar la interpolación; pero esto sólo es aparente puesto que la hipótesis de que el geoide entre A y B forma un arco circular es en sí equivalente a una interpolación, y no necesariamente la mejor.

En áreas moderadamente niveladas, por lo general una distancia de unos 25 Km entre estaciones y la aproximación (542) resultan adecuadas; pero en

montañas altas puede que un espaciado de 10 Km o hasta menos no sea suficiente.

Como las observaciones astronómicas requieren mucho tiempo, se han ideado formas más eficaces para interpolar entre estaciones asrogeodésicas. Dichos métodos son:

medición de distancias cenitales; uso de la balanza de torsión nivelación astrogravimétrica uso de las desviaciones topográficasisostáticas.

Ahora trataremos algunos aspectos de estos métodos.

Distancias cenitales. Las mediciones de las distancias cenitales pueden usarse. por lo menos teóricamente, para reemplazar las observaciones astronómicas (de GraafHunter, 1913).

El principio ya se ha descrito en la sección 4 7. La ecuación básica es (457):

—2 - —1 = Z’1 + Z’2 – 180ºγ (444)

en donde Z’1 y Z’2 representan las distancias cenitales medidas en las que se ha corregido el efecto de la refracción atmosférica. El ángulo está dado por γ

A B

2

s

R

=γ (544)

en donde s es la distancia elipsoidal entre las estaciones 1 y 2, Y R el radio de curvatura medio a lo largo del arco s. La distancia s se obtiene por medio de triangulación o trilateración.

la dificultad de este método es, por supuesto, el margen adecuado de error para la refracción atmosférica. Por consiguiente en la actualidad su uso se limita a las montañas altas. Este metado se está aplicando con éxito en los Alpes suizos, donde se han obtenido diferencias de desviación con una precisión de +1" (Kobold. 1951).

Mediciones con la balanza de torsión. La balanza de torsión instrumento que mide ciertas combinaciones

de las segundas derivadas parciales del potencial de la gravedad con respecto al sistema de coordenadas rectangulares con un eje z vertical.

Tornemos ahora el eje X en dirección norte y consideremos la cantidad

en el geoide. Como el potencial normal U es constante a 1o largo del elipsoide, y por consiguiente

y el plano xy es tangente al elipsoide, tenemos

Aplicando las relaciones básicas = =ξ η

en donde G es el valor medio de la gravedad, obtenemos

a partir de las mediciones con la balanza de torsión.

Por consiguiente conocemos ciertas derivadas horizontales de las componentes de la desviación de la vertical. Es evidente que podemos obtener las diferencias ξ2 – ξ1 y η2 η1 de las componentes de las desviación por medio de una integración apropiada de (545). Los detal les son algo complicados; el lector pu1de referirse a las descripciones que se dan en las publicaciones de Baeschlin (1948) y de Muel1er (1963).

∂2W

∂ y 2−∂

2 W∂ x 2

,∂

2 W∂ x∂ y

,∂

2 W∂ x∂ z

,∂

2 W∂ y∂ z

∂2 W

∂ x ∂ y

∂2 U

∂ x ∂ y=0

∂2 T

∂ x ∂ y=∂

2 W∂ x∂ y

−1

G

∂2 T

∂ x, −

1

G

∂2 T

∂ y,

−1

G

∂2 T

∂ y,

∂ε

∂ y=∂η

∂ x=

Este método es muy susceptible a las irregularidades topográficas, y las mediciones son algo demoradas. Se usa muy poco hoy día pero tal vez no deba pasarse completamente por alto. Además de su gran interés teórico, puede tener una importancia practica en áreas niveladas en donde no existe o no es posible efectuar un levantamiento gravimétrico detallado, necesario parra la nivelación astrogravimétrica por ejemplo, a lo 1argó de los litora1es.

Nivelación astrogravimétrica. Si en la fórmula Vening Meinesz la integración no se extiende sobre toda la tierra sino solamente sobre el área vecina al punto considerado, entonces se producirá un error por haberse omitido las zonas distantes. Este error sin embargo es casi igual para puntos que no se encuentran demasiado distantes, y varía sólo lentamente para los puntos de un perfil corto, de mono que es posible usar las desviaciones gravimétricas calculadas de esta forma para interpolación entre las desviaciones astrogeodésicas.

de —’ = ’cos ξ α+ ’sin . (546)η α

Con ' y ', obtenidas gravimétricamente, se calculan las componentes ξ η —‘ de la forma usual:

Las diferencias δ— = — -—‘ (547)

entre las desviaciones. astrogeodésicas "correctas" — y los valores gravimétricos aproximados —' varían sólo lentamente y es posible suponer que cambian en forma lineal con la distancia, de modo que pueden calcularse por una interpolación 1ineal

δ—P = δ—A + sAp,

(548)

donde P es cualquier punto en el perfil entre las estaciones astronómicas B y s es la distancia entre los puntos que corresponden a los subíndices.

El procedimiento es por lo tanto el siguiente. En A Y. B se dan las desviaciones astronómicas —A y—B. En estos puntos y en los puntos

δ Β− A

s AB

Intermedios P2……, Pn se calculan las ecuaciones gravimétricas —A‘,—B‘,—p‘….—n‘ se interpola

δ— en los puntos intermedios por medio de (5..48). Luego se calculan las desviaciones deseadas

de la vertical — en los puntos intermedios, con referencia al dátum astrogeodésico por medio de

—1 =—1‘ + δ— (5-49)

Esta combinación de desviaciones astrogeodésicas con valores interpolados gravimetricamente se conoce como nivelación astrogravimétrica (Molodenskii al.,1962, capítulo6). Este se considera el mejor método interrelación. Si se utiliza, entonces las estacione astrogeodésicas pueden estar separadas por 100 y hasta 200 Km. en terreno nivelado, pero siendo este el caso será necesario tener una red gravimétrica suficientemente densa que se extienda por lo menos dos veces la distancia entre dos estaciones.

La nive1ación astrogravimétrica muestra1a 'gran flexibilidad del método gravimétrico. La fórmula de Vening Meinesz puede aplicarse con dos fines totalmente distintos: si estamos integrando sobre toda la tierra, da como las desviaciones abso1utas de la vertical, proporcionando así la orientación abso1uta de los sistemas astrogeodésicos; si estamos integrando sobre un área limitada, ayuda a interpolar entre las desviaciones astrogeodésicas relativas.

Uso de las desviaciones topográficasisostáticas. En (5 49) también calcularse las desviaciones de la vertical —‘ a partir del efecto de la topografía (Helmert, 1900 y 1901). Este método puede mejorarse tomando en cuenta el efecto de la compensación isostática. Para ello no se necesita gravimétrica. Dicho método se ha aplicado con éxito para interrelaciones entre estaciones astrogeodésicas alpinas que no se encuentran demasiado separadas (Niethammer, 1939). No obstante, se ve afectado por las morfologias de densidad desconocida, etc., y representa mucho trabajo. Por consiguiente, se prefiere la nivelación astrogravimétrica cuando las estaciones astrogeodésicas son grandes.

59 Transformaciones de las Coordenadas y Desplazamientos del DátumTal como se estableció en la sección 57, un datum geodésico se determina con las dimensiones del elipsoide de referencia (semieje mayor a y achatamiento f) de su y posición con respecto a la tierra o al geoide. Esta posición relativa biene dada por lo general por la ondulación geoidal. N1 y las componentes ξ1, y η1, la desviación de la vertical en un punto inicial P1. En lugar de ξ1, η1 ,N1

podriamos utilizar también las coordenadas geodésicas ‘1, 1ג , h1 de P1 porque

ξ1 = ‘1- ‘2 (550) η1 = ( 1ג 2ג )cos‘ N1 =h1 – H1

Hay un método equivalente, aunque superficialmente diferente, en el que se utilizan las coordenadas rectangulares x0, y0, z0 del centro del elipsoide de referencia con respecto al centro de la tierra.

Si variamos el dátum geodésico es decir, el elipsoide de referencia y su posición. entonces las coordenadas geodésicas ‘, ,ג h y, por consiguiente, las desviaciones de la vertical y las ondulaciones del geoide, =ξ ‘-‘, (550) = ( η Λ ג )cos‘, N =h1 – H1

también cambiarán. Como hay tres formas diferentes de fijar el dátum, podemos formular estos cambios en términos de la variación de

ξ0, η0 ,N0 o ‘0, 0ג , h0 o x0, y0, z0

Matemáticamente, el problema se reduce sencillamente a una transformación de las coordenadas puesto que cada dátum geodésico corresponde a un sistema distinto de coordenadas geodésicas ‘,ג , h.

Digamos que el centro del elipsoide de referencia no coincide con el centro de gravedad de la tierra, sino que el eje del elipsoide se encuentra paralelo al eje de rotación de la tierra. Supongamos un sistema de coordenadas rectangulares X, Y, Z cuyo origen es el centro de gravedad de la tierra (no el centro del elipsoide como antes), en donde los ejes tienen la misma reacción que antes. Digamos que las coordenadas del centro del elipsoide con respecto a este sistema son X0, Y0, Z0 como se indicó anteriormente. Luego, obviamente, es necesario modificar las ecuaciones (55) para que se conviertan en

X = x0 + (N + h)cos‘cos ,ג Y = y0 + (N + h)cos‘sin ,ג (552) Z = z0 + ( N + h)cos‘cos ,ג

Estas ecuaciones forman el punto inicial para diversas fórmulas diferenciales importante; de transformación de coordenadas.

Primero nos preguntamos cómo cambian las coordenadas rectangulares X, Y, Z si variamos las coordenadas geodésicas ‘,ג , h. por las pequeñas cantidades δ‘, δ ,ג h δ y si alteramos asimismo el dátum geodésico, principalmente el elipsoide de referencia (a, f) y su posición (X0, Y0, Z0) por

a, f y xδ δ δ 0, yδ 0, zδ0. Nótese que f y xδ δ 0, yδ 0, zδ0 corresponden a una traslación pequeña (desplazamiento paralelo) del elipsoide, donde su eje permanece paralelo al eje de la tierra.

La solución de este problema se logra diferenciando (552):

X = xδ δ 0 + a + f + δ δ δ‘ + δ + ג hδ 0

Y = yδ δ 0 + a + f + δ δ δ‘ + δ + ג hδ 0

b 2

a 2

∂ X

∂ a

∂ X

∂λ

∂ X

∂ f

∂ X

∂φ

∂ X

∂ h

∂Y

∂ a

∂Y

∂λ

∂Y

∂ f

∂ y

∂φ

∂Y

∂ h

(553)

Z = zδ δ0 + a + f + δ δ δ‘ + δ + ג hδ 0

Esto que según el teorema de Taylor los cambios pequeños pueden considerarse no diferenciales.

En estas fórmulas diferenciales nos consideraremos satisfechos con una aproximación. Como el achatamiento f es pequeño, podemos desarrollar (281) N = (1e’2cos2‘)1/2 = (1 e’2cos2‘...)

= a(1+f…)(1f cos2‘...)= a(1 f fcos2‘...);

N = a(1+fsin2‘); N =(12f…) a(1+ fsin2‘…)= a (1 2f + fsin2‘),

dado que

b = a(1f), e’20 2f….por consiguiente, las ecuaciones (552) pueden aproximarse po medio de

X = x0 + (a+ afsin2‘ + h)cos‘cos ,ג Y = y0 + (a+ afsin2‘ + h)cos‘sin ,ג Z = z0 + (a2af+ afsin2‘ + h)cos‘cos )ג552’) ahora podemos formar las derivadas parciales en (553), por ejemplo

= (1+fsin2‘)cos‘cos cos‘ cos= ג ,גla que podemos hacer caso omiso del achatamiento en estos coeficientes. Esto se resume a utilizar una aproximación esférica, análoga a la de la sección 214, para los coeficientes, y solamente para éstos. De igual manera, se obtienen fácilmente todos los coeficientes como derivadas parciales y las ecuaciones (553) pasan a ser X = xδ δ 0 – a sin‘cos δ‘ a cos‘sin ג δ ג cos‘cos + ג ) ג h + a + a sinδ δ 2‘ f),δ (554a)

Y = yδ δ 0 a sin‘sin δ‘ a cos‘cos ג δ ג cos‘sin + ג ) ג h + a + a sinδ δ 2‘ f),δ (554b)

Z = zδ δ 0 – a sin‘ δ‘ +sin‘( h + a +a sinδ δ 2‘ f)δ 2a sin2‘ f,δ (554c)

Estas fórmulas dan como resultado los cambios en las coordenadas rectangulares X, Y, Z, en términos de la variación en la posiciórr (x0, y0, z0) y las dimensiones (a, f) del elipsoide y en las coordenadas geodésicas ‘,ג , h que hacen referencia al mismo.

∂ Z

∂a

∂ Z

∂λ

∂ Z

∂ f

∂ Z

∂φ

∂ Z

∂h

a 2

ba 2

b1

2

b 2

a 2

∂ X

∂ a

Trasformaciónde las coordenadas geodésicas. De las ecuaciones (554) se pueden deducir varias fórmulas importantes para la transformación de las coordenadas. En primer lugar, digamos que la posición de P en el espacio no cambia; es decir, hagamos que

X = Y = Z = 0δ δ δ

se determina el cambio de las coordenadas geodésicas ‘,ג , h cuando varían las dimenciones del elipsoide de referencia y su posición.

El problema es por lo tanto resolver las ecuaciones (554) para despejar δ‘, δ ,ג hδ en donde los terminos de la izquierda se igualan a cero. Para obtener δ‘ se multiplica (554a) por sin‘cos גmultiplica (554b) por sin‘cos 554 )ג c) por cos‘,y luego se suman todas las ecuaciones obtenidas en esta forma. Para δ los factores son sin ג cos ,ג y O; para ג h δ son cos‘cos cos‘sin ,ג y sin‘. El גresultado es

aδ‘ = sin‘cos ג xδ 0+ sin‘ sin ג yδ 0 cos‘ zδ0 + 2a sin‘cos‘ f,δ a cos ג δ sin=ג ג xδ 0 cos ג yδ 0, (555) h = cosδ ‘cos ג xδ 0 cos‘ sin ג yδ 0 sin‘ zδ0 – a+asinδ 2‘ f,δ

Hemos visto que la traslación del elipsoide también puede expresarse en términos de los cambios en las coordenadas geodésicas δ‘1,δ 1ג , hδ 1 de un punto inicial, en lugar de δx0,δy0, zδ0 Luego el problema es determinar las variaciones δ‘,δ ,ג h δ en los otro puntos.

Primero se expresa el desplazamiento paralelo (δx0,δy0, zδ0 ) del elipsoide en término de los δ‘1,δ1ג hδ 1 dados. En las ecuaciones (554), dejamos que X = Y = Z = 0 δ δ δ (debido otra vez a que la

posición de los puntos en el espacio no canbia) y ‘=‘1 1ג= ג h=h1 Luego obtenemos xδ 0 = a sin‘1 cos 1ג δ‘1 + a cos‘1 sin 1ג δ 1ג cos‘1 cos 1ג ( hδ 1 + a + aδ sin2‘1 f),δ

(556) yδ 0 = a sin‘1 sin 1ג δ‘1 a cos‘1 sin 1ג δ 1ג cos‘‘1 cos 1ג ( hδ 1 + a + aδ sin2‘1 f),δ

zδ0 = a sin‘1 δ‘1 a cos‘1( hδ 1 + a + a sinδ 2‘1 f) +2a sinδ ‘1 fδ

Estas expresiones para las componentes de desplazamiento δx0,δy0, zδ0 se incorporan a las ecuaciones (555), de modo que finalmente se obtiene:

δ‘= cos‘1 cos‘ + sin‘1 sin‘cosΔ δ‘1 sin‘ sinΔ ג cos‘1 δ•ג 1ג

+(sin‘1 cos‘ cos‘1 sin‘ cosΔ (ג

hδ 1

a

aδasin 2 Φ 1 fδ

+2cos‘(sin‘-sin‘1) fδ (557)

cos‘δ sin‘1 sinΔ =ג δ‘1 + cosΔ ג cos‘1 δ•ג 1ג

cos‘1 sinΔ ג

= (cos‘1 sin‘ + sin‘1 cos‘cosΔ δ‘1 + cos‘ sinΔ (ג cos‘1 δ•ג 1ג

+(sin‘1 sin‘ + cos‘1 cos‘ cosΔ (ג

+(sin2‘-2sin‘1 sin‘) fδ

en donde

Δ ג = ג 1ג

Estas fórmulas expresan las variaciones δ‘,δ ,ג h δ en algún punto vario en términos de las variaciones δ‘1,δ 1ג hδ 1 en un punto determinado y los cambios a δ y f δ de los parámetros del elipsoide de referencia. De esta forma relacionan dos sistemas diferentes de coordenadas geodésicas, Conviene que éstos se encuentren tan cerca uno del otro que sus diferencias pueden considerarse lineales. Matemáticamente, las ecuaciones (557) son formaciones infinitesimales de coordenadas; para el geodesta, representan el efecto de un cambio en el dátum geodésico. Son eluivalentes a las ecuaciones (55). Tanto (555) como (557) son transformaciones infinitesimales de coordenadas geodésicas; difieren solamente en los parámetros que se encuentran para determinar el sistema coordenadas, el dátum geodésico; en (555) el sistema de coordenadas se define por (a, f; x0,y0, z0) y en (557) (a, f; ‘1 1ג h1 ). conformacion de , ξ η N. Por lo general, las ecuaciones (557) se expresan en términos de las variaciones de las componentes de desviación y y de la variación geoidal N. Como lasξ η coordenadas natulales ‘, ,HΛ no se ven afectados por un desplazamiento del dátum y no cambian, obtenemos (551) δ‘ = δξ,

δ cos‘ = δη, (558) ג δ =δN,

asumiendo que las ecuaciones (557) adoptan la forma

δξ= (os‘1 cos‘ + sin‘1 sin‘cosΔ δξ1 sin‘ sinΔ ( ג δη1 ג

(sin‘1 cos‘ cos‘1 sin‘ cosΔ (ג

hδ 1

a

aδasin 2 Φ 1 fδ

hδ 1

a

aδasin 2 Φ 1 fδ

hδ

a

aδ

a

Nδ 1

a

aδasin 2 Φ 1 fδ

2cos ‘(sin‘-sin‘1) fδ (559)

δη1=sin‘1 sinΔ δξ1 + cosΔ ג δη1 ג + cos‘1 sinΔ ג

= (cos‘1 sin‘ - sin‘1 cos‘cosΔ δ‘1 cos‘ sinΔ (ג δη1 ג

+(sin‘1 sin‘ + cos‘1 cos‘ cosΔ (ג

+(sin2‘-2sin‘1 sin‘) fδ

Estas fórmulas para el efecto de un desplazamiento de1 dátum geodésico se consideran entre las más importantes de la geodesia. Fueron desarrolladas por varios científicos, 6 entre ellos Vening Meinesz. (l950, 1953), y generalmente se conocen por su nombre. Anteriorménte se usaban fórmulas superficialmente similares que habían sido desarrolladas por Helmert pero queestaban basadas en principios geométricos completamente diferentes, y no son apropiadas para la geodesia moderna. 7

Cabe hacer notar que las primeras dos; ecuaciones (559) también pudieron haberse deducido diferenciando la tercera de estas ecuaciones, puesto que (2204) da

como una aproximación esférica.

Aplicaciones. A modo de ilustración, vamos a aplicar estas fórmulas al caso práctico más importante, la orientación absoluta de un sistema geodésico local, o su conversión a un sistema geodésico mundial (Heiskanen, 1951). Supongamos que se ha calculado una red de triangulación o de trilateración en un dátum geodésico local (a’, f’; ’, ’,ξ ηN’ ). Las cantidades que hacen referencia a este sistema se indicarán por medio de un signo de prima. Por lo tanto ’, ’,ξ ηN’ pertenecen al punto fundamental P1; pueden considerarse como cero o cualquier otro valor.

6 pudiéramos mencionar de GrasHunter en 1929, Krassovsky en 1934 y 1942 y Benford en 1939.

7 La idea de Helmert se basa en la traslación de líneas geodésicas en el elipsoide que básicamente es un problema bidimensional, mientras que la idea de Vening Meinesz se basa en la traslación del elipsoide en él espacio. Solamente esto ultimo corresponde a la naturaleza esencialmente tridimensional de la geodesia moderna.

Nδ

a

aδ

a

Nδ 1

a

aδasin 2 Φ 1 fδ

Nδ 1

a

aδasin 2 Φ 1 fδ

Supongamos ahora que en e1 Punto inicia1 se conocen la a1tura geoida1 absoluta ξ1 y η1. (En1a siguiente sección se explica cómo determinan.) Los valores absolutos N, , ξ η se refieren en general a un elipsoide distinto (a,f), cuyo centro se encuentra en el centro de gravedad de la tierra. Las cantidades a, f; ξ1, η1,N1 determinan este “sistema geodésico mundial" completamente.

Ahora resulta muy fácil transformar el sistema local ( a’, f’; ’, ’,ξ ηN’) al sistema mundial. Haciendo que δ ξ = ξ1 – ξ' δ η = η1 – η ' δa =a –a' δN1 =N1 –N' δf =f –f' (560) se calculan, para todos los puntos del sistema local, s cambios δ ξ, δ η , δN por medio de las ecuaciones (559), Luego, ; , ,ξ ηN de sistema mundial estarán representados por =– '+ ξ ξ δ ξ η1 = ’+ η δ η N1=N`+ δN

Las coordenadas geodésicas en el sistema geodésico mundial

‘=‘’ δξ ג= ג ’ secδη ‘ N=N’+δ

Las coordenadas rectangulares geocéntricas X, Y, Z pueden calcularse mediante (55).

Para la determinación de las coordenadas x’0, y’0, z’0 del centro del elipsoide de referencia original que define el dátum local (a’, f’; ’, ’,ξ ηN’ ). es un problema afín.

Como el dátum nuevo (a, f; , , ξ ηN ), el mundial, se encuentra en posición absoluta, tenemos x0 = y0 = z0 = 0de modo que xδ 0 = x0 x’0 = x’0, yδ 0 = y0 y’0 = y’0, (561) zδ 0 = z0 z’0 = z’0,

x’0 = xδ 0, y’0 = yδ 0, z’0 = zδ 0,

donde xδ 0, yδ 0, zδ 0 se calculan utilizando (556). Esto resuelve nuestro Problema.

5.10 Determinación del Tamaño de la tierra.

Si usamos el método gravimétrico con un elipsoide de referencia fijo así el centro coincida con el centro de gravedad de la tierra, entonces las variaciones geoidales podrán obtenerse usando (2183b),

(562) N = N0 + gS( )d , Δ Ψ σ

La determinación del tamaño de la tierra se reduce a la determinación de la constante No (sección 219). Como hemos visto, No tiene un significado geométrico inmediato: si a representa el radio ecuatorial de un elipsoide de referencia dado, entonces

aE = a +N0 (563)

el radio ecuatorial de un elipsoide cuyo potencial normal U0 es igual al real Wo del geoide, que encierra la misma masa que la tierra, y de el achatamiento f es el mismo. Si el supuesto elipsoide de referencia sea escogido de manera que tenga el mismo valor

J2 =

para la tierra, cantidad que hoy día se conoce con exactitud por los satélites artificiales (refiérase al capitulo 9), entonces aE: será el mayor de1 e1ipsoide terrestre medio; refiérase a las secciones 510 y 11Mediante el método graviétrico sólo podemos determinar el segundo termino de la derecha de la formula anterior, es decir, la integral de Stokes; para determinar N0 necesitamos usar el método astrogeodesico con por lo menos una distancia medida. El principio se ha descrito antes en la sección 219; ahora analizaremos el problema en un a forma más practica.

El problema puede formularse concisamente así. Se da por sentado que el geoide gravimetrico es conocido para todo el mundo; está en una posición absoluta pero como N0 no se conoce no se ha determinado su escala. Se conoce el geoide astrogeodesico para parte de la tierra: éte se encuentra en una posición relativa definida por el dátum geodésico local, pero su escala se conoce correctamente. Lo que hay que hacer es adaptar los dos geoides entre sí para poder (1) determinar la escala del geoide gravimétrico y (2) transformar el dátum astrogeodésico local al sistema geodésico mundial.

R

4 Gπ∬σ

C−A

Ma 2

Supongamos que se utiliza el mismo elipsoide de referencia (a, f) en ambos sistemas [de No ser así, podríamostransformar primero el sistema astrogeodésico a los parámetros del elipsoide de referencia gravimétrica por medio de las fórmulas (559), haciendo que = = = 0δξ δη δ

Si se da por sentado que se conocen. en el punto inicia, entonces es posible calcular las desviaciones E y 17 en el sistema mundial por merlio de estas f.órmulas y compararla~ C(II) las rlesv;a~i9'ne$ qrav;métrica co~ . rre$ponrl;ent~s obtenidas directrlment" nw'fliilnte la formliJla de Vening Meinr'$2:. Teóricamente, deberfamos ootener el mi sm(1 t'e'sul tado. Si denotamos las df"s viaciones astrogeodé.sicas transform~das (564) por ~.,'1G Y 1as rle5v;aciones gravimétricas directas por ~", ,,", ,dI?lre'r'íamos tener

En la práctica es posible calcular directamente para el punto inicial usando

EL CAMPO GRAVITACIONAL FUERA DE LA TIERRA

Introducción

E1 interés práctico que ha surgido son respecto al campo gravitacional de la tierra es de fecha relativamente reciente. Los dos propósitos principales de dichos estudios son (1) la evaluación del efecto que tienen irregularidades gravitacionales en el movimiento dentro del campo de tierra, y (2) la aplicación de las mediciones que se efectúan de la gravedad mediante instrumentos aerotransportados.

Dados los cálculos comprendidos, aquí también resulta conveniente definir el geopotencial W y el vector de gravedad:

g = grad W (61)

El potencial normal U y un vector de gravedad normal

= grad U γ (62)

Potencial de perturbación T = W U y el vector de perturbación de la gravedad

= grad T = g – δ γ (63)

Por lo general se toma como campo gravitacional normal el campo de un geoide equipotencial apropiado. Esto permite utilizar fórmulas cerradas y ofrece otras ventajas por su sencillez matemática; véase la Sección 212.

Por lo tanto primero se calculan U y . y luego se obtienen W y g γ

Mediante

W = U + T (64)

g = + γ δ (65)

Para algunos fines se necesita el vector de gravitación, grad V (fricción pura sin fuerza centrífuga) en lugar del vector de gravedad. El vector gravitacional se calcula a partir del vector de gravedad res e el vector de la fuerza centrífuga:

(66)

Usando las notaciones de la Sección 21. El sistema de coordenadas rectangulares x, y, z se usara en este capítulo en la forma usual: es geocéntrico. Los ejes x y yacen en el plano ecuatorial con longitudes de 0° y 90° al este de Greenwich, respectivamente, y el eje z corresponde al eje de rotación de la tierra.

El signo de las componentes de g ,y, , etc. siempre se escoge de manera tal que sean positivas en la dirección en queδ aumentan las coordenadas.

62. Gravedad Normal Formulas Cerradas

El campo gravitacional de un elipsoide equipotencial se expresa mejor en términos de las coordenadas elipsoidales u, , , introducidas en las Secciones 119 y 27. Están relacionadas con las coordenadas rectangulares x,y,z de laβ λ siguiente manera:

(67)Si se conocen x,y,z, entonces será posible calcular u, , por medio de fórmulas cerradas. Primero se calcula Alβ λ eliminar entre estas dos ecuaciones, se obtiene una ecuación cuadrática para uβ 2 , cuya solución es :

(68 a)

Luego esta dada por:β

( 68 b)

Y para sencillamente se tiene que.λ

(68 c)

Al conocer las coordenadas elipsoidales, el potencial normal U esta dado por:

(69)

Sus componentes de a lo largo de la líneas de coordenadas son ,según ( 2 65) y (2 66)γ

(610)

Para obtener las componentes de en el sistema x,y,z, se calcula:γ

Las derivadas parciales de x,y,z con respecto a u, , se obtienen al diferenciar las ecuaciones (67); se tiene que:β λ

Al introducir las componentes

se obtiene

Estas son las fórmulas de una transformación ortogonal de coordenadas rectangulares. Es sabido que la transformación inversa se obtiene sencillamente intercambiando las filas y columnas de la matriz de este sistema de ecuaciones. Así se obtiene:

(612)

Este es el resultado de definir estos coeficientes como cosenos directores las ecuaciones (612) “ también pueden obtenerse resolviendo las ecuaciones lineales (611) con respecto a x , y , z por a1gun otro método.γ γ γ

Las fórmulas de esta sección son totalmente inflexibles. Es posible desarrollarlas en serie; sin embargo, resulta más conveniente desarrollarlas en coordenadas esféricas, 10 cual se tratará en la siguiente sección.

6.3 Gravedad Norma Desarrollos en Serie

En esta sección se usarán las coordenadas esféricas usuales r (radio vector),Ф ( latitud geocéntrica) y . (longitud):λ

(613)de acuerdo con la sección 29 el potencial de la gravitación normal v puede expresarse en la forma:

(614)

Luego el potencial de la gravedad normal U estará dado por.

U = V + Ф (615)

Donde Ф es el potencial centrifugo. Según ( 292) los coeficientes J2n

(616)Las componentes de a lo largo de las líneas de coordenadas están definidas por:γ

(617)estas componentes concuerdan bastante con las componentes ( 610), puesto que para E = 0 se tiene que u = r, , = Ф,β W =1. por consiguiente las componentes rectangulares x , y , z se obtienen directamente de (612) al igualar Eγ γ γ = 0:

(618)

estas ecuaciones son validas también cuando son diferentes de 0, pero en este caso de hecho se tiene que sonγλ γλ iguales a cero.

Resulta conveniente calcular primero las componentes del vector de gravitación normal.

. Г = grad V ( 619)

para calcular luego sumándole la fuerza centrifuga:λ

= Г + grad Ф γ (620)

Expresada con las componentes x,y,z esta ecuación seria:

(620´)

El vector Г también es en si interesante puesto que representa el efecto de la atracción gravitacional normal de la tierra sobre un satélite. Las componentes de Г a lo largo de las líneas de coordenadas están dadas análogamente a ( 617) , por:

(621)es fácil ver que la ecuación (618) también resulta valida cuando se reemplazan todas las componentes de por lasγ componentes correspondientes de Г.Las componentes ( 6 21) se obtienen diferenciando (614) con respecto a Г y Ф .Después de las operaciones elementales, se halla que

(622)estas ecuaciones son apropiadas para los cálculos numéricos. Como estas serias convergen muy rápidamente, a menudo es suficiente considerar los términos hasta J4.Se puede lograr una ligera modificación introduciendo.

de modo que (623)

si se iguala (624)

se obtiene fácilmente

(625)

estas formulas pueden usarse en lugar de (614) y (622).

Al expresar P2n y dP2n / Ф en potencias de cos 2Ф, se obtiene una forma mas explicita, especialmente para cálculos manuales si se sustituye.

con ( 158), se halla que:

estas ecuaciones pueden diferenciarse fácilmente con respecto a Ф, lo cual dP2n / Ф. Al insertar esto en (625) se obtiene, reteniendo solamente los términos hasta n = 2:

(626)

Usando los valores numéricos del elipsoide internacional sección (211), las formulas (623) y (626) pasan a ser:

(628)

Estas expresiones dan como resultado V en unidades de geopotencial(1 u.g.p. = 1000 gal.metros) y Г r y Г Ф . en gals, con una precisión de 1 mgal.

Después de calcular Г r y Г Ф y siendo Г cero, se obtienen las componentes rectangulares Г x ,Гλ y, Г z por medio de (618) en donde hay que reemplazar las componentes de por las de Г. Si se necesitan las componentes de ,γ γ pueden calcularse usando (620').

64. Perturbaciones de la Gravedad Método Directo

Resulta conveniente empezar por las componentes Г , Ф., del vector de perturbación de la gravedad ,δ δ δ λ δ ecuación (63), expresadas en las coordenadas esféricas, Г , Ф., que se utilizaron en la sección anterior.λ Análogamente a (617), se tiene que

(629)

El potencial de perturbación T puede estresarse en términos de las anomalías del aire libre en la superficie terrestre por medio de la formula de pizzeti , ecuaciones (2161) y (2162).

(630)donde S( r , .) es la función de Stokes ampliada,ψ

(631)y

en la publicación de Hirvonen y Moritz ( 1963), pag 12 se pueden encontrar desarrollos en serie de orden superior, en (628) se han adoptado las notaciones generales de este trabajo pero la derivación es diferente. Cabe hacer notar que Hirvonen define Г r y Г Ф con signos contrarios y que denota la latitud geocéntrica por .ψ

De acuerdo con (629) hay que diferenciar (630) con respecto a r , Ф aquí puede notarse que la integral del lado derecho de (630) depende de r, Ф, solamente a través de la función S (r , ).por tanto al ser g resultante conλ ψ Δ respecto a la diferenciación, se tiene que.

(633)el punto P donde hay que calcular tiene las coordenadas Ф, ; denótese que las coordenadas correspondientes delδ λ punto variable P´ a las cuales hace referencia g y d , por Ф´, ´ luego, d estará expresado por : Δ σ λ σ

(634), la distancia angular entre P y P´, pasa a ser :ψ

(635)

se tiene que

(636)para efectos de comparación cabe hacer notar que la publicación de Hirvonen y Moritz (1963) se utilizan las notaciones n = r , m = Ф, = .δ δ δ δ δι δ λ

Ahora se hace referencia a las derivaciones correspondientes de la Sección 222, que resultaron en la fórmula de Vening Meinesz. Al igual que una aproximación esférica, la cual es suficiente para T, , etc., es posible identificar laδ latitud geocéntrica Ф con la latitud geográfica Ф por tanto, las ecuaciones (636) y (2206) son completamente análogas y se puede usar la (2209) de la Sección 222:

(637)

el azimut esta dado por la formula (2212)α

(638)

por medio de (636) y (637), las ecuaciones (633) pasan a ser

(639 a)

(639 b)

Ahora se forman las derivadas de la función de Stokes ampliada (631) con respecto a r y l. Al diferenciar (632) seψ obtiene

(640)

por medio de estas relaciones auxiliares se tiene que

(641)

(642)

Se pude obtener expresiones mas convenientes sise sustituye

(643)

(644)

Luego la función de Stokes ampliada (631) y sus derivadas (641) y (642) pasa a ser

(645)

(646 a)

(646 b)

Estas expresiones se utilizan en (630) y (639) para calcular T y .δ

La separación Np de la superficie geopotencial que pasa por P, W = Wp, y la superficie esferopotencial correspondiente U = Wp, esta dada según el teorema de Bruns por.

(647)Vease la sección 215 y la figura 2 15.

La desviación de la vertical, que es la desviación de la verdadera línea de plomada normal en el punto P, esta representada por sus componentes norte–sur y este–oeste.

(648)

Estas ecuaciones corresponden a (2204). Como y varía muy poco con la latitud y es independiente de la longitud, se tiene que

Y

La comparación entre (629) y (648) muestra que

(649)

Vemos que Np, p, np están dados por las ecuaciones (630~ y (639b), con excepción del factor ±1/ 0. Porξ γ consiguiente, estas ecuaciones son ampliaciones de las fórmulas de Stokes y de Vening Meinesz para puntos que están fuera de la tierra y se reducen a estas fórmulas para r = R, t = l.

Si escribimos las ecuaciones (649) en la forma

Ф = , = δ γξ δλ γη (649´)

vemos que las componentes horizontales de están directamente relacionadas con la desviación de la vertical, queδ es la diferencia en direcci6n de los vectores g y . La componente radial, r, sin embargo, representa la diferencia γ δ en magnitud de estos vectores, puesto que al igual que una aproximación esférica.

δr = g = gδ p γp (650)

que es la perturbación escalar de la gravedad; véase la Sección 213.

55. Perturbaciones de la Gravedad Método de Recubrimiento

Un método alterno para calcular T y (Orlin, 1959) se basa en el hecho de que las masas perturbadoras puedenδ sustituirse por una capa superficial o recubrimiento sobre el elipsoide de referencia, sin cambiar el potencial externo. De acuerdo con un teorema de la teoría del potencial esto es sola lente posible si el geoide encierra la masa total de la tierra. En el caso de la tierra real, esto resulta factible con un buen grado de aproximación.

De acuerdo con la sección 13 el potencial de perturbación se representa en la forma (116)

(651)

la superpie S es el elipsoide de referencia, el cual al igual que una aproximación esférica, se considera como una esfera de radio R. ahora hay que determinar la densidad superficial k del recubrimiento.

En el elipsoide S (a nivel del mar) la derivada normal de T es la derivad exterior (117 a).

(652)

generalmente, de acuerdo con (640)

a nivel del mar(r =R)

por tanto (652) pasa a ser

según (651)

(653)

luego de igual a 2 Kk = μπ (654)

de manera que (653) pede expresarse así

(655)

por ultimo se expresa dT / dn en términos de la anomalía gravimétrica Δ g por medio de la ecuación fundamental de la Geodesia Física (2151 f)

(656)

obteniendo así

(657)

G es la gravedad media a nivel del mar .y N denota la ondulación geoidal.

Por lo tanto, la densidad de l recubrimiento puede calcularse si se conocen tanto g como N.

Después de expresar k en términos de de acuerdo con (654). el potencial de perturbaci6n (651) pasa a ser.

(658)

dado que como aproximación esférica dS = R2 d ; σ los símbolos d σy l tienen el mismo significado que en la sección anterior.

Para formar las componentes (629) de la perturbación de la gravedad hay que diferenciar (658) exactamenteδ de la misma forma como se diferenció (63C) en la sección anterior. En lugar de

Ahora se tiene que

Y t oma el lugar de g. S e determina las expresiones

(659)

las cuales son comparables con (639) las derivadas con respecto a r y ψse determinan usando (6 40), de modo que se tienen.

(660)

Al sustituir (643) y (644), las ecuaciones (658) y (660) pasan finalmente a ser

(661)

(662 a)

(662 b)

Aquí también pueden usarse las ecuaciones (661) y (662b) junto con (647) y (649) para calcular la separación de las superficies geopotencial y esferopotencial correspondientes, y la desviación de la vertical.

El método de recubrimiento da por sentado que se conocen las alturas geoidales N, además de las anomalías gravimétricas g.Δ

56 Perturbaciones de la GravedadContinuaci6n Ascendente

Se aplica la fórmula integral de Poisson (189) a la función armónica T:

(663)

En las cercanías de P (Fig. 61), la esfera prácticamente coincide con su plano tangente en F. Como el valor del integrando es muy pequeño a grandes distancias de P, es posible extender la integración al plano tangente en lugar de la esfera. Luego, de acuerdo con la Figura 61.

(664 a)

Se introduce un sistema de coordenadas rectangulares x, y, z con el eje x hacia el norte y el eje y hacia el este en el plano tangente. Luego, también puede escribirse:

(664 b)

el elemento de superficie pasa a ser

Y se tiene además que

por consiguiente (663) pasa a ser la formula del plano

(665)

“formula importante se llama la Integral de continuación ascendente". Permite calcular el valor de la función armónica T en un punto sobre el eje x, y a partir de valores dados de T en el plano, es decir, la continuación ascendente de una función armónica. Tanto T como sus derivadas parciales dT / dx, dT / dy, dT / dz son armónicas. porque si

Entonces también se tiene que

Tanto la integral de continuación ascendente (665). que resulta valida para cualquier función armónica. también puede aplicarse a dT / dx, dT / dy, dT / dz.

como T es el potencial de perturbación, sus derivadas parciales son componentes de la perturbación de la gravedad:

Se están usando x. y. zδ δ δ porque esta notación está reservada para las componentes en el sistema geocéntrico global de coordenadas. el cual no debe confundirse con el sistema local presentado en esta sección. De manera que las de (665) se tienen.

(666 a)

(666 b)

Al lado izquierdo de estas ecuaciones, las componentes de δ se refieren al punto elevado P en la integral de la derecha se fijan a nivel del mar y se calculan a partir de la expresiones.

(667 a)

(667 b)

que resultan de (649') y (650), aplicadas al nivel del mar, junto con (2151d). Los símbolos R y G denotan, como siempre, el radio medio de la tierra y el valor medio de la gravedad en la superficie de la tierra.

Por lo tanto es posible calcular T y . por medio de una integral de continuación ascendente si se conocen lasδ ondulaciones geoidales N y las componentes de la desviación ; y en la superficie terrestre.ξ η

La aproximación al plano es suficiente excepto en el caso de altitudes muy grandes (.>250km). De otro modo se tendría que usar la fórmula esférica (663) para T. Para la componente radial . r, se puede demostrar que lasδ ecuaciones (674) ó (675) que se dan más adelante, donde . r reemplaza a. g, son validas. No se conocen lasδ Δ fórmulas esféricas correspondientes para la continuación ascendente de las componentes horizontales Ф y . Elδ δλ motivo por el cual la misma fórmula, o sea la integral de continuación ascendente, resulta valida para T y las componentes de únicamente en el caso planas es que las derivadas de T son armónicas solamente cuando hacenδ referencia a un sistema de coordenadas cartesianas.

67. Consideraciones Adicionales

Superficie de Referencia. Las fórmulas anteriores para el potencial de perturbación T y el vector de perturbación de la gravedad son solamente validas si la superficie de referencia es una esfera. En la práctica, las anomalíasδ gravimétricas se refieren a un elipsoide. Las fórmulas anteriores para T y son también válidas para una superficieδ elipsoida1 de referencia, si se hace caso omiso de un error relativo del orden del achatamiento f = 0.3%, es decir, al igual que una aproximación esférica. Se le recuerda al lector que esto no significa que se está sustituyendo el e1ipsoide por una esfera en un sentido geométrico, sino que en las fórmulas originalmente elípticas se pasan por alto la primera y las potencias superiores del achatamiento, y por ello se convierten formalmente en fórmulas esféricas.

Como las anoma1ias gravimétricas, etc., hacen referencia a un e1ipsoide, hay que ser sumamente cuidadosos al ca1cular t que forma parte de las fórmulas de las Secciones 64 y 65. Si se usara una esfera exacta de radio R, como superficie de referencia, entonces se tendría que usar r =.R + H, donde H es la e1evacion del punto de calculo sobre la esfera. En realidad se uti1iza un elipsoide de referencia; luego, nuevamente se tiene que

(668)

pero como H es ahora la elevación sobre el e1ipsoide (o, con suficiente precisión, sobre el nivel del mar), la constante R = 6371 Km. es el radio medio.de la tierra. Por lo tanto, r tal como se calcula en (668) difiere del radio vector geocéntrico r = ( x2 + y2 + z2 )1/2. De hecho, esto es sólo válido para las secciones 64 y 65, y no para las fórmulas de la Sección 63. que únicamente se refieren a las coordenadas esféricas.

Ya se ha mencionado que es posible sustituir la latitud geocéntrica Ф, y latitud geográfica Ф , en lo que respecta a T y δ por ejemplo, Ф = Ф en (635) o (638).

Para todos los cálculos relacionados con el campo gravitacional de la tierra, hay que usar las anomalías gravimétricas de aire libre puesto que todos los demás tipos de anomalías gravimétricas corresponden a alguna eliminación o transferencia de masas las cuales cambian el externo. Si, además de g, se usan las ondulacionesΔ geoidales N (según recubrimiento) o las desviaciones de la vertical , n (en la continuación ascendente) entoncesξ estas cantidades deberán calcularse a partir de las anomalías de aire libre.

como suele hacerse, se utiliza la gradiente normal de aire libre 0.3086 mgal/metro para la reducción de aire libre, entonces las formulas aire libre se refieren exclusivamente a la superficie física de la altura a nivel del terreno) en lugar del geoide (a nivel del mar). Los n calculados a partir de éstos por medio de la fórmula de Stokes las formulas son altura, , que se refieren al terreno en lugar de alturas del mismo. Esta diferencia, no obstante, es insignificante yζ puede omitirse en la mayoría de los casos, de modo que g puede considerarse como una altura nivel del mar (véaseΔ la sección 813).

No podemos pasar esta diferencia por alto en busca de la mayor presión en montañas altas y empinadas para altitudes H bajas, entonces necesario proceder de otra manera (véanse las Secciones 88 y 810). Se mira la anomalía de aire libre g del punto A en el terreno al punto AΔ 0 con pendiente a nivel del mar (véase la Figura 62):

(669)

para la anomalía a nivel del mar g * obtenida así. La gradiente vertical g/ dh puede calcularse mediante laΔ Δ fórmula (2217) usando las anomalías a nivel del terreno g . También se puede reducir a cualquier otra superficieΔ de nivel W = Wl, por ejemplo la que pasa por F (Fig. 62) usando en lugar de h en (669). Luego, también habrá que usar H1 en lugar de H .para propósitos de escala grande, la reducción a nivel del mar es preferible. Es probable que dicha reducción sólo llegue a ser confidencia en casos excepcionales, de manera que por lo general puede omitirse de las fórmulas en las Secciones 64 hasta 66 puede considerarse como altura de P sobre el nivel del mar o sobre el terreno. Para otros métodos emplear la topografía refiérase a las publicaciones de Arnold (1959), levallois (1960) y Moritz (1966).

Comparación entre Métodos. de todos los métodos descritos en las tres secciones anteriores, las fórmulas del método directo son las más complicadas, pero pueden manejarse bastante bien si se tabu1an las funciones requeridas o si se programan para una computadora automática. Aquí sólo se requieren las anomalías gravimétricas. Si se conocen las alturas geoidales N además de gΔ, resulta preferible el método de recubrimiento porque comprende fórmulas un poco más sencillas. Si bien los cómputos son más sencillos en el método de continuación ascendente requiere la mayor cantidad de datos: N para T, gΔ Y N para r, y y para Ф y .δ ξ η δ δλ

Para tener una mejor idea de la ap1icabi1idad de estos tres métodos, hay que considerar el efecto de las zonas distantes. La tabla 61, tomada de la publicación de Hirvone Moritz (1963, pág. 63), muestra la influencia de la raíz media cuadrática Δ r , δ Δ Ф = δ Δ de las zonas más allá de un radio esférico δλ ψ0

sobre r, Ф, . El método usado para calcular esta tab1a se describirá en la Sección 74. Los valores deδ δ δλ la tabla son validos para todas las altitudes H, desde cero hasta varios cientos de kilómetros.

Se admite que para ψ0 > 20° o 30°. la influencia de las zonas distantes disminuye muy lentamente. Por tanto, no parece practico extender la integración mucho más a1la de 20° (Método de recubrimiento) o de 30°(método directo), a menos que se extienda a toda la tierra.

Influencia de la raíz media cuadrática de la zona mas allá de un radio ψ0 , r, Ф, δ δ δλ

puede notarse además que el efecto de las zonas remotas sobre Ф y δ δλ no como menor en el método de recubrimiento que en el método di recto. La influencia sobre δr es .menor en el método de recubrimiento, pero si se conoce más de g, entonces no se deberá calcular Δ δr por este método sino por el de continuación ascendente, donde la influencia de las zonas distantes es específicamente pequeña.

Es fácil comprender porqué esta influencia es tan pequeña en el método continuación ascendente. Si H = O. entonces el efecto de las zonas remotas en el método directo y en el de recubrimiento esta dado aún por la tabla 61. el método de continuación ascendente., no obstante. este efecto es cero para P = F. puesto que el valor "calculado" en P es entonces idéntico al .correspondiente en el terreno en F, donde no hay influencia alguna en valores vecinos. Si H es diferente de O, entonces solamente el vecino más cercano a P es alguna importancia en este método. En la próxima sección se 'verá que por lo general es suficiente llegar hasta diez veces la elevación si se utiliza continuación ascendente.

Esta también es la razón por la que se puede usar la aproximación al plano en el método de la Sección 66, pero no en los otros métodos que comprenden influencias mucho mayores para las que esta aproximación no resulta válida.En resumen, los siguientes métodos son adecuados para uso práctico: si se conocen g, el método directo; si seΔ conocen g y N, el método de recubrimiento para las componentes horizontales y el de continuación ascendente.Δ

para la componente vertical de y para T; si se conocen g, N, , , entonces la continuación ascendente para todo.δ Δ ξ η

La precisi6n que puede obtenerse es más o menos la misma en los tres métodos si se aplican correctamente, especialmente si se extiende la integraci6n lo suficiente. Los errores típicos de las tres componentes son aproximadamente proporcionales a l / H y son muy pequeños en elevaciones grandes, pero la correlación entre los valores vecinos puede ser considerable.

Integraci6n practica. Las fórmulas integrales de este capítulo tienen que evaluarse aproximadamente por medio de sumatorias exactamente en la misma forma como, por ejemplo, las fórmulas de Stokes y Vening Meinesz. Los procedimientos se describieron en la Sección 224.

Los detalles del método de continuación ascendente se dan en la sección que sigue. En cuanto al método directo y al de recubrimiento utilizando bloques de tamaño estándar, los siguiente, tamaños pueden considerarse adecuados a unos 45° de latitud. Para diferencias en latitud con el punto de cómputo hasta de Ф = 1.5° y una diferencia enΔ longitud de = 2°, se utilizan bloques de 5' X 5'; afuera de esta zona, hasta Ф = 3.5° y = 4.5°, se utilizanΔλ Δ Δλ bloques de 20' X 20'; afuera de esta zona, hasta Ф = 12.5° y = 15.,Δ Δλse utilizan bloques de 1°X l°; y afuera de esta zona, bloques de 5°X 5°.

En el caso de puntos con elevaciones de sólo unos cuantos ki1ometros, algunos bloques de 5' X 5´ quizás no sean suficiente alrededor del punto de cómputo y haya que recurrir a otros medios, ta1es como el uso de una plantilla para la región interna o el uso de gradientes horizontales de la gravedad análogas a las de la formula de Vening Meinesz.

Por consiguiente, los detalles de estas integraciones numéricas son algo complicados; el lector podrá hallar más información en la publicación de Hirvonen y Moritz (1~63).

Calculo del vector de gravedad. Después de calcular las componentes r, Ф, . δ δ δλ mediante la integración numérica, es posible transformar1as en coordenadas cartesianas x, y, z.δ δ δ con respecto al sistema mundial de coordenadas. Las ecuaciones de transformación son (618), donde se sustituyen las componentes de por lasγ componentes correspondientes de δ es fácil notar que (618) es válida para un vector arbitrario.

También se puede formar primero las componentes del vector de gravedad g en coordenadas esféricas por medio de:

.gr = r + r, gФ = Ф + Ф, g = γ δ γ δ λ δλ (670)

donde r. γ , γ Ф, γ λ, están dados por las fórmulas de la Sección 63, y aplicar luego (618) a g.

Otra posibilidad es usar las componentes de coordenadas elipsoidales de acuerdo con la Sección 62. Para 1as cantidades pequeñas u, , se puede aplicar aquí también la aproximación esférica, haciendo caso omiso de unδ δβ δλ error relativo del orden del achatam1ento. Si se pasa por alto el achatamiento, entonces las coordenadas elipsoidales u , , se reducen a las coordenadas esféricas r,β λ Ф, λ de manera que al igual que una aproximación esférica.

. u = r, δ δ δ β= δФ (671)

Donde es exactamente la misma en ambos sistemas. Por .tanto, tambiénδλ

r, Ф, δ δ δλ pueden considerarse como componentes de eδn coordenadas elipsoidales.

Por consiguiente, se tiene que

.gu = u +γ r, gδ β = + γβ δФ, g = λ δλ (672)

Y gx, gy gz .se obtienen por medio de,(612), las componentes de g que, sustituyen las componentes correspondientes de . Obviamente la aproximación esférica sólo puede usarse para γ δ , de manera que hay que calcular u, , por medio de las formulas exactas (610).γ γβ

El geopotencial W puede calcularse usando (64); el potencial gravitacional V se obtiene restando el potencial centrifugo w2 (x2+ y2 )/2; y el vector de gravitación está dado por (66).

Arm6nicas esféricas. El potencial anómalo T y sus derivadas también pueden obtenerse por medio de su desarrollo armónico esférico, en donde los coeficientes se calculan por medio de un análisis armónico de las anomalías gravimétricas (véase la Sección 220). no obstante, como estas series tienen una convergencia lenta, solamente pueden aplicarse cálculos con elevaciones satelitales (unos 1000 Km.). Resultan útiles para el cálculo de las órbitas satelitales; véanse las Secciones de la 96 ,1 la 98.

68. Anomalías Gravimétricas Fuera de la Tierra .

Supóngase que haya que calcular g en algún punto P fuera de la tierra (Fig. 63): aquí sólo se tomará en cuenta la magnitud del vector de gravedad. Esto se hace convenientemente añadiendo una corrección la gravedad normal .γ En la sección 213 se estudiaron dos tipos diferentes de dicha corrección, g :γ

l. La perturbación de la gravedad δg en la que tanto g como se refieren al mismo punto P. γ

2. La anomalía gravimétrica, g. En este caso g se refiere a P pero se refiere al punto correspondiente Q situado enΔ γ la misma línea de plomada que P, y cuyo potencial normal U es igual al potencial real W de P, es decir, UQ = Wp.

esta forma sencilla es suficiente para alturas moderadas.

La perturbación de la gravedad se utiliza cuando se conoce la posición espacial de P, es decir, sus coordenadas rectangulares geocéntricas x, y, z, como por ejemplo, en los cómputos de la gravedad a lo largo de trayectorias espaciales u órbitas satelitales. Luego, por lo general, se necesita el vector completo g y no solamente su magnitud g, y los cálculos se efectúan según los métodos descritos en las secciones anteriores. En la Sección 213 : se vio que la diferencia en magnitud δg es prácticamente igual a la componente vertical del vector de perturbación de la gravedad:

δg = δr

IEn esta sección se hace referencia a la anomalía gravimétrica g. Δ Se usa cuandoquiera que se conozcan las coordenadas naturales (Sección 24).

Especialmente el potencial W de P. Entonces se podrá determinar Q como el punto cuyo potencial normal es igual al valor dado de W; es decir, será posible calcular la altura de Q sobre el elipsoide por medio de una, fórmula elipsoidal como (444) donde C = W0 W. luego la gravedad normal en Q estará dada, por ejemplo, por (2123)

En la superficie terrestre, el potencial W se determina mediante nivelación (Sección 41); es por ello que el material básico de la "geodesia gravimétrica lo constituyen las anomalías gravimétricas y no 1as perturbaciones de la gravedad. Si se conoce la altura H1 de P sobre el terreno, entonces el potencial en P podrá obtenerse mediante.

(673)

donde Wl es el potencial en el punto terrestre F debajo de P, y g es la gravedad media entre F y P. Por tanto, aun en este caso se conoce W en lugar e las coordenadas rectangulares x,y,z y lo apropiado es usar las anomalías gravimétricas g . Este es el caso, por ejemplo, de las mediciones de la gravedad desde el aire, en donde se mide laΔ altura .de la aeronave sobre el terreno.

Fórmulas. La fórmula básica es

(674)

la cual difiere de (2160) en que las armónicas esféricas de grado 0 y 1 las cuales han sido excluidas aquí, se dejan en la formula actual. Si se hace las sustituciones usuales en (643) y (644) se obtiene.

(675)

nuevamente,

donde H es la altura sobre el nivel al que hace referencia las anomalías g dadas; véanse los comentarios al respectoΔ en la sección anterior.

hasta con alturas de vuelo, es posible usar otra vez la aproximación al plano de la sección 66, de manera que (675) se reduce a una integral de continuación ascendente del tipo (675):

(676)

O en las coordenadas polares s y α

(676´)

donde

Integración practica. Se pueden volver a usar bloques estándar ( 5´ X 5´ , 10´ X 10´ ó 1° X 1°, digamos), adecuados para cálculos automáticos, o se pueden utilizar plantillas.

La integral (676) puede sustituirse entonces por

(677)

donde gΔk es la media en kesimo compartimiento. Si se utilizan bloques estándar con lados de Ф y , entonces.Δ Δλ

(678)

donde Фk y lk se refieren al centro del bloque. Estos coefiencientes son del tipo (2224). Para una plantilla polar, los coeficientes integrados preferibles del tipo (2223) también tienen una forma sencilla si se usa (676´) y las notaciones de la figura 222 ( donde se ha sustituido por s ), se tiene queψ

y después de integrar,

(679)

donde l1 pertenece al radio interno y l2 al radio externo.

Hirvonen (1962) preparo un diseño óptimo para una plantilla. Se construye de tal manera que el error producido por cada compartimento tiene la misma raíz media cuadrática. La tabla 62 contiene los coeficientes de Hirvonen. Los radios S1 y S2 y la elevación H tienen que medirse en la misma unidad.

Tal como se vio en la sección anterior, la continuación ascendente es básicamente un problema local. La contribución principal a las integrales (676) ó (676´) se originan del área alrededor del punto P, dado que la influencia de las regiones distantes es insignificantemente pequeña, considérese el efecto de la zona que esta mas allá de una distancia dada S0 desde P fig 64 de acuerdo con (676), este efecto esta dado por.

por que cuando S es grande se reemplaza 1 = ( S2 + H2 ) ½ por S. si se introduce cierto valor promedio g de lasΔ anomalías gravimétricas en la zona S > S0 entonces, según el teorema del valor medio del calculo integral, es posible expresar el valor promedio del efecto de esta zona así

Lo cual equivale a

Con esta formula puede verse que S0 debe ser más o menos proporcional a H si se desea obtener el mismo error ε para las diferentes elevaciones H. Por ejemplo, si So = 10H, entonces = 0.1 g . Si g no excede de 10 mgals,ε Δ Δ entonces será menor que 1 mgal. Esto por lo general puede darse por sentado porque se espera que los valores deε

g para la zona S > So tienden a promediarse cuando So tiene un valor alto. Siendo ese el caso, solo es necesarioΔ extender la integración hasta 10 veces la elevación.

Las consideraciones de la sección anterior también pueden aplicarse en muchos aspectos a la continuación ascendente de las anomalías gravimétricas. Nuevamente, se tendrá que usar anomalías de aire libre que hagan referencia al nivel del terreno o, para mayor exactitud, a alguna superficie de nivel. Si el terreno está sobre el nivel del mar, pero es razonablemente plano, resulta mejor considerar H como la elevación sobre el terreno y no sobre el nivel del mar, porque entonces el terreno podrá considerarse localmente como parte de una superficie de nivel.

Para mayor información sobre la precisión, el lector puede referirse a la publicación de Moritz (1962).

El problema inverso, o sea la continuación descendente de las anomalías gravimétricas, ocurre cuando se reduce la gravedad medida a bordo de una aeronave, y también en determinada solución del problema geodésico de los valores límites que se describirá en la Sección 810. No hay una fórmula integral cerrada inversa para (675) o (676), pero es posible resolver el problema de la continuación descendente con el método iterativo de la Sección 810.

La continuación ascendente y la descendente también se usan en la exploración geofísica pero aquí el propósito es bastante diferente. Se han desarrollado varios métodos relacionados, algunos de los cuales también pueden aplicarse con fines geodésicos; véanse, por ejemplo, las publicaciones de Jung (1961, Sección 7.22), Oean (195R), Hellderson (1960) y Tsuboi (1961).

Referencias

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Tsuboi, C. (1961). Upward cont.inuation of gravity values based on the cylindrical coordinate system. Rcport No. 16, Inst. Geod. Phot. Cart Ohio Statc tlniv.

METODOS ESTADISTICOS EN LA GEODESIA FISICA

71. introducción

Los problemas más importantes de la geodesia física se formulan y resuelven en términos de integrales extendidas a toda la tierra. Un ejemplo típico sería la fórmula de Stokes. Por consiguiente, es necesario conocer, en principio, la gravedad g en todos los puntos de la superficie de la tierra. En realidad, aun en el caso de la red gravimétrica más densa., solo se mide g en relativamente pocos puntos, de modo que para los otros es necesario estimar g mediante interpolación. En muchas partes extensas de los océanos no se ha efectuado absolutamente ninguna observación; estos vacíos tienen que llenarse con algún tipo de extrapolación.

Matemáticamente, no hay diferencia alguna entre la interpolación y la extrapolación: por lo tanto se denotan mediante el mismo término, predicción. La predicción (interpolación o extrapolación) no puede, por supuesto,

proporcionar valores exactos; por tanto, el problema es estimar los errores que pueden esperarse en la gravedad g o en la anomalía gravimétrica g. Como g se utiliza también para calcular otras cantidades, tales como la ondulaciónΔ Δ geoidal N o las componentes de la desviación y , hay que investigar la influencia de los errores de predicción deξ η

g sobre N., y , etc. A esto se le conoce como propagaci6n de errores.Δ ξ η

Además es importante saber qué métodos de predicción proporcionan la mayor precisión, bien sea en g o en lasΔ cantidades derivadas N., y , etc. Para poder determinar los "mejores" métodos de predicción, obviamente resultaξ η necesario, haber resuelto primero el problema anterior, conocer el error de predicción de g y su influencia en lasΔ cantidades derivadas.

Hay otro aspecto incluido. En principio, las fórmulas integrales presentadas comprenden siempre integraciones sobre toda la tierra. En la práctica, no obstante, muchas veces las integraciones sólo abarcan un área limitada, ya sea porque no existen mediciones gravimétricas, más allá de la misma o porque si se extienden no se observa prácticamente ningún aumento en la precisión. Después habrá que estimar el efecto de las zonas distantes no tomadas en cuenta.

En resumen, se tienen los siguientes problemas:

l. Estimación de los errores de interpolación y extrapolación de g;Δ2. Estimaci6n del efecto de estos errores en las cantidades derivadas N., y , etc. ξ η3. Determinación del mejor método de predicción.'

4. Estimación del efecto de las zonas distantes omitidas.

Como los que interesan son los errores promedio y no los individuales, se requieren procedimientos estadísticos. Este es el tema del presente capítulo. 7.

72. La función de Covarianza,

Es realmente notable que todos los problemas arriba mencionados pueden resolverse mediante una sola función de una variable sin ninguna otro información. Esta es la función de Covarianza de las anomalías gravimétricas.

Primero se necesita una medida del tamaño promedio de las anomalías gravimétricas g. Si se halla el promedio deΔ g en toda la tierra, se obtiene el valor cero:Δ

(71)

El símbolo M representa el promedio sobre toda la tierra (sobre la esfera unitaria), este promedio es igual a la integral sobre la esfera unitaria dividida por su área 4 . La integral es cero si no hay término de grado cero en elπ

desarrollo de las anomalías gravimétricas g en armónicos esféricos, es decir si se usa un elipsoide de referencia conΔ la misma masa que la tierra y con el mismo Potencial que el geoide. Esto se dará por sentado en todo este capítulo2.

Evidentemente la cantidad M { g }, que es cero, no puede usarse para caracterizar el tamaño promedio de lasΔ anomalías gravimétricas. Considérese entonces el cuadrado promedio de gΔ

(72)

Se le llama la varianza de las anomalías gravimétricas. Su raíz cuadrada es la anomalía media cuadrática ( r.m.s.):

(73)

la anomalía media cuadrática es una medida muy útil del tamaño promedio de las anomalías gravimétricas; por lo general se da en la forma:

r.m.s { g}= ± 35 m.gals; Δ

Los signos de más y de menos expresan la ambigüedad del signo de la raíz cuadrada e indican que ésta puede ser positiva o negativa. La anomalía media cuadrática es muy intuitiva pero la varianza de g es mucho másΔfácil de manejar matemáticamente y se presenta para una generalización significativa.

1 Se está omitiendo primero la correlación con la elevación.

2 De no ser ese el caso, es decir si M { g} = m diferente de cero entonces es posible formar anomalías gravimétricasΔ nuevas g* = g – m, restando el valor promedio m. Luego M g* = 0 y todos los desarrollos subsiguientes seΔ Δ Δ aplican a es anomalías g* “centradas".Δ

En lugar del cuadrado promedio de gΔ, considérese el producto promedio de las anomalías gravimétricas g g´ enΔ Δ cada par de puntos P y P´ que tienen una distancia constante s, de separación. Este producto promedio se llama la Covarianza de las anomalías gravimétricas para la distancia s y se define por .

Covs {Δ g} = M {Δ g Δ g´} (74)

E1 promedio se extiende a todos los pares de puntos P y P´ en donde PP' = s = constante.'

La Covarianza caracteriza la correlaci6n estadística de las anomalías gravimétricas g y g´, que viene a ser suΔ Δ tendencia a tener más o menos el mismo tamaño y signo. Si la Covarianza es cero, entonces las anomalías g g´ noΔ Δ están correlacionadas , o sea que son independientes1 la una de la otra; en otras palabras, ni el tamaño ni el signo de

g tienen influencia alguna sobre el tamaño o el signo de g´. Las anomalías gravirnétricas en puntos que seΔ Δ encuentran muy separados pueden considerarse no correlacionadas o independientes dado que las perturbaciones locales que producen g casi no tienen influencia sobre g´ y viceversa.Δ Δ

Si se considera la Covarianza como una función de s = PP´, entonces se obtiene la función de Covarianza C(s) mencionada al principio:

C(s) = Covs {Δ g} = M {Δ g Δ g´} (PP'=S). (75)

para s = O se tiene que

C(O)= M{Δ g 2}= var {Δ g} (751)

de acuerdo con (72). La Covarianza para s = O es la varianza:

1 En el sentido estricto de la estadística matemática la correlación cero y la independencia no son exactamente lo mismo, pero en este caso puede hacerse caso omiso de la diferencia.

En la figura 71 se muestra una forma típica de la función C(s) .Para distancias s pequeñas (de 1 Km., por ejemplo) es casi igual a g de manera que la Covarianza es casi igua1 a la varianza; en otras palabras, hay una correlaciónΔ muy fuerte. La Covarianza C(s) disminuye al aumentar s, porque entonces las anomalías g y g´ se vuelven cadaΔ Δ vez más independientes. En el caso de distancias muy grandes, la Covarianza será muy pequeña, pero en general no exactamente cero porque las anomalías gravimétricas no sólo se ven afectadas por las perturbaciones locales de la masa sino también por factores regionales. De. manera que en su lugar puede esperarse una osci1ación entre valores positivos y negativos pequeños1

La determinación práctica de la función de Covarianza C(s) es un tanto problemática. Si tuviera que determinarse con exactitud, sería necesario conocer la gravedad en todos los puntos de la superficie terrestre. Esto obviamente no es así puesto que, si se conociera, entonces la función de Covarianza perdería gran parte de su importancia porque sería posible resolver los problemas con exactitud sin necesidad de estadísticas. De hecho, la función de Covarianza solo puede estimarse usando muestras distribuidas en toda la tierra. Pero en la actualidad hasta eso resulta imposible porque los datos gravimétricos de los océanos son imperfectos o no existen del todo. Para una explicación sobre el muestreo y los problemas relacionados refiérase a la publicación de Kau1a (1963, 1966).

La estimación más completa que se ha hecho hasta la fecha es la de Kaula (1959). Algunos de sus valores se dan en la Tabla 71. Se refieren a las anoma1ías de aire libre. El argumento es la distancia esférica.

(76)

que corresponde a una distancia linea1 s medida sobre la superficie terrestre; R es un radio medio de la tierra. La anomalía media cuadrática de aire libre es

(77)

1 Las covarianzas positivas significan que g y g´ tienden a tener el mismo tamaño Δ Δ y el mismo signo; las covarianzas negativas significan que g y g´ tienden a tener el mismo tamaño pero signos opuestos. Cuanto mayorΔ Δ sea esta tendencia, tanto Mayor será C(s); el valor absoluto de C(s), no obstante, jamás podrá exceder la varianza C(O).

Puede notarse que C(s) disminuye al aumentar ,s y que para, s/R > 30°, los valores son muy pequeños y oscilan entre positivo y negativo.

Para ciertos fines se necesita una función de Covarianza local en lugar: de una global; luego el promedio M se extiende solamente a un área limitada y no a toda la tierra como en el caso anterior. Esta función de Covarianza local resulta útil para estudios más detallados en un área limitada por ejemplo, para problemas de interpolación. Como ejemplo se puede mencionar; que Hirvonen (1962), al investigar la función de Covarianza local de las anomalías de aire libre en Ohio, halló valores numéricos que están debidamente representados por un expresión analítica de la forma .

(78)

Donde

(79)

Esta función es válida para s < 100 Km.

73 Desarrollo de la Función de Covarianza en Arm6nicos Esféricos

Las fórmulas integrales más o menos complicadas de la geodesia física adquieren por lo general una forma mucho más sencilla si se vuelven a escribir en términos de armónicos esféricos. Un buen ejemplo es la fórmula de Stokes (Véase la Sección 217). Lamentablemente esta ventaja teórica se pierde en la mayoría de los casos frente a 1a desventaja de que en la práctica las series pertinentes convergen muy lentamente. En ciertos casos, sin embargo, la convergencia es buena. Por consiguiente, los armónicos esféricos son convenientes en la práctica; en la próxima sección se presenta un caso de éstos.

El desarrollo armónicoesférico de las anomalías gravimétricas g puede expresarse de muchas formas diferentes,Δ tales como

(710)

Donde g Δ n ( , ) es el armónico de superficie de Laplace de grado n, o más específicamente.θ λ

(711)

Donde

(712)

son los armónicos esféricos convencionales, o en términos de armónicos totalmente normalizados ( vease la sección 114):

(713)

en este caso es la distancia polar ( complemento de la latitud geocéntrica) y es la longitud.θ λHay que determinar los productos promedio de dos armónicos de Laplace.

(714)

Estos productos promedio son.

(715)

Dado que el promedio se extiende a toda la tierra, es decir, a toda la esfera unitaria. Primero se toma n´ = n que da el cuadrado promedio del armónico de Laplace de grado n.

(716)

Si se inserta (714) y se toma en cuenta las relaciones de ortoganalidad (168) y la normalización (174) se halla fácilmente.

(717)

Considérese ahora el producto promedio (715) de dos armónicos de Laplace de diferente grado n´ diferente n debido a la ortogonalidad de los armónicos esféricos, la integral de (715) es cero.

(718)

En términos estadísticos, esto significa que dos armónicos de Laplace de diferente grado no están correlacionados o, en un sentido más amplio son estadísticamente independientes.

En una forma similar a las que se utiliza para las anomalías gravimétricas, también la función de Covarianza C(s) puede desarrollarse en una serie.

de armónicos esféricos. Tómese un punto P arbitrario, pero fijo, como el polo de dicho desarrollo. De esta manera se introducen las coordenadas polares esféricas , (distancia angular desde P) y (azimut) (Figura 72). La distanciaψ α angular , corresponde a la distancia lineal s según (76). Si se desarrolla la función de Covarianza, con elψ argumento en una serie de armónicos esféricos con respecto al polo P y a las coordenadas , y , se tieneψ ψ α

que es del mismo tipo que (711). Pero como C depende solamente de la distancia , y no del azimut , losψ α armónicos esféricos no pueden contener ningún término que dependa explícitamente de . Los únicos armónicosα independientes de son las funciones zonales.α

los cn =cn° son los únicos coeficientes que no son iguales a cero. también se usa la expresión equivalente en términos de armónicos completamente normalizados

(720)

los coeficientes de estas series de acuerdo 113 y 114 están dadas por

(721)

(722)

Ahora hay que determinar la relación entre los coeficientes Cn de C( ) en (719) y los coeficientes anm y bnm deψ g en (714). Por este motivo se necesita una expresión para C ( ) en términos de g Δ ψ Δ , la cual se obtiene fácilmente

escribiendo (75) en una forma mas explicita. Considérense los dos puntos p ( , .) y p´( ´, ´) de la figura 72. Suθ λ θ λ distancia esférica está representada porψ

(723)

En este caso , y el azimut son las coordenadas polares de p´( ´, ´) con respecto al polo p ( , .)ψ α θ λ θ λ

El símbolo M en (75) denota el promedio sobre la esfera unitaria.

Para calcularlo se necesitan dos pasos. En primer lugar se halla el promedio sobre el circulo esférico cuyo radio es ψ (indicado en la figura 72 por medio de una línea de trazos), manteniendo el polo P fijo y desplazando p´ a lo largo del circulo de manera tal que la distancia PP' permanezca constante. Esto resulta en

Donde C* sigue dependiendo del punto P que se escogió como el polo = 0. en segundo lugar se calcula elψ promedio de C* sobre la esfera unitaria

esto es igual a la función de Covarianza C( ) y el símbolo M en (75) se expresa ahora explícitamente así.ψ

(724)

Se ha dado por sentado que las coordenadas ´, ´ de esta fórmula están relacionadas con , por medio de (723)θ λ θ λ donde, = const. ; pero que de otra manera son arbitrarias; esto expresa, por supuesto, el hecho de que en (75) elψ promedio se extiende a todos los pares de puntos P y P' para los que PP' = = const.ψ

Par calcular los coeficientes Cn, se inserta (724) en (721) obteniendo así.

(725)

considerese primero la integración con respecto a y . Deacuerdo con (171) se tiene queα ψ

donde el cambio de las variables de integración es evidente. Por tanto, (725) se convierte en

(726)esto también puede expresarse como (727)

Ahora se le inserta (710) que puede escribirse

donde el índice de la sumatoria se denota por n´ en lugar de n se obtiene.

Según (718), solamente el termino donde n´=n es distinto de cero, de manera que por (717) se obtiene.

(728)

por tanto Cn es el cuadrado promedio del armónico de Laplace g Δ n ( , ) de grado n, o su varianza. Los Cn tambiénθ λ se conocen como varianzas de grado. ( las covarianzas de grado son cero, debido a (718)

La ecuación (728) relaciona los coeficientes anm y bnm de g y cn de C(s) de la forma más sencilla

posible. Nótese que anm y bnm son coeficientes de armónicos totalmente normalizados, mientras que cn son

coeficientes de armónicos convencionales. De hecho, también pueden usarse los anm y bnm (convencionales) o

los cn (totalmente normalizados); pero obviamente (728) se tornará un poco más complicado.

7.4. Influencia de las Zonas Distantes sobre las Fórmulas de Stokes y de Vening Meinesz.

Los desarrollos armónicos esféricos de la sección anterior se usarán ahora para evaluar los efectos de omitir las zonas distantes en los cálculos de la altura geoidal y de la desviaci6n de la vertical.

La integral de Stokes (2165) se divide en dos partes:

N=R

4 Gπ ∫ψ=0

ψ0

∫α=0

2π

g S cos ψ sin ψ dψ dα (729)

R

4 Gπ ∫ψ=0

π

∫α=0

2π

g S cos ψ sin ψ dψ dα

Ahora se denota la funci6n de Stokes por S(cosψ) en lugar de S(ψ). Para tener mas adelante en la sección una notación sencilla y coherente.

Si la integraci6n no se extiende sobre toda la tierra sino sólo hasta una distancia esférica ψ0 , entonces

solamente se considera la primera integral de (729). El error Nδ que resulta al Omitir las zonas que están más allá

de ψ=ψ0 está dado, por 10 tanto, por la segunda integral de (729),

Nδ =R

4 Gπ ∫ψ=0

π

∫α=0

2π


Si se introduce la función (discontinua), (figura 730):

0 si 0≤ψ≤ψo ,

S cos ψ si ψo≤ψ≤π ,¿

S cos ψ =¿ {¿ ¿¿

¿

(731)

Figura 73La Función

( )ψcosS

l Cabe mencionar que la matemática en que se basa la descripción estadística de las anomalías gravimétricas es la teoría de los procesos estocásticos, donde el campo de las anomalías gravimétricas se considera como un proceso estocástico estacionario en una esfera; los desarrollos esféricos armónicos de está sección no son más que el análisis espectral de dicho proceso. El trabajo de Miller (1956) incluye una introducción elemental a los procesos estocásticos

(730) puede expresarse en la forma

Nδ =R

4 Gπ ∫ψ=0

π

∫α=0

2π


La integración puede extenderse ahora formalmente a toda la esfera unitaria porque las zonas con ψψ0 no contribuyen en nada al valor de la integral.

Dado que la función ( )ψcosS es continua por partes, puede desarrollarse en una serie de polinomios de Legendre (armónicos zonales):

S cos ψ =∑n=0

∞ 2n12

Qn Pn cosψ . (733)

Por razones formales, los coeficientes de este desarrollo se denotan por medio de (2n + 1)Qn/2. De acuerdo con la Sección 113, ecuación (170), están dados por

2n12

Qn=2n1

4π ∫α=0

2π

∫ψ=0

π

S cosψ Pn cos ψ sin ψ dψ dα

La integración con respecto a α puede efectuarse de inmediato, dando así

∫α=0

2π

dα=2π ,

de modo que Qn= ∫ψ=0

π

S cosψ Pn cos ψ sin ψ dψ

Si se usa (731), finalmente se halla que

Qn=∫ψ0

π

S cosψ Pn cos ψ sin ψ dψ ( 7 34)

Esta ecuación determina los Qn como funciones del radio limitador ψ0 .La evaluación de esta integral es un asunto de rutina; se mostrará más adelante.

Ahora se inserta (731) en (732). Después de intercambiar el orden de la integración y la sumatoria, se obtiene

Nδ =R

8 Gπ ∑n=0

∞

2n1 Qn ∫α=0

2π

∫ψ=0

π

g Pn cos ψ sin ψ dψ dα

Según (1 71), la integral doble es igual a 4π gn / 2n1 , de modo que

Nδ θ ,λ =R

2G∑n=2

∞

Qn g n θ ,λ (735)

donde es, al igual que antes, el armónico de Laplace de nésimo g .

La ecuación (735) da como resultado el error en N en un punto dado P θ ,λ causado por la omisión de

las anomalías gravimétricas más allá de un circulo de radio ψ0 y cuyo centro es P. Si se desea hallar el efecto de la raíz media cuadrática , hay que calcular el promedio M sobre la esfera unitaria:

δ N 2=M { Nδ 2 }=

R

4G2M {∑n=2

∞

Qn gn2

}=

R2

4G2 M {∑n=2

∞

Qn gn∑n '=2

∞

Qn ' gn '}=

R2

4G2M {∑n=2

∞

∑n '=2

∞

QnQn ' gn gn '}=

R2

4G2 ∑n=2

∞

∑n '=2

∞

Qn Qn ' M { gn gn ' }

Las operaciones realizas aquí son obvias . Primero se insertó (7 3 5 ); luego se introdujo otro índice de sumatoria n', para transformar el cuadrado de una suma en una suma doble; finalmente, se intercambió E1 orden de la integración (símbolo M) y la sumatoria.

De acuerdo con la ecuación (718) de la sección anterior, todos los { }'nn ggM ∆∆ son cero excepto cuando

n' = n. Por tanto, finalmente se obtiene

δ N 2=

R2

4G2∑n=2

∞

Qn2 M { g

n2}=R2

4G2∑n=2

∞

Qn2cn (736)

De manera que la influencia de la raíz media cuadrática de las zonas distantes sobre la altura geoidal N puede calcularse a partir de las varianzas de grado 0, lo que viene siendo lo mismo, a partir de la función de covarianza. Este es un ejemplo del papel fundamental que desempeña la función de covarianza en los problemas estadísticos de la geodesia física.

Las fórmulas para la influencia de las zonas remotas sobre la desviación de la vertical son mucho más difíciles de desarrollar. Por lo tanto, sólo se resumirán los puntos principales; si se desea un desarrollo detallado podrá hallarse en el trabajo de Hirvonen y Mortiz (1963), al cual se hace referencia en el Capítulo 6.

De acuerdo con las ecuaciones (2204) y (735) se tiene que

δξ=−1R∂ Nδ

∂φ=−

12G ∑n=2

∞

Qn

∂ g n

∂φ

δη=−1R cosφ

∂ Nδ

∂λ=−

12G ∑n=2

∞

Qn1cosφ

∂ gn

∂λ

El error medio cuadrático total δ θ de la desviación dé la vertical está dado entonces por

δ θ2≡M {δξ2

δη2 }

=1

4G2 ∑n=2

∞

∑n '=2

∞

Qn Qn ' M {∂ gn

∂φ

∂ gn '

∂φ

1

cos2φ

∂ gn

∂ λ

∂ gn '

∂λ }

Puede mostrarse que para un armónico de superficie arbitrario de LaplaceYn de grado n, las siguientes relaciones son válidas:

M {∂Y n

∂φ 2

1

cos2φ ∂Y n

∂λ 2

}=n n1 M {Y n2 }

M {∂Y n

∂φ

∂Y n'

∂φ

1cos2φ

∂Y n

∂λ

∂Y n'

∂λ }=0 si n '≠n ;

(737)

véase también el trabajo de Jeffreys (1962, pág. 135). Por consiguiente, para Y n=g n , se obtiene

δ θ2=

1

4G2∑n=2

∞

n n1 Qn2 M { g

n2}=1

4G2∑n=2

∞

n n1 Qn2 cn (738)

Esta fórmula da como resultado la influencia media cuadrática de las zonas remotas sobre la desviación total de la vertical θ; corresponde a la ecuación (7 36) para N.

Los Coeficientes Qn. Para obtener los Qn expresamente como funciones del radio ψ0 , hay que evaluar la integral (734). Si se sustituye

sinψ2=Z , sin

ψ0

2=t ( 7 39 )

se obtiene

Qn=∫ψ0

π

S cosψ Pn cos ψ sin ψ dψ=4∫t

1

Pn 1−2z2 S 1−2z2 z dz ,

porque

cos ψ=1−2 sin2 ψ2=1−2z2 ,

sin ψ dψ=4 sinψ2

*cosψ2

dψ2=4z dz

Si se intercambian los límites de integración, finalmente se halla

Qn=4∫1

t

Pn 1−2z2 S 1−2z2 z dz (740)

La ( )221 zS − significa que en la función de Stokes S cosψ hay que sustituir cosψ por 1−2z2 y sinψ2

por z:

S 1−2z2 =1z−3 ln z 1z 6z2 ln z 1z −4−6z10 z2; (741)

en forma similar, Pn 1−2z2 significa que el argumento del armónico, zonal Pn [t en las ecuaciones (158)] tiene

que sustituirse por 1−2z2 , por ejemplo.

P0 1−2z2 =1, P1 1−2z2 =1−2z2 , P2 1−2z2 =321−2z2 2−

12

(742)

Por lo tanto, la integral (740) puede evaluarse aplicando los métodos usuales de integración; se obtiene, por ejemplo,

Q0=−4t5t26t3

−7t46t2

−6t4 ln t 1t ,

Q1=−2t4t2

283

t3−14 t4

−8t5

323

t6

6t2−24 t4

86 ln t 1t −2 ln 1t ,

Q2=2−4t5t214 t3

−532

t4−30 t5

47 t618 t7

−512

t8

6t2−24 t4

36 t6−18 t8 ln t 1t ,

(743)

En el trabajo de Molodenskii et al. (1962, págs. 148150) pueden hallarse las fórmulas para los Qn hasta n = 8 y una tabla de valores.

Si ψ0=0 , entonces la función ( )ψcosS de la ecuaci6n (731) se reduce a la función de Stokes S cos ψ

para todos los valores de ψ :

S cos ψ =∑n=0

∞ 2n12

Qn Pn cosψ =S cos ψ =∑n=2

∞ 2n1n−1

Pn cosψ ,

de modo que

Q0=Q1=0, Qn=2

n−1n≥2 si ψ 0=0 (744)

Resultados Numéricos. Como el tamaño de. los Qn disminuye rápidamente al aumentar n, excepto cuando ψ0 es pequeño, las series (736) y (738) convergen rápidamente, de manera que por lo general unos cuantos

términos son suficientes.

Kaula (1959, pág. 2419) propone los siguientes valores máximos razonables (mgals ) para las varianzas de

grado:

c21=15 , c3=43 , c4=30 , c5=c6=c7=c8=25 , (745)

los cuales concuerdan con los valores de la función de covarianza de la Tabla 7 1 . Luego, el efecto medio de las anomalías gravimétricas más allá de un radio esférico ψ0 está dado por la Tabla 72. Los primeros tres valores de

ψ0 corresponden a distancias lineales de 1000, 1500 y 2000 km. La sumatoria de (736) y (738) se extendió hasta n = 8.

1 Anteriormente se usó el símbolo para denotar la distancia polar.

Tabla 72Influencia Media Cuadrática de la Zona Más Allá del Radio ψ0 sobre la Altura

Geoidal N y la Desviación de la Vertical θ.

ψ0N θ ψ0

N θ9.0° ±25 m ±2. 4} {}

¿

60° ±14 m ±1 .2 } {}¿

13.5° 21 2.0 90° .11 1.118.0° 18 1.8 135° 8 0.830° 14 1.2 180° 0 0.0

Molodenskii et al. (1962, páq. 167) hizo estimaciones numéricas de δ N y δ θ las cuales son

aproximadamente 70% más altas. Se basan en valores de cn= gn

2 que corresponden a un desarrollo esférico

armónico obtenido por Zhongolovich en 1952.

75. Interpolaci6n y Extrapolaci6n de Anomalías Gravimétricas

Tal como se indicó en la Sección 71, el propósito de la predicción (interpolación y extrapolación) es complementar las observaciones gravimétricas que sólo pueden efectuarse en relativamente pocos puntos, estimando los valores de la gravedad o de las anomalías gravimétricas en todos los demás puntos P de la superficie terrestre.

Si P se encuentra rodeado por estaciones gravimétricas, es necesario interpolar; si las estaciones gravimétricas se encuentran lejos de P, hay que extrapolar. Aparentemente no hay mucha diferencia entre estos dos tipos de predicciones y en ambos casos la formulación matemática es la misma.

Para predecir una anomalía gravimétrica en P, se necesita información sobre la función de la anomalía gravimétrica. La información más importante es, por supuesto, los valores que se observan en ciertos puntos. Además, se necesita cierta información sobre la forma de la función de anomalía. Si las mediciones gravimétricas son muy densas, entonces la continuidad o “regularidad” de la función es suficiente para interpolación lineal, por ejemplo. De lo contrario se podría tratar de usar información estadística sobre la estructura general de las anomalías gravimétricas. En este caso hay que considerar dos tipos de correlación estadística: la autocorrelación de las anomalías gravimétricas la correlaci6n entre ellas, y la correlación de las anomalías gravimétricas con la elevación.

Por el momento se hará caso omiso de la correlación con la elevación la Sección 710 estará dedicada a este tema . La autocorrelación se caracteriza por la función de covarianza que se consideró en la Sección 72.

Matemáticamente, el propósito de la predicción es hallar una función de las anomalías gravimétricas observadas g1 , g2 , , gn de manera que la anomalía desconocida g p en P pueda ser aproximada por la función

g p=F g1 , g2 , , gn (746)

En la práctica, sólo se usan funciones lineales de la gi . Si el valor . pronosticado de g p se denota por gp , dicha predicción lineal tendrá la forma

gP= pα 1 g1 pα2 g2⋯ pα n gn≡∑i=1

n

pα i gi (747)

Los coeficientes α pi dependen Únicamente de la posición relativa de P y de las estaciones gravimétricas 1, 2, ..., n; son independientes de gi . Según la forma como se escojan estos coeficientes, se obtienen los diferentes métodos de interpolación o extrapolación. A continuación se dan algunos ejemplos.

Interpolación Geométrica. La “superficie” de anomalías gravimétricas, “tal corno se halla representada en un mapa de anomalías gravimétricas, puede aproximarse por medio de un poliedro, dividiendo el área eh triángulos cuyas esquinas están formadas por las estaciones gravimétricas y pasando un plano por las tres esquinas de cada triángulo (véase la figura 74). Esto es más o menos lo que se hace cuando se construyen las curvas de nivel de un mapa de anomalías gravimétricas por medio de interpolación gráfica.

Analíticamente, esta interpolación puede formularse de la siguiente manera. Supóngase que el punto P se encuentra situado dentro de un triangulo con esquinas 1,2,3 (figura 74). A cada punto se le asigna su valor g como coordenada z, de modo que los puntos 1, 2, y 3 tengan 1as coordenadas “espaciales” (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) y (x3, y3, z3); x y y son coordenadas planares normales. El plano que pasa por 1, 2, 3 tiene la ecuación

z=x2−x y3−y2−y2−y x3−x2

x2−x1 y3−y2 − y2−y1 x3−x2z1

x3−x y1−y3 − y3−y x1−x3

x3−x2 y1−y3 − y3−y21 x1−x3 z2

x1−x y2−y1 − y1−y x2−x1

x1−x3 y2−y1− y1−y3 x2−x1 z3

( 7 48 )

Si sustituimos zl, z2, z3 por g1 , g2 , g3 entonces z será el valor interpolado g p en el punto P, que tiene las coordenadas planares x, y.Por tanto,

gP= pα 1 g1 pα2 g2 pα3 g3 (749)

lAquí g1 denota el valor de g en un punto i y no un armónico esférico. donde los pα i son los coeficientes de zi

de la ecuaci6n anterior.

Representación. Con frecuencia se usa la anomalía medida de una estación gravimétrica 1 para representar toda la vecindad, de manera que

gp≡ g1 (750)

siempre y cuando P esté dentro de cierta vecindad del punto l.En este caso,

pα1=1, pα2= pα3=⋯ pα n=0

Este método es más bien general, pero lo suficientemente sencillo y preciso para servir para muchos propósitos.

Figura 74Interpolación Geométrica

Anomalía Cero. Si no hay ninguna medición gravimétrica en un área extensa por ejemplo, los océanos entonces se usa la estimación

gp≡ 0 (751)

para esa área. En este caso común todos los pα i son cero.

Si todas las estaciones gravimétricas conocidas se encuentran distantes. y no se conoce nada mejor. entonces se aplica este método rudimentario de extrapolación, si bien la precisión es deficiente. Para tal efecto, las anomalías isostáticas resultan más convenientes

Ninguno de estos tres métodos ofrece una precisión óptima. En la próxima sección se estudiará la precisión de la fórmula general de predicción (747) y se hallarán los coeficientes pα i que proporcionen los resultados más precisos.

76. Precisión de los Métodos de PredicciónPred1cción MínimoCuadrática.

Para comparar los diversos métodos posibles de predicción, determinar el alcance de sus aplicaciones y hallar el método más exacto, resulta necesario evaluar sus precisiones.

Considérese el caso general de la ecuación (747). La anomalía gravimétrica correcta en P es , el valor pronosticado es:

gp=∑i=1

n

pα i gi

La diferencia es el error εP de la predicción,

pε= g p− gp= g p−∑i=1

pα i gi (752)

Si se eleva al cuadrado se halla que

pε 2= g p−∑

i

pα i gi g p−∑k

pα ki gk= g

2p−2∑

ipα i gP gi∑

i∑

kpα i pα k gi gk

(753)

Después se calcula el promedio M de esta fórmula sobre el área considerada (sea ésta una región limitada o toda la tierra). Luego, según (75), se tiene que

M { gi gk }=C ik ≡C ik ,

M { g p gi }=C Pi ≡C Pi ,

M { gp2 } =C 0 ≡C0

(754)

Estos son valores específicos de la función de covarianza C(s), para s = ik, s = Pi, y s=0; por ejemp1o ik es la distancia entre las estaciones gravimétricas i y k. Las notaciones compendiadas Cik y CPi se explican por sí mismas.

Además, se fija

M {ε2

p } =m2

P (755)

De esta manera, mp es el error medio cuadrático de una anomalía gravimétrica pronosticada en P o, en otras palabras, el error típico de predicción M (interpolación o extrapolación).

Al tomar en cuenta todas esta relaciones, se halla que el promedio M de (7 53) es

mP2=C0−2∑

i=1

n

pα i CPi∑i=1

n

∑k=1

n

pα i pα k C ik (756)

Esta es la fórmula fundamental para el error típico de la fórmula general de predicción (747). En los casos especiales descritos en la sección anterior, hay que insertar los valores específicos de pα i

Como ejemplo, considérese el caso de la representación, ecuación (750); todos los α , son cero excepto por uno. Aquí, (756) da como resultado

mP2=C0−2CPi C0=2C0−2CPi

Muchas veces no solamente se necesita el error típico mP de predicción sino también la correlación de los errores de predicción εp y ε0 en dos puntos diferentes P y Q, expresada por medio de la “covarianza de los errores” σPQ, la cual se define por

σPk =M {ε pε k } (757)

(Si los errores εP y εQ no están corre1acinados, entonces la covarianza de los errores PQσ = 0) Según (752) se tiene

que

σPQ=M { gP−∑i=1

n

Pα i gi gQ−∑k=1

n

Qα k g k}=M { gP gQ−∑

i=1

n

Pα i gQ gi−∑k=1

n

Qα k gP gk∑i=1

n

∑k=1

n

Pα i Qα k gi gk}

y finalmente

σPQ=CPQ−∑i=1

n

Pα i CQi−∑

i=1

n

Qα i CPi∑i=1

n

∑k=1

n

Pα i Qα k C ik (758)

Las notaciones se explican por sf mismas; por ejemplo, CPQ = C(PQ).

La Función de Covarianza de los Errores. Los valores de la covarianza de los errores PQσ para diferentes

posiciones de los puntos P y Q. forman una función continua de las coordenadas de P y Q. Esta función se conoce

como la función de covarianza de los errores, o en breve, la función error, y se denota mediante σ (xp, yp, xQ, yQ). Si P y Q son diferentes, entonces sencillamente se tiene

σ xP , yP , xQ , yQ=σPQ (759 a)

si P y Q coinciden, entonces (758) se reduce a (756), de modo que

σ xP , yP , xQ , yQ=mP2 (759 b)

es el cuadrado del error típico de predicción en P.

Por consiguiente, las covarianzas de los errores PQσ pueden considerarse como valores especiales de la función de

covarianza de los errores, de la misma manera como las covarianzas CPQ de las anomalías gravimétricas pueden considerarse como valores especiales de la función de covarianza C(s) A modo de repetición, la función de error es la función de covarianza de los errores de predicción, definida como

M {ε pεQ } ,

mientras que C(s) es la función de covarianza de las anomalías gravimétricas, definida como

M { gP gQ } ,

El término "función de covarianza", en el sentido más estricto de la palabra, se reserva para C(s).

Aplicando (756) y (758), la función de error puede expresarse en términos de la función de covarianza; puede escribirse en forma más explicita

σ xP , yP , xQ , yQ=C PQ −∑i=1

n

α PiC Qi −∑i=1

n

αQi C Pi ∑i=1

n

∑k=1

n

αPi αQk C ik (760)

Como puede verse, la función de covarianza tiene un papel esencial en los estudios de precisión. La función de error, por otra parte, es fundamental para los problemas de propagación de errores, como podrá notarse en las siguientes secciones.

Predicción MínimoCuadrática. Los valores de σPi para el método más preciso de predicción se obtienen

minimizando el error típico de predicción expresado por (756) como una función de los α. Las. condiciones familiares necesarias para un mínimo son

∂m p2

∂α pi

=−2CPi2∑k=1

n

αPk C ik=0 i=1,2 , , n

ó (761)

∑k=1

n

C ik αPk=CPi ,

Este es un sistema de n ecuaciones lineales expresadas con n incógnitas σPk ; la solución es

αPk=∑i=1

n

C ik−1CPi , (762)

donde 1−ikC denotan los elementos de la inversa de la matriz (Cik).

Si se inserta (762) en (7 47) se obtiene.

gP∑k=1

n

αPk gk=∑i=1

n

∑k=1

n

C ik−1C Pi gk

En notación matricial esto se escribe así:

gP=CP1 ,C P2 ,CPn C11 C12⋯ C1n

C 21 C22 ⋯C2n

⋮ ⋮ ⋮

C n1 Cn2⋯Cnn

¿

righ¿

¿

¿

−1

¿

g1

g2

⋮

gn

¿

righ¿

¿

¿ ¿ ¿ ¿

¿ ¿

(763)

Puede verse que para una predicción óptima es necesario conocer el comportamiento estadístico de las anomalías gravimétricas mediante la función de covarianza C(s).

Hay una estrecha relación entre este método óptimo de predicción y el método de ajuste mínimocuadrático. Si bien se refieren a problemas distintos, ambos han sido diseñados de manera que proporcionen los resultados más precisos las ecuaciones lineales (761) corresponden a las"ecuaciones normales” de los cálculos de ajuste. Por lo tanto, las predicciones que se basan en la fórmula (7.63) se conocen como “predicciones mínimocuadráticas". Los detalles podrán hallarse en el trabajo de Kaula (1963) y en el de Moritz (1965 ).

Resulta fácil determinar la precisión de la predicción mínimo cuadrática. Los α de la ecuación (762) se insertan en (756) después de efectuar los debidos cambios en los índices de la sumatoria. Esto da como resultado

mP

2=C o−2∑

k=1

n

αPk CPk∑i=1

n

∑k=1

n

αPk αPiC ki

Se ti ene que =C o−2∑i∑

kC ik

−1 CPi CPk∑i∑

j∑

k∑

lC ik

−1 CPi C jl−1 CPj Ckl

1 sij=k0 sij≠k

∑l

C jl−1 C kl=δ jk=¿ {¿ }¿{}

La matriz σkl es la matriz unidad. Esta fórmula establece que el producto de una matriz y de su inversa es la matriz unidad. Por tanto, también se tiene que

∑k∑

lC ik

−1 C jl−1 C kl=∑

kC ik

−1 δ jk=C ij−1

Dado que una matriz no cambia al multiplicarse por la matriz unidad.Por consiguiente se obtiene.

mP2=C o−2∑

i∑

kC ik

−1 CPi CPk∑∑j

Cij

−1C Pi C Pj

=Co−2∑i∑

kC ik

−1 C Pi C Pk∑i∑

j

Cik

−1 CPi CPk

=Co−∑i∑

kC ik

−1 CPi C Pk

De manera que el error típico de la predicción mínimocuadrática está dado por

mP2=C o−∑

i=1

n

∑k=1

n

C ik−1 C PiC Pk

=C 0−CP1 , CP2 ,C Pn C11 C12 ⋯ C1n

C21 C22 ⋯C2n

⋮ ⋮ ⋮

C n1 Cn2 ⋯Cnn

¿

righ¿

¿

¿

−1

¿

CP1

C P2

⋮

C Pn

¿

righ¿

¿

¿ ¿ ¿ ¿

¿ ¿

(764)

De igual manera se puede hallar la covarianza de los errores en los puntos P y Q:

αPQ=CPQ−∑i=1

n

∑k=1

n

C ik−1 C PiCQk

=C PQ−CP1 , CP2 ,C Pn C11 C12 ⋯ C1n

C21 C 22 ⋯C 2n

⋮ ⋮ ⋮

Cn1 C n2⋯C nn

¿

righ¿

¿

¿

−1

¿

CQ1

C Q2

⋮

CQn

¿

righ¿

¿

¿ ¿ ¿ ¿

¿¿

(765)

Con estas dos fórmulas se determina la función de la covarianza de los errores para la predicción mínimocuadrática. Ambas fórmulas tienen una forma parecida a la de (763) y son adecuadas para cálculos automáticos, de modo que es posible calcular y su precisión al mismo tiempo.

Consideraciones Prácticas. La interpolación geométrica (Sección 75) se presta para interpolar las anomalías de punto en una red gravimetrica densa, donde, las distancias entre estaciones son de 10 km. o menos. Si se necesitan anomalías medias para bloques de 5’ x 5’, o más grandes, en lugar de anomalías de punto, entonces una representación como la que se consideró en la sección anterior podría resultar mucho más sencil1a y tener casi la misma precisión.

La predicción mínimocuadrática es, por supuesto, más precisa que la interpolación o representación geométricas, pero incremento en la precisión no es impresionante. La ventaja principal .de la predicción mínimocuadrática es que permite un procesamiento sistemático y puramente numérico de los datos gravimétricos; ya no es necesario elaborar mapas de las anoma1ías gravimétricas. La misma fórmula se aplica tanto a la interpolación como a la extrapolación, de manera que la falta de datos gravimétricos no afecta el método de cálculo, el cual es completamente esquemático. Como se requieren matrices grandes, es esencial contar con una computadora electrónica de alta velocidad. Para mayores detalles prácticos y sobre los cálculos, véase la publicación de Rapp (1964).

Cuando las distancias entre estaciones son mayores, de 50 km o más la predicción de los valores de puntos individuales no tiene sentido. En tal caso, es necesario trabajar, por ejemplo, con las anomalías medias de bloques de 1° x 1°. Este será el tema de la Sección 79.

7.7. Propagación de Errores. Precisión de los Armónicos Esféricos.

Las anomalías gravimétricas son aquellos datos de observación a partir de los cuales se ca1culan otras cantidades de interés geodésico, tales como las ondulaciones geoidales, las desviaciones de la vertical o e1 campo gravitacional externo. Todos estos cálculos se realizan mediante fórmulas integrales. El problema es estimar la precisión de estas cantidades derivadas a partir de la precisión conocida de las anomalías gravimétricas.

La teoría del error convencional no incluye este caso directamente.Debe modificarse ligeramente; esto se logra mediante una ampliación natural y lógica de la teoría común de la propagación de errores. Los lectores interesados en el método general pueden referirse a las publicaciones de Mor1tz (1961. 1964a); aquí sólo se expondrán dos casos prácticos quese tratarán en esta sección y en la que sigue.

.El primer problema es el siguiente. El campo de las anomalías gravimétricas se desarrolla en una serie de armónicos esféricos completamente normalizados (713):

g θ ,λ =∑n=2

∞

∑m=0

∞

[anmRnm θ ,λ bnm

Snmθ ,λ ]

donde

anm

bnm

g θ ,λ

Rnm θ ,λ

Snmθ ,λ

{¿ }¿ {}=14π ∫λ=0

2π

∫θ=0

π

¿ {¿}¿{}sin θ dθ dλ ¿

(766)

Se conoce la función de covarianza de los errores σ de las anomalías gravimétricas; hay que determinar la precisión

de los coeficientes anm y nmb , es decir. las varianzas y covarianzas de sus errores (errores típicos).

El error individual pε de la anomalía gravimétrica en un punto P cuyas coordenadas son θ y , se denota porλ medio de

ε θ ,λ

La totalidad de estos errores en todos los puntos de la esfera obviamente forma una función de θ y . La función deλ covarianza de los errores según (159a) y (757), esta dada entonces por

σ θ ,λ ,θ ',λ ' =M {ε θ ,λ ε θ ',λ ' } (767)

Como el producto promedio de los errores individuales en dos puntos donde las coordenadas son θ, y λ θ’, ’. Laλ covarianza de los errores σ se consideran aquí como una función de las coordenadas esféricas θ, y no como unaλ función de las coordenadas planares x, y. .

El efecto de estos errores ε (θ , ) en el coeficiente λ anm , según (766), está representado por

η=1

4π ∫λ=0

2π

∫θ=0

π

ε θ ,λ Rnm θ ,λ sinθ dθ dλ (768)

Donde n es entonces el error individual de anm La varianza de los errores anm , el cuadrado de su error típico, está obviamente dada por

m2≡M {η2 } (769)

Como el promedio de los 2η individuales. Por tanto, hay que hallar primero 2η . Se tiene que

η2=

1

16π2 [ ∫λ=0

2π

∫θ=0

π

ε θ ,λ Rnm θ ,λ sinθ dθ dλ]2

=1

16π2 ∫λ=0

2π

∫θ=0

π

ε θ ,λ Rnm θ ,λ sinθ dθ dλ∗ ∫λ '=0

2π

∫θ '=0

π

ε θ ',λ ' Rnm θ ',λ ' sinθ ' dθ ' dλ '

=1

16π2 ∫λ=0

2π

∫θ=0

π

∫λ '=0

2π

∫θ '=0

π

ε θ ,λ ε θ ',λ ' Rnm θ ,λ Rnm θ ',λ ' sinθ sin θ ' dθ dλ dθ ' dλ '

En este caso se han usado dos teoremas muy conocidos del cálculo integral:

1. Los símbolos que denotan las variables de integración en una integral definida no tienen importancia; pueden sustituirse por cualquier otro símbolo. En este caso, θ, se han sustituido por λ θ’, ’en la segundaλ integral.

2. Los productos de las integrales definidas pueden escribirse como una integral múltiple.

Ahora se calcula el promedio de la última ecuación para obtener el error típico m según (769). Se tiene que

m2=

116π2 ∫

λ=0

2π

∫θ=0

π

∫λ '=0

2π

∫θ '=0

π

σ θ ,λ ,θ ',λ ' Rnm θ ,λ Rnm θ ',λ ' sin θ sinθ ' dθ dλ dθ ' dλ '

El símbolo M se colocó dentro de la integral porque M, por su definición como el promedio sobre la esfera unitaria, es en realidad una integral doble, y el orden de las integrales con límites finitos fijos puede intercambiarse.

La definición (767) finalmente proporciona

m2=

116π2 ∫

λ=0

2π

∫θ=0

π

∫λ '=0

2π

∫θ '=0

π

σ θ ,λ ,θ ',λ ' Rnm θ ,λ Rnm θ ',λ ' sin θ sinθ ' dθ dλ dθ ' dλ '

(770)

Esta es la fórmula deseada para el error típico del coeficiente esférico armónico anm Si se desea el error típico del

coeficiente bnm , sencillamente hay que sustituir Rnm por la función correspondiente Snm .

Esta fórmula resuelve así un problema específico de propagación de errores en los cálculos gravimétricos. Al igual que (766), es una fórmula integral. La función de covarianza de los errores σ interviene en una forma básica; de esta manera se ve la importancia fundamental de σ para la propagación de errores. Si se conoce la función de error, entonces será posible hacer la evaluación de la integral (770) sin dificultades teóricas usando, por ejemplo, una integración numérica.

Se obtendrá un resultado particularmente sencillo si a la función de error se le aplican dos hipótesis:

1. Sólo los errores de puntos vecinos estarán correlacionados significativamente; más allá de cierta distancia no hay correlación alguna.

2. La precisión es la misma para todos los puntos de la superficie terrestre.

Analicemos lo que significan estas hipótesis en la práctica. Las principales faltas de precisión de las anomalías gravimétricas son causadas por la interpolación. Si se pasan por alto los otros errores, entonces se podría calcular la función de covarianza de los errores mediante las fórmulas de la sección anterior. La primera hipótesis es natural dado que en una red gravimétrica razonablemente densa, los errores de interpolación en aquellos puntos que se encuentran bastante separados prácticamente no están correlacionados. La segunda hipótesis es valida para el caso ideal de un cubrimiento uniforme de mediciones gravimétricas en toda la tierra. Sencillamente establece que la precisión es la misma en todos los puntos; sin embargo, la precisión puede ser diferente en las diferentes direcciones, como es el caso de las mediciones para perfiles.

El punto crucial que. permite simplificar drásticamente la integral cuádruple (770) es que, según la hipótesis 1, el integrando puede ser significativamente diferente de cero solamente si θ’= θ y ’= , porque la función de errorλ λ para dos puntos distantes es cero. Por consiguiente, es posible hacer una aproximaci6n (770) por

m2=

116π2 ∫

λ=0

2π

∫θ=0

π

∫λ '=0

2π

∫θ '=0

π

σ θ ,λ ,θ ',λ ' [Rnm θ ,λ ]2

sin θ sinθ ' dθ dλ dθ ' dλ '

y realizar primero la integración sobre θ’ y ’. Si se fijaλ

∫λ '=0

2π

∫θ '=0

π

σ θ ,λ ,θ ',λ ' sinθ ' dθ ' dλ '=SR2

(771)

(R = 6371 km.); de acuerdo con la hipótesis 2, esto será una constante independiente de la posición. La cantidad S se llamará la constante de error en la Sección 79 se mostrará una forma práctica de calcularla y se darán valores numéricos.

Luego, la fórmula para 2m se convierte en

m2=

S

16π2 R2 ∫λ=0

2π

∫θ=0

π

[ Rnm θ ,λ ]2sinθ dθ dλ (772)

Según la ecuación (174), la integral es 4 , de manera que finalmente se obtiene el resultado sencillo π

m2=

S

4 Rπ 2 (773)

donde m es el error típico de cualquier coeficiente anm . Para bnm hay que reemplazar la función Rnm por Snm , que obviamente da el mismo resultado.

Por consiguiente, los errores típicos de todos los coeficientes completamente normalizados anm y bnm son iguales y están dados por (773).

Luego se calcula la covarianza de los errores de dos coeficientes esféricos armónicos diferentes anm y

a pq . El error individual η de anm está dado por (768); el error individual η* de a pq es

η∗¿1

4π ∫λ '=0

2π

∫θ '=0

π

ε θ ',λ ' Rpq θ ',λ ' sinθ ' dθ ' dλ '

La covarianza de los errores de anm y a pq se define como

ηη∗¿¿

.σ anm ,a pq =M ¿

¿

Si se repite el procedimiento que da (770) como resultado se hallará que

σ anm ,a pq =1

16π2 ∫λ=0

2π

∫θ=0

π

∫λ '=0

2π

∫θ '=0

π

σ θ ,λ ,θ ',λ ' Rnm θ ,λ Rpq θ ',λ ' sin θ sinθ ' dθ dλ dθ ' dλ '

En lugar de (772) ahora se tiene que

σ anm ,a pq =S

16π2 R2 ∫λ=0

2π

∫θ=0

π

Rnm θ ,λ R pq θ ,λ sin θ dθ dλ

Dada la ortogonalidad de dos armónicos esféricos diferentes, esto es cero. .Se hubiera obtenido el mismo resultado sustituyendo R pq por S pq para obtener la covarianza de los errores entre

los coeficientes anm y b pq . Por consiguiente, ninguno de los coeficientes anm y bnm están correlacionados.

En realidad, estos resultados sencillos solamente tienen validez cuando es factible la sustitución aproximada que permite pasar de (770) a (772).Como puede verse, en el caso de los armónicos esféricos de grado n muy alto no se cumple, pero es válido para los armónicos de grado más bajo, que son los de mayor interés geodésico.

Con estos resultados, es posible calcular fácilmente la precisión de los coeficientes Jnm y K nm del potencial gravitacional V (Moritz, 1964a).

7.8. Precisión de las Ondulaciones Geoidales Calculadas a Partir de las Anomalías Gravimétricas.

Este problema dio origen a la aplicación de las técnicas estadísticas a la geodesia gravimétrica. Dos trabajos básicos (de GraaffHunter, 1915; Hirvonen, 1956) tratan este tema a fondo. El segunda de ellos dio lugar a un intenso desarrollo moderno. .Hay que volver a considerar una red gravimétrica idealizada que sea tanto uniforme como homogénea sobre toda la

tierra para estudiar la precisión de la ondulaci6n geoidal N que puede obtenerse con dicha red gravimétrica. Este es

un aspecto importante porque el resultado indica cómo debe planificarse un levantamiento gravimétrico para lograr

una determinada precisión para N. Por lo tanto se trata en detalle en varios trabajos: de GraaffHunter (1935), Kaula

(1957)~ Groten y Moritz (1964).

Por ello se estudiará la propagación de errores en la fórmula de Stokes.

N=R

4 Gπ ∫α=0

2π

∫ψ=0

π

g ψ ,α S ψ sinψ dψ dα

Esto se hace en una forma muy similar a la sección. anterior. El error individual de N está dado por

η=R

4 Gπ ∫α=0

2π

∫ψ=0

π

ε ψ ,α S ψ sin ψ dψ dα ;

y su cuadrado se convierte en

η2= R

4 Gπ 2

∫α=0

2π

∫ψ=0

π

ε ψ ,α S ψ sinψ dψ dα

ó

∫α '=0

2π

∫ψ '=0

π

ε ψ ',α ' S ψ ' sin ψ ' dψ ' dα '

η2= R

4 Gπ 2

∫α=0

2π

∫ψ=0

π

∫α '=0

2π

∫ψ '=0

π

ε ψ ,α ε ψ ',α ' S ψ S ψ ' sin ψ sinψ ' dψ dα dψ ' dα '

Si se calcula el promedio M de ambos lados de esta ecuación se halla que

m2= R

4 Gπ 2

∫α=0

2π

∫ψ=0

π

∫α '=0

2π

∫ψ '=0

π

σ ψ ,α ,ψ ',α ' S ψ S ψ ' sin ψ sinψ ' dψ dα dψ ' dα '

(774)

Aquí m es el error típico de N y σ θ ,λ ,θ ',λ ' es la función de error de las anomalías gravimétricas. Esta es la fórmula general para la propagación de errores de la fórmula de Stokes. Es válida para una forma arbitraria de la función de error

Esta ecuación puede simplificarse drásticamente una vez más aplicando las dos hipótesis ninguna correlación de errores más allá de cierta distancia pequeña y precisión uniforme que se mencionaron en,.la sección anterior. Se aplicae1 mismo truco que con la ecuación (770). Se fijaS ψ ' =S ψ y luego se efectúa la integración sobre 'ψ

Usando la constante de error S según (771) se obtiene

m2=

S16π2G2 ∫

α=0

2π

∫ψ=0

π

[ S ψ ]2 sinψ dψ dα

La integración con respecto a α puede efectuarse ahora enseguida; finalmente se obtiene

m2=

S

8 Gπ 2 ∫ψ=0

π

[ S ψ ]2 sinψ dψ

Esta fórmula es muy sencilla pero lamentablemente no es válida en esta forma; de hecho el valor que proporciona es ∞ . La razón es que si se reemplaza S ψ ' por ( )ψS en una forma aproximada hay que suponer que para

ψ '=ψ también se tiene que S ψ ' =S ψ . Esto no es cierto en la vecindad del origen ψ=0 porque

( )ψS aumenta rápidamente y es, en efecto, discontinuo en el origen: S ψ ∞ si ψ 0Por consiguiente hay que excluir el origen empezando la integración en ψ=0( ψ0 pequeño) en lugar de ψ=0 :

m2=

S

8 Gπ 2 ∫ψ=ψ0

π

[S ψ ]2 sin ψ dψ (775)

Luego hay que considerar la pequeña vecindad de ψψ0 de otra forma, para lo cual el lector podrá referirse a Groten y Moritz {1964).

La integral (775) puede evaluarse de diversas maneras. Una de las posibilidades es tomar las funciones ( )ψS y S ψ sin ψ de las tablas de Lambert y Darling (1936), a las que se hace referencia en el capítulo 2, y

calcular la integral por integración numérica. En el trabajo de Groten y Moritz antes citado se ha tabulado la integral

∫ψ0

π

[S ψ ]2 sin ψ dψ

calculada de esta forma para ciertos valores de ψ0 . También hay una fórmula cerrada para la integral dada en Molodenskii et al., (1962, pág. 157), pero es un tanto complicada.

Los valores numéricos de la Tabla 73 se calcularon a base de los resultados, particularmente para la constante de error S, de la siguiente sección. También incluyen la zona central, ψψ0 que se excluye de (775), y que corresponde a aquellos casos en que hay un punto situado arbitrariamente, o una medici6n gravimétrica central del perfil esteoeste en cada bloque de l° x 1°, 2° x 2°, 5° x 5° ó 10° x 10°, sobre toda la superficie de la tierra.

Bloque l° x 1° 2° x 2° 5° x 5° . 10° x 10°

Punto ±1 .5 ±5 ±13 ±25Perfil ±1 .2 ±3 ±7 ±9

Cabe hacer aquí un último comentario acerca de la constante de error S, la cual no debe confundirse con la función de Stokes ( )ψS , en problemas generales de propagaci6n de errores. Supóngase que la función de covarianza de los errores σ θ ,λ ,θ ',λ ' satisface las hipótesis 1 y 2 de la sección anterior y que se puede aplicar el truco de

reemp1azar θ ',λ ' por θ ,λ en parte del integrando. Esto es posible si la parte específica del integrando cambia lenta y continuamente con θ yλ , que son los casos que se han tratado en las últimas dos secciones. Luego la función de covarianza de los errores solamente entra en la fórmula de propagación de errores por la constante de error S, la cual puede calcularse una sola vez para todos y es independiente del problema específico de la propagación de errores. Por tanto, la función central de S es obvia.

7.9. .Precisión de las Anomalías Medias

La anomalía gravimétrica media de un bloque rectangular AB C D, cuyos lados son a y b, está expresada por

g=1

ab ∫x=0

a

∫y=0

b

g x , y dx dy (776)

(Fig.75). Esta fórmula inflexible da por sentado que la anoma1fa gravimétrica g está dada en todos los puntos (x,y) dentro del rect~ngulo ABCD.

En la practica solo se ha medido g en unos cuantos puntos dentro del rectángulo; el problema es estimar

la anomalía media g a partir de estas mediciones. Una manera es interpolar o predecir g en todos los demás

puntos del bloque según los métodos de 1a Sección 75 y ca1cular g a partir de estas anomalías de punto

estimadas g mediante la fórmula (776).

Figura 75La Anomalía Media de un Rectángulo.

También puede usarse una forma más directa. Análogamente a (747), es posible aproximar g mediante una combinación lineal de los valores medidos

g1 , g2 , gn :

g=α1 g1α2 g2⋯αn gn=∑i=1

n

α i gi (777)

como es evidente, e1 error del valor pronosticado g~∆ es a diferencia

ε= g− g= g−∑i=1

n

α i gi (778)

Si se eleva al cuadrado, se obtiene

ε2= g2

−2∑i=1

n

α i gi g∑i=1

n

∑k=1

n

α iαk gi gk

Para hallar el error típico m de la anomalía media estimada, se forma el promedio M, obteniendo así

m2=C−2∑

i=1

n

αiC i∑

i=1

n

∑k=1

n

αiαk C ik (779)

La cantidad C ik se define mediante (754); la cantidad

C≡M { g2} (780)

es el cuadrado medio de la anomalía media del bloque g o su varianza; y

C i≡M { gi g } (781)

es la covarianza entre el punto gi y la anomalía media g

Estas cantidades pueden expresarse en términos de la función de covarianza C(s). Al insertar (776) en (780) y aplicar la definición. (75) de la func16n de covarianza, se obtiene fácilmente

C≡1

a2 b2∫x=0

a∫y=0

b∫x '=0

a∫y '=0

bC x−x '

2 y−y '

2 dx dy dx ' dy '

(782)

En forma similar

C i=1

ab∫x=0

a∫y=0

bC x−x '

2 y−y '

2 dx dy (783)

donde x i , yi son 1as coordenadas del punto donde se mi de gi .

Si sólo hay una anomalía gravimétrica medida g1 en el b1oque, la fórmula de predicci5n (777) se convierte en:

g= gαΔ 1 (784)

y la ecuac16n (779) se simplifica a

m2=C−2α C iα

2C o (785)

donde se ha fijado α1=α y C0=C 0 .

El αi en (777) Y el α en (784) pueden escogerse de diferentes maneras.

El caso más senci1lo es el de representación directa, α1=1 . Se hace una aproximación, o representación, directa de la anomalía media E9 por mediode la anomalía medida g1 . La ecuación (7 84) se convierte entonces en

g= g1 (786)

y (785) se reduce a

m2=C−2 C iCo (787)

La ecuaci6n (787) depende de la posición x i , yi de la estación gravimétrica por medio de 1a C1 ecuación (7

83) . También resu1ta útil considerar la varianza del error promedio m2 para una situación arbitraria dela observaci6n gravimétrica dentro del cuadrado:

m2=

1ab∫x1=0

a∫y1=0

bm2

x1 , y1 dx1 dy1 (788)

Si se calcula el promedio (787) hay que tener presente que como C y C0 son constantes no sufren cambios,

mientras que el promedio de C1 pasa a ser

1ab∫x1=0

a∫y1=0

bC1 dx1 dy1=

C

Esto se ve enseguida al comparar (782) y (783).Por tanto, sencillamente se obtiene

m2=C0−

C (789)

Hirvonen (1956), el autor de esta fórmula, la escribió en una forma especialmente elegante e instructiva:

E i2=G0

2−G1

2 (7 – 89’)

En ella usó E s para el error (típico) de representación. El símbolo Gs es la anomalía gravimétrica media de la raíz media cuadrática de un bloque cuyo lado es s (usó bloques cuadrados donde a = b = s); lo cual resulta dela

definición (780), C=Gs2 Por consiguiente, G s es la anomalía media cuadrática de punto que puede considerarse

como una anomalía media de un bloque cuyo lado s = 0; según nuestra notación Go2=C0 .

Las fórmulas anteriores pueden aplicarse a otros métodos de predicción asumiendo diferentes valores de αi . Los valores de αi que minimizan m2 ecuación (779), pueden hallarse fácilmente (predicción mínimo

cuadrática).Todo esto se efectúa a lo largo de líneas similares a las de las Secciones 75 y 76.

Las generalizaciones y ampliaciones son obvias. Además de las varianzas de los errores m2 , también pueden considerarse las varianzas de los errores de diferentes bloques. Estas pueden usarse para calcular la constante de error S mencionada en las secciones anteriores. Otra ampliación comprende observaciones de perfiles, en donde la gravedad se mide a 10 largo de perfiles en lugar de estaciones de punto. No obstante, como no es el propósito de este libro incluir dichos temas, el lector puede referirse a la publicación de Moritz (1964b).

Resultados Numéricos. Sólo se darán algunos valores numéricos del libro de Moritz (1964b) con su explicación correspondiente pero sin f6rmu1as detalladas. Básicamente, las varianzas de los errores m2 de (785),

y las covarianzas correspondientes, se calcularon con diferentes α . Este es el caso donde hay una sola estación gravimétrica en cada bloque. Hay una serie similar de fórmulas para las varianzas y covarianzas de los errores para un perfil gravimétrico medido en cada bloque; también estas fórmu1as se evaluaron. Las integraciones se realizaron sobre la base de las covarianzas estimadas C ψ de la Tabla 71, usando una computadora electr6nica. El autor usó bloques de 1° x 1°, 2° x 2°, 5° x 5° y 10° x10° en una latitud de 45o, de manera que un bloque de 10° x 10° es un rectángulo de 1112 km x 788 km.

La Tabla 74 muestra las varianzas y covarianzas de los errores para observaciones gravimétricas de puntos. El primer valor de la línea superior de cada sección (para anomalía cero, representaci6n, etc.) es la varianza de los errores; el segundo valor de la línea superior de cada sección es la covarianza de los errores entre un bloque y su

vecino al este (u oeste); el tercer valor de cada línea superior es la covarianza de los errores entre dos bloques que tienen la misma latitud y que están separados por otro bloque, etc. De manera que la posición relativa de cualesquier dos bloques que se estén considerando estará representada directamente por el lugar que ocupa su covarianza en la tabla.

Tabla 74Var1anzas y Covar1anzas de los Errores (mgal s2). Observaciones de Puntos

El significado de la anomalía cero ( α = O) Y de la representación ( α =1) está claro. El "error típico mínimo"

corresponde al valor de α que minimiza a m2 (785) :

α=C1

C0

(790)

la "constante mínima de error" se refiere al α que minimiza la constante de error S.

Para estos primeros cuatro ítems se dio por sentado que la estación gravimétrica estaba en el centro de cada bloque. El último ítem, “representación promedio" se refiere a una posición aleatoria de la estación gravimétrica dentro del bloque. Las varianzas correspondientes de los errores se expresan por medio de (789), mientras que la varianza de los errores para la “representación” está dada por (787).

La Tabla 75 muestra los resultados análogos con respecto a 1a precisión de las mediciones gravimétricas para perfiles. “Representación”, “error típico mínimo” y “constante mínima de error” se refieren a perfiles de este a

oeste espaciados uniformemente a través del centro de cada bloque, mientras que "representación promedio" corresponde a una posición aleatoria del perfil esteoeste dentro del bloque.

Tabla 75Varianzas y Covarianzas de los Errores (mgals2).Observac1ones de Perfiles

Las varianzas son obviamente más pequeñas en el caso de una estación. gravimétrica o un perfil situado centralmente. Son más. grandes para otros casos de observaciones. Esto puede apreciarse al comparar "representación", que se ref1ere.al caso central, con “representación promedio”, donde se determina el promedio de las observaciones distribuidas en todo el bloque. N6tese que para bloques más grandes, la ubicación de las observaciones tiene menos influencia.

Tabla 76Constantes de Error S/R2(mgal s2)

Finalmente, la tabla 76 muestra las constantes de. error correspondientes, o más bien las cantidades S/R2, donde R = 6371 km.

[Estas tablas muestran que los diversos métodos de estimación difieren significativamente en cuanto a la

precisión y a la correlación de errores. El “error típico mínimo” tiene una corre1ación de errores bastante grande, de manera que no es lo mejor en lo que se refiere a la propagación de errores. Esto lo demuestran claramente las constantes. de error de la Tabla 76; en la sección anterior pudo observarse que la constante de error S, y no el error típico m, es el factor importante en la propagación de errores. De manera que en general debería minimizarse la constante de error en lugar del error típico, pero los resultados de la representación d1recta ( α =1) son casi igualmente buenos. El "error típico mínimo" es

notablemente inferior con respecto a la propagación de errores. Produce un α demasiada pequeño; si α < 1 se interpreta como un promedio ponderado de 1a anomalía observada y 1a anomalía cero, entonces se 1e está asignando demasiado peso a 1a anomalía cero, 1a cua1 tiene una corre1ación a1ta .

710. Correlación con la Elevación

Hasta el momento sólo se ha tomado en cuenta la correlación mutua de las anomalías gravimétricas, su autocorrelación, pasando por alto la correlación con la elevación que en muchos casos es importante. Por consiguiente, nuestras fórmulas sólo son válidas para las anomalías gravimétricas que no están correlacionadas con la elevación, como las isostáticas o hasta cierto punto las anomalías de Bouguer; o para las anomalías de aire libre en áreas de relativamente planas. las anomalías aire libre en montañas deberán tratarse en una forma diferente .

la figura 76, según Uotila (1960), muestra la correlación de las anomalías de aire libre con la elevación. Allí, se trazaron las anomalías gravimétricas g en comparación con la elevación h. Si hubiera una dependencia funcional exacta entre g y h, entonces todos los puntos estarían en una recta (o, como es el caso general, en una curva). En realidad solamente hay una relación funcional aproximada, una tendencia general de las anomalías de aire a aumentar proporcionalmente con la elevación; puede haber excepciones, algunas veces hasta grandes. Esto muestra claramente el significado de la correlación.

la correlación mutua de las anomalías gravimétricas está representada por la función de autocovarianza (75),

C s =M {g g ' }donde S=PP ' Asimismo pueden formarse las funciones

B s =M {g h' }=M { g ' h } ( 7 91 )que expresan la correlación entre la gravedad y la elevación, y

A s =M { h h ' } , ( 7 92 )que es la función de autovarianza de las diferencias de elevación

h=h−M {h } ; ( 7 93 )el símbolo M{h} denota la elevación media de toda el área considerada.

Si g y h no están correlacionadas, entonces la funci5n B(s) es idénticamente cero. De no ser este el caso, entonces también hay que tomar en cuenta la elevación en la interpolación.,Es fáci1 ampliar la fórmula de predicción (747) con este fin. Si las predicciones se limitan a aquellas que son lineales tanto en h como g , es posible escribir

g p=∑ α Pi gi∑ β Pi hi−βΔ hp (794)

donde los coeficientes αPi , βPi , y β no dependen de g ni de h .

Figura 76

Correlación de las Anomalías de Aire Libre con la Elevación.

Según la terminología estadística, esto equivale a eliminar la tendencia (con respecto a la elevación) por una regresión lineal. En forma similar, (747) es una fórmula autorregresiva.

El error de predicción es

εP= gP− gP= gP hβΔ P−∑ αPi gi−∑iβPi hi

Si se eleva al cuadrado y se halla el promedio de la forma usual, se obtiene

mP2=C o2 Bβ oβ

2 A0−2∑ αPi C Pi−2 ∑iβPiβ∑

iαPi βPi

−2β∑iβPi APi∑

i∑

kαPi αPk C ik2∑

i∑

kα PiβPk βik∑

i∑

kβPi βPk Aik

(795)

dondeA0 = A(0), B0 = B(0), C0 = C(0), Api = A(Pi), Bpi, = B(Pi), Cpi = C(Pi),Aik = A(ik), Bik = B(ik), Cik = C(ik);

siendo P el punto en el que se va a predecir g , y i o k denotan las estaciones gravimétricas conocidas.

Esta fórmula, la cual evidentemente, es una ampliación de (756), da como resultado el error típico de predicción si se toma en cuenta la correlación con' la elevación. Resulta fácil hallar una fórmula para la función de covarianza de los errores, generalizando (760), y las fórmulas matriciales correspondientes a (763) usando (765) para una predicción mínimocuadrática que minimice (795); refiérase al trabajo de Moritz (19 63 ) . Cabe hacer notar que en estas fórmulas intervienen las funciones A, B y C pero ninguna otra cant1dad estadística.

Aplicación de las Anomalías de Bouguer. El asunto de que si es posible lograr que las anomalías de aire libre sean independientes de la elevación agregando un término que sea proporcional a la elevación es de suma importancia. En otras palabras, ¿en qué momento 1a cantidad

z= g−b h (796)

con un coeficiente b determinado, no tiene correlación alguna con la elevación?

La forma de z es 1a de una anoma1ía de Bouguer; para una verdadera anomalía de Bouguer, según la sección 33, se tieneb=2π kP ( 7 97 )

si la densidad ρ = 2.67 g/cm3, entoncesb =+ 0 .112 mgal /¿

¿ (797 ’)

La funci6n de covarianza Z(s) de la “anomalía de Bouguer" (796) con la elevac16n se forma de la siguiente manera:

Z s =M {z h ' }=M { g h '−b h h ' }=B s −b A s

Si z ha de ser independiente de h, entontes Z(s) deberá ser idénticamente cero. La condición es

B s −b A s ≡0 ( 7 98 )

la cual debe satisfacerse para todas las s y cierta constante b.

Vemos que la “anomalía de Bouguer” z no está correlacionada con la elevación si las funciones A(s) y B(s) son proporcionales para el área considerada luego, la constante b está representada por

b=B s A s

(799)

Puede mostrarse que esto equivale a la condición de que los puntos de la figura 76 deben estar situados más o menos en línea recta y no en alguna otra curva. Luego, el coeficiente b estará dado por

b=tan α (7100)

como la inclinación de la línea hacia el eje h.

En la práctica estas condiciones se cumplen a menudo bastante bien; y, además, si se calcula b a partir de la ecuación (799) o se determina gráficamente por medio de (7100), se obtiene un valor que se aproxima bastante a la gradiente normal de Bouguer (797’).

Si se da por sentado que b depende solamente de la densidad de la roca ρ, entonces se dispondrá de un medio para determinar 1a densidad promedio que muchas veces es difíci1 medir di rectamente. Este es el "método de Nett1eton", el cual se usa para la prospección geofísica: el coeficiente b se determina estadísticamente mediante las ecuaciones (799) o (7100), y 1uego se calcula 1a densidad de la roca ρ a partir de (7 97) . La figura 77 ilustra el principio de este método; véase también el trabajo de Jung (1956, Pág. 600).

Figura 77

Las anomalías de Bouguer que corresponden a diferentes densidades ρ. La mejor densidad es ρ = 2.4 g/cm3 ninguna correlación); para otras densidades, las anomalías de Bouguer están correlacionadas con la elevación (correlación positiva para ρ = 2.2, correlación negativa para ρ = 2.6).

Si se cumple 1a condición (798) ,entonces la “anoma1ía de Bouguer” z podrá considerarse una anomalía gravimétrica que no tiene correlación alguna con la elevación; se le puede aplicar directamente la teoría completa de las secciones anteriores. Pero aun cuando no se cumpla esta condición totalmente, las anomalías de Bouguer generalmente están mucho menos correlacionadas con la elevación que las anomalías de aire libre. El hecho de que en (796), la gravedad se reduce a una elevación media y no al nivel del mar, no tiene, importancia en este respecto puesto que es literalmente cuestión de una constante aditiva. Desde este punto de vista estadístico el elemental, también puede hacerse caso omiso de tales refinamientos como, las correcciones del terreno, etc.

Por eso es posible considerar la reducción de Bouguer como un medio para obtener aquellas anomalías gravimétricas que dependen menos de la elevación y que por tanto son más representativas que las anomalías de aire libre. Más específicamente, las anomalías de Bouguer toman en cuenta la dependencia en las irregularidades locales de la elevación. Además, las anomalías isostáticas también son, en gran medida, independientes de las características regionales de la topografía. Véase también el Capítulo 3.

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8.1. Introducción

En los capítulos anteriores se uti1izó 1o que podría 11amarse e1 en foque conservador a los prob1emas de la geodesia física. Las mediciones geodésicas coordenadas y azirnuts ,astronómicos ,ángu1os horizonta1es, observaciones gravimétricas, etc. se reducen a1 geoide, y el "prob1ema de los valores límites geodésicos" para el geoide se resuelve por medio de la integra1 de Stokes y fórmu1as similares. Luego e1 geoide sirve de base para establecer la posición de puntos de 1a superficie terrestre.

La ventaja de este método es que el geoide es una superficie de nivel, capaz ,de definirse sencillamente en términos del potencial W, físicamente significativo y geodésicamente importante. El geoide representa la formulación matemática más obvia de una superficie horizontal a nive1 del mar. Es por ello que el uso del geoide simplifica los problemas qeodésicos y los hace comprensibles a la intuición geométrica.

La desventaja es que el potencial W en el interior de la tierra y, por tanto, el geoide W = const., depende de la densidad ρ debido d la ecuación de Poisson (26).

W=−4π kρ2w2

Por consiguiente, para determinar o usar el geoide, hay que conocer la densidad de las masas en todos los puntos entre geoide y el terreno. por lo menos teóricamente. Obviamente esto es imposible y por ende hay que hacer algunas hipótesis acerca de la densidad, lo cual teóricamente no resulta satisfactorio, aun cuando la influencia práctica de estas hipótesis sea, por lo general, muy pequeña.

Por esta razón fue de suma importancia que Molodensky mostrara en 1945 que la superficie física de la tierra podía determinarse a partir de mediciones geodésicas solamente sin usar la densidad de la corteza terrestre. Esto dio lugar a que se abandonara el concepto del geoide. La formulación matemática se vuelve más abstracta y más difícil. Tanto el método gravimétrico como el astrogeodésico pueden modificarse para este propósito. Las anomalías gravirnétricas y 1as desviaciones de la vertical están ahorareferidas al terreno y no al nivel del mar; las “anomalías de altura” a niveles del terreno toman el lugar de las ondulaciones geoidales.

Estos adelantos recientes han ampliado considerablemente nuestros conocimientos de los principios de la geodesia física y han introducido a la vez nuevos métodos efectivos para abordar los problemas clásicos. Por consiguiente, su importancia teórica básica casi no se ve disminuida por el hecho de que muchos científicos prefieren retener el geoide por sus ventajas conceptuales y prácticas.

En este capítulo se hará primero un estudio conciso de la determinación convencional del geoide por medio de reducciones de la gravedad para poder comprender mejor las ideas modernas. Después de exponer la teoría de Molodensky, se mostrará como pueden aplicarse los métodos nuevos a los problemas clásicos tales como la reducción de la gravedad o la determinación del geoide.

Cabe mencionar que los términos "moderno" y "convencional" se utilizan meramente como rótulos convenientes; no pretenden dar a entender ni valores ni preferencias.

8.2. Reducciones de la Gravedad y el Geoide

Las integrales de Stokes y de Vening Meinesz, así como otras fórmulas similares dan por sentado que e1 potencial de perturbación T es armónico en el geoide, lo cual significa que no hay masas fuera de éste. Esta hipótesis – ninguna masa fuera de 1a Superficie delimitadora se hace necesaria si se desea tratar cualquier problema de geodesia física como un problema de valores límites de acuerdo con 1a teoría del potencial. La raz6n es que; los problemas de valores límites de 1a teoría del potencial requieren siempre funciones armónicas, es decir, so1uciones de la ecuación de Laplace.

T=0

Se sabe, por ejemplo que la determinación de T o N a partir ,de las anomalías gravimétricas g puede considerarse como un tercer problema de valores límites: véase la Sección 213.

Como hay masas fuera del geoide, es necesario transferirlas hacia el interior del geoide o eliminarlas completamente, antes de que pueda aplicarse la integral de Stokes o las fórmulas relacionadas. Este es el propósito de las diversas reducciones de 1a gravedad . Estas se explicaron extensamente en e1 capítulo 3; por lo tanto, podemos limitarnos a señalar aquellas características teóricas que son pertinentes a nuestra problema actual.

Si las masas externas , las masas fuera del geoide, se eliminan o transfieren a su interior, la gravedad cambiará. Además, la gravedad se observa a nivel del terreno pero se necesita con respecto al nivel del mar. Por consiguiente, la reducción de la gravedad requiere que se tomen en cuenta estos deo efectos para obtener así valores límites en el geoide.

Esta llamada regularización del geoide que elimina las masas externas lamentablemente cambia también las superficies de nivel y por lo tanto el geoide en general. Este es el efecto indirecto; el geoide modificado se conoce como cogeoide o geoide regularizado.

El principio de este método puede describirse de la siguiente manera (Jung, 19S6, pág. 578); véase la figura 81.

1. Las masas fuera del geoide se eliminan totalmente o se transfieren a su interior por medio de cálculos. Hay considerar e1 efecto de este procedimiento en e1 valor de la gravedad, g, en la estación P.

2. La estación gravimétrica se traslada desde P hacia el geoide al punto Po Nuevamente se considera el efecto correspondiente en la gravedad

3. El efecto indirecto, la distancia δ N=PoPc , se obtiene dividiendo el cambio en potencial en el geoide, δ W , por la gravedad normal (teorema de Bruns):

δ N=δ Wγ

(81)

4. Luego, la estación gravimétrica se traslada desde el punto geoidal Po hacia el geoide, PC. Esto proporciona el valor límite de la gravedad en el cogeoide, gc

5. La forma del cogeoide se calcula a partir de las anomalías gravimétricas reducidas

gc=gc

−γ (82)

por medio de la fórmula de Slokes la cual da corno resultado N c=QPC

6. Por último el geoide se determina tomando en cuenta el efecto indirecto. La ondulación geoidal N se obtiene, por lo tanto, así

N c=N c

δ N (83)

A primera vista, podría parecer que las masas entre el geoide y el cogeoide ;tienen qu e1 eliminarse si se da el caso de que el cogeoide se encuentra por debajo del geoide, puesto que 1a fórmula de Stokes se aplica al cogeoide. Sin

embargo, esto no es necesario y no hay que preocuparse por un “efecto indirecto secundario”. El argumento es un tanto técnico para incluirlo aquí; véase Moritz (1965, pág. 26).

Figura 81Geoide y Cogeoide

En principio. toda reducción de la gravedad que dé como resu1tado valores límites en el geoide tambiénresulta apropiada para la determinación del geoide, siempre y cuando se tome debidamente en cuenta el efecto indirecto. Por consiguiente la selección de un buen método de reducción deberá hacerse según otros puntos de vista, ta1es como el significado geofísico de las anomalías gravimétricas reducidas, la sencillez de los cálculos, la factibilidad de la interpolación entre estaciones gravimétricas, la insignificancia o incluso la ausencia del efecto indirecto, etc. Véase la sección 39

La reducción de Bouguer corresponde a la eliminación comp1eta de las masa externas. En la reducción isostática, estas masas se desplazan verticalmente hacia debajo de acuerdo con alguna teoría de isostasia. En la reducción por condensación de Helbert, las masas externas se comprimen para formar capa superficial sobre el geoide. Según la reducción de Rudzki se transfieren al interior del geoide de manera de manera tal que el potencial en el geoide, y por lo tanto el geoide mismo, no sufra cambio alguno (sin embargo, las superficies del potencial externo y del nivel externo si cambian); de manera que no hay efecto indirecto en este caso.

La reducción de Prey y la de aire libre son bastante diferentes. La reduccion de PoincarePrey (Scccion 43) proporcionan la gravedad real dentro de la tierra; no proporciona los valores límites. La reducción de aire libre, en el contexto actual, requiere que las masas fuera del geoide sean eliminadas previamente; forma parte de todas las reducciones de la gravedad al geoide en lugar de ser una reducción independiente. En la sección 810 se tratará otro aspecto de este problema.

1Es posible hallar en la publicación de Moritz (1965, Sección 4) la demostración formal basada en la transformación de cierta ecuación integral.

En todos los métodos de reducción es necesario conocer la densidad de las masas encima del geoide. En la práctica esto requiere algún, tipo de hipótesis suponer, por ejemplo, que ρ = 2.67 g/cm3. En 1a reducci6n de aire libre por 1o general se hace una segunda hipótesis la cual s parte de la reducción de la gravedad al geoide: se da por sentado, que la gradiente rea1 de la gravedad de aire libre es igual a la gradiente normal

∂γ∂ h=−0 .3086 mgal /metro

Estas dos hipótesis adulteran los resultados, teóricamente al menos (Moritz, 1962).

Es posible evitar esta segunda hipótesis usando la gradiente real de aire libre tal como se calcula por medio de los métodos indicados en la Sección 223. Las anomalías g que se usan en la fórmula (2217) tienen que ser las anomalías gravirnétricas reducidas en el geoide: la gravedad g después de los pasos 1 y 2 de la descripción anterior, menos la gravedad teórica γ en el elipsoide. Esto supone que en el paso 2 se ha ap1icado primero una reducción preliminar de aire libre usando la gradiente normal.

Desviaciones de la Vertical. El efecto indirecto influye tanto en la desviación de la vertical corno en la altura geoidal. Se halló que

N=NCδ N

donde N C es la ondulación del cogeoide, el resultado inmediato de la f6rmula de Stokes, y Nδ es el efecto indirecto. Al diferenciar N en una dirección horizonta1 se obtiene la componente de desviación a lo largo dedicha dirección:

ε=−∂ N∂ s

=−∂ NC

∂ s−∂ ∂ N

∂ s(84)

Esto significa que se deberá agregar al resultado inmediato de la fórnlu1a de Vening Meinesz, −δ N C/δ S , un

término que representa 1a derivada horizontal de; véase también la Sección 36.

En el caso de la reducción de Rudzki, donde e1 donde el efecto indirecto es cero, la fórmula de Vening Meinsz proporcionará desviaciones de la vertical que estarán directamente referidas al geoide.

8.3. El Problema de Molodenski

Acaba de verse que la reducción de 1a gravedad a nivel del mar requiere que se hagan ciertas hipótesis con respecto a 1a densidad de 1as masas arriba del geoide. Esto también es cierto en e1 caso de otros cá1culos geodésicos cuando se 11evan ,a cabo según 1os métodos convencionales.

Para despreciar esto, considérese el problema de calcular las coordenadas geodésicas φ , λ , h , a partir de las coordenadas naturales Φ , Λ , H , según se describe en el Capítulo 5. La altura geométrica h sobre el elipsoide se obtiene el partir de la altura ortométrica H sobre el geoide y la ondulación geoidal N usando

h = H + N.

La determinacion de N se explicó el la sección anterior. Para ca1cular H a partir de los resultados de 1ª nivelación, es necesario conocer la gravedad media g a lo largo de la línea de plomada entre el geoide y el terreno (Sección (44). Como la gravedad g no puede medirse dentro de la tierra, se calcula dentro de la reducción de Prey para lo cual hay que conocer la densidad de las masas arriba del geoide.

Las coordenadas geodésicas φ y λ se obtienen a partir de las coordenadas, astronómicas Φ y Λ las componentes de la desviación ε y η ; usando

φ=Φ−ε , λ=Λ−η secφ

Las coordenadas Φ y Λ se miden en el terreno; ε y η pueden calcularse con respecto al geoide usando la la fórmula de Vening Meinsz, tomándose en cuenta el efecto indirecto de acuerdo con la sección anterior. Para aplicar las fórmulas anteriores, hay que reducir bien sea Φ y Λ al geoide o ε y η hasta el terreno. En ambos casos esto requiere la reducción de la curvatura de la línea de plomada (Sección 56), que también depende del valor medio g según sus derivadas horizontales. Por tanto, también hay que usar aquí la reducción de Prey. La figura 82 muestra los principios geométricos de dicho método. El punto terrestre P se proyecta nuevamente sobre el elipsoide de acuerdo con el método de Helmert. Sin embargo, la altura geométrica h se determina en este caso usando

h =H∗ξ (85)

Figura 82El teluroide. La altura normal H* y la anomalía de altura ξ

donde se ha sustituido la altura ortométrica H por la altura normal H*, y la ondulación geoida1 N por la anomalía da altura ξ .

Esto resu1tará c1aro si se considera que la superficie cuyo potencial normal U en todos los puntos Q es igual al potencial real W en su punto P correspondiente de manera tal que UQ = Wp. Donde los puntos P y Q correspondientes se encuentran situados en la misma normal del elipsoide. Esta superficie se llama el teluroide (Hirvonen 1960,1961). La distancia vertical del elipsoide al teluroide constituye la altura normal H* (Sección 45), mientras que la altura geométrica h es la distancia vertical del elipsoide al terreno. La diferencia entre estas dos alturas es por consiguiente la anomalía de altura.

ξ=h−H∗¿¿

(86)

que corresponde exactamente a 1a ondulación geopidal N = h H que es la diferencia entre la altura geométrica y la ortométrica.

La altura normal H*, y por consiguiente, el teluroide Σ puede determinarse mediante una nivelación combinada con mediciones gravimétricas, de acuerdo con la Sección 45. Primero se calcula el número geopotencial de P, C = Wo Wp, usando

C=∫0

P

g dn

.

donde g es la gravedad me1ida y dn es el incremento de nivelación. Luego se relaciona la altura normal H* con C mediante una expresión analítica como (444) ,

H∗¿Cγ0

[1 1 f m−2f sinφ ]Cα

Cα

2

donde γo es la gravedad normal en el punto elipsoidal Qo. Obviamente, H* es independiente de la densidad.

La altura normal H* de un punto terrestre P es idéntica a la altura sobre el elipsoide, h, del punto Q correspondiente al teluroide. Si 1a función geopotencial W fuese igual a la función potencial normal U de todos los puntos, entonces Q coincidiría Con P, e1 teluroide coincidiría con la Superficie física del la tierra, y altura normal de todos los puntos sería a su altura geométrica. Pero en realidad, Wp ¿ Up; así pues la diferencia

ξρ=hρ−H∗ρ=hυ−hQ

no es cero. Esto explica el término "anomalía de altura" para ξ .

Ahora la anomalía gravimétrica se define como

g=gρ−γQ (87)

es la diferencia entre la gravedad real tal como mide en el terreno y la gravedad normal en el teluroide. La gravedad normal en el teluroide; que se denotará por γ, se calcula a partir de la gravedad normal en el elipsoide, γ0 , mediante la reducción normal de aire libre, pero ahora se aplica hacia arriba:

γ≡γQ=γ0∂γ∂ h

H∗12∂

2γ

∂h2 H∗2⋯ (88)

Por ésta razón, las nuevas anomalías gravimétricas (87) se conocen como anomalías de aire libre. Está referidas al nivel del. terreno, mientras que las anomalías gravimétricas convencionales están referidas al nivel del mar. Por consiguiente, las nuevas anomalías de aire libre no tienen nada en común con una reducción de aire libre de la gravedad real al nivel del mar, con excepción del nombre. Hay que tener presente esta diferencia.

Una fórmula directa para calcular γ en Q sería (2123),

H∗¿a¿

1−2 1 fm−2f sin2φ H∗¿

a3 ¿¿ 2 ]

γ=γ0 ¿

¿

(89)

donde γ0 es el valor correspondiente en el elipsoide.

La anomalía de altura ξ puede considerarse como la distancia entre la superficie geopotencial W = Wp = const. y la superficie esferopotencial correspondiente U = Wp = const. enel punto P. En la .Sección 216 esta distancia se representó por medio de Np, y se halló que la fórmula de Rruns (2144) también se aplica a esta cantidad. De manera que para ξ = Np se tiene que

ζ=Tγ

(810)

siendo T = Wp Up el potencial de perturbación a nivel del terreno, y γ la gravedad normal en el teluroide.

Puede esperarse que ξ esté relacionada con las anomalías a nivel del terreno g mediante una expresi6n análoga a la fórmula de Stokes para la altura geoidal N. Esto es en efecto cierto. Sin embargo, el teluroide no es una superficie de nivel y a cada punto P de la superficie terrestre le corresponde por lo general una superficie geopotencial W = Wp diferente. Por tanto, la relación entre g y ξ según la nueva teoría resulta considerablemente más complicada que para el geoide. El problema comprende una ecuación integral la cual puede resolverse por iteración y donde el primer término está dado por las f6rmula de Stokes.

Finalmente cabe mencionar que también es posible trazar unas anomalías de altura ξ arriba del elipsoide. Se

obtiene así una superficie idéntica al geoide sobre los océanos dado que allí ξ = N, y se aproxima mucho al geoide en todas las demás partes. Molodensky denominó esta superficie cuasigeoide. No obstante, no es una superficie de nivel y no tiene significado físico alguno. Debe considerarse como una concesión a los conceptos convencionales que requieren una superficie parecida al geoide. Desde este punto de vista, la altura normal de un punto es su elevación sobre el cuasigeoide, así como la altura ortométrica es su elevación sobre el geoide.

8.1 Ecuaciones Integrales Lineales

En las siguientes secciones se hará so de ecuaciones integrales lineales. Para efectos de esta explicación se hará una breve introducción intuitiva a las ecuaciones integrales lineales par aquellos lectores que no es en familiarizados con este tema. Para mayores detalles, refiérase a los tratados convencionales, tales como el de Courant y Hilbert (1953).

Las funciones definidas en la superficie de la tierra son funciones de dos variables (latitud y longitud, por ejemplo). Para mayor sencillez, no obstante, aquí sólo se tratarán las funcionsede una sola variable; esto es suficiente para una comprensión general.

Considérese la ecuación

∫a

bK s , t t dt=∫s

Se conoce como ecuación integral lineal del primer tipo. Las funciones ƒ(s) y K (s, t) (llamada el núcleo de la ecuación integral están dadas; el problema es determinar la función desconocida u (t) a partir de esta ecuación.

La analogía de esta ecuación integral con el sistema de ecuaciones lineales

∑j=i

n

K12 u1= ƒ1 ( i = 1,2 . . . , n)

el cual puede escribirse completamente como:

K12ui + K12u2 + . . . + K12ui = ƒ1

K12ui + K22u2 + . . . + K12ui = ƒ2

. . .

Kn1u1 + Kn2u2 + . . . + Knnun = ƒn1

Resulta obvia. Corresponde a :

La integral ∫i=u

b para sumar ∑n

;

las variables s, t hasta los índices i, j.

313Esto muestra que una ecuación integral lineal puede considerarse análoga a un sistema de ecuaciones lineales.

Asimismo, resulta sencillo aproximarse a la ecuación integral (811) pro medio de un sistema de ecuaciones lineales. El intervalo de integración (a,b) puede dividirse en n partes iguales y aplicar.

h = b – a n

t1 = a + h2

t2 = a + 3h2

t3 = a + 5h2

. . . , tn = a + 2n−1h

2

La figura 8 – 3 muestra que la integral puede aproximarse mediante

∫a

bK s , t t dt= K(s, t1)u(t1) • h + K (s, t2)u(t2) • h + . . . + K (s, tn)u(tn) • h

Esto no es más que la aproximación normal de un área mediante al suma de rectángulos; aquí s se considera un parámetro fijo. Por tanto, la ecuación integral (811) se convierte aproximadamente en

h [K(s . t1)u(t2) + K(s . t2)u(t2) +. . . + K(s . tn)u(tn)] = ƒ (s)

Si se hace que s sea consecutivamente igual a t1 , t3 . . . , tn se obtiene

h [K(t1 . t1)u(t1) + K(t1 . t2)u(t2) +. . . + K(t1 . tn)u(tn)] = ƒ (t1)h [K(t2 . t2)u(t2) + K(t2 . t2)u(t2) +. . . + K(t2 . tn)u(tn)] = ƒ (t2)

.

.

.h [K(tn . t1)u(t1) + K(tn . t2)u(t2) +. . . + K(tn . tn)u(tn)] = ƒ (tn)

al sustituir

h [K(t1 . t2) = Kn . u(t2) = un ƒ (t1)= ƒn

el sistema (8 – 13) se convierte en el sistema (8 12) o (812’).

Cuando n → ∝, el sistema aproximado de ecuaciones lineales (813) cambia rigurosamente a la ecuación integral (911). Por consiguiente, una ecuación integral lineal puede considerarse como el límite ( n → ∝) de un sistema de ecuaciones lineales.

El sistema (813) también puede usarse para una solución aproximada de la ecuación integral (811); los valores de u(t) para t = t1, t2. . . tn pueden calcularse resolviendo (813) e interpolando para obtener los otros argumentos t (de la misma manera que en una tabla de funciones).

314

Las ecuaciones integrales lineales del segundo tipo son considerablemente más importantes teórica y prácticamente. Tienen la forma

u(s) + ∫a

bF s ,t u t dt= ƒ(s)

De hecho, dicha ecuación integral equivale a un sistema de ecuaciones lineales de la forma

U1 + ∑i=1

n

K 12ui= ƒ1

y puede aproximarse de la manera indicada anteriormente,

Como resulta sencillo considerar una ecuación integral lineal como un límite de un sistema de ecuaciones lineales, se ha escogido este método si bien más adelante las ecuaciones integrales se resolverán en una forma diferente, usando un proceso iterativo en lugar de hacer una aproximación usando sistemas de educaciones lineales.

8.2 Aplicación de las identidades de Green

Al aplicar la tercera identidad de Green al geopotencial W en la Sección 1 – 6, se desarolló la fórmula (134),

2πW + ∫s∫[w ∂

∂ n It −

It∂W∂ n ]dS2πϖ2 x2

y2 (816)

2ϖ2 ∫s∫∫drl '= s

Aquí S representa la superficie física de la tierra; l es la distancia entre un punto fijo P, al cual está referido el primer término y el tercero, y el elemento variable de superficie dS; n es la normal a la superficie física en dS; en dirección hacia fuera; ∂W / ∂n es la componente de la normal vectorial de la gravedad a S; el eje z corresponde al eje de rotación de la tierra; ω es al velocidad angular; y l’ es la distancia entre P y el elemento de volumen dv. Los pequeños cambios de notación resultan obvios.

Esta ecuación, la cual también obtuvo de GraaffHunter (1960), relaciona la superficie terrestre S con el potencial W y su derivada normal ∂W / ∂n. Constituye la formulación matemática más directa del problema de la determinación gravimétrica de la configuración de la tierra S, en otras palabras, del problema de los valores límites de la geodesia física según Molodensky. Es por ello importante analizar su significado en detalle.

El geopotencial W en cualquier punto P se obtiene, salvo por una constante aditiva Wo, mediante una nivelación combinada con mediciones gravimétricas de acuerdo con

W = Wo ∫O

P g dn

315

La componente normal ∂W/ ∂n del vector de gravedad g se determina midiendo que es la magnitud de g, y la latitud y longitud astronómicas, las cuales establecen la dirección de g.

Por lo tanto, la única incógnita en (816) es la superficie S en sí, puesto que T, T’, x, y se determinan mediante S y las coordenadas astronómicas de los puntos en cuestión. Puede suponerse entonces que es posible resolver esta ecuación con respecto a S de alguna forma. De esta manera puede verse que una cantidad netamente geométrica – o sea la configuración S puede determinarse únicamente a partir de cantidades físicas relacionadas con el campo gravitacional de la tierra (geopotencial y vector de gravedad).

Hasta el momento se ha supuesto que se conoce la constante Wo, la cual puede considerarse como el potencial a nivel del mar. Tal como se mencionó en la Sección 220, está relacionado con la escala lineal de la tierra, véase también Molodenskii et al, (1962ª,pág. 113). Si Wo sólo se conoce aproximadamente, tal como lo es en la actualidad, entonces la configuración de la tierra solo se determina hasta un factor escalar. La medición de una sola distancia (preferiblemente un arco largo) es suficiente para establecer al escala. En principio, no se necesitan otras mediciones de distancias o ángulos, así como tampoco triangulación o trilateración.

Por tanto, las mediciones geodésicas necesarias y suficientes para la determinación gravimétrica de la superficie física de la tierra pueden resumirse de la siguiente manera:

1. Mediciones gravimétricas2. determinación astronómica de la lattiud y longitud3. nivelación; y4. medición de una distancia

Esto es por supuesto el mínimo teórico; en la práctica la triangulación y la trilateración resultan sumamente útiles por la alta precisión relativa que proporcionan.

Linealización. La ecuación básica (816) tiene la forma simbólica

F S ,W , ∂W∂ n = 0;

el problema es despejar S. lamentablemente es una ecuación integral no lineal que no puede resolverse directamente. Sin embargo, se le puede aplicar el tratamiento normal que se le da a cualquier ecuación no lineal complicada; se linealiza introduciendo valores aproximados apropiados, de manea que finalmente se obtiene una ecuación lineal ara la desviación de la solución real de la aproximada. El potencial real W se aproxima así por medio de un potencial normal U; la solución aproximada de S es el teluroide t. La desviación de W con respecto a U es el potencial de perturbación Y = W – U, y la desviación de S con respecto a ∑ es la anomalía de altura t.

Se procede a la linealización de (816). Como W en esta ecuación es una función bastante arbitraria, también se puede aplicar (816) al potencial normal U, obteniendo así,

316

2πU + ∫s∫[U ∂

∂ n It −

It∂U∂ n ]dS2πϖ2 x2

y2 22∫∫∫dvl '=0

si esto se resta de la ecuación original (816), se obtiene

2πT + ∫s∫[T ∂

∂ n It −

It∂T∂ n ]dS=0

Esta ecuación es en sí mucho más sencilla que (816). Lo esencial es sin embargo, que en esta ecuación la integración sobre la superficie desconocida S puede sustituirse por una integración sobre el teluroide conocido ∑, obteniendo así.

2πT + ∫s∫[T ∂

∂ n It −

It∂T∂ n ]d∑= 0 (818)

Esto es posible porque dS difiere de d∑ solamente en cantidades del mismo orden que la anomalía de altura ξ :ds =:d∑(I + Aξ + Bξ + . . . )

Por consiguiente, se tiene que

T dS = Td∑ + Aγ

T 2 d∑

Si nos limitamos a términos que son lineales en T o ξ = T/γ, entonces se omitirán los términos que contienen T2 y potencias superiores de T, quedando asíT dS = T d∑

o, siempre y cuando se multiplique por términos del orden de T.

dS = d∑

Nótese que no está permitido sustituir s por ∑ en la ecuación original (8 16) porque W s de un orden de magnitud mayor que T.

En (818) la normal n es la normal a la superficie física de la tierra o, con el mismo grado de precisión, la normal al teluroide. De manera que en general no es vertical. Por tal motivo, ∂T/∂n no es igual a

∂T∂ h

=> gI ∂γγ∂h

r

[esta es la ecuación (2/147c) aplicada a nivel del terreno], pero contiene, además de ∆g, las componentes ξ y n de la desviación de la vertical.

La evaluación misma de ∂T/ ∂n en términos de ∆g, ε, n es un tanto difícil (Molodenskii et al., 1962ª, Capítulo V; Moritz, 1965, pág 13). Como en la siguiente sección se mostrara una solución mucho más conveniente al problema de Molodensky se omitirá su desarrollo dando sólo el resultado que es

∂T∂ n=[−¿ g

I ∂γγ∂ h

Tγ ξ tan d1η tan 32] cos3. (8 21)

donde B1 es el ángulo de inclinación de un perfil nortesur del terreno con respecto a la horizontal; en forma similar, B2 es la inclinación de un perfil esteoeste; B es el ángulo de máxima inclinación del terreno.

Si se inserta (821) en (818), se obtiene :

T Ι

2π∫∫ [∂

∂n Il −

Iγ∂γ∂ h

cosβl ]Td ∑

= I2π∫∫

1l [

g−γ tξ tan31η tan32 ]cos3d∑

Esta es una ecuación integral lineal del segundo tipo para el potencial de perturbación T o para la anomalía de altura ζ = T/γ. Si se compara con (814) se verá que la función desconocida u está representada ahora por T. La función

conocida ∫ está dada por el lado derecho de (8 22), y el núcleo K es igual a –1/2π multiplicado por la expresión en corchetes en al integral del lado izquierdo de (822). Esta ecuación integral también ha sido tratada por Levallois (1958).

Si se desea despejar T en esta ecuación, hay que conocer además de ∆g las componentes de la desviación ξ y η. Como las inclinaciones B1 y B2 son los valores aproximados de las componentes de la desviación suelen ser suficientes. Molodensky incluso logró eliminar ξ y η de (822) de una manera sumamente ingeniosa.

Tal como se indicó anteriormente, en la siguiente sección se tratará un método muchísimo más sencillo. Por lo tanto, no se seguirá explicando el método actual y sólo cabe mencionar que la ecuación integral (822) puede resolverse mediante una iteración análoga a la descrita en la Sección 87.

Aplicación al geoide. La ecuación integral (822) también puede aplicarse al geoide, siempre y cuando se haya “regularizado” eliminando las masas que se encuentran fuera del mismo. Luego, en lugar del teluroide ∑ se tiene el elipsoide de referencia E; además B1 = B2 = B = 0, y ∂/n = ∂/∂h. Así se obtiene

T=L

2π∫∫[∂

∂ h Il −

Iγ∂ γ∂h

Il ]TdE=

I2π∫∫

gI

dE (8

23)

Esta ecuación es mucho más sencilla que (822) porque no contiene las componentes de desviación ξ y η.

Si el elipsoide de referencia se aproxima mediante una esfera, en otras palabras, se hace una aproximación esférica, la solución de (823) estará dada sencillamente por la fórmula de Stokes. Esto es obvio porque la fórmula de Stokes expresa T en términos de ∆g como aproximación esférica.

Si las cantidades elipsoides de (823) se desarrollan en términos de e’2 o un parámetro similar del mismo orden del achatamiento,. Esta ecuación integral puede resolverse iterativamente usando la fórmula de Stokes como una primera aproximación. Es posible hallar de esta forma una solución relativamente sencilla al “problema de Zagrebin”, la determinación del geoide regularizado por medio de un elipsoide de referncia hasta el orden de e’2 (Molodenskii et al.. 1962ª, pág, 53).

318

El método de la ecuación integral hace posible en esta forma la solución numérica de los problemas de los valores límites de la geodesia física problema cuya solución por algún otro método puede resultar mucho más complicada y hasta imposible. Además de esta ventaja en la resolución de problemas, también hay una ventaja en la formulación de los mismos. Pro medio de las ecuaciones integrales (822) y (823) se describen completamente los respectivos problemas. La formulación convencional correspondiente sería determinar una función T que afuera de cierta superficie (la de la tierra o del geoide regularizado) satisfaga la ecuación diferencial de Laplace.

∆T = 0 (824a)

y esté sujeta a la condición límite (820),

∂T∂ h−

I ∂γγ∂ h

T=− g (824b)

sobre esta superficie. Obviamente, la formulación mediante una ecuación integral (en lugar de una ecuación diferencial y una condición límite), es mucho más breve; además, en muchos casos el problema se acerca más a su solución.

Aún si T no es armónico, en el caso del geoide mismo, todavía resulta posible el método directo de la ecuación integral, mientras que el método convencional ya no puede seguir usándose directamente. La aplicación de una ecuación integral correspondiente a (823) al geoide mismo ofrece una solución matemática directa al problema de las reducciones de la gravedad para determinar el geoide (Moritz, 1965, Sección 4). Por tanto, el método de ecuación integral es eficaz para los problemas clásicos de la geodesia.

86 Ecuación Integral para la Capa Superficial. La ecuación integral (822) tiene la desventaja de que contiene, además de la anomalía gravimétrica ∆g, las componentes de desviación ξ y η. Como se mencionó, es posible transformar (822) de manera que sólo contenga ∆g, pero se vuelve bastante complicado.

Es posible obtener una ecuación integral más práctica y sencilla de la siguiente manera. El potencial anómalo T puede expresarse como el potencial de una capa superficial (Sección 13) sobre la superficie de la tierra o, con el mismo grado de precisión, sobre el teluroide:

T = ∫∫Φl

d∑

El símbolo θ representa la densidad superficial κ multiplicada por la constante gravitacional.

Esta expresión se inserta en la condición límite (820)

−∂T∂h

Iγ∂γ∂ h

T= g

319Si se desea diferenciar la ecuación (825) con respecto a h, hay que recordar de la Sección 13 que las derivada del potencial de una capa superficial son discontinuas en la superficie. Para la condición límite obviamente se necesita la derivada exterior, la cual está dada por la ecuación (119a) :

∂T∂h =−2πΦcos3∫∫Φ

∂

∂ hr Il d∑ (826)

donde la dirección de m es ahora la vertical del punto P al cual tanto T en (825) como la condición límite (820) están referidas; por tanto, se ha escrito ∂ /∂hp. El ángulo (m,n) es ahora el ángulo entre esta vertical y la normal a la superficie, que es el ángulo de inclinación B.

Al insertar esta expresión en la condición límite, se obtiene :

2πΦ cos 3 ∫∫ [ ∂∂ hr Il −

lγτ

∂γ∂ hr

Il ] dΦ∑= g

Las cantidades que están afuera de la integral siempre se toman en el punto P. Si las cantidades adentro de la integral han de hacer referencia a este punto, se marcan específicamente mediante el subíndice P, de lo contrario se tomarán en el elemento de superficie d∑.

Resulta ilustrativo comparar esta ecuación con (822). Ambas son ecuaciones integrales lineales del segundo tipo. El coeficiente de T adentro de la integral en (822) evidentemente es muy similar al coeficiente correspondiente de φ en (827). Sin embargo, γ y las derivadas parciales ∂/∂n en (827) están referidos a P.

La ventaja de la nueva ecuación integral (827) es que sólo depende de ∆g.

Aproximación esférica. Ahora la ecuación integral (827) se escribe como una aproximación esférica. Nótese que esto significa que para la aproximación al elipsoide de referencia, pero no al teluroide, se utiliza una esfera,.

Luego se hace una aproximación de los radios egocéntricos de P y de d∑ mediante (véase la figura 84).

rP = r + hp, (828) r = R + h

donde R es un radio medio de la tierra y h es la altura sobre el elipsoide o, con el mismo grado de aproximación , la altura ortométrica o también la normal.

Se tiene que

I = r2

rr2

−2r P r cos

∂

∂hP

Il =

∂

∂r P

Il =−

r P−r cos

l3

IγP

∂γ∂ hP

=2rP

320

de modo que después de un simple cálculo se halla que:

∂

∂hp Il −

Ipγ∂γ∂hp

Il=

32r1 l

r2−r

12

2r1 l2

Figura 84Aproximación esférica.

Por tanto (827) se convierte en:

2πφ cosβ−∫∫ 32 rpl

r2−r

12

2 rpl2 dφ∑ ¿ g

el elemento de superficie d ∑ puede eliminarse observando que la proyección de d ∑ en el horizonte local está dada po

d ∑ βcos

esto es también igual a:

r2 dσ

donde σd es el elemento de ángulo sólido puesto que r es el radio vector de d ∑ .

d ∑ = r2sec dβ σ

Así, pues, la ecuación integral se convierte finalmente en:

2πφcosβ−∫∫ 32l

r2−r

12

2l2 r2

rpsecβ∗vd σ− g (830)

ésta ecuación se resolverá y simplificará en la próxima sección.

Si se conoce φ , entonces T y ς se determinan por medio de (825), que puede escibirse

Τ=γς=∫∫Φl

r2sec dβ σ .

aplicación al geoide. La ecuación integral (830) también puede aplicarse al geoide regularizado. Se tiene entonces queh = hp = β = 0, r = rp = R,

321y (830) se convierte en:

2πφ−3R2 ∫∫

φl0

dσ= g (832)

donde

l0=2R sinϕ2

(833)

vease la figura 113.

T y N se expresan en términos de φ por medio de (331), que ahora pasa a ser

T=GN=R2∫∫ φl0

dσ (834)

donde G es el valor medio de la gravedad.

Al insertar (834) en (832) se halla que

Φ = 1

2π g3

2RT = 1

2π g3G2R

v (835)

Esta expresión de φ en términos de ∆g y N es equivalente a (657) dado que µ = 2πφ. La altura geoidal N esá dada como una aproximación esférica por la fórmula de Stokes.

N = R

4−G∫o∫ gS dσ (836)

Esto se inserta en (835), lo cual da como resultado

2πφ = ∆g + 3

8π∬ogS dσ (837)

Esta fórmula expresa φ en términos de ∆g y es por tanto una solución de la ecuación integral (832)

Si se resuelve (835) se hallará que

T = 2R3

2πφ− g (838)

Estas fórmulas sencillas son válidas para el geoide regularizado a una aproximación esférica.

3228.7.1 Solución de la Ecuación Integral

Antes de resolver la ecuación integral (830) se simplifica, notándose que

r = R + h = R l hR

difiere de R en menos de 103, lo cual es menor que el error de la aproximación esférica. De modo que puede decirse que:

r2

r p

=R

y se obtiene r2 – r2p = (h – hp) (r + rp) = 2R (h – hp)

2πΦ cos β ∫∫ 3R2l

R2h−hr

l3 sec dβΦ σ= g (839)

Esta ecuación es mucho más sencilla que (830), pero tiene casi la misma precisión.

La expresión para la distancia l también puede simplificarse. Se halla que

l2 = r2P + r2 – 2rPr cos ↓

= (R + hp)2 + (R + h)2 – 2(R + hp)( R + h) cos ↓ = 2R2 (1 – cos ↓) + eR(h + hp)( l – cos ↓) + h2

p + h2 – 2hph cos ↓

= 4R2 sin2

2 1hhr

r

hP h

R2 h−hp 2

Por las mismas razones anteriores es posible omitir (h + hp) /R y hph/R2., obteniendo así

I2 = I2o + (h + hp)2,

I= Io1hhP

I o 2

Aquí lo denota la distancia esférica (833)

Después de completar estos pesos preliminares, se puede proceder a resolver la ecuación integral (839). El principio básico es utilizar un desarrollo en potencias de las cantidades

h h P y tan β Io

323Estas cantidades tienen el mismo orden de magnitud porque conforme Io → o, entonces obviamente (h hp) / lo se aproxima a tan β’, donde β’ es el ángulo de inclinación en la dirección de lo.

Nótese que las cantidades (841) son de un orden de magnitud mayor que h/R en (839). A modo de ejemplo numérico, supóngase n declive moderado de una montaña cuya inclinación es β ) 15º a una elevación h de 1000 metros. Luego

h 0.00016, pero tan β = 0.27

R

Solución. La solución de (839) se obtiene mediante aproximaciones sucesivas.

a) Como primer paso se omiten las cantidades (841). Luego (839) se convierte en

2πΦo 3R2 ∫∫

Φo

lo

do=Go (8.42)

donde se ha usado

Go = ∆g (8.43)

y la “aproximación de orden cero” de φ se ha denotado por Φ0.

Como (842) tiene la misma forma que (832), su solución está dada por (837), que en la notación actual sería.

2πΦo = Go + 3

8π∫o∫Go S dσ (844)

b) Después de esto, se toman en cuenta las cantidades (841) pero únicamente a la primera potencia; se hace caso omiso de la segunda potencia y de potencias superiores. Luego se le aplicará a φ una pequeña corrección φ1 de manera que como una “aproximación de primer orden”.

φ = φ0 + φ1 (845)

Con esta aproximación aún se tiene que

1 = 1o,cosβ = secβ = 1

porque se omiten los términos cuadráticos de la serie

l = l0 1h−hr

L o

2

=l o[112

h−hP

lo

2

. ..]

cos β = l

1tan2β=1−

12

tan2β. . .

324

Por tanto (839) se convierte en

2π (Φ0 + Φ1) 3R2 ∫ o∫

Φ0Φ1

l0dσ−−R2

∫ 0∫h−h p

PoΦoΦ1 dσ= g

dado que tanto (h hp)/ lo como φ1 son cantidades de primer orden, su producto será omitido en la segunda integral, y se obtiene

2πΦo – 3R2 ∫o∫

Φo

Lo

dσ2πΦ1−3R2 ∫o∫

Φo

lo

dσ R2 ∫o∫h−hP

l01

Φ1 dσ=Go

Los primeros dos términos del lado izquierdo son iguales al lado derecho de acuerdo con (842). Queda entonces

2πΦ1 – 3R2 ∫o∫

Φo

lo

dσ− R2∫o∫

h−hP

lo1

Φo dσ=0

2πΦ1−3R2 ∫o∫

Φ1

lodσ=Go

donde

G1 = R2

∫o∫h−hP

Po

Φo dσ

La ecuación (845) es igual a la (842), salvo que se usa φ1 y G1 en lugar de φo y Go.

Su solución por tanto está dada por (844)

2πΦ1 = G1 + 3

8π∫o∫G1 S dσ (848)

c) Como paso siguiente se pueden tomar en cuenta los cuadrados de las cantidades (841), omitiendo la tercera potencia y potencias superiores. El procedimiento es básicamente el mismo que en (b). De esta forma se puede proceder a aproximaciones cada vez más altas.

Molodensky (Mlodenskii et al . . 1962ª. Pág. 118) ha ideado un método elegante para este fin y también las aproximaciones de segundo y tercer orden. No obstante, las pruebas prácticas han indicado que en la mayoría de los casos la aproximación de primer orden es suficientemente precisa. Por consiguiente, nos limitaremos a esta aproximación.

Para obtener T y ζ a partir de φ, se usará (831), donde nuevamente se fija r = R.:

T = R2 ∫o∫Φl

sec dβ σ=R2 ∫o∫Φ0

l0dσR2

∫o∫Φ1

l0dσ.. . .=T 0T 1.. .

325Puesto que tanto φ0 como φ1 satisfacen las ecuaciones de la forma (832) y están relacionadas con T0 y T1 por medio de las ecuaciones dela forma (834), se puede aplicar (838), obteniendo así

T0 = 2R3 2πΦo−Go

T1 = 2R3 2πΦ1−G1

Al insertar (844) y (848) se halla que

To =R

4π∫o∫Go S dσ

T1 =R

4π∫o∫G1 S dσ (849)

De esta manera la fórmula de Bruns, ζ = T/γ, finalmente da como resultado

ζ = ζ0 + ζ1 = R

4πγ∫o∫ gS dσR

4πγ∫o∫G1 S dσ (850)

donde, según (847) y (835)

G1 = R2

2π∫o∫h−h p

l01 g

3g2R

ζ 0 dσ (851)

Por consiguiente ζ está de nuevo dado aproximadamente por la fórmula de Stokes; este es el término ζo. Además hay una pequeña corrección ζ1. Los pasos de cálculo son los siguientes: primero, calcular ζ0 mediante la fórmula de Stokes; luego evaluar G1 pro medio de (851); y, finalmente, usar G1 para calcular el término de corrección ζ1 en (850).

En la próxima sección se verá que el término que contiene ζ0 en (851) incluso puede omitirse sin afectar la precisión.

La fórmula integral (851) puede evaluarse según los métodos normales, tal como se explicó en la Sección 224; véase también la publicación Bursa (1965).

El método donde se usa el potencial de una capa superficial ficticia para obtener una ecuación integral apropiada, descrito en la sección anterior, puede generalizase a fin de construir otras ecuaciones integrales par el problema de Molodensky. Estas pueden resolverse mediante el método iterativo empleado en la sección actual (Brovar, 1964).

3268.8 Interpretación geométrica

A continuación se escribe una interpretación geométrica de la solución aproximada de Molodensky (850),

ζ = R

4πγ∬o gG ∂ S dσ (852)

usando la notación de la Sección 65, se utiliza

µ =∆g + 3G2R

ςo (853)

de modo que (851) toma la forma

G1 =R2

2π∬o h−hP

lo3

dμσ (854)

Ahora se aplica una transformación cuyo principio fue dado por Molodensky et al. (1962b),. Se escribe

(h hP)µ = (h hP )µ + hPµP hPµP

= hP(µ µP) + (hµ hPµP)

Luego (854) se convierte en

G1 = −hR2

2π∬o

− P

l03

dσR2

2π∬o

h − h Pl0

3dσ (855)

Nótese que si se saca hp de la integral, puede denotarse sencillamente por h porque, con excepción de las cantidades que están dentro del signo de integral, todo está referido al punto P.

Usando las ecuaciones (1101) y (1102) es posible expresar (855) en términos de armónicos esféricos. Sean los desarrollos esféricosarmónicos de las funciones µ y hµ.

µ = ∑n=0

n

n h=∑n=0

n

h n

Luego (855) se convierte en

G1 = hR∑o

n

n n−1R∑0

n

n h n

327Si se resta y se suma 1/R veces

h∑o

n

n=h=∑o

n

h

se obtiene

G1=hR∑o

n

n−1 n−1R∑o

n

n−1h n ()857)

De esta manera G1 puede dividirse en dos partes:

G1 = Gµ + G12 (858)Donde

G11 = hR∑o

n

n−1 n=−hR2

2π∬o

− P

l03

dσ−hR (859a)

G12 = −IR∑o

n

n−1h n=R2

2π∬o

h − h P

l03

hR (859b

Considérese primero el término G11. Si se escribe ∆g = {∆gn y To = {Tn}nótese que To significa aquí la aproximación de orden cero de la función T y no el armónico de grado cero), se tiene que

µn = ∆gn + 3

2RT n

Por tanto, (859a) se convierte en

Gµ = hR∑o

α

n−1 g3h

2R2∑o

α

n−1T n

= hR∑o

α

n2 gn−3hR

g3h

2R2∑o

α

n−1 T n

Según las ecuaciones (2216) y (2155)se tiene

1R∑o

α

n2 gn=−∂ g∂g

, 1R∑o

α

n−1Tn= g

de manera que

Gn = h ∂ g∂h−

3h2R

g (860)

Como se agregará G11 a ∆g, de acuerdo con (852) y (858), la cantidad (h/R)∆g, que a lo máximo es del orden de 10

3 ∆g, y lo que queda es

Gu = h ∂ g∂h

328

Puede notarse que el término G11 corresponde a la reducción de la anomalía gravimétrica de aire libre del terreno a nivel del mar, mediante la elevación topográfica H. Si se omite otra vez un error relativo de h/R, de acuerdo con (2217) se tiene

Gu = −h R2

2π∬o

g− gP

l03

dσ (861)

Antes de considerar G12, cabe notar que el término de corrección ζ1, el cual representa el efecto de G1., puede dividirse de la misma forma que G1.

ζ1 = ζ11 + ζ12 (862)

Luego

ζu = R

4πγ∬oG11 S dσ=−

R4πγ∬o

h∂ g∂ h

S dσ (863a)

La segunda componente

ζ12 = R

4 πγ∬oG12 S dσ (863b)

puede evaluarse directamente. Debe recordarse que el equivalente de la fórmula de Stokes

ζ = R

4πγ∬og S dσ

en términos de armónicos esféricos es

ζn = R

n−1γgn

Si se sustituye ζ por ζ12, ∆g por G12 y ∆gn por (n 1) (hµ)n/R, de acuerdo con (859b), entonces la conversión de (863b) a una expresión en armónicos esféricos sería

(G12)n = R

n−1γ −1R n−1 h n−

1γh n

La sumatoria desde n = 0 a ∝ da como resultado la fórmula sencilla

ζ12 = hγ

(864)

329Al insertar (853) con G = y esto resulta en

ζ12 = hgγ−

3h2R

ςo (865)

Como ζ12 se agrega a ζo, nuevamente se introduce un error relativo del orden de h/R solamente si se omite el segundo término del lado derecho de esta ecuación. Por tanto, finalmente se obtiene

ζ12 = gγ

h

Este término es tan sencillo como (860) y admite una interpretación geométrica correspondiente. Considérese la derivada de la anomalía de altura ζ. Se halla

∂ς∂h−∂

∂ h Tγ =

lγ∂T∂ h−

lγ2

∂γ∂h

T=− lγ −

∂T∂ h

lγ∂ γ∂h

T

de acuerdo con la ecuación (2147) esto es igual a

∂ς∂h−

gγ

(866)

Por tanto (865) equivale a

ς12=∂ς∂h

h (867)

Puede observarse que el término ζ12 corresponde a la reducción de la anomalía de altura del nivel del mar al terreno, y el signo de esta reducción es opuesta al de (860’).

Si se usa (863a) y (867), la solución (852) puede escribirse en su forma alterna

ζ = R

4 πγ∬o g−∂ g∂ h

hS dσ∂ς∂ h

h (868)

La interpretación geométrica de esta ecuación resulta obvia por lo indicado anteriormente: las anomalías de aire libre ∆g a nivel del terreno se reducen a nivel del mar para convertirse en

∆g• = ∆g ∂ g∂h

h ; (869)

luego la integral de Stokes da como resultado las anomalías de altura a nivel del mar, las cuales se reducen hacia arriba al nivel del terreno agregando el término (867).

heiskanen

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