hidrolik ders notları 1

Ercan Kahya

Hidrolik. B.M. Sümer, İ.Ünsal, M. Bayazıt, Birsen Yayınevi, 2007, İstanbul

1

BÖLÜM 9

BOYUT ANALİZİ

Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

9.1. GİRİŞ

■ Mekanikteki herhangi bir büyüklük Newton hareket kanunundaki

temel büyüklükler: uzunluk (L), zaman (T) ve kuvvet (K) bağlı olarak ifade edilebilir. (Not: Kuvvetin yerine kütleyi (M) temel büyüklük olarak seçilebilir) ► Temel büyüklüklerin boyutlarına → "temel boyutlar:"

L, T, K (ya da L, T, M)

■ Newton hareket kanununa göre kütlenin boyutu:


■ [A]: Herhangi bir A büyüklüğünün boyutu ise,

temel boyutlar cinsinden: →

■ Bir büyüklüğün boyutu bu büyüklüğün tanımından elde edilir.

Özgül ağırlığın boyutu:

Dinamik viskozitenin boyutu:

→ "boyutsuz büyüklük"


► Boyut analizinin esasını boyut homojenliği ilkesi oluşturur.

BU NEDİR? ♦ Fiziksel olayları ifade eden bütün matematik denklemlerin sağlaması gereken koşuldur. ♦ Bunun için denklemlerdeki bütün terimlerin boyutlarının aynı olması gerekir.

Buna "boyut homojenliği" denir. ♦Örnek: Bernoulli denkleminde bütün terimler uzunluk boyutundadır. ♦ Bu özellik ile bu denklemler herhangi bir birim sisteminde yazılabilir.


NEYİ KANITLAR? ► Fizik kanunlarını ifade eden herhangi bir bağıntının boyutsuz büyüklükler cinsinden yazılabileceğini... BU TEOREM (Buckingham) ŞUNU İFADE EDER:

♦ n adet boyutlu Ai büyüklüğü arasındaki

şeklinde bir bağıntı daima m=n-r adet boyutsuz πi büyüklüğü arasındaki şeklinde bir bağıntı haline dönüştürülebilir. r: Ai büyüklüklerinde görünen temel boyutların sayısıdır


■ πi büyüklüklerini elde etmek için önce A1, A2, ... , An boyutlu büyüklükleri arasından r adedi şu koşulları sağlayacak şekilde seçilir:

1) Seçilen bu büyüklüklerden herhangi birinin boyutları diğer seçilenlerin boyutlarının bir kombinezonu olmamalıdır. 2) r adet temel boyutun herbiri seçilen büyüklüklerden en az birinde bulunmalıdır.


■ r =3 olduğunu kabul ederek yukarıdaki koşulları sağlayacak şekilde seçilen büyüklükleri A1, A2, A3 ise πi boyutsuz büyüklükleri için

Bu ifadelerdeki bilinmeyen üsler:

o şekilde belirlenir ki πi büyüklükleri gerçekten boyutsuz olsunlar.


ÖRNEK: Çapı D olan bir boruda laminer akım (Hagen-Poiseuille akımı) V ortalama hızı D boru çapına, akışkanın ρ özgül kütlesine, µ viskozitesine, ve basınç gradyanına bağlıdır:

♦ n = 5 boyutlu büyüklük arasındaki bu bağıntıyı boyutsuz büyüklükler cinsinden yazalım. ♦ Bu büyüklüklerde L, T, K temel boyutlarının her üçü de bulunduğuna göre (r =3), πi boyutsuz büyüklüklerinin sayısı m = n - r = 2 olacaktır.


♦ A1, A2, A3 büyüklükleri olarak è V, D, ρ seçilebilir (Not: a- Bu üç büyüklükten herhangi birinin boyutları diğer ikisinin

boyutlarının bir kombinezonu olarak ifade edilemez

b- Üç temel boyutun hepsi bu büyüklüklerde bulunmaktadır ♦ Buna göre πi için:


■ Üsleri belirlemek için bütün büyüklüklerin boyutları yazılırsa:

♦ Denklemler boyut bakımından homojen olacağından, birinci denklemden:


♦ İkinci denklemden:

► Buna göre:


► Böylece boyutsuz büyüklükler arasında:

Ya da:

SONUÇ: Sadece boyut analizini kullanarak laminer boru akımında V hızı için bir ilişki elde edilmiştir.

► Daha önce elde ettiğimiz Hagen-Poiseuille denklemini düzenlersek, yukarıdaki bağıntının:


■ Boyutsuz büyüklük sayısı m = n - r = 1 söz konusu boyutsuz büyüklüğün hiçbir büyüklüğe bağlı olmaz yani sabittir ve sadece Pi teoremini kullanarak sonuca varılır. ♦ ÖRNEK: Boru akımında laminer rejimden türbülanslı rejime geçiş olayı . Bu olaydaki büyüklükler: V, D, ρ, µ Buna göre geçiş olayı: ► Bu boyutsuz büyüklüğün Reynolds sayısı olduğu hemen görülebilir.

SONUÇ: Bu ifadedeki sabitin değerinin deneysel olarak belirlenir (Boru akımında 2000 alınır).


►Pi teoremi ile denklemleri boyutsuz şekilde ifade etmenin yararları:

1- Doğadaki olaylar birim sistemlerinden bağımsız olduklarına göre bu olayları boyutsuz büyüklüklerle ifade etmek ilke olarak uygundur. 2- Boyutsuz ifade halinde değişken sayısı kadar (genellikle r =3) azaldığından söz konusu fonksiyonun incelenmesi ve deneysel olarak belirlenmesi büyük ölçüde kolaylaşır.

(çok daha az sayıda sistemli deneyler yaparak problem çözülebilir) 3- Boyutsuz büyüklükler cinsinden yazılan bir denklemin herhangi bir birim sisteminde kullanılmasında herhangi bir güçlükle karşılaşılmadığı gibi sonuçların grafik ya da tablolar şeklinde ifadesi daha kolaydır. 4- πi boyutsuz büyüklükleri fiziksel bakımdan anlam taşıyan değişkenlerdir ve olayın benzerlik kriterlerini oluştururlar.


BÖLÜM 15

MODEL TEORİSİ


15.1. TANIMLAR

Fiziksel Model: Fiziksel bir olayın (örneğin bir baraj dolu savağı üzerindeki akımın) laboratuvarda bir benzeridir.

Prototip: Modelin temsil ettiği doğadaki sistemdir. v Model ve prototip è geometrik, kinematik ve dinamik benzerlik v Uzunluk için Lm: Model & Lp: Prototip v Her (Lm, Lp) çifti è Lr = Lm/ Lp oranı sabit ise, v  Bu iki sistem birbirine geometrik benzerdir denir.

v  Lr: uzunluk ölçeği (Lr = 1/10; 1/20 gibi)


n Geometrik benzer iki sistem ele alınsın: model ve prototip w Vm: Model üzerinde bir noktada akışkanın hızı w Vp: Prototipte bu noktaya karşı gelen noktadaki hız n Her noktadaki (Vm, Vp) çifti için hesaplanan Vr = Vm / Vp sabit ise,

è İki sistem arasında: kinematik benzerlik Vm= Lm / Tm & Vp = Lp / Tp

293

BÖLÜM 15

MODEL

15.1.

Fiziksel bir bir baraj dolu üzerindeki laboratuvarda bir ben-

zeri Buna "fiziksel modeli" verilir. paragraftarda "fiziksel mo-

del" yerine sadece "model" Modelin temsil sistemi ise

"prototip" olarak Model ve prototip geometrik, kinematik ve dinamik

benzerlikler bulunabilir.

Lmmodelde bir uzunluk olsun, Prototipte, bu gelen uzunluk Lpolsun.

böyle her Lm, Lp çifti için Lr=Lm/ Lp sabit ise, bu iki sistem birbirine geometrik ben-zerdir denir. Lr uzunluk olarak Lr =1/10; 1/20 vs. gibi.

Geometrik benzer iki sistem ele model ve prototip. Model üzerinde bir noktaya ba-

Bu noktada Vm' olsun. Prototipte bu noktaya gelen noktadaki Vp

olsun. böyle her noktadaki Vm' Vp çifti için hesaplanan Vr =Vm/ Vp sabit ise, bu iki

sistem kinematik benzerlik denir. Vm= Lmrrmve Vp = Lifp

V =r V

p

(15.1)

bulunur. Burada Vr = VmNpye Tr = Tm/Tp ye zaman denir. için:

293

BÖLÜM 15

MODEL

15.1.












V =r V

p

(15.1)


293

BÖLÜM 15

MODEL

15.1.












V =r V

p

(15.1)

bulunur. Burada Vr = VmNpye Tr = Tm/Tp ye zaman denir. için:Hız ölçeği: Zaman ölçeği: Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

İvme için:

293

BÖLÜM 15

MODEL

15.1.












V =r V

p

(15.1)


w İvme ölçeği: ar = am / ap tanımlanırsa w  ar = Lr / Tr

2 sabit kalır è yörüngeler benzer ✪  Kinematik benzer iki sistem:

Model ve prototipte birbirine karşı gelen noktalara etkiyen

kuvvetler arasındaki oran sabit è iki sistem dinamik benzerdir

Fr = Fm / Fp

Fr: Kuvvet ölçeği & her noktada sabit kalmalı.


15.2. BENZERLİK KOŞULLARI

v  Model ve prototipten birinden diğerine geçiş è benzerlik koşulları v  Örnek: Bir liman modelinde ölçülen dalga yüksekliği, prototipte ne

kadar bir yüksekliğe karşı gelir? v  Benzerlik koşullarının metotları:

a) dinamik metot

b) boyut analiz

c) diferansiyel denklem metodu


Dinamik Metod

v Model ve prototipe etkiyen kuvvetlerin aynı oranda değişmesi esası

295

mum çözüme mümkün olabilmektedir. Model pratikte alanlar

için hidroelektrik tesisler (tesisin tümüne ve/veya ait); akar-

su düzenlemesi; liman hidrolik türbin, santrifüj tulumba gibi makinalar; uçak, gemi sa-

nayii; statik.

Modelde ölçülen büyüklüklerin prototipe gerekir. prototipte ölçü-

len büyüklüklerin de modele istenebilir. model ve prototipten birinden

ne için benzerlik gereksinme bir liman modelinde ölçülen

dalga prototipte ne kadar bir gelir? Bunun ancak benzerlik

bilinmesi halinde mümkündür.

Benzerlik metodlardan biri elde edilebilir: a) dinamik metod, b)

boyut analizi ve c) diferansiyel denklem metodu.

Dinamik Metod

Model ve prototipe etkiyen kuvvetlerin oranda Hidrolik

problemlerinde mevcut kuvvetler, esas olarak, atalet, yerçekimi ve viskozite kuvvetleri oldu-

göre benzerlik

(Atalet K.)m = (Yerçekimi K')m = (Viskozite K.)m =(Atalet K.)p (Yerçekimi K.)p (Viskozite K.)p

olacak temin edilir. Bu metod §15.3 de olarak ele

(15.4,5)

Diferansiyel Denklem Metodu

w Dinamik metotla ve boyut analizi metodu geometrik benzeşim zorunludur. w  Olayı temsil eden diferansiyel denklemin bilinirse ilk iki metottan iyidir. w  İzlenen yol:

w  Olayın diferansiyeli denklemini boyutsuz yazılır w Diferansiyel denklemde ortaya çıkan boyutsuz katsayıların model ve

prototipte aynı değer alınır. Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

15.3. DİNAMİK METODA GÖRE BENZERLİK

� Benzerlik koşullarının elde edilebilmesi için kullanılabilecek en basit metod

296

Boyut Analizi Metodu

§9 da boyut analizi konusunda bilgi gibi, boyut analizi sayesin-

de, incelenen belirleyen fonksiyon, boyutsuz büyüklükler cinsinden elde edilebilmekte

idi. Bu olayla ilgili benzerlik boyut analizinin

boyutsuz büyüklüklerin, model ve prototipte ayni

Diferansiyel Denklem Metodu

Dinamik metotla veya boyut analizi metodu ile kurulacak olan modellerde geometrik ben-

zorunludur. Bununla beraber temsil eden diferansiyel denklemin bilinmesi halin-

de, geometrik vazgeçilerek de benzerlik Bu nedenle metod ilk iki

metottan daha iyidir. Bununla beraber model istenen birçok halde diferansi-

yel denklemi metod her zaman bu metotta izlenen yol;

diferansiyeli denklemini boyutsuz halde yazmak ve bu suretle diferansiycl denklemde

ortaya boyutsuz model ve prototipte

15.3. METODA GÖRE

Benzerlik elde edilebilmesi için en basit metodun dinamik

metod ve metodun model ve prototipe etkiyen muhtelif kuvvetlerin

Buna göre (15.4,5)

(Yerçekimi K.)m _ (Yerçekimi K.)p(Atalet K.)m (Atalet K.)p

(15.6)

(Viskozite k')m _ (Viskozite k.)p(Atalet k')m . (Atalet k.)p

yazabiliriz..

297

(15.7)

Atalet kuvvetleri, Kütle x göre pU (LT 2) ve yerçekimi kuvveti de

pgL3 (15.6) denklemi:

=

Bu V =L{f

(15.8)

de V/(g L//2 §12 de Fr Froude

göre (15.6), bizi, model ve prototipte Fr götürür:

(15.9)

Benzer viskoz kuvvetlerin p(LT1/L)e (15.7)

denkleminden:

Ilm (Lm / Lm)Pm em (Lm

= IIp (Lp T;l / Lp) L2p_ Pp L3p (Lp T;2)

Atalet kuvvetleri: Kütle x İvme = ρ L3 (LT-2)

Yerçekimi kuvveti: ρ g L3



yazabiliriz..

297

(15.7)



=

Bu V =L{f

(15.8)



(15.9)


denkleminden:



¤ V / (g L)2 büyüklüğü è Fr: Froude sayısı


yazabiliriz..

297

(15.7)



=

Bu V =L{f

(15.8)



(15.9)


denkleminden:




Viskoz kuvvetler: µ (LT-1 / L) L2


yazabiliriz..

297

(15.7)



=

Bu V =L{f

(15.8)



(15.9)


denkleminden:


= IIp (Lp T;l / Lp) L2p_ Pp L3p (Lp T;2)298

Bu V =L{f konarak

(15.10)

de gibi pVL/p Re Reynolds bir-

O halde (15.7) bizi, model ve prototipte Re götürmektedir:

(15.11)

Not: atalet kuvvetinin yerçekimi kuvvetine Froude ve yine

atalet kuvvetinin viskoz kuvvete da Reynolds görülmektedir.

Bu inceleme ile önemli sonuca Dinamik

mesi için, Froude model ve prototipteki ile Reynolds yine mo-

del ve prototipteki birbirine gerekir.

Model Seçimi

(15.9) olarak yazarsak

=

¤ (ρ V L) / µ büyüklüğü è Re: Reynolds sayıs

298

Bu V =L{f konarak

(15.10)



(15.11)






Model Seçimi


=


ÖNEMLİ SONUÇ: Dinamik benzerliğin sağlanması: Froude & Reynolds sayılarının model ve prototipteki eşit olması gerekir.

Model Ölçeğinin Seçimi

298

Bu V =L{f konarak

(15.10)



(15.11)






Model Seçimi


=

299

veya buradan

bu denklemden de

bulunur. Genellikle gr = 1 neticede Froude ve uzunluk ölçekleri

L:r

Benzer (15.11) olarak

veya buradan

(15.12)

bu denklemden de

1

299

veya buradan

bu denklemden de


L:r


veya buradan

(15.12)

bu denklemden de

1

gr = 1 Froude koşulundan hız ve uzunluk ölçekleri arasında Vr

2 = Lr Hidrolik - ITU, Ercan Kahya

v Benzer şekilde Reynold bağıntısı açık olarak yazılırsa,

299

veya buradan

bu denklemden de


L:r


veya buradan

(15.12)

bu denklemden de

1

299

veya buradan

bu denklemden de


L:r


veya buradan

(15.12)

bu denklemden de

1300

bulunur. Genellikle modelde ve prototipteki su Vf=1 konulursa, Reynoldsve uzunluk ölçekleri

(15.13)

(15.12) ve (15.13) Vf yok edilirse neticede

bulunur. Buna göre model, prototiple büyüklükte edilmelidir. Bu sonuç genelolarak,

yerçekimi kuvvetleri, sürtünme kuvvetkri ve atalet kuvvetlerinin oranda küçültmmesinin

mümkün göstermektedir; yani prototipteki tam olarak bir mo-

del

Böyle durumlarda hareket edilir. Gözönüne kontrol eden kuvvet-

ler atalet ve, yerçekimi ile sürtünme kuvvetleridir. Prototipteki olayda, sürtünme ve yerçekimi

kuvvetinden hangisi daha önemli ise o parametre esas

Buna göre hareketi kontrol eden kuvvetlerin esas olarak ve atalet kuvvetleri ol-

halinde, Froude benzerlik tutulmaz ve bu tip modeller Rey-

nolds modelleri olarak

Benzer hareketi kontrol eden kuvvetlerin esas olarak yerçekimi halinde, bu

defa Reynolds hesaba bu tip modeller Froude modelleri olarak

Genellikle modelde ve prototipteki akışkan: su è Vr =1 -  Reynolds koşulundan, hız ve uzunluk ölçekleri arasında Vr Lr = 1


ÖNEMLİ SONUÇ: Yukarıdaki bağıntılardan Vr yok edilirse:

Lr = 1 ya da Lm = Lp Yani

¤ model, prototiple aynı büyüklükte inşa edilmeli

¤ yerçekimi, sürtünme ve atalet kuvvetlerinin aynı oranda küçültülmesinin mümkün olmaması

¤ prototipteki olayı tam olarak yansıtacak bir model yapılamaması


NE YAPILMALI ???!

Kuvvetler: Atalet, yerçekimi ve sürtünme Prototipteki olayda, sürtünme ve yerçekimi kuvvetinden hangisi daha önemli ise o parametre esas alınır. ★ Eğer hareketi kontrol eden kuvvetler: viskozite ve atalet kuvvetleri è Froude sayısı benzerlik sırasında göz önünde tutulmaz ve bu tip modeller Reynolds modelleridir. ★ Eğer hareketi kontrol eden kuvvetler: yerçekimi ve atalet kuvvetleri è Reynolds sayısı hesaba katılmaz; bu tip modeller Froude modelleridir.


15.4. FROUDE MODELLERİ

v Pratikte serbest yüzeyli akımların modelleri genellikle Froude modeli olarak yapılır. Örnek: Baraj dolu savağı, liman, bağlama, su alma ağzı vb. Bu modellerde; w Diğer büyüklüklerin ölçekleri è geometrik ölçek ile belirlenebilir.

301

15.4. FROUDE

Pratikte serbest yüzeyli modelleri genellikle Froude modeli olarak Ör-

nek: Baraj dolu liman, su alma vb. Bu modellerde;

veya v = e12r r(15.14)

yukanda (15.12 denklemi). büyüklüklerin ölçekleri de geometrik öl-

çek belirlenebilir. Zira herhangi bir A boyutunu MKS bi-

rim sisteminde

(15.15)

yazabiliriz; ile bu

(15.16)

(15.17)

(15.18)

ve genellikle Pr=1 (15.l 7) den:

(15.19)


10. Boyut Analizi ve Hidrolik Benzerlik 369

Model için daha "iskoziteli bir güçlük vebirçok hidrolik problemde sürtünme kuvvetlerinin atalet kuvvetleriküçük dikkate fiziksel modellemenin sadece Froudekanununa göre yeterli

Örnek 10.5

<1>160 mm bir boru 2mis ile 15°C'da su iletmektedir. su <1>60 mmboruda hangi ki dinamik sahip olsunlar.

Boru sürtünme ve atalet kuvvetleri etkili (10.8) denklemi ile verilenReynolds benzerlik kanunu

vm Lp 160Vm =--.-Vp=-2=5,33m/svp L m 60

Örnek 10.6

0,5 m kanalda 1/20 ölçekli bir dolu savak modeli Prototipsavakta maksimum su 1,4 m göre (a) Modeldeki dolu savak su

ne ve (b) Modelde 60 mm savak su debi 0,016 m3/sgöre prototip birim geçen debi ne olur.

(a) Modeldeki su1Hm =Lr Hp = -1,40 = 0,07 m20

(b)

Froude benzerlik kanununa göre:

Vm = _Vp

VLr V L2 -VLr L2p p p

Q = Qm = 0,016 = 28,62 m3 Isp (1/20)5/2

Prototip B =Bm = =10mp L r 1/20

Prototip birim debisi: q =Qp =28,62 =2 86m3 I s mp B 10 'p



Örnek 10.5



vm Lp 160Vm =--.-Vp=-2=5,33m/svp L m 60

Örnek 10.6




(b)


Vm = _Vp


Q = Qm = 0,016 = 28,62 m3 Isp (1/20)5/2





Örnek 10.5



vm Lp 160Vm =--.-Vp=-2=5,33m/svp L m 60

Örnek 10.6




(b)


Vm = _Vp


Q = Qm = 0,016 = 28,62 m3 Isp (1/20)5/2




15.5. REYNOLDS MODELLERİ

v  Pratikteki basınçlı akımlarınmodelleri genellikle Reynolds modeli olarak yapılır.

Örnek: � Suda çalışan türbinlerin (Francis ve Kaplan tipleri) � santrifüj tulumbaların modelleri, � uçakların maruz kaldıkları dirençler, � denizaltıların derin sularda hareketi, � kavitasyon araştırmaları, � basınçlı borulardaki vanaların incelenmesi

w Diğer büyüklüklerin ölçekleri è geometrik ölçek ile belirlenebilir.




Örnek 10.5



vm Lp 160Vm =--.-Vp=-2=5,33m/svp L m 60

Örnek 10.6




(b)


Vm = _Vp


Q = Qm = 0,016 = 28,62 m3 Isp (1/20)5/2



buradan,

(10.8)


hareketlerinde önem Froude kanununa göregibi bulunur:

Vm _ Vp

-

Ym= =IL (10.7)Vp L p

gibi (10.7) denklemi (10.6) denklemi ile Periyodikhareketlerde zaman önemlidir ve gibi elde edilir:

tm _ Lm/ Vm_I _ r;--- -Lr---vLrtp Lp/Yp ILReynolds Kanunu: Suyun viskozitesi nispeten küçükprototipIerde sürtünme kuvvetleri ikinci dereceden önemli olabilir. Fakat

sürtünmesinden enerji fazlaveya cisimlere gelen kuvvetlerin

problemlerde sürtünme kuvvetleri önem Reynolds kanununagöre gibi elde edilir:

VmLm _ VpLpvm vp

Vm=Vm Lp =VmVp Vp Lm Vp Lr

(10.8) denklemine göre, model ve prototiptel/Lr prototip 1mis olsa model 10 mis

gerekir ki bunun elde edilebilmesi için modelde büyükihtiyaç duyulabilir. Prototip suyun yerine modelde havabu sorunun mümkündür

Weber Kanunu: Yatay boyutlan küçükyüzeysel gerilme etkili olabilir. Weber kanununa göregibidir:

Vm = Vp

/ Pm Lm / Pp Lp

Hatırlatma: Hız ölçeği


hidrolik ders notları 1

Documents